Problemas

Ingenierı́a de Telecomunicaciones. Curso 2009-10
Ecuaciones en Derivadas Parciales y Análisis Numérico.
PROBLEMAS.
Ejercicios preliminares
1. Determinar cual de los siguientes conjuntos son ó no son espacios vectoriales:
a)
b)
c)
d)
{f
{f
El
El
∈ C[0, 1] :
∈ C[0, 1] :
conjunto de
conjunto de
f (0) = 0}
R1
0 f (x)dx = 0}
los polinomios de grado n ó menor, Pn .
los polinomios de grado n.
2. Probar si los operadores diferenciales siguientes
L : C 1 [a, b] → C[a, b]
M : C 2 [a, b] → C[a, b]
du
+ u4 ,
dx
d2 u
du
tal que M u = 2 − 3
+ 2u,
dx
dx
tal que Lu =
son ó no son operadores lineales
3. Sea A ∈ Rn×n and b ∈ Rn , b =
6 0. El conjunto de las soluciones de la ecuación
Ax = b,
{x ∈ Rn Ax = b},
es ó no es un subsespacio vectorial de Rn . Razona le respuesta.
4. Sea el conjunto de funciones con condiciones de contorno mixtas
2
Cm
[a, b] = {u ∈ C 2 [a, b] : u(a) = 0 y u0 (b) = 0}.
Probar que es un subespacio vectorial de C 2 [a, b]. Ahora definimos el operador
2 [a, b] → C 2 [a, b] por
Lm : Cm
d2 u
Lm u = − 2 .
dx
Determinar el núcleo de Lm . Explicar como resolver Lm u = f cuando f es una
función dada en C[a, b]. ¿Es esta ecuación diferencial resoluble para toda función
de C[a, b]?
5. Utilizando el método espectral

1
A= 1
0
calcula x que satisface Ax = b con



−1
1 0
0 1 ;
B =  1 .
3
1 1
Método espectral=(calcula autovalores) + (autovectores) + (descomposición de
vectores)
Problemas
6. Resolver los siguientes problemas de valores iniciales calculando la solución general
de la ecuación diferencial y utilizando la fórmula de variación de las constantes en
el caso que sea necesaria:
a)
d2 u
du
+3
+ u = 0,
2
dt
dt
u(0) = 1,
du
(0) = 2.
dt
t > 0,
b)
du
d2 u
+2
+ u = 0,
2
dt
dt
u(0) = 1,
du
(0) = 0.
dt
t > 0,
c)
d2 u
+ u = e−t ,
dt2
u(0) = 1,
du
(0) = 0.
dt
t > 0,
d)
d2 u
+ u = sen(at),
dt2
u(0) = 0,
du
(0) = 1.
dt
t > 0,
a>0
Ejercicios EDPs. Problemas de contorno. Calor y ondas unidimensionales.
1. Usando la solución general de la ecuación diferencial, determinar cuando una solución no cero del problema de valores en la frontera existe y cuando la solución es
única, es decir, la cero.
a)
d2 u
− u = 0,
dt2
u(0) = 0,
u(1) = 0.
2
t ∈ [0, 1],
Problemas
b)
d2 u
+ u = 0,
dt2
u(0) = 0,
t ∈ [0, 1],
u(1) = 0.
2. Ver que la función
u(x, t) = sin(θx)e−kθ
2 t/µ
es una solución de la ecuación del calor homogénea
µ
∂u
∂2u
− k 2 = 0,
∂t
∂x
0 < x < `,
t > 0.
Encontrar los valores θ para los cuales u satisface las condiciones de contorno
Dirichlet homogéneas en x = 0 y x = `. Notemos que a partir de ahora denotamos
sin a la función “seno”.
3. Ver que la función
u(x, t) = cos(cθt) sin(θx)
es una solución de la ecuación de ondas homogénea
2
∂2u
2∂ u
−
c
= 0,
∂t2
∂x2
0 < x < `,
t > 0.
Encontrar los valores θ para los cuales u satisface las condiciones de contorno
Dirichlet homogéneas en x = 0 y x = `.
4. Para las siguientes ecuaciones en derivadas parciales, encuentra las ecuaciones diferenciales ordinarias en que se descomponen aplicando el método de separación de
variables
a)
∂u
k ∂
=
∂t
r ∂r
b)
c)
d)
µ
¶
∂u
r
∂r
∂2u ∂2u
+ 2 =0
∂x2
∂y
∂u
∂2u
∂u
= k 2 − v0
∂t
∂x
∂x
2
∂2u
2∂ u
=
c
∂t2
∂x2
3
Problemas
5. Resolver el problema de autovalores
d2 φ
+ λφ = 0,
dx2
x ∈ (0, L)
bajo las condiciones de contorno periódicas, i.e.,
dφ
dφ
(0) =
(L).
dx
dx
φ(0) = φ(L),
6. Resuelva, mediante el método de separación de variables, los siguientes problemas
de valor inicial y en la frontera para la ecuación del calor:
(a) ut = 4uxx ,
0 < x < 2, t > 0,
u(0, t) = u(2, t) = 0,
t > 0,
u(x, 0) = 2 sin πx
2 − sin πx + 4 sin 2πx,
(b) ut = 3uxx ,
(c) ut = uxx ,
0 < x < π, t > 0,
0 < x < π, t > 0,
(d) ut = 2uxx ,
0 < x < π, t > 0,
0 < x < 2.
u(x, 0) = sin3 (x).
u(0, t) = u(π, t) = 0,
u(0, t) = u(π, t) = 0,
u(x, 0) = x(π − x).
ux (0, t) = ux (π, t) = 0,
u(x, 0) = sin x.
7. Una barra metálica de 20 cm está calentada uniformemente a una temperatura
de 20o C. En t = 0 los extremos de la barra se sumergen en un baño de hielo a
0o C y se mantienen a esa temperatura, pero no sale calor por la superficie lateral
de la barra. Encuentre el desarrollo en serie de la temperatura de la barra para
tiempos posteriores. Use los dos primeros términos de la serie para determinar
aproximadamente la temperatura en el centro de la barra en t = 30s si la barra
está hecha de plata. Misma pregunta para barras de cobre, aluminio o hierro. En la
ecuación del calor ut = Duxx la constante D se llama difusividad térmica. Para la
plata es 1,71cm2 s−1 , para el cobre 1,14cm2 s−1 , para el aluminio 0,86cm2 s−1 , para
el hierro 0,12cm2 s−1 .
Soluciones de algunos de los ejercicios propuestos:
2
6.(a) u(x, t) = 2e−π t sin
πx
2
2
− e−4π t sin πx + 4e−16π t sin 2πx.
2
3
1
(b) u(x, t) = e−3t sin x − e−27t sin(3x).
4
4
∞
8X
1
2
(c) u(x, t) =
e−(2n−1) t sin((2n − 1)x).
3
π
(2n − 1)
n=1
∞
4X
1
2
2
e−8n t cos(2nx).
(d) u(x, t) = −
2
π π
4n − 1
n=1
4
Problemas
7. Plata: u(10, 30) ≈ 7,18 o C, Cobre: u(10, 30) ≈ 10,94 o C, Aluminio: u(10, 30) ≈
13,39 o C, Hierro: u(10, 30) ≈ 11,85 o C.
Ejercicios Series de Fourier
1. Evalúa los casos n = m y n 6= m por separado para calcular la siguiente integral
Z L
sin(nπx/L) sin(mπx/L)dx
para n, m > 0
0
Usa la igualdad trigonométrica
1
sin(a) sin(b) = [cos(a − b) − cos(a + b)].
2
2. Evalúa los casos n = m y n 6= m por separado para calcular la siguiente integral
Z L
cos(nπx/L) cos(mπx/L)dx
para n, m > 0
0
Usa la igualdad trigonométrica
1
cos(a) cos(b) = [cos(a − b) + cos(a + b)].
2
3. Halle las series de Fourier de las siguientes funciones
(a) f (x) = −x, −L ≤ x < L, f (x + 2L) = f (x).
(b) f (x) = 1 si −L ≤ x < 0, f (x) = 0 si 0 ≤ x < L, f (x + 2L) = f (x).
(c) f (x) = −π/2 − x/2 si −π ≤ x < 0, f (x) = π/2 − x/2 si 0 ≤ x ≤ π, f (x + 2π) =
f (x).
(d) f (x) = x si 0 ≤ x < L/2, f (x) = L − x si L/2 ≤ x < L, f (x + L) = f (x).
4. Halle la serie de Fourier en [−1, 1] de la función f (x) = 0, −1 ≤ x ≤ 0, f (x) =
x, 0 ≤ x ≤ 1. Demuestre que
∞
X
π2
1
=
.
(2n − 1)2
8
n=1
5. (a) Demuestre que, si −π ≤ x ≤ π,
∞
x2 =
X (−1)n cos nx
π2
+4
.
3
n2
n=1
(b) Sume las series
∞
X
1
,
n2
n=1
∞
X
(−1)n+1
n=1
5
n2
,
∞
X
1
.
n4
n=1
Problemas
6. Sea la función f ∈ C ∞ (0, 1)
f (x) = x(1 − x).
Observar que f (0) = f (1) = 0. Calcula los coeficientes de Fourier en la base {φk }k≥1
tal que
φk (x) = sin(kπx),
k ∈ N,
es decir, calcula las proyecciones de f en esta base.
7. Para las siguientes funciones definidas en [−L, L], calcula los coeficientes de Fourier
y compara la función f (x) con su serie
(a)
f (x) = ex
f (x) = x2
(c)
f (x) = x
(d)
f (x) = x
(e)
f (x) = x
(f)
f (x) = x
(b)
8. Calculense los coeficientes de Fourier para:
½
0 −π < x < 0
(a)
f (x) =
1
0<x<π
(b) g(x) = |x|
− π < x < π,
(c) h(x) = x
− π < x < π.
9. Para f (x) anterior calcula cual es su serie de senos y cual es su serie en cosenos.
10. Considérese que se está en el cuadrado (−1, 1)2 . Calculese las series de Fourier de
las siguientes funciones:

 0 −1 < x, y < 0
y
0 < x, y < 1
(a)
F (x, y) =

1
resto
(b) G(x, y) = max(x, y)
− 1 < x, y < 1,
(c) H(x, y) = x|y|
− 1 < x < 1.
11. Calcula la serie en senos Sf (x) de f (x) = x para x ∈ (0, 1) y cuánto vale Sf (0)
y Sf (1). Calcula la serie en cosenos de f , Cf (x), y cuanto vale en 0 y en 1.
Finalmente, dime cual es la serie de Fourier F g(x) de g(x) = x para x ∈ (−1, 1).
12. Calcula la serie en cosenos Cf (x) de f (x) = x para x ∈ (0, 1). Cuánto vale Cf (0)
y Cf (1). La función Cf es par ó impar (define lo que significa cada uno de los
conceptos).
Calcula la serie de Fourier F g(x) de g(x) = x para x ∈ (−1, 1). Cuanto vale F g(1)
13. Calcular el desarrollo en serie de senos y cosenos de la función x2 en el intervalo
[−π, π]. Utilizando este desarrollo, calcular la suma de las series
∞
X
1
n2
y
∞
X
(−1)n+1
n=1
n=1
6
n2
.
Problemas
14. Considerar la función f (x) = |x|. Calcular
(a) El desarrollo en serie de senos y cosenos de f en el intervalo [−π, π].
(b) La suma de la serie
∞
X
n=1
1
.
(2n − 1)2
(c) El desarrollo en serie de cosenos de f en [−π, π].
(d) El desarrollo en serie de cosenos de la restricción de f al intervalo [0, π].
(e) El desarrollo en serie de senos de la restricción de f al intervalo [0, π].
15. Calcular el desarrollo en serie de senos de
f (x) =
1
x(π − x)(2π − x),
12
x ∈ [0, 2π].
Soluciones de algunos de los ejercicios propuestos:
3. (a)
∞
³ (2n − 1)π(x − 1) ´
4X 1
sin
.
π
2n − 1
4
n=1
(b)
∞
4 X
1
1
− 2
cos((2n − 1)πx).
2 π
(2n − 1)2
n=1
(c)
∞
1
8X
sin((2n − 1)x).
π
(2n − 1)3
n=1
∞
(d)
X (−1)n
π2
+4
cos(nx).
3
n2
n=1
∞
∞
8X
n
2
4X
1
4. cos x =
sin(2nx), sin x = −
cos(2nx),
2
2
π
4n − 1
π π
4n − 1
n=1
n=1
¶
∞ µ
1 X (−1)n − 1
(−1)n+1
5. +
cos(nπx) +
sin(nπx) .
4
n2 π 2
nπ
n=1
∞
∞
X
X
1
π2
(−1)n+1
π2
=
,
=
.
13.
n2
6
n2
12
n=1
14. (a) |x| =
n=1
∞
π
4 X cos((2n − 1)x)
−
,
2 π
(2n − 1)2
x ∈ [−π, π].
n=1
(b)
∞
X
n=1
1
π2
=
.
(2n − 1)2
8
7
x ∈ [0, π].
Problemas
(e) x = 2
∞
X
(−1)n+1
n
n=1
15.
∞
X
sin(nx)
n=1
n3
,
sin(nx),
x ∈ [0, π).
x ∈ [0, 2π].
Ejercicios Diferencias Finitas
1. Cómo de bien se aproxima
1
[f (x) + f (x + dx)]
2
es decir, cual es su error de truncatura?
a
f (x + dx/2),
2. Obtener la mejor aproximación con cinco puntos de f 0 (x0 ), es decir, utilizando los
cinco valores
f (x0 ), f (x0 ± dx), f (x0 ± 2dx).
Cual es el orden de magnitud de su error de truncatura?
3. Calcular una aproximación para
∂2u
,
∂x∂y
cuyo error de truncatura sea O(dx2 ) + O(dy 2 ).
4. Mediante el método de diferencias finitas (como el código que presentamos al principio del Capı́tulo 2 de las prácticas), dime cómo es el algoritmo de aproximación
del problema
∂u ∂ 2 u
− 2 = 0 , x ∈ [0, 1] , t > 0
∂t
∂x
u(0, t) = u(1, t) = 0
u(x, 0) = sin(πx)
2
Prueba que la solucion exacta es u(x, t) = e−π t sen(πx) y compara con su aproximación en t = 0,1 para con mallados h = 1/N y τ = 1/M con N y M naturales.
5. Mediante el método de diferencias finitas (modificando el código del Capı́tulo 2 de
las prácticas), dime cómo es el algoritmo de aproximación del problema
∂u ∂ 2 u
− 2 = 0 , x ∈ [0, 1] , t > 0
∂t
∂x
∂u
∂u
(0, t) =
(1, t) = 0
∂x
∂x
u(x, 0) = cos(πx)
2
Prueba que la solucion exacta es u(x, t) = e−π t cos(πx) y compara con su aproximación en t = 0,1 para mallados con h = 1/N y τ = 1/M con N y M naturales.
8
Problemas
6. Consideremos la ecuación de difusión
ut = auxx ,
a > 0.
Demuestrese que el método explicito en diferencias
Ujn+1 − Ujn
k
n − 2U n + U n
Uj+1
j
j−1
=a
,
h2
para paso temporal k y espacial h, tiene un error local de truncamiento O(k + h2 ).
Demuestrese también que si
k
1
=
h2
6a
se puede reducir el error local de truncamiento a O(k 2 + h4 ).
7. Modifı́quese el método explı́cito presentado en el ejecicio anterior con el propśito
que aproxime a la solución de la ecuación:
ut = auxx + cu,
a > 0,
c > 0.
Llévese a cabo un análisis de estabilidad para el método obtenido y demuestrese
cual es la relación entre k y h para que sea estable.
8. Denotamos por U n a los valores de la aproximación a una función en un mallado
en el n-eximo paso temporal. Demuestrese cómo obtener los valores iniciales U 0 y
U 1 utilizando el método de diferencias finitas para la ecuación de ondas
utt = c2 uxx
con condiciones Dirichlet en el intervalo espacial (0,1) si se proporcionan las siguientes condiciones iniciales
u(x, 0) = f (x)
y
ut (x, 0) = g(x).
9. Consideramos la ecuación en derivadas parciales de primer orden
(T)
ut + aux = 0,
donde a 6= 0 es una constante. Esta ecuación se conoce como “ecuación del transporteτ
durante este problema nos olvidamos de las condiciones de borde.
a) Demuestrame que la solución u es constante (y cuanto vale) a lo largo de la
caracterı́stica x(t) = x0 + at. (Utiliza la regla de la cadena.)
b) Discretiza la ecuación (T) con un método directo con error de truncatura de
orden O(τ ) y O(h2 ), donde τ es el paso de discretización en tiempo y h es el
paso de discretización en espacio.
9
Problemas
c) Sea el vector U de coordenadas {Uk }∞
k=−∞ . Definimos el operador discreto
H(U ) cuya coordenada k se define como
H(U )k =
aλ
aλ
Uk−1 + Uk −
Uk+1 ,
2
2
donde a, λ > 0 son constantes. Considerando U = {eikθ }∞
k=−∞ con θ ∈ [0, 2π],
calcula el correspondiente autovalor de H(U ), i.e., H(U ) = µU . Véase que
para ciertos θ se tiene que |µ| > 1.
d ) Si denotamos Ukn la aproximación a u(xk , tn ) = u(kh, nτ ) y consideramos el
esquema directo
aτ n
aτ n
Ukn+1 =
Uk−1 + Ukn −
U .
2h
2h k+1
Demuestra que este esquema no es convergente.
e) El esquema de Lax-Friedrichs para la ecuación (T) se define por
(LF)
n
n )
n
U n − Uk−1
Ukn+1 − 12 (Uk−1
+ Uk+1
+ a k+1
=0
τ
2h
Véase que si |aτ /h| ≤ 1 entonces el esquema (LF) converge. Dime por qué ocurre
esto usando la propagación de las caracterı́sticas.
f ) Prueba utilizando los desarrollos de Taylor que el esquema (LF) considerando
Ukn = u(xk , tn ) qué
n
n )
n
Ukn+1 − 12 (Uk−1
+ Uk+1
U n − Uk+1
+ a k+1
=
τ
2h
donde u es solución de (T).
Ejercicios EDPs. Laplaciano. Problemas no homogéneos.
1. Resuelve la ecuación de Laplace
∂2u ∂2u
+ 2 =0
∂x2
∂y
, (x, y) ∈ [0, 1]2 ,
con las siguientes condiciones de borde:
a) u(0, y) = 0, u(1, y) = 0,
∂u
(x, 0) = 0, u(x, 1) = sin(πx).
∂y
b)
∂u
∂u
∂u
(0, y) = 0,
(1, y) = 0,
(x, 0) = cos(πx), u(x, 1) = 0.
∂x
∂x
∂y
c)
∂u
∂u
(0, y) = 0, u(1, y) = 0,
(x, 0) = cos(πx), u(x, 1) = 0.
∂x
∂y
10
Problemas
2. Resuelve la siguiente ecuación de Laplace con condiciones Dirichlet homogéneas,
es decir,
∂2u ∂2u
+ 2 = f (x, y)
∂x2
∂y
u(0, y) = u(1, y) = 0,
y ∈ (0, 1),
u(x, 0) = u(x, 1) = 0,
x ∈ (0, 1),
, (x, y) ∈ [0, 1]2 ,
con
f (x, y) = sin(πx) cos(πy).
3. Para
∂2u
∂2u
= c2 2
, x ∈ [0, L] , t > 0
2
∂t
∂y
u(0, t) = u(L, t) = 0,
t > 0,
u(x, 0) = f (x),
∂u
(x, 0) = g(x),
∂t
x ∈ (0, L)
x ∈ (0, L),
a partir de que la solución se calcula utilizando el método de separación de variables
y resultando
u(x, t) =
∞
X
ck (f ) sin
k=1
kπx
kπct
kπx
kπct
cos
+ ck (g) sin
sin
,
L
L
L
L
calcula quienes son estos coeficientes ck (f ) y ck (g).
Además, véase que
u(x, t) = R(x − ct) + S(x + ct),
donde R y S son funciones escalares.
4. Resuelva, mediante el método de separación de variables, los siguientes problemas
de valores iniciales y en la frontera para la ecuación de ondas:
(a) utt = 4uxx ,
0 < x < 2, t > 0,
u(0, t) = u(2, t) = 0, t > 0,
3πx
πx 1
+ sin
, ut (x, 0) = 0,
u(x, 0) = sin
2
2
2
(b) utt = 3uxx , 0 < x < π, t > 0
u(0, t) = u(π, t) = 0,
u(x, 0) = 0,
(c) utt = uxx ,
u(x, 0) = x,
t > 0,
ut (x, 0) = x(π − x),
0 ≤ x ≤ π.
0 < x < 1, t > 0,
ux (0, t) = ux (1, t) = 0,
0 ≤ x ≤ 2.
t > 0,
ut (x, 0) = 1,
0 ≤ x ≤ 1.
11
Problemas
(d) utt = 2uxx ,
0 < x < π, t > 0,
ux (0, t) = ux (π, t) = 0,
u(x, 0) = sin x,
t > 0,
ut (x, 0) = 0,
0 ≤ x ≤ π.
5. Encuentre mediante series de Fourier, el desplazamiento de una cuerda vibrante
de longitud L, con velocidad caracterı́stica c > 0, fijada en ambos extremos y sin
velocidad inicial, cuando el desplazamiento inicial es u(x, 0) = x, si 0 ≤ x ≤ L/2;
u(x, 0) = L − x si L/2 ≤ x ≤ L.
6. Resuelva el problema anterior con los cambios siguientes. La cuerda sigue fija en
ambos extremos, pero ahora el desplazamiento inicial es nulo y la velocidad inicial
está dada por la posición inicial del problema anterior, esto es ut (x, 0) = x, si
0 ≤ x ≤ L/2; ut (x, 0) = L − x si L/2 ≤ x ≤ L.
7. Supongamos en el sistema del ejercicio anterior que f (x) = 0. Entonces, véase que
1
u(x, t) =
2c
Z
x+ct
G(s)ds,
x−ct
donde G(x) es la extensión periódica de g(x).
8. Resuelve el siguiente problema con condiciones de contorno no homogéneas:
∂u ∂ 2 u
− 2 = 0,
x ∈ [0, 1] , t > 0
∂t
∂x
u(0, t) = 1,
u(1, t) = −1,
u(x, 0) = cos(πx).
9. Resuelva, mediante el método de separación de variables, los siguientes problemas
de valores iniciales y en la frontera:
(a) ut = Duxx ,
0 < x < 1, t > 0,
(b) ut = Duxx + sin 3πx,
sin πx.
u(0, t) = 0, u(1, t) = 1,
0 < x < 1, t > 0,
u(x, 0) = x2 .
u(0, t) = u(1, t) = 0,
(c) ut = uxx ,
0 < x < 1, t > 0,
u(0, t) = 0, u(1, t) = cos t,
(d) ut = uxx ,
0 < x < 1, t > 0,
ux (0, t) = 0, ux (1, t) = t,
u(x, 0) =
u(x, 0) = x.
u(x, 0) = x.
(e) ut = Duxx , 0 < x < 1, t > 0, u(0, t) = 1, ux (1, t) + γu(1, t) = 1, u(x, 0) =
1 + 1+γ
1−γ x.
(f) ut = Duxx ,
sin πx.
0 < x < 1, t > 0, u(0, t) = 1, ux (1, t) + γu(1, t) = 1, u(x, 0) =
10. Resuelva, mediante el método de separación de variables, los siguientes problemas
de valores iniciales y en la frontera en el intervalo [0, 1]:
a) utt = c2 uxx + π 2 t sin πx;
sin πx.
u(0, t) = u(1, t) = 0;
12
u(x, 0) = 0, ut (x, 0) =
Problemas
b) utt = c2 uxx + x2 ;
u(0, t) = 0, u(1, t) = 1;
u(x, 0) = x, ut (x, 0) = 0.
Soluciones de algunos de los ejercicios propuestos:
4. (a) u(x, t) = cos(πt) sin
³ πx ´
2
+
³ 3πx ´
1
cos(3πt) sin
.
2
2
∞
√
8 X
1
sin( 3(2n − 1)t) sin((2n − 1)x).
(b) u(x, t) = √
4
3π n=1 (2n − 1)
∞
1
4 X
1
+t− 2
cos((2n − 1)πt) cos((2n − 1)πx).
2
π
(2n − 1)2
(c) u(x, t) =
n=1
(d) u(x, t) =
∞
√
4X
2
1
−
cos(2 2nt) cos(2nx).
2
π π
4n − 1
n=1
5. u(x, t) =
4L
π2
∞
X
k=1
³ kπt ´
³ kπx ´
sin(kπ/2)
cos
c
sin
.
k2
L
L
∞
³ kπt ´
³ kπx ´
4L2 X sin(kπ/2)
6. u(x, t) = 3
sin
c
sin
.
cπ
k3
L
L
k=1
∞
1
8 X
2 2
e−D(2k−1) π t sin((2k − 1)πx).
9. (a) u(x, t) = x − 3
3
π
(2k − 1)
k=1
2
(b) u(x, t) = e−Dπ t sin(πx) +
1 − e−9Dπ
9Dπ 2
2t
sin(3πx).
∞
2 X (−1)k+1
2 2
(c) u(x, t) = x cos t +
(e−k π t + k 2 π 2 sin t − cos t) sin(kπx).
π
k(1 + k 4 π 4 )
k=1
t2 3x2 − 1
1 X ³³
fk ´ 2 2
fk ´
(d) u(x, t) =
+
t+ +
αk − 2 2 e−k π t + 2 2 cos(kπx),
2
6
2
k π
k π
∞
k=1
donde
αk = 2
(−1)k
−1
y
fk = 2
(−1)k+1
.
k2 π2
k2 π2
³t
´
c2 − 1
10. (a) u(x, t) = 2 + 3 sin(cπt) sin(πx).
c
c π
(b) u(x, t) = x +
∞
X
k=1
con
fk = 2
fk
(1
2
c k2 π2
− cos(ckπt)) sin(kπx),
(−1)k+1
(−1)k − 1
+4
.
kπ
k3 π3
13
Problemas
Ejercicios EDPs. Multidimensionales. Dominios singulares.
1. Dados L, M > 0, encontrar por separación de variables la forma de la solución del
siguiente problema

ut = D(uxx + uyy ), 0 < x < L, 0 < y < M, t > 0




 u(x, 0, t) = u(x, M, t) = 0, 0 < x < L, t > 0,

u(0, y, t) = u(L, y, t) = 0, 0 < y < M, t > 0,




u(x, y, 0) = u0 (x, y), 0 < x < L, 0 < y < M.
Calcule explı́citamente para D = 1, L = π, M = 2π y u0 (x, y) = 10(x − π)(y − 2π).
2. Resolver el mismo problema del ejercicio anterior cambiando las condiciones de
contorno por:
(a) ux (0, y, t) = ux (L, y, t) = uy (x, 0, t) = uy (x, M, t) = 0.
(b) u(0, y, t) = u(L, y, t) = uy (x, 0, t) = uy (x, M, t) = 0.
3. Dados L, M, N > 0, encontrar por separación de variables la forma de la solución
del siguiente problema

ut = D(uxx + uyy + uzz ), 0 < x < L, 0 < y < M, 0 < z < N, t > 0,






u(0, y, z, t) = u(L, y, z, t) = 0, 0 < y < M, 0 < z < N, t > 0,


u(x, 0, z, t) = u(x, M, z, t) = 0, 0 < x < L, 0 < z < N, t > 0,




u(x, y, 0, t) = u(x, y, N, t) = 0, 0 < x < L, 0 < y < M, t > 0,




u(x, y, z, 0) = u0 (x, y, z), 0 < x < L, 0 < y < M, 0 < z < N.
Resolver explı́citamente para D = 2, L = M = N = π, u0 (x, y, z) = xyz.
4. Considere el siguiente problema de valores iniciales y de contorno

u = c2 (uxx + uyy ), 0 < x < L, 0 < y < M, t > 0

 tt
u(0, y, t) = u(L, y, t) = uy (x, 0, t) = uy (x, M, t) = 0,


u(x, y, 0) = u0 (x, y) ; ut (x, y, 0) = v0 (x, y).
(a) Encuentre, por separación de variables, la forma de la solución para datos
generales.
(b) Resuelva para c = 2, L = π, M = 2π, v0 = 0 y
u0 (x, y) = 10 sin(2x) cos
14
³y ´
.
2
Problemas
5. Considere el siguiente problema de valores iniciales y de contorno

utt = c2 (uxx + uyy + uzz ), 0 < x < L, 0 < y < M, 0 < z < N, t > 0






u(0, y, z, t) = u(L, y, z, t) = 0, 0 < y < M, 0 < z < N, t > 0,


u(x, 0, z, t) = u(x, M, z, t) = 0, 0 < x < L, 0 < z < N, t > 0,




u(x, y, 0, t) = u(x, y, N, t) = 0, 0 < x < L, 0 < y < M, t > 0,




u(x, y, z, 0) = u0 (x, y, z); ut (x, y, z, 0) = v0 (x, y, z), 0 < x < L, 0 < y < M.
(a) Encuentre, por separación de variables, la forma de la solución para datos
generales.
(b) Resuelva para c = 1, L = M = N = π, u0 (x, y, z) = xyz y v0 = 0.
(c) Resuelva para c = 1, L = M = N = π, u0 = 0 y v0 (x, y, z) = xyz.
6. Considere el siguiente problema de vibración de una membrana circular fija en su
frontera.

³
´
1
1
2

u
=
c
u
+
u
+
u
r < 1, t > 0,

rr
r
θθ ,
 tt
r
r2
u(1, θ, t) = 0,



u(r, θ, 0) = u0 (r, θ), ut (r, θ, 0) = v0 (r, θ).
(a) Encuentre, por separación de variables, la forma de la solución para datos
generales.
(b) Resuelva para c = 1,
u0 (r, θ) = J1 (ξ1,1 r) cos(θ);
v0 (rθ) = ξ1,1 J1 (ξ1,1 r) cos(θ),
donde ξ1,1 > 0 denota el primer cero positivo de la función de Bessel J1 .
(c) Resuelva para c = 1,
1
u0 (r, θ) = 5J1 (ξ1,2 r) cos θ + J5 (ξ5,6 r) sin(5θ);
3
v0 (r, θ) = J2 (ξ2,4 r) cos(2θ),
donde ξk,m > 0 denota el m-ésimo cero positivo de la función de Bessel Jk .
7. Demostrar que la ecuación de Laplace en el dominio definido por el cı́rculo de centro
0 y radio a, i.e.,
∂2u ∂2u
+ 2 =0
∂x2
∂y
(x, y) ∈ R2 tales que |x|2 + |y|2 < a2 ,
es equivalente a
1 ∂
r ∂r
µ
¶
∂u
1 ∂2u
r
+ 2 2 = 0,
∂r
r ∂θ
0 < r < a,
θ ∈ (0, 2π).
Resolver esta ecuación de Laplace utilizando el método de separación de variables
bajo la condición de contorno
u(a, θ) = f (θ),
15
θ ∈ (0, 2π).
Problemas
8. Calcula u(r, t) que satisface la ecuación del calor circular simétrica
µ
¶
∂u
1 ∂
∂u
=k
r
∂t
r ∂r
∂r
bajo las condiciones
u(a, t) = 0,
t > 0,
u(r, 0) = f (r),
0 < r < a.
Analizar brevemente el comportamiento cuando t → ∞.
9. Consideremos la ecuación de ondas
utt − ∆u = 0,
u(x, t) = 0,
x ∈ S, t > 0,
x ∈ ∂S, t > 0,
en la esfera S = {(x, y, z) ∈ R3 : (x2 + y 2 + z 2 )1/2 ≤ 1}. Responde en a lo más dos
páginas lo siguiente:
a) Utilizando el método de separación de variables y las coordenadas esféricas,
cuales son las ecuaciones diferenciales que resultan.
b) Describe cuales son las funciones de Legendre y los polinomios de Legendre.
c) Como es la ecuación de Laplace en una cavidad esférica. Cual es la forma de
sus soluciones utilizando las funciones de Legendre.
10. Consideramos la ecuación de ondas
(O1)
utt − uxx = f (x, t),
x ∈ (0, 1),
t > 1,
con condiciones de borde tipo Dirichlet no homogéneas
u(0, t) = h0 (t),
u(1, t) = h1 (t),
y con datos iniciales
u(x, 0) = u0 (x),
ut (x, 0) = u1 (x),
donde f , h0 , h1 , u0 y u1 son funciones todo lo regulares que necesités continua.
Razonando la respuesta, dime cuales son los pasos a seguir para calcular la solución.
Consideramos la ecuación no homogénea (O1) con
h0 (t) = 1 − e−t
y
h1 (t) = −1 + e−t .
Calcula una función referencia.
Ahora, si f (x, t) = e−t (2x − 1) + t sin(πx) y los datos iniciales son
u0 (x) = 0,
u1 (x) = 1 − 2x,
calcula la solución u(x, t) utilizando la anterior función referencia.
16
Problemas
11. Consideremos la ecuación de ondas en todo la recta real
(O2)
utt − uxx = 0,
x ∈ (−∞, ∞),
t > 0,
con datos iniciales u(x, 0) = f (x) y ut (x, 0) = g(x), f y g funciones continuas en
R. Averigua que deben satisfacer F y G para que
u(x, t) = F (x − t) + G(x + t),
sea solución de (O2).
12. Dados L, M > 0, encuentre por separación de variables la forma de la solución del
siguiente problema

u = D(uxx + uyy ) + f (x, y), 0 < x < L, 0 < y < M, t > 0

 t
u(0, y, t) = u(L, y, t) = u(x, 0, t) = u(x, M, t) = 0,


u(x, y, 0) = u0 (x, y).
Calcule para D = 1, L = M = 1, f (x, y) = 100 sin πx sin 5πy, u0 (x, y) = 50 sin 4πx sin 5πy.
Soluciones de algunos de los ejercicios propuestos:
1. u(x, y, t) = 80
∞
∞ X
³ my ´
X
1 −(k2 + m2 )t
4
sin(kx) sin
e
.
km
2
k=1 m=1
2. (a)
2
u(x, y, t) = 5π + 20
+
80
π2
∞
X
1 − (−1)k
k=1
∞
∞
XX
k2
(1 −
(b) u(x, y, t) = −20π
k
k=1
∞
∞ X
∞
XX
∞
³ my ´
X
1 − (−1)m − m2 t
4
cos
cos(kx) + 20
e
m2
2
m=1
(−1)k )(1
−
(−1)m )
k 2 m2
k=1 m=1
∞ −k2 t
X
e
e
−k2 t
e−(k
2 + m2 )t
4
cos(kx) cos
³ my ´
2
.
³ my ´
80 X X 1 − (−1)m −(k2 + m2 )t
4
sin(kx) +
e
sin(kx)
cos
.
π
km2
2
∞
∞
k=1 m=1
(−1)k+n+m+1 −2(k2 +m2 +n2 )t
e
sin(kx) sin(my) sin(nz).
kmn
k=1 m=1 n=1
³y ´
√
4. u(x, y, t) = 10 cos( 17t) sin(2x) cos
.
2
∞ X
∞ X
∞
p
X
(−1)k+n+m+1
5. (b) u(x, y, z, t) = 8
cos(t k 2 + m2 + n2 ) sin(kx) sin(my) sin(nz).
kmn
3. u(x, y, z, t) = 8
k=1 m=1 n=1
(c) u(x, y, z, t) = 8
∞ X
∞ X
∞
X
p
(−1)k+n+m+1
√
sin(t k 2 + m2 + n2 ) sin(kx) sin(my) sin(nz).
kmn k 2 + m2 + n2
k=1 m=1 n=1
17
Problemas
6. (b) u(r, θ, t) = (cos(ξ1,1 t) + sin(ξ1,1 t))J1 (ξ1,1 r) cos(θ).
sin(ξ2,4 t)
1
(c) u(r, θ, t) = 5 cos(ξ1,2 t)J1 (ξ1,2 r) cos θ+ cos(ξ5,6 t)J5 (ξ5,6 r) sin(5θ)+
J2 (ξ2,4 r) cos(2θ).
3
ξ2,4
100
2
(1 − e−26π t ) sin(πx) sin(5πy).
2
26π
2
12. u(x, y, t) = 50e−41π t sin(4πx) sin(5πy) +
Ejercicios Transformada de Fourier y Laplace
1. Consideremos la ecuación del calor en todo la recta real
(C)
ut − uxx = 0,
x ∈ (−∞, ∞),
t > 0,
con dato inicial u(x, 0) = f (x), f función integrable en R. Demuestra que
Z ∞
Z ∞
1
−λ2 t −iλx
b
b
u(x, t) =
f (λ)e
e
dλ con f (λ) =
f (x)eiλx dx.
2π
−∞
−∞
Una fórmula útil:
1
2π
Z
∞
−∞
eiλx dλ = δ{x=0} .
18