guia matematicas financieras ii

UNIVERSIDAD DEL VALLE DE MÉXICO
CAMPUS LAGO DE GUADALUPE
GUÍA DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS II
Profesor: Esther Velázquez Constante
Bloque I. Anualidades Ordinarias
Esta asignatura tiene el propósito de proporcionar al estudiante y a la sociedad en términos generales un sentido
de cultura general sobre las nociones para analizar e interpretar, el valor variable del dinero en cuestiones de
devaluación, tratados de libre comercio en este mundo globalizado u orientar sus decisiones en la administración
de una economía que puede darse a nivel personal o empresarial; proporciona al estudiante, elementos valiosos
para el análisis de información, los cuales serán de suma importancia para la toma de decisiones en las
operaciones financieras como por ejemplo: En las solicitud de créditos, en la inversión de dinero, así como hacer
propuestas para afrontar crisis financieras por cuestiones inflacionarias.
Teoría
Las anualidades ordinarias o vencidas son aquellas en las cuales los pagos son hechos a su vencimiento,
es decir, al final de cada periodo.
Ejemplo, el pago de salarios a los empleados, el trabajo es primero, luego el pago
Tipo de Anualidad más Común:
 Anualidad Simple, Cierta, Ordinaria, Inmediata.
 Simple.- Porque los periodos de capitalización y los periodos de pago son iguales.
 Ciertas.- Porque las fechas de inicio y terminación de la anualidad se conocen con precisión.
 Ordinarias.- El pago de la renta se realiza al final del periodo.
 Inmediata.-el primer pago se realiza en el primer periodo de la anualidad.
FORMULAS QUE SE UTILIZAN
Valor final o valor futuro
Valor presente o valor actual
Donde:
VF = El Monto de la Anualidad.
i = Tasa de la Anualidad.
n = Número de periodos de capitalización o de pago de la anualidad.
VA = Valor Actual o Presente de la anualidad.
Ejercicios:
1. Calcular el valor final de una anualidad ordinaria de 10 000 anuales durante 4 años al 5% de
interés.
Datos:
Formula:
A = 10 000
n = 4 años
i = 5% anual = 0.05
Reemplazando:
2.
¿En cuánto se convierte una anualidad ordinaria de $ 5 000 anuales, durante 6 años, al 3%?
Datos:
A = 5 000
n = 6 años
Formula:
i = 3% = 0.03
3. Un documento estipula pagos trimestrales de $80 000 durante 6 años. Si este documento se
cancela con un solo pago de A) Al principio ó B) al final. Determinar valor presente y valor
futuro suponiendo un interés del 32% CT.
Datos:
A = $ 80 000
n = 6 años × 4 ⇒ 24 trimestres
i = 32% ÷ 4 ⇒ 8% efectivo trimestral
Formulas a Utilizar:
A) Valor Presente:
Reemplazamos:
 El Valor Presente de la Anualidad es $ 842.301
B) Valor Futuro:
 Reemplazamos:
 El Valor Futuro de la Anualidad es $ 5 341.181
Tasa de interés
La tasa de interés es el porcentaje al que está invertido un capital en una unidad de tiempo,
determinando lo que se refiere como "el precio del dinero en el mercado financiero".
La tasa de interés es fijada por el Banco central de cada país a los otros bancos y estos, a su vez, la fijan a
las personas por los préstamos otorgados.
Una tasa de interés alta incentiva al ahorro y una tasa de interés baja incentiva al consumo.
Interés Simple
Si un amigo(a) te pide un préstamo de $10.000, podemos decir que el CAPITAL que has prestado es de
$10.000.
Si tu amigo(a) promete devolverte $11.000 en un mes más, podemos decir que obtendrás un interés de
$1.000.
LA TASA DE INTERÉS, que es el porcentaje que representa el interés sobre el capital en un periodo
determinado.
A este concepto de tasa de interés, también se le denomina RENTABILIDAD en renta fija.
En el interés simple, el Capital y la Ganancia por el interés permanecen invariables en el tiempo.
EJEMPLOS:
· Calcular el valor futuro y el valor presente de la siguiente
$2.000 semestrales durante 8 ½ años al 8%, capitalizable semestralmente.
M = 2.000 [(1 + 0, 04)17 -1] = 47.395,07 valor futuro
C = 2.000 [1 – (1+ 0, 04)-17] = 24.331,34 valor presente
anualidad
ordinaria.
0,04
0,04
Problemas de Anualidades Vencidas
Calcular el valor futuro y el valor presente de las siguientes anualidades ciertas ordinarias.
1. $2.000.000 semestrales durante 8 ½ años al 8%, capitalizable semestralmente.
2. $4.000.000 anuales durante 6 años al 7,3%, capitalizable anualmente.
3. $200.000 mensuales durante 3 años 4 meses, al 8% con capitalización mensual.
4. Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en las siguientes condiciones:
$20.000.000 de contado; $1.000.000 por mensualidades vencidas durante 2 años y 6 meses y un
último pago de $2.500.000 un mes después de pagada la última mensualidad. Para el cálculo,
utilizar el 9% con capitalización mensual.
5. ¿Cuál es el valor de contado de un equipo comprado con el siguiente plan: $14.000.000 de
cuota
Inicial; $1.600.000 mensuales durante 2 años 6 meses con un último pago de $2.500.000, si se
Carga el 12% con capitalización mensual?
6. Una mina en explotación tiene una producción anual de $800’000.000 y se estima que se
agotará en 10 años. Hallar el valor presente de la producción, si el rendimiento del dinero es del
8%.
7. En el ejercicio 6 Se estima que al agotarse la mina habrá activos recuperables por el valor de
$150´000.000. Encontrar el valor presente, incluidas las utilidades, si estas representan el 25%
de
la producción.
8. En el momento de nacer su hija, un señor depositó $1.500.000 en una cuenta que abona el
8%;
dicha cantidad la consigna cada cumpleaños. Al cumplir 12 años, aumento sus
consignaciones a
$3.000.000. Calcular la suma que tendrá a disposición de ella a los 18 años.
9. Una persona deposita $1´000.000 al final de cada mes en una cuenta que abona el 6% de
interés, capitalizable mensualmente. Calcular su saldo en la cuenta, al cabo de 20 años.
Problemas de Anualidades Anticipadas
10. Calcular el valor de Contado de una propiedad vendida a 15 años de plazo, con pagos
de$3.00.000 mensuales por mes anticipado, si la tasa de interés es del 12% convertible
Mensualmente.
11. Una persona recibe tres ofertas para la compra de su propiedad: (a) $40´000.000 de
contado; (b) $19.000.000 de contado y $5´000.000 semestrales, durante 2 ½ años (c)
$20.000.000 por trimestre anticipado durante 3 años y un pago de $2´500.000, al finalizar el
cuarto año. ¿Qué oferta debe escoger si la tasa de interés es del 8% anual?
12. ¿Cuál es el valor presente de una renta de $500.000 depositada a principio de cada mes,
durante 15 años en una cuenta de ahorros que gana el 9%, convertible mensualmente?
13. ¿Qué suma debe depositarse a principio de cada año, en un fondo que abona el 6% para
proveerla sustitución de los equipos de una compañía cuyo costo es de $20.000.000 y con una
vida útil de 5 años, si el valor de salvamento se estima en el 10% del costo?
14. Sustituir una serie de pagos de $800.000 al final de cada año, por el equivalente en pagos
Mensuales anticipados, con un interés del 9% convertible mensualmente.
15. Un empleado consigna $300.000 al principio de cada mes en una cuenta de ahorros que
paga el 8%, convertible mensualmente. ¿En cuánto tiempo logrará ahorrar $30.000.000?
Anualidades Diferidas
Recuerda que las anualidades diferidas son aquéllas en las que el pago de la primera renta se
pospone por determinado tiempo, o en las que se busca el monto de una anualidad en una
fecha posterior al vencimiento de los pagos.
Dada su naturaleza resulta poco relevante si se trata de una anualidad vencida o de una
anualidad anticipada. Por lo tanto, en esta nota estudiaremos a las Anualidades, Simples,
Ciertas, Vencidas y Diferidas así como a las Anualidades, Simples, Ciertas, Anticipadas y
Diferidas.
Relaciona los conceptos con sus definiciones. Arrastra la letra correspondiente para completar
el enunciado. Una vez que concluyas, obtendrás tus aciertos de manera automática.
1. Los pagos inician al final de cierto periodo, acordado tanto por
acreedor como por el deudor.
2. 2. Se empiezan a cubrir después de un tiempo diferido, cuando se
comenzará a pagar la deuda o crédito.
3. Los pagos o depósitos se efectúan ordinariamente al inicio de cada
periodo.
4. Serie o de pagos o depósitos que se realizan en periodos de tiempo
iguales.
5. Puede no conocerse la fecha de iniciación, o la fecha de terminación, o
ambas a la vez.
AMORTIZACIONES
El término amortización significa saldar una deuda gradualmente por medio de
pagos periódicos, generalmente iguales, y que se realizan mediante intervalos de
tiempo iguales.
Existen ciertas variantes en dichos casos los cuales analizaremos en este tema.
Ejemplo 1. Una persona contrae una deuda de $95,000 bajo una tasa de interés del
18% anual convertible semestralmente, que amortizará mediante 6 pagos
semestrales iguales, R el primero de los cuales vence dentro de 6 meses. Determine
el valor de los pagos “R”.
Solución:
Esta operación se puede clasificar como anualidades vencidas; ya que el primer
a) Anualidades
contingentes
b) Anualidades
c) Anualidades
diferidas
d) Anualidades
anticipadas
e) Anualidades
vencidas
pago se realiza dentro de 6 meses. Como la deuda se contrae al inicio de la
operación se clasifica como capital o valor presente; la fórmula que debemos usar
es:
1  1  i -n 
C=R 

i


Por lo tanto despejando R:


i
R=C 
-n 
1  1  i  


0.18


2

  $21,177.38
R=$95,000
  0.18 -6 
1   1 
 
2  
 
Amortización. Es el método por el que se va liquidando una deuda en pagos
parciales. El importe de cada pago sirve para solventar la parcialidad de una
deuda y el sobrante se abona al capital.
Ejemplo 2. Una empresa obtiene un préstamo con valor futuro de $700,000 que debe liquidar al cabo de
6 años, se decide realizar reservas anuales para liquidar esa deuda al momento de su vencimiento. El
dinero que se deposite como fondo rinde 16% de interés anual (capitalizable al año). Determine el valor
de los pagos que deben realizarse si éstos son iguales y vencidos.
Solución:
En este caso se está relacionando los pagos con un valor futuro o monto, como los pagos también
son vencidos, se requiere aplicar la siguiente ecuación:
 1+i n  1 
M=R 

i


Despejando los pagos R:




i
0.16
R=M 

$700,000


  $77,972.91
n
6
 1+i   1
 1+0.16   1
Respuesta: R = $77,972.91
Ahora nuestra primera diferencia importante:
AMORTIZACIÓN. Se refiere a la extinción mediante pagos periódicos de una deuda actual (valor
presente o capital)
FONDOS DE AMORTIZACIÓN. Son acumulaciones de pagos periódicos para liquidar una deuda futura.
Tablas de amortización
Continuando con el ejemplo del tema anterior donde se vio el siguiente caso:
Ejemplo 1. Calcule el valor de los pagos y la tabla de amortización para saldar una deuda de $4,000
contratado a 42% anual convertible bimestralmente; si la deuda debe saldarse en un año haciendo
pagos bimestrales y el primero de ellos se realiza dentro de 1 bimestre.
Solución:
1  1  i -n 
C=R 

i


Despejando R:


0.42




i
6

  $839.18
R  C

$
4
,
000
n 
  0.42   6 
1  1  i  
 
1  1 
6  
 
HA
RESPUESTA: $839.18
La tabla de amortización queda con los siguientes encabezados:
Fecha
Identifica el
momento en
el que
ocurre la
operación
Pago
Valor
pago
Interés sobre Amortización
el saldo
del Interés que Reducción
se
ha del saldo
generado
por el saldo
aún
sin
pagar
Saldo
Saldo final
del periodo
o fecha