T10-Fila B - IES Aricel

EXAMEN DE MATEMÁTICAS – TEMA 10.10.- FUNCIONES ELEMENTALES –
FILA B
1º BACHILLERATO - MATEMÁTICAS I
1 Calcula el dominio de definición de las funciones: f(x) =
−
(1 punto)
g(x) =
5
4 x
2
x
1
8
RESOLUCIÓN
(0,5 puntos)
−
2
f está definida sólo cuando 81 – x ≥ 0 ; determinamos las raíces del polinomio:
2
2
81 – x = 0 ; x = 81 ; x = ± 9
--------------.----------------------.--------------- - - - - - - - -9 + + + + + + 9 - - - - - -
Las soluciones de la inecuación son los números que cumplen -9 ≤ x ≤ 9
Por tanto, Dom(f) = [-9 , 9 ]
g está definida sólo cuando x – 5 > 0 ; x > 5 . Por tanto, Dom(g) = (5 , ∞)
2 Supongamos que la temperatura del líquido contenido en un recipiente viene dada por la fórmula
f(x) = 3,75x – 0,25 x
2
, siendo x el tiempo, en horas y f(x) la temperatura en ºC.
Determina para qué valor del tiempo alcanza la temperatura máxima y cuál es la temperatura máxima que se alcanza.
(0,8 puntos)
f es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola con las ramas hacía abajo, pues a = -0,25 < 0.
−b
−3,75
Por tanto, f alcanza su valor máximo para x =
=
= 7,5
v
2.(−0,25)
2a
2
y = 3,75 . 7,5 – 0,25 . 7,5
v
= 28,125 – 0,25 . 56,25 = 14,0625
Luego, la temperatura máxima es 14,1 ºC (aproximadamente) y se alcanza a las 7,5 h
<
≤
1
−
x
<−
1
x
i
s
,
x
2
x 3
2
(2 puntos)
b) f(x) = | x + 3 |
(0,7 puntos)
>
1
x
3 2
x x
2
,
0


a) f(x) =  +
 −

− +
c) f(x) =
−
4
4 i
s
,
x
4
x
i
s
,
3
3 Representa gráficamente las siguientes funciones y determina el dominio, recorrido, máximos y mínimos:
(1 punto)
d) f(x) = 1 + log x
(1 punto)
e) y =
( )
−
(1 punto)
(Para las funciones de los apartados c), d) y e) dibuja también las asíntotas)
-1-
−
<
1
2
<−
x
4 1
4 i
x
s i
, s
x ,
4 x
2
x 3
x
i
s
,
3


a) f(x) =  +
 −

≤
>
2
-4 < x ≤ 1
Vértice de la parábola: V(xv,yv) ;
xv =
x>1
1
2
y = x + 4x
2
-4
(-4) + 4.(-4)= 16 – 16 = 0
1
1 + 4.1= 1 + 4 = 5
2
y = 3 – 2x
1
-1
−b
−4
2
=
= -2 ; yv = (-2) + 4.(-2)= 4 – 8 = -4; El vértice es V(-2,-4)
2. 1
2a
6
5
4
3
2
1
Y
X
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-1
-2
-3
-4
1 2 3 4 5 6 7 8 9
-5
Dom(f) = R – { -4 }
;
Rec(f) = (-∞ , 5 ]
-2-
;
x = − 2
y = − 4
mínimo 
;
máximo: no hay
b) f(x) = | x + 3 |;
x + 3 ≥ 0 ; x ≥ -3 ; luego
x + 3, si x ≥ − 3
f(x) = 
−x − 3, si x < − 3
x ≥ -3
-3
0
y=x+3
0
3
x < -3
-3
-4
y = -x – 3
0
1
Y
5
4
3
2
1
X
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
Dom(f) = R
;
Rec(f) = [ 0 , ∞)
-3-
;
1
x = − 3
y = 0
mínimo 
2
;
3
máximo: no hay
3 2
x x
c) f(x) =
− +
−
Dividimos el numerador entre el denominador:
y=
1
2
-1
-2
1
0,5
-1
-0,5
punto
(1,1)
(2 ;0,5)
(-1,-1)
(-2 ; -0,5)
−
a
1 x
x
1 x
La gráfica se obtiene trasladando los puntos de la gráfica de la función y =
+
x
Las asíntotas son: x = a , y = b . En este caso, las asíntotas son: AV: x = 2 ,
=
k
. Identificando la fórmula con el caso general:
b
−
2
x
y= − +
y
1
r
o
s
i
v
i
d
;
1
o
t
s
e
r
y = cociente +
-x + 3 | x – 2
x - 2 ---------------------1
1
, b = -1 , k = 1 , a = 2
AH: y = -1.
a través del vector (a,b) = (2,-1)
Punto trasladado
(sumando (2,-1))
(3,0)
(4;-0,5)
(1,-2)
(0:-1,5)
Y
4
3
2
1
X
-1
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
-4
-5
Dom (f) = R – {2}
;
Rec (f) = R – {-1} ; no hay máximos ni mínimos
-4-
d) f(x) = 1 + log x;
x=
10y −1
0,1
1
0,01
10
10y −1 = x
y = 1 + log x ; y – 1 = log x ;
Y
y
0
1
-1
2
2
1
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-1
Dom(f) = (0 , ∞)
;
Rec(f) = R
;
No hay máximos ni mínimos ; Asíntota vertical: (eje Y) x = 0
1
x
2
,
0
e) f(x) =
( )
−
2
,
0
1
x
x
0
1
2
y=
( )
Y
−
5
1
0,2
5
4
3
2
1
X
-4
Dom(f) = R
; Rec(f) = (0 , ∞) ;
-3
-2
-1
1
2
3
4
No hay máximos ni mínimos ; Asíntota horizontal: (eje X) y = 0
-5-
−
3 x
4 Dadas las funciones f(x) =
2
,
g(x) = x – x , calcula (g
o
f)(x). ¿Cuál es su dominio?
+
x
3 2
x
=
9
−
3 x


9 2
x
3x

3 x

2
2
(g o f)(x) = g [f(x) ] = [f(x) ] – f(x) =  −  –
(1 punto)
+
=
Dom(g o f) = R – { 0 }
5 Calcula la función inversa o recíproca de la función f(x) = 3 + 2
y=3+ 2
x–1
;
y–1
x=3+ 2
; x–3=2
log (x – 3) = (y – 1) .log (2) ;
2
x-1
y–1
(1 punto)
;
log (x – 3) = log (2
2
log (x – 3) = (y – 1) .1 ;
2
2
y = log (x – 3)
2
Por tanto f
-1
+ 1
(x) = log (x – 3)
2
-6-
+ 1
2
y–1
)
;
log (x – 3) = y – 1
2