Grafos y matrices en PDF.

2º BACH CCSS
MATRICES Y GRAFOS
1
GRAFOS
Un grafo es un conjunto, no vacío, de objetos llamados vértices (o nodos) y una línea de unión entre pares de
vértices, llamadas aristas . Típicamente, un grafo se representa mediante una serie de puntos (los vértices)
conectados por líneas (las aristas).
En la figura, el conjunto de vértices es V = { a, b, c, d, e, f }, y el conjunto de
aristas es A = { ab, ac, af, bc, cd, de, ef }.
Matriz de adyacencia - El grafo está representado por una matriz cuadrada M de tamaño n2, donde n es el
número de vértices. Si hay una arista entre un vértice a y un vértice b, entonces el elemento mab es 1, de lo
contrario, es 0.
Un grafo es conexo si cada par de vértices está conectado por un camino; es decir, si para cualquier par de
vértices (a, b), existe al menos un camino posible desde a hacia b.
Un grafo es simple si hay sólo 1 arista que une dos vértices cualesquiera. Nosotros sólo utilizaremos los
grafos simples.
Aristas dirigidas y no dirigidas
En algunos casos es necesario asignar un sentido a las aristas, por ejemplo, si se quiere representar la red de
las calles de una ciudad con sus direcciones únicas. A estos se le llama dígrafos.
Las aristas no orientadas se consideran bidireccionales para efectos prácticos (equivale a decir que existen
dos aristas orientadas entre los nodos, cada una en un sentido). La matriz de adyacencia de grafos simples
con aristas no orientadas siempre es simétrica.
Grafos ponderados o etiquetados
En muchos casos, es preciso atribuir a cada arista un número específico, llamado valuación, ponderación o
coste según el contexto, y se obtiene así un grafo valuado.
Por ejemplo, un representante comercial tiene que visitar n ciudades conectadas entre sí por carreteras; su
interés previsible será minimizar la distancia recorrida (o el tiempo, si se pueden prever atascos). El grafo
correspondiente tendrá como vértices las ciudades, como aristas las carreteras y la valuación será la distancia
entre ellas.
En los grafos interesa recorrer las aristas para llegar de un vértice a otro. Se llama camino o ruta entre dos
vértices, a y b, a toda sucesión de aristas que conectan a con b, siendo la longitud del camino el número de
aristas que lo componen.
Las potencias de la matriz de adyacencia de un grafo permiten conocer el número de caminos
existentes entre cualquier par de vértices de una determinada longitud.
La matriz de adyacencia M de un grafo indica si existe o no una arista entre cada par de vértices.
La matriz M2 indica el número de caminos de longitud 2 entre dos vértices cualesquiera.
De la misma forma, la matriz M3 indica el número de caminos de longitud 3 y así sucesivamente.
También se puede establecer si existe o no un camino, no importa la longitud, entre dos vértices cualesquiera
con la matriz B = M + M2 + M3 + … + Mn-1 . ( n el número de vértices)
1. Sean los grafos siguientes:
IES. Francisco Ayala
1
Manuel Froufe
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a) Escriba la matriz de adyacencia asociada a los grafos A y B de la figura anterior.
0

1
A  0

1
0

Sol:
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0

1
0

1
0 
0

1
B  0

0
0

1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0

0
0

1
0 
b) Si las matrices C y D unen los nodos numerados con las etiquetas 1, 2, 3, represente los grafos asociados a
dichas matrices de adyacencia.
 0 1 0


C  1 0 1
 0 1 0


0 1 1


D  1 0 1
1 1 0


D→
Sol:C→
c) Realice la siguiente operación matricial: D  C  C  D
1 1 1
1 0 1
0
1
0
1 1 1


1 0 1


0

1
0 
Sol: DC  CD   0 2 0   1 2 1    1 0  1


2. Hallar cuántos caminos de longitud 2 y 3
conectan cada par de vértices del grafo
siguiente:
a b c d
a b c d
a b c d
a  6 7 7 7
a  0 1 1 1
a  3 2 2 2






b 7 6 7 7
b  1 0 1 1
b  2 3 2 2
3
2
M  
M  
M 
c 7 7 6 7
c 1 1 0 1
c 2 2 3 2






d  7 7 7 6 
d  1 1 1 0
d  2 2 2 3
En M2 de observa que hay, por ejemplo, dos caminos de longitud 2 que comunican c con b. Del grafo se
deducen que son: c-a-b y c-d-b.
En M3 de observa que hay, por ejemplo, siete caminos de longitud 7 que comunican c con b.
En el
grafo podemos ver que alguno de ellos son: c-d-a-b, c-a-d-b, c-d-c-b, …
Sol:
3. Entre los cuatros pueblos A, B, C y D se establece una línea de
autobuses tal como viene representada en el siguiente grafo:
a) Escribe su matriz de adyacencia R.
b) Da un significado a las matrices R2 y R3.
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A B C
A B C
D
D
3
A B C
D
A  0 1 0 0
A  0 1 0 1
A  1 0 1 0



 b)


B  1 0 1 0
B  1 1 2 0
B  0 1 0 1
3
2
R  
R  
R 
C 0 0 0 1
C 1 0 1 1
C 0 1 1 0






D  0 1 1 0
D  0 2 1 1 
D  1 0 1 1
R2 indica los caminos, de longitud 2, que hay para ir de un punto a otro. Por ejemplo hay un camino de
longitud 2 entre A y C: A → B → C; otro entre D y C: D → B → C; otro entre A y A: A → B → A. No
hay ninguno entre A y B, ni entre C y D.
R3 indica los caminos, de longitud 3, que hay para ir de un punto a otro. Por ejemplo hay un camino
(donde hay un 1) de longitud 3 entre A y D: A → B → C → D ; otro entre D y C: D → C → D → C;
hay 2 entre B y C: B → A →B → C y B → C → D → C . No hay ninguno (donde hay un 0) entre A y
C, ni entre C y B.
Sol: a)


4. A, B, C y D son cuatro plazas de una ciudad. El grafo siguiente indica cómo están comunicadas entre sí.
Escriba la matriz de adyacencia M asociada al grafo:
Da un significado para las matrices M2, M2 + M , M3 y M3 + M2 + M
Sol:,
A B C
D
 1 2 2 2
 2 0 0 1
 2 1 1 2
1







 2 0 0 1
 0 1 1 1
1 1 1 1
2
2
3
M M 
M 
M 
0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 1







1





 2 0 0 1
 0 1 1 1
1 1 1 1
0
3 3 3 4


3 1 1 2
3
2
M M M 
1 1 1 2


3 1 1 2
La matriz M2 indica las rutas, de longitud 2 (pasando por una plaza intermedia), que hay para ir de una
plaza a otra.
La matriz M2 + M indica el número de rutas para ir de una plaza a otra directamente o pasando por otra
plaza intermedia.
La matriz M3 indica las rutas, de longitud 3 (pasando por dos plazas intermedias), que hay para ir de una
plaza a otra.
A 0

B 1
M  
C 0

D  1
1
0
0
0
1
0
0
0
5. Del grafo adjunto obtener M, M2 y M3 y luego calcular
B = M + M2 + M3 .
Deducir de B que no existen caminos entre a y c, ni entre a y d.
Además, que b no está conectada con ningún vértice, y c no lo está con d,
y sin embargo d está conectado con todos los demás.
Sol:
a b c d
a 0

b 0
BM M2 M3  
c 1

d  1
IES. Francisco Ayala
1
0
2
2
0
0
0
1
0

0
0

0 
No existen caminos entre a y c, ni entre a y d ya que los elementos
bac  0 y b ad  0 .
B no está conectada con ningún vértice ya que toda su fila son 0.
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6. Un sociólogo ha obtenido, al estudiar laas relaciones de dominio en un
grupo de seis personas, el digrafo de la figura. Determina quién tiene
control directo o indirecto sobre quién.
Sol:
La matriz de adyacencia D, es la matriz de dominancia directa, D2 es la matriz de dominancia indirecta
de segundo orden, D3 dominancia indirecta de tercer orden, y así sucesivamente.
0

0
D  0

1
0

0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0

1
0

0
0 
0

1
D 2  0

0
0

0
0
0
0
0
0
2
0
1
0
0
0
0
0
0
0

0
0

0
0 
0

0
D3  0

0
0

0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0

0
0

0
0 
Si nos fijamos en b tiene control directo (valor 1) en D sobre d y e, e indirecto de segundo orden sobre c
(valor 2) en D2, e indirecto de tercer orden sobre c (valor 1) en D3.
7. En un instituto I hay alumnos de tres pueblos, A, B y C. La distancia
entre A y B es 6 km, la de B a C es 7 km, la de A a C es 10 km y la
de A a I es 8 km. Una empresa de transporte escolar hace dos rutas:
la ruta 1 parte de B y recorre sucesivamente C, A e I; la ruta 2 parte
de C y recorre sucesivamente B, A e I.
(Los datos están en el grafo valuado adjunto)
a) Determine la matriz M, 2x3, que expresa los kilómetros que recorren los alumnos de cada pueblo por cada
ruta.
Ruta1
M
Ruta 2
A B C
 8 25 18 


 8 14 21
b) El número de alumnos que siguen cada ruta de cada pueblo es:
Pueblo A: 10 alumnos la ruta 1 y 9 alumnos la ruta 2.
Pueblo B: 15 alumnos la ruta 1 y 8 alumnos la ruta 2.
Pueblo C: 5 alumnos la ruta 1 y 9 alumnos la ruta 2.
Determine la matriz N, 3x2, que indique los alumnos que siguen cada ruta de cada pueblo.
AlumnosA
N  AlumnosB
AlumnosC
Ruta1 Ruta 2
9
10


8
15
5
9 

c) Si la empresa cobra 12 céntimos por Km a cada persona, determine la matriz P = 0.12 M∙ N, e
interprete cada uno de sus elementos.
 p11  65,40 lo que cobra la empresa por la R1

 545 434   65,4 52,08   p22  44,73 lo que cobra la empresa por la R
P = 0.12 M∙ N = 0,12 
2
  
 
 395 373   47,4 44,73   p  52,08 no tienesentido.
12

 p21  47,40 no tienesentido
p12  52,08 sería lo que cobraría la empresa si los alumnos de la R fuera por la R
2
1
p21  47,40 sería lo que cobraría la empresa si los alumnos de la R fuera por la R
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8. En una empresa de fabricación de móviles hay 3 categorías de empleados: A, B y C y se fabrican dos
tipos de móviles: M y P. Diariamente cada empleado de la categoría A fabrica 4 móviles del tipo M y 3
del tipo P, mientras que cada uno de la categoría B fabrica 5 móviles del tipo M y 4 del tipo P, y cada
uno de la categoría C fabrica 6 móviles del tipo M y 5 móviles del tipo P. Para fabricar cada móvil del
tipo M se necesitan dos chips y 4 conexiones y para fabricar cada móvil del tipo P 4 chips y 6
conexiones.
a) Escriba una matriz X, 3x2, que describa el número de móviles de cada tipo y otra matriz Y, de orden
2, que exprese el número de chips y conexiones de cada tipo de móvil.
Sol: A : 4M 3P B: 5M 4P C: 6 M 5P y M : 2 CH 4 CO
P: 4 CH 6 CO
A
X  B
C
M
4

5
6

P
3

4
5 
CH CO
Y
M  2 4


P  4 6 
b) Realice el producto de matrices X∙Y e indique qué expresa dicho producto.
CH CO
 4 3

  2 4  A  20 34 
 =


X · Y =  5 4  
 6 5   4 6  B  26 44 


C  32 54 
El producto expresa el número de chips y de conexiones totales que hace cada empleado.
9. Un proveedor que suministra materia prima a 3 fábricas, F, G y H, transporta una parte de sus envíos a
cada fábrica por carretera y la otra parte por tren, según se indica en la matriz T, cuyos elementos son las
toneladas de materia prima que recibe cada fábrica por cada vía de transporte.
F
G
H
 300 200 150  carretera

T  
 400 250 200  tren
Los precios del transporte de cada tonelada de materia prima son 200 euros por carretera y 180 euros por
tren, como indica la matriz C = (200, 180).
Explique qué operación debe efectuarse con estas matrices para determinar una nueva matriz cuyos
elementos sean los costes de llevar este material a la fábrica.
Sol: Debe efectuarse C · T ( El producto T · C no podría realizarse)
 300 200 150 
  132000
 400 250 200 
C · T  200 180 
85000
6600  ( Coste F
Coste G
Coste H )
10. Una persona tiene que comprar 2 kg de manzanas, 1 kg de ciruelas y 1.5 kg de plátanos y otra necesita
0.5 kg de manzanas, 2.5 de ciruelas y 3 de plátanos. En la frutería A, los precios de las manzanas son 1.8
euros/kg, los de las ciruelas 2.1 y los de los plátanos 1.9 y en la frutería B son 1.7, 2.3 y 1.75
respectivamente.
Se escriben las matrices
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1 1.5 
 2
M  

 0.5 2.5 3 
6
 1.8 1.7 


y N   2.1 2.3 
1.9 1.75 


a) Determine M∙N e indique qué representa cada uno de los elementos de la matriz producto.
A
B
1 1.5  1.8 1.7 
 2
  2.1 2.3  = Una  8.55 8.325  Coste de cada una en cada tienda


 0.5 2.5 3  

M · N = 
Otra 11.85 11.85 
b) ¿En qué frutería le conviene a cada persona hacer la compra?
La una debe comprar en la frutería A y a la otra le da igual comprar en A que en B..
1.9 1.75 
11. Un fabricante de productos lácteos, que vende 3 tipos de productos, leche, queso y nata, a dos
supermercados, S y H, ha anotado en la matriz A los pesos en kg de cada producto que vende a cada
supermercado y , en la matriz B, las ganancias que obtiene en cada supermercado por cada kg de esos
productos
leche queso nata
leche queso nata
Matriz A:  500
300 250  S


 460 300 200  H
matriz B :  0.20
4
1  S


 0.25 3.60 1.20  H
Efectúe el producto A  B t y explique el significado económico de cada uno de los elementos de la diagonal
principal de la matriz resultante.
S
H
leche queso nata
S
M
leche  0.20
0.25 
t

 = S 1550 1505  Los elementos de la diagonal
A · B =  500 300 250  S
3.60 

 queso  4


M 1492 1435 
 460 300 200  H Nata  51

1.20 

principal representa las ganancias totales del fabricante en cada supermercado.
12. Cierta fábrica de colonias posee tres marcas X, Y, Z, distribuyendo su producción en cuatro tiendas. Los
litros almacenados en la primera tienda vienen dados por la siguiente matriz:
X
Agua de colonia
Perfume
Esencia
Y
Z
 22 46 80 


 2 1,5 3   A
 0,6 0,2 0,1


La segunda tienda almacena el doble que la primera, la tercera la mitad y la cuarta el triple ¿Qué
volumen de producción se tiene almacenada en total?
Solución:
Los litros almacenados, según la marca y el tipo de colonia, en cada tienda vienen dados por las
matrices A, 2 A, 0,5 A y 3 A respectivamente, por lo que el total de litros almacenados será:
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7
X
Y
Z
 22 46 80 
Agua de colonia 143 299 520 


A + 2 A + 0,5 A + 3 A = 6,5 A = 6,5  2 1,5 3  =


Perfume
 13 9,75 19,5 
 0,6 0,2 0,1


 3,9 1,3 0,65
Esencia


Sumando por fila, obtendríamos el total de litros de cada tipo de colonia, y por columnas, el total
según la marca.
13. Tres soldados Gi, i = 1, 2, 3, transmiten un mensaje a otros cuatro Pi, i = 1, 2, 3, 4, según indica la
siguiente matriz R1 , donde 1 en la posición (i,j) significa que Gi se ha comunicado con Pj; un 0 indica
ausencia de relación. A su vez, los Pi se han relacionado con otros Qi, i = 1, 2, 3, según muestra en la
siguiente matriz R2:
Q1 Q 2 Q 3
P P P P
1
2
3
4
G1  0 1 0 0 


R1  G 2  1 0 1 1
G 3  0 0 1 1 
P1  1

P1  0
R2  
P1 1

P1  0
1
0
0
1
0

1
0

1 
Efectúa el producto R1·R2 e interpreta sus valores.
Solución:
Q1 Q 2 Q 3
 1 1 0
 G 1  0 0 1
 0 1 0 0 

  0 0 1


R 1·R2   1 0 1 1  
 G 2  2 2 1

 0 0 1 1   1 0 0  G  1 1 1
3

  0 1 1



Las entradas obtenidas en R1·R2 representan el número de vías indirectas por las que los Gi han podido
transmitir el mensaje a los Qi. En efecto, al multiplicar, por ejemplo, la segunda fila de R1 por la
primera columna de R2 resulta: 1·1 + 0·0 + 1·1 + 1·0 = 2, es decir, G2 se comunica con Q1 a través de los
soldados P1 y P3.
La interpretación es análoga para el resto.
14. Una fábrica produce dos modelos de coches A y B, en tres acabados: GX, GD y Ti. Produce, al mes, del
modelo A: 200, 100 y 50 unidades en los acabados GX, GD y Ti, respectivamente. Produce del modelo
B: 150, 50 y 10 unidades de análogos acabados. El acabado GX lleva 25 horas de taller de chapa y 10
horas de montaje. El acabado GD lleva 28 horas de taller de chapa y 12 de montaje y el acabado Ti lleva
28 y 15 horas de chapa y montaje, respectivamente.
(a) Elabora dos matrices que contengan la información dada.
(b) Calcula las horas de taller de chapa y de montaje que son necesarias para cada uno de los modelos.
Solución:
a) La matriz que nos da información del número de coches fabricados al mes, según modelo y acabado
es M. La matriz que nos da las horas de chapa y montaje, para cada acabado, es N.
GX GD
Ti
A  200 100 50 
M  

B  150 50 10 
Chapa Montaje
GX  25

N  GD  28
GTi  28
10 

12 
15 
b) Las horas de taller empleadas al mes para cada modelo, cualquiera que sea el acabado, salen del
producto de M·N.
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8
Chapa Montaje
 25 10 


 200 100 50 
M ·N  
 28 12   A  9.200 3.950 


 150 50 10  28 15  B  5.430 2.250 




Esta matriz nos proporciona las horas pedidas.
15. Un hipermercado quiere ofertar tres clases de bandejas: A, B y C. La bandeja A contiene 40 g de
queso manchego, 160 g de roquefort y 80 g de camembert; la bandeja B contiene 120 g de cada uno de
los tres tipos de queso anteriores; y la bandeja C, contiene 150 g de queso manchego, 80 g de roquefort
y 80 g de camembert. Si se quiere sacar a la venta 50 bandejas del tipo A, 80 de B y 100 de C, obtén
matricialmente la cantidad que necesitarán, en kilogramos de cada una de las tres clases de quesos.
Sol.- Organizamos los datos que tenemos en dos matrices; su producto nos da la matriz que buscamos,
con las cantidades en gramos.
A
B
C
Si queremos las cantidades expresadas en
M  40 120 150 A  50  M  26 600
kilogramos, haremos:

 



R 160 120

Ca  80 120
80   B  80   R  25 600
 



80  C 100 Ca  21 600 
 26 600 M  26,6 



1 
  25 600  R  25,6 
1000 



 21 600  Ca  21,6 
16 . Tres personas, A, B, C, quieren comprar las siguientes cantidades de fruta:
A: 2 kg de peras, 1 kg de manzanas y 6 kg de naranjas.
B: 2 kg de peras, 2 kg de manzanas y 4 kg de naranjas.
C: 1 kg de peras, 2 kg de manzanas y 3 kg de naranjas.
En el pueblo en que viven hay dos fruterías, F1 y F2.
En F1, las peras cuestan 1,5 euros/kg, las manzanas 1 euro/kg, y las naranjas 2 euros/kg.
En F2, las peras cuestan 1,8 euros/kg, las manzanas 0,8 euro/kg, y las naranjas 2 euros/kg.
a) Expresa matricialmente la cantidad de fruta (peras, manzanas y naranjas) que quiere comprar cada
persona (A, B, C).
b) Escribe una matriz con los precios de cada tipo de fruta en cada una de las dos fruterías.
c) Obtén una matriz, a partir de las dos anteriores, en la que quede reflejado lo que se gastaría cada
persona haciendo su compra en cada una de las dos fruterías.
Solución:
c) El producto de las dos matrices anteriores nos
da la matriz que buscamos:
P
a) A  2

B 2

C  1
M N
1 6

2 4

2 3 
F1
b) P  1,5

M 1

N  2
F2
1,8 

0,8 

2 
P M N
F1 F2
F1
A  2 1 6  P  1,5 1,8  A  16





B  2 2 4   M  1 0,8   B  13





C  1 2 3  N  2
2  C  9,5
F2
16,4 

13,2 

9,4 
17. Tres familias, A, B, y C, van a ir de vacaciones a una ciudad en la que hay tres hoteles, H1, H2 y H3.
La familia A necesita 2 habitaciones dobles y 1 sencilla, la familia B necesita 3 habitaciones dobles y una
sencilla y la familia C necesita 1 habitación doble y 2 sencillas.
En el hotel H1, el precio de la habitación doble es de 84 euros/día, y el de la habitación sencilla de 45
euros/día. En H2 , la doble cuesta 86 euros/día, y el de la sencilla de 43 euros/día. En H3, la doble cuesta
85 euros/día, y la sencilla de 44 euros/día.
a) Escribe en forma de matriz el número de habitaciones (dobles o sencillas) que necesita cada una de las
tres familias.
b) Expresa matricialmente el precio de cada tipo de habitación en cada uno de los tres hoteles.
c) Obtén, a partir de las dos matrices anteriores, una matriz en la que se refleje el gasto diario que tendría
cada una de las tres familias en cada uno de los tres hoteles.
IES. Francisco Ayala
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Manuel Froufe
2º BACH CCSS
MATRICES Y GRAFOS
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Solución.D
a) A  2

B 3

C  1
S
1

1

2 
c) El producto de las dos matrices anteriores nos da
la matriz que buscamos:
H1 H 2 H 3
b) D  84 86 85 


S  45 43 44 
D S
H1 H 2
A  2 1  H1 H 2 H 3 A  213 215

 D  84 86 85 

  B  297 301
B  3 1  

 S  45 43 44 



C  1 2 
C  174 172
H3
214

299

173 
18. Una empresa tiene tres factorías, F1, F2, F3, en las que se fabrican diariamente tres tipos diferentes de
productos, A, B y C, como se indica a continuación:
F1: 200 unidades de A, 40 de B y 30 de C.
F2: 20 unidades de A, 100 de B y 200 de C.
F3: 80 unidades de A, 50 de B y 40 de C.
Cada unidad de A que se vende proporciona un beneficio de 5 euros; por cada unidad de B, se obtienen 20
euros de beneficio; y por cada una de C, 30 euros.
Sabiendo que la empresa vende toda la producción diaria, obtén matricialmente el beneficio diario obtenido
con cada una de las tres factorías.
Solución:
Organizamos los datos que tenemos en dos matrices; su producto nos da la matriz que buscamos:
A
B
C
F1  200 40 30  A  5  F1  2 700

  


F2  20 100 200  B  20   F2  8 100 

  


F3  80
50
40  C  30  F3  2 600
19. En una pastelería elaboran tres tipos de postres: A, B y C, utilizando leche, huevos y azúcar (entre
otros ingredientes) en las cantidades que se indican:
A: 3/4 de litro de leche, 100 g de azúcar y 4 huevos.
B: 3/4 de litro de leche, 112 g de azúcar y 7 huevos.
C: 1 litro de leche y 200 g de azúcar.
El precio al que se compran cada uno de los tres ingredientes es de 0,6 euros el litro de leche, 1 euro el kg de
azúcar, y 1,2 euros la docena de huevos.
Obtén matricialmente el gasto que supone cada uno de estos tres postres (teniendo en cuenta solamente los
tres ingredientes indicados).
Solución:
El precio de cada litro de leche es de 0,6 euros; el precio de cada gramo de azúcar es de 0,001 euros; y
el precio de cada huevo es de 0,1 euros.
Organizamos los datos que nos dan en dos matrices; su producto es la matriz que buscamos:
L
Az
H
A  3 / 4 100 4  L  0,6  A  0,95 






B  3 / 4 112 7   Az  0,001  B 1,262
C  1 200 0  H  0,1  C  0,8 
Por tanto, el postre A supone 0,95 euros, el B 1,26 euros; y el C, 0,8 euros.
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Manuel Froufe