Polinomios y Fracciones Algebraicas

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Tema 3.- Polinomios y Fracciones Algebraicas
Expresiones algebraicas
Combinación de letras y números ligada por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación,
división y potenciación.
Valor numérico
Es el nº que se obtiene al sustituir las letras de la expresión algebraica por números determinados y efectuar las
operaciones indicadas en la expresión.
P(x) = x3 – 4x + 7  para x = -2  P(2) = (2)3 – 4(2) + 7 = 7
Monomios
Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el
producto y la potencia de exponente natural.
-3x
5
siendo
-3 : coeficiente
x5 : parte literal
x : variable
5 : grado
Semejantes
Misma Parte Literal
Opuestos
Monomios Semejantes con Coeficientes de Signo Contrario
4 x2 = - 53 x2
4 x2 = - 4 x2
Operaciones
Suma y Resta
Sólo con monomios semejantes
6 x4 + 8 x4 + 3 x4 = (6 + 8 + 3) x4 = 17 x4
5 x4 y - 7 x4 y + 15 x4 y = (5 – 7 + 15) x4 y = 13 x4 y
Producto y Cociente
-4 x4 · 8 x2 = (- 4 · 8) x4 + 1 = -32 x5
-32 x4  2 x2 = (- 32  2) x4 -1 = -16 x3
-32 x4  2 x4 = -16 x0 = 1
Polinomios
5
-3x +4x2 +15
siendo
5
-3x y 4x2 : términos
15 : término independiente
Grado
Polinomio completo
El mayor exponente al que se encuentra elevada la
variable x
Tiene todos los términos desde el término
independiente hasta el término de mayor grado
Polinomio ordenado
Polinomios iguales
Si los monomios que lo forman están escritos de
mayor a menor grado
1º. Los dos polinomios tienen el mismo grado.
2 º . Los coeficientes de los términos del mismo grado
son iguales.
á
á
2
Matemáticas _ CCSS _ 1º Bachillerato
Operaciones
Suma y Resta
P x = x3 + 3x2
3
Q x = 4x + x2
P x + Q x = 5x3+ 4 x2
Multiplicación
(x3 + x + 1) · 2x  2x4 + 2x2 + 2x
División
4x3 – 2x2 - 4x + 3 (Dividendo)
2x2 – x + 1 (Divisor)
-4x3 + 2x2 - 2x
2x2 + 2 (Cociente)
4x2 - 6x + 3
-4x2 + 2x - 2
-4x + 1 (Resto)
Regla de Ruffini (x  a)
(x4−3x2 +2 ) : (x −3)
1
0
-3
0
2
1
3
3
9
6
18
18
54
56
3
C(x) = x3 + 3x2 + 6x +18
R = 56
Igualdades Notables
Cuadrado de una suma
Cuadrado de una Diferencia
Suma Por Diferencia
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) · (a + b) = a2 - b2
Teorema del Resto
El resto que se obtiene al dividir el polinomio P(x) entre el binomio (x – a) es el valor numérico del polinomio para
x = a → R = P (a)
P(x) = x3–7x+15 ÷ (x+3)  P(–3)=(–3)3–7(–3)+15 
R = 9
Teorema del Factor Común
El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma (x - a) si y sólo si P(x = a) = 0. Siendo x = a, una
raíz o cero de P(x): son los valores que anulan el polinomio
(x4−2x3+x2+x−1) es divisible por (x−1) si y sólo si P (1)=0  P(1)=0 (x−1) es una raíz

Las raíces son divisores del término independiente del polinomio.

A cada raíz del tipo (x = a) le corresponde un binomio del tipo (x −a).
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3
Tema 3.- Polinomios y Fracciones Algebraicas

Podemos expresar un polinomio en factores al escribirlo como producto de todos los binomios (x — a).

La suma de los exponentes de los binomios ha de ser igual al grado del polinomio.

Todo P(x) que no tenga término independiente admite como raíz (x = 0), es decir, admite como factor x.

Un polinomio se llama irreducible o primo cuando no puede descomponerse en factores.
Pasos para factorizar un polinomio
1º.- Sacar factor común
2º.- Igualdades notables
3º.- Polinomio de grado superior a dos
Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini
P(x) = 2x 4+x3−8x2−x+6
1) Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3.
2) Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta: P ( 1 ) = 0
3) Dividimos por Ruffini
2
1
-8
-1
6
2
2
3
3
-5
-5
-6
-6
0
1
4) Por ser la división exacta, D = d · c: ( x − 1 ) · ( 2 x 3 + 3 x 2 − 5 x − 6 ) : U n a r a í z e s ( x = 1 )
5) Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.
P’(x) = 2 x 3+3x 2−5x−6
P’(1)≠0
P’(−1)=0  Otra raíz es (x=-1)
2
3
-5
-6
2
-2
1
-1
-6
6
0
-1
(x−1)·(x+1)·(2x2+x−6)
6) El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de 2º grado o tal como venimos haciéndolo,
aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar raíces enteras.
P’’(x)= 2x2+x−6
P’’(−1)≠0
P’’(2)≠0
P’’(−2)=0  Otra raíz es (x=−2)
2
1
-6
2
-4
-3
6
0
-2
á
á
4
Matemáticas _ CCSS _ 1º Bachillerato
(x−1)·(x+1)·(x+2)·(2x−3)
La factorización del polinomio queda:
P(x) = 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 = 2 (x −1) · (x +1) · (x +2) · (x −
3
)
2
Las raíce s son:
(x = 1), (x = −1), (x = −2) y (x =
3
)
2
Fracciones algebraicas
P(x)
Q(x)
Q(x)≠0
Fracciones algebraicas equivalentes
P(x) R(x)
=
Q(x) S(x)
si se verifica que P x · S x = Q x · R(x)
P(x) P x · M(x)
=
Q(x) Q x · M(x)
P(x) P x ÷ M(x)
=
Q(x) Q x ÷ M(x)
Suma y diferencia de fracciones algebraicas
Con igual denominador
P(x) R(x) P x + R x
+
=
Q(x) Q(x)
Q x
x2 - x
x2 - 5x + 6
+
1
x+3
-
x2 - 5x + 6 x2 - 5x + 6
=
x2 – x + 1 - x+3
x2 - 5x + 6
=
x2 – x + 1 – x - 3
x2 - 5x + 6
=
x2 - 2x - 2
x2 - 5x + 6
Con distinto denominador
P(x) R(x) P x · S x + R x · Q x
+
=
Q(x) S(x)
Q x · S(x)
1
2x
1
1 x-1 + 2x - 1 x+1
x – 1 + 2x – x - 1
2x -2
2 x-1
2
+
=
=
=
=
=
x + 1 x2 - 1 x - 1
x+1 x-1
x+1 x-1
x+1 x-1
x+1 x-1
x+1
Producto de fracciones algebraicas
P(x) R(x) P x ∙ R x
∙
=
Q(x) S(x) Q x ∙ S(x)
x2 - 2x
x2 - 5x + 6
∙
x2 + 4x + 4
x2 - 4
=
x2 - 2x · x2 + 4x + 4
x2 - 5x + 6 · x2 - 4
=
x x 2 · x+2 2
x x+2
=
x-2 x-3 x-2 x+2
x-2 x-3
Cociente de fracciones algebraicas
P(x) R(x) P x ∙ S x
÷
=
Q(x) S(x) Q x ∙ R(x)
x2 + 2x
x2 - 5x + 6
÷
x2 + 4x + 4
x2 - 4
=
x2 +2x · x2-4
x2 -5x+6 · x2 +4x+4
=
x x+2 · x-2 x+2
x
=
x-3
x-2 x-3 x+2 2