Análisis frecuencial en tiempo discreto, 65

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Francisco J. García Castillo
58
Funciones de transferencia de sistemas LTI
Como ya conocemos la salida de un sistema LTI en el tiempo (en reposo) para
una secuencia de entrada x(n) se podía obtener como la convolución de esa secuencia de
entrada x(n) con la respuesta al impulso del sistema.
La propiedad de la convolución
nos permite expresar esta relación en el dominio de z como:
Y(z) = H(z) X(z)
ec. 2. 89
donde Y(z) es la transformada z de la secuencia de entrada y(n), X(z) es la transformada z
de la secuencia de entrada x(n), y H(z) es la transformada z de la respuesta al impulso
h(n).
Si conocemos x(n) y obtenemos la salida del sistema podemos determinar la
respuesta al impulso del sistema obteniendo en primer lugar H(z) con:
H ( z) =
∞
∑ n(n) z
−n
ec. 2.90
n = −∞
luego si le aplicamos la transformada inversa de z a este sistema podemos obtener su
caracterización correspondiente al dominio del tiempo.
Mientras que H(z) que
representa la caracterización del sistema en el dominio de z se le conoce con el nombre de
función de transferencia del sistema.
Si se ha expresado la ecuación de diferencias del sistema LTI como:
N
M
k =1
k =0
y( n ) = − ∑ a k y( n − k ) + ∑ bk x ( n − k )
Capítulo II
ec. 2.91
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59
tendremos como estructura de la función de transferencia del sistema la siguiente:
M
H ( z) =
∑b z
k =0
N
−k
k
1 + ∑ ak z
ec. 2.92
−k
k =1
2.3.4 La transformada z inversa
Con frecuencia tenemos las señales o bien los sistemas discretos descritos en
función de la transformada z y no es necesario volver al dominio del tiempo.
Por tal
razón se nos hace necesario como lograr esta transformación.
La operación que devuelve una función de z al tiempo se conoce con el nombre de
transformada inversa de z y esta definida por:
x( n) =
1
X ( z ) z n −1 dz
2πj ∫C
ec. 2.93
donde la integral es una integral de contorno sobre el camino cerrado C que encierra al
origen y se encuentra en la región de convergencia de X(z). Para obtener la transformada
z inversa se supone, generalmente, que la secuencia de tiempo x(nT) o x(n) es cero para
k < 0.
Entre los métodos más utilizados para obtener la transformada z inversa tenemos:
Método de la división directa:
En este método la transformada z inversa se obtiene mediante la expansión de
X(z) en una serie infinita de potencia de z-1.
Este método es apropiado para una
expresión en forma cerrada para la transformada z inversa o se desea encontrar sólo
algunos de los primeros términos de x(k).
Capítulo II
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60
Este método se basa en el hecho de que:
∞
X ( z ) = ∑ x (kT ) z − k
ec. 2.94
k =0
aunque este método sólo otorga valores discretos y no una expresión generalizada de la
secuencia, el mismo puede ser útil en distintas aplicaciones que sólo requieren una
aproximación de la señal final.
Método de la integral de inversión:
Otro método empleado para la obtención de la transformada inversa de z es
utilizar el teorema del residuo de Cauchy:
La aplicación de este teorema nos dio por
resultado la ec. 2.93, que desarrollada para la transformada z inversa obtenemos:
x( n) =
1
X ( z ) z n −1 dz = ∑ ( z − z i ) X ( z ) z n −1 | z = zi
∫
C
2πj
i
siempre que los polos zi sean simples.
ec. 2.95
Si X(z)zn-1 no tiene polos dentro del contorno C
para uno o más valores de n, entonces x(n) = 0 para esos valores.
Método de expansión en fracciones parciales:
Este método es idéntico al utilizado para calcular transformada inversa de
Laplace.
Para este método intentamos expresar la función X(z) como una combinación
bilineal de la forma:
X(z) = α1X1(z) +α
α2X2(z) + ... +α
αkXk(z)
ec. 2.96
donde X1(z), X2(z), ... ¸ Xk(z) son expresiones con transformadas inversas x1(n), x2(n), ... ,
xk(n) disponibles en una tabla de pares de transformadas z. Si dicha descomposición es
Capítulo II
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61
posible podemos entonces encontrar x(n) a partir de la transformadas inversas de z de
X(z) aplicando la propiedad de linealidad, de manera que:
x(n) = α1x1(n) +α
α2x2(n) + ... +α
αkxk(n)
ec. 2.97
Adicionalmente, a estos tres métodos para el cálculo de la transformada z inversa,
existen diversos programas para computadoras que pueden realizar el cálculo de estas
funciones.
Por ejemplo, el software MATLAB de la compañía MATHWORKS posee
diversas herramientas para la obtención de la transformada z y su inversa.
2.3.5 La transformada z de funciones elementales
En esta sección daremos un resumen de transformadas z de señales elementales,
algunas tratadas en la sección 2.2.1.1. Si necesita conocer otra transformada z adicional
puede ver la tabla 2.
Función escalon unitario
X( z ) =
z
z−1
ec. 2.98
X ( z) =
Tz
( z − 1) 2
ec. 2.99
Función rampa unitaria
donde T es el periodo de muestreo.
Capítulo II
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62
Función polinomial an
Sea
a n , para n ≥ 0
x( n ) = 
0 , para n < 0
ec. 2.100
donde a es una constante. De esta forma tenemos que:
X( z ) =
z
z−a
ec. 2.101
Función exponencial
Sea
e − at ,
x( t ) = 
0 ,
para t ≥ 0
ec. 2.102
para t < 0
donde a es una constante y T es el periodo de muestreo; por tanto:
x(nT ) = e − ant
ec. 2.103
de forma que:
X( z ) =
z
z − e -aT
ec. 2.104
Función senoidal
Sea
 sen ωt , para t ≥ 0
x( t ) = 
0 ,
para t < 0
ec. 2.105
de esta manera tenemos que
X( z ) =
z sen ωT
z − 2 z cos ωT + 1
2
siendo T el periodo de muestreo.
Capítulo II
ec. 2.106
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63
2.3.6 Solución de ecuaciones en diferencia utilizando la transformada z
La utilidad de la transformada z y su inversa es que permite obtener la expresión
de la función y(k) (salida del sistema). Los pasos para la solución de estos sistemas son:
•
Obtener la transformada z de la ecuación de diferencias que relaciona la
entrada (x(n)) y la salida (y(n))del sistema. Para ésto utilice las propiedades
de linealidad y retardo en el tiempo; la tabla 3 ya tiene el desarrollo de las
ecuaciones en diferencia aplicando estas propiedades.
•
Encontrar la función Y(z) en función de ella misma y X(z).
•
Aplique luego la transformada z inversa. De esta forma obtendrá la salida del
sistema y(n) en función de la salida y entrada al sistema.
Función discreta
Transformada z
x(n + 4)
z4X(z) – z4x(0) – z3x(1) – z2x(2) - zx(3)
x(n + 3)
z3X(z) – z3x(0) – z2x(1) – zx(2)
x(n + 2)
z2X(z) – z2x(0) – zx(1)
x(n + 1)
zX(z) – zx(0)
x(n)
X(z)
x(n - 1)
z-1[ zx(-1) + X(z)]
x(n - 2)
z-2[ z2x(-2) + zx(-1) + X(z)]
x(n - 3)
z-3[ z3x(-3) + z2x(-2) + zx(-1) + X(z)]
x(n - 4)
z-4[ z4x(-4) + z3x(-3) + z2x(-2) + zx(-1) + X(z)]
Tabla 3. Transformada z de x(n + m) y x(n - m).
Capítulo II
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64
Generalmente Y(z) es de la forma:
N
L
Ak
Qk
+
∑
−1
−1
k =1 1 − pk z
k =1 1 − q k z
Y( z ) = ∑
ec. 2.107
de manera que:
N
L
k =1
k =1
y( n ) = ∑ Ak ( p k )n u( n ) + ∑ Q k ( q k ) n u( n )
ec. 2.108
donde podemos observar dos partes; la primera parte es conocida como respuesta natural
del sistema; y la segunda como respuesta forzada del sistema.
Cabe destacar que los
factores de escala Ak y Qk son funciones de ambos conjuntos de polos pk y qk.
De manera similar se puede dividir la respuesta del sistema en dos. Una cuando
las condiciones iniciales del sistema son nulas y la otra es tomando en consideración las
condiciones iniciales. De esta manera la respuesta seria:
y(n) = yzs(n) + yzi(n)
ec. 2.109
Donde yzs(n) representa la respuesta con condiciones nulas, conocida como
respuesta a régimen permanente;
e yzi(n) que representa la respuesta tomando las
condiciones iniciales como no nulas. Si la señal de entrada tiene todos sus polos dentro
del círculo con radio unitario los efectos de las condiciones iniciales sólo afectan a la
respuesta dadas por Ak de la ec. 2.108; por tal motivo no afectan a la respuesta forzada
del sistema.
Adicional a este análisis es de destacar que cuando un polo tiene la misma
posición que un cero, el polo se cancela con el cero y desaparece el término que contiene
ese polo en la transformada inversa de z. Esta propiedad es muy utilizada en el diseño y
análisis de sistemas discretos; sin embargo, ya que la ubicación inexacta del cero que
Capítulo II
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65
cancela al polo trae problemas de estabilidad o de grandes errores; por tanto se
recomienda evitarlo sin embargo si es necesario implementarlo debe hacerse de la manera
más precisa y adecuada posible.
22..44
A
AN
NA
AL
LIISSIISS FFR
RE
EC
CU
UE
EN
NC
CIIA
AL
LE
EN
NT
TIIE
EM
MPPO
OD
DIISSC
CR
RE
ET
TO
O
En secciones anteriores hemos visto las relaciones matemáticas utilizadas para
analizar y diseñar sistemas que respondan a un tipo de salida en función de la señal de
entrada. Sin embargo, todas estas funciones responden a características del tiempo de las
señales de salida y entrada, sin darnos información sobre las propiedades en frecuencia de
estas señales.
Por tal motivo esta sección se dedicará a enunciar los conceptos más
trascendentales de la respuesta en frecuencia de los sistemas y señales que operan en el
dominio del tiempo discreto. Esta información es de gran relevancia en nuestra labor ya
que para el diseño de los filtros es necesario conocer la respuesta en frecuencia del
sistema.
2.4.1 Características generales del analisis frecuencial en tiempo continuo
Debido a que los sistemas análogos fueron los primeros en desarrollarse en el
campo electrónico muchas de las herramientas (expresiones matemáticas) de diseño y
análisis discreto parten de su equivalente en el mundo análogo. Por esta razón daremos
un breve repaso a las relaciones fundamentales que rigen el mundo análogo en cuanto
análisis en frecuencia se refiere.
Series de Fourier de señales periódicas en tiempo continuo
La representación matemática básica de señales periódicas no senoidales es la
serie de Fourier que es una suma ponderada de senoidales relacionadas armónicamente.
Capítulo II
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66
Una combinación lineal de exponenciales complejas relacionadas armónicamente
es de la forma:
x (t ) =
∞
∑c e
k = −∞
j 2πkF0t
ec. 2.110
k
la cual es una señal periódica de periodo fundamental Tp = 1/F0.
Así que podemos
asumir como los bloques básicos utilizados para construir diferentes tipos de señales
periódicas escogiendo las frecuencias adecuadas y los coeficientes ck.
El periodo
fundamental de x(t) es F0 y los coeficientes ck especifican la forma de la onda.
Por tanto podemos construir toda señal periódica de tiempo continuo a partir de la
ec. 2.110 denominada serie de Fourier. Para lo cual las constantes ck deben cumplir con:
ck =
1
Tp
∫
Tp
x(t )e − j 2πkF0t dt
ec. 2.111
Para poder ser representadas las señales periódicas en series de Fourier deben
cumplir con las siguientes tres condiciones:
•
La señal x(t) tienen un número finito de discontinuidades en cualquier periodo.
•
La señal x(t) contiene un número finito de máximos y mínimos en cualquier
periodo.
•
La señal x(t) es absolutamente sumable integrable en cualquier periodo, por
tanto:
∫
Tp
| x ( t ) | dt < ∞
ec. 2.112
estas condiciones son conocidas como condiciones de Dirichlet y garantizan que la serie
utilizada para calcular los coeficientes sea igual a x(t), excepto en aquellos de t en los que
x(t) es discontinua. Estas condiciones son suficientes pero no necesarias.
Capítulo II
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67
Es posible también el expresar esta serie como se muestra a continuación:
∞
x(t ) = c0 + 2∑ | ck | cos(2πkF0t + θ k )
ec. 2.113
k =1
para la cuál los coeficientes ck y c-k son complejos conjugados, y pueden escribirse
como:
c k =| c k | e jθ k
c − k =| c k | e − jθ k
θ k = ∠c k
Otra forma de expresar la serie es por medio de la sumatoria de senos y cosenos
relacionados armónicamente, como se muestra a continuación:
∞
x(t ) = a0 + ∑ (a k cos 2πkF0 t −b k sen 2πkF0 t )
ec. 2.114
k =1
donde:
a 0 = c0
a k = 2 | c k | cos θ k
bk = 2 | c k | senθ k
Densidad espectral de potencia de señales periódicas
Una señal periódica tiene energía infinita y potencia finita media dada por:
Px =
1
Tp
∫
Tp
| x ( t ) | 2 dt
ec. 2.115
la cual expresada en términos de la serie de Fourier esta dada por:
Px =
1
Tp
∫
Tp
| x (t ) |2 dt =
∞
∑| c
k = −∞
Capítulo II
k
|2
ec. 2.116
Trabajo de Graduación
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68
denominada relación de Parseval para señales de potencia.
De esta ecuación podemos
concluir pues que la potencia media total de la señal periódica es la suma de las potencias
medias de sus armónicos.
Es práctica común graficar |ck|2 en función de las frecuencias kF0 = 0, ±1, ±2, ...,
este diagrama nos muestra cómo se reparte la potencia de l a señal periódica entre sus
distintas componentes en frecuencia. Un ejemplo de este diagrama lo podemos ver en la
figura siguiente.
Fig. 17 Ejemplo de un diagrama de densidad espectral de potencia
Este diagrama mostrado se conoce como densidad espectral de potencia de la
señal periódica x(t). Como podemos observar la potencia sólo existe para determinados
valores discretos de frecuencia relacionados k del periodo fundamental de la onda (Tp).
Por tanto el espaciado entre ondas es un múltiplo de F0 mientras que la forma de este
espectro queda determinado por las características de la señal en el tiempo.
Basándonos en la notaciones alternas de la serie de Fourier, tenemos que la
potencia media de una señal también esta dada por las siguientes relaciones:
∞
Px = c02 + 2∑ | ck |2 = a02 +
k =1
1 ∞
2
2
(a k + bk )
∑
2 k =1
Capítulo II
ec. 2.117
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69
donde ak, bk,y ck son los coeficientes de la serie de Fourier definidos con anterioridad.
Cabe destacar que el espectro de potencia es una función simétrica (par) respecto al
origen y que el espectro de fase es una función impar, debido a que los ck son complejos
conjugados; por tal motivo generalmente sólo se representa el lado positivo de la
frecuencia.
Transformada de Fourier de señales aperiódicas en tiempo continuo
Si tenemos una señal periódica xp(t), como la de la fig. 2.14b , es posible crear una
señal aperiódica x(t), como la de la fig. 2.14a , si en el límite el periodo de la señal
periódica tiende a infinito, es decir
x(t ) = lim x p (t )
T
ec. 2.118
→∞
p
de esta forma podemos obtener el espectro en frecuencia de la señal x(t) a partir de xp(t) si
hacemos que Tp → ∞.
Definamos ahora la transformada de Fourier X(F) de una señal en tiempo continuo
aperiódica como:
∞
X (F ) =
∫ x(t )e
− j 2πFt
dt
ec. 2.119
dF
ec. 2.120
−∞
y su transformada inversa respectiva como:
x (t ) =
∞
∫ X ( F )e
j 2πFt
−∞
Es importante anotar que la diferencia entre la Serie de Fourier y la transformada
de Fourier es que el espectro del último es continuo, debido a que periodo de la onda
Capítulo II
Trabajo de Graduación
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70
periódica usada para su construcción tiende a infinito. Por tal motivo la síntesis de una
señal aperiódica a partir de su espectro lleva a cabo una integración en vez de una
sumatoria.
Podemos agregar que la transformada de Fourier es posible expresarla también en
términos de la variable en frecuencia Ω = 2π ; y debido a que dF= dΩ
Ω /2
2 π la expresión
queda dada por:
1
x( t ) =
2π
X(Ω ) =
∞
∫ X ( Ω )e
jΩt
dΩ
−∞
∞
∫ x( t )e
− jΩt
dt
ec. 2.121
ec. 2.122
−∞
Las condiciones de Dirichlet que garantizan la existencia de la transformada de
Fourier son las siguientes:
•
La señal x(t) tiene un número finito de discontinuidades.
•
La señal x(t) tiene un número finito de máximos y mínimos.
•
La señal x(t) es absolutamente integrable, es decir:
∞
∫ | x( t ) | dt < ∞
ec. 2.123
−∞
Densidad espectral de energía de señales aperiódicas
Sea x(t) una señal de energía finita con transformada de Fourier X(F), su energía
esta dada por:
∞
E x = ∫ | x ( t ) | 2 dt
−∞
que a su vez en términos de X(F) será:
Capítulo II
ec. 2.124
Trabajo de Graduación
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71
∞
E x = ∫ | X ( F ) | 2 dF
ec. 2.125
−∞
Esta relación de energía es conocida como la relación de Parseval para señales
aperiódicas de energía finita y expresa el principio de conservación de la energía en los
dominios del tiempo y la frecuencia.
Se define Sxx(F) = |X(F)|2 como la densidad espectral de energía de la señal en
función de la frecuencia y debido a que |X(F)| generalmente tiene aplicaciones prácticas
para cantidades reales, la magnitud de Sxx(F) es de simetría par.
Fig. 18 Ejemplo de un diagrama de densidad espectral
de energía para señales aperiódicas
2.4.2 Características generales del análisis frecuencial de señales en tiempo
discreto
Es el momento propicio para involucrarnos en el estudio general de las
herramientas en frecuencia utilizadas para el análisis de señales discreta; por tal motivo
esbozaremos los aspectos fundamentales de cada teorema relacionado con este tema.
Capítulo II
Trabajo de Graduación
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72
En forma contraria a las señales de tiempo continuo, antes discutidas, las señales
en tiempo discreto tienen un rango limitado en el intervalo (-π,π) ó (0, 2π).
Por tal
motivo si la señal tiene componentes en frecuencias espaciadas 2π/N radianes ó f =1/N
ciclos, su representación en serie de Fourier contendrá un máximo de N componentes de
frecuencia.
2.4.2.1 Teoremas fundamentales del análisis frecuencial de señales en tiempo
discreto
En esta sección expondremos de manera breve aquellas relacionadas estudiadas en
la sección anterior, pero en esta ocasión aplicadas a señales discretas.
Series de Fourier de señales periódicas en tiempo discreto
Sea una señal x(n) una secuencia periódica de periodo N, su representación en
serie de Fourier queda dada por:
x( n) =
N −1
∑c e
k =0
j 2πkn / N
k
ec. 2.126
donde ck esta dada por:
ck =
1
N
N −1
∑ x( n )e
− j 2πkn / N
ec. 2.127
n =0
La ec. 2.126 es conocida como serie de Fourier en tiempo discreto (DTFS). Los
coeficientes ck representan la amplitud y la fase asociada a la componente de frecuencia;
estos coeficientes representan una serie periódica que se extiende fuera del rango
k = 0, 1, ... , N – 1. De esta forma es de esperarse que el espectro de una señal x(n), que
es periódica de periodo N, es una secuencia periódica N.
Capítulo II
Trabajo de Graduación
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73
Densidad espectral de potencia de señales periódicas
La potencia media de una señal periódica en tiempo discreto con periodo N se
define como:
Px =
1
N
N −1
∑ | x( n ) |
2
ec. 2.128
n =0
Esta potencia en función de los coeficientes ck de la serie de Fourier están dados
por:
N −1
Px = ∑ | c k | 2
ec. 2.129
k =0
Como podemos ver la potencia media de la señal es la suma de las potencias
medias de las componentes individuales en frecuencia. Esta relación se considera como
la relación de Parseval para señales periódicas de tiempo discreto.
La secuencia |ck|2
para k= 0, 1, ... ,N-1 es la distribución de potencia en función de la frecuencia y se
denomina densidad espectral de potencia de una señal periódica.
Fig. 19 Ejemplos de diagramas espectrales de potencia para señales periódicas
Capítulo II
Trabajo de Graduación
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74
Transformada de Fourier de señales aperiódicas en tiempo discreto
La transformada de Fourier de una señal de energía infinita en tiempo discreto
x(n) se define como:
X (ω ) =
∞
∑ x( n )e
− j ωn
ec. 2.130
n = −∞
Aquí X(ω) representa el contenido en frecuencia de x(n), por tanto X(ω) representa
la descomposición de x(n) en sus componentes en frecuencia.
Es posible expresar la función periódica X(ω) en función de ω como una serie de
Fourier, la cual suponiendo que converja uniformemente nos brinda la expresión de la
transformada inversa de Fourier, dada por:
x( n) =
1
2π
∫
2π
X (ω )e jωndω
ec. 2.131
la cual tiene la forma de una serie de Fourier.
La convergencia uniforme que supusimos para expresar la transformada inversa
de Fourier esta completamente garantizada si x(n) es absolutamente sumable.
Densidad espectral de energía de señales aperiódicas en tiempo discreto.
Conocemos que la energía de una señal x(n) esta definida como:
Ex =
∞
∑ | x (n ) |
2
n = −∞
y expresada en función de X(ω) esta dada por:
Capítulo II
ec. 2.132
Trabajo de Graduación
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75
Ex =
1
2π
π
∫ ° | X (ω ) |
2
dω
ec. 2.133
−π
Si expresamos X(ω) en función de su magnitud y ángulo como:
X(ω
ω ) = | X(ω
ω )| ejθθ(ωω)
ec. 2.134
θ(ω
ω) = ∠ X(ω
ω)
ec. 2.135
tendremos que la densidad espectral de energía de x(n), esta dada por:
Sxx(ω
ω) = | X(ω
ω )|2
ec. 2.136
Donde debido a que la magnitud de X(ω) es par, Sxx(ω) también es par. Debido a
lo cuál es sólo necesario la representación de esta en el intervalo 0 ≤ ω ≤ π.
Fig 20 Ejemplo de densidad de espectro de señales aperiódicas en tiempo discreto
Capítulo II
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76
2.4.2.2 Propiedades de la transformada de fourier
En esta sección por medio de tablas haremos un resumen de las propiedades más
empleadas en el análisis y diseño de sistemas empleando características en frecuencia.
No se adentra mucho en ellas debido a que sólo las requerimos como herramientas de
nuestros futura confección de sistemas.
Dentro de las propiedades más interesantes para las transformadas de Fourier se
encuentran las propiedades de simetría, ya que suelen reducir de gran manera los
cálculos. En la siguiente tabla presentamos el resumen de estas propiedades de simetría.
Secuencia
DTFT
x(n)
X(ω)
x*(n)
X*(-ω)
x*(-n)
X*(ω)
xR(n)
Xe(ω)= ½ [X(ω) + X*(-ω)]
jxI(n)
Xo(ω)= ½ [X(ω) - X*(-ω)]
xe(n)= ½ [x(n) - x*(-n)]
XR(ω)
xo(n)= ½ [x(n) - x*(-n)]
jXI(ω)
Señales reales
X(ω) = X*(-ω)
XR(ω) = XR (-ω)
Cualquier señal real
XI(ω) = -XI (-ω)
x(n)
|X(ω)| = |X(-ω)|
∠X(ω) = -∠X(-ω)
xe(n)= ½ [x(n) + x(-n)]
XR(ω)
(real y par)
(real y par)
xo(n)= ½ [x(n) - x(-n)]
jXI(ω)
(real e impar)
(imaginaria e impar)
Tabla 4. Propiedades de simetría de la transformada de fourier en tiempo discreto.
Capítulo II
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77
Esta transformada también posee cualidades como linealidad, escalado de la señal,
retardo en el tiempo, etc..
En la siguiente tabla presentamos un resumen de estas
propiedades.
Propiedad
Dominio en el tiempo
Dominio en la frecuencia
x(n)
X(ω)
x1(n)
X1(ω)
x2(n)
X2(ω)
a1 x1(n) + a2 x2(n)
a1 X1(ω) + a2 X2(ω)
Desplazamiento temporal
x(n – k)
e-jωk X(ω)
Reflexión temporal
x ( -n )
X( -ω)
Convolución
x1(n) * x2(n)
X1(ω)X2(ω)
Correlación
rx1x2 (l)
Sx1x2(ω) = X1(ω)X2(-ω)
Notación
Linealidad
= X1(ω)X2*(ω)
[si x2(n) es real]
Teorema de
rxx (l)
Sxx(ω)
e jω 0 n x( n )
X(ω -ω0 )
x(n) cos ω0n
½ [X(ω+ω0) + X*(ω-ω0)]
Wiener – Khintchine
Desplazamiento frecuencial
Modulación
Multiplicación
Diferenciación
x1(n)x2(n)
en
el
1
2π
nx(n)
π
∫X
1
( λ ) X 2 ( ω − λ )dλ
−π
j
dominio de la frecuencia
x*(n)
Conjugación
Teorema de Parseval
∞
dX ( ω )
dω
X*(ω)
1
x1 ( n )x ( n ) =
∑
2π
n = −∞
*
2
π
∫ X ( ω )X
1
*
2
( ω )dω
−π
Tabla 5. Propiedades de la Transformada de Fourier de señales en tiempo discreto
Capítulo II