TEORIA AXIOMATICA DE CONJUNTOS Versión Preliminar Renato A. Lewin Author address: Pontificia Universidad Católica de Chile, Facultad de Matemáticas, Casilla 306 - Correo 22, Santiago CHILE. e-mail: [email protected] Indice CAPITULO 1. Introducción. Los Axiomas de Zermelo Fraenkel 1. El Lenguaje Formalizado L 2. Los Axiomas de la Teorı́a ZF. Conceptos Fundamentales CAPITULO 2. Teorı́a Elemental 1. Operaciones 2. Relaciones 3. Funciones 4. Relaciones de Equivalencia 5. Relaciones de Orden 5 7 9 17 17 23 30 40 44 CAPITULO 3. Ordinales 1. Números Naturales 2. Ordinales 3. Inducción Transfinita 4. Recursión 5. Funciones Normales 6. Ordinales y Buenos Ordenes 7. Aritmética Ordinal 8. La Jerarquı́a Acumulativa de Conjuntos 57 57 64 70 72 75 78 80 101 CAPITULO 4. El Axioma de Elección 1. Equivalencias del Axioma de Elección 2. Aplicaciones 105 105 111 CAPITULO 5. Cardinales 1. Definiciones y Resultados Básicos 2. Conjuntos Finitos y Conjuntos Infinitos 3. Aritmética Cardinal 4. Cardinales Regulares y Singulares 5. La Hipótesis del Continuo 117 117 125 129 144 146 Bibliografı́a 151 Glosario 153 3 4 CAPITULO 1 Introducción. Los Axiomas de Zermelo Fraenkel Este libro trata sobre los conjuntos. Intuitivamente un conjunto es una colección (clase, agregado, conglomerado, etc.) de objetos, los que pertenecen a (forman parte de, son los elementos de, etc.) el conjunto. En toda teorı́a axiomática debemos partir de términos que no podemos definir para no correr el riesgo de caer en un cı́rculo vicioso. Tal es el caso de los conceptos de conjunto y pertenencia dentro de la Teorı́a de Conjuntos. Todas nuestras intuiciones descansan sobre la idea intuitiva que tengamos sobre estos conceptos primitivos, sin embargo, para el desarrollo de la teorı́a no es necesario contar con estas intuiciones. Una teorı́a axiomática es un modelo formal de una realidad que queremos estudiar. Está compuesta por axiomas, o sea, oraciones a partir de las cuales, usando sólo reglas lógicas, podamos obtener todas las propiedades de aquello que queremos modelar. Los axiomas tratan de establecer las caracterı́sticas y propiedades esenciales de los objetos que estamos tratando de describir en nuestro modelo. El ideal serı́a en primer lugar que los axiomas modelaran las intuiciones que tenemos de la realidad y en segundo lugar que la lista fuera completa, es decir, que todas y sólo aquellas propiedades de los objetos a describir se puedan obtener a partir de nuestra lista. Diversas teorı́as axiomáticas de conjuntos han logrado en mayor o menor grado el segundo de estos objetivos. El primero en cambio, obtener todas las propiedades de los conjuntos a partir de un sistema de axiomas, no se ha logrado. El motivo de ésto es muy sencillo: no se puede. En efecto, los resultados obtenidos por el lógico Kurt Gödel alrededor de 1930, demuestran que es imposible dar una axiomatización completa de la Teorı́a de Conjuntos. Lo mismo es cierto de otras teorı́as matemáticas como la teorı́a de números. Lo anterior parece condenar nuestro proyecto al fracaso, sin embargo ésto no es ası́, sólo nos advierte que el ideal es imposible. De hecho numerosos matemáticos han logrado establecer teorı́as axiomáticas que, si bien no completas, son suficientes para construir en ellas casi toda la matemática. Estudiaremos una de ellas en estas páginas, a saber, la teorı́a de Zermelo–Fraenckel, ZF, desarrollada a partir del 5 trabajo de E. Zermelo el primero en proponer una teorı́a en los primeros años de este siglo. Un conjunto está definido por los objetos que contiene. Nuestra intuición nos dice que a cada conjunto corresponde una propiedad, es decir, aquello que caracteriza a sus elementos, por ejemplo al conjunto formado por los números 1, 2, . . . , 99, le corresponde la propiedad “ser número entero mayor que cero y menor que cien”. A la inversa, a toda propiedad le debe corresponder un conjunto, la colección de todos los objetos que verifican dicha propiedad. Temprano en el desarrollo de la teorı́a de conjuntos se descubrió que esta intuición conducı́a a contradicciones y que debı́a descartarse. A fines del siglo pasado, el matemático inglés Bertrand Russell dió con la siguiente paradoja. Consideremos el conjunto R definido por la propiedad “un objeto pertenece al conjunto R si y sólo si no pertenece a si mismo”. En sı́mbolos1 R = {x : x 6∈ x}. La pregunta entonces es ¿pertenece R a R?, o en sı́mbolos, ¿R ∈ R?. Si la respuesta es afirmativa, entonces R verifica la propiedad que define a R, o sea, R 6∈ R. Si la respuesta es negativa, entonces, por definición, R ∈ R. En cualquier caso obtenemos la contradicción R ∈ R ↔ R 6∈ R . La paradoja de Russell (y otras) nos dice que el concepto de “propiedad”es más delicado de lo que suponemos y que definitivamente no debe corresponder a lo que llamamos un conjunto. Debemos tomar medidas para evitar que esta paradoja y ninguna otra se produzca en nuestra teorı́a. Sin embargo, la noción de que a cada propiedad deberı́a corresponder la colección de objetos que la verifican o “extensión”de la propiedad, tiene fuerte arraigo en nuestra intuición. Algunos matemáticos no han querido deshacerse de ella y han elaborado teorı́as bastante complejas, que incluyen dos tipos de objetos, conjuntos y clases propias. Deciamos antes que lo que caracteriza a los conjuntos es sus elementos y por ende para poder afirmar que algo es un conjunto, es preciso ser capaz de determinar exactamente cuales son los elementos de dicho conjunto. Las clases son las extensiones de propiedades. Si ésta pertenece a otra clase, entonces decimos que es un conjunto, si no, hablamos de 1 Supondremos que el lector está familiarizado con la terminologı́a y simbologı́a conjuntista pero lo prevenimos de que estos tendrán un sentido muy preciso en nuestra teorı́a y el que, a veces, difiere del popularizado en la enseñanza básica y media. 6 una clase propia. Es decir, las clases propias son las extensiones de una propiedad que de alguna manera son “demasiado grandes”, no las podemos aprehender. Ejemplos de estas últimas son la clase R definida anteriormente o la clase V formada por todos los conjuntos (o clase universal). En nuestra teorı́a, ZF, no existen las clases propias, sólo conjuntos. Esto implica que, por ejemplo, no podemos hablar de la clase R. Sin embargo, la situación no es tan mala como parece. Si bien no podemos hablar de R, nada nos impide hablar de la propiedad x 6∈ x. Ası́, aunque no podemos afirmar “a ∈ R00 (porque R no existe dentro de la teorı́a), podemos perfectamente decir a 6∈ a que significa lo mismo. En otras palabras, si queremos hablar de una clase propia, en ZFdebemos hacerlo mediante la propiedad que la define. La noción de “propiedad” no la hemos definido pero de lo anterior se desprende que es central en nuestro estudio. Vamos a continuación a definir este concepto. Como dijimos, una teorı́a axiomática se desarrolla a partir de ciertos enunciados o axiomas mediante la aplicación de reglas lógicas. Por ello, es fundamental que el lenguaje usado sea lo más preciso posible. Esto se logra mediante la formalización del lenguaje. Sólo aquellas expresiones escritas en éste serán aceptables en nuestra teorı́a y representaran propiedades. No es el propósito de este texto introducir al lector a la Lógica Matemática. Tampoco suponemos que éste sepa lógica más allá de los conocimientos que se aprende en un curso universitario de Introducción al Algebra o similar. Cierta madurez matemática es desde luego necesaria para mantener la fluidez de las demostraciones. Usaremos por lo tanto un estilo semi formal el que, por un lado, es habitual en el tema y por el otro, no apabulla al lector con un rigor tedioso y excesivo. 1. El Lenguaje Formalizado L Un lenguaje formalizado está constituido por un conjunto de sı́mbolos básicos y por reglas que nos permiten formar expresiones más complicadas a partir de esos sı́mbolos originales. Los sı́mbolos de L serán: 1. Variables: x, y, z, X, Y, Z, x1 , x2 , . . . , en general, las últimas letras del alfabeto latino, minúsculas o mayúsculas, con o sin subı́ndices. Su significado es el habitual en matemáticas y su rango son los conjuntos. 2. Constantes: a, b, c, A, B, C, . . . , en general, las primeras letras del alfabeto latino. Sirven para referirnos a conjuntos especı́ficos. 7 3. Sı́mbolo de pertenencia: ∈ 4. Sı́mbolo de igualdad: = 5. Conectivos lógicos: ¬, ∨, ∧, →, ↔, es decir, los sı́mbolos habituales para la negación, disyunción, conjunción, implicación y equivalencia. 6. Cuantificadores: ∀, ∃, con su significado habitual. 7. Paréntesis: ( , ). Usados como signos de puntuación. Cualquier cadena finita formada por estos sı́mbolos es una expresión del lenguaje, pero no toda expresión es aceptable o significativa. Sólo aceptaremos aquellas a las que llamaremos fórmulas de L. Una fórmula de L es una expresión de L construida como sigue: 1. X ∈ Y, X = Y son fórmulas de L para cualquiera dos variables o constantes X e Y no necesariamente distintas. La primera se lee X pertenece a Y o bien Y contiene a X y la segunda X es igual a Y . Su significado intuitivo es el obvio. Estas se llamarán fórmulas atómicas. 2. Si ϕ y ψ son fórmulas de L , entonces también lo son (ϕ ∨ ψ), (ϕ ∧ ψ), (ϕ → ψ), (ϕ ↔ ψ). Estas fórmulas corresponden respectivamente a la disyunción, conjunción, implicación y equivalencia de ϕ y ψ. 3. Si ϕ es una fórmula de L , entonces ¬ϕ también es una fórmula de L . La fórmula ¬ϕ corresponde a la negación de ϕ . También usaremos los sı́mbolos auxiliares X ∈ / Y y X 6= Y para escribir ¬(X ∈ Y ) y ¬(X = Y ), respectivamente. 4. Si ϕ es una fórmula de L y x es una variable, ∀xϕ, ∃xϕ son fórmulas de L . Estas se leen cualquier conjunto x verifica ϕ y existe (por lo menos) un conjunto x que verifica ϕ , respectivamente. Su significado es también evidente. Solamente aquellas expresiones obtenidas por la aplicación de (un número finito de) estas reglas es una fórmula de L . Si ϕ es una fórmula de L y x una variable que aparece en ϕ , decimos que x aparece ligada en ϕ si su aparición se produce bajo la influencia de un cuantificador ∀x o ∃x. En caso contrario decimos que x aparece libre en ϕ . Por ejemplo, en ∀x x 6∈ y, la variable x aparece ligada pero y aparece libre y en ∃x(x ∈ y ∨ ∀z x ∈ z), las variables x y z aparecen ligadas e y aparece libre. Una fórmula que no contiene variables libres se llama una oración. Una oración de L es siempre verdadera o falsa (¡pero puede ser que no 8 seamos capaces de determinar cuál de las dos se cumple!). Una oración hace una afirmación acerca de los conjuntos a los que se refiere, una fórmula que contiene variables libres no hace ninguna afirmación, pero si asignamos interpretaciones a sus variables libres, entonces sı́ estaremos afirmando algo. A menudo escribiremos ϕ(x1 , x2 , . . . , xn ) para dejar en claro que las variables libres de ϕ están entre x1 , x2 , . . . , xn . Como hemos dicho, sólo aceptaremos fórmulas de L para hablar de objetos y hacer afirmaciones en ZF. Sin embargo, la expresión en L de conceptos bastante sencillos puede resultar increiblemente complicada. Ası́, aceptaremos abreviaciones que faciliten la lectura. Por ejemplo el concepto de subconjunto se denota x ⊆ y se puede expresar en terminos de los sı́mbolos básicos de L mediante: x⊆y ssi ∀z(z ∈ x → z ∈ y). Entonces, como ya sabemos que x ⊆ y puede escribirse en el lenguaje L, permitiremos el sı́mbolo ⊆ en nuestras fórmulas. Lo mismo sucederá con otros sı́mbolos. Más aún, en general usaremos expresiones del castellano y no su formalización en L para trabajar con el concepto intuitivo y no con la a menudo ilegible fórmula de L . Lo importante es que dicha traducción sea posible para que, llegado el caso, podamos hacer una demostración rigurosa de nuestras afirmaciones. 2. Los Axiomas de la Teorı́a ZF. Conceptos Fundamentales A1. Axioma de Extensionalidad: “Si todo elemento de X es un elemento de Y y todo elemento de Y es un elemento de X , entonces X es igual a Y ”. Dicho de otro modo, si dos conjuntos tienen los mismos elementos, entonces son iguales. Este axioma nos dice que lo que caracteriza a un conjunto son sus elementos. En L , este axioma se escribe ∀X∀Y (∀z(z ∈ X ↔ z ∈ Y ) → X = Y ). Definición 1.1. Decimos que X es subconjunto de Y , en sı́mbolos, X ⊆ Y , si y sólo si todo elemento de X es un elemento de Y . O sea, X ⊆ Y ↔ ∀x(x ∈ X → x ∈ Y ). Con esta definición A1 puede escribirse más abreviadamente ∀X∀Y (X ⊆ Y ∧ Y ⊆ X → X = Y ). A2. Axioma del conjunto vacı́o: “Existe un conjunto que no contiene ningún elemento”. 9 En L escribimos ∃X∀x x 6∈ X. Observemos que, en particular, este axioma garantiza que existe al menos un conjunto. Lema 1.1. Existe un único conjunto que no contiene ningún elemento. Demostración. Supongamos que existen dos conjuntos distintos a y b ambos sin elementos. Por A1 ∃x((x ∈ a ∧ x 6∈ b) ∨ (x ∈ b ∧ x 6∈ a)), una contradicción. Luego hay un único conjunto vacı́o. Definición 1.2. El (único) conjunto que no tiene elementos se llama el conjunto vacı́o y se le denota ∅ . Obsérvese que el sı́mbolo ∅ no es la letra griega ϕ . A3. Axioma de Separación: “Si ϕ(x) es una fórmula de L y X es un conjunto, entonces existe un conjunto Y cuyos elementos son aquellos elementos de X que verifican ϕ(x)”. En L escribimos ∀X∃Y ∀z(z ∈ Y ↔ (z ∈ X ∧ ϕ(x)). Este axioma nos dice que para cualquier propiedad (expresada por ϕ(x)) y cualquier conjunto A existe el subconjunto de A formado por los elementos que verifican esa propiedad. Obviamente este conjunto es único. Definición 1.3. Si ϕ(x) es una fórmula de L y A un conjunto, el conjunto cuya existencia está garantizada por A3 se denotará con el sı́mbolo {x ∈ A : ϕ(x)} y se lee “el conjunto de los elementos de A tales que ϕ(x)”. Recordemos que la paradoja de Russell se produce al tratar de construir el conjunto de todos los conjuntos que verifican una propiedad cualquiera ϕ(x). Este axioma limita nuestra capacidad de formar conjuntos de objetos que verifican una cierta propiedad, sólo podemos referirnos a aquellos elementos que perteneciendo a un cierto conjunto dado, verifican la propiedad en cuestión. Veamos que esta restricción evita que se produzca la paradoja. Para ello tratemos de formar la clase de Russell. Dado un conjunto A , el axioma de extensionalidad nos permite formar el conjunto R = {x ∈ A : x 6∈ x}. 10 En este caso tenemos que si R ∈ R, entonces R∈A y R 6∈ R, lo cual es una contradicción, luego R ∈ / R, lo que, a diferencia de antes, no es contradictorio, sólo implica que R ∈ / A. Teorema 1.2. No existe el conjunto de todos los conjuntos. Demostración. Supongamos que si existe y llamemoslo V . Entonces en virtud de A3 podemos construir el conjunto de Russell R = {x ∈ V : x 6∈ x}, contradicción. Por último, cabe destacar que este no es propiamente un axioma sino más bien un esquema. En efecto, para cada fórmula ϕ(x) de L tenemos un axioma distinto, o sea, hay una cantidad ilimitada de instancias de este axioma. A4. Axioma de Pares: “Dados dos conjuntos X e Y , existe un conjunto cuyos únicos elementos son X e Y ”. Su expresión en L es ∀X∀Y ∃Z ∀x(x ∈ Z ↔ (x = X ∨ x = Y )). Resulta claro por A1 que este conjunto es único. Lo denotamos {X, Y }. y lo llamamos el par no–ordenado X, Y . El axioma A1 también garantiza la existencia del conjunto cuyo único elemento es el conjunto X {X, X} = {X}, el que a menudo recibe el nombre de singleton X . A5. Axioma de Uniones: “Si X es un conjunto, entonces existe un conjunto cuyos elementos son los elementos de los elementos de X ”. En L escribimos ∀X ∃Y ∀z(z ∈ Y ↔ ∃u(z ∈ u ∧ u ∈ X)). Nuevamente por S A1, este conjunto es único, se llama la unión de X y se le denota X. 11 Un caso particular que merece una notaciónSespecial es el siguiente. Si X e Y son conjuntos, entonces existe {X, Y }. (¿Por qué ?) Entonces [ x ∈ {X, Y } ↔ (x ∈ X ∨ x ∈ Y ). S {X, Y } se llama la unión de X e Y y se le denota X ∪ Y . Corresponde al conjunto de todos los conjuntos que pertenecen ya sea a X o a Y (o a ambos). Más generalmente, dados los conjuntos X1 , X2 , . . . , Xn de manera análoga al caso de la unión de dos conjuntos, definimos [ X1 ∪ X2 ∪ · · · ∪ Xn = {X1 , X2 , . . . , Xn }. de tal manera que x ∈ X1 ∪ X2 ∪ · · · ∪ Xn ↔ x ∈ X1 ∨ x ∈ X2 ∨ · · · ∨ x ∈ Xn . El lector seguramente está familiarizado con el concepto de unión de dos o de una cantidad finita de conjuntos, el axioma A5 generaliza este concepto a la unión de una familia arbitraria, incluso infinita, de conjuntos. Observemos que para definir la unión de dos conjuntos son necesarios el Axioma de Pares, el Axioma de Uniones y el Axioma de Extensionalidad (para garantizar unicidad). Usando la definición de unión de dos conjuntos, podemos también definir triples no–ordenados {x, y, z} = {x, y} ∪ {z} y, en general, iterando el proceso, podemos definir n–tuplas no–ordenadas {x1 , x2 , . . . , xn }. Otra generalización de un concepto familiar es el de intersección de T un conjunto no–vacı́o X , en sı́mbolos, X, definida por \ [ X = {x ∈ X : ∀y(y ∈ X → x ∈ y)}. T Observemos que en virtud de A5 y de A3, X es efectivamente un conjunto. ¿Por qué debemos exijir que X sea no–vacı́o? La intersección de dos conjuntos X e Y , X ∩ Y , se define por \ X ∩ Y = {X, Y } y en general X1 ∩ X2 ∩ · · · ∩ Xn = \ {X1 , . . . , Xn }. En rigor, para definir x ∩ y no necesitamos A5. ¿Cómo podrı́amos hacerlo? Diremos también que dos conjuntos X e Y son disjuntos si X ∩ Y = ∅. 12 A6. Axioma del Conjunto Potencia: “Si X es un conjunto, entonces existe el conjunto de todos los subconjuntos de X ”. Esto es ∀X ∃Y ∀z(z ∈ Y ↔ z ⊆ X)) (En rigor deberiamos excribir ∀X ∃Y ∀z(z ∈ Y ↔ ∀u(u ∈ z → u ∈ X)) sin embargo, como la lectura de la fórmula se complica bastante y ya sabemos cómo definir ⊆ usando sólo ∈ y los sı́mbolos lógicos, preferimos la escritura abreviada). Creemos que este axioma se explica por sı́ mismo. El (único) conjunto cuya existencia garantiza este axioma se designa por PX y se llama el conjunto potencia de X . A7 Axioma de Regularidad: “Todo conjunto no vacı́o contiene un elemento con el que no comparte ningún elemento.” En L escribimos ∀x(x 6= ∅ → ∃y(y ∈ x ∧ y ∩ x = ∅)). A pesar de que no resulta evidente a partir de su formulación, este axioma impide la existencia de un conjunto a tal que a ∈ a o incluso a ∈ b ∈ a , o a ∈ c ∈ b ∈ a , etc. Como veremos en su oportunidad, intuitivamente este axioma dice que ∈ , considerada como una relación entre conjuntos,verifica una condición análoga a la del orden de los números naturales, ésta es, que todo conjunto no vacı́o tiene un menor elemento. Teorema 1.3. i) ∀x x 6∈ x. ii) ∀x ∀y(x 6∈ y ∨ y 6∈ x). iii) En general, no existen a1 , a2 , . . . , an tales que a1 ∈ a2 ∈ · · · ∈ an ∈ a1 . iv) No existen conjuntos a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . . tales que · · · ∈ an ∈ · · · ∈ a2 ∈ a1 . Demostración. i) Supongamos que existe a tal que a ∈ a , entonces A = {a} contradice a A7. ii) Idem i) con A = {x, y} iii) Idem i) con A = {a1 , a2 , . . . , an }. iv) Supongamos que existe el conjunto cuyos elementos son precisamente a1 , a2 , a3 , . . . . Llamemoslo A . Entonces A contradice a 13 A7 ya que para cualquier y ∈ A, digamos y = am para algún m , am+1 ∈ am y am+1 ∈ X, o sea y ∩ X 6= ∅. El problema entonces se reduce a verificar que existe tal conjunto A. Sin embargo para poder hacerlo no bastan los axiomas que tenemos hasta ahora, necesitamos dos axiomas más. La demostración deberá posponerse hasta entonces. (Ver ejercicio 7.) Aunque la mayor parte de las matemáticas puede desarrollarse sin el axioma de regularidad es más cómodo contar con él. A8. Axioma del Conjunto Infinito: “Existe un conjunto que tiene infinitos elementos”. Para escribirlo en el lenguaje L debemos usar una expresión que no es muy transparente. ∃X(∅ ∈ X ∧ ∀y(y ∈ X → y ∪ {y} ∈ X). Es claro que el conjunto ası́ formado es intuitivamente infinito, basta verificar que contiene a los siguientes conjuntos ∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}, . . . por supuesto que habrı́a que demostrar además que todos estos conjuntos son distintos. Para introducir el último axioma de ZF, debemos estudiar antes un cierto tipo de fórmula de L . Una fórmula ϕ(x, y) de L con dos variables libres x e y se dirá función proposicional si para todo conjunto a existe un único conjunto b tal que ϕ(a, b) se verifica. Ejemplos de éstas son las fórmulas ϕ(x, y) siguientes: y y y y = = = = ∪x, Px, x ∪ {x}, x ∩ a, donde a es un conjunto fijo, etc. A9. Axioma de Reemplazo: “Si ϕ(x, y) es una función proposicional y A es un conjunto, entonces existe el conjunto de los elementos b que verifican ϕ(a, b) para algún a ∈ A”. Expresado en L , tenemos ∀X∃Y ∀y(y ∈ Y ↔ ∃x(x ∈ X ∧ ϕ(x, y))). 14 De hecho, este axioma parece más complicado de lo que es. La idea intuitiva es que si tenemos un conjunto A y una función f cuyo dominio es A , f [A] = {f (x) : x ∈ A}, es también un conjunto. El problema se suscita cuando vemos que en nuestra teorı́a la “función” x 7−→ Px no es, como veremos formalmente más adelante, un objeto de nuestra teorı́a, es decir, no es un conjunto, sino que corresponde a lo que llamamos una clase propia. Como ya hemos dicho antes, nuestro lenguaje nos permite referirnos a dichos objetos mediante la fórmula que los define, lo que para los efectos prácticos es casi lo mismo. Ası́, ϕ(x, y) no es una función dentro de nuestra teorı́a sino más bien una regla que nos permite asociar a cada elemento de un conjunto A un único elemento. Algunos matemáticos llaman a la fórmula que define una función, su gráfico. Siguiendo con esta nomenclatura, el problema aquı́ es que el dominio de esta función es la clase de todos los conjuntos que, como ya vimos, no es un conjunto. Sin embargo, cuando restringimos dicho “dominio” a un conjunto A , A9 garantiza que existe el recorrido de la función. Esta lista de axiomas conforman ZF. Junto con el Axioma de Elección, que estudiaremos en el capı́tulo 3, son suficientes para desarrollar casi toda la matemática. Inmediatamente se nos ocurren varias preguntas ¿son estos axiomas independientes entre sı́ ? Es decir, ¿no pueden obtenerse unos de otros? La respuesta es no, el axioma de pares puede obtenerse a partir de los axiomas de reemplazo y del conjunto potencia. Por su parte el axioma del conjunto vacı́o puede obtenerse a partir del axioma de especificación y del axioma del conjunto infinito (habrı́a que darle otra formulación a este último). El problema de la independencia del axioma de elección del resto de los axiomas es mucho más complicado. Fue resuelto positivamente por K. Gödel (1940). Más importante aún es el problema de la consistencia, es decir, ¿es posible deducir una contradicción a partir de estos axiomas? Este problema no se ha resuelto y no parece probable que vaya a resolverse debido a los resultados de Gödel en 1930. Por supuesto no se ha descubierto ninguna contradicción (de no ser ası́, no tendrı́a sentido el estudio de esta teorı́a) y se estima que sı́ son consistentes. El otro problema que surge naturalmente es el de la completud de este sistema de axiomas. Es decir, ¿son suficientes estos para deducir todos los teoremas posibles sobre conjuntos? La respuesta es también no. Mas aún, sabemos (nuevamente en virtud de los trabajos de K. 15 Gödel en 1930) que no puede completarse, es decir, aunque agreguemos una lista de infinitos axiomas a ZF, seguirá siendo incompleto, es decir, siempre existirá una fórmula ϕ tal que ni ϕ ni ¬ϕ puede demostrarse a partir de esa lista. Todos estos problemas requieren de conocimientos de Lógica Matemática y están fuera del alcance de esta obra. Nos parece interesante eso sı́ mencionarlos para que el lector investigue por su cuenta. Ejercicios. 1. Demuestre que el axioma de pares puede ser reemplazado por el axioma más débil: “Dados dos conjuntos X e Y , existe un conjunto los contiene a ambos”. 2. Demuestre que el axioma de uniones puede ser reemplazado por el axioma más débil: “Si X es un conjunto, entonces existe un conjunto que contiene a todos los elementos de los elementos de X ”. 3. Demuestre que el axioma del conjunto potencia puede ser reemplazado por el axioma más débil: “Si X es un conjunto, entonces existe un conjunto que contiene a todos los subconjuntos de X ”. 4. Demuestre que el Axioma de Pares puede obtenerse a partir de los axiomas de Reemplazo y del Conjunto Potencia. 5. Demuestre el Axioma del Conjunto Vacı́o a partir de de los otros axiomas y el nuevo axioma “Existe un conjunto infinito”. 6. Indique cómo definir x ∩ y sin usar el axioma A5. 7. Use el axioma de reemplazo y el de conjunto infinito para demostrar que el conjunto A definido en la demostración del teorema 1.3 existe. 16 CAPITULO 2 Teorı́a Elemental En este capı́tulo formalizaremos y profundizaremos las nociones de la teorı́a intuitiva de conjuntos que el lector probablemente ha estudiado en cursos de Algebra, Geometrı́a u otros. Por tratarse de material familiar, la mayorı́a de las demostraciones se dejarán como ejercicio. Debemos cuidarnos eso sı́ de no dar a las intuiciones el carácter de teoremas y demostrar cuidadosamente todas nuestras afirmaciones a partir de los axiomas. Una de las dificultades que enfrenta el principiante en Teorı́a Axiomática de Conjuntos es precisamente ese conocimiento intuitivo del tema. En nuestra teorı́a todo es un conjunto, ası́ los elementos de un conjunto son a su vez, conjuntos que contienen elementos que a su vez son conjuntos. Es decir, la familiar distinción entre elemento y conjunto no existe y si se dice por ejemplo “ a es elemento de b ” es sólo para enfatizar que a y b satisfacen a ∈ b, pero no para separar a a y b en dos categorı́as distintas. Ası́, un mismo conjunto puede jugar ambos papeles en distintas situaciones, por ejemplo: ∅ ∈ {∅} {∅} ∈ {∅, {∅}}. Lo mismo puede decirse de pares ordenados, relaciones, funciones etc, etc, todo ente del cual hablemos será un conjunto. 1. Operaciones En el capı́tulo anterior hemos definido las operaciones x ∪ y y x ∩ y. Definiremos ahora una tercera operación Definición 2.1. Dados dos conjuntos a y b definimos el complemento relativo de b con respecto a a , o su diferencia como sigue a − b = {x ∈ a : x ∈ / b}. Notese que en virtud de A3, a − b es un conjunto. Como lo demuestra la siguiente proposición, la noción de complemento de un conjunto a , es decir, el conjunto de aquellos conjuntos que no pertenecen a a , no puede definirse en ZF. 17 Teorema 2.1. No existe el “complemento”, de ningún conjunto. Demostración. Sea a un conjunto. Si existiera su complemento llamémoslo a0 , entonces en virtud de A5, a ∪ a0 serı́a un conjunto, pero a ∪ a0 = V , la clase de todos los conjuntos que, como vimos, no es un conjunto. El siguiente teorema nos da las propiedades de estas tres operaciones. Teorema 2.2. (Algebra de Conjuntos). Para todo conjunto a, b, c : i) Asociatividad a ∪ (b ∪ c) = (a ∪ b) ∪ c , a ∩ (b ∩ c) = (a ∩ b) ∩ c . ii) Conmutatividad a∪b=b∪a , a∩b=b∩a. iii) Idempotencia a∪a=a , a∩a=a. iv) Absorción a ∪ (a ∩ b) = a , a ∩ (a ∪ b) = a . v) Neutro a∪∅=a , a∩∅=∅. vi) Distributividad a ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ (a ∩ c) , a ∩ (b ∪ c) = (a ∩ b) ∪ (a ∩ c) . vii) Leyes de De Morgan a − (b ∪ c) = (a − b) ∩ (a − c) , a − (b ∩ c) = (a − b) ∪ (a − c) . viii) a − a = ∅ ix) a = (a ∩ b) ∪ (a − b) Demostración. Ejercicio La relación a ⊆ b se relaciona con las otras operaciones como sigue. Teorema 2.3. Para todo conjunto a, b, c, d. i) a ∩ b ⊆ a y a ∩ b ⊆ b. ii) Si c ⊆ a y c ⊆ b, entonces c ⊆ a ∩ b. iii) a ⊆ b si y sólo si a ∩ b = a. 18 iv) v) vi) vii) viii) Si a ⊆ c y b ⊆ d, entonces a ∩ b ⊆ c ∩ d. a ⊆ a ∪ b y b ⊆ a ∪ b. Si a ⊆ c y b ⊆ c, entonces a ∪ b ⊆ c. a ⊆ b si y sólo si a ∪ b = b. Si a ⊆ c y b ⊆ d, entonces a ∪ b ⊆ c ∪ d. Demostración. Ejercicio. Algunas propiedades del conjunto potencia de un conjunto son interesantes. Teorema 2.4. Para todo conjunto a, b: i) ∅ ∈ Pa y a ∈ Pa. ii) P∅ = {∅}. iii) Si a ⊆ b, entonces Pa ⊆ Pb. iv) Pa ∪ Pb ⊆ P(a ∪ b). v) Pa ∩ Pb = P(a ∩ b). vi) P(a − b) ⊆ (Pa − P(b)) ∪ {∅}. Demostración. A modo de ejemplo demostraremos vi). El resto queda como ejercicio. Sea x ∈ P(a − b), es decir, x ⊆ a − b. Si x = ∅, entonces x ∈ (Pa − Pb) ∪ {∅}. Si x 6= ∅, entonces para todo z ∈ x, z ∈ a y z ∈ / b, o sea, x ⊆ a y x 6⊆ b, luego x ∈ Pa − Pb. Ejercicios. 1. Determine si a pertenecea , es subconjunto, o ni pertenece ni es subconjunto de alguno de los siguientes conjuntos. (a) {{a}, a} , (b) a , (c) ∅ ∩ a , (d) {a} − {{a}} , (e) {a} ∪ a , (f) {a} ∪ {∅} . 2. Sea a un conjunto. Si para todo conjunto b se tiene a ∪ b = b, probar que a = ∅ . 19 3. Demostrar S que : (a) T{{a, b, c}, {a, d, e}, {a, f }} = {a, b, c, d, e, f } . (b) S{{a, b, c}, {a, T d, e}, {a, f }} = {a} . (c) T{a} = T a = {a} T , para todo conjunto a . (d) ( a) ∩ ( b) 6= (a ∩ b) . 4. Probar que: (a) Si a ∩ c = ∅ , entonces a ∩ (b ∪ c) = a ∩ b . (b) Si a ∩ b = ∅ , entonces a − b = a . (c) Si a ∩ b = ∅ y a ∪ b = c , entonces a = c − b. (d) a ∩ (b − c) = (a ∩ b) − c . (e) (a ∪ b) − c = (a − c) ∪ (b − c) . (f) Si a ∪ b = ∅ , entonces a = ∅ y b = ∅ . 5. Definamos 0 = ∅ , 1 = 0 ∪ {0} , 2 = 1 ∪ {1} , 3 = 2 ∪ {2} , 4 = 3 ∪ {3}. Entonces: (a) Probar que 0 , 1 , 2 , 3 y 4 son conjuntos. (b) Expresar 0 , 1 , 2 , 3 y 4 usando sólo los sı́mbolos “ { ” , “}”,“ ∅ ”y“,”. (c) Decidir si son ciertas o falsas las afirmaciones siguientes: (i) 1 ∈ 2 (ii) 1 ∩ 2 = 0 (iii) (0 S ∩ 2) ∈ 1 (iv) 1T ⊆2 (v) 1 ∪ 2 = 2 (vi) 3 ⊆ 3 (vii) 4 ∈ 4 (d) Expresar los siguientes conjuntos usando los conjuntos 0, 1, 2, 3 yS4. Simplifique. SS SSS ∅ , P∅ , ∅ , PP∅ , T S∅ , PPP∅. (e) Si a = {{2,T3}, ( a − 4) . S 4, {4}} , encontrar (f) Construir (P2 − 2) . (g) Si a = {{1, 2}, {2, S T 0}, S {1, S 3}} T,Tconstruir: ST TS a, a, a, a, a, a. 6. Dar contraejemplo de P(a ∪ b) = Pa ∪ Pb . 7. ProbarSque: (a) Pa S =a. (b) a ⊆ P a . (c) No es cierto que si a ∈ b, entonces Pa ∈ Pb . S (d) Si S a ∈ b, entonces PaS∈ PP a . (e) {Px : x ∈ a} ⊆ P a. (f) {∅, {∅}} ∈ PPPa , para todo conjunto a . (g) Si Pa = Pb, entonces a = b . 8. Se define a + b = (a − b) ∪ (b − a) , para a y b conjuntos. Probar que si a, b , c son conjuntos, entonces: (a) a + ∅ = a (b) a + a = ∅ 20 (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) 9. Sean a + (b + c) = (a + b) + c a ∩ (b + c) = (a ∩ b) + (a ∩ c) a−b⊆a+b a = b si y sólo si a + b = ∅ Si a + c = b + c , entonces a = b a ∪ c = b ∪ c si y sólo si a + b ⊆ c (a ∪ c) + (b ∪ c) = (a + b) − c a = {x ∈ Z : x es divisible por 4} b = {x ∈ Z : x es divisible por 9} c = {x ∈ Z : x es divisible por 10} (a) Describir a ∩ b ∩ c . (b) Sean n , m ∈ Z. Si d = {x ∈ Z : x es divisible por n} e = {x ∈ Z : x es divisible por m}, describa d ∩ e . ¿ Qué pasa si m y n son números primos? ¿ Qué pasa si m = −n ? 10. Probar que si a, b , c son conjuntos, entonces (a ∩ b) ∪ c = a ∩ (b ∪ c) si y sólo si c ⊆ a. 11. Para las siguientes oraciones, dar una demostración o un contraejemplo: (a) (a − b) − c = a − (b − c) . (b) Si a ∩ b = a ∩ c , entonces b = c . (c) Si a ∪ b = a ∪ c y a ∩ b = a ∩ c , entonces b = c . (d) a − b = (a ∪ b) − b = a − (a ∩ b) . (e) a ∩ b = a − (a − b) . (f) a − (b − c) = (a − b) ∪ (a ∩ c) . (g) a − b = b − a . (h) a ∩ (a − b) = (a − b) . (i) (a − b) ∪ b = a ∪ b . (j) (a ∩ b) − b = ∅ . (k) (a − b) ∩ b = ∅ . 12. Probar que la inclusión ⊆ de conjuntos cumple: (a) a ⊆ a ( reflexividad ); (b) Si a ⊆ b y b ⊆ a , entonces a = b ( antisimetrı́a ); (c) Si a ⊆ b y b ⊆ c , entonces a ⊆ c ( transitividad ). 13. Si a ⊆ b y b ⊆ c y c ⊆ a, probar que a = b = c. 21 14. Si b ⊆ a y c ⊆ a , probar que b ⊆ c si y sólo si (a − c) ⊆ (a − b). 15. Sean b, c, d subconjuntos del conjunto a. Abreviaremos “a−x” por “ x 0 ” . Probar o dar contraejemplo de: (a) b ⊆ c si y sólo si b ∩ c 0 = ∅ (b) b ⊆ c si y sólo si b 0 ∩ c = ∅ (c) b ⊆ c si y sólo si b 0 ∪ c = a (d) b ⊆ c si y sólo si b ∩ c 0 ⊆ b 0 (e) b ⊆ c si y sólo si b ∩ c 0 ⊆ c (f) b ⊆ c si y sólo si b ∩ c 0 ⊆ d ∩ d 0 16. Probar o dar contraejemplo de: (a) a ⊆ b ∩ c si y sólo si a ⊆ b y a ⊆ c (b) b ∪ c ⊆ a si y sólo si b ⊆ a y c ⊆ a (c) Si a ⊆ b ∪ c , entonces a ⊆ b ó a ⊆ c (d) Si b ∩ c ⊆ a , entonces b ⊆ a ó c ⊆ a 17. Probar: (a) Si S paraStodo c ∈ a existe d ∈ b tal que c ⊆ d, entonces Ta ⊆ b T (b) {c : c = {x}−b y x ∈ a} = ( {c : c = {x} y x ∈ a})−b (c) [ [ x= a x∈a (d) \ x= \ b) = [ (a ∩ c) x∈a (e) a∩( [ a c∈b (f) Si d 6= ∅, entonces \ \ a ∪ b = (a ∪ c). c∈b 18. Demuestre todas las afirmaciones que no se demostraron en el teorema 2.2. 19. Demuestre todas las afirmaciones que no se demostraron en el teorema 2.3. 20. Demuestre todas las afirmaciones que no se demostraron en el teorema 2.4. 22 2. Relaciones Vamos ahora a introducir algunos conceptos matemáticos familiares, como par ordenado, relación, función, etc. Debemos tener especial cuidado de que estos sean conjuntos en virtud de algún axioma de ZF. Por otra parte, también queremos que estos conjuntos se comporten como los objetos con que trabaja el matemático a quien no preocupan los problemas de fundamento. Definición 2.2. Dados dos conjuntos a y b llamamos par ordenado a, b al siguiente conjunto. ha, bi = {{a}, {a, b}}. a y b se llaman la primera y segunda coordenada de ha, bi , respectivamente. Notemos que ha, bi es efectivamente un conjunto. Para justificarlo, basta usar dos veces el axioma de pares. En el par no ordenado {a, b} no podemos distinguir ambos elementos ya que {a, b} = {b, a} (¿por qué?). En cambio, los elementos del par ordenado ha, bi si y sólo si son distinguibles, es decir, si y sólo si sabemos cuál es el primero y cuál es el segundo. Este es el contenido del próximo teorema. Teorema 2.5. Si ha, bi = hc, di , entonces a = c y b = d. Demostración. Supongamos que ha, bi = hc, di , ésto es, {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}. Si a = b, tenemos {{a}} = {{c}, {c, d}}, entonces {a} = {c} = {c, d}, o sea a = b = c = d. (¿Qué axiomas hemos usado?). Si a 6= b, {a} = {c} o {a} = {c, d}. En el primer caso, tenemos a = c y como {a, b} ∈ {{c}, {c, d}} y a 6= b, {a, b} = {c, d} luego a = c y b = d. En el segundo caso, a = c = d , luego {a, b} ∈ {{a}}, o sea b = a , contradicción, o sea, este segundo caso no se puede dar. Por lo tanto, si ha, bi = hc, di, entonces a = c y b = d. Podemos ahora definir triples ordenados y, en general, n-tuplas ordenadas. ha, b, ci = hha, bi, ci ha, b, c, di = hha, b, c, i, di ha1 , a2 , . . . , an i = hha1 , . . . , an−1 i, an i. 23 Lema 2.6. Si a ∈ A y b ∈ A, ha, bi ∈ PPA. Demostración. Ejercicio. Definición 2.3. Llamaremos producto cartesiano de los conjuntos a y b al conjunto a × b = {z ∈ PP(a ∪ b) : ∃x∃y(x ∈ a ∧ y ∈ b ∧ z = hx, yi)}. Notemos que por el axioma de especificación de clases y el axioma del conjunto potencia, a × b es un conjunto. Usaremos en general una notación informal aunque más intuitiva a × b = {hx, yi : x ∈ a ∧ x ∈ b}. Podemos también introducir productos cartesianos triples y cuadruples etc., de la manera obvia, por ejemplo a × b × c = {hx, y, zi : x ∈ a ∧ y ∈ b ∧ z ∈ c} Algunas propiedades de los productos cartesianos están resumidas en el siguiente teorema. Teorema 2.7. Para conjunto a, b , c , d , i) a × ∅ = ∅ × a = ∅. ii) Si a 6= ∅ y b 6= ∅, entonces a × b 6= ∅. iii) Si a ⊆ c y b ⊆ d, entonces a × b ⊆ c × d. iv) a × (b ∪ c) = a × b ∪ a × c. v) a × (b ∩ c) = a × b ∩ a × c. vi) a × (b − c) = a × b − a × c Demostración. Ejercicio. Definición 2.4. Un conjunto R es una relación si todos sus elementos son pares ordenados. Definimos también el dominio de R [[ Dom R = {x ∈ R : ∃yhx, yi ∈ R}, el recorrido de R Rec R = {y ∈ y el campo de R , [[ R : ∃xhx, yi ∈ R} Cam R = Dom R ∪ Rec R. Si Dom R ⊆ A y Rec R ⊆ B, decimos que R es una relación entre A y B o una relación de A en B . 24 Es claro que tanto Dom R como Rec R son conjuntos (¿qué axiomas usamos?). Lo que no es tan claro es que estos conjuntos correspondan a la idea informal que tenemos del dominio, es decir, el conjunto de las primeras coordenadas de los pares que están en la relación, y recorrido, el conjunto de las segundas coordenadas de los pares que están en la relación. Basta para ello comprobar que, efectivamente, ambas coordenadas de los pares que pertenecen a una relación R están SS en R. Esto es fácil ya que para ha, bi ∈ R; a, b ∈ {a, b} ∈ ha, bi ∈ R, lo que implica por definición de unión que {a, b} ∈ o sea, o sea, [ R , a, b ∈ {a, b} ∈ a, b ∈ [[ [ R, R. Definición 2.5. La composición de dos relaciones R y S es la relación S ◦R = {u ∈ Dom R×Rec S : u = hx, yi∧∃z(hx, zi ∈ R∧hz, yi ∈ S)} y la relación inversa de R R−1 = {u ∈ Rec R × Dom S : u = hx, yi ∧ hy, xi ∈ R}. En general escribimos más informalmente S ◦ R = {hx, yi : ∃z(hx, zi ∈ R ∧ hz, yi ∈ S)} y R−1 = {hy, xi : hx, yi ∈ R}. Es claro que S ◦ R y R−1 son conjuntos. Teorema 2.8. Si R , S y T son relaciones, entonces i) (T ◦ S) ◦ R = T ◦ (S ◦ R). ii) (S ∪ T ) ◦ R = (S ◦ R ∪ T ◦ R), y T ◦ (S ∪ R) = (T ◦ S ∪ T ◦ R). iii) (S ∩ T ) ◦ R ⊆ (S ◦ R ∩ S ◦ T ), y T ◦ (S ∩ R) ⊆ (T ◦ S ∩ T ◦ R). iv) Si R ⊆ S, entonces T ◦ R ⊆ T ◦ S y R ◦ T ⊆ S ◦ T. v) (R−1 )−1 = R. vi) (S ◦ R)−1 = R−1 ◦ S −1 . Demostración. iii) Sea hx, yi ∈ (S ∩ T ) ◦ R, entonces existe z tal que hx, zi ∈ S ∩ T y hz, yi ∈ R. 25 Esto implica que existe z tal que hx, zi ∈ S y hz, yi ∈ S, vale decir, hx, yi ∈ S ◦R, pero además, hx, zi ∈ T y hz, yi ∈ R, o sea, hx, yi ∈ T ◦ R, o sea, (S ∩ T ) ◦ R ⊆ (S ◦ R) ∩ (T ◦ R). Para ver que la inclusión anterior no es una identidad basta dar un ejemplo en el que la inclusión inversa es falsa. Considérese R = {ha, bi, ha, a, i}, S = {hb, ai}, T = {ha, ai}, donde a 6= b. Entonces S ∩ T = ∅, luego (S ∩ T ) ◦ R = ∅. Sin embargo, como ha, bi ∈ R y hb, ai ∈ S, ha, ai ∈ S ◦ R y como ha, ai ∈ R y ha, ai ∈ T, ha, ai ∈ T ◦ R, o sea, ha, ai ∈ S ◦ R ∩ T ◦ R, luego S ◦ R ∩ T ◦ R 6= ∅. vi) Sea hx, yi ∈ (S ◦ R)−1 . Entonces hy, xi ∈ S ◦ R, o sea, existe z tal que hy, zi ∈ R y hz, xi ∈ S, es decir, existe z tal que hx, zi ∈ S −1 y hz, yi ∈ R−1 , o sea, hx, yi ∈ R−1 ◦ S −1 , luego (S ◦ R)−1 ⊆ R−1 ◦ S −1 La inclusión inversa se demuestra en forma análoga y se deja como ejercicio. El próximo teorema nos da las principales propiedades del dominio y del recorrido de una relación. Teorema 2.9. Sean R , S relaciones. i) Dom (R ∪ S) = Dom R ∪ DomS. ii) Rec (R ∪ S) = Rec R ∪ Rec S. iii) Dom (R ∩ S) ⊆ Dom R ∩ DomS. iv) Rec (R ∩ S) ⊆ Rec R ∩ Rec S. v) DomR − DomS ⊆ Dom(R − S). vi) Rec R − Rec S ⊆ Rec(R − S). vii) Si R ⊆ S, entonces Dom R ⊆ Dom S y Rec R ⊆ Rec S. viii) Dom R−1 = Rec R y Rec R−1 = Dom R. ix) Dom S ◦ R ⊆ Dom R y Rec S ◦ R ⊆ Rec S. vii) Cam R = Cam R−1 . viii) Cam (S ◦ R) ⊆ Dom R ∪ Rec S. Demostración. Ejercicio. La siguiente operación será muy importante especialmente cuando tratemos con funciones. 26 Definición 2.6. Si R es una relación y a un conjunto la imagen de a por R es el conjunto. R∗ a = {y ∈ Rec R : ∃x(x ∈ a ∧ hx, yi ∈ R)}. Las principales propiedades de teorema. ∗ están resumidas en el siguiente Teorema 2.10. Sean R , S relaciones y a y b conjuntos. i) ii) iii) iv) v) vi) vii) viii) ix) ∅∗ a = ∅. R∗ ∅ = ∅. R∗ (a ∪ b) = R∗ a ∪ R∗ b. R∗ (a ∩ b) ⊆ R∗ a ∩ R∗ b. R∗ a − R∗ b ⊆ R∗ (a − b). Si a ⊆ b, entonces R∗ a ⊆ R∗ b. (S ◦ R)∗ a = S ∗ (R∗ a). Dom(S ◦ R) = R−1∗ (DomS) y Rec(S ◦ R) = S ∗ (Rec R). R∗ a ⊆ Rec R. Demostración. x ∈ R∗ (a ∩ b) ⇔ ⇒ ⇔ ⇔ iv) ∃y(y ∈ a ∩ b ∧ hy, xi ∈ R) ∃y(y ∈ a ∧ hy, xi ∈ R) ∧ ∃y(y ∈ b ∧ (y, x) ∈ R) x ∈ R∗ a ∧ x ∈ R∗ b x ∈ R∗ a ∩ R∗ b Es decir R∗ (a ∩ b) ⊆ R∗ a ∩ R∗ b. Para ver que la inclusión contraria no es válida basta el siguiente contraejemplo. Sean a = {∅} , viii) b = {{∅}} y R = {h∅, ∅i, h{∅}, ∅i}. Entonces a ∩ b = ∅, luego R∗ (a ∩ b) = ∅. Pero R∗ a = {∅} y R∗ b = {∅} luego R∗ a ∩ R∗ b = {∅} = 6 ∅. x ∈ Dom (S ◦ R) ⇔ ⇔ ⇒ ⇔ ∃y hx, yi ∈ S ◦ R ∃y ∃z(hx, zi ∈ R ∧ hz, yi ∈ S) ∃z(hz, xi ∈ R−1 ∧ z ∈ Dom S) x ∈ R−1∗ (Dom S). Esto demuestra que Dom(S◦R) ⊆ R−1∗ (Dom S), la otra inclusión y el resto del teorema se deja como ejercicio. 27 Ejercicios. 1. Probar que si definimos ha, bi0 = {{a, 0}, {b, 1}}, entonces se satisface: ha, bi0 = hc, di0 si y sólo si a = c y b = d . 2. Sean a, b, c conjuntos. Definimos el conjunto ha, b, ci0 = {{a}, {a, b}, {a, b, c}} . 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Probar que ha, b, ci0 = hd, e, f i0 no implica que a = d y b=e y c=f . ProbarTque: (a) T ha, T bi = {a} . S T (b) T S ha, bi = a = ha, bi . (c) T Sha, bi = S a ∩ bS. S ST (d) ( ha, bi) ( ha, bi − ha, bi) = b. Mostrar que no siempre el conjunto ha, bi tiene dos elementos distintos. Probar que no existe el conjunto de todos los pares ordenados. Probar que no es cierto que hha, bi, ci es igual a ha, hb, cii . (a) Probar que a × b = b × a si y sólo si a = ∅ o b = ∅ o a=b . (b) Probar que si a 6= ∅ y a × b ⊆ a × c , entonces b ⊆ c . (c) Probar que no es cierto : a × (b × c) = (a × b) × c . (d) Encontrar conjuntos a, b, c tales que a ∪ (b × c) = (a ∪ b) × (a ∪ c). (e) Probar que a × b ∩ c × d = a × d ∩ c × d . (f) Probar que a × a ∩ b × c = a ∩ b × a × c . (g) Probar que a × b − c × c = (a − c) × b ∪ a × (b − c) . (h) Probar que a × a − b × c = (a − b) × a ∪ a × (a − c) . (i) Probar que no es cierto que a × b = c × d ocurra si y sólo si a = b y c = d . Si a, b son conjuntos, probar que existe un conjunto c tal que y ∈ c si y sólo si existe un conjunto d que satisfaga que d ∈ a e y = {d} × b . S Concluir que a × b = c . (a) Encontrar todas las relaciones cuyo dominio está contenido en {a, b, c} y cuyo recorrido esta contenido en {s} . (b) Encontrar todas las relaciones en 2 y en 3 (ver definición de 2 y de 3 en ejercicios de la sección anterior). 28 (c) ¿Cuántas relaciones se pueden formar en un conjunto de n elementos? 10. Probar que existe una relación I que actúa como neutro para la composición de relaciones sobre un conjunto a , es decir, para cualquier relación R sobre a R ◦ I = I ◦ R = R. 11. Probar que si R, S, T son relaciones y a, b, c conjuntos, entonces: (a) S ∩ T y S ∪ T son relaciones . (b) (S ∩ T )−1 = S −1 ∩ T −1 . (c) (S ∪ T )−1 = S −1 ∪ T −1 . (d) (R − S)−1 = R−1 − S −1 . (e) (R ◦ S) − (R ◦ T ) ⊆ R ◦ (S − T ) . (f) R ⊆ S si y sólo si S −1 ⊆ R−1 . (g) (a × b)−1 = b × a . (h) Si a y b no son disjuntos, entonces (a×b)◦(a×b) ⊆ (a×b). (i) Si a y b son disjuntos, entonces (a × b) ◦ (a × b) = ∅ . (j) Si b no es vacı́o, entonces (b × c) ◦ (a × b) = a × c . (k) Si R ⊆ a × b y S ⊆ b × c , entonces S ◦ R ⊆ a × c . 12. Probar que ∅ es relación y que para todo conjunto a se tiene que a ◦ ∅ = ∅ ◦ a = ∅ . 13. Se define la suma de dos relaciones R y S por: R + S = (R ∪ S) ∩ (Cam R) × (Cam S) . (a) Si R = {h1, 2i, h1, 3i} y S = {h3, 3i}, calcular R + S y S+R . (b) Encontrar Cam (R + S). (c) Determinar cuáles de las siguientes leyes distributivas son válidas para la suma de relaciones: R + (S ∪ T ) R + (S ∩ T ) R ∪ (S + T ) R ∩ (S + T ) = = = = (R + S) ∪ (R + T ) (R + S) ∩ (R + T ) (R ∪ S) + (R ∪ T ) (R ∩ S) + (R ∩ T ) 14. Encontrar contraejemplos para las siguientes afirmaciones: (a) Dom (R ∩ S) = Dom R ∩ Dom S . (b) Rec (R ∩ S) = Rec R ∩ Rec S . (c) Dom R − Dom S = Dom (R − S) . (d) Rec R − Rec S = Rec (R − S) . (e) Cam (S ◦ R) = Dom R ∪ Rec S . (f) R∗ (a ∩ b) = R∗ a ∩ R∗ b . (g) R∗ a − R∗ b = R∗ (a − b) . 29 15. 16. 17. 18. 19. 20. (h) R∗ a = Rec R . (i) ( R−1 )∗ ( R∗ a ) = a . (j) R∗ ( ( R−1 )∗ b ) = b . Probar las siguientes afirmaciones: (a) ( R−1 )∗ (a ∪ b) ⊆ ( R−1 )∗ a ∪ ( R−1 )∗ b . (b) ( R−1 )∗ (a ∩ b) ⊆ ( R−1 )∗ a ∩ ( R−1 )∗ b . (c) ( R−1 )∗ a − ( R−1 )∗ b ⊆ ( R−1 )∗ (a − b) . (d) a ⊆ ( R−1 )∗ ( R∗ a ) . (e) b ⊆ R∗ ( ( R−1 )∗ b ) . (f) Si R ⊆ a × b , entonces R∗ a = Rec R y ( R−1 )∗ b = Dom R . (a) Probar que R∗ a = ∅ si y sólo si Dom R ∩ a = ∅ . (b) Probar que Dom R ∩ a ⊆ ( R−1 )∗ ( R∗ a ). (c) Probar que ( R∗ a ) ∩ b ⊆ R∗ (a ∩ ( R−1 )∗ b ) . (d) ¿ Bajo qué condiciones se tiene que Cam (a × b) = a ∪ b? (e) Probar que si x ∈ Dom R , entonces hx, xi ∈ R−1 ◦ R . Demuestre todas las afirmaciones que no se demostraron en el teorema 2.7. Demuestre todas las afirmaciones que no se demostraron en el teorema 2.8. Demuestre todas las afirmaciones que no se demostraron en el teorema 2.9. Demuestre todas las afirmaciones que no se demostraron en el teorema 2.10. 3. Funciones El concepto de función es uno de los más importantes en matemáticas. Intuitivamente, una función es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto un único elemento de otro conjunto (no necesariamente distinto). Definición 2.7. Una relación F es una función si y sólo si ∀x∀y∀z((hx, yi ∈ F ∧ hx, zi ∈ F ) → y = z) Obsérvese que una función es, en particular, una relación, ası́ es que los conceptos de dominio, recorrido, campo, composición de funciones, función inversa, imagen, etc. se aplican a ellas tal y como se aplican a otras relaciones. Habitualmente se usa la siguiente notación. Definición 2.8. Sea F una función, x ∈ Dom F , [ F (x) = {z ∈ Rec F : ∀y(hx, yi ∈ F → z ∈ y)}. 30 En otras palabras, F (x) es aquel único conjunto con el que x está relacionado según la función F . Observemos que el axioma de extensionalidad aplicado a funciones F y G nos dice que F =G si y sólo si Dom F = Dom G y ∀x F (x) = G(x). Observemos también que de acuerdo con esta notación, G ◦ F (x) = G(F (x)). Definición 2.9. i) Si F es una función, Dom F = a y Rec F ⊆ b decimos que F es una función de a en b y escribimos F : a −→ b x 7−→ F (x). ii) a b = {F ∈ P(a × b) : F : a −→ b}. iii) F es una función inyectiva o uno a uno si ∀x∀y(F (x) = F (y) → x = y), es decir, a conjuntos distintos F asigna conjuntos distintos. iv) Un función F de a en b se dice sobreyectiva si ∀y(y ∈ b → ∃x(x ∈ a ∧ y = F (x))), es decir, todo elemento de b es asignado a algún elemento del dominio de F . El siguiente teorema nos da algunas propiedades de las funciones. Teorema 2.11. Sean F , G , H funciones, a , b , c conjuntos. i) F es una función de Dom F en Rec F . ii) F ∈ ∅ a si y sólo si F = ∅. iii) Si F ∈ a ∅, entonces F = a = ∅. iv) Si b 6= ∅, entonces a b 6= ∅. v) Si F ∈ a b y b ⊆ c, entonces F ∈ a c. vi) Si F ∈ a b y G ∈ b c, entonces G ◦ F ∈ a c. vii) F ∈ a b es inyectiva si y sólo si para todo c y todo G ∈ c a, H ∈ c a, si F ◦ G = F ◦ H, entonces G = H. viii) F ∈ a b es sobreyectiva si y sólo si para todo c y todo G ∈ b c, H ∈ b c, si G ◦ F = H ◦ F , entonces G = H. Demostración. Demostraremos vii). El resto queda como ejercicio. 31 (⇒) Supongamos que F es inyectiva y sean c un conjunto cualesquiera y G, H ∈ c a. Supongamos que para todo x ∈ c F ◦ G(x) = F ◦ H(x) F (G(x)) = F (H(x)) , G(x) = H(x) . o bien y como F es inyectiva, Como además Dom G = Dom H = c, G = H. (⇐)) Supongamos que se verifica la afirmación de la derecha y que sin embargo F no es inyectiva. Entonces existen d, e ∈ a , d 6= e y F (d) = F (e). Consideremos el caso particular en que c = a y definamos G : a −→ a x 7−→ d tonces para todo x , H : a −→ a x 7−→ e. En- F ◦ G(x) = F (G(x)) = F (d) = F (e) = F (H(x)) = F ◦ H(x), es decir F ◦ G = F ◦ H, ya que tienen el mismo dominio. Pero entonces, por hipótesis, G = H, una contradicción. Luego F es inyectiva. Teorema 2.12. Sean F , G funciones. i) ii) iii) iv) x ∈ F −1∗ a si y sólo si F (x) ∈ a. Dom (F ◦ G) = G−1∗ (Dom F ) ⊆ Dom G. Rec (F ◦ G) = F ∗ (Rec G) ⊆ Rec F. F es inyectiva si y sólo si F −1 es función. Demostración. i) x ∈ F −1∗ a si y sólo si ∃y(y ∈ a ∧ hy, xi ∈ F −1 ) si y sólo si ∃y(y ∈ a ∧ hx, yi ∈ F ) si y sólo si ∃y(y ∈ a ∧ y = F (x)) si y sólo si F (x) ∈ a. ii) y iii), por teorema 2.10, viii). iv) Ejercicio. Teorema 2.13. Sean F , G funciones. i) F −1∗ (a ∩ b) = F −1∗ a ∩ F −1∗ b ii) F −1∗ (a − b) = F −1∗ a − F −1∗ b 32 Demostración. i) Por el teorema 2.10, iv), basta demostrar −1∗ −1∗ que F a ∩ F b ⊆ F −1∗ (a ∩ b). Sea x ∈ F −1∗ a ∩ F −1∗ b. Entonces por teorema 2.12, i), F (x) ∈ a y F (x) ∈ b, o sea, F (x) ∈ a∩b, luego x ∈ F −1∗ (a∩b). ii) Ejercicio. Definición 2.10. i) Si a es un conjunto, la función Ia : a −→ a x 7−→ x se llama la función identidad en a . ii) Si F es una función y a un conjunto. La restricción de F a a , F a, es la función F a : a ∩ Dom F −→ F ∗ a x 7−→ F a(x) = F (x). El siguiente teorema nos permite “pegar” funciones que coinciden en la parte común de sus dominios. Teorema 2.14. Sean F , G funciones tales que F a = G a, donde a = Dom F ∩ Dom G. Entonces F ∪ G es una función. Demostración. Recordemos que Dom (F ∪ G) = Dom F ∪ Dom G. Si x ∈ Dom F − Dom G o x ∈ Dom G − Dom F , entonces es claro que existe un único y tal que hx, yi ∈ F ∪ G. Como F y G son funciones, para x ∈ Dom F ∩ Dom G, existe un único y y un único z tal que hx, yi ∈ F y hx, zi ∈ G. Pero por hipótesis y = z , luego en este caso también hay un único y tal que hx, yi ∈ F ∪ G. Observemos en el teorema anterior que si Dom F ∩ Dom G = ∅, F ∪ G es siempre una función. El próximo teorema es muy útil para probar que ciertas funciones son inyectivas o sobreyectivas. Teorema 2.15. Sea F : a −→ b. i) Si existe una función G : b −→ a tal que F ◦ G = Ib , entonces F es sobreyectiva. ii) F es inyectiva si y sólo si a = ∅ o a = 6 ∅ y existe una función G : b −→ a tal que G ◦ F = Ia . 33 iii) F es biyectiva si y sólo si existe una función G : b −→ a tal que F ◦ G = Ib y G ◦ F = Ia . En este caso G = F −1 . Demostración. i) Sea G : b −→ a tal que F ◦ G = Ib . Entonces para todo y ∈ b, G(y) ∈ a y F (G(y)) = F ◦ G(y) = Ib (y) = y, es decir F es sobreyectiva. ii) (⇒) Supongamos F es inyectiva y a 6= ∅. Sea c ∈ a y definamos G = F −1 ∪ {hx, ci : x ∈ b − F ∗ a} (Obsérvese que G es efectivamente un conjunto. ¿Cómo verificamos ésto?) Es fácil ver que G es una función tal que Dom G = b. Para todo x ∈ a, G ◦ F (x) = G(F (x)) = F −1 (F (x)) = x, ya que F (x) ∈ F ∗ a. Y como Dom G ◦ F = Dom F = a, G ◦ F = Ia . (⇐) Si a = ∅, entonces F = ∅ y por lo tanto F es inyectiva. Si a 6= ∅ y existe G : b −→ a tal que G ◦ F = Ia . Supongamos que F (x) = F (y). Entonces G(F (x)) = G(F (y)), o sea, x = G ◦ F (x) = G ◦ F (y) = y, luego F es inyectiva. iii) Ejercicio Notemos que en el teorema anterior parte i) no tenemos una equivalencia como en ii) y iii). Para demostrar el recı́proco de i), es decir, si F es sobreyectiva, entonces existe G : b → a tal que F ◦ G = Ib , necesitamos el último axioma de nuestra teorı́a, el Axioma de Elección. Debido a la importancia de éste, le dedicaremos un capı́tulo completo, el cuarto. Sólo entonces podremos analizar este problema. Ejercicios. 34 1. Considerando los conjuntos N, Z, Q y R, dé ejemplos de funciones F tales que: (a) F : N −→ N , F no es inyectiva ni sobreyectiva. (b) F : N −→ N , F es inyectiva pero no sobreyectiva. (c) F : N −→ Z , F no es inyectiva ni sobreyectiva. (d) F : Z −→ N , F no es inyectiva ni sobreyectiva. (e) F : Q −→ R , F no es inyectiva ni sobreyectiva. (f) F : R −→ Q , F es sobreyectiva pero no inyectiva. (g) F : R −→ Z , F sobreyectiva tal que F (x) 6= x para todo x en R . 2. Probar que no toda inyección de un conjunto en sı́ mismo es sobreyectiva. 3. Dar ejemplos de funciones tales que: (a) F : 1 −→ 1 . (b) F : 0 −→ 1 . (c) F : 2 × 3 −→ 6 , F biyección. 4. Supongamos que existe una función de a en b que no es inyectiva. Probar que a 6= ∅ y b 6= ∅ . 5. Supongamos que existe una función de a en b que no es sobreyectiva. Probar que b 6= ∅ . 6. Sean F : a −→ b y G : a −→ b funciones. Probar que si F ⊆ G , entonces F = G . 7. Sean F : a −→ b y G : c −→ d funciones. Se define el producto entre F y G por (F ∗ G)(x, y) = hF (x), G(y)i 8. 9. 10. 11. para hx, yi ∈ a × c. Probar que: (a) F ∗ G es una función de a × c en b × d . (b) Si F y G son sobreyectivas, entonces F ∗G es sobreyectiva. (c) Si F y G son inyectivas, entonces F ∗ G es inyectiva . (d) Rec (F ∗ G) = (Rec F ) × (Rec G) . Sean F : a −→ b y G : b −→ a funciones. Supongamos que y = F (x) si y sólo si x = G(y). Probar que F −1 es función y que F −1 = G . Sean G : b −→ c y H : b −→ c funciones. Supongamos que G ◦ F = H ◦ F para toda función F : a −→ b, donde a 6= ∅. Probar que G = H . Sean G : a −→ b y H : a −→ b funciones. Sea c un conjunto con más de un elemento y supongamos que F ◦ G = F ◦ H para toda función F : b −→ c . Probar que G = H . Sean F : a −→ c y G : a −→ b funciones. Probar que existe una función H : b −→ c tal que F = H ◦ G si y sólo 35 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. si para todos x, y ∈ a se tiene que G(x) = G(y) implica F (x) = F (y). Probar que H es única. Sean F : c −→ a y G : b −→ a funciones, con G inyectiva. Probar que existe una función H : c −→ b tal que F = G ◦ H si y sólo si Rec F ⊆ Rec G. Probar que H es única . Probar que si F y G son funciones, entonces F ⊆ G si y sólo si Dom F ⊆ Dom G y para todo x ∈ Dom F se tiene F (x) = G(x) . Probar que no existe el conjunto de todas las funciones. Sea F : a −→ b función. Se define G por G(y) = F −1∗ {y} . Probar que G es función y que si F es sobreyectiva, entonces G es inyectiva . Probar también que el recı́proco es falso. Determinar cuales de las siguientes relaciones son funciones: (a) R es relación de R en R tal que ha, bi ∈ R si y sólo si a2 + b2 = 1. (b) R es relación de R en R tal que ha, bi ∈ R si y sólo si a 0 ≤ a < 1 y b = 1−a . (c) R es relación entre (R)2 y R tal que hha, bi, ci ∈ R si y . sólo si c = a+b 2 Si F y G son funciones inyectivas, entonces G ◦ F es inyectiva y (G ◦ F )−1 = F −1 ◦ G−1 . Construı́r los conjuntos 3 2, 0 2, 0 0 . Probar que a b = ∅ si y sólo si b = ∅ y a 6= ∅ . Probar que : (a) a b =b a implica que a = b . (b) a ⊆ b implica que c a ⊆c b . (c) Si existe una biyección entre a y b , entonces existe una biyección entre c a y c b . Sea F : a −→ a una función. Sea m un entero positivo. Se define recursivamente F m por F 1 = F; 22. 23. 24. 25. F m+1 = F ◦ F m . Supongamos que existe un entero positivo n tal que F n = Ia . Probar que F es biyección. Sean a, b, c conjuntos tales que b ∩ c = ∅ . Probar que existe una biyección entre b∪c a y b a ×c a. ¿Existe una biyección entre c (b a) y b×c a? Probar que existe una biyección entre c (a × b) y c a ×c b . Sean F : a −→ b y G : a −→ b funciones. (a) Sea c el conjunto de los x ∈ a tales que F (x) = G(x) . Probar que F ◦ Ia c = G ◦ Ia c . 36 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. (b) Sea d ⊆ a tal que F ◦ Ia d = G ◦ Ia d . Probar que d⊆c. Sea a un conjunto y sea F = {hx, hx, xii : x ∈ a} . Probar que F es función biyectiva entre a y Ia . Sea F : b ∪ c −→ a función. Probar que F = F b ∪ F c. Sean F : a −→ b y G : c −→ d funciones biyectivas, donde a ∩ c = ∅ y b ∩ d = ∅ . Sea H = F ∪ G. Probar que H es biyección entre a ∪ c y b ∪ d . Sea F : a −→ b función. Probar que existe una función biyectiva entre F y a . Sea F : a −→ b función. Sean c ⊆ a y d ⊆ b . (a) Si F es inyectiva, probar que c = F −1∗ (F ∗ c) . (b) Si F es sobre, probar que d = F ∗ ( (F ∗ )−1 d) . Sea F : a −→ b función. Probar que: (a) Si c ⊆ a y d ⊆ a y F inyectiva, entonces F ∗ c = F ∗ d implica que c = d . (b) Si c ⊆ b y d ⊆ b y F sobreyectiva, entonces F −1∗ c = F −1∗ d implica que c = d . Sea F : a −→ b función y sean c ⊆ a y d ⊆ a . (a) Probar que F ∗ ( F −1∗ (F ∗ c) ) = F ∗ c . (b) Probar que F ∗ c − F ∗ d = F ∗ (c − d) si y sólo si F es inyectiva. T Probar que F a = F (a × Rec F ) . Sea F : Pa −→ Pa función tal que si b ⊆ c y c ⊆ a , entonces F (b) ⊆ F (c). Sean \ d= {b ∈ Pa : F (b) ⊆ b} e= [ {b ∈ Pa : b ⊆ F (b)}. (a) Probar que F (d) = d y F (e) = e . (b) Probar que si F (b) = b , entonces d ⊆ b ⊆ e . 35. Dar un ejemplo de una función F y un conjunto a tales que F ∩ (a × a) 6= F a . 36. Si F y G son funciones inyectivas, probar o dar contraejemplo de: (a) F ∪ G es inyectiva. (b) F − G es inyectiva. (c) F S ◦ G es inyectiva. (d) F F −1 es inyectiva. (e) a ∩ b = ∅ implica que F a ∪ G b es inyectiva. (f) a ∩ b = ∅ implica que F ∗ a ∩ G∗ b = ∅ . 37 37. Determinar hai : i ∈ Ii, [ ai , i∈I \ ai , i∈I Y ai si: i∈I (a) I = 3 y a0 = 1, a1 = 2, a2 = 3 . (b) I = 3 y ai = i , para todo i en 3 . 38. Probar que existe una biyección entre a0 × a1 × a2 y Y ai i∈3 39. ¿Existe una biyección entre Y Y a ( bi ) y ( a bi ) ? i∈I i∈I Q [i,i+1) 40. Probar que existe una biyección entre R y R R. i∈I 41. Sea hbi : i ∈ Ii una familia de subconjuntos de a . Probar que Y bi ⊆ I a. i∈I 42. Sean hai : i ∈ Ii y hbi : i ∈ Ii dos familias de conjuntos con el mismo conjunto de ı́ndices I. (a) Probar que ai ⊆ bi , para todo i en I , si y sólo si Y Y ai ⊆ bi . i∈I i∈I (b) Probar que Y Y Y ( ai ) ∩ ( bi ) = (ai ∩ bi ). i∈I i∈I i∈I 43. Sean hai : i ∈ Ii y hbj : j ∈ Ji dos familias de conjuntos. Probar que: (a) Y Y Y ( ai ) ∩ ( bj ) = (ai ∩ bj ) . i∈I j∈J hi,ji∈I×J (b) ( Y ai ) ∪ ( Y bj ) = [ ai ) ∩ ( [ bj ) = i∈I j∈J Y (ai ∪ bj ) . [ (ai ∩ bj ) . hi,ji∈I×J (c) ( i∈I j∈J hi,ji∈I×J 38 (d) ( \ i∈I ai ) ∪ ( \ bj ) = j∈J \ hi,ji∈I×J (ai ∪ bj ) . 44. Sean hai : i ∈ Ii una familia de conjuntos y R una relación. Probar que [ [ R∗ ( ai ) = R∗ ai . i∈I i∈I 45. Sea hai : i ∈ Ii una familia de conjuntos tal que I = Probar que: (a) [ [ [ ai ). ( ai = i∈I (b) \ j∈J ai = i∈I S J . i∈j \ \ ( ai ). j∈J i∈j 46. Sean hai : i ∈ Ii una familia de conjuntos y F una función con dominio adecuado. Probar que: (a) [ [ F∗ ( ai ) = F ∗ ai . i∈I (b) F −1∗ ( i∈I [ ai ) = \ ai ) ⊆ \ ai ) = i∈I (c) F∗ ( i∈I [ F −1∗ ai . \ F ∗ ai \ F −1∗ ai . i∈I i∈I y que si F es inyectiva se tiene la igualdad. (d) F −1∗ ( i∈I 47. Demuestre todas teorema 2.11. 48. Demuestre todas teorema 2.12. 49. Demuestre todas teorema 2.13. 50. Demuestre todas teorema 2.15. i∈I las afirmaciones que no se demostraron en el las afirmaciones que no se demostraron en el las afirmaciones que no se demostraron en el las afirmaciones que no se demostraron en el 39 4. Relaciones de Equivalencia En matemática es frecuente que nos interesen sólo ciertas propiedades de los elementos de un conjunto y que queramos por consiguiente identificar a todos los que comparten dichas propiedades. Por ejemplo, al estudiar las rectas del plano podemos identificar a todas las rectas que son paralelas entre sı́. Si definimos la relación R como todos los pares de elementos que queremos identificar, R es lo que llamamos una relación de equivalencia. Esta sección estudiará este concepto. Definición 2.11. Sea R una relación binaria. i) R es reflexiva sobre a si ∀x(x ∈ a → hx, xi ∈ R), R es reflexiva si R es reflexiva sobre Dom R. ii) R es simétrica si ∀x∀y(hx, yi ∈ R → hy, xi ∈ R). iii) R es transitiva si ∀x∀y∀z((hx, yi ∈ R ∧ hy, zi ∈ R) → hx, zi ∈ R). iv) Una relación R es una relación de equivalencia si y sólo si R es reflexiva, simétrica y transitiva. Es fácil demostrar que la reflexividad (sobre su propio campo) es consecuencia de la simetrı́a y transitividad de la relación (ver ejercicios). Sin embargo, la incluimos en la definición porque tradicionalmente se le define ası́ y para hacer hincapié en que una relación de equivalencia verifica esta propiedad. Teorema 2.16. Sea R una relación. i) R es transitiva si y sólo si R ◦ R ⊆ R. ii) R es simétrica si y sólo si R−1 ⊆ R. iii) R es reflexiva sobre a si y sólo si Ia ⊆ R. iv) R es de equivalencia si y sólo si R−1 ◦ R = R. Demostración. i) Supongamos que hx, yi ∈ R y hy, zi ∈ R. Entonces hx, zi ∈ R ◦ R = R, luego R es transitiva. ii) y iii), ejercicio. iv) (⇒) Supongamos que R es de equivalencia. Sea hx, yi ∈ R−1 ◦ R, es decir, existe z tal que hx, zi ∈ R−1 y hz, yi ∈ R. Entonces hz, xi ∈ R y por lo tanto, como R es simétrica, hx, zi ∈ R y también hz, yi ∈ R, y como R es transitiva, hx, yi ∈ R. Luego R−1 ◦ R ⊆ R. 40 Sea hx, yi ∈ R. Por simetrı́a hy, xi ∈ R, luego hx, yi ∈ R−1 y por reflexividad, hy, yi ∈ R. Luego hx, yi ∈ R−1 ◦ R, o sea, R ⊆ R−1 ◦ R y por lo tanto, R = R−1 ◦ R. (⇐) Supongamos que R = R−1 ◦ R. Sea hx, yi ∈ R. Como R = R−1 ◦ R, existe z tal que hx, zi ∈ R−1 y hz, yi ∈ R. Entonces hy, zi ∈ R y hz, xi ∈ R−1 , luego hy, xi ∈ R−1 ◦ R = R. Esto prueba que R es simétrica. Por otra parte, como R−1 = (R−1 ◦ R)−1 = R−1 ◦ (R−1 )−1 = R−1 ◦ R = R, tenemos que R ◦ R = R−1 ◦ R = R, luego, por i), R es transitiva. Como se mencionó antes la reflexividad es consecuencia de la simetrı́a y transitividad. Ver ejercicios. Definición 2.12. Sea R una relación de equivalencia. i) Sea x ∈ Dom R. La clase de equivalencia de x se define por [x]R = {y ∈ Cam R : hx, yi ∈ R}. La clase de equivalencia de x es el conjunto formado por todos los conjuntos relacionados con x . ii) P [R ] = {x ∈ P(Cam R) : ∃y(y ∈ Cam R ∧ x = [y]R )}. o más informalmente P [R ] = {[y]R : hx, yi ∈ R}. P [R ] es el conjunto de todas las clases de equivalencia de R . Teorema 2.17. Sea R una relación de equivalencia y sean x, y ∈ Cam R. i) Dom R = Rec R = Cam R. ii) x ∈ [x]R . iii) hx, yi ∈ R si y sólo si [x]R = [y]R . iv) Si [x]R ∩ [y]R 6= ∅, entonces [x]R = [y]R . v) Si x ∈ [y]R , entonces [x]R = [y]R . vi) Si x, y ∈ [z]R , entonces [x]R = [y]R . Demostración. Demostraremos sólo [iii)], el resto del teorema se deja como ejercicio. Supongamos que hx, yi ∈ R. 41 Sea z ∈ [x]R . Entonces hx, zi ∈ R, luego hz, xi ∈ R por simetrı́a y hz, yi ∈ R por transitividad, o sea, z ∈ [y]R . Luego [x]R ⊆ [y]R . Analogamente, [y]R ⊆ [x]R , luego [x]R = [y]R . Supongamos que [x]R = [y]R . Como hy, yi ∈ R, y ∈ [y]R , luego y ∈ [x]R , es decir, hx, yi ∈ R. El teorema anterior nos da las principales propiedades de las clases de equivalencia. ii) nos dice que todo elemento del campo está en alguna clase y que toda clase es no vacı́a. iv) nos dice que dos clases distintas son disjuntas. Estas tres propiedades definen otro importante concepto matemático, el de partición de un conjunto. Definición 2.13. Un conjunto P es una partición de a si S i) a = P. ii) ∀x(x ∈ P → x 6= ∅). iii) ∀x∀y((x ∈ P ∧ y ∈ P ∧ x 6= y) → x ∩ y = ∅). Veremos en el próximo teorema la estrecha relación entre los conceptos de relación de equivalencia y de partición, a saber, toda relación de equivalencia sobre un conjunto da origen a una única partición de ese conjunto. A la inversa, toda partición da origen a una única relación de equivalencia. Teorema 2.18. i) Sea R una relación de equivalencia con campo a . Entonces P [R ] es una partición de a . Llamaremos a P [R ] la partición asociada a R . ii) Sea P una partición de un conjunto a . Entonces la relación R[P ] = {hx, yi ∈ a × a : ∃z(z ∈ P ∧ {x, y} ⊆ z}) es una relación de equivalencia en a . Llamaremos a R[P ] la relación de equivalencia asociada a la partición P . iii) Dada una partición Q de a , P [R[Q ]] = Q. Dada una relación de equivalencia S , R[P [S ]] = S. Demostración. i) Como lo hicimos notar, el teorema 2.17 ii) y iii) demuestra nuestra afirmación. ii) Sea P una partición de a . S Para x ∈ a, como a = P , existe z ∈ P tal que x ∈ z, o sea, {x} ⊆ z, luego hx, xi ∈ R[P ] y R[P ] es reflexiva. Si para algún z , {x, y} ⊆ z ∈ P , entonces {y, x} ⊆ z ∈ P , luego R[P ] es simétrica. Si existen u1 , u2 ∈ P tales que {x, y} ⊆ u1 y {y, z} ⊆ u2 , entonces u1 ∩ u2 6= ∅ luego u1 = u2 , por lo tanto, {x, z} ⊆ u1 , o sea, R[P ] es transitiva. 42 iii) Ejercicio. iv) Ejercicio. Ejercicios. 1. Construı́r todas las clases de equivalencia que pueden existir sobre el conjunto 3 . 2. Demuestre que una relación simétrica y transitiva es también reflexiva (sobre su propio campo). 3. ¿Existe una relación de equivalencia sobre el conjunto ∅ ? 4. Sea a un conjunto. Demostrar que la igualdad de conjuntos es relación de equivalencia sobre Pa . 5. Sea A un conjunto no vacı́o de relaciones de equivalencia sobre un conjunto a . T (a) Probar que ASes relación de equivalencia sobre a . (b) ¿Lo es siempre A? S (c) Encuentre condiciones para que A sea relación de equivalencia. 6. Sea R una relación sobre a . Probar que si R es transitiva y refleja, entonces R ◦ R = R . ¿ Es cierto el recı́proco ? 7. Sean R y S relaciones de equivalencia sobrea a y b respectivamente. Definimos la relación T sobre a × b por: hhc, di, he, f ii ∈ T si y sólo si c ∈ a , e ∈ a , d ∈ b y f ∈ b , y hc, ei ∈ R y hd, f i ∈ S . Probar que T es de equivalencia. 8. Sean R y S relaciones de equivalencia sobre a . Probar que: (a) R ◦ S es relación de equivalencia sobre a si y sólo si R ◦ S = S ◦ R. (b) R ∪ S es relación de equivalencia sobre a si y sólo si R ◦ S ⊆ R ∪ S y S ◦ R ⊆ R ∪ S. (c) Si T y H son relaciones arbitrarias sobre a , entonces si R ⊆ T y R ⊆ H, entonces R ⊆ T ◦ H. 9. Sea F : a −→ b una función y sea R una relación de equivalencia sobre b. Sea c el conjunto {hd, ei ∈ a × a : hF (d), F (e)i ∈ R}. Probar que c es relación de equivalencia sobre a . 10. Sean para cada entero n , los conjuntos bn = {m ∈ Z : ∃ q(m = n + 5q)}. Probar que P = {bn : n ∈ Z} es una partición de Z. Determinar una fórmula para R[P ] . 43 11. Probar que las siguientes relaciones sobre R × R son de equivalencia; determinar la partición que determina cada una de ellas, y describir geométricamente los elementos de cada partición: (a) R = {hha, bi, hc, dii : a2 + b2 = c2 + d2 } . (b) S = {hha, bi, hc, dii : b − a = c − d} . (c) T = {hha, bi, hc, dii : a + b = c + d} . 12. Sea a un conjunto. Probar que Ia y a × a son relaciones de equivalencia sobre a, y describir las particiones correspondientes. 13. Sean P = {ai : i ∈ I} y Q = {bj : j ∈ J} particiones de a y b respectivamente. Probar que {ai × bj : hi, ji ∈ I × J} es una partición de a × b. 14. Sea F : a −→ b una función, y sean {ai : i ∈ I} y {bj : j ∈ J} particiones de a y b respectivamente. Probar que: (a) Si F es sobre, entonces {F −1∗ bj : j ∈ J} es una partición de a . (b) Si F es inyectiva, entonces F ∗ ai : i ∈ I} es una partición de Rec F . 15. Sean R y S relaciones de equivalencia sobre a . Probar que: (a) [x]R∩S = [x]R ∩ [x]S , para todo x en a . (b) Si R ∪ S es de equivalencia, entonces [x]R∪S = [x]R ∪ [x]S , para todo x en a . 16. Si F : a −→ b es una función, definamos la relación R = {hc, di : F (c) = F (d)}. (a) Probar que R es de equivalencia sobre a . R se dice la relación de equivalencia determinada por F y se denota por R [F ]. (b) Probar que R [F ] = F −1 ◦ F . (c) Si F : a −→ b y G : b −→ c son funciones, determinar R [G ◦ F ] usando R [G] y F . 17. Demuestre todas las afirmaciones que no se demostraron en el teorema 2.16. 18. Demuestre todas las afirmaciones que no se demostraron en el teorema 2.17. 19. Demuestre todas las afirmaciones que no se demostraron en el teorema 2.18. 5. Relaciones de Orden Definición 2.14. Sea R una relación binaria. i) R es antisimétrica si ∀x∀y((xRy ∧ yRx) → x = y). 44 ii) R es conexa si ∀x∀y(xRy ∨ yRx ∨ x = y). iii) R es un orden parcial si R es reflexiva, antisimétrica y transitiva. iv) R es un orden total si R es un orden parcial conexo. v) Si Dom R = a decimos que R es un orden (parcial, total) sobre a . Decimos también que a está parcial o totalmente ordenado por R . vi) Si R es un orden, en lugar de escribir hx, yi ∈ R, escribiremos x R y. Habitualmente los órdenes se designan con los sı́mbolos ≤ o 4. Ejemplo. i) Los números reales con su orden usual constituyen un conjunto totalmente ordenado. ii) Los números naturales se pueden ordenar parcialmente de la siguiente manera, dados dos números naturales n y m definimos. n4m si y sólo si n|m. A menudo representamos órdenes mediante diagramas que consisten de nodos unidos por lı́neas. Los nodos representan conjuntos pertenecientes campo de la relación R y las lı́neas al orden mismo, ası́, si ha, bi ∈ R, habrá dos nodos unidos por una lı́nea (ver figura). Mientras más arriba aparezca un conjunto en el diagrama, más “grande” es. Los diagramas de la figura representan a los ordenes y R = {ha, ai, hb, bi, ha, bi} S = {ha, ai, hb, bi, hc, ci, hd, di, he, ei, ha, bi, ha, ci, ha, di, ha, ei, hb, di, hc, di, hc, ei}, 45 Definición 2.15. i) Una relación R es asimétrica sobre a si y sólo si ∀x∀y((x ∈ a ∧ y ∈ a ∧ xRy) → ¬ yRx). ii) Una relación es un orden estricto si es transitiva y asimétrica sobre su campo. Teorema 2.19. i) Si ≤ es un orden (parcial), entonces la relación definida por x<y si y sólo si x ≤ y ∧ x 6= y es un orden estricto cuyo campo es el mismo que el de ≤ . ii) Si R es un orden estricto, entonces la relación definida por xSy si y sólo si xRy ∨ x = y, es un orden parcial cuyo campo es el mismo que el de R . Demostración. i) Ejercicio. ii) S es obviamente reflexiva. Supongamos que xSy, ySx pero x 6= y. Entonces xRy y yRx, una contradicción ya que R es asimétrica. Por lo tanto si xSy y ySx, x = y, o sea, S es antisimétrica. S es transitiva ya que R lo es. El más tı́pico ejemplo de orden parcial es la relación de inclusión ⊆ definida sobre el conjunto potencia de algún conjunto. Para ver hasta qué punto este es el ejemplo tı́pico de orden necesitamos primero una definición. Definición 2.16. Sean R y S dos relaciones. Una función F : Cam R −→ Cam S es un isomorfismo entre R y S si y sólo si F es biyectiva y para todo a, b ∈ Cam R aRb si y sólo si F (a) S F (b). Si tal F existe, decimos que R y S son relaciones isomorfas. Si R y S son órdenes decimos también que F es un isomorfismo de orden. Teorema 2.20. Sea ≤ una relación de orden. Entonces existe un conjunto a tal que ≤ es isomorfo con S = {hx, yi ∈ a × a : x ⊆ y}. 46 Demostración. Sea b = Cam ≤. Para cualquier conjunto x definimos yx = {z ∈ b : z ≤ x}. Notemos que ésta es una fórmula funcional. Luego por el axioma de reemplazo y dado que b es un conjunto a = {{z ∈ b : z ≤ x} : x ∈ b}, también es un conjunto. Consideremos la relación S = {hx, yi ∈ a × a : x ⊆ y}. Entonces campo S = a. Definimos F : b −→ a x 7−→ {z ∈ b : z ≤ x}. Observemos que por reflexividad de ≤ , para todo x ∈ b, x ∈ F (x). Supongamos que x 6= y. Entonces por antisimetrı́a de ≤ , o bien x 6≤ y o bien y 6≤ x, es decir, x ∈ / F (y) ó y ∈ / F (x), lo que unido a la observación anterior demuestra que F (x) 6= F (y), es decir, F es 1–1. Por otra parte, por definición, F es sobreyectiva, luego F es una biyección. Si x, y ∈ b y x ≤ y, entonces por transitividad de ≤ , F (x) ⊆ F (y), es decir, F (x) S F (y). Si F (x) ⊆ F (y), entonces como x ∈ F (x), x ∈ F (y), o sea x ≤ y, por lo tanto xRy si y sólo si F (x) S F (y), o lo que es lo mismo, F es un isomorfismo. A menudo nos encontramos con relaciones reflexivas y transitivas pero no antisimétricas (tal tipo de relación se llama un preorden). Podemos obtener una relación de equivalencia a partir de un preorden y ordenar las clases de una manera coherente con el preorden de la manera indicada en el siguiente teorema. Esta construcción es bastante común en matemática. Teorema 2.21. Sea 4 una relación transitiva y reflexiva con campo a . Sea S = {hx, yi ∈ a × a : x 4 y ∧ y 4 x}. Entonces S es una relación de equivalencia. Más aún, si definimos [x]S ≤ [y]S si y sólo si x 4 y, entonces ≤ es un orden parcial sobre P [S ]. 47 Demostración. S es obviamente reflexiva y simétrica. Supongamos que xSy y ySz. Entonces x 4 y, y 4 x, y 4 z y z 4 y, y como 4 es transitiva, x 4 z y z 4 x, o sea, xSz, lo que demuestra que S es transitiva. Para demostrar que ≤ es un orden parcial, sean [x]S ≤ [y]S y [y]S ≤ [z]S . Entonces x 4 y y y 4 z y como 4 es transitiva x 4 z, luego [x]S ≤ [z]S . Supongamos [x]S ≤ [y]S y [y]S ≤ [x]S . Entonces x 4 y y y 4 x, es decir xSy. Luego [x]S = [y]S , o sea, ≤ es antisimétrica. Por último es fácil ver que ≤ es reflexiva ya que 4 lo es. Definición 2.17. Sea ≤ un orden parcial con campo A. Supongamos que X ⊆ A y a ∈ A. i) a es una cota superior de X si ∀x(x ∈ X → x ≤ a). ii) a es una cota inferior de X si ∀x(x ∈ X → a ≤ x). iii) a es el supremo de X si a es la menor cota superior de X . iv) a es el ı́nfimo de X si a es la mayor cota inferior. v) a es un elemento minimal de X si a ∈ X ∧∀x(x ∈ X → x a). vi) a es un elemento maximal de X si a ∈ X ∧∀x(x ∈ X → a x). Los conceptos de cota superior, cota inferior, supremo e ı́nfimo son probablemente familiares para el lector. Nótese que si un conjunto tiene supremo o ı́nfimo, éstos son únicos. También es interesante recalcar que los elementos minimales no tienen por qué ser el menor elemento del conjunto de hecho, este ni siquiera tiene que existir. En el ejemplo de la figura a y b son minimales El siguiente teorema de punto fijo tiene muchas aplicaciones. El argumento usado en su demostración se usa frecuentemente. Teorema 2.22. Sea ≤ un orden parcial con campo A y supon gamos que todo subconjunto de A tiene supremo. Sea F : A −→ A tal que x ≤ y → F (x) ≤ F (y). Entonces para algún x ∈ A, F (x) = x. 48 Demostración. Observemos primero que A tiene que tener un menor elemento. En efecto, es obvio que todos los elementos de A son cota superior de ∅, pues si a ∈ A no lo fuera, existirı́a x ∈ ∅ tal que x 6≤ a lo que es imposible. Como ∅ ⊆ A, por hipótesis tiene un supremo s , este es la menor de las cotas superiores, luego tiene que ser el menor elemento de A . Sea B = {x ∈ A : x ≤ F (x)}. Entonces B ⊆ A y B tiene supremo. Llamemos a al supremo de B . Obsérvese que B 6= ∅, ya que s ≤ F s, donde s es el menor elemento de A . Entonces para todo x ∈ B, x ≤ a y x ≤ F (x) ≤ F (a), luego F (a) es cota superior de B y tenemos a ≤ F (a). Por otra parte si a ≤ F (a), F (a) ≤ F F (a) y por lo tanto F (a) ∈ B, luego F (a) ≤ a, es decir, a = F (a). El concepto definido a continuación es el origen de toda la teorı́a de los números ordinales que estudiaremos en el próximo capı́tulo. Como veremos es una abstracción de la conocida propiedad del orden de los números naturales: todo subconjunto no vacı́o de números naturales tiene un menor elemento. Definición 2.18. Sea R una relación. i) R es bien fundada si para todo ∅ 6= A ⊆ Cam R, existe a ∈ A tal que A ∩ {x ∈ Cam R : xRa} = ∅. ii) ≤ es un buen orden si < es un orden total bien fundado. Nótese la similitud de la definición de relación bien fundada con la formulación del axioma de regularidad. De hecho el axioma de regularidad dice que la relación {hx, yi ∈ a : x ∈ y} para cualquier conjunto a es bien fundada. Teorema 2.23. Para un orden parcial ≤ las siguientes condiciones son equivalentes. i) ≤ es un buen orden. ii) ≤ es un orden total y todo subconjunto no vacı́o del campo de ≤ tiene un menor elemento. iii) Todo subconjunto no vacı́o del campo de ≤ tiene un menor elemento. Demostración.i)⇒ii) Sea A ⊆ Cam ≤. Escojemos a ∈ A tal que A ∩ {x ∈ Cam ≤ : x < a} = ∅, es decir para todo x ∈ A, x 6≤ a y como el orden es total, a ≤ x, es decir a es el menor elemento de A . 49 ii)⇒iii) Obvio. iii)⇒i) Dados dos elementos x, y ∈ Cam ≤, consideramos {x, y}, éste tiene un menor elemento luego x ≤ y o y ≤ x, o sea, ≤ es orden total. Sea A ⊆ Cam ≤ y sea a su menor elemento. Entonces es claro que A ∩ {x ∈ Cam ≤ : x < a} = ∅, es decir ≤ es bien fundado. Ejercicios. 1. Sean a , b , c y d cuatro conjuntos distintos. ¿Cuántos ordenes parciales existen sobre {a, b}? ¿Sobre {a, b, c}? ¿Sobre {a, b, c, d}? Haga los diagramas correspondientes. 2. Diga cuáles de los órdenes del ejercicio anterior son isomorfos. 3. Sea a un conjunto con n elementos. Probar que un orden total sobre a contiene 12 n(n − 1) pares ordenados. 4. Probar que una relación R sobre a es antisimétrica si y sólo si R ∩ R−1 ⊆ Ia . 5. Considere las siguientes relaciones sobre el conjunto 8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}: (a) x R1 y si y sólo si y − x ∈ 8. (b) x R2 y si y sólo si y − x ∈ 8 y y − x 6= 0. (c) x R3 y si y sólo si y − x = 0. (d) x R4 y si y sólo si y − x es un entero par. (e) x R6 y si y sólo si y − x = 1. Determinar cuáles de estas relaciones son antisimétricas, asimétricas, transitivas, conexas, reflejas, de equivalencia o de orden. 6. Si R y S son relaciones y a un conjunto, probar que: (a) Si R es asimétrica, entonces R es antisimétrica. (b) Ia es simétrica y antisimétrica. (c) Si R , es simétrica y antisimétrica, entonces existe un conjunto b tal que R = Ib . (d) Si R es asimétrica, entonces R−1 , R ∩ S y R − S son asimétricas. 50 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. (e) Si R es antisimétrica, entonces R−1 , R ∩ S y R − S son antisimétricas. (f) Si R es transitiva, entonces R−1 es transitiva. (g) Si R es conexa, entonces R−1 es conexa. (h) Si R es asimétrica, entonces R ∪ ICam R es antisimétrica. (i) Si R es antisimétrica, entonces R − ICam R es asimétrica. (j) Si R es transitiva y antisimétrica, entonces R − ICam R es transitiva. Dar contraejemplos para las siguientes afirmaciones: (a) Si R y S son asimétricas, entonces S ◦ R y R ∪ S son asimétricas. (b) Si R y S son antisimétricas, entonces R ∪ S es antisimétrica. (c) Si R y S son transitivas, entonces R ∪ S y R − S y S ◦ R son transitivas. (d) Si R y S son conexas, entonces R ∪ S y R − S y S ◦ R son conexas. ¿ Es ∅ un orden ? Si a es un conjunto no vacı́o de órdenes sobre un conjunto b , T probar que a es un orden sobre b. Si R es un orden sobre a y b ⊆ a, probar que R ∩ (b × b) es un orden sobre b y que si R es total, entonces R ∩ (b × b) también lo es. Probar que R−1 es un orden sobre a si y sólo si R es un orden sobre a . Si R es un orden sobre a, probar que R −Ia es un orden estricto S sobre a y si R es un orden estricto sobre a , probar que R Ia es un orden (parcial) sobre a . ¿ Es ∅ un orden estricto ? Sean P1 y P2 particiones de a . Se dice que P1 es más fina que P2 si y sólo si u ∈ P1 implica u ⊆ v para algún v en P2 . Probar que la relación “es más fina que” es un orden sobre el conjunto de todas las particiones de a . Dar un ejemplo de un S conjunto a y un conjunto S de órdenes sobre a , tales que S no es un orden sobre a . Determinar cuáles de las siguientes relaciones sobre Z son órdenes y si lo es, de qué tipo de orden se trata: (a) R = {hx, yi : x + y < 3}. (b) R = {hx, yi : x divide a y}. (c) R = {hx, yi : x + y es par }. (d) R = {hx, yi : x + y es par y x es un múltiplo de y }. (e) R = {hx, yi : y = x + 1}. 51 17. Sea R una relación sobre a . Probar que R es de orden si y sólo si R ∩ R−1 = Ia y R ◦ R = R. 18. Sea < un orden estricto sobre a y sea b ∈ / a . Definimos <1 sobre c = a ∪ {b} por: x <1 y si y sólo si (x, y ∈ a ∧ x ≤ y) ∨ (y = b ∧ x ∈ a). 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. Mostrar que <1 es un orden estricto sobre c y que la intersección entre el orden <1 y a × a es el orden <. Dar un contraejemplo de: Si R − ICam R es un orden parcial estricto, entonces R es un orden parcial. Probar que si Ro es el conjunto de todos los órdenes sobre a y Re es el conjunto de todos los órdenes estrictos sobre a, entonces existe una biyección entre Ro y Re . Sean x = {a, b, c, d, e} y S = {ha, ci, hb, ci, hd, ei}. Probar que S es un orden estricto para x , no es total y que x tiene tres elementos minimales y dos maximales. Sea a un conjunto ordenado tal que todo subconjunto no vacı́o de a con alguna cota superior en a tiene supremo en a . Probar que todo subconjunto no vacı́o de a con alguna cota inferior en a tiene ı́nfimo en a . Sea h≤i : i ∈ Ii una familia de órdenes sobre a totalmente S ordenada por inclusión. Probar que i∈I ≤i es un orden sobre a. Sea R un orden sobre a y sea b un subconjunto de a. Probar que c es el menor elemento de b si y sólo si R∗ ( R ∩ ({c} × b)) = B. Consideremos ≤i orden sobre ai , con i ∈ {1, 2, 3}. Probar que: (a) Si F : a1 −→ a2 es isomorfismo, F −1 : a2 −→ a1 también es isomorfismo. (b) Si F : a1 −→ a2 y G : a2 −→ a3 son isomorfismos, entonces G ◦ F : a1 −→ a3 es isomorfismo. Sea ≤ un orden sobre a . Definamos Sb = {x ∈ a : a ≤ a}, para cada b en a . Probar que si hSb : b ∈ ai está ordenado por inclusión, entonces hSb : b ∈ ai es isomorfo a a . Sean ≤1 y ≤2 órdenes sobre a1 y a2 respectivamente. Sea F : a1 −→ a2 un isomorfismo entre ≤1 y ≤2 . Probar que: (a) a es un elemento maximal (resp. minimal) en a1 si y sólo si F (a) es maximal (resp. minimal) en a2 . (b) Si b ⊆ a1 , entonces c es una cota superior (resp. inferior) de b en a si y sólo si F (c) es una cota superior (resp. inferior) de F ∗ b en a2 . 52 (c) Si b ⊆ a1 , entonces c es el supremo (resp. ı́nfimo) de b en a si y sólo si F (c) es el supremo (resp. ı́nfimo) de F ∗ b en a2 . 28. Sea a un conjunto ordenado. Probar que: (a) Si todo subconjunto de a tiene ı́nfimo, entonces a tiene un mayor elemento. (b) Todo subconjunto de a tiene supremo si y sólo si todo subconjunto de a tiene ı́nfimo. 29. Sea 4 relación sobre N × N dada por: hm, ni 4 hp, qi si y sólo si m < n ó m = p y n ≤ q, donde ≤ es el orden usual sobre N. (a) Probar que 4 es un orden sobre N × N. (b) Encontrar todos los elementos minimales de N×N . ¿Tiene N × N un menor elemento ? (c) Sea a = {1, 2} × {1, 2}. Encontrar todas las cotas de a . ¿ Tiene a supremo o ı́nfimo ? Encontrar todos los elementos minimales y maximales de a . 30. Sea 4 relación sobre N × N dada por: hm, ni 4 hp, qi si y sólo si m ≤ p y n ≤ q, donde ≤ es el orden usual sobre N. (a) Probar que 4 es un orden sobre N × N. (b) Si a es un subconjunto no vacı́o de N × N que tiene alguna cota superior, entonces a tiene supremo. (c) Si a es un subconjunto no vacı́o de N × N, entonces a tiene ı́nfimo. (d) Dar un ejemplo de un subconjunto no vacı́o de N × N que tenga cotas superiores e inferiores pero que no tenga menor elemento ni mayor elemento. 31. Sea R un orden sobre a . Definimos una relación S sobre Pa por: uS v si y sólo si u = v o bien existe w ∈ v tal que u = {c : c ∈ v ∧ c R w}. Probar que: (a) S es un orden sobre Pa . S (b) Si S d ⊆ b tal que S es un orden sobre d, entonces d∈b y d es cota superior de d . 32. Sea R un orden sobre a y sea b ⊆ a. Probar que: 53 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. (a) c es el menor elemento de b respecto de R si y sólo si es el mayor elemento de b respecto de R−1 . (b) Análogo para elementos minimales y maximales, para cotas superiores e inferiores y para supremos e ı́nfimos. Dar ejemplos de órdenes sobre conjuntos finitos a y subconjuntos b de a tales que: (a) b tiene un mayor elemento pero no menor elemento. (b) b tiene un menor elemento pero no tiene mayor elemento. Sea Pb , con b 6= ∅ ordenado por inclusión y sea c ∈ Pb. Probar Sque: (a) T c es el supremo de c. (b) c es el ı́nfimo de c, si c 6= ∅. (c) El ı́nfimo de ∅ es Pb. Probar que todo subconjunto de un conjunto bien ordenado está bien ordenado. Sea ≤ un orden para a . Definimos el segmento inicial de b : Sb = {x ∈ a : x < b}. Dado b ∈ a , a bien ordenado, probar que todo segmento inicial de Sb es a su vez segmento inicial de a , y que todo segmento incial de a contiene a Sb o es segmento inicial de Sb . Sea a un conjunto totalmente ordenado. Probar que el orden de a es un buen orden si y sólo si todo segmento inicial de a está un bien ordenado por (la restricción de) el orden de a . Si ≤ es buen orden sobre a y F es un isomorfismo entre a y un subconjunto de a , entonces x ≤ F (x) para todo x ∈ a. Probar que ningún conjunto con un buen orden es isomorfo a un segmento inicial de sı́ mismo. Probar que entre dos buenos órdenes hay, a lo más, un isomorfismo. Sean ≤1 y ≤2 buenos órdenes sobre a1 y a2 respectivamente. Probar que si a1 con ≤1 es isomorfo a un subconjunto de a2 con ≤2 , y a2 con ≤2 es isomorfo a un subconjunto de a1 con ≤1 , entonces ≤1 y ≤2 son isomorfos sobre a1 y a2 . Sea ≤A un orden total sobre A y ≤B un orden total sobre B . Definimos ha1 , b1 i 4 ha2 , b2 i si y sólo si a1 ≤A a2 ∨ a1 = a2 ∧ b1 ≤B b2 . Demuestre que la relación ası́ definida es un orden total sobre A × B. Este orden se llama orden lexicográfico. Demuestre que si ≤A y ≤B son buenos ordenes, el orden lexicográfico también es un buen orden. 54 43. Demuestre que la relación definida sobre los números naturales en 5 es efectivamente un orden. 44. Demuestre todas las afirmaciones que no se demostraron en el teorema 2.16. 45. Demuestre todas las afirmaciones que no se demostraron en el teorema 2.17. 46. Demuestre que la relación ≤ definida en el teorema 2.21 es efectivamente un conjunto. 47. Demuestre que el supremo y el ı́nfimo, con respecto a cualquier orden, de un conjunto A , si existen, son únicos. 55 56 CAPITULO 3 Ordinales En este capı́tulo estudiaremos un tema un poco más avanzado de teorı́a de conjuntos. El lector está seguramente familiarizado con los números naturales. Los números naturales nos sirven para contar y para ordenar los conjuntos finitos. Es esta segunda propiedad la que trataremos de generalizar para conjuntos infinitos, empezaremos por construir dentro de nuestra teorı́a el conjunto de los números naturales. 1. Números Naturales Formalizaremos ahora el concepto intuitivo de número natural dentro de la teorı́a ZF. Definición 3.1. El sucesor de un conjunto x es el conjunto Sx = x ∪ {x}. Obsérvese que si x es un conjunto, Sx también lo es (¿Por qué?). Definición 3.2. 0 1 2 3 = = = = .. . ∅ S0 = {∅} S1 = {∅, {∅}} S2 = {∅, {∅}, {∅, {∅}}} Cada uno de estos conjuntos es un número natural. La definición anterior introduce todos los números naturales en forma bastante sencilla. Debemos destacar algunas caracterı́sticas de ésta. En primer lugar 0 es un número natural. En segundo lugar, si n es un número natural, su sucesor también lo es. En tercer lugar todo número natural corresponde a una de esas dos posibilidades, o es 0 o es el sucesor de algún otro número. Una segunda observación en el plano intuitivo (y que formalizaremos en el capı́tulo 5), es que el número natural n contiene n elementos 57 i.e. 0 no tiene elementos, 1 tienen un elemento, 2 tiene dos elementos, etc. Más aún, nótese que 1 = {0} 2 = {0, 1} 3 = {0, 1, 2} .. . En general, Sn = {0, 1, . . . , n} , todo número natural esta formado por los naturales que lo preceden, salvo el 0 uqe no contiene ningún elemento. Hasta ahora hemos construido cada uno de los números naturales. ¿Existe un conjunto que contenga a todos y solamente a los números naturales? La respuesta es sı́ pero dista de ser obvia, de hecho se necesita el Axioma de Infinito para poder construir el conjunto de los números naturales. Definición 3.3. Decimos que X es inductivo si i) 0 ∈ X. ii) Si x ∈ X, entonces Sx ∈ X. El axioma de infinito nos dice precisamente que existe al menos un conjunto inductivo. Llamemoslo I. Definición 3.4. El conjunto ω de los números naturales se define como sigue: ω = ∩{x ∈ PI : x es inductivo} Obsérvese ω es inductivo y que si X es inductivo, ω ⊆ X, es decir, ω es el más pequeño de los conjuntos inductivos. Por la manera en que definimos los números naturales, es claro que todo conjunto inductivo, en particular ω , contiene a todos los números naturales. Por otra parte, ningún conjunto que no sea un número natural pertenece a ω . Esto quedará más claro si demostramos primero el siguiente teorema, del que derivan las propiedades que más nos interesan de los números naturales, conocido como Principio de Inducción. En adelante nos referiremos a el simplemente como P.I. Teorema 3.1. (Principio de Inducción) Sea ϕ(x) una fórmula con una variable libre x . Supongamos que i) ϕ(0) se verifica. 58 ii) Para todo n ∈ ω si ϕ(n) se verifica, entonces ϕ(Sn) también se verifica. Entonces ϕ(n) se verifica para todo n ∈ ω. El P.I. puede ser enunciado en términos de la relación de pertenencia. En este caso, resulta más evidente que P.I. simplemente afirma que ω es el menor conjunto inductivo. Las dos maneras de enunciar el principio son equivalentes, (ver ejercicios.) Teorema 3.2. (Principio de Inducción) Sea B un conjunto tal que i) 0 ∈ B. ii) Para todo n , si n ∈ B , entonces Sn ∈ B. Entonces ω ⊆ B. Ejemplo Si x ∈ ω, entonces x = 0 o bien x es el sucesor de un número natural. Demostración. Sea B = {x ∈ ω : x = 0 ó x es el sucesor de un número natural}. Es claro que B es inductivo, luego ω ⊆ B ⊆ ω. Resulta interesante notar que 0 ∈ 1 ∈ 2 ∈ 3 ∈ · · · y también o ⊆ 1 ⊆ 2 ⊆ 3 · · · Esta observación nos da la intuición de que la relación de pertenencia entre naturales define una noción de orden apropiada. En estricto rigor, la verdad es todo lo contrario, los números naturales se definen ası́ para que la relación de pertenencia sea un orden con buenas propiedades. Definición 3.5. La relación ≤ se define en ω por: m≤n ssi m ∈ n o bien m = n. Diremos que m es menor o igual que n . También usaremos el sı́mbolo < para denotar m<n Obsérvese que m < n ssi m ≤ n y m 6= n. ssi m ∈ n. Debemos demostrar que esta relación es un orden lineal, más aún, que es un buen orden. Lema 3.3. Para todo n, m ∈ ω, 59 i) ii) iii) iv) 0 ≤ n. Si x ∈ n, entonces x ∈ ω. m < Sn ssi m ≤ n. Si n < m, entonces Sn ≤ m. Demostración. i) Por inducción con ϕ(x) = 0 ≤ x. – ϕ(0) se verifica. – Supongamos ahora que ϕ(n) se verifica. Es decir, 0 ≤ n, o sea 0 ∈ n ó 0 = n. En cualquier caso 0 ∈ n ∪ {n} = Sn, o sea ϕ(Sn) se verifica. Luego, en virtud de P.I., para todo n ∈ ω, 0 ≤ n. ii) Por inducción sobre n . Sea ϕ(x) = ∀y(y < x → y ∈ ω) – ϕ(0) se verifica trivialmente. – Supongamos ϕ(m) y sea y ∈ Sm. Entonces y ∈ m ó y = m. Si y ∈ m, por hipótesis de inducción, y ∈ ω. Si y = m, entonces y ∈ ω. En cualquier caso y ∈ ω. Luego por P.I., todo n ∈ ω verifica ϕ(x) iii) m < Sn ssi m ∈ Sn = n ∪ {n} sii m ≤ n. iv) Por inducción sobre m . Consideramos ϕ(x) = ∀y(y < x → Sy ≤ x). – ϕ(0) se verifica trivialmente. – Supongamos ϕ(m), o sea, ∀y(y < m → Sy ≤ m). Supongamos pues que y < Sm y recordemos que esto ocurre si y sólo si y ∈ m o y = m. Si y ∈ m, por hipótesis de inducción, Sy ≤ m y luego Sy ≤ Sm. Si y = m, entonces Sy = Sm. En cualquier caso, si y < Sm, entonces Sy ≤ Sm, es decir, ϕ(Sm) se verifica. Luego por P.I., para todo m ∈ ω, ϕ(m) se verifica. Teorema 3.4. ≤ es un orden total sobre ω . Demostración. i) ≤ es obviamente reflexiva. ii) ≤ es antisimétrica. En efecto, supongamos que m ≤ n y n ≤ m, pero m 6= n. Entonces m ∈ n y n ∈ m lo que contradice el teorema 1.3. iii) ≤ es transitiva. Supongamos que k ≤ m y m ≤ n. Demostraremos que k ≤ n por inducción sobre n . Para ello sea ϕ(x) = ∀y∀z((z ≤ y ∧ y ≤ x) → z ≤ x). 60 – ϕ(0) se verifica ya que si k ≤ m y m ≤ 0, m = 0 luego k ≤ 0. – Si ϕ(n) se verifica, consideremos k ≤ m y m ≤ Sn. Entonces m < Sn ó m = Sn. Si m < Sn, entonces por el lema 3.3 iii), m ≤ n y por hipótesis de inducción k ≤ n. Es decir k ∈ n ó k = n. En cualquier caso k ∈ Sn, o sea, k ≤ Sn. Si m = Sn, como k ∈ m ó k = m tenemos k ∈ Sn ó k = Sn, es decir, k ≤ Sn. Esto completa la inducción, luego todo número natural n verifica ϕ(n), o sea, ≤ es transitiva. iv) ≤es un orden total. Sean m y n dos números naturales. Demostraremos por inducción sobre n que m < n ó m = n ó n < m. Para ello sea ϕ(x) = ∀y(y < x ∨ y = x ∨ x < y) – ϕ(0) se verifica por el lema 3.3 i). – Supongamos ϕ(n) se verifica. Entonces para todo m, m < n ó m = n ó n < m. Si m < n ó m = n, entonces m ∈ Sn, luego m < Sn. Si n < m, entonces Sn ≤ m por el lema 3.3 iv). Luego por P.I., ≤ es un orden total sobre ω . Para verificar que ≤ es un buen orden, resulta más fácil demostrar primero otra versión del Principio de Inducción. Para distinguirlo de P.I., lo llamaremos Principio de Inducción Completa. Debemos recordar siempre que este nuevo principio es equivalente con P.I. Demostraremos a continuación una de las implicaciones, la otra se deja como ejercicio. Teorema 3.5. (Principio de Inducción Completa). Sea ϕ(x) una fórmula con una variable libre x . Supongamos que (∗ ) si ϕ(k) se verifica para todo k < n, entonces ϕ(n) también se verifica. Entonces para todo n ∈ ω, se verifica ϕ(n). Demostración. Demostramos primero por inducción que para todo n ∈ ω se cumple ψ(n) donde ψ(x) = ∀y(y < x → ϕ(y)) i) ψ(0) se cumple trivialmente ya que no existe m < 0. 61 ii) Supongamos ψ(n) se verifica. Entonces por (∗), ϕ(n) también, pero por el lema 3.3 iii), para todo n y < Sn → (y < n ∨ y = n), luego ∀y(y < Sn → ϕ(y)), es decir ψ(Sn) es cierta. Esto completa nuestra inducción, o sea para todo n ∈ ω, se verifica, en particular, ψ(Sn), y como n < Sn, esto garantiza que se verifica ϕ(n). El principio de Inducción Completa también puede plantearse en terminos de la relación de pertenencia. Teorema 3.6. Sea B ⊆ ω tal que (∗ ) si {k ∈ ω : k < n} ⊆ B, entonces n ∈ B. Entonces B = ω. Teorema 3.7. ≤ es un buen orden. Demostración. Hemos visto que ≤ es un orden total. Debemos demostrar que ≤ es bien fundado, es decir, que si X ⊆ ω, X 6= ∅, entonces X tiene un menor elemento. Para ello suponemos que X no tiene menor elemento y aplicamos el Principio de Inducción Completa 3.6 a X ∈ ω − X) Dado n , si para todo k < n , k ∈ ω − X , entonces n ∈ ω − X porque, si no, n es el menor elemento de X, luego ω −X = ω, es decir, X = ∅ , lo que es una contradicción. Por lo tanto todo subconjunto no vacı́o de ω tiene un menor elemento y ≤ es un buen orden. Volveremos sobre estas propiedades en un contexto más general en las próximas secciones. Teorema 3.8. Si un subconjunto de ω tiene una cota superior, entonces tiene un máximo elemento. Demostración. Sea X ⊆ ω, X 6= ∅, definimos Y = {x ∈ ω : x es cota superior de X}. Por hipótesis Y 6= ∅. Sea m el menor elemento de Y . Por definición m es el supremo de X. Debemos demostrar que m ∈ X. Si m = 0, entonces para todo x ∈ X, x ≤ 0, o sea X = ∅ o bien X = {0}. El primer caso no ocurre por hipótesis y en el segundo, 0 es el máximo de X. Si m 6= 0, entonces m = Sn para algún n. Pero entonces si m∈ / X, n es cota superior de X y n < m, una contradicción. Luego m ∈ X y es el mayor elemento de X. 62 Ejercicios. 1. Demuestre la equivalencia de las dos maneras de enunciar el Principio de Inducción dadas en el texto, es decir los teoremas 3.1 y 3.2. 2. Demuestre el Principio de Inducción Completa a partir del teorema 3.7 3. Demuestre la equivalencia de las dos maneras de enunciar el Principio de Inducción Completa dados en el texto, es decir los teoremas 3.5 y 3.6. 4. Sea hai : i ∈ ωi una familia de conjuntos tal que para todo i ∈ ω, ai ⊂ aSi . Probar que a0 ⊂ an para todo n ∈ ω − 1. 5. Sea hai : i ∈ ωi una S familia de conjuntos tal que para todo i ∈ ω , ai ⊆ aSi y i∈ω ai ⊆ a0 . Probar que ai = a0 para todo i en ω. S S 6. Probar que si n ∈ ω, Sn = nS y que ω = ω. 7. Probar que si a ⊆ ω, a 6= ∅ y a = a , entonces a = ω. 8. Probar que si m y n están en ω y m 6= n , entonces: m si n ∈ m, (a) m ∪ n = n si m ∈ n. n si n ∈ m, (b) m ∩ n = m si m ∈ n. 9. Probar que si n ∈ m y n 6= 0 , entonces existe un mayor elemento en n . 10. Si a ⊆ b ⊆ ω son no vacı́os, n es el menor elemento de a y m es el menor elemento de b , ¿cuál es la relación entre n y m ? Justificar y responder para los mayores elementos de a y de b si estos existen. 11. Probar que si n ∈ ω , entonces no existe k ∈ ω tal que n < k < Sn. 12. Probar que si n y m están en ω y n < m , entonces Sn < Sm. 13. Probar que no existe una función F : ω −→ ω tal que para todo n ∈ ω, F (Sn) < F (n). 14. Probar que si ϕ(x) es una fórmula con variable libre x y existe un k ∈ ω , tal que (a) ϕ(k) se verifica y (b) para todo n ∈ ω tal que k ≤ n, si se verifica ϕ(n) entonces se verifica ϕ(Sn). Entonces ϕ(n) se verifica para todo n ∈ ω − k. 15. Probar que si ϕ(x) es una fórmula con variable libre x y existe un k ∈ ω tal que (a) ϕ(k) se verifica y 63 (b) para todo n ∈ ω tal que n > k, si se verifica ϕ(n) entonces se verifica ϕ(Sn). Entonces ϕ(n) se verifica para todo n ∈ ω − k. 2. Ordinales Los ordinales son conjuntos asociados con buenos órdenes, de hecho, son los ejemplos tı́picos de estos últimos en el sentido que todo buen orden es isomorfo a algún ordinal. La definición de ordinal no hace sino extender las propiedades de los números naturales estudiadas en la sección anterior sin embargo, esto no se podrá apreciar sino hasta que el capı́tulo esté bastante avanzado. Definición 3.6. i) a es ∈–transitivo si ∀x∀y((x ∈ y ∧ y ∈ a) → x ∈ a). ii) a es un ordinal si a es ∈–transitivo y todo elemento de a es ∈– transitivo. Si x es un ordinal escribiremos Ord (x). Obsérvese que Ord (x) es una fórmula de nuestro lenguaje en la que x aparece libre. Notación: Usaremos letras griegas minúsculas para denotar ordinales. Nada en la definición indica que haya ordinales, ni siquiera que existan conjuntos ∈–transitivos. También podrı́a suceder que todo conjunto es un ordinal. A continuación dilucidaremos estos problemas. De hecho, el siguiente teorema demuestra que todos los números naturales son ordinales. Teorema 3.9. i) 0 es un ordinal. ii) Ord (x) → Ord (Sx). iii) ∀x(x ∈ ω → Ord (x)). iv) Ord (ω). Demostración. i) Ord (0) trivialmente ya que 0 = ∅. ii) Supongamos que x es ordinal. Entonces x es ∈–transitivo y todo elemento de x es ∈–transitivo. Como Sx = x ∪ {x}, todo elemento de Sx es ∈–transitivo. Para ver que Sx es ∈–transitivo consideremos z , y tales que z ∈ y ∈ Sx. Si y ∈ x, entonces z ∈ x, ya que x es ∈–transitivo. Si y = x, entonces también z ∈ x, es decir, en cualquier caso, z ∈ x ⊆ Sx, o sea, Sx es ∈–transitivo. 64 iii) Consideramos la fórmula ϕ(x) = Ord (x). Por i) y ii) y P.I., todo número natural es un ordinal. iv) El lema 3.3, ii) demuestra que ω es ∈–transitivo. Si n ∈ ω, iii) demuestra que n es ∈–transitivo. Luego Ord (ω). Ver que no todo conjunto es un ordinal es fácil. De hecho, {{0}} no es ni siquiera ∈–transitivo. También es fácil ver que ningún par ordenado ha, bi es un ordinal. S Teorema 3.10. Si C es un conjunto de ordinales, entonces C es un ordinal. S Demostraci Són. Para demostrar que C es ∈–transitivo, supongamos x ∈ y ∈ C. Entonces existe α ∈ C talque y ∈ α. Como x ∈ Sy ∈ α y esteSúltimo es ∈–transitivo, x ∈ α y por lo tanto, x ∈ C, es decir, C es ∈–transitivo. S Sea x ∈ C. Entonces existe α ∈ C tal que x ∈ α, entonces, x también es ∈–transitivo. S Por lo tanto C es un ordinal. El siguiente teorema demuestra que todo ordinal está compuesto por ordinales. Teorema 3.11. Si α es un ordinal, entonces todos sus elementos son ordinales. Demostración. Supongamos que x ∈ α. Entonces x es ∈– transitivo. Si y ∈ x, como α es ∈–transitivo, y ∈ α, luego y es ∈–transitivo, luego x es ordinal. Los ordinales nos proporcionan un nuevo ejemplo de clase propia. Teorema 3.12. No existe el conjunto de todos los ordinales. Demostración. Supongamos por el contrario que O es el conjunto de todos los ordinales. Entonces es claro que O es ∈–transitivo y que todos sus elementos son ∈–transitivos, es decir, O es un ordinal, luego O ∈ O, contradicción. Teorema 3.13. Para todo par de ordinales α, β, α∈β ó α=β ó β ∈ α. Más aún, sólo una de estas posibilidades se verifica. 65 Demostración. Supongamos por el contrario que existen ordinales α y β tales que α 6∈ β, α 6= β y β 6∈ α. Sea A = {x ∈ Sα ∪ Sβ : ∃y(y ∈ Sα ∪ Sβ ∧ x 6∈ y ∧ x 6= y ∧ y 6∈ x)}. Nuestra suposición implica que α, β ∈ A. Luego A 6= ∅. Por el axioma de regularidad, existe a ∈ A tal que A ∩ a = ∅. Definimos entonces el conjunto B = {x ∈ Sα ∪ Sβ : a 6∈ x ∧ a 6= x ∧ x 6∈ a} B 6= ∅ ya que a ∈ A. Por el axioma de regularidad nuevamente sea b ∈ B tal que B ∩ b = ∅. Como a 6∈ B, a 6= b. La contradicción se obtiene probando que a = b. Sea x ∈ a, como a es ordinal, x también lo es. Como a ∩ A = ∅, x 6∈ A. Por último como x ∈ a ∈ Sα ∪ Sβ, x ∈ Sα ∪ Sβ, ya que este último, al ser unión de dos ordinales, es también un ordinal y, por lo tanto, es ∈–transitivo. Entonces ∀y(y ∈ Sα ∪ Sβ → (x ∈ y ∨ x = y ∨ y ∈ x)) en particular como b ∈ Sα ∪ Sβ, x ∈ b ∨ x = b ∨ b ∈ x. Si x = b, b ∈ a, luego b 6∈ B. Si b ∈ x, como a es ordinal b ∈ a, luego b 6∈ B. En ambos casos tenemos una contradicción. Por lo tanto la única posibilidad es x ∈ b, es decir, hemos demostrado que a ⊆ b. Supongamos ahora que x ∈ b. Como antes x ∈ Sα ∪ Sβ y x 6∈ B ya que B ∩ b = ∅. Luego a∈x ∨ a=x ∨ x∈a. Si a ∈ x ó a = x, entonces a ∈ b ya que b es ordinal. Luego x ∈ a. Hemos demostrado que b ⊆ a. Por lo tanto a = b lo que contradice nuestra suposición, luego α∈β ∨ α=β ∨ β∈α. El teorema 1.3 garantiza que sólo una de las tres posibilidades anteriores se verifica. Teorema 3.14. Si A es un T conjunto no vacı́o de ordinales, enT tonces A esordinal. Más aún, A ∈ A. 66 T Demostración. Si x ∈ A, entonces para todo α ∈ A, x ∈ α, luego x es ordinal, por loTtanto es ∈–transitivo. Supongamos x ∈ y ∈ A. Entonces para todo α ∈ A, x ∈ y ∈ α ∈T A, pero T α es ordinal, luego para todo α ∈ A, x ∈ α ∈ TA, o sea, x∈ A y A es ∈–transitivo. Hemos demostrado que A es un ordinal. T T T Por 3.13, para todo α ∈ A, A ∈ α ó A = α ó α ∈ A, pero esta última posibilidad implica que,T en particular, α ∈ α. Las dos primeras posibilidades implican que A ∈ A. Teorema 3.15. Para cualquier α y β i) α ∈ β ssi α ⊂ β. S S ii) Si C S ⊆ α, entonces C = α ó C ∈ α. iii) α = Sα. iv) Si α ∈Sβ, entoncesSSα ∈ β ó Sα = β. v) α = S α ó α = α. Demostración. i) ⇒ Por ∈–transitividad de β , si x ∈ α, entonces x ∈ β, o sea, α ⊆ β. Como α ∈ β − α, α 6= β. ⇐ Si α ⊂ β, entonces α 6= β y β 6∈ α. Luego por el teorema 3.13, α ∈ β. S ii) C es un ordinal por el teorema 3.10. S Supongamos que α ∈ C, entonces α ∈ x para algún x ∈ C y como hemos supuesto que C ⊆ α, x ∈ α. SO sea α ∈ xS∈ α, lo que contradice el teorema 1.3. Luego C ∈ α ó CS= α. iii) Si x ∈ Sα, x ∈ y para algún y ∈ Sα. Entonces y ∈ α ó y = α; en cualquier caso x ∈ α. S Entonces x ∈ α ∈ Sα, luego x ∈ Sα. iv) Supongamos que β ∈ Sα, o sea, β ∈ α ó β = α. Como por hipótesis α ∈ β, tendriamos que β ∈ β, lo que contradice el teorema 1.3. Luego S por 3.13, Sα ∈ β ó Sα S = β. v) S Sabemos que α es ordinal. Si α 6=S α, entonces por ii), S α ∈ α. Luego por iv), S α ∈ S S Sα ó S α = α. Si suponemos S que S α ∈ α, como α ∈ S α, concluiriamos que α∈ S S α, lo que contradice el teorema 1.3. Luego S α = α ó α = S α. Observemos que iv) es una generalización del lema 3.3, iii). También es importante notar que todo ordinal es o bien sucesor de algún otro ordinal o bien la unión de sı́ mismo. 67 Definición 3.7. Sea α un ordinal. Definimos la relación ≤ en α como sigue. Para x, y ∈ α x≤y si y sólo si x∈y ∨ x=y. Nótese que, en rigor, para distintos ordinales α el orden recién definido no es el mismo ya que su campo varı́a. Sin embargo usaremos el mismo sı́mbolo ya que es claro dos de estos órdenes coinciden en la intersección de sus campos. También debemos notar que éste coincide con el orden que definimos para los números naturales. El siguiente teorema resume las principales propiedades de este orden. Teorema 3.16. Sea α un ordinal. i) ii) iii) iv) v) vi) vii) viii) ix) x) xi) ≤ es un buen orden en α. T Si A ⊆ α y A 6= ∅, entonces A es el menor elemento de A. 0 es el menor elemento de α . β < Sα si y sólo si β ≤ α. α = {β ∈ α : β < α}. No existe un ordinal β tal que α < β < Sα. α ≤ β si y sólo si S α ⊆ β. Si A ⊆ α, entonces A es el supremo de A . α < β si y sólo si Sα ≤ β. Sα = Sβ si y sólo si α = β. Sα < Sβ si y sólo si α < β. Demostración. i) ≤ es obviamente reflexiva. Es antisimétrica por el teorema 1.3. Es transitiva por la ∈–transitividad de α . Es decir, ≤ es un orden. En virtud del teorema 3.13, ≤ es un orden total. Para ver que ≤ es un buen orden, consideremos T un subconjunto no vacı́o A T ⊆ α. Por el teorema 3.14, A ∈ A. Supongamos x ∈ A ∩ ( A). Entonces para todo α ∈T A x ∈ α, en particular, x ∈ x, una contradicción. Luego A ∩ ( A) = ∅, o sea, ≤ es un buen orden. ii) Quedó demostrado en (i), ∩A es el menor elemento de A iii) iv) y v) son obvios. vi) Supongamos existe β tal que α S< β < Sα, o lo que es lo mismo, α ∈ β ∈ Sα, es decir α ∈ Sα = α, por 3.15 iii), una contradicción. vii) Es consecuencia inmediata de la parte i) del teorema anterior. 68 S viii) Supongamos A ⊆S α, entonces A es un ordinal y para x S ∈A S es claro que x ⊆ A, o sea, por vii), x ≤ A, es decir, A es cota superior. S Sea β otra cota superior de A. Entonces para todo x ∈ A, como x ∈ α ∈ A y S β es cota superior de A , x ≤ α ≤ β, es decir, x ∈ β, o sea, A ⊆ β, por lo tanto ∪A es la menor de las cotas superiores de A . ix) Si α ∈ β, entonces por ∈–transitividad Sα ⊆ β, o sea, Sα ≤ β. Si Sα ≤ β, como α < Sα, α < β, por transitividad de < . x) Supongamos Sα = Sβ y α 6= β. Entonces como α ∈ Sα = Sβ, α ∈ Sβ. Pero entonces α ∈ β. Análogamente β ∈ α lo que es imposible, luego, α = β. Es claro que si α = β, Sα = Sβ. xi) α < β si y sólo si Sα ≤ β si y sólo si Sα < Sβ por ix) y iv) respectivamente. Observación. En viii) hay un pequeño abuso producido por el hecho de denotar S con el mismo sı́mbolo ordenes distintos. En efecto, si tenemos A = α, entonces ∪A no está en el campo de ≤, luego no puede ser una cota superior. Podemos sin embargo entender dicha proposición como expresada en un orden cuyo campo contiene a α , por ejemplo Sα o cualquier ordinal más grande. En este caso la proposición es totalmente correcta. Ejercicios. 1. Probar que: (a) α es un ordinal si y sólo si ∈ es un buen orden sobre α y β ∈ α implica que β ⊆ α. (b) Si α es totalmente ordenado por ∈ y β ∈ α implica que β ⊆ α , entonces α es un ordinal. 2. Todo ordinal es segmento inicial de algún otro ordinal. 3. Probar que bien α = 0 , o S α ∈ ω si y sólo si α es ordinal y, o S bien α 6= α y para todo β ∈ α , β = 0 , o β 6= β. 4. Probar que α ∈ ω si ySsólo si α es ordinal y para todo β ⊆ α tal que β 6= 0 se tiene β ∈ β. 5. Probar que α es ordinal si y sólo si α es ∈–transitivo y ∈ es buen orden sobre α . 6. Probar que α ∈ ω si y sólo si todo subconjunto no vacı́o de α tiene mayor elemento. 69 7. Sea B un conjunto de ordinales . Probar S que si α es un ordinal y para todo β ∈ B, β ≤ α , entonces β ≤ α. Probar también que lo anterior no es necesariamente cierto si no se requiere que α sea ordinal. 8. Probar que si α ∈ ω y β es el mayor elemento de α , entonces α = Sβ. ¿Es esto cierto si α es ordinal arbitrario? 3. Inducción Transfinita En esta sección generalizaremos el teorema de inducción de los números naturales a los ordinales. De hecho, el primero es un caso particular del segundo. Teorema 3.17. (Principio de Inducción Transfinita) Si ϕ(x) es una fórmula con una variable libre y para todo ordinal α, (∗) si para todo β < α, ϕ(β) , entonces ϕ(α). Entonces para todo ordinal α, ϕ(α). Demostración. Observemos primero que como no existe ningún β < 0, por ( ∗ ), ϕ(0) se verifica trivialmente. Supongamos que el teorema es falso para algún ordinal α. Entonces el conjunto C = {β ∈ Sα : ¬ϕ(β)} es no vacı́o, luego tiene un menor elemento γ. La observación al comienzo de esta demostración implica que γ 6= 0. Además, como γ es el menor elemento de C, para todo β < γ, β 6∈ C, es decir, para todo β < γ, ϕ(β), pero entonces por la hipótesis ( ∗ ), ϕ(γ), pero como γ ∈ C, se llega a una contradicción. Luego para todo ordinal α ϕ(α). Nótese que esta formulación del teorema de inducción transfinita es similar a la del teorema de inducción completa de los números naturales, A veces es útil usar una forma más parecida al principio de inducción “por casos”. Para ello recordemos que todo ordinal es o bien el sucesor de algún otro o es la unión de sı́ mismo. La próxima definición y el teorema que le sigue formaliza estas ideas. Definición 3.8. Un ordinal α es un sucesor si existe : β tal que α = Sβ. Si α 6= 0 y α no es un ordinal sucesor, entonces α es un ordinal lı́mite lı́mite. Notemos que hay tres clases de ordinales, 0, sucesores y lı́mites. Teorema 3.18. Sea α un ordinal. S i) α es sucesor si y sólo S α < α. ii) α es lı́mite si y sólo α = α 6= 0. 70 iii) α es lı́mite si y sólo α 6= 0 ∧ ∀β(β < α → ∃ γ(β < γ < α)). Demostraci ón. i) Si α = Sβ, entonces por el teorema 3.15 S S iii), α = Sβ = β <Sα, S Reciprocamente, si α < α, S α ≤ α. Si suponemos que S S α < α, [ [ α ∈ S α ∈ α, S S S oSsea, α ∈ α, una contradicción. Luego α = S α y como α es un ordinal, α es sucesor. S ii) Sabemos por el teorema 3.15 ii), que α ≤ α. Entonces S S por i), α = α si y sólo si α no es sucesor, luego α 6= 0 y α=α si y sólo si α es lı́mite. S iii) Por ii), α es lı́mite si y sólo si α 6= 0, α = α y esta última es equivalente a que para todo β ∈ α, existe γ ∈ α tal que β ∈ γ ∈ α. Teorema 3.19. Sea ϕ(x) una fórmula con una variable libre tal que i) ϕ(0), ii) para todo ordinal α , si ϕ(α) , entonces ϕ(Sα) y iii) para todo ordinal lı́mite α , si ϕ(β) para todo β < α, entonces ϕ(α). Entonces para todo ordinal α, ϕ(α). Demostración. Para demostrar este teorema, demostraremos las hipótesis del teorema 3.17 a partir de i), ii) y iii). Sea entonces α un ordinal y supongamos que ϕ(β) para todo β < α. Debemos demostrar que ϕ(α). Hay tres casos. Si α = 0, entonces ϕ(α) por hipótesis i). Si α es un sucesor, entonces α = Sβ luego β < α y por lo tanto ϕ(β). Pero entonces por ii), ϕ(Sβ) o sea, ϕ(α). Si α es un lı́mite, como ϕ(β), para todo β < α, por iii) ϕ(α). En cualquier caso ϕ(α). Por lo tanto en virtud del teorema 3.17, para todo ordinal α, ϕ(α). Este teorema puede demostrarse sin recurrir al teorema 3.17 pero estimamos que la demostración tiene cierto interés en sı́ misma. Ver ejercicios problema 2. Ejercicios. 71 1. Demuestre que el Principio de Inducción dado en el teorema 3.19 implica al Principio de Inducción del teorema 3.17. 2. Demuestre el Principio de Inducción 3.19 sin usar el teorema 3.17. 3. Demuestre el siguiente Principio de Inducción. Sean α un ordinal no nulo A ⊆ α tales que (a) 0 ∈ A, (b) si β ∈ A S y Sβ < α, entonces Sβ ∈ A, (c) si β = β < α y para todo γ < β, γ ∈ A. Entonces A = α. 4. Recursión En esta sección estudiaremos un proceso, ı́ntimamente ligado a la inducción transfinita, que nos permite definir operaciones entre ordinales, este es el principio de recursión. En álgebra elemental frecuentemente nos encontramos con sucesiones del tipo siguiente a0 = 1 an+1 = 2an + 1 Es claro que esta sucesión está bien definida ya que para cualquier n , con algún trabajo, podemos obtener el valor de an . Por otra parte, es claro que esta definición difiere esencialmente de la de la sucesión bn = n2 + 1 . La diferencia reside en que para conocer el valor de an debemos primero determinar el valor de an−1 , y para conocer éste, debemos determinar el valor de an−1 y ası́ sucesivamente. No es este el caso de bn . Decimos que {an }n∈ω está definida recursivamente. A continuación formalizaremos estos conceptos. Recordemos que una fórmula ϕ(x, y) tal que para todo a existe un único b tal que ϕ(a, b) define una operación unaria y habitualmente escribimos b = F (a) si y sólo si ϕ(a, b) . Obsérvese que por el axioma de reemplazo, si a es un conjunto F (a) y {F (x) : x ∈ a} también lo son. El siguiente teorema nos permite definir una operación unaria sobre un conjunto cualquiera conociendo todos los valores de la operación sobre sus elementos. Una forma alternativa es definir la operación por casos, para el 0, para ordinales sucesores, para ordinales lı́mites y para 72 conjuntos cualquira. Este último caso es necesario ya que la operación debe estar definida para todos los conjuntos y no sólo para los ordinales. Teorema 3.20. i) Sea y = G(x) una operación unaria. Entonces existe una única operación unaria y = F (x) tal que ∀α(Ord (α) → F (α) = G({F (β) : β ∈ α})∧∀x(¬Ord (x) → F (x) = x) ii) Sean y = G(x), y = H(x) dos operaciones unarias, entonces existe una única operación unaria y = F (x) tal que para todo ordinal α F (Sα) = G(F (α)) ∧ (α = y si x no es ordinal, [ α → F (α) = H{F (β) : β ∈ α}) F (x) = x). Demostración. i) Demostraremos por inducción que para todo ordinal α existe una única función fα tal que a) Domfα = Sα, b) fα (β) = G(fα∗ β), para todo β ∈ Sα y c) si β ∈ α, entonces fβ ⊂ fα . Sea entonces α un ordinal y supongamos que para todo β < α existe fβ con las propiedades a), b) y c). Entonces definimos fα (β) = fβ (β) G(fα∗ (α)) , si β ∈ α, , si β = α. Entonces fα es una función, Dom fα = Sα y fα verifica b) y c). Observemos también que f0 (0) = G(0). Para probar la unicidad de fα supongamos que para algún α existen dos funciones fα y gα con las caracterı́sticas anteriores. Sea α0 el menor tal ordinal. Entonces para β < α0 existe una única función fβ como arriba. Pero entonces para todo β < α0 fα0 (β) = fβ (β) = gα0 (β), y por lo tanto 73 fα∗0 α0 = = = = {fα0 (β) : β ∈ α0 } {fβ (β) : β ∈ α0 } {gα0 (β) : β ∈ α0 } gα∗ 0 α0 , luego fα0 (α0 ) = G(fα∗0 α0 ) = G(gα∗ 0 α0 ) = gα0 (α0 ), Es decir fα0 = gα0 lo que contradice nuestra suposición. Por lo tanto, por el teorema 3.17, para todo ordinal α existe una única función fα que verifica a) y b). Podemos ahora definir nuestra operación unaria y = F (x). fx (x) si x es ordinal, F (x) = x si x no es ordinal. Por construcción, y = F (x) verifica la tesis del teorema. ii) Demostraremos por inducción que para todo α existe una única función fα tal que a) Dom fα = Sα, b) Si Sβ ∈SSα, entonces fα (Sβ) = G(fα (β)), c) Si β = β ∈ Sα, entonces fα (β) = H(fα∗ β). d) Si β ∈ α, entonces fβ ⊂ fαS. Si β = 0 , entonces β = β luego definimos f0 con dominio 1 como sigue: f0 (0) = H(f0∗ (0)) = H(0) Si β = Sγ, suponemos que existe fγ con Dom fγ = Sγ y que satisface a), b), c) y d). Definimos entonces fβ de la siguiente manera fγ (α) si α ∈ β = Sγ, fβ (α) = G(fγ (γ)) si α = β. Es claro que fβ verifica a), b), c) y d). Si β = ∪β, suponemos por hipótesis de inducción que para todo γ ∈ β existe fγ que verifica a), b), c) y d). Definimos fβ como sigue fα (α) si α ∈ β = Sγ, fβ (α) = ∗ H(fβ (β)) si α = β. 74 fβ también verifica a), b), c) y d). Luego por inducción, para todo ordinal α , existe una función fα con las caracterı́sticas indicadas. La unicidad de fα es obvia y se deja como ejercicio. Podemos definir la operación unaria F como en i). Ejercicios. 1. Definimos la clausura transitiva de a, que denotamos T (a), como el menor conjunto ∈–transitivo que contiene a a . Demuestre que existe la clausura transitiva de cualquier conjunto. Indicación: Definir recursivamente una función F sobre ω de tal manera que F (0) = a [ F (n + 1) = F (n) S y luego probar que T (a) = n∈ω F (n). Intuitivamente [ [[ [[[ T (a) = a ∪ a ∪ a∪ a··· , es decir contiene los elementos de a , los elementos de los elementos de a , etc. 5. Funciones Normales En esta sección estudiaremos algunas propiedades de las funciones normales que nos serán útiles en las secciones siguientes. Definición 3.9. Sean A y B ordinales y µ : A → B una función. i) µ es no-decreciente si ∀α∀β(α < β → µ(α) ≤ µ(β)). ii) µ es estrictamente creciente si ∀α∀β(α < β → µ(α) < µ(β)). iii) µ es continua si ∀α((α 6= 0 ∧ [ α = α ∈ A) → µ(α) = [ µ(β)). β∈α iv) µ es normal si es continua y estrictamente creciente. Ejemplo. 75 1. La función S es estrictamente creciente pero no continua, por S ejemplo SωS 6= ω = Sω. 2. La función es continua S peroSno estrictamente creciente, por ejemplo, ω < Sω, pero ω = Sω. 3. Sea α un ordinal lı́mite. Definimos para β ∈ α Sβ , si β es sucesor, f (β) = β , si no. Fácilmente podemos ver que f es normal. Teorema 3.21. Sean A, B ordinales µ : A → B una función. Si µ es estrictamente creciente, entonces para todo α ∈ A, α ≤ µ(α). Demostración. Por inducción. Teorema 3.22. Sean A, B ordinales µ : A → B una función continua tal que si Sβ ∈ A, µ(β) < µ(Sβ). Entonces µ es normal. Demostración. Tenemos que demostrar que µ es estrictamente creciente. Lo haremos por inducción usando la siguiente fórmula ϕ(x) = ∀β((β < x ∧ x ∈ A) → µ(β) < µ(x)) i) ϕ(0) se verifica trivialmente. ii) Si β = Sγ, supongamos que ϕ(γ) se verifica y que Sγ ∈ A. Entonces para δ < γ, µ(δ) ≤ µ(γ) por hipótesis de inducción . Si δ = γ, µ(γ) < µ(Sγ), por hipótesis, es decir luego ∀δ((δ < β = Sγ ∧ Sγ ∈ A) → µ(δ) < µ(beta)), es decir, ϕ(β). iii) Si β es lı́mite, entonces por la continuidad de µ , ϕ(β). Esto que completa muestra inducción. Luego µ es estrictamente creciente y por lo tanto normal. Teorema 3.23. Si µ es una función normal y α ∈ Dom µ es un ordinal lı́mite, entonces µ(α) también es lı́mite. Demostración. Sea δ ≤ µ(α). Como [ µ(α) = µ(β) , β<α existe γ < α tal que δ ∈ µ(γ), o sea, 76 δ < µ(γ) < µ(α), ya que como µ es estrictamente creciente, µ(γ) < µ(α). Luego por teorema 3.18 iii), µ(α) es lı́mite. Teorema 3.24. Si α es un ordinal, β < α y µ es no decreciente, entonces [ [ µ(γ) = µ(γ). γ<α β≤γ<α Demostración. Si γ < β , µ(γ) ≤ µ(β), luego y por lo tanto [ µ(γ) = γ<α [ γ<β µ(γ) ∪ [ µ(γ) = β≤γ<α [ [ γ<β µ(γ) ≤ µ(β) µ(γ). β≤γ<α Teorema 3.25. Sean µ, ν funciones normales tales que Rec µ ⊆ Dom ν. Entonces ν ◦ µ es una función normal. Demostración. ν ◦ µ es estrictamente creciente ya que si α < β, µ(α) < µ(β), luego ν(µ(α)) < ν(µ(β)), o sea, ν ◦ µ(α) < ν ◦ µ(β). Para ver que ν ◦ µ es continua, sea α 6= 0, α = ∪α. Por teorema 3.23, [ µ(β) es también un ordinal lı́mite. Luego como ν es µ(α) = β<α continua ν ◦ µ(α) = ν(µ(α)) = Pero si β < µ(α) = [ [ ν(β). β<µ(α) µ(γ), entonces existe γ < α tal que β < γ<α µ(γ) < µ(α) luego ν(β) < ν(µ(γ)) < [ ν(µ(δ)). δ<α Por lo tanto ν ◦ µ(α) ≤ [ δ<α ν(µ(δ)) ≤ ν(µ(α)) = ν ◦ µ(α) 77 o sea ν ◦ µ(α) = [ δ<α ν ◦ µ(δ), es decir ν ◦ µ es continua y por lo tanto ν ◦ µ es normal. Teorema 3.26. Sea α un ordinal, µ una función normal con dominio α . Supongamos que para algún β ∈ α existen δ, γ ∈ α tal que µ(δ) ≤ β < µ(γ). Entonces existe un único γ ∈ α tal que µ(γ) ≤ β < µ(Sγ). Demostración. Sea ε el menor γ tal que β < µ(γ). Este debe existir por hipótesis. Supongamos ε = 0, entonces como ε ≤ β, µ(ε) ≤ µ(β) < µ(ε), una contradicción, luego ε 6= 0. [ Supongamos ε 6= 0, ε = ∪ε. Entonces β < µ(ε) = µ(δ) luego δ<ε existe δ < ε tal que β < µ(δ) contradiciendo la minimalidad de ε. Por lo tanto ε es un sucesor, digamos ε = Sγ. Entonces µ(γ) ≤ β < µ(Sγ). Para probar la unicidad de γ, sea ξ 6= γ un ordinal. Entonces γ<ξ ó ξ<γ . Si γ < ξ , Sγ ≤ ξ, luego β < µ(Sγ) ≤ µ(ξ); si ξ < γ, Sξ ≤ γ, luego µ(Sξ) ≤ µ(γ) < β. En cualquier caso, ξ no verifica que µ(ξ) ≤ β < µ(Sξ), luego γ es único. Ejercicios. 1. Demuestre que la función definida en los ejemplos 5 es normal. 2. Demuestre el teorema 3.21. 3. Considere la topologı́a generado sobre el ordinal α por todos los intervalos (β), γ) = {δ : β < δ < γ}, donde β < γ ∈ α. Demuestre que µ : α −→ α es continua según la definición 3.9 si y sólo si, µ es continua en esta topologı́a. 6. Ordinales y Buenos Ordenes Esta breve sección la dedicaremos a demostrar un resultado importante, a saber, que todo buen orden es isomorfo al orden de algún ordinal. De esta manera, los ordinales sirven para representar a todos 78 los posibles buenos ordenes. Volveremos sobre este tema en el próximo capı́tulo. Teorema 3.27. Todo buen orden es isomorfo con (el orden de) un ordinal. Demostración. Sea R un buen orden cuyo campo es A . Definamos la operación unaria R − menor elemento de A − F ∗ α si éste es no vacı́o, F (α) = A si no. (Para ser rigurosos, la operación F debe estar definida para todo conjunto y no sólo para los ordinales, sin embargo, siempre podemos definir F en forma arbitraria para un conjunto x que no es ordinal. Por ejemplo, podemos definir F (x) = A). Por el axioma de reemplazo, Γ = {α : F (α) ∈ A} es un conjunto de ordinales y por lo tanto existe algún ordinal β tal que F (β) ∈ / A. Sea \ γ = {β : F (β) ∈ / A}. Observemos que si F (β) ∈ / A, entonces F (β) = A y A − F ∗ β = ∅, luego si α > β, F (α) ∈ / A. Esto demuestra que Γ = γ. Si α < β < γ, entonces F ∗ α ⊂ F ∗ β, luego A − F ∗ β ⊆ A − F ∗ α, y por lo tanto R − menor elemento A − F ∗ α ≤ R − menor elemento A − F ∗ β, es decir, F (α) ≤ F (β). Por otra parte, si α < β, F (α) ∈ F ∗ β, luego F (α) ∈ / A − F ∗β y por lo tanto F (α) 6= F (β). Esto demuestra que si definimos f : γ −→ A α 7−→ F (α), f es una biyección y α ≤ β si y sólo si f (α)Rf (β), o sea, R y γ son isomorfos. 79 7. Aritmética Ordinal A continuación definiremos la suma, el producto y la exponenciación de ordinales. Las dos primeras operaciones tienen una interpretación bastante intuitiva en términos de buenos órdenes. Como sabemos todo ordinal esta bien ordenado por ∈ , es más, como vimos en la sección anterior, todo buen orden está codificado o representado por algún ordinal. Ahora bien, la suma de dos ordinales α y β representa al (buen) orden que resulta de ordenar α ∪ β poniendo todos los elementos de β después de los de α , gráficamente − − − −− →} | − − − {z α − | − −{z− − →} β Por su parte α · β representa al (buen) orden lexicográfico sobre α × β (ver ejercicios). La exponenciación no tiene una interpretación intuitiva. 7.1. Suma de Ordinales. Definición 3.10. Definimos la suma de ordinales como sigue. Si α es un ordinal cualquiera i) α + 0 = α ii) α + Sβ = S(α + β) iii) α + λ = ∪{α + β : β ∈ λ}, si 0 6= λ = ∪λ Obsérvese que tal operación está bien definida en virtud del teorema 3.20, ii), donde G(x) = Sx y H(x) = ∪x. Además para todo α, β, α + β es un ordinal. Teorema 3.28. Para todo par de ordinales α y β , la función +α : β −→ α + β γ 7→ α + γ , es una función normal. Demostración. +α es continua por definición. Supongamos que γ ∈ β y Sγ ∈ β, entonces +α (γ) = α + γ < S(α + γ) = α + Sγ = +α (Sγ), luego por el teorema 3.22, +α es normal. 80 Formalizaremos ahora las ideas intuitivas sobre la suma de ordinales que dimos en la introducción de esta sección. Teorema 3.29. Dados α y β ordinales, definimos el orden R cuyo campo es {0} × α ∪ {1} × β como sigue: hx0 , y0 i R hx1 , y1 i si y solamente si se verifica una de las siguientes condiciones 1. x0 = x1 = 0 y y0 ≤ y1 < α, 2. x0 = 0 , x1 = 1, 3. x0 = x1 = 1 y y0 ≤ y1 < β. Entonces R es un buen orden isomorfo a α + β. Demostración. Es fácil demostrar que R es un buen orden (ver ejercicios). Definimos: γ si x = 0 y γ < α, F (x, γ) = α + γ si x = 1 y γ < β. Entonces Dom F = {i0, γh: γ ∈ α} ∪ {i1, γh: γ ∈ β} = Cam R . También es claro que α ⊆ Rec F ⊆ α + β. Para ver que Rec F = α + β, sea δ ∈ α + β, δ 6∈ α. Luego α ≤ δ < α + β. Como +α es normal, por teorema 3.26, existe un único γ tal que +α (γ) ≤ δ < +α (γ), o bien α + γ ≤ δ < α + Sγ = S(α + γ). Por teorema 3.16, vi) , α + γ = δ. Luego, como γ tiene que ser menor que β , δ = α + γ = F (1, γ) , o sea, δ ∈ Rec F y por lo tanto α + β = Rec F . Por último como +α es normal, es fácil verificar que xRy y que F es inyectiva. ssi F (x) ≤ F (y) Algunas de las propiedades más importantes de la suma de ordinales están resumidas en el siguiente teorema. Teorema 3.30. Sean α , β , γ ordinales. Entonces i) (α + β) + γ = α + (β + γ). ii) β ≤ α + β. 81 iii) iv) v) vi) vii) α < β si y sólo si existe γ > 0 tal que α + γ = β. Si α < β , entonces α + γ ≤ β + γ. Sα = α + 1. 0 + α = α. Si β < γ , entonces α + β < α + γ. Demostración. – Si γ = 0 i) Por inducción sobre γ . (α + β) + 0 = α + β = α + (β + 0). – Supongamos que (α + β) + γ = α + (β + γ). Entonces (α + β) + Sγ = = = = S((α + β) + γ) S(α + (β + γ)) α + S(β + γ) α + (β + Sγ). – Si 0 6= λ = ∪λ y para todo γ ∈ λ, α + (β + γ) = (α + β) + γ. Entonces como +β (x) = β + x es normal y λ es lı́mite, por 3.23, β + λ = ∪{β + γ : γ < λ} es lı́mite, y por 3.24 ∪{β + γ : γ < λ} = ∪{δ : δ < β + λ}. Similarmente, +α (x) = α + x es normal, luego α + (β + λ) = = = = = = = α + ∪{β + γ : γ < λ} α + ∪{δ : δ < β + λ} ∪{α + δ : δ < β + λ} ∪{α + δ : β ≤ δ < β + λ} ∪{α + (β + γ) : γ < λ} ∪{(α + β) + γ : γ < λ} (α + β) + λ. Esto completa la inducción y demuestra por lo tanto la asociatividad de + . ii) Por inducción sobre β . – Si β = 0 , obviamente 0 ≤ α + 0. – Supongamos β ≤ α + β. Entonces Sβ ≤ S(α + β) = α + Sβ. 82 – Si 0 6= λ = ∪λ y para todo γ ∈ λ γ ≤ α + γ. Entonces λ = ∪{γ : γ ∈ λ} ≤ ∪{α + γ : γ ∈ λ} = α + λ. iii) Supongamos α < β. Como β ≤ α + β, A = {δ ∈ Sβ : β ≤ α + δ}, es no vacı́o, luego A tiene un menor elemento γ tal que β ≤ α + γ. Supongamos que β < α + γ. Es claro que γ 6= 0 ya que α < β. Si γ es un sucesor, digamos γ = Sε, β < α + Sε = S(α + ε), luego β ≤ α + ε, lo que contradice la minimalidad de γ . Si γ = ∪γ, β < α + γ = ∪{α + δ : δ ∈ γ}, luego β ∈ α + δ para algún δ < γ, lo que contradice la minimalidad de γ . Es decir γ no es 0 ni sucesor ni lı́mite lo que no es posible, luego β = α + γ. Recı́procamente, si β = α + γ, como α + x es estrictamente creciente y 0 < γ α = α + 0 < α + γ = β. iv) Por inducción sobre γ . – Si γ = 0, α + 0 = α < β = β + 0. – Supongamos que α + γ < β + γ. Entonces α + Sγ = S(α + γ) < S(β + γ) = β + Sγ. – Si 0 6= λ = ∪λ y para γ < λ, Entonces α + γ < β + γ. α + λ = ∪{α + γ : γ ∈ λ} ⊆ ∪{β + γ : γ ∈ λ} = β + λ. La desigualdad estricta no se puede lograr ya que, por ejemplo, 1 + ω = 2 + ω. v) Obvio vi) 0 + α = α se demuestra por inducción sobre α. – Si α = 0, entonces 0 + α = 0 = α. 83 – 0 + Sα = S(0 + α) = Sα. – Si 0 6= α = ∪α y para todo γ ∈ α, 0 + γ = γ, 0 + α = ∪{0 + γ : γ ∈ α} = ∪{γ : γ ∈ α} = α, lo que completa la inducción. vii) Ya lo demostramos en el teorema 3.28. La suma de ordinales restringida a ω nos da la suma usual de los números naturales, por ejemplo, 2 + 2 = 4. En efecto 2 + 2 = 2 + S1 = S(2 + 1) = S(2 + S0) = SS2 = S3 = 4. En el próximo teorema se demuestran algunas propiedades de la suma de los números naturales. Teorema 3.31. Sean m y n números naturales. Entonces i) m + n es natural. ii) n + 1 = 1 + n. iii) m + n = n + m. Demostración. i) Por inducción sobre n . – m + 0 = m es natural. – Si m + n es natural, su sucesor también lo es. Pero S(m + n) = m + Sn, luego m + Sn también es natural. Por el principio de inducción, 3.1, para todo natural n, m+ n es natural. ii) Por inducción sobre n . – 1 + 0 = 1 = 0 + 1, por 3.30, vi). – Supongamos que 1 + n = n + 1. Entonces 1 + Sn = S(1 + n) = S(n + 1) = SSn = Sn + 1, lo que completa la inducción. iii) Por inducción sobre n . – m + 0 = 0 + m por 3.30, vi). – Supongamos que m + n = n + m. Entonces m + Sn = = = = m + (n + 1) = (m + n) + 1 (n + m) + 1 = n + (m + 1) n + (1 + m) , por ii), (n + 1) + m = Sn + m , lo que completa la inducción. 84 Notemos que la suma de ordinales no es general conmutativa, en efecto, 1 + ω = ∪{1 + n : n ∈ ω} = [ {Sn : n ∈ ω} = ω 6= ω + 1 . De hecho esta propiedad caracteriza a los ordinales que no son números naturales. Teorema 3.32. ω ≤ α si y sólo si 1 + α = α. Demostración. Ya vimos que 1 + ω = ω. Si α ≥ ω, existe γ tal que α = ω + γ. Entonces 1 + α = 1 + (ω + γ) = (1 + ω) + γ = ω + γ = α. Si α < ω, entonces por 3.31 ii), 1 + α = α + 1 6= α. 7.2. Multiplicación de Ordinales. Definición 3.11. Definimos por recursión el producto por α como sigue i) α · 0 = 0. ii) α · Sβ = α · β + α. iii) α · λ = ∪{α · β : β ∈ λ}, si 0 6= λ = ∪λ. Como en el caso de la suma, hemos definido la multiplicación por recursión usando el teorema 3.20, donde G(x) = x + α y H(x) = ∪x. Teorema 3.33. Para todo par de ordinales α y β, función ×α : β −→ α · β es una función normal. γ 7−→ α · γ , α 6= 0 la Demostración. ×α es continua por definición. Para ver que ×α normal, por teorema 3.22, basta verificar que para todo γ ∈ β ×α (γ) < ×α (Sγ). ×α (γ) = < = = α·γ α · γ + α, α · Sγ ×α (Sγ). por teorema 3.30, iii), 85 Teorema 3.34. Dados α y β ordinales, definimos el orden R cuyo campo es α × β como sigue: hx0 , y0 i R hx1 , y1 i si y solamente si se verifica una de las siguientes condiciones 1. y0 ≤ y1 < β, 2. y0 = y1 y x0 ≤ x1 < β. Entonces R es un buen orden isomorfo a α · β}. Demostración. Podemos suponer que α y β son distintos de 0. Es fácil demostrar que R es un buen orden (ver ejercicios). Para γ ∈ α, δ ∈ β, definimos F (hγ, δi) = α · δ + γ. Entonces Dom F = α × β = Cam R. F es una función y para cada hγ, δi ∈ α × β, F (hγ, δi) = < = ≤ α·δ+γ α · δ + α, por teorema 3.30, vii), α · Sδ α · β, ya que ×α es creciente. O sea, hemos demostrado que Rec F ⊆ α · β. Para demostrar que F es sobreyectiva, sea ε ∈ α · β. Entonces α · 0 = 0 ≤ ε < α · β. Como ×α es normal, por el teorema 3.26, existe un único δ tal que α · δ ≤ ε < α · Sδ = α · δ + α. Es claro que δ < β y que si β ≤ δ, ε < α · β ≤ α · δ ≤ ε. Ahora bien, como α · δ ≤ ε, por 3.30, iii) existe un único γ tal que α · δ + γ = ε. Evidentemente γ < α pues si no, ε < α · Sδ = α · δ + α ≤ α · δ + γ = ε. Por lo tanto, dado ε ∈ α · β, existe un único hγ, δi ∈ α × β tal que F (hγ, δi) = ε, o sea, F es sobreyectiva. Para probar que F es estrictamente creciente, supongamos que hγ, δiRhε, ξi, entonces o bien δ < ξ , en cuyo caso 86 F (hγ, δi) = α · δ + γ < α·δ+α = α · Sδ ≤ α · ξ ≤ alpha · ξ + ε = F (hε, ξi), o bien δ = ξ y γ < ε, entonces F (hγ, δi) = α · δ + γ = α·ξ+γ < α · ξ + ε = F (hε, ξi), o sea F es estrictamente creciente, luego es inyectiva y por lo tanto es un isomorfismo. Observación. El orden R recién introducido se llama orden antilexicográfico, corresponde a sustituir cada elemento de β por una copia de α . Las propiedades básicas de la multiplicación ordinal están resumidas en el siguiente teorema. Teorema 3.35. i) α · (β + γ) = α · β + α · γ. ii) α · (β · γ) = (α · β) · γ. iii) α · 0 = 0 · α = 0. iv) α · 1 = 1 · α = α. v) α · 2 = α + α. vi) Si α 6= 0, entonces β ≤ α · β. vii) Si α 6= 0 y β < γ, entonces α · β < α · γ. viii) Si α 6= 0 y 1 < β, entonces α < α · β. ix) Si α < β, entonces α · γ ≤ β · γ. x) Si 1 < α, 1 < β, entonces α + β ≤ α · β. xi) Si α, β 6= 0, entonces α · β 6= 0. Demostración. i) Por inducción sobre γ . – Si γ = 0, α · (β + 0) = α · β = α · β + 0 = α · β + α · 0 – Si α · (β + γ) = α · β + α · γ, 87 α · (β + Sγ) = = = = = α · S(β + γ) α · (β + γ) + α (α · β + α · γ) + α α · β + (α · γ + α) α · β + α · Sγ. – Si γ = ∪γ 6= 0 y para todo δ ∈ γ, α · (β + δ) = αβ + αδ y [ α · (β + γ) = α · {β + δ : δ ∈ γ}. S Como +β es normal, {β + δ : δ ∈ γ} es un ordinal lı́mite luego [ [ α · {β + δ : δ ∈ γ} = {α · (β + δ) : δ ∈ γ} [ = {α · β + α · δ : δ ∈ γ} = α · β + ∪{α · δ : δ ∈ γ}, ii) iii) v) vii) ya que ×α es normal. Esto completa la inducción, por lo tanto α · (β + γ) = α · β + α · γ. Por inducción sobre γ usando i). y iv) se demuestran por una sencilla inducción. Por definición. Por inducción sobre β . Sea 1 ≤ α. – Si β = 0, 0 ≤ α · 0 = 0. – Si β ≤ α · β, entonces Sβ ≤ = ≤ = S(α · β) α·β+1 α·β+α α · Sβ. – Si β = ∪β 6= 0 y para todo γ < β, γ ≤ α · γ, β = ∪{γ : γ ∈ β} ≤ ∪{α · γ : γ ∈ β} = α · β, lo que completa la inducción. ix) Por inducción sobre γ . x) Por inducción sobre β . 88 – Si β = 2, entonces como 2 ≤ α, α+β =α+2≤α+α=α·2=α·β – Si 1 < β y α + β ≤ α · β, α + Sβ = ≤ = ≤ = S(α + β) S(α · β) α·β+1 α·β+α α · Sβ. – Si β = ∪β 6= 0 y para todo γ ∈ β, 1 < γ, entonces α + γ ≤ α · γ, entonces [ [ α + β = {α + γ : γ ∈ β} ⊆ {α · γ : γ ∈ β} = α · β. xi) Si no, existen α, β 6= 0 tales que α · β = 0 pero por vi), como α 6= 0, β ≤ α · β = 0, luego β = 0 , contradicción. El siguiente teorema demuestra que la multiplicación de ordinales restringida a ω verifica las propiedades que esperamos que ésta verifique, a saber, que sea conmutativa y que distribuya por la derecha sobre la suma. Cabe destacar que la multiplicación ordinal en general no verifica estas propiedades. Por ejemplo, 2 · ω = ω 6= ω + ω = ω · 2 y por ende ω = (1 + 1) ω 6= ω + ω Teorema 3.36. Sean m , n y l números naturales. Entonces i) m · n es natural. ii) m · n = n · m. iii (m + n) · l = m · l + n · l. Demostración. i) Por inducción sobre n . ii) Por inducción sobre n . – Si n = 0, entonces m · n = n · m = 0 – Si m · k = k · m, demostraremos por inducción sobre m que para todo m, m · Sk = Sk m. – Si m = 0, m · Sk = Sk m = 0 89 – Si l · Sk = Sk · l, entonces Sl · Sk = = = = = = = = = = Sl · k + Sl k · Sl + Sl, (k · l + k) + Sl (l · k + k) + Sl, (l · k + Sl) + k, (l · k + (l + 1)) + k (l · k + l) + (k + 1) l · Sk + Sk Sk · l + Sk, Sk · Sl. por hipótesis de inducción sobre m, por hipótesis de inducción sobre, n por 3.30, i) y 3.31 iii), por hipótesis de inducción sobre, m Esto completa ambas inducciones. Nótese que en la demostración anterior se hizo una doble inducción, es decir, el paso de inducción se demostró, a su vez, por inducción. Teorema 3.37. (Algoritmo de la división). Si α y β son ordinales y β = 6 0, entonces existe un único γ y un único δ tales que α=β·γ+δ , γ≤α y δ < β. Demostración. Como ×β es normal, en virtud de 3.26, existe un único γ tal que β · γ ≤ α < β · Sγ = β · γ + β. Por 3.30, iii) existe un único δ tal que β·γ+δ =α. Por 3.35, vi), es claro que γ ≤ α. Además, δ < β, pues si β ≤ δ, α < β · γ + β ≤ β · γ + δ = α. Teorema 3.38. Las siguientes afirmaciones son equivalentes. i) α es lı́mite. ii) α = ω · γ, para algún γ 6= 0. iii) Para todo m ∈ ω − {0}, m · α = α y α 6= 0. Demostración. i) ⇒ ii) Por el algoritmo de división, existen γ y δ tales que γ ≤ α, δ < ω y α = ω · γ + δ. 90 Si δ 6= 0 , δ = Sm, para algún m ∈ ω, entonces α = ω · γ + Sm = S(ω · γ + m), o sea α no es lı́mite. Por lo tanto δ=0y α = ω · γ. Obviamente γ 6= 0 pues si no, α = 0. ii) ⇒iii) Primero verifiquemos que para todo m ∈ ω−{0} m·ω = ω. En efecto, por 3.35, vi), ω ≤ m · ω = ∪{m · n : n ∈ ω} ⊆ ω, luego m · ω = ω. Entonces si m 6= 0 y α = ω · γ, para algún γ 6= 0, m · α = m · (ω · γ) = (m · ω) · γ = ω · γ = α iii) ⇒i) Supongamos m · α = α, α 6= 0 y α = Sβ para algún β . Entonces α = 2 · α = 2 · Sβ = 2 · β + 2 ≥ β + 2 > β + 1 = α, una contradicción, luego α es lı́mite. 7.3. Exponenciación de Ordinales. Definición 3.12. Sean α y β ordinales. Definimos por recursión la exponenciación de ordinales como sigue. i) α0 = 1. ii) αSβ = αβ · α. S iii) αβ = ∪{αγ : γ ∈ β}, si β = β 6= 0. Como en el caso de la suma y la multiplicación, hemos definido la exponenciación por recursión usando el teorema 3.20, donde [ G(x) = x · α y H(x) = 1 ∪ x. Teorema 3.39. Para todo par de ordinales α > 1 y β , la función expα : β −→ αβ γ 7→ αγ , es una función normal. Demostración. Como expα es continua por definición, basta demostrar que es estrictamente creciente. Para ello usamos el teorema 3.22. Por inducción podemos demostrar que αβ 6= 0 para todo ordinal β . Luego, expα (β) = αβ = αβ · 1 < αβ · α = αSβ = expα (Sβ). 91 Las propiedades de la exponenciación de ordinales se resumen en el siguiente teorema. Teorema 3.40. i) α 0 = ii) iii) iv) v) vi) vii) viii) ix) x) 0 1 , si α es sucesor, , si α es lı́mite o α = 0. 1α = 1. α0 = 1, α1 = α y α2 = α · α. Si α, β > 1, entonces α < αβ . Si α > 1, entonces β ≤ αβ . Si α > 1 y β < γ, entonces αβ < αγ . Si α 6= 0, entonces αβ+γ = αβ · αγ . Si α 6= 0, entonces (αβ )γ = αβ·γ . Si α > 1 y β 6= 0, entonces 1 < αβ . Si α, β > 1, entonces α · β ≤ αβ . Demostración. i) y ii) se demuestran por inducción. iii) es obvio. iv) se verifica porque expα es estrictamente creciente y α1 = α. v) se puede demostrar por inducción sobre β o por 3.21 porque expα es normal para α > 1. vi) simplemente expresa que expα es creciente para α > 1. vii) Por inducción sobre γ . – Si γ = 0, entonces αβ+γ = αβ = αβ · 1 = αβ · α0 = αβ · αγ . – Si αβ+γ = αβ · αγ , entonces αβ+Sγ = αS(β+γ) = αβ+δ · α = (αβ · αγ ) · α = αβ · (αγ · α) = αβ · αSγ . 92 – Si γ = ∪γ 6= 0 y para todo δ ∈ γ, αβ+δ = αβ · αδ , entonces como β + γ es lı́mite y usando el teorema 3.24 αβ+γ = = = [ {αε : ε < β + γ} [ {αβ+δ : δ ∈ γ} [ [ {αε : β ≤ ε < γ} {αβ · αδ : δ ∈ γ} [ = αβ · {αδ : δ ∈ γ} = = αβ · αγ , lo que completa la inducción. viii) Por inducción sobre γ – Si γ = 0 , entonces (αβ )γ = (αβ )0 = 1 = α0 = αβ·0 = αβ·γ . – Si (αβ )γ = αβ·γ , entonces (αβ )Sγ = (αβ )γ · αβ = αβ·γ · αβ , y por vii), = αβ·γ+β = αβ·Sγ . – Si γ = ∪γ 6= 0 y para todo δ ∈ γ, entonces (αβ )γ = = = [ {(αβ )δ : δ ∈ γ} [ {αε : ε ∈ β · γ} [ (αβ )δ = αβ·δ , {αβ·δ : δ ∈ γ}. = αβ·γ , ya que β · γ es lı́mite. Para demostrar el paso anterior, debe usarse un argumento similar al empleado en la demostración de vii). Esto completa la inducción. ix) Si 1 < α y 0 < β, entonces por vi), 1 = α0 < αβ . x) Por inducción sobre β . – Si β = 2, entonces α · β = α · 2 = α + α ≤ α · α = α2 = αβ 93 – Si α · β ≤ αβ , entonces α · Sβ = ≤ ≤ = α·β+α αβ + α αβ · α αSβ . – Si β = ∪β 6= 0 y para todo γ ∈ β, α · γ ≤ αγ , entonces [ α·β = {α · γ : γ < β} [ ≤ {αγ : γ < β} = αβ . Esto completa la inducción. El último teorema de esta sección nos dice que la exponenciación de ordinales restringida a los números naturales tiene las propiedades que esperamos que ésta tenga. Teorema 3.41. Sean l , m y n números naturales. Entonces i) mn es un número natural. ii) (l · m)n = ln · mn Demostración. Ambas se demuestran por inducción sobre n. Ejercicios. 1. Demuestre que los órdenes definidos en 3.34 y 3.29 son buenos ordenes. 2. Demuestre la asociatividad de la multiplicación, 3.35, ii). 3. Demuestre también 3.35, iii), iv), v) y ix). 4. Demuestre el teorema 3.41. 5. Encontrar ordinales α, β, γ tales que α + γ = β + γ y α 6= β. 6. Probar que: (a) Si α ≤ β, entonces γ + α ≤ γ + β. (b) Si γ + α < γ + β, entonces α < β. (c) Si α + γ < β + γ, entonces α < β. (d) Si α < β, entonces para todo n ∈ ω se tiene α+n < β+n. (e) Si α + α = α, entonces α = 0. (f) Si α + α = β + β, entonces α = β. (g) Probar que si α + β = ω, entonces α ∈ ω y β = ω. (h) Si γ + α = γ + β, entonces α = β. 94 7. Probar que si β 6= 0, entonces α + β es ordinal lı́mite si y sólo si β es ordinal lı́mite. 8. Probar que α + γ = α ∪ {α + β : β ∈ γ}. S 9. S Probar que si β es ordinal lı́mite, entonces {α + γ ; γ ∈ β} = {δ : δ ∈ α + β}. 10. Sea F una operación tal que si αPes ordinal, entonces F (α) es ordinal. F sobre los ordinales por: P Definimos la operación • F (0) = 0 ; P P • si α es ordinal, entonces = F (α) + (α) ; F (Sα)P S FP { F (β) : • si α es ordinal lı́mite, entonces F (α) = β ∈ α} ; P • si α no es ordinal, entonces F (α) = 0. ProbarPque: (a) F está bien definida sobre P los ordinales. (b) Si α es ordinal, entonces P P F (α) es ordinal. (c) Definimos (β) = F (α). β∈α F P (i) Probar que n∈ω n = ω. (ii) Para cada n ∈ ω definimos fn por: (A) Dom (fn ) = ω + 1 ; (B) si m ∈ ω y m 6= n , entonces fn (m) = m ; (C) fn (n) = ω ; (D) fn (ω) =Pn. Probar que α∈ω+1 fn (α) = ω + ω + n. P (iii) Probar que si β < α , entonces γ∈β F (γ) ≤ P γ∈α F (γ). (iv) Sea α un ordinal. Probar que si G es una operación que lleva ordinales en ordinales, entonces si para todo β que F (β) ≤ G(α) , entonces P β < α implica P β∈α F (β) ≤ β∈α G(β). Probar que “ ≤ ” se puede reemplazar por “ < ” si se agrega la condición de que si γ ∈ α , entonces F (γ) 6= 0 . (v) Si F es tal que P para todo β < α se tiene F (β) = 1 , entonces α = β∈α F (β). (vi) Probar que si α es ordinal lı́mite P y para todo β < α se tiene F (β) 6= 0 , entonces β∈α F (β) es también ordinal lı́mite. 11. Probar que para todo ordinal α existe un ordinal lı́mite β y un n ∈ ω tales que α = β + n. 12. Probar que no existe un ordinal γ tal que para cualquier par de ordinales δ y β tales que δ < β se tenga α + δ < γ < α + β. 95 13. Probar que si α 6= 0 , entonces α + ω < ω + α. 14. Diremos que β es un residuo de γ si β 6= 0 y existe α tal que α + β = γ. Probar que si α > β y α y β son residuos de γ , entonces β es residuo de α . 15. Probar que: (a) Si α + β = ω, entonces α · β = ω. (b) Si γ · α < γ · β, entonces α < β . (c) Si γ 6= 0 y γ · α = γ · β , entonces α = β. (d) Si β · γ < α · γ, entonces β < α . (e) Si α · γ = β · γ y γ 6= 0 no es ordinal lı́mite, entonces α = β. 16. Bajo división por 2 un ordinal tiene por resto a 0 o a 1 , y se dirá que tal ordinal es par o impar en los respectivos casos. Clasificar los siguientes ordinales en pares o impares: (a) ω ; (b) ω + 1 ; (c) (ω + 1)2 ; (d) (ω + 1) · 2. 17. Por vecindad de un ordinal entendemos un intervalo abierto (β, γ) = {δ : δ es ordinal y β < δ < γ} al que pertenece el ordinal. Una operación F sobre el ordinal α que lleva ordinales en ordinales puede ser representada por (αi )i∈α , donde αi = F (i) , para todo i ∈ α. En tal caso hablamos de una sucesión de ordinales (es claro que si F es operacion arbitraria que lleva ordinales en ordinales, restringiéndola a un ordinal cualquiera la consideramos como sucesión de ordinales). Diremos que una sucesión de ordinales tiene lı́mite λ = limi∈α ai si y sólo si dada una vecindad (β, γ) de λ , existe un ordinal δ ∈ α tal que si δ ≤ i < α se tiene αi ∈ (β, γ). (a) Probar que limi∈α αi es el supremo de {αi : i ∈ α} , si (αi )i∈α es una sucesión de ordinales estrictamente creciente. (b) Dar un ejemplo de dos sucesiones de ordinales estrictamente crecientes (αi )i∈α y (βi )i∈α , tales que limi∈α αi + limi∈α βi 6= limi∈α (αi + βi ). (c) Probar que α es lı́mite de cualquier sucesión de ordinales tal que (αi )i∈α ⊆ Sα , pero no existe una sucesión de ordinales (αi )i∈ω que simultáneamente esté contenida en Sα − {α} y que tengta a α como lı́mite. (d) Sea (αi )i∈α una sucesión estrictamente creciente de ordinales con λ como lı́mite. Probar que αi 6= λ para todo i ∈ α. Además, probar que λ es ordinal lı́mite. 96 18. 19. 20. 21. 22. (e) Sea (αi )i∈α una sucesión de ordinales no necesariamente creciente. Probar que si α es ordinal sucesor entonces existe limi∈α αi , pero si α es ordinal lı́mite no necesariamente existe tal lı́mite. (f) Si (αi )i∈α es un a sucesión estrictamente creciente de ordinales, probar que para todo ordinal λ se tiene λ + limi∈α αi = limi∈α (λ + αi ) , pero no necesariamente se tiene limi∈α αi + λ = limi∈α (αi + λ). Probar también que λ · (limi∈α αi ) = limi∈α (λ · αi ) , pero no necesarimente (limi∈α αi ) · λ = limi∈α (αi · λ). Sea (αi )i∈α una sucesión de ordinales tal que αi = β para todo P i ∈ α. Probar que i∈α αi = β · α. (a) Probar que n · ω = ω si n ∈ ω. (b) Probar que α es ordinal lı́mite si y sólo si n · α = α para todo n ∈ ω. Probar que si α 6= 0 es ordinal sucesor, entonces para todo γ 6= 0 se tiene (γ + 1) · α > γ · α. S Probar que si β es ordinal lı́mite y α = 6 0 , entonces {α · γ : S γ ∈ β} = {δ : δ ∈ α · β}. Sea Q F una operación que lleva ordinales en ordinales. Definimos F (α) Qpor: ; • QF (0) = 1 Q • F (Sα) = F (α) · F (α) ; • Si α es ordinal lı́mite y existe β ∈ α tal que F (β) = 0 , Q entonces F (α) = 0 ; • Si α es ordinal Q lı́miteSy para todo β ∈ α se tiene F (β) 6= 0 {F (β) Q : β ∈ α} ; , entonces F (α) = • Si α no es ordinal, entonces F (α) = 0. Probar Qque: (a) QF está bien definida. (b) QF (α) es un ordinal si α lo es. (c) F (α) = 0Qsi y sólo si existe Q β ∈ α tal que F (β) = 0. (d) Definimos β∈α F (β) := F (α). Para cada n ∈ ω definimos fn por: (i) Dom (f n) = ω + 1 ; (ii) si m ∈ ω y m 6= n , entonces fn (m) = m + 1 ; (iii) fn (n) = ω ; (iv) fn (ω)Q = n + 1. Entonces α∈ω+1 fn (α) = ω · ω · (n + 1). (e) Si para toda tiene F (γ) 6= 0 , entonces si β < α Q γ ∈ α se Q se tiene γ∈β F (γ) ≤ γ∈α F (γ). 97 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. (f) Si G es una operación que lleva ordinales en ordinales, entonces si para Q todo β ∈Qα se tiene F (β) ≤ G(β) , ello implica que β∈α F (β) ≤ β∈α G(β). Simplificar ω + ω · ω y (ω + 1) · ω · ω. Probar que si β > 1 es aditivamente indescomponible y α > 0 , entonces α · β es aditivamente indescomponible. Sean α y β ordinales. Probar que si F es una operación sobre los ordinales tal que F (γ) = α para todo γ ∈ β , entonces Q F (γ) = αβ . γ∈β Encontrar la suma y el producto de la sucesión de ordinales (αi )i∈ω tal que αi = ω i , para todo i ∈ ω. Sea (αi )i∈ω la sucesión de ordinales tal que α0 = ω y αSβ = S (αβ )ω para β ∈ ω. Sea 0 = {αi : i ∈ ω}. Probar que 0 = ω 0 . (a) Probar que si α < 0 , entonces: (i) α + 0 = 0 . (ii) α · 0 = 0 . (iii) α0 = 0 . (b) Probar que β ω 0 = β ω·0 para todo ordinal β Probar que si α es ordinal lı́mite y γ 6= 0 , entonces αγ es ordinal lı́mite. Probar que si n ∈ ω , entonces nω = ω. Probar que si α es ordinal lı́mite y p y q son naturales, entonces (α · p)q = αq · p. Sean α y β ordinales tales que α 6= 0 y β > 1. Probar que existen únicos ordinales γ , δ y ρ tales que α = β γ · δ + ρ y 0 6= δ ∈ β y ρ ∈ β γ . Probar que si α 6= 0 y β 6= 0 , entonces α · ω β = Sα · ω β . Probar que si α < ω δ y β < ω δ , entonces α + β < ω δ . δ δ δ Probar que si α < ω ω y β < ω ω , entonces α · β < ω ω . Calcular: P (a) Pα∈ω 2ω . (b) Pα∈ω2 α2 . (c) Pn∈ω ω · n. (d) Q n∈ω ω n . (e) Qα∈ω2 (α + 1). (f) Qn∈ω ω n . (g) n∈ω (ω + n). (h) ω 1̇ + ω · 2 + ω · 3 + . . . + 1 + 2 + 3 + . . . (i) ω · ω 2 · ω 3 · . . . · 1 · 2 · 3 · . . . (j) ω · ω 2 · ω 3 · . . . · ω n−1 · ω n+1 · . . . · 2 · 3 · . . . 98 36. Expresar en la forma ω αn · an + ω αn−1 · an−1 + . . . + ω α1 · a1 + a0 , donde α1 < α2 < . . . < αn−1 < αn son ordinales , n ∈ ω , y ai ∈ ω − 1 para i ∈ Sn : (a) 3 · ω (b) (ω + 1)2 (c) ω · 2 · (ω + 1) (d) (ω + 1) · 2 (e) (ω 2 · 2 + ω · 4 + 3) · 5 (f) 2 + ω · 2 + ω 2 (g) (ω 2 · 3 + ω · 2) · (ω 3 · 2 + ω · 4 + 2) 37. Diremos que α > 1 es ordinal primo si no existen β y γ tales que 1 < β < α y 1 < γ < α y α = β · γ. (a) Probar que si n ∈ ω , esta definición coincide con la definición clásica de ser primo. (b) Probar que los siguientes ordinales son primos : ω, ω + 1, ω 2 + 1, ω 3 + 1, ω ω . (c) Probar que si α > 1 , entonces existe n ∈ ω tal que para todo m < n existe un ordinal primo αm , con los que se tiene : Y α= αm . m∈n ¿ Es única esta representación ? ( ver ω 2 ). (d) Probar que si α es ordinal lı́mite , entonces α es primo si β y sólo si existe un ordinal β tal que α = ω ω . (e) Probar que si α > ω es ordinal sucesor, entonces α es primo si y sólo si existe β > 0 tal que α = ω β + 1. 38. Probar las siguientes factorizaciones en primos: (a) ω 2 + ω + 1 = (ω + 1)2 (b) ω 2 · 3 + 1 = (ω 2 + 1) · 3 (c) ω 2 + 2 = 2 · (ω 2 + 1) (d) ω 3 · 7 + ω 2 · 5 + 3 = 3 · (ω 2 + 1) · 5 · (ω + 1) · 7 (e) ω ω + ω + 1 = (ω + 1) · (ω ω + 1) (f) ω ω+1 + ω ω + ω 4 + ω 2 = ω · ω · (ω 2 + 1) · (ω ω + 1) · (ω + 1) 39. Expresar como producto de primos: (a) ω 4 + 24 (b) ω · 2 + 1 (c) ω 2 + ω · 2 + 1 (d) ω 3 · 3 + ω 2 · 7 + 6 (e) ω ω + ω 3 + ω 2 (f) ω ω+1 · 2 + ω ω · 3 + 2 (g) ω 6 · 2 + ω 5 · 5 + ω 3 + ω 2 · 7 2 (h) ω ω · 6 + ω ω+5 · 3 + ω ω+1 · 2 + ω ω · 4 99 40. Calcular los siguientes lı́mites: (a) limn∈ω (2n + n) (b) limn∈ω n · ω (c) limn∈ω ω · n (d) limβ∈ω2 β · ω (e) limβ∈ω·2 2β (f) limβ∈ω·2 β 2 41. Diremos que el ordinal α es un número épsilon si α = ω α . α+1 ω α+1 (a) Definimos E(α) := (α + 1) + ω α+1 + ω ω + ωω + ... Probar que E(α) es un número épsilon, que α < E(α) , que no existe un número épsilon β tal que α < β < E(α). Probar también que si α < β y no existe un número épsilon γ tal que α < γ ≤ β , entonces E(α) = E(β). (b) Probar que si definimos εα por: • ε0 = E(0); • εSα = E(εα ); • si α es ordinal lı́mite, entonces εα = limβ∈α εβ , entonces para todo ordinal α se tiene que εα es un número épsilon y que si β es un número épsilon, entonces existe un ordinal α tal que β = εα . (c) Probar que si β es un número épsilon, entonces dado un ordinal α , se tiene que si 2 ≤ α < β , entonces α+β = β y α · β = β y αβ = β. (d) Probar que si existe un ordinal α ≥ ω tal que αβ = β , entonces β es un número épsilon. (e) Probar que si αβ = β, entonces α · β = β. (f) Probar que si α · β = β, entonces α + β = β. β (g) Probar que si β es un número épsilon, entonces αω = (αω )β , para todo ordinal α . (h) Probar que si α es ordinal lı́mite y β es un número épsilon tales que α < β , entonces αβ·α = (β · α)α . 42. Encontrar un conjunto de racionales tales que bajo su orden usual sea isomorfo a: (a) ω + 1 (b) ω · 2 (c) ω · 3 (d) ω ω ( Por ejemplo, { n+1 : n, m ∈ N − {0}} es isomorfo a ω 2 ). m P Q 43. Si λ = γ∈δ βγ , entonces αλ = γ∈δ αβγ . 44. Probar que: P 3 (a) Si para γ ∈ ω se tiene αγ = ω 2 , entonces γ∈ω αγ = ω . 100 Q (b) Si para γ ∈ ω + ω se tiene αγ = ω , entonces γ∈ω+ω αγ = ω+ω ω . Q ω (c) Si para γ ∈ ω se tiene αγ = ω γ , entonces γ∈ω αγ = ω 45. Probar que para todo α , ω α es aditivamente indescomponible. 8. La Jerarquı́a Acumulativa de Conjuntos En esta sección construiremos recursivamente una clase de conjuntos que es de gran importancia en el estudio más avanzado de los fundamentos de la teorı́a de conjuntos. Si bien estos temas caen fuera del alcance de este libro, esta construcción, llamada la jerarquı́a acumulativa de conjuntos, ayuda a entender la complejidad relativa de los conjuntos y el rol que juega el axioma de regularidad en la estructura de los mismos. Definición 3.13. Para cada ordinal α definimos V0 = ∅ Vα+1 = PVα [ Vγ , si λ es lı́mite. Vλ = γ∈λ La colección de los Vα se llama la jerarquı́a acumulativa de conjuntos. Es usual definir también el universo de von Neumann a la clase propia [ V = {Vα : Ord(α)}. Observemos que los Vα están bien definidos en virtud del teorema 3.20, ii). Las operaciones empleadas son G(x) = Px y H(x) = [ x. Debe tambien tenerse presente que V no es un objeto de nuestra teorı́a y debe entenderse sólo como una manera de abreviar un concepto correspondiente a la fórmula ϕ(x) = ∃α(Ord(α) ∧ x ∈ Vα ). Como veremos, el axioma de regularidad es equivalente a decir que todo conjunto verifica varphi(x). Teorema 3.42. 1. Si α ≤ β, entonces Vα ⊆ Vβ . 2. Si α ∈ β, entonces Vα ∈ Vβ . 3. Para todo α, Vα es ∈–transitivo. 101 El próximo lema es necesario para demostrar el principal teorema de esta sección. Lema. Sea a un conjunto, entonces ϕ(a) si y sólo si para todo x ∈ a, ϕ(x). Más informalmente, un conjunto pertenece a V si y sólo si todos sus elementos tertenecen a V. Demostración. Si a pertenece a V , entonces a ∈ Vα para algún ordinal α. Pero como Vα es ∈–transitivo, todos los elementos de a pertenecen a Vα . Supongamos que todos los elementos de a pertenecen a V. Para cada x ∈ a, sea γ(x) el menor ordinal γ tal que x ∈ Vγ . Definamos [ α = {γ(x) : x ∈ a}, el que está bien definido en virtud del axioma de reemplazo. Entonces a ⊆ Vα y por lo tanto a ∈ PVα = Vα+1 , lo que termina nuestra demostración. Resulta sencillo verificar que la clase V es cerrada bajo uniones, pares, potencias productos cartesianos y demás construcciones que hemos estudiado en los capı́tulos precedentes. Esto implica que todos los conjuntos que aparecen en la práctica, pertenecen a V. ¿ Existirá algún conjunto que no está en V? El siguiente teorema, através de una aplicación del axioma de regularidad, demuestra que este no es el caso. Teorema 3.43. Todo conjunto pertenece a algún Vα . (Más informalmente, para todo conjunto x , x ∈ V.) Demostración. Recordemos que la clausura transitiva de a , que denotamos T (a), es el menor conjunto ∈–transitivo que contiene a a , ver ejercicio 1 y que intuitivamente [ [[ [[[ T (a) = a ∪ a ∪ a∪ a··· . Supongamos que existe un conjunto a tal que a ∈ / V, o más formalmente, supongamos ¬ϕ(a), donde varphi(x) es la fórmula de L1 que lo expresa. (Ver más arriba.) Entonces por el lema 8 b = {x ∈ T (a) : ¬ϕ(x)} 6= ∅. Tomemos cualquier elemento c ∈ b. Entonces por el mismo lema, existe x ∈ c talque ¬ϕ(x), y como además x ∈ T (a), x ∈ b, es decir x ∈ c ∩ b, lo que contradice el axioma de regularidad. 102 Ejercicios. 1. 2. 3. 4. Demuestre Demuestre Demuestre Demuestre S que para todo α, Vα = {PVβ : β < α}. el teorema 3.42. α es el mayor ordinal que pertenece a Vα . el axioma de regularidad a partir del teorema 3.43. 103 104 CAPITULO 4 El Axioma de Elección El último axioma de la teorı́a de conjuntos en cierta medida pertenece a una categorı́a aparte debido a las importantes consecuencias que de él se desprenden. Estudiaremos varias formulaciones diferentes de éste y enseguida algunas de sus aplicaciones. 1. Equivalencias del Axioma de Elección Axioma de Elección (AC): “Si A es un conjunto de conjuntos no vacı́os, entonces existe una función F cuyo dominio es A y tal que para todo x ∈ A, F x ∈ x ”. Tal función se llama una función de elección para A . Observemos que [ F : A −→ A x 7−→ F x ∈ x La existencia de una función de elección implica elegir simultáneamente un elemento de cada conjunto que pertenece a A . Esto no representa ningún problema si A es finito, sin embargo si A es infinito, no es en absoluto intuitivo que se pueda hacer. Nótese también que el axioma no da ninguna idea de como construir tal función. La siguiente es una lista de los principios más importantes que son equivalentes al axioma de elección. 1. Principio Multiplicativo: Si A es una función y Dom A = I y si Ai = A(i) 6= ∅, entonces Πi∈I Ai 6= ∅. 2. Principio de Zermelo: Si P es una partición de un conjunto A , entonces existe B ⊆ A tal que para todo M ∈ P , B ∩ M tiene un solo elemento. Recordemos que toda partición sobre A induce una relación de equivalencia cuyo campo es A y cuyas clases de equivalencia son los elementos de P . El principio de Zermelo nos dice que podemos escoger un elemento de cada clase de equivalencia, es decir un sistema de representantes de las clases de equivalencia. 105 3. Principio de Enumeración: Para todo conjunto A existe un ordinal α y una función biyectiva entre ellos. 4. Principio de Buen Orden: Todo conjunto puede bien ordenarse. 5. Lema de Zorn: Si A es un conjunto parcialmente ordenado por R y todo subconjunto de A totalmente ordenado por R tiene una cota superior en A , entonces A tiene un elemento maximal. Un subconjunto de A totalmente ordenado por R se llama una R-cadena. Nótese que la hipótesis del lema de Zorn implica que A 6= ∅ ya que ∅ es una R-cadena luego tiene una cota superior en A . 6. Principio de Kuratowski: Si R es un orden parcial y S ⊆ R es un orden total, entonces hay un orden ⊆-maximal T tal que S ⊆ T ⊆ R. Dicho de otro modo, todo suborden total de un orden parcial puede extenderse a un orden total maximal. 7. Principio de Tricotomı́a: Dados dos conjuntos A y B , existe una función inyectiva de A en B o existe una función inyectiva de B en A . 8. Principio de la Imagen Inversa: Dados dos conjuntos no vacı́os A y B , existe una función sobreyectiva de A en B o existe una función sobreyectiva de B en A . Como veremos en el Capı́tulo 5 estos dos últimos principios son muy importantes en la teorı́a de cardinalidad. Teorema 4.1. Todos los principios anteriores son equivalentes al axioma de elección. Demostración. Primero demostraremos AC ⇒ 1) ⇒ 2) ⇒ AC. AC ⇒ 1). Sea A una función con Dom A = I tal que para todo i ∈ I, Ai 6= ∅, . Entonces, por el axioma de reemplazo, A = {Ai : i ∈ I} es un conjunto de conjuntos no vacı́os. Por AC, existe F, Dom F = A y para todo i ∈ I, F (Ai ) ∈ Ai . G : I −→ [ Ai i∈I i 7−→ F (Ai ) 106 G ∈ Πi∈I Ai , o sea, Πi∈I Ai 6= . 1) ⇒ 2). Sea P una partición de A . Entonces P ⊆ PA, luego P es un conjunto. Consideremos IP , la función identidad sobre P . Por 1) ΠM ∈P IP (M ) = ΠM ∈P M 6= ∅, luego existe una función G , tal que Dom G = P y para todo M ∈ P, G(M ) ∈ M . Como M ⊆ A para todo M ∈ P, Rec G ⊆ A. Además, como los elementos de P son disjuntos, para cada M ∈ P , M ∩ Rec G = {G(M )}. 2) ⇒ AC. Sea A un conjunto no vacı́o de conjuntos no vacı́os. Definamos K = {hx, yi : y ∈ x ∈ A} y P = {{hx, yi : y ∈ x} : x ∈ A}. Es claro que K es un conjunto (¿por qué?) y que P es una partición de K . Escojamos B ⊆ K tal que para cada M ∈ P, B ∩ M tiene exactamente un elemento. Entonces B es una función de elección para A . En efecto, para cada x ∈ A, B ∩ {hx, yi : y ∈ x} = {yx }, para algún yx ∈ x. Luego B es función, Dom B = A y para cada x ∈ A, B(x) ∈ x. La equivalencia de los otros principios la demostramos dando un gran cı́rculo de implicaciones que comienza y termina en AC. AC ⇒ 3. Sea A un conjunto. Vamos a encontrar un ordinal α y una función biyectiva de α en A . Podemos suponer que A 6= ∅. Consideremos PA−{∅}. Este es un conjunto no vacı́o de conjuntos no vacı́os, luego existe una función de elección F para él. Notemos que ésta asigna a cada subconjunto no vacı́o de A un elemento de si mismo. Definimos por recursión una operación unaria H como sigue F (A − H ∗ α) , si A − H ∗ α 6= ∅, H(α) = A , si A − H ∗ α = ∅. Si α < β, entonces H ∗α ⊆ H ∗β A − H ∗ β ⊆ A − H ∗ α, 107 luego, si A − H ∗ α = ∅, entonces también A − H ∗ β = ∅. Por lo tanto, si α < β; y H(α) = A, entonces Hβ = A. Si α < β y H(β) 6= A, entonces como H(α) ∈ H ∗ β y por ser F función de elección, H(β) ∈ A − H ∗ β, H(α) 6= H(β). Demostraremos ahora que existe un ordinal β tal que H(β) = A. (i.e. A − H ∗ β = ∅). Supongamos por el contrario que no existe. Entonces como H es una operación unaria (definimos Hx = x si x no es ordinal) y como para todo par de ordinales α 6= β, Hα 6= Hβ, por el axioma de reemplazo, B = {α : Hα ∈ PA − {∅}} es un conjunto. Pero por la suposición anterior, B contiene a todos los ordinales, luego no es un conjunto, contradicción. Por lo tanto existe β tal que H(β) = A. Sea \ α = {γ ∈ Sβ : H(γ = A)}, es decir α es el menor ordinal tal que H(α) = A, luego si β < α , Hβ 6= A. Definimos G : α −→ A β 7−→ H(β). Entonces G es una función biyectiva. 3) ⇒ 4). Sea A un conjunto y sean α y G como en 3). Entonces R = {hx, yi ∈ A × A : G−1 x ≤ G−1 y} es un buen orden. 4) ⇒ 5). Sea ≤ un orden parcial con campo A , tal que toda cadena tiene una cota superior. Sea S un buen orden cuyo campo es A . Definimos la siguiente operación unaria. S − menor elemento de {a ∈ A : ∀x(x ∈ F ∗ α → x < a} si éste es no vacı́o, F (α) = A si no. Intuitivamente, F (0) elije el S-menor elemento de A . F (1) elije el S-menor elemento de {a ∈ A : F (0) < a}, etc. En general F (α es el S-menor elemento de aquellos elementos de A que son ≤-mayores que aquellos elementos de A que ya han sido elejidos por F en una etapa anterior a α . 108 Si β < α y F (α) 6= A, entonces como F (β) ∈ F ∗ α, F (β) < S − menor{a ∈ A : ∀x(x ∈ F ∗ α → x < a)} = F (α). Como en la demostración anterior, existe β tal que F (β) = A, pues si no, por el axioma de reemplazo, {α : F (α) ∈ A} es un conjunto de ordinales que contiene a todos los ordinales, lo que es una contradicción. Sea α el menor ordinal tal que F (α) = A, es decir, {a ∈ A : ∀x(x ∈ F ∗ α → x < a)} = ∅. Vimos antes que para β < γ ∈ α , F (β) < F (γ), es decir, F ∗ α es una <-cadena. Como F ∗ α ⊆ A, por el Lema de Zorn, existe c ∈ A que es <-cota superior de F ∗ α, es decir ∀x(x ∈ F ∗ (α) → x ≤ c). Es claro que c es maximal pues si no, existe b ∈ A tal que b > c, pero entonces ∀x(x ∈ F ∗ α → x < b) o sea ∗ b ∈ {a ∈ A : ∀x(x ∈ F α → x < a)} = ∅, lo que es una contradicción, luego c es maximal. 5) ⇒ 6). Sea R un orden parcial y S ⊆ R un suborden total. Sea A = {T : S ⊆ T ⊆ R y T es un orden total. Consideramos A ordenado por inclusi’on. Entonces toda cadena B S tiene una cota superior, a saber, B. Por el lema de Zorn, A tiene un elemento maximal el que obviamente verifica la tesis de 6). 6) ⇒ 7). Sean A , B conjuntos. Definimos R = {hf, gi : Dom f ⊆ Dom g ⊆ A ∧ Rec f ⊆ Rec g ⊆ B ∧ f ⊆ g ∧ f es inyectiva ∧ g es inyectiva} Es claro que R es un orden parcial. Por el principio de Kuratowski con S = ∅, existe S un orden total maximal T ⊆ R. Sea F = Cam T , F es una función inyectiva, Dom F ⊆ A y Rec F ⊆ B. Supongamos que Dom F 6= A y Rec F 6= B, entonces existe a ∈ A − Dom F y b ∈ B − Rec F . Definimos G = F ∪ {(a, b)}, 0 T = T ∪ {hf, Gi : f ∈ T } ∪ {hG, Gi}. 109 Entonces, como G es inyectiva, Dom G ⊆ A y Rec G ⊆ B, T ⊂ T 0 ⊆ R, o sea, T no es maximal, una contradicci’on. Por lo tanto Dom F = A o bien Rec F = B. En el primer caso F es inyectiva de A en B , en el segundo caso, F −1 es inyectiva de B en A . 7) ⇒ 8). Sean A y B conjuntos no vacı́os. Supongamos sin pérdida de generalidad que existe una función inyectiva, f : A −→ B. Sea a ∈ A y definamos g(x) = g : B −→ A f −1 (x) , si x ∈ f ∗ A, a , si x ∈ B − f ∗ A. Entonces g es sobreyectiva. 8) ⇒ AC. Para demostrar esta implicación debemos demostrar un lema previo. Lema 4.2. Sea B un conjunto. Entonces Γ = {α : existe función inyectiva f : α −→ B} también es un conjunto. Demostración. Sea M = {R : R es un buen orden y campo R ⊆ B}. M ⊆ P(PB × PB), por lo tanto M es un conjunto. Como sabemos, por el teorema 3.27, para todo buen orden R existe un único ordinal α tal que R y {hβ, γi : β ≤ γ < α}, es decir, el orden de α , son isomorfos. Entonces Γ = {α : existe R ∈ M α es isomorfo con R}. En efecto, si α ∈ Γ existe una función inyectiva f : α −→ B, entonces R = {hf (β), f (γ)i : β ≤ γ < α} ∈ M, R y α son isomorfos y el isomorfismo es precisamente f . Supongamos ahora que α es isomorfo a un buen orden R ∈ M y sea g : α −→ R tal isomorfismo. Entonces por ser isomorfismo, g es inyectiva y g : α −→ Cam R ⊆ B, es decir α ∈ Γ. Como M es conjunto, por el axioma de reemplazo, Γ es un conjunto. Demostremos ahora el teorema. Sea A un conjunto no vacı́o de conjuntos no vacı́os. Queremos encontrar una función de elección para 110 A . Como A es conjunto, P demostrado, S A también lo es,luego or el lema recién Γ = {α : existe función inyectivaf : α −→ P [ A es un conjunto de ordinales. Sea β S= ∪Γ + 1. Es claro que no existe una función inyectiva de β en P A ya que β 6∈ Γ. Por otro lado, tampoco existe una función sobreyectiva S f : A −→ β, pues si existiera, podriamos definir [ g : β −→ P A α 7−→ f −1∗ {α} , S o sea, existirı́a una función inyectiva de β en P A, contradiciendo la última afirmación. S Entonces por 8), existe una función sobreyectiva g : β −→ A. Definamos F : A −→ [ a 7−→ g( A \ g −1∗ a) . FS es una función de elección. En efecto, si x ∈ A, entonces −1∗ x ⊆ A y como g es sobreyectiva T g−1∗ x 6= ∅ es un conjunto de ordinales g x. Es claro entonces que T −1∗ cuyo menor elemento es g( g x) ∈ x. 2. Aplicaciones En todas las ramas de las matemáticas hay importantes aplicaciones del axioma de elección. A continuación daremos una breve lista con algunas de éstas. 1. Todo espacio vectorial tiene una base. 2. La unión enumerable de conjuntos enumerables es enumerable. 3. Existe un conjunto de números reales que no es Lebesgue-medible. 4. El producto de espacios compactos es compacto. 5. Todo anillo con unidad tiene un ideal maximal. 6. Todo orden parcial puede extenderse a un orden total. 7. El teorema de Hahn-Banach. 8. El teorema de completud para la lógica de primer orden. 9. Toda álgebra de Boole es isomorfa a un campo de conjuntos. 111 Demostraremos algunas de éstas. Supondremos que el lector maneja los conceptos involucrados en cada caso. Teorema 4.3. Todo espacio vectorial tiene una base. Demostración. Sea V un espacio vectorial y sea A = {B ⊆ V : B es linealmente independiente}. Consideremos a A parcialmente ordenado por inclusión. Sea entonces C = {BiS: i ∈ I} una cadena de elementos de A . S Entonces C ⊆ V y C contiene a todos los miembros de la cadena. S Veremos ahora que CSes linealmente independiente. Sean v0 , v1 , . . . , vn−1 ∈ C, luego existe B0 , . . . , Bn−1 ∈ C tales que vi ∈ Bi , i < n. Pero C es una cadena, luego Bi ⊆ Bn−1 , i < n, por lo tanto S v0 , . . . , vn−1 ∈ Bn−1 y como éste es linealmente independiente, C es un S conjunto linealmente independiente. Por lo tanto C pertenece a A , luego toda cadena de A tiene una cota superior y por el lema de Zorn A tiene un elemento maximal. Probar que un conjunto linealmente independiente maximal es una base es un ejercicio elemental de algebra lineal. Teorema 4.4. La unión enumerable de conjuntos enumerables es enumerable. Demostración. Recordemos que un conjunto A se dice enumerable si existe una biyección entre A y ω. Sea C un conjunto enumerable de conjuntos enumerables. Por simplicidad podemos suponer que los elementos de C son todos disjuntos. Si C = {Ai : i ∈ ω}, sea fi : ω −→ Ai una biyección. Definimos F : ω × ω −→ S [ Ai hn, mi 7−→ fn (m) g : ω × ω −→ Ai como sigue g(n, m) = fn (m). g es inyectiva ya que si g(n, m) = g(p, q) entonces fn (m) = fp (q) ∈ An ∩ Ap , y como los Aj son disjuntos se tiene que n = p. Entonces como las fi son inyectivas, m = q, o sea, g es inyectiva. 112 S g es sobreyectiva ya que si a ∈ Ai existe n tal que a ∈ An y como fn es sobreyectiva, existe m tal que a = fn (m) = g(n, m). S Es decir, existe una biyección g de ω × ω en C. Por otra parte es bien sabido que existen biyecciones entre ω y ω × ω (ver el capı́tulo 5). Si tomamos cualesquiera de ellas, digamos, h : ω −→ ω × ω, S entonces f = g ◦ h es una biyecci’on entre ω y C , luego este último es enumerable. Observemos que en la demostración anterior aparentemente no hemos usado el axioma de elección. Sin embargo éste se usó cuando escogimos las funciones biyectivas fi , especificamente, si Bi = {f : ω −→ Ai , f biyectiva } A = {Bi : i ∈ ω} es un conjunto no vacı́o de conjuntos no vacı́os (ésto último por hipótesis) luego por el axioma de elección existe para cada i un elemento fi ∈ Bi . Este teorema es el ejemplo clásico de uso encubierto del axioma de elección. Durante años los matemáticos hicieron uso de argumentos como el anterior sin darse cuenta de que estaban usando un principio especial. Teorema 4.5. Existe un conjunto de números reales que no es Lebesgue-medible. Demostración. Definimos sobre [0, 1) la siguiente relación de equivalencia. x ∼ y ssi x − y ∈ Q Entonces ∼ induce una partición de [0, 1). Por el principio de Zermelo, existe un subconjunto B ⊆ [0, 1) tal que B contiene exactamente un representante de cada clase de equivalencia. Sea {ri }i∈ω una enumeración de los racionales entre 0 y 1 (ver capı́tulo 5) y sea Bi = B + ri = {x + ri : x ∈ B}, donde la suma es módulo 1 i.e. x+y si x + y < 1 x+y = x + y − 1 si x + y ≥ 1 Es bien sabido que si A es un conjunto Lebesgue-medible, entonces A + a también lo es; más aún, m(A) = m(A + a). 113 Notemos que todo x ∈ [0, 1) pertenece a algún Bi puesto que ∼ induce una partición de [0, 1). Por lo tanto [ [0, 1) = bi . i∈ω Además la unión es disjunta ya que Bi ∩ Bj = ∅ si i 6= j. En efecto, si x, y ∈ B y x + ri = y + rj entonces x − y = rj − ri ∈ Q , o sea, x ∼ y y como B contiene un solo representante de cada clase de equivalencia, x = y, entonces ri = rj , o sea, i = j, contradicción, luego i 6= j ⇒ Bi ∩ Bj = ∅. Por lo tanto m([0, 1) = m( [ Bi ) = i∈ω X m(Bi ). i∈ω Si B fuera medible, por la observación hecha anteriormente, para S todo i ∈ ω, m(BiS ) = m(B), entonces si m(B) = 0, m( Bi ) = 0 y si m(B) 6= 0, m( Bi ) = ∞, pero m([0, 1)) = 1, por lo tanto B no puede ser medible. Teorema 4.6. Todo orden parcial puede extenderse a un orden total sobre el mismo campo. Demostración. Sea ≤ un orden parcial, B = Cam ≤. Consideremos el conjunto de todos los órdenes totales que extienden a≤ A = {R ⊆ B × B : R es un orden total y ∀x, y(x ≤ y → x Ry), A está ordenado por inclusión. S Sea {Ri }, i ∈ I, una cadena de elementos de AS. Es claro que S Ri es un orden total y que si x ≤ y, entonces x Ri y, es decir Ri es una cota superior de la cadena que pertenece a A , luego, por el lema de Zorn, A tiene un elemento maximal. Llamemoslo M . Para demostrar nuestro teorema es suficiente probar que campo M = B. Supongamos que no es ası́, entonces existe a ∈ B − Cam M . Definimos el nuevo orden R como sigue R = M ∪ {hx, ai : x ∈ Cam M, a ≤ x} ∪ {ha, xi : x ∈ Cam M, x ≤ a}. 114 Es fácil verificar que R es un orden total que extiende a M , contradicción. Ejercicios. 1. Demuestre sin usar el axioma de elección que todo conjunto tiene una función de elección. (Indicación: Use inducción sobre el número de elementos del conjunto). 2. Demuestre que el conjunto K definido el el teorema 4.1, 2) ⇒ AC es efectivamente un conjunto y que el conjunto P es una partición de K . 3. Complete los detalles de la demostración de 4.1, 5) ⇒ 6). 4. Demuestre que la relación R definida en la demostración del teorema 4.1, 6) ⇒ 7), es efectivamente un orden parcial. 5. Demuestre que toda relación binaria contiene una funció con el mismo domino. 115 116 CAPITULO 5 Cardinales En este capı́tulo investigaremos uno de los tópicos más importantes de la teorı́a de conjuntos, a saber, la teorı́a de la cardinalidad o número de elementos que tiene un conjunto. Hasta el momento sabemos cómo contar los elementos de los conjuntos finitos. En este capı́tulo formalizaremos estos conceptos intuitivos y los generalizaremos a conjuntos infinitos. La mayor parte de los teoremas de este capı́tulo dependen del axioma de elección. Indicaremos éstos mediante el sı́mbolo † . 1. Definiciones y Resultados Básicos Definición 5.1. i) Dos conjuntos A y B son equinumerosos ssi existe una biyección entre A y B . En tal caso escribimos A ∼ B. ii) Un ordinal α es un cardinal ssi α no es equinumeroso con ninguno de sus elementos. Si α es un cardinal escribimos Car (α). En general usaremos letras góticas minúsculas m, n, p · · · para designar cardinales. Ejemplo. 1. Dos intervalos de números reales son siempre equinumerosos. Para demostrar esto basta ver que f : [a, b] −→ [c, d] d−c cb − ad x 7−→ x+ b−a b−a es una biyección. 2. Todo intervalo abierto es equinumeroso con el conjunto de los números reales. Considérese la función π π tan : (− , ) −→ R 2 2 Sabemos que tan x es una biyección. Una función similar a la del ejemplo anterior demuestra que cualquier intervalo abierto es equinumeroso con (− π2 , π2 ). 117 3. ω y ω × ω son equinumerosos. Considérese la función f : ω × ω −→ ω hm, ni 7−→ 2m (2n + 1) − 1 . f es una biyección. Resulta claro que la relación “ser equinumeroso” es reflexiva, simétrica y transitiva, pero no es una relación dentro de nuestra teorı́a ya que su campo es la clase de todos los conjuntos. Naturalmente, si nos restringimos a un conjunto particular, ésta es una relación de equivalencia. En el caso finito, la cantidad de elementos de un conjunto nos sirve como una noción de tamaño. Para ello se identifica todos aquellos conjuntos que tienen el mismo número de elementos, en otras palabras, todos aquellos que son equivalentes bajo la “relación”anterior. Una posible idea es definir la cardinalidad de un conjunto como su “clase de equivalencia” bajo la relación de equinumerosidad, sin embargo, es claro que la clase de equivalencia de cualquier conjunto no vacı́o es una clase propia, por lo tanto no existen dentro de nuestra teorı́a,luego no podemos usarlas como “cardinales”. Para conjuntos finitos, es fácil ver que en cada “clase de equivalencia” habrá un único número natural, éste se conoce habitualmente como la cardinalidad o número de elementos del conjunto, vale decir, aquel único natural con el que es equinumeroso. Podemos tratar de generalizar la idea anterior a conjuntos infinitos, sin embargo, hay dos dificultades, la primera es que dado un conjunto infinito cualquiera, no podemos garantizar que exista algún ordinal que es equinumeroso con él. De hecho tal afirmación es ni más ni menos, el principio del buen orden, es decir, equivalente con el axioma de elección. En segundo lugar, es fácil ver que si existe un ordinal equinumeroso con un conjunto infinito dado, éste no será nunca único, como lo demuestra por ejemplo la función que aparece en la demostración del teorema 5.3, la que nos dice que α y α + 1 son siempre equinumerosos. Por estos motivos, la manera de extender la noción de cardinalidad de los conjuntos finitos a los infinitos es suponer el Axioma de Elección y escoger un representante de cada una de las “clases de equivalencia”, a saber, el menor ordinal que pertenece a ella. Necesitamos antes un par de resultados. Teorema 5.1. Si m 6= n, entonces m y n no son equinumerosos. Demostración. Como m y n son ordinales distintos m ∈ n o n ∈ m, luego m y n no son equinumerosos por definición de cardinal. 118 Teorema 5.2. † Para todo conjunto A existe un único cardinal n tal que A y n son equinumerosos. Demostración. Por el principio de enumeración existe un ordinal α tal que A es equinumeroso con α . Sea \ m = {β ∈ Sα : A ∼ β}, o sea, m es el menor elemento del conjunto no vacı́o {β ∈ Sα : A ∼ β}, es claro entonces que A ∼ m. Por último, si existiera β ∈ m tal que β ∼ m, tendrı́amos que β ∼ A, luego m no es el menor elemento del conjunto anterior, contradicción. Por lo tanto m es un cardinal. Resulta claro que m no depende del ordinal α usado en la definición. Definición 5.2. La cardinalidad |A| de un conjunto A es el único cardinal m tal que A ∼ m. Decimos también que m es el cardinal de A. Teorema 5.3. Si A , B son conjuntos y α es un ordinal, i) A ∼ B ssi |A| = |B|. ii) A ∼ |A|. iii) |α| ≤ α. iv) Si α ∼ A, entonces |A| ≤ α. v) α es un cardinal ssi |α| = α. vi) Si ω ≤ α, entonces |α + 1| = α. Demostración. vi) Si ω ≤ α, entonces α = ω + γ. Definimos f : α + 1 −→ α como sique si x = α, 0 x + 1 si x ∈ ω, f (x) = x si x 6∈ ω, x 6= α . Es claro que f es una biyección. El próximo teorema es probablemente el resultado más importante sobre cardinalidad que puede demostrarse sin usar el axioma de elección. Teorema 5.4. Cantor - Schroeder - Bernstein Si A y B son dos conjuntos tales que existen funciones inyectivas f : A −→ B y g : B −→ A, entonces |A| = |B|. 119 Demostración. Notemos primero que si A1 = g ∗ f ∗ A entonces A1 ∼ A ya que g ◦ f : A −→ A1 es claramente inyectiva y sobreyectiva. Por otra parte, si D = g ∗ B, entonces D ∼ B. Sea h = g ◦ f y definamos An+1 A0 = A , D0 = D = h∗ An , Dn+1 = h∗ Dn .. . En el diagrama los An son los cuadrados y los Dn son los cı́rculos. Ahora podemos demostrar por inducción que para todo n ∈ ω, An+1 ⊆ Dn ⊆ An . Definimos F : A −→ D S h(x) , si x ∈ (An − Dn ) F (x) = x , si no S Observe que (An − Dn ) es la zona sombreada en el dibujo. F es S inyectiva ya que paraSx, y ∈ A, tenemos tres S posibilidades x, y S ∈ (An − Dn ), x, y 6∈ (An − Dn ) ó x ∈ (An − Dn ) y y 6∈ (An −Dn ). En los dos primeros casos es claro que si F (x) = F (y), entonces x = y. Nos queda la tercera posibilidad pero en este caso F (x) = h(x) y x ∈ An − Dn para algún n , luego h(x) ∈ An+1 . Si suponemos que h(x) ∈ Dn+1 , entonces h(x) = h(z) para algún z ∈ Dn (ya que Dn+1 = h∗ Dn ) pero como h es inyectiva, z = x, es decir x ∈ DnSpero x ∈ An − Dn , contradicción luego h(x) 6∈ An+1 , o sea, h(x) ∈ (An − Dn ) y por lo tanto 120 F (x) = h(x) 6= y = F (y). Para ver que F es sobreyectiva recordemos primero que para todo n 6= 0, An ⊆ D ⊆ A. Sea x ∈ D y n el menor natural tal que x 6∈ An , entonces x ∈ An−1 . Si x 6∈ Dn−1 , n − 1 6= 0 y entonces x ∈ An−1 − Dn−1 y por lo que vimos anteriormente, x ∈ h∗ (An−2 − Dn−2 ), S luego x = h(y) = F (y) para S algún y ∈ (An − Dn ). Si x ∈ Dn−1 , x 6∈ (An − Dn ) pues x 6∈ An para m ≥ n y x ∈ Dm para m < n. Por lo tanto, x = F (x). En cualquier caso x ∈ F ∗ A luego F es sobreyectiva. Hemos demostrado que A ∼ D ∼ B, luego |A| = |B|. Teorema 5.5. Si A ⊆ B, entonces |A| ≤ |B|. Demostración. Supongamos por el contrario que |B| < |A| y sean f, g biyecciones f A −→ |A| j↓ ↑i B −→ |B| g donde i y j son la función identidad. Entonces j : A −→ B es inyectiva, f −1 ◦ i ◦ g : B −→ A es inyectiva, luego por el teorema 5.4, |A| = |B|, contradicción luego |A| ≤ |B|. Teorema 5.6. † Las siguientes tres condiciones son equivalentes. i) |A| ≤ |B|. ii) Hay una función inyectiva f : A −→ B. iii) A = ∅ o hay una función sobreyectiva g : B −→ A. Demostración. i) ⇒ ii) Sean f : A −→ |A|, g : |B| −→ B biyecciones, entonces g ◦ f : A −→ B es inyectiva. ii) ⇒ iii) Sea A 6= ∅, a ∈ A y f : A −→ B inyectiva. Definimos g : B −→ A como sigue. −1 f (x) , si x ∈ f ∗ A , g(x) = a , si no , entonces g es sobreyectiva. 121 iii) ⇒ i)† Supongamos A 6= 0 y sea g : B −→ A sobreyectiva. Entonces g −1∗ A induce una partición de B , a saber, {g −1∗ {a} : a ∈ A}. Por el axioma de elección, escogemos un sistema de representantes para esta partición. Definimos f : A −→ B asignando a x ∈ A el representante de g −1∗ {x} anteriormente elegido. Es claro que f es inyectiva, luego, |A| ∼ |f ∗ A| y f ∗ A ⊆ B, luego por 5.5, |A| = |f ∗ A| ≤ |B|. Observemos que el axioma de elección se usa solamente en la demostración de iii) ⇒ i). Todas las otras implicaciones se pueden demostrar sin ese axioma. Todavı́a no hemos dado ningún ejemplo de cardinal. Los siguientes dos teoremas remedian esta situación. Teorema 5.7. Si n ∈ ω, entonces n es un cardinal. Demostración. Por inducción. Es claro que 0 es un cardinal. Supongamos que n es un cardinal y n + 1 no lo es. Entonces existe m < n + 1 tal que m ∼ n + 1, es claro que m 6= 0. Sea f : n + 1 −→ m una biyección. Podemos suponer que f (n) = m − 1, porque si no, mediante una permutación apropiada lo podemos lograr. Entonces f n : n −→ m − 1 es una biyección, luego, por hipótesis de inducción, m − 1 = n, o sea, m = n + 1, una contradicción. Por lo tanto n + 1 es cardinal, lo que completa nuestra inducción. Teorema 5.8. ω es cardinal. Demostración. Sabemos por 5.3, iii), que |ω| ≤ ω. Si |ω| < ω, |ω| = m para algún número natural m. Pero m ⊆ m + 1 ⊆ ω, luego |ω| = m = |m| ≤ |m + 1| = m + 1 ≤ |ω| luego m = m + 1, contradicción. Luego |ω| = ω. Teorema 5.9. Cantor Para todo A, |A| < |PA|. Demostración. Es claro que |A| ≤ |PA| ya que la asignación a 7−→ {a} define una función inyectiva de A en PA. Supongamos que existe una función sobreyectiva f : A −→ PA y sea 122 B = {x ∈ A : x 6∈ f (x)}. Como B ⊆ A y f es sobreyectiva, existe a ∈ A tal que B = f (a). Entonces si a ∈ B, por definición a 6∈ f (a), luego a 6∈ B. Si a 6∈ B, entonces a 6∈ f (a), o sea, a ∈ B, es decir, a ∈ B si y sólo si a 6∈ B, contradicción, luego tal función sobreyectiva no puede existir y |A| = 6 |PA|. Corolario 5.10. Dado un ordinal α , existe un cardinal m > α. Demostración. Basta considerar m = |Pα|. Corolario 5.11. No existe el conjunto de todos los cardinales. Demostración. Si existiera el conjunto C de todos los cardinales, por el teorema recién demostrado, el conjunto [ {α ∈ n : α < n} n∈C contendrı́a a todos los ordinales y por lo tanto éstos constituirı́an también un conjunto. S Teorema 5.12. Si Γ es un conjunto de cardinales, entonces Γ es un cardinal. S Demostraci ón. Supongamos S S S Γ no es un cardinal, entonces, | Γ| < Γ (recordemos que Γ es un ordinal). Luego, existe n∈Γ [ | Γ| ∈ n ∈ Γ , S pero n ⊆ Γ y [ [ | Γ| < n = |n| ≤ | Γ| . Definición 5.3. Para todo ordinal α, α+ es el menor cardinal mayor que α . Definimos la operación ℵ (aleph) recursivamente para todo ordinal. 123 ℵ0 = ω ℵα+1 = (ℵα )+ [ ℵλ = ℵα , si λ es lı́mite. α<λ Ejercicios. 1. Demuestre que la relación “ser equinumeroso” es refleja simétrica y transitiva. 2. Probar que: (a) PPP0 ∼ 4. (b) Si A ∼ B, entonces C A ∼ C B. (c) Si B ∩ C = ∅, entonces B∪C A ∼ B A × C A. (d) C (B A) ∼ B×C A. (e) C (A × B) ∼ C A × C B. (f) Si R1 es el conjunto de todos los órdenes estrictos sobre X y R2 es el conjunto de todos los órdenes sobre X, entonces R1 ∼ R2 . (g) Probar que si E es el conjunto de todas las clases de equivalencia sobre A y P es el conjunto de todas las particiones de A , entonces E ∼ P . 3. Sea A un conjunto. Probar que PA ∼ A 2. 4. Sea {Ij : j ∈ J} una partición de I. Probar que Y Y Y Ai ∼ ( Ai ). i∈I j∈J i∈Ij 5. Si A1 ∼ A2 y B1 ∼ B2 y A1 ∩ B1 = A2 ∩ B2 = ∅, probar que A1 ∪ B1 ∼ A2 ∪ B2 . 6. Probar que si A ∼ C y B ∼ D, entonces A × B ∼ C × D. 7. Probar que si A ∼ B, entonces PA ∼ PB. 8. Probar que si (A − B) ∼ (B − A), entonces A ∼ B. 9. Probar que si A ∼ B y a ∈ A y b ∈ B, entonces (A − {a}) ∼ (B − {b}). 10. Probar que si A ∼ B y C ∼ D y C ⊆ A y D ⊆ B, entonces (A − C) ∼ (B − D). 11. Sean (Ai )i∈I y (Bi )i∈I dos familias, cada una de conjuntos disjuntos dos S S a dos. Si Ai ∼ Bi para todo i ∈ I, probar que A ∼ i i∈I i∈I Bi . 12. Sean (Ai )i∈I y (Bi )i∈I dos familias tales que Ai ∼ Q de conjuntos Q Bi para todo i ∈ I. Probar que i∈I Ai ∼ i∈I Bi . 124 13. Demuestre las partes del teorema 5.3 que no fueron demostradas en el texto. 14. Haga la inducción mencionada en la demostración del teorema 5.4. 15. Demuestre directamente, sin usar el axioma de elección, la equivalencia de las dos primeras afirmaciones del teorema 5.6. 16. Demuestre directamente, sin usar el axioma de elección, la implicación i) ⇒ iii) del teorema 5.6. 17. Probar que para intervalos de números reales se tiene (a, b) ∼ [a, b]. 18. Probar que ω y | ω 2| son cardinales distintos. 19. Probar que |Q| = |Q[x]| = ω, donde Q[x] es el conjunto de polinomios en x con coeficientes en Q. 20. Sea R el conjunto de todas las raı́ces reales de polinomios de Q[x]. Probar que |R| = ω. 21. Si B ⊆ A y ω ⊆ |B| < |A|, cual es la cardinalidad de A − B ?. 22. Probar que α es un cardinal tal que ω < α si y sólo si α es ordinal lı́mite. 23. Para α y β ordinales, probar o dar contraejemplo de: (a) Si α y β son cardinales, entonces α + β es cardinal. (b) Si α y β son cardinales, entonces α · β es cardinal. (c) |α + β| = |α| + |β|. (d) |α · β| = |α| · |β|. (e) Si α < β, entonces |α| < |β|. 24. Sean A , B y C conjuntos. Probar que: (a) Si B 6= ∅, entonces |A| ≤ | B A|. (b) SI B ⊆ C, entonces | B A| ≤ | C A|. (c) Si |B| ≥ 2, entonces |A| ≤ | A B|. 25. Probar que para todo α , ℵα es un cardinal. 26. Probar que: (a) ℵα = ℵβ si y sólo si α = β. (b) ℵα < ℵβ si y sólo si α < β. 27. Probar que para todo cardinal α existe un ordinal β tal que α < ℵβ . 2. Conjuntos Finitos y Conjuntos Infinitos En esta sección daremos un marco formal a la nociones intuitivas de finitud e infinitud yveremos algunas diferencias entre estos dos tipos de conjuntos. Definición 5.4. i) Un conjunto A es finito si |A| < ℵ0 . ii) A es infinito si |A| ≥ ℵ0 . 125 iii) A es enumerable si |A| = ℵ0 . Una consecuencia inmediata de esta definición es que los números naturales son finitos, es más, la cardinalidad de un conjunto finito es siempre un número natural. Ası́ por ejemplo |{x}| = 1 , |{x, y}| = 2 , si x 6= y, etc. Teorema 5.13. Si A ⊆ B o existe una función sobreyectiva f : B −→ A, entonces: i) Si A es infinito, B es infinito, ii) † Si B es finito, A es finito. Demostración. Si A ⊆ B, use el teorema 5.5. Si existe una función sobreyectiva f : B −→ A, entonces como existe una biyección g : |A| −→ A, tenemos que g ◦ f : |A| −→ B es una función sobreyectiva, luego por el teorema 5.6, |A| ≤ |B|. (Aquı́ es donde hemos usado el axioma de elección.) La conclusión del teorema se sigue de esta afirmación. Teorema 5.14. Si A es finito y B ⊂ A, entonces |B| < |A|. Demostración. Sea b ∈ A − B y f : A −→ m una biyección. Podemos suponer que f (b) = m − 1 pues si f (b) 6= m − 1 podemos permutar dos valores de f y la función resultante sigue siendo biyectiva. Entonces f B : B −→ m − 1 es inyectiva y por el teorema 5.6, |B| ≤ m − 1 < m = |A|. Recuérdese que esta parte del teorema 5.6 no requiere del axioma de elección. El teorema anterior caracteriza a los conjuntos finitos, de hecho, se puede definir conjunto infinito como un conjunto que es equinumeroso con uno de sus subconjuntos propios. Un conjunto que satisface esta propiedad se dice Dedekind–infinito. Se necesita el axioma de elección para demostrar que ser infinito y ser Dedekind–infinito es equivalente. Teorema 5.15. † Un conjunto A es infinito si y sólo si A es equinumeroso con uno de sus subconjuntos propios. 126 Demostración. ⇐) Por el teorema anterior. ⇒) † Como A es infinito, |A| ≥ ℵ0 = ω, luego existe una función inyectiva f : ω −→ A. Definamos h : A −→ A − {f (0)} como sigue f (f −1 (x) + 1) si x ∈ f ∗ ω, h(x) = x si x 6∈ f ∗ ω. es claro que h es biyectiva. Teorema 5.16. Si A y B son finitos, |A| = |B| y f : A −→ B, entonces f es inyectiva si y sólo si f es sobreyectiva. Demostración. ⇒) Supongamos f es inyectiva. Si f no es sobreyectiva, entonces como f ∗ A ⊆ B, por 5.14 |A| = |f ∗ A| < |B|, contradicción. ⇐) Supongamos que f es sobreyectiva. Entonces f induce la siguiente partición sobre A : {f −1∗ {b} : b ∈ B} Podemos seleccionar un representante de cada elemento de la partición y definir g : B −→ A b 7−→ el representante de f −1∗ {b} seleccionado. Obsérvese que como B es finito, la partición indicada es finita y por lo tanto para seleccionar un representante de cada elemento de la partición no es necesario el axioma de elección. Es claro que f (g(b)) = b y que g es inyectiva. Aplicando la primera parte de esta demostración a g, ésta es sobreyectiva, es decir, g es biyectiva. Por último f = g −1 , luego f es inyectiva. Ejercicios. 1. Demuestre que un conjunto A es Dedekind–infinito si existe una función inyectiva de A en A , que no es sobreyectiva. 2. Sea F una función de A sobre B , con A enumerable. Probar que |B| ≤ ℵ0 . 127 3. Probar que, si A y B son finitos, entonces A ∪ B, A × B y A B son finitos. Si A o B son enumerables ¿es alguno de los conjuntos mencionados infinito no numerable?. 4. Probar que A es infinito si y sólo si existe un subconjunto enumerable de A . 5. Probar que si A es infinito y B no es vacı́o, entonces A × B es infinito. 6. Probar que si A es infinito y B ⊆ A es finito, entonces A − B es infinito. 7. Probar que A es infinito si y sólo si para todo n ∈ ω existe B ⊆ A con B ∼ n. 8. Sean A infinito y B enumerable. Probar que A ∼ (A ∪ B). 9. Probar que si A es enumerable y x ∈ A, entonces A − {x} es enumerable. Probar que A es infinito si y sólo si A ∼ (A − {x}). 10. Probar que si PA es infinito, entonces A es infinito. 11. Probar que todo subconjunto de un conjunto enumerable es finito o enumerable. 12. Probar que si A y B son enumerables, entonces A × B es enumerable. Probar lo mismo si B es finito no vacı́o. 13. Sea S (Ai )i∈ω una familia de conjuntos enumerables. Probar que i∈ω Ai es enumerable. 14. Probar que si A es enumerable, entonces existe B ⊆ A enumerable tal que A − B es enumerable. 15. Probar que si n ∈ ω, entonces ω n es enumerable (exponenciación ordinal). S 16. Probar que si I = ω, entonces i∈I ω i es enumerable. 17. Probar que el conjunto de todos los subconjuntos finitos de un conjunto enumerable es enumerable. 18. Probar que si A es infinito, entonces A es enumerable si y sólo si A ∼ B para todo B ⊆ A infinito. 19. Probar que si A es el conjunto de los subconjuntos infinitos de ω, entonces |A| = | ω 2|. 20. Sea a = (an )n∈ω una familia de naturales. Entonces: (a) Diremos que a es eventualmente constante si existen n0 ∈ ω y s ∈ ω tales que an = s para todo n ≥ n0 . Probar que el conjunto de las familias eventualmente constantes de números naturales es enumerable. (b) Diremos que a es eventualmente periódica si existen n0 ∈ ω y p ∈ ω − 1 tales que an+p = an para todo n ≥ n0 . Probar que el conjunto de las familias eventualmente periódicas de números naturales es enumerable. 128 21. 22. 23. 24. 25. 26. (c) Diremos que a es progresión aritmética si existe d ∈ ω tal que an+1 = an + d, para todo n ∈ ω. Probar que el conjunto de las progresiones aritméticas de números naturales es enumerable. Probar que una partición de un conjunto enumerable tiene un conjunto de representantes, sin usar el Axioma de Elección o alguno de sus equivalentes. Sea ϕ una fórmula con variable libre x . Probar que si A es finito y se verifica ϕ(∅) y para todo x ∈ A y todo B ⊆ A si se verifica ϕ(B), también se verifica ϕ(B ∪ {x}), entonces se verifica ϕ(A). Probar que A es finito si y sólo si A pertenece a todo conjunto K tal que ∅ ∈ K y para todo x ∈ A y todo B ⊆ A tal que B ∈ K, se tenga B ∪ {x} ∈ K. Probar que A es finito si y sólo si A pertenece a todo conjunto K tal que ∅ ∈ K, y x ∈ A implica {x} ∈ K y, si B ∈ K y C ∈ K, entonces B ∪ C ∈ K. Probar que A es finito si y sólo si PA es el único conjunto K tal que K ⊆ PA, ∅ ∈ K, x ∈ A implica {x} ∈ K, y si B ∈ K y C ∈ K, entonces B ∪ C ∈ K. Probar que, si A es enumerable, entonces existe una familia B de conjuntos tal que: (a) B es enumerable, (b) si C ∈ B, entonces C es enumerable, (c) Si S C y D están en B , y C 6= D, entonces C ∩ D = ∅ , y (d) B = A. Probar el recı́proco usando el Axioma de Elección. 3. Aritmética Cardinal En esta sección definiremos suma, producto y exponenciación de cardinales y algunas de sus propiedades. También veremos que estas operaciones tienen una interpretación intuitiva. 3.1. Suma de Cardinales. Definición 5.5. Sea hmi : i ∈ IiX una familia de cardinales. La suma cardinal de los mi denotada por mi es el cardinal del conjunto i∈I [ i∈I {hi, αi : α ∈ mi } 129 Si I = 2, escribimos X mi = m0 +c m1 i∈2 Más generalmente si i = n, escribimos X mi = m0 +c · · · +c mn−1 . i∈n La idea de la definición es que la suma de cardinales representa la cardinalidad de la unión de conjuntos disjuntos que tienen las cardinalidades indicadas, ası́ por ejemplo, [ m0 +c m1 = |{(0, α) : α ∈ m0 } {(1, α) : α ∈ m1 }| como |{(0, α) : α ∈ m0 }| = m0 y |{(1, α) : α ∈ m1 }| = m1 , la finalidad de tomar estos conjuntos de pares ordenados es simplemente disjuntar los conjuntos (obviamente m0 y m1 no son disjuntos). El siguiente teorema nos dice que no importa qué conjuntos usemos para calcular la suma siempre que estos sean disjuntos y tengan las cardinalidades adecuadas. Teorema 5.17. † Si hAi : i ∈ Ii y hBi : i ∈ Ii son familias de conjuntos disjuntos dos a dos tales que para todo i ∈ I Ai ∼ Bi , entonces [ [ X Ai ∼ Bi ∼ |Ai | i∈I i∈I i∈I Demostración. Para i ∈ I, sea fi : Ai −→ Bi una biyección. Definimos f: [ i∈I Ai −→ [ Bi a 7−→ fi (a) , si a ∈ Ai . f está bien definida ya que los Ai son disjuntos a pares, luego a no puede pertenecer a dos de ellos al mismo tiempo. Es claro también que S f es biyectiva. Obsérvese que f = i∈I fi . Teorema 5.18. | [ i∈I Ai | ≤ X 130 i∈I |Ai |. En particular [ i∈I mi ≤ X mi . i∈I Demostración. Si |Ai | = mi para cada i ∈ I, sea fi : mi −→ A biyectiva y definamos: g: [ [ {hi, αi : α ∈ mi } −→ Ai i∈I hi, αi 7−→ fi (a). P Es fácil ver que g es sobreyectiva luego por 5.6, | i∈I |Ai |. S i∈I Ai | ≤ Algunas propiedades elementales de la suma de cardinales están resumidas en el próximo teorema. X Teorema 5.19. i) 0 = 0. i∈I X ii) mi = 0. i∈0 X X iii) Si I ⊆ J, entonces mi ≤ mi . i∈I i∈J X X iv) Si mi ≤ ni , para i ∈ I, entonces mi ≤ ni . i∈I i∈I X 1 = m. v) β<m Demostración. i) y ii) son obvias a partir de la definición. iii) Basta notar que [ [ {hi, αi : α ∈ mi } ⊆ {hi, αi : α ∈ mi }, i∈I i∈J luego aplicar 5.5. iv) Idem iii) ya que [ [ {hi, αi : α ∈ mi } ⊆ {hi, αi : α ∈ ni } i∈I i∈I v) Obsérvese que f : m −→ [ β∈m {hβ, αi : α ∈ 1} β 7−→ hβ, 0i 131 es una biyección. Teorema 5.20. (Conmutatividad Generalizada) Si hmi : i ∈ Ii es una familia de cardinales y σ es una permutación de I (i.e. σ : I −→ I es una biyección), entonces X X mi = mσ(i) i∈I i∈I Demostración. Considérese f: [ [ {hi, αi : α ∈ mi } −→ {hi, αi : α ∈ mσ(i) } i∈I i∈I −1 hi, αi 7−→ hσ (i), αi. Es claro que f es biyectiva, por ejemplo, para verificar que f es S sobreyectiva, sea hk, βi ∈ i∈I {hi, αi : α ∈ mσ(i) } es decir k ∈ I y β ∈ mσ(k) . Sea j = σ(k), entonces con hj, βi ∈ S f (hj, βi) = hσ −1 (j), βi = hk, βi, i∈I {hi, αi : α ∈ mi }, luego f es sobreyectiva. Teorema 5.21. (Asociatividad generalizada) Sea {hmij : hi, ji ∈ I × Ji} una familia de cardinales. Entonces XX X mij = ( mij ). hi,ji∈I×J i∈I j∈J Demostración. Para cada hi, ji ∈ I × J definimos Aij = {hhi, ji, αi : α ∈ mij }. Entonces los Aij sondisjuntos a pares y |Aij | = mij , para todo hi, ji ∈ I × J. Por el teorema 5.17, X [ mij = | Aij |. hi,ji∈I×J Además, para cada i ∈ I, | [ j∈J hi,ji∈I×J Aij | = 132 X j∈J mij . S Pero h j∈J Aij : i ∈ Ii es también una familia de conjuntos disjuntos a pares luego X [ [ [ | Aij | = | ( Aij )|. i∈I j∈J i∈I j∈J Para terminar basta con notar que [[ [ Aij , Aij = i∈I j∈J hi,ji∈I×J por asociatividad de la unión. Juntando los cuatro resultados anteriores, X X X mij = ( mij . hi,ji∈I×J i∈I j∈J Para completar estos resultados sobre la suma cardinal veremos algunos teoremas sobre cardinales finitos. Teorema 5.22. Para todo par de números naturales m, n, m +c n = m + n Demostración. Por inducción sobre n . Si n = 0, es fácil comprobar que m +c 0 = m y lo dejamos como ejercicio. Luego m +c 0 = m = m + 0 Antes de demostrar el paso inductivo demostraremos que m +c 1 = m + 1. En efecto, f : {h0, `i : ` ∈ m} ∪ {h1, 0i} −→ m + 1 h0, `i 7−→ ` h1, 0i 7−→ m es una biyección, luego m +c 1 = m + 1. Supongamos ahora que m +c n = m + n entonces m +c Sn = m +c (n + 1) = m +c (n +c 1) , por lema, = (m +c n) +c 1 , por 5.21, = (m + n) + 1 , por hipótesis y lema, = m + (n + 1) = m + Sn Esto completa la inducción. 133 Corolario 5.23. Si A y B son finitos, entonces A lo es. S B también Demostración. Por 5.17, |A∪B| ≤ |A|+c |B| = |A|+|B| < ω. 3.2. Producto de Cardinales. Definición 5.6. Sea hmi : i ∈ Ii una familia de cardinales. El producto cardinal de los mi es Y Xi∈I mi = | mi | i∈I Si I = 2, Xi∈I mi se escribe m0 ×c m1 . En general si I = n, Xi∈I mi = m0 ×c m1 ×c · · · ×c mn−1 . Como en el caso de la suma, el producto de cardinales no depende de los conjuntos que empleemos para calcularlo, sólo de las cardinalidades de esos conjuntos. Teorema 5.24. † Si |Ai | = |Bi | para todo i ∈ I, entonces Y Y | Ai | = | Bi |. i∈I i∈I Demostración. Sea fi : Ai −→ Bi una biyección. Consideremos Y Y f: Ai −→ Bi i∈I i∈I definida por Q f (a)(i) = fi (a(i)), Para todo a ∈ i∈I Ai . Veamos que f es inyectiva. Si f (a) = f (b), entonces para todo i ∈ I decir f (a)(i) = f (b)(i), es fi (a(i)) = fi (b(i)), pero como para todo i ∈ I, las funciones fi son inyectivas, a(i) = b(i), es decir, a = b. Q Para verificar que f es sobreyectiva. Sea b ∈ i∈I Bi y sea a(i) = fi−1 (b(i)). Tal a(i) existe por ser fi biyectiva. Es claro que f (a) = b. Q Q Por lo tanto f es biyección y i∈I Ai ∼ i∈I Bi . Q Corolario 5.25. | i∈I Ai | = Xi∈I |Ai | y en particular |A × B| = |A| ×c |B|. 134 El próximo teorema resume algunas propiedades elementales de el producto cardinal. Teorema 5.26. i) Si Xi∈I mi = 0. ii) Xi∈∅ mi = 1. iii) X i∈I 1 = 1. X iv) m = |I| × m. mi = 0 para algún i ∈ I, entonces i∈I v) Si mi ≤ ni , para todo i ∈ I, entonces Xi∈I mi ≤ Xi∈I ni . Q Demostraci ón. i) En este caso i∈I mi = ∅. Q ii) Qi∈∅ mi = {0} iii) i∈I 1 = {f }, donde f (i) = 0, para todo i ∈ I. iv) Nótese que [ I × m = {hi, αi : α ∈ m}, i∈I luego por definición, X [ m = | {hi, αi : α ∈ m}| i∈I v) En este caso i∈I = |I ×c m| = |I| ×c m. Y i∈I mi ⊆ Y ni . i∈I Teorema 5.27. (Conmutatividad Generalizada) Si σ es una permutación de I , entonces Xi∈I mi = Xi∈I mσ(i) . Demostración. Considérese la biyección Y Y f : mi −→ mσ(i) , i∈I i∈I definida por f (a)(i) = a(σ(i)). Teorema 5.28. (Asociatividad Generalizada) Xhi,ji∈I×J mij = Xi∈I (Xj∈J mij ). 135 Demostración. Por el teorema 5.24 YY Xi∈I (Xj∈J mij ) = | ( mij )| i∈I j∈J Xhi,ji∈I×J mij = | Definimos F : Q hi,ji∈I×J mij −→ Y hi,ji∈I×J mij | Q ( j∈J mij ) i∈J Q F (f )(i)(j) = f (hi, ji). Es claro que F es biyección. Teorema 5.29. (Distributividad) Si para todo i ∈ I ni es un cardinal, X X n ×c ni = m ×c ni . i∈I i∈I Demostración. Notemos primero que X [ m ×c ni = | {hi, α, βi : α ∈ m, β ∈ ni }|, i∈I i∈I ya que para todo i ∈ I, n ×c ni ∼ {hi, α, βi : α ∈ m, β ∈ ni }. Por otra parte n ×c Por último F : m ×c [ i∈I X i∈I ni = |m ×c [ {hi, βi : β ∈ ni }|. i∈I {hi, βi : β ∈ ni } −→ [ {hi, α, βi : α ∈ m, β ∈ ni } i∈I hα, hi, βii 7−→ hi, α, βi es obviamente biyectiva. El siguiente teorema tiene por consecuencia el que las operaciones de suma y producto cardinal para el caso infinito son en algún sentido triviales. Teorema 5.30. Sea m un cardinal infinito. Entonces m ×c m = m 136 Demostración. Supongamos que esto es falso. Sea m el menor cardinal tal que m ×c m 6= m. Definiremos un orden sobre el producto cartesiano m ×c m y demostraremos que éste es un buen orden. Para α, β, γ, δ ∈ m definimos hα, βi 4 hγ, δi si y sólo si 1. α = γ y β = δ ó 2. α ∪ β < γ ∪ δ ó 3. α ∪ β = γ ∪ δ y α < γ ó 4. α ∪ β = γ ∪ δ y α=γ y β ≤ δ. No demostraremos que 4 es un orden lineal sobre m ×c m pues su demostración es rutinaria. Para ver que 4 es un buen orden, sea Γ ⊆ m ×c m no vacı́o. Sea \ γ = {α ∪ β : hα, βi ∈ Γ}, es claro que γ existe pues es el menor elemento de un conjunto no vacı́o de ordinales. Sea \ δ = {α : hα, βi ∈ Γ} para algún β y α ∪ β = γ}. Finalmente sea ε= \ {β : hδ, βi ∈ Γ} Es fácil ver que hδ, εi es el menor elemento de Γ. Luego, 4 es un buen orden con campo m ×c m y por lo tanto es isomorfo a algún ordinal α . Sea f : α −→ m ×c m el isomorfismo (i.e. si β < γ ∈ α, entonces f (β) 4 f (γ)). Nótese que en particular, α ∼ m ×c m. Supongamos que α ≤ m. Entonces m ×c m = |m ×c m| = |α| ≤ m = m ×c 1 ≤ m ×c mc donde para el último paso hemos usado 5.26, v) , o sea, m ×c m = m, una contradicción. Por lo tanto α > m, es decir m ∈ Dom f . Sean f (m) = hβ, γi ∈ m × m δ = (β ∪ γ) + 1. Como m es lı́mite, δ ∈ m y β ∪ γ < δ = δ ∪ δ por lo tanto (β, γ 4 (δ, δ). De hecho para todo ε < m 137 Por lo tanto f (ε) 4 f (m) 4 hδ, δi y f (ε) 6= δ. es inyectiva, luego, f m : m −→ δ × δ m ≤ |δ × δ| = |δ| ×c |δ|. Como δ < m, o bien, δ es finito, o bien |δ| ×c |δ| = |δ|. En el primer caso m es finito. En el segundo m ≤ |δ| y δ < m lo que contradice el que m sea cardinal. Esto concluye la demostración. Corolario 5.31. Si m ≥ ℵ0 ó n ≥ ℵ0 , entonces m +c n = m ∪ n. Si además m 6= 0 y n 6= 0, m ×c n = m ∪ n. Si α, β son ordinales, entonces ℵα + ℵβ = ℵα∪β = ℵα ×c ℵβ . Demostración. Supongamos sin pérdida de generalidad que m ≥ ℵ0 y m ≥ n. Entonces Luego m +c n ≤ = ≤ = ≤ m +c m m ×c 2 por 5.26 iv), m ×c m m m +c n m +c n = m = m ∪ n. Si además suponemos n > 0, Luego m ×c n ≤ = = ≤ m ×c m m m ×c 1 m ×c n m ×c n = m = m ∪ n. La observación respecto de los ℵ ahora es obvia. Corolario 5.32. Sea mS un cardinal infinito, |Ai | ≤ m para todo i ∈ I y |I| ≤ m. Entonces | i∈I Ai | ≤ m. 138 Demostración. | [ i∈I Ai | ≤ ≤ X i∈I X |Ai | m i∈I = |I| ×c m ≤ m ×c m = m. Corolario 5.33. La unión enumerable de conjuntos enumerables es enumerable. Teorema 5.34. † (Desigualdad de Zermelo) Si para todo i ∈ I mi < ni , X mi < Xi∈I ni . i∈I Demostración. Como ni − mi 6= ∅, existe f ∈ Definimos ahora [ Y F : {hi, αi : α ∈ mi } −→ ni i∈i Q i∈I (ni − mi ). i∈I f (j) si i 6= j, α si i = j. F es inyectiva. En efecto, supongamos que F (hi, αi)(j) = F (hi, αi) = F (hj, βi), es decir, para todo k ∈ I, F (hi, αi)(k) = F (hj, βi)(k). Entonces, si i 6= j, f (j) = F (hi, αi)(j) = F (hj, βi)(j) = β pero f (j) 6∈ mj y β ∈ mj , contradicción. Luego, i = j. Pero entonces α = β y F es inyectiva. Por lo tanto, X mi ≤ Xi∈I ni . i∈I Supongamos que son iguales. Entonces existe una biyección [ Y h : {hi, αi : α ∈ mi } −→ ni . i∈I i∈I 139 Para cada i ∈ I definimos hi : {hi, αi : α ∈ mi } −→ ni hi, αi 7−→ h(hi, αi)(i) . Es claro que hi es inyectiva porque h lo es. Entonces |h∗i {hi, αi : α ∈ mi }| ≤ |{hi, αi : α ∈ mi }| = mi < ni Podemos usar nuevamente el principio multiplicativo y encontrar Y `∈ (ni − ki∗ {hi, αi : α ∈ mi }). Como ` ∈ Q i∈I i∈I ni y h es sobreyectiva, existe i ∈ I, α ∈ mi tal que ` = h(hi, αi, pero entonces `(i) = h(hi, αi)(i) = hi (hi, αi) ∈ ki∗ {hi, αi : α ∈ mi }, contradiciendo la definición de `. Por último verificamos que el producto de cardinales finitos se comporta como lo deseamos. Teorema 5.35. Si m, n son naturales m ×c n = m · n Demostración. Por inducción - m ×c 0 = 0 = m · 0 - Supongamos m ×c n = m · n. Entonces m ×c Sn = |m × (n ∪ {n})| = |m × n ∪ m × {n}| y como la unión es disjunta y m × {n} ∼ m, m ×c Sn = m ×c n +c m = m·n+m = m · Sn . Corolario 5.36. El producto finito de cardinales finitos es finito. 140 3.3. Exponenciación de Cardinales. Para terminar con esta sección definiremos la operación de exponenciación de cardinales. Debemos tener presente que al igual que en el caso de las sumas y los productos, la exponenciación cardinal difiere radicalmente de la exponenciación ordinal. Sin embargo, diferencia de las otras dos operaciones, no existe una buena manera de distinguir notacionalmente ambas exponenciaciones. Para no recargar aún más una notación de suyo algo engorrosa, hemos optado por usar la misma notación para las dos dejando al contexto como indicador de cuál de las dos exponenciaciones se está usando. En general, como las letras góticas designan cardinales, no hay demasiada poibilidad de confusión. Definición 5.7. Si m y n son cardinales, mn = |n m| Es decir la exponenciación de m por n es la cardinalidad del conjunto de todas las funciones de m en n . Por simplicidad notacional, cuando el exponente sea un ℵ no lo subrayaremos. Teorema 5.37. Dados dos conjuntos A y B , |A B| = |B||A| Demostración. Basta probar que A B ∼|A| |B|. Consideremos las biyecciones f y g como en el diagrama. A x −→ f↓ B ↑g F (x) |A| −→ |B| Definimos F : A B −→ |A| |B| x 7−→ g ◦ x ◦ f F es una biyección porque f y g lo son. Teorema 5.38. i) m0 = 1. ii) Si m 6= 0, entonces 0m = 0. iii) 1m = 1. iv) m1 = m. v) Xi∈I m = m|I| . 141 Demostración. i)Q- iv) Son obvias. v) Basta notar que i∈I m = I m. P Teorema 5.39. i) m ii) (Xi∈I mi )n = Xi∈I mni . ni = Xi∈I mni . i) Sea Demostración. F : i∈I S i∈I {hi,αi:α∈mi } m −→ Y (ni m) i∈I f 7−→ F ◦ f donde F (f )(i) es la función de ni en m definida por F (f )(i)(α) = f (hi, αi). ii) Sea n F : Y i∈I mi −→ Y (n mi ) i∈I donde F (f )(i) es la función de n en mi definida por F (f )(i)(α) = f (α)(i) Tanto en i) como en ii) F es biyectiva. Teorema 5.40. (mn )p = mn×c p . Demostración. La función F : p (n m) −→ n×c p m definida por F (f )(hα, βi) = f (β)(α) es la biyección requerida. El siguiente teorema es bastante útil. Teorema 5.41. Para cualquier conjunto A , |P(A)| = 2|A| 142 Demostración. Asociamos a cada conjunto de A su función caracterı́stica: donde χ : P(A) −→ A 2 B 7−→ χB , χB (x) = Es claro que χ es biyectiva. 1 si x ∈ B, 0 si x 6∈ B . Teorema 5.42. Sean 1 < m ≤ n dos cardinales y n > ℵ0 , entonces mn = 2n . Demostración. mn ≤ = = ≤ (2m )n 2m×c n 2n mn , en donde hemos usado el hecho de que la exponenciación es creciente (ver ejercicios) y dos teoremas anteriores. Luego mn = 2n . Ejercicios. 1. 2. 3. 4. 5. ¿Dónde usamos el axioma de elección en el teorema 5.17? Probar que si m ≤ n, entonces m +c p ≤ n +c p. Probar que si m +c 1 = m, entonces m es infinito. Probar que si m es infinito, entonces ℵ0 +c m = m. Sea hmi : i ∈ Ii una familia de cardinales que no contiene a su mayor elemento. Probar que para todo j ∈ I se tiene P mj < i∈I mi . 6. Asumiendo que cada suma es de ℵ0 términos, probar que: (a) 1 +c 2 +c 3 +c · · · = ℵ0 . (b) n +c n +c n +c · · · = ℵ0 . (c) ℵ0 +c ℵ0 +c ℵ0 +c . . . = ℵ0 . 7. Probar que m ≤ n si y sólo si existe p tal que m +c p = n. 8. Probar Pque: (a) β≤α ℵβ = ℵα . P (b) Si α es ordinal lı́mite, entonces . β∈α ℵβ = ℵ Sα (c) Si (αi )i∈I es una familia de ordinales, con i∈I αi ⊆ α, P S entonces ℵα = i∈I ℵαi si y sólo si α = i∈I αi . 143 9. Probar que si m ≤ n, entonces m ×c p ≤ n ×c p. 10. (a) Probar que si m ≤ n, entonces mp ≤ np . (b) Sea p 6= 0. Probar que si m < n, entonces pm ≤ pn . Probar también que si pm < pn , entonces m < n. (c) Más generalmente, demuestre que si m ≤ n con m 6= 0 y p ≤ q, entonces mp ≤ nq . 11. Probar que si n ∈ ω y c = 2ℵ0 , entonces: (a) (n+c 2)ℵ0 = ℵℵ0 0 = n+c c = n×c c = cn = ℵ0 +c c = ℵ0 ×c c = cℵ0 = c +c c = c ×c c = c2 = c. (b) (n +c 2)c = ℵc0 = cc = 2c . (c) ℵ0 6= c 6= 2c . Q 12. Probar que si I = ω − 1, entonces i∈I i = c. 13. Probar que {m : mℵ0 = m} es infinito. 14. Probar que si m +c n = p, entonces (r +c s)p ≥ rm ×c sn . 15. Si m ≥ ℵ0 y m ≤ n ×c p, probar que m ≤ n o m ≤ p. 16. Un cardinal infinito m se dice dominante si n < m y p < m implica np < m. Probar que m es dominante si y sólo si p < m implica 2p < m. 17. Probar que si m P Qi ≤ n paran todo i ∈ I, con |I| ≤ n, entonces i∈I mi ≤ n y i∈I mi ≤ 2 . 18. Probar que ℵ0 ≤ 2ℵ0 . 19. Probar que m2 = n2 implica m = Qn. 20. Probar que si mi = c, entonces i∈ω mi = c. Q |α| 21. Probar que β≤α ℵβ = ℵα , y si α es ordinal lı́mite, entonces Q |α| β∈α ℵβ = ℵα . 22. Si α y β son ordinales tales que |α| ≤ ℵγ y |β| ≤ ℵγ , entonces |α + β| ≤ ℵγ y |α · β| ≤ ℵγ . 23. Si a es un subconjunto propio de ℵα , entonces |ℵα − a| = ℵα . ℵβ ℵ 24. Probar que ℵα+1 = ℵαβ ×c ℵα+1 . ℵ 25. Probar que si 2ℵβ ≥ ℵα , entonces ℵαβ = 2ℵβ . ℵβ 26. Probar que Q si n ∈ ω, entonces ℵn = ℵn ×c 2ℵβ . 27. Probar que n∈ω ℵn = ℵℵω0 . 28. Probar que ℵℵω1 = ℵℵω0 ×c 2ℵ1 . 4. Cardinales Regulares y Singulares Definición 5.8. Decimos que el ordinal β es cofinal con el ordinal α si existe una función estrictamente creciente f : β −→ α que no es acotada en α . La cofinalidad de α es el menor ordinal cofinal con α y se le denota cof (α). 144 Obsérvese que si α = β + 1 es un sucesor, la función f : 1 −→ α tal que f (0) = β no es acotada en α , lo que prueba que la cofinalidad de un sucesor es siempre 1, por lo que este concepto tiene interés solo para ordinales lı́mite. El siguiente lema es consecuencia inmediata de la definición y puede ser usado como definición alternativa. Lema. Si β es cofinal con α , entonces existe una función f : β −→ α tal que [ f (γ) = α. γ<β Definición 5.9. Un cardinal infinito se dice regular si es igual a su cofinalidad. En caso contrario diremos que el cardinal es singular. Ejemplos 1. ω es regular. 2. ℵω es singular ya que cof (ℵω ) = ℵ0 . 3. Mas generalmente, ℵα es singular si y sólo si α es lı́mite. Esto lo demostraremos más adelante. Teorema 5.43. Un cardinal S m es regular si y sólo si para todo X ⊆ m, si |X| < m, entonces X < m. Demostración. Supongamos que m regular y sea X ⊆ m tal que S |X| < m. Veremos que X 6= m. Para ello sea h : |X| −→ X una biyección y definamos recursivamente f : |X| −→ m como sigue \ f (β) = {γ ∈ X : f ∗ β ⊆ γ and h(β) ≤ γ}, es decir, f asigna a β el menor elemento de X que sea mayor o igual que h(β) y que todos los valores asignados previamente por f . Es fácil ver por inducción que f es creciente y como para todo β < |X|, h(β) < f (β), [ [ [ X⊆ h(β) ≤ f (β). β<|X| Pero por hipótesis y lemma [ β<|X| f (β) < m, β<|X| que es lo que queriamos demostrar. Si m no es regular entonces cof (m) ⊆ m, |cof (m)| = cof (m) < m S y cof (m) = m, es decir, X = cof (m) es un contraejemplo para la condición del teorema. 145 Teorema 5.44. † Todo cardinal sucesor infinito es regular. Demostración. Consideremos el cardinal ℵα+1 y sea f : β −→ ℵα+1 una función creciente donde β < ℵα+1 . Para cada γ < β, f (γ) ≤ ℵα , luego | [ γ<β |≤ X γ<β |f (γ)| ≤ X γ<β ℵα = |β| ×c ℵα ≤ ℵα ×c ℵα = ℵα . Luego f es acotada en ℵα+1 y por lo tanto ningún β menor que ℵα+1 puede ser cofinal con él. Por lo tanto cof (ℵα+1 ) = ℵα+1 y éste es regular. Ejercicios. ¿Cuál es la cofinalidad de ω + ω, ω · ω, ω ω ? Demuestre que cof (α) es un cardinal. Demuestre que cof (cof S (α)) = cof (α). Si m es un cardinal, cof (m) = m. Demuestre que la función f definida en el teorema 5.43 es efectivamente creciente. 6. Demuestre que cof (m) es el menor cardinal n tal que existe una partición de m en n conjuntos cada uno de los cuales tiene cardinalidad estrictamente menor que m. 1. 2. 3. 4. 5. 5. La Hipótesis del Continuo Por el teorema de Cantor 5.9 sabemos que ℵ0 < 2ℵ0 , es decir, el conjunto de todos los subconjuntos de ω tiene mayor cardinalidad que ω . Sin embargo no sabemos si existe algún otro cardinal entre ℵ0 y 2ℵ0 . La afirmación de que este no es el caso recibe el nombre de Hipótesis del Continuo (HC), es decir 2ℵ0 = ℵ1 . Tal nombre se debe a que, como sabemos, el conjunto R de los números reales, o continuo, es equinumeroso con el conjunto potencia de ω . En otras palabras, HC dice que el segundo cardinal infinito es la cardinalidad de los números reales. Como corolario se obtiene que todo subconjunto no enumerable de números reales tiene la misma cardinalidad. 146 En la década del 30, K. Gödel demostró que HC es compatible con ZFC, es decir, que si existe un modelo de ZFC, entonces existe un modelo en el cual HC también es válido. En otras palabras, es imposible demostrar a partir de ZFCque HC es falsa. En la década del 60, P. Cohen demostró que HC tampoco es demostrable a partir de ZFC. Estos dos resultados conjuntamente implican que HC es independiente de ZFCy que tanto ella como su negación pueden ser agregadas como nuevo axioma de la teorı́a obteniéndose resultados muy distintos. La Hipótesis Generalizada del Continuo (HGC) es la afirmación 2ℵα = ℵα+1 . Los resultados de Gödel y Cohen también se aplican a HGC. Es interesante también notar que con posterioridad a los trabajos de Cohen, se ha demostrado que es consistente con ZFCque 2ℵ0 = ℵ1 , ℵ2 , . . . , pero como veremos a continuación, no puede tomar cualquier valor. Lema. ℵω < ℵℵω0 . Demostración. Como sabemos, ℵω = dad de Zermelo 5.34, como ℵm < ℵω , ℵω < Y m∈ω P n∈ω ℵm . Por la desigual- = ℵℵω0 . Corolario 5.45. 2ℵ0 6= ℵω . Demostración. Si 2ℵ0 = ℵω , entonces una contradicción. 2ℵ0 < (2ℵ0 )ℵ0 = 2ℵ0 ×c ℵ0 = ℵ0 , Suponiendo HGC resulta bastante fácil calcular las exponenciales de cardinales. Teorema 5.46. Si n es un cardinal infinito, entonces ncof (n) > n. 147 S Demostración. Sea F : cof (n) −→ n be such that α<cof (n) F (α) = n. Entonces n= [ α<cof (n) X F (α) ≤ α<cof (n) Teorema 5.47. Sean m que HGC es válida. Entonces m n m+ m = n+ |F (α)| < Y n = ncof (n) . α<cof (n) y n dos cardinales infinitos y suponga si si si n < cof (m), cof (m) ≤ n ≤ m, m<n. Demostración. (i) Supongamos que n < cof (m). Sea f ∈n m entonces f es acotada en n , luego f ∈n α, para algún α ∈ m. luego m ≤ = |n m| n [ ≤ | α| α<m ≤ ≤ ≤ ≤ X α<m X |α|n (|α| ∪ n)|α|∪n α<m X (|α| ∪ n)+ , por 5.42 y HGC, α<m X α<m m = m ×c m = m (ii) Si cof (m) ≤ n ≤ m, m < mcof (m) ≤ mn = m+ , por lo tanto mcof (m) = m+ . (iii) Es consecuencia directa de 5.42 y HGC. Ejercicios. 1. Demuestre que HGC es equivalente con mcof (m) = m+ , para todo m infinito. 148 2. (Hausdorff) Demuestre que ℵ ℵ β ℵα+1 = ℵαβ ×c ℵα+1 . 3. Demuestre que dados dos cardinales m y n, m > 2 y n > ℵ0 , se tiene cof (mn ) > n. Concluya que 2ℵ0 6= ℵω . 149 150 Bibliografı́a [1] Chuaqui, R. B. Aximatic Set Theory. Impredicative Theories of Classes. North– Holland, 1981. [2] Di Prisco, C. A. Una Introducción a la Teorı́a de Conjuntos y los Fundamentos de las Matemáticas. IVIC., Venezuela, 1996. Notas de Clase. [3] Enderton, H. B. Introduction to Set Theory. Academic Press, 1977. [4] Hrbacek, K. y Jech, T. Introduction to Set Theoru. Marcel Dekker, 1984. [5] Kunen, K. Set Theory, an Introduction to independence proofs. North-Holland, 1980. [6] Kuratowski, K. y Mostowski, A. Set Theory, with an introduction to descriptive set theory. North–Holland, 1976. [7] Monk, J. D. Introduction to Set Theory, Mac Graw-Hill, New York, 1969. [8] Moore, G. H. Zermelo’s Axiom of Choice. Its origins, Development, and influence. Springer–Verlag, 1982. 151 152 Glosario función inversa 30 imagen de un conjunto por una función 30 función de a en b 31 función inyectiva 31 función uno a uno 31 función sobreyectiva 31 función identidad 33 restricción de una función 33 relación reflexiva 40 relación simétrica 40 relación transitiva 40 relación de equivalencia 40 clase de equivalencia 41 partición 42 partición asociada a una relación de equivalencia 42 relación asociada a una partición 42 relación antisimétrica 44 relación conexa 45 orden parcial 45 orden total 45 relación asimétrica 46 orden estricto 46 relaciones isomorfas 46 isomorfismo de orden 46 preorden 47 cota superior 48 cota inferior 48 supremo 48 ı́nfimo 48 elemento minimal 48 elemento maximal 48 relación bien fundada 49 buen orden 49 sucesor 57 conjunto Inductivo 58 números naturales 58 Principio de Inducción 58 clase propia 6 pertenencia 8 Axioma de Extensionalidad 9 subconjunto 9 Axioma del Conjunto Vacı́o 9 conjunto vacı́o 10 ∅ 10 Axioma de Separación 10 Axioma de Pares 11 par no-ordenado 11 singleton 11 Axioma de Uniones 11 unión 11 intersección 12 conjuntos disjuntos 12 Axioma del Conjunto Potencia 13 conjunto potencia 13 Axioma de Regularidad 13 Axioma del Conjunto Infinito 14 función proposicional 14 Axioma de Reemplazo 14 complemento relativo 17 diferencia de conjuntos 17 complemento 18 par ordenado 23 producto cartesiano 24 relación 24 dominio de una relación 24 recorrido de una relación 24 campo de una relación 25 composición de relaciones 25 inversa de una relación 25 imagen de un conjunto por una relación 27 función 30 dominio de una función 30 recorrido de una función 30 campo de una función 30 composición de funciones 30 153 Principio de Inducción Completa 61 ∈–transitivo 64 ordinal 64 Principio de Inducción Transfinita 70 ordinal sucesor 70 ordinal 70 clausura transitiva 75 función no–decreciente 75 función estrictamente creciente 75 función continua 75 función normal 75 jerarquı́a acumulativa 101 universo de von Neumann 101 función de elección 105 equinumerosos 117 cardinal 117 cardinalidad 119 cardinal de un conjunto 119 Teorema de Cantor, Schroeder y Bernstein 119 Teorema de Cantor 122 ℵ 123 conjunto finito 125 conjunto infinito 126 conjunto enumerable 126 suma cardinal 129 Teorema de Zermelo 139 cofinal 144 cofinalidad 144 Hipótesis del Continuo 146 Hipótesis Generalizada del Continuo 147 154