La-derivada-de-u.. - Universidad Sergio Arboleda

Memorias II Encuentro Internacional
De Meta-Matemáticas:
La Derivada de un Número No es 0
Geraldine Marcela Infante
Jorge Daniel Muñoz
Alex Eduardo Poveda
Grupo YAGLOM
Escuela de Matemáticas
Universidad Sergio Arboleda
Resumen
En el presente articulo se introduce una definición de derivada para enteros y algunas
de sus propiedades elementales. Esta definición, a diferencia de la derivada vista como un
operador sobre el conjunto de las funciones, que sobre números es siempre cero, muestra
propiedades muy importantes. Esta definición cumple en particular que la derivada de un
producto satisface la regla de Leibniz. Sin embargo, la linealidad no se tiene, aún ası́, con
esta definición se pueden encontrar propiedades que permiten el trabajo con ecuaciones
diferenciales sencillas en el conjunto de los enteros.
1.
Introducción
La derivada es un operador lineal que se trabaja sobre el conjunto de las funciones, sin embargo, al aplicar este operador a los números no se obtienen resultados muy interesantes, pues
es bien sabido que la derivada de todo número real x es cero, en particular de todo entero.
Es ası́ como el objetivo de este trabajo es presentar una definición de un operador inspirado
en la derivada, sobre el conjunto de los enteros, inicialmente propuesto por Ufnarovski, V. y
Ahlander, B.[1]. El cual también ha sido estudiado en [2], [3] y [4].
Con esta definición se obtienen algunos resultados que permiten trabajar la derivada de
forma elemental, lo cual puede prestarse para ser trabajado con los niños y niñas interesados en
las matemáticas.
2.
La Derivada de un Número
Para definir la derivada de un entero n, denotado por n′ , se utilizarán dos principios básicos:
1. p′ = 1 para cualquier primo p.
2. (ab)′ = a′ b + ab′ para cualquier a, b ∈ Z+ (Regla de Leibniz).
Ejemplo 1. 10′ = (2 · 5)′ = 2′ · 5 + 2 · 5′ = 5 + 2 = 7.
8′ = (2 · 2 · 2)′ = 2′ · (2 · 2) + 2 · (2 · 2)′ = 4 + 2(2′ · 2 + 2 · 2′ ) = 4 + 2(2 + 2) = 12.
En el cuadro 1 se presenta la primera (n′ ), segunda (n′′ = (n′ )′ ) y tercera (n′′′ = (n′′ )′ )
derivadas de los primeros números.
1
n
n′
n′′
n′′′
1
0
0
0
2
1
0
0
3
1
0
0
4
4
4
4
5
1
0
0
6
5
1
0
7
1
0
0
8
12
16
32
9
6
5
1
10
7
1
0
11
1
0
0
12
16
32
80
13
1
0
0
14
9
6
5
15
8
12
16
16
32
80
176
17
1
0
0
18
21
10
7
Cuadro 1: Primera, segunda y tercera derivada de los primeros números.
3.
Propiedades Básicas
Esta definición de derivada permite conservar algunas propiedades naturales de la derivada,
como las siguientes.
Teorema 1. (nk )′ = knk−1 · n′ para todo n, k ∈ N.
Demostración. Esto se demuestra por inducción sobre k. Para k = 1, n′ = 1·n1−1 n′ . Supongamos
que se tiene para k, es decir que (nk )′ = knk−1 · n′ y demostremos para k + 1. Tenemos que:
(nk+1 )′ = (n · nk )′
= n′ · nk + n · (nk )′
= n′ · nk + n · (knk−1 n′ )
= n′ · nk + (knk n′ )
= n′ · (nk + knk )
= ((k + 1)nk ) · n′
Que es lo que se querı́a probar.
Ejemplo 2. 8′ = (23 )′ = 3 · 22 · 2′ = 3 · 4 = 12.
Como es bien sabido, la derivada de la suma (vista como un operador sobre funciones) es la
suma de las derivadas, pero esta propiedad no se puede conservar con esta definición, pues la
derivada de cualquier número serı́a 0. En efecto, del resultado anterior se tendrı́a que 1′ = 0,
pues 1 = 12 , ası́ 1′ = 2 · 1 · 1′ , de este modo 1′ = 0. De allı́ que la derivada de la suma
(vista como un operador sobre los enteros) no sea la suma de las derivadas, de otro modo,
n′ = (1 + 1 + · · · + 1)′ = 1′ + · · · + 1′ = 0, es decir la linealidad como una propiedad general no
se conserva. Sin embargo, se tiene la siguiente propiedad:
Teorema 2. Si (a + b)′ = a′ + b′ entonces (ka + kb)′ = (ka)′ + (kb)′
Demostración. Por la regla de Leibniz se tiene que:
(ka + kb)′ = (k(a + b))′
= k′ · (a + b) + k · (a + b)′
= k′ · a + k′ · b + k · a′ + k · b′
= (k′ · a + k · a′ ) + (k′ · b + k · b′ )
= (ka)′ + (kb)′
Ejemplo 3. 3′ = (1 + 2)′ = 1 = 1′ + 2′ , ası́ para k = 4 se tiene que 12′ = (4 + 8)′ = 4′ + 8′ =
4 + 12 = 16.
Aún existe una dificultad y es la forma de calcular la derivada de un número sin necesidad de
aplicar la regla del producto, que en algunos casos puede resultar algo tedioso. Para ello existe
una fórmula general que permite obtener la derivada de un número de una forma más sencilla,
como se muestra en el siguiente teorema.
Teorema 3. Sea n ∈ N y n =
k
Q
i=1
pni i su descomposición en factores primos entonces:
n′ = n
k
X
ni
i=1
pi
Demostración. Hay que verificar la consistencia de esta definición
con los dos principios iniciales.
Veamos que la derivada de un primo es 1. En efecto, p′ = p 1p = 1. Falta verificar que cumple
la regla de Leibniz. Si algún ni = 0, entonces la fórmula no se ve afectada1 . Sean a =
k
Q
i=1
y b =
k
Q
i=1
pai i
pbi i , por el razonamiento anterior se pueden suponer los mismos primos en ambas
factorizaciones, con 0 en algunos exponentes, sin que se vea alterada la derivada. De esta forma:
k
k
Y
Y
(a · b)′ = ( pai i ·
pbi i )′
i=1
i=1
k
Y
= ( pai i +bi )′
i=1
=a·b
k
X
ai + bi
i=1
k
X
pi
!
k
ai X bi
=a·b
+
pi
p
i=1
i=1 i
!
!
k
k
X
X
ai
bi
= a
b+b
a
pi
pi
i=1
i=1
′
′
=a ·b+a·b
Ejemplo 4. 60′ = (22 · 3 · 5)′ = 60
2
2
+
1
3
+
1
5
= 60 + 20 + 12 = 92.
Teorema 4. Si n = pp · m, para algún entero m > 1 entonces n′ = pp (m + m′ ).
Demostración. Al aplicar la regla del producto se obtiene que:
n′ = (pp )′ · m + m′ · pp = pp (m′ + m).
Ejemplo 5. Si n = 54, n = 33 · 2 y n′ = 27(2 + 1) = 81.
1
Por ejemplo 4 = 22 · 30 y aplicando la fórmula se puede ver que 4′ = 4
la definición.
2
2
+
0
3
= 4, lo cual es consistente con
También se tiene que:
Teorema 5. Si pk es la mayor potencia de p que divide a n y 0 < k < p, entonces pk−1 es la
mayor potencia de p que divide a n′ .
Demostración. Como pk |n entonces n = pk · m luego n′ = kpk−1 m + pk m′ = pk−1 (km + pm′ ).
Como k < p y p es primo, la expresión dentro del paréntesis no es divisible por p, si lo fuera,
km serı́a divisible por p, de ser ası́ m serı́a divisible por p y por lo tanto la máxima potencia de
p que divide a n no seria pk .
Con base en lo anterior se puede concluir el siguiente corolario:
Corolario 1. Un entero n es libre de cuadrados
2
si y sólo si (n, n′ ) = 1.
Demostración. Primero se probará que si (n, n′ ) = 1 entonces n es libre de cuadrados. Supongamos que no lo fuera, luego existe p tal que p2 |n, por lo tanto p|n′ y ası́ (n, n′ ) > 1, lo cual es
contradictorio. Recı́procamente, supongamos que (n, n) 6= 1, entonces existe p tal que p|n y p|n′
ası́ p2 |n, lo cual es una contradicción.
Ejemplo 6. 30 = 2 · 3 · 5, entonces 30 es libre de cuadrados, 30′ = 31 y (30, 31) = 1.
4.
Ecuaciones Diferenciales
Al igual que en el trabajo con funciones, es posible plantear ecuaciones diferenciales con
la derivada de números. En el presente artı́culo se trabajaran los dos casos más sencillos. El
primero es n′ = n.
Teorema 6. Sea n ∈ Z entonces n′ = n si y sólo si n = pp para algún primo p.
Demostración. Demostremos la primera implicación. En efecto, sı́ p|n entonces pp |n, pues si
fuera pk con k < p la máxima potencia de p que divide a n, entonces pk−1 serı́a la máxima
potencia de p que divide a n′ , provocando que n 6= n′ . De este modo n = pp · m. Veamos que
m = 1. Se tiene que n′ = (pp )′ m + pp m′ = pp (m + m′ ), luego m = m + m′ , ası́ m′ = 0 y m = 1.
El reciproco es inmediato al derivar pp , pues (pp )′ = p · pp−1 · p′ = pp .
Algunos números que cumplen con esta propiedad son: 4 = 22 , 27 = 33 , 3125 = 55 , ...
La otra ecuación diferencial a trabajar es n′ = a. Si a = 0 obtenemos una única solución,
n = 1, pues la derivada de cualquier otro número es mayor o igual a 1. Si a = 1 entonces la
solución de la ecuación son números primos, ya que si el número fuera compuesto por la regla
del producto, la derivada se podrı́a escribir como la suma de dos enteros positivos mayores que 1.
A continuación se analiza el caso en el cual n no es un primo. Si n no es un primo entonces
√
≥ 2 n. Partiendo de lo anterior se puede concluir que si a > 1 y la ecuación n′ = a tiene
solución, entonces tiene un conjunto finito de soluciones. En efecto, como n no es primo entonces
√
√
2
n′ ≥ 2 n, ası́ a ≥ 2 n y por lo tanto a4 ≥ n, lo que permite reducir las posibles soluciones de
la ecuación.
n′
Conjetura 1. Si a es par, es decir si n′ = 2b entonces la ecuación siempre tiene solución.
2
Un número se dice libre de cuadrados si ninguno de sus divisores es un cuadrado perfecto.
Si la conjetura de Goldbach3 es cierta entonces 2b = p + q, donde p y q por lo cual n = pq es
solución de la ecuación.
Ejemplo 7. Sı́ n′ = 12, como 12 = 5 + 7, entonces n = 5 · 7 = 35 es solución de la ecuación.
Teorema 7. Si a es impar, se puede garantizar la existencia de la solución si a = p + 2 donde
p es primo.
Demostración. Es inmediato, pues n = 2p es solución de la ecuación.
Ejemplo 8. Supongamos que a = 15, ası́ a = 13 + 2 y por lo tanto n = 13 · 2 = 26 es solución.
5.
Conclusiones
Este es sólo un ejemplo de como un concepto básico del cálculo diferencial, como lo es la
derivada de una función, puede ser trabajado a un nivel elemental, si se define sobre el conjunto
de los enteros, obteniéndose propiedades similares a las de la derivada de una función, sin la
necesidad de manejar conceptos matemáticos muy avanzados.
Esta idea se ha venido trabajando en el marco del Grupo YAGLOM de la Escuela de Matemáticas de la Universidad Sergio Arboleda, para su trabajo de matemática .elemental”(en el
sentido de [4], es decir aquellas que se pueden trabajar con los niños y niñas de las escuelas) con
los niños del grupo de talentos.
Referencias
[1] Ufnarovski, V., Ahlander, B. How to Differentiate a Number. Journal of Integer Sequences.
Vol 6. 2003.
[2] Cohen, G.L. Iannucci, D.E., Derived Sequences, Journal of Integer Sequences., Vol. 6, 2003.
[3] Hare, K., Yazdani, S., Further Results on Derived Sequences, Journal of Integer Sequences.,
Vol. 6, 2003.
[4] Perez, J., et al., Cuatro Propuestas Didácticas en Matemáticas.Ed. U.S.A., Bogotá, 2005.
3
Todo número par mayor que tres es suma de dos primos