Probabilidad y Estad´ıstica Coloquios 2008

Probabilidad y Estadı́stica
Coloquios 2008
1
Probabilidad y Estadı́stica 61.06, Industriales, 10/VII/2008.
1. En una urna hay una bola blanca y dos bolas negras. En cada paso se extrae una bola al
azar y se la repone junto con otra del mismo color.
(a) Calcular la probabilidad de que al finalizar el segundo paso la urna contenga dos bolas
blancas y tres negras.
(b) Si al finalizar el segundo paso la urna contiene dos bolas blancas y tres negras, ¿cuál es
la probabilidad de que en el primer paso se haya extraı́do una bola negra?
2. Pedro y Pablo quedaron en encontrarse entre las 20 y las 21 hs. en un sitio determinado. Los
tiempos de llegada de cada uno al lugar de la cita son variables independientes uniformemente
distribuidas en el intervalo convenido. Pedro es inglés y Pablo brasilero. Fieles a sus orı́genes,
si Pedro llega primero no esperará a Pablo más de 5 minutos y si Pablo llega primero no
esperará a Pedro más de 15 minutos.
(a) Hallar la probabilidad de que Pedro y Pablo se encuentren.
(b) Se sabe que Pedro y Pablo se encontraron y que Pedro llegó a las 20:35 al lugar de la cita.
¿Cómo se distribuye el tiempo de llegada de Pablo?
3. Midiendo actividad de uranio a un contador Geiger arriban pulsos de acuerdo con un
proceso de Poisson a tasa de 3 arribos por segundo. Cada partı́cula que arriba al contador
tiene una probabilidad 2/3 de ser registrada. Sea X(t) el número de pulsos registrados en t
segundos.
(a) P(X(t) = 0) = ?
(b) E[X(t)] = ?
(c) Si se midiera plutonio la tasa serı́a de 6 arribos por segundo. Si durante 0.2 segundos no
se registraron arribos, ¿cuál es la probabilidad de que se estuviera midiendo uranio?
4. Sea X una variable aleatoria con distribución normal N (0, 1). Hallar la función densidad
de probabilidad de Y = X 2 .
5. El valor de las facturas en un supermercado se redondea descontándole los decimales. Si
se realizan 500 facturas, ¿cuál es la probabilidad de que el monto de descuentos sea superior
a 240 pesos?
Probabilidad y Estadı́stica 61.06, Industriales, 16/VII/2008.
1. Una caja contiene dos monedas normales y una moneda que tiene dos cecas. Se elige una
moneda al azar y se lanza al aire dos veces. Si el primer tiro fue ceca, ¿Cuál es la probabilidad
de que el segundo también lo sea?
2. El diámetro en cm. de ciertos ejes es una variable aleatoria con función densidad de
probabilidad

 x − 1 si 1 < x ≤ 2,
3 − x si 2 < x < 3,
f (x) =

0
en otro caso
Una máquina está diseñada para descartar ejes cuyos diámetros son inferiores a 1, 5 cm. Pero
a veces falla y con una probabilidad de 0.1 no descarta un eje de diámetro inferior a 1.5
cm. Ningún eje cuyo diámetro sea superior a 1.5 cm. es descartado. Hallar la función de
distribución de los ejes no descartados.
3. Se arroja un dado 100 veces. Sean X e Y las cantidades de resultados pares e impares
respectivamente. Hallar la lı́nea de regresión E[Y |X] y el valor de Cov(X, Y ).
4. Decida si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas justificando adecuadamente
su respuesta.
(a) Sea X1 , X2 , . . . una sucesión de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con distribución exponencial de intensidad λ. Si Yk es el promedio de las primeras
k variables de la sucesión, entonces la varianza de Yk es 1/λ2 .
(b) Si X1 y X2 son v. a. independientes con distribuciones exponenciales de intensidades
λ1 y λ2 , respectivamente, entonces mı́n(X1 , X2 ) tiene distribución exponencial de intensidad
mı́n(λ1 , λ2 ).
(c) Sea X1 , X2 , . . . una sucesión de variables aleatorias, todas de media 2. Si N es una v.a.
con distribución geométrica de parámetro p = 2/3, entonces la esperanza de X1 + · · · + XN
condicionada a que N ≥ 2 es 5.
5. En un sistema electrónico se producen fallas de acuerdo con un proceso de Poisson de tasa
2.5 por año. Por motivos de seguridad se ha decidido cambiarlo cuando ocurran 196 fallas.
Calcular (aproximadamente) la probabilidad de que el sistema sea cambiado antes de los 67.2
años.
Probabilidad y Estadı́stica 61.06, Industriales, 23/VII/2008.
1. Sea X una variable aleatoria cuya función de distribución FX (x) = P(X ≤ x) es de la
forma
1
FX(x)
2/3
1/3
0
−3
−2
−1
0
x
1
2
3
(a) Calcular P(−1 ≤ X ≤ 1), P(1 ≤ X < 2), P(1 ≤ X ≤ 2). (b) Calcular la esperanza y la
varianza de X.
2. En una caja hay 4 bolas negras y 6 bolas rojas. El peso de las bolas negras tiene distribución
exponencial de media 25 gramos, y la de las rojas exponencial de media 35 gramos. Sea X el
peso de una bola elegida al azar de la caja.
(a) Hallar la función de distribución de X.
(b) Sabiendo la bola elegida pesa 30 gramos, hallar la probabilidad de que la bola elegida sea
roja.
3. Dada la función densidad conjunta
ky si 0 < x < 2, 0 < y < 1,
f (x, y) =
0
en otro caso
(a) ¿X e Y son variables aleatorias independientes? (b) Calcular la varianza de 3X − 2Y .
4. A un banco llegan clientes de acuerdo con un proceso de Poisson de intensidad 20 por
hora.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que en 30 minutos lleguen exactamente 10 clientes?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que el lapso entre la octava y la decima llegada supere los 15
minutos? (Debe obtener un resultado numérico)
(c) Entre las 10:00 y las 11:00 llegaron 4 clientes. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente
2 de ellos lleguen entre las 10:10 y las 10:25?
5. Dos aerolı́neas ofrecen idéntico servicio para viajar de Buenos Aires a San Pablo. Suponga
que compiten por la misma población de 400 clientes, cada uno de los cuales elige una aerolı́nea
al azar. ¿Cuál es la probabilidad que la lı́nea A tenga más clientes que sus 230 asientos?
Probabilidad y Estadı́stica 61.06, Industriales, 30/VII/2008.
1. Se lanzan dos dados. Hallar la distribución de probabilidades y el valor esperado del
mı́nimo de los dos números observados.
2. Hallar la probabilidad de que x2 − 2ax + b no tenga raı́ces reales si los coeficientes a y b
son variables aleatorias independientes con distribución común U[0, 1].
3. Un programa televisivo ofrece premios de hasta 30.000 pesos para quien consiga comunicarse telefónicamente. Una televidente quiere participar del concurso y realiza llamadas cada
tiempos exponenciales de media 10 segundos. Por cada llamada la probabilidad de comunicarse con el programa es 1/5. Hallar la esperanza y la distribución de probabilidades del
tiempo que tiene que esperar la televidente para comunicarse con el programa.
4. En un control de calidad de hormigón se extraen 3 probetas al azar de 15 cm. de diámetro
y cada una de ellas es ensayada para su resistencia a la compresión. Una probeta pasará la
prueba (será aceptada) si resiste por lo menos una carga axial de 5500 kg. De registros
previos se sabe que la resistencia a la rotura de probetas similares puede ser modelada como
una distribución normal de media µ = 7340 y desvı́o σ = 1050 kg. La especificacón requiere
que las 3 probetas pasen el test para que el lote sea aceptado. El contratista prepara un lote
todos los dı́as.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que el quinto dı́a le sea rechazado el primer lote?
(b) El contratista puede mejorar la mezcla y llevar la media de la distribución anterior a 8250
kg. y reduciendo el coeficiente de variación (σ/µ) al 90 %. ¿Cuál es la probabilidad de que le
sea rechazado ahora por lo menos un lote en 10 dı́as?
5. Una persona le apuesta que en 100 lanzamientos de una moneda honesta la cantidad de
caras observadas diferirá de 50 en 4 o más. ¿Cuál es la probabilidad de que usted resulte
ganador?
Probabilidad y Estadı́stica 61.06, Industriales, 6/VIII/2008.
1. Un dado tiene sus caras pintadas de la siguiente manera 1, 1, 2, 2, 3, 3. El dado se lanza
seis veces. Sean Xi , i = 1, 2, 3, las variables aleatorias definidas por
1 si en algún lanzamiento se observó el número i,
Xi =
0 en otro caso .
(a) ¿Las variables X1 , X2 , X3 son independientes? (Sugerencia: calcular Cov(Xi , Xj ))
(b) Sea N la cantidad de números distintos observados. Hallar E[N ] y V ar(N ).
2. Lucas y Pablo disputan la final de un Campeonato de Ajedrez en el planeta Zorg. El
primero que gane 6 partidas (no hay tablas) resulta ganador. La duración de cada partida
(medida en horas) es una variable aleatoria cuya función densidad de probabilidad es

 k(t − 1) si 1 ≤ t < 3,
k(5 − t) si 3 ≤ t < 5,
f (t) =

0
en otro caso.
La probabilidad de que Lucas gane cada partida depende de la duración de la misma. Si dura
menos de 2 horas, lo hace con probabilidad 3/4; si no, con probabilidad 1/2.
Sabiendo que ninguna partida duró más de 4 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que Lucas
gane el campeonato al cabo de 8 partidas?
3. Sean X1 y X2 variables aleatorias independientes con distribución uniforme sobre [0, 1].
Una vara de longitud 1 se quiebra en dos puntos cuyas distancias a una de sus puntas son X1
y X2 . Calcular la probabilidad que las tres piezas puedan usarse para construir un triángulo.
4. Familias de mexicanos migran a EE.UU. de acuerdo con un proceso de Poisson de tasa
λ = 2 por semana. Si el número de integrantes de cada familia es independiente y puede ser
1, 2, 3, 4 con probabilidades respectivas 61 , 13 , 31 , 16 . ¿Cuál es el valor esperado y la varianza del
número de mexicanos que migran a EE.UU. durante un perı́odo fijo de 5 semanas?
5. Se lanza un dado hasta que la suma de los resultados observados sea mayor que 300.
Aproximar la probabilidad de que se necesiten al menos 80 lanzamientos.
Probabilidad y Estadı́stica 61.06, Industriales, 10/XII/2008.
1. Lucas tiene 3 sacos idénticos, cada uno con dos bolsillos. Todos los sacos salvo uno tienen
un paquete de cigarillos en cada bolsillo. El saco restante tiene un paquete de cigarrillos en
un bolsillo y una cajita de fósforos en el otro. Lucas elige un saco al azar y sale a trabajar.
En la parada del colectivo mete la mano en un bolsillo y saca un paquete de cigarrillos. Cuál
es la probabilidad de que pueda fumar mientras espera el colectivo?
2. Sean X1 y X2 variables aleatorias con distribución Bernoulli de parámetros 1/2 y 1/3
respectivamente tales que Cov(X1 , X2 ) = 0.
(a) Mostrar que los eventos A = {X1 = 1} y B = {X2 = 1} son independientes.
(b) Mostrar que las variables X1 y X2 son independientes.
3. Se tirará un dado equilibrado hasta que salga el as. Sea M la cantidad de cincos obtenidos.
Calcular E[M ].
4. Una maquina produce rollos de alambre. El alambre tiene fallas distribuidas como un
proceso de Poisson de intensidad 1 cada 20 metros. La maquina deberı́a cortar el rollo en
cada falla pero solo detecta 9 de cada 10. Hallar la cantidad media de fallas de los rollos que
tienen por lo menos una falla.
5. Un astronauta debe permanecer 435 dı́as en el espacio y tiene que optar entre dos alternativas. Utilizar 36 tanques de oxı́geno de tipo A o 49 tanques de oxigeno de tipo B. Cada tanque
de oxı́geno de tipo A tiene un rendimiento de media 12 dı́as y desvı́o 1/4. Cada tanque de
oxı́geno de tipo B tiene un rendimiento de media de 8, 75 dı́as y desvı́o 25/28. Qué alternativa
es la más conveniente?
Probabilidad y Estadı́stica 61.06, Industriales, 17/XII/2008.
1. Dos bolas se pintan de rojo o de negro, independientemente y con probabilidad 1/2 para
cada color, y se colocan en una urna.
(a) Si se extrae una bola de la urna y es roja, cuál es la probabilidad de que la otra bola sea
roja?
(b) Si se sabe que en la urna hay una bola roja, cuál es la probabilidad de que la otra sea
roja?
2. Un tirador arroja un dardo a un blanco circular de radio 3. En cada tiro tiene probabilidad
1/5 de errar al blanco. Cuando acierta al blanco, el dardo se clava en un punto uniformemente
distribuı́do en el cı́rculo. Si acierta al blanco se le asigna un puntaje igual a la distancia entre
el punto donde se clavó el dardo y el centro del blanco. Si le erra, el puntaje asignado es 4.
Hallar la función de distribución del puntaje asignado.
3. Sea X una variable aleatoria a valores en el conjunto {1, 2, 3} tal que E[X] = 2. Hallar los
valores de pi = P(X = i), i = 1, 2, 3 que maximizan la varianza de X.
4. Sean X e Y variables aleatorias N (0, 1) independientes. Hallar la función de densidad
conjunta y las funciones de densidad marginales de W = 2X − 3Y y Z = 3X + 2Y y mostrar
que W y Z son independientes.
5. 432 números se redondean al entero más cercano y se suman. Suponiendo que los errores
individuales de redondeo se distribuyen uniformemente sobre el intervalo (−0.5, 0.5), aproximar la probabilidad de que la suma de los números redondeados difiera de la suma exacta en
más de 6.
Probabilidad y Estadı́stica 61.06, Industriales, 11/II/2009.
1. Lucas y Monk juegan un campeonato de ajedrez que ganará el primero que obtenga dos
triunfos de ventaja. Cada partida es ganada por Lucas con probabilidad 0.55 y por Monk con
probabilidad 0.45 (no hay tablas). Hallar la probabilidad de que Lucas gane el campeonato
en la segunda partida sabiendo que lo ganará en 4 o menos partidas.
2. El tiempo disponible para efectuar un disparo es una variable aleatoria con distribución
exponencial de media 5 segundos. La probabilidad de acertar al blanco depende del tiempo
t que se tarda en efectuar el disparo y vale p(t) = 0.7(1 − e−2t ). Hallar la probabilidad de
acertar exactamente tres de diez disparos.
3. Se quiebra una vara en un punto al azar. Calcular la probabilidad de que la longitud de
la pieza más larga sea mayor que el doble de la longitud de la pieza mas corta.
4. Los accidentes en una fábrica industrial se rigen por un proceso de Poisson de intensidad 4
por mes. La cantidad de trabajadores dañados en cada accidente es una variable aleatoria que
vale 1, 2 o 3 con equiprobabilidad. Hallar la media de la cantidad anual de daños accidentales
en la fábrica.
5. Una máquina selecciona ciruelas y las separa de acuerdo con el diámetro x (medido en
cm.) de cada una. Las de diámetro superior a 4 cm. se consideran de clase A y las otras de
clase B. El diámetro de cada ciruela es una variable aleatoria uniforme entre 3 y 5 cm. El
peso (medido en gramos) de cada ciruela depende de su diámetro y es x3 . Si las cajas pesan
100 gramos, estimar la probabilidad de que una caja con 100 ciruelas de tipo A pese más de
9.6 kilos.
Probabilidad y Estadı́stica 61.06, Industriales, 18/II/2009.
1. Existen dos caminos de A hasta B (que no pasan por C) y dos caminos de B hasta
C (que no pasan por A). Cada uno de estos caminos está bloqueado con probabilidad 0.2
independientemente de los demás. Hallar la probabilidad de que no exista ningún camino
abierto desde A hasta B sabiendo que no hay ningún camino abierto desde A hasta C.
A
B
C
2. Dadas dos variables aleatorias X1 , X2 , uniformes e independientes sobre el intervalo [3, 4],
se construyen un cuadrado de lado X1 y un cı́rculo de radio X2 . Calcular la probabilidad de
que el área del cuadrado supere el área del cı́rculo.
3. Se arroja un dado equilibrado 3 veces y se cuenta la cantidad, N , de cincos observados. Luego se arroja una moneda equilibrada N veces y se cuenta la cantidad, M , de caras
observadas. Hallar la función de probabilidad conjunta de N y M y calcular Cov(N, M ).
4. Una máquina produce rollos de alambre. El alambre tiene fallas distribuidas como un
proceso de Poisson de intensidad 1 cada 60 metros. La máquina corta el alambre en la primer
falla antes de los 180 metros o a los 180 metros si no hay fallas. Hallar la función de distribución
de la longitud de los rollos de alambre.
5. Lucas y Monk palean arena cargando un volquete. La probabilidad de que una palada
sea de Monk es 0.4 y la probabilidad de que sea de Lucas es 0.6. El volumen en decı́metros
cúbicos de la palada de Lucas es una variable aleatoria uniforme entre 1 y 3, y el de la palada
de Monk es una variable aleatoria uniforme entre 2 y 4. ¿Cuántas paladas son necesarias para
que la probabilidad de que el volquete tenga más de 4 metros cúbicos de arena supere 0.9?
Probabilidad y Estadı́stica 61.06, Industriales, 25/II/2009.
1. La figura siguiente representa el mapa de una localidad turı́stica de 40 manzanas situada
en la costa atlántica.
H
Q
P
Un paseo desde el hotel, situado en el punto H, hasta el puerto de pescadores, situado en
el punto P , es una sucesión de 14 cuadras -dentro de la localidad- recorridas hacia la izquierda
o hacia abajo (ver la figura). Si se elige al azar un paseo desde el hotel hasta el puerto de
pescadores (esto es, todos los paseos tienen la misma probabilidad de ser elegidos), cuál es la
probabilidad de que se pase por el quiosco de diarios y revistas situado en el punto Q?
2. El peso de ciertas bolsas de naranjas es una variable aleatoria uniforme entre 2 y 6 kilos.
Se van agregando bolsas en una balanza hasta que el peso supere tres kilos y medio. Hallar
la media de peso final ası́ obtenido.
3. Lucas está completamente borracho y perdido en Parque Chas. Con probabilidad 1/5 elige
un camino que lo lleva a su casa en 45 minutos y con probabilidad 4/5 elige un camino circular
y vuelve a su punto de partida en 20 minutos. Cada vez que retorna al punto de partida vuelve
a elegir uno de los dos caminos con las mismas probabilidades dadas anteriormente. Hallar la
esperanza del tiempo que demora Lucas en llegar a su casa.
4. Una máquina produce rollos de alambre. El alambre tiene fallas distribuidas como un
proceso de Poisson de intensidad 1 cada 50 metros. La máquina corta el alambre en la primer
falla antes de los 150 metros o a los 150 metros si no hay fallas antes. Hallar la media de la
longitud de los rollos de alambre.
5. El peso W (en toneladas) que puede resistir un puente sin sufrir daños estructurales es una
variable aleatoria con distribución normal de media 1400 y desvı́o 100. El peso (en toneladas)
de cada camión de soja es una variable aleatoria de media 12 y desvı́o 0.25. ¿Cuántos camiones
de soja debe haber, como mı́nimo, sobre el tablero del puente para que la probabilidad de
que ocurran daños estructurales supere 0.1?
Probabilidad y Estadı́stica 61.06, No industriales, 10/VII/2008.
1. Sea (X, Y ) un punto aleatorio con distribución uniforme en el cuarto del cı́rculo de radio
1 centrado en (0, 0) contenido en primer cuadrante.
(a) Hallar la densidad marginal de X.
(b) Hallar la densidad condicional de Y dado que X = 1/2.
√
(c) Hallar la función distribución de Z = X 2 + Y 2 .
2. A un contador Geiger arriban pulsos de acuerdo con un proceso de Poisson a tasa de 3
arribos por segundo. Cada partı́cula que arriba al contador tiene una probabilidad 2/3 de ser
registrada. Sea X(t) el número de pulsos registrados en t segundos.
(a) P(X(t) = 0) = ?
(b) E[X(t)] = ?
3. El valor de las facturas en un supermercado se redondea descontándole los decimales. Si
se realizan 500 facturas, ¿cuál es la probabilidad de que el monto de descuentos sea superior
a 240 pesos?
4. Sea X una variable aleatoria con función densidad f (x) = ax2 para 0 < x < b. Encontrar
la relación entre a y b. A priori, los valores de a están distribuidos uniformemente entre 0
y 2. Si se obtuvieron los valores muestrales 0.2, 0.8 y 3 hallar la función de distribución a
posteriori de a.
5. Los siguientes datos, en cientos de millones de pesos, corresponden a la facturación total
del año 2007 de 10 empresas de productos alimenticios:
5.15, 5.04, 4.60, 3.42, 3.36, 3.14, 2.84, 2.65, 2.50, 2.34
(a) Construya intervalos de confianza de nivel 0.95 para la media y la varianza, suponiendo
que las ventas anuales de las empresas del sector se distribuyen con una ley normal.
(b) ¿Rechazarı́a la siguiente afirmación: “En media, las ventas anuales de cada empresa del
sector son de 425 millones de pesos”?, ¿Qué riesgo corre de haberse equivocado?
Probabilidad y Estadı́stica 61.06, No industriales, 16/VII/2008.
1. Inicialmente, un tirador tiene una probabilidad de acertar a un blanco del 0.6. En cada
tiro mejora su punterı́a, aumentando en un 10 % la probabilidad de acertar al blanco con
respecto al tiro anterior. Si disparó tres tiros y acerto una vez, cuál es la probabilidad de que
haya sido en el último tiro.
2. El diámetro en cm. de ciertos ejes es una variable aleatoria con función densidad de
probabilidad

 x − 1 si 1 < x ≤ 2,
3 − x si 2 < x < 3,
f (x) =

0
en otro caso
Una maquina está diseñada para descartar ejes cuyos diámetros son inferiores a 1, 5 cm. o
superiores a 2, 5 cm. Pero a veces falla y un 10 % de las veces no descarta los que tienen
diámetros inferiores a 1, 5 cm, y un 5 % de las veces no descarta los que superan 2, 5 cm.
Ningún eje cuyo diámetro este comprendido entre 1, 5 y 2, 5 cm. es descartado. Hallar la
función densidad y la función de distribución de los ejes no descartados.
3. Sea Ω la región del plano definida por el cuadrilatero de vértices (0, 0), (1/2, 0), (1, 1/2),
(1, 1) y el triángulo de vértices (0, 1/2), (0, 1), (1/2, 1). Sea (X, Y ) un punto aleatorio con
distribución uniforme en la región Ω.
(a) Hallar las distribuciones marginales de X y de Y .
(b) Hallar la función densidad de probabilidades de X − Y .
4. Un comprador desea adquirir lotes de pilas cuya vida media sea mayor que 235 horas de
uso. Está dispuesto a correr los siguientes riesgos: no más del 1 % de adquirir un lote si la
vida media de sus pilas fuese de 233 horas; no más del 5 % de rechazarlo si la vida media fuese
de 240 horas. Suponiendo que el tiempo de vida de las pilas tiene una distribución normal
de varianza 100, construya una regla de decisión que verifique las normativas estipuladas por
el comprador. Grafique su curva caracterı́stica operativa y analice que sucede cuando la vida
media de las pilas es de 235 horas.
5. En un bolillero hay 5 bolitas. Se extraen dos: una es blanca, la otra es negra. Estimar la
cantidad de bolitas blancas en el bolillero.
Probabilidad y Estadı́stica 61.06, No industriales, 23/VII/2008.
1. Se tienen dos urnas. Cada una contiene dos monedas cargadas. Las monedas de la urna
1 están cargadas con una probabilidad p1 para el lado de la cara, las de la urna 2 con
probabilidad p2 (p2 6= p1 ). Puede optar por una de las siguientes estrategias: (E1) Elegir una
urna al azar y lanzar ambas monedas. (E2) Elegir una moneda de cada urna y lanzar ambas
monedas. El juego se gana si ambas monedas salen cara; en caso contrario se pierde. ¿Cuál
de las dos estrategias es más conveniente?.
2. Sea X una variable aleatoria cuya función de distribución FX (x) = P(X ≤ x) es de la
forma
1
X
F (x)
2/3
1/3
0
−3
−2
−1
0
x
1
2
3
(a) Calcular P(−1 ≤ X ≤ 1), P(1 ≤ X < 2), P(1 ≤ X ≤ 2). (b) Calcular la esperanza y la
varianza de X.
3. El precio por llamada desde un teléfono público es de 20 centavos por pulso, contabilizados
desde que se inicia la llamada. Suponiendo que la duración de cada pulso es de dos minutos
y las llamadas tienen duración exponencial de media 3 minutos.
(a) Hallar la función de probabilidad de la duración en pulsos de la llamada. (b) ¿Cuál es el
costo medio y la varianza de cada llamada?
4. Se sabe que la cantidad de litros de vino consumidos anualmente por cada cliente de
una tradicional bodega mendozina se rige por una distribución normal con desvı́o igual a
18 litros. La bodega planea innovar su lı́nea de vinos siempre y cuando pueda asegurarse
una venta media de no menos de 100 litros por cliente. Envı́a algunas botellas “gratis” a 16
clientes de confianza, quienes después de haber degustado la noble bebida, deberán contestar
cuántos litros estarı́an dispuestos a consumir. En base a esos resultados decidirá qué hacer.
Si el consumo medio fuese de 105 litros per capita, está dispuesta a correr un riesgo del 5 %
de no innovar.
Construya la regla de decisión y grafique su curva caracterı́stica operativa. Si la bodega
decidiese no innovar, cuál serı́a la máxima probabilidad de haberse equivocado.
5. Se tienen solo dos tipos de dado. Uno honesto y otro con probabilidad de as 0.2. Se elige un
dado y se lo lanza 10 veces. Se observan 3 ases. Hallar el estimador de máxima verosimilitud
de la probabilidad de as (o el modo de la estimación bayesiana).
Probabilidad y Estadı́stica 61.06, No industriales, 30/VII/2008.
1. En un control de calidad de hormigón se extraen 3 probetas al azar de 15 cm. de diámetro y
cada una de ellas es ensayada en su resistencia a la compresión. Una probeta pasará la prueba
(será aceptada) si resiste por lo menos una carga axial de 5500 kg. La especificacón requiere
que las 3 probetas pasen el test para que el lote sea aceptado. Suponga que la resistencia se
distribuye como una normal de desvı́o σ = 500 kg.
(a) ¿Cuál debe ser la resistencia media de las probetas para que la probabilidad de aceptar
el lote supere 0.995? El contratista prepara un lote todos los dı́as.
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que el quinto dı́a le sea rechazado el primer lote?
2. Hallar la probabilidad de que x2 − 2ax + b no tenga raı́ces reales si los coeficientes a y b
son variables aleatorias independientes con distribución común U[0, 2].
3. Una persona le apuesta que en 100 lanzamientos de una moneda honesta la cantidad de
caras observadas diferirá de 50 en 4 o más. ¿Cuál es la probabilidad de que usted resulte
ganador? ¿Es cierto que la probabilidad de que ocurran un 50 % de caras aumenta a medida
que aumenta la cantidad de tiros?
4. Se tiene una población con distribución U(θ, θ + 1). Basandose en una muestra de tamaño
1, X1 , diseñar una regla de decisión de nivel de significación 0.1, para verificar H0 : θ ≤ 5
contra H1 : θ > 5. Grafique la curva caracterı́stica operativa.
5. En una bodega se desea conocer la proporción p de barriles existentes con el vino ya
estacionado y listo para la distribución. En base a estudios previos, se le asigna a p la siguiente
distribución: f (p) = c(1 − p), 0 < p < 1. Por otro lado, a un empleado de la bodega se le
encomienda la tarea de probar un vaso de cada uno de los 800 barriles existentes, para poder
determinar p en forma exacta. El empleado empieza a probar un vaso de cada barril, y va
anotando en su cuaderno “LISTO” o “NO LISTO”, de acuerdo a lo que prueba. Sin embargo,
luego de probar el noveno vaso, se olvida de qué era lo que estaba haciendo, y se queda
dormido entre dos barriles. Otro empleado recoge el cuaderno, donde encuentra 5 veces la
palabra “LISTO” y 4 veces “NO LISTO”.
(a) Actualizar en forma bayesiana la distribución de p, en base a los 9 resultados que llegó a
obtener el primer empleado. Hallar la media y el máximo de la distribución a posteriori de p
condicional a dichos resultados.
(b) Encontrar el estimador de máxima verosimilitud, que no tiene en cuenta la distribución
a priori, y comparar con el máximo encontrado en (a).
Probabilidad y Estadı́stica 61.06, No industriales, 6/VIII/2008.
1. Sea (X, Y ) con distribución uniforme en el triángulo de vértices (0, 0), (2, 0), (1, 1). Hallar
la función de distribución de Z = mı́n(X, Y ).
2. Lucas y Pablo disputan la final de un Campeonato de Ajedrez en el planeta Zorg. El
primero que gane 6 partidas (no hay tablas) resulta ganador. La duración de cada partida
(medida en horas) es una variable aleatoria cuya función densidad de probabilidad es

 k(t − 1) si 1 ≤ t < 3,
k(5 − t) si 3 ≤ t < 5,
f (t) =

0
en otro caso.
La probabilidad de que Lucas gane cada partida depende de la duración de la misma. Si dura
menos de 2 horas, lo hace con probabilidad 3/4; si no, con probabilidad 1/2.
Sabiendo que ninguna partida duró más de 4 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que Lucas
gane el campeonato al cabo de 8 partidas?
3. Familias de mexicanos migran a EE.UU. de acuerdo con un proceso de Poisson de tasa
λ = 2 por semana. Si el número de integrantes de cada familia es independiente y puede ser
1, 2, 3, 4 con probabilidades respectivas 61 , 13 , 31 , 16 . ¿Cuál es el valor esperado y la varianza del
número de mexicanos que migran a EE.UU. durante un perı́odo fijo de 5 semanas?
4. Una especificación de compras de una empresa requiere, para una materia prima comprada
en grandes lotes, que el porcentaje de unidades defectuosas sea no mayor del 2 %. Para verificar
si un lote entregado cumple el requerimiento se extrae una muestra de n unidades, a las que
se somete a inspección.
(a) Suponiendo que n = 80 y sólo una pieza inspeccionada es no conforme, ¿recomendarı́a
aceptar el lote? Justificar detalladamente y mencionar los criterios tenidos en cuenta
(b) Para otra materia prima diferente de la anterior, una instrucción establece la aceptación
de lotes cada vez que, en una muestra de tamaño 150 aparezcan 0 o 1 unidades defectuosas,
¿cuál deberá ser la calidad de un lote para tener una probabilidad de aceptación del 90 %?
(calidad de lote: porcentaje de unidades defectuosas en el lote)
5. Un proceso de producción, produce con una calidad del 100 p % de artı́culos defectuosos.
A priori se supone que la proporción p de artı́culos defectuosos se distribuye uniformemente
en el intervalo (0, 1). De una partida se examina una muestra de 10 artı́culos y se encuentran 2 defectuosos. Se arma una caja con otros 4 artı́culos de la misma partida ¿cuál es la
probabilidad de que tenga solo un artı́culo defectuoso?
Probabilidad y Estadı́stica 61.06, No Industriales, 10/XII/2008.
1. Lucas tiene 3 sacos idénticos, cada uno con dos bolsillos. Todos los sacos salvo uno tienen
un paquete de cigarillos en cada bolsillo. El saco restante tiene un paquete de cigarrillos en
un bolsillo y una cajita de fósforos en el otro. Lucas elige un saco al azar y sale a trabajar.
En la parada del colectivo mete la mano en un bolsillo y saca un paquete de cigarrillos. Cuál
es la probabilidad de que pueda fumar mientras espera el colectivo?
2. Sea (X, Y ) un punto aleatorio con distribución uniforme en el triángulo de vértices
(0, 0), (2, 0), (2, 2). Hallar la recta de regresión de Y basada en X.
3. Se tirará un dado equilibrado hasta que salga el as. Sea M la cantidad de cuatros obtenidos.
Calcular E[M ].
4. El tiempo de funcionamiento en años de cada chip de computadoras, producido por
una firma de semiconductores china, se distribuye como una exponencial de media 1/λ. La
distribución a priori de λ es una Gamma con función de densidad
f (λ) =
λ2 e−λ
,
2
λ > 0.
Sabiendo que el promedio del tiempo de funcionamiento de 20 chips examinados es de 4.5
años: hallar la densidad a posteriori de λ y estimar puntualmente λ Rutilizando su máximo.
∞
n!
(Sugerencia: si le parece conveniente puede usar la siguiente fórmula 0 xn e−ax dx = an+1
.)
5. Un productor de una nueva lı́nea de neumáticos afirma que su utilidad media es mayor
que 40000 km. Para verificar dicha afirmación se sometieron a prueba 12 neumáticos y sus
utilidades (en miles de km.) resultaron las siguientes:
40.5
40.6
41.3
41.6
42.0
39.8
40.7
40.9
40.2
39.9
41.0
40.6
Suponiendo que la utilidad de los neumáticos se distribuye como una normal N (µ, σ 2 ), verificar la afirmación del productor a un 5 % de nivel de significación.
Probabilidad y Estadı́stica 61.06, No Industriales, 17/XII/2008.
1. Dos bolas se pintan de rojo o de negro, independientemente y con probabilidad 1/2 para
cada color, y se colocan en una urna.
(a) Si se extrae una bola de la urna y es roja, cuál es la probabilidad de que la otra bola sea
roja?
(b) Si se sabe que en la urna hay una bola roja, cuál es la probabilidad de que la otra sea
roja?
2. Un tirador arroja un dardo a un blanco circular de radio 3. En cada tiro tiene probabilidad
1/5 de errar al blanco. Cuando acierta al blanco, el dardo se clava en un punto uniformemente
distribuı́do en el cı́rculo. Si acierta al blanco se le asigna un puntaje igual a la distancia entre
el punto donde se clavó el dardo y el centro del blanco. Si le erra, el puntaje asignado es 4.
Hallar la función de distribución del puntaje asignado.
3. Sean X e Y variables aleatorias N (0, 1) independientes. Hallar la función de densidad
conjunta y las funciones de densidad marginales de W = 2X − 3Y y Z = 3X + 2Y y mostrar
que W y Z son independientes.
4. Un buzo debe realizar una tarea en el océano que le insumirá 45 minutos. Sabiendo que la duración en minutos de cada tanque de oxı́geno tiene una distribución normal
con desvı́o 2 y que en una muestra aleatoria de 9 tanques se observaron las duraciones:
37.447, 51.101, 34.258, 38.401, 33.288, 45.971, 47.348, 36.241, 41.585, estimar por máxima verosimilitud la probabilidad de que el buzo pueda terminar su tarea si lleva un solo tanque de oxı́geno.
5. En un proceso quı́mico es necesario que una solución que se usa como reactivo tenga pH
8.21. Se dispone de un método para determinar el pH que produce mediciones normalmente
distribuidas con media igual al verdadero valor del pH y desvı́o 0.02. Diseñar un test de
hipótesis de manera que: si el pH es 8.21, se obtenga esa conclusión con probabilidad 0.95 y
si el pH difiere de 8.21 en 0.03 (en cualquiera de las direcciones) se detecte esa diferencia con
probabilidad no inferior a 0.95.
(a) Que concluirı́a si la media de las mediciones observadas fuese 8.32?
(b) Si el verdadero pH es 8.33, cuál es la probabilidad de concluir que el pH no es 8.21?
Probabilidad y Estadı́stica 61.06, No Industriales, 11/II/2009.
1. Lucas y Monk juegan un campeonato de ajedrez que ganará el primero que obtenga dos
triunfos de ventaja. Cada partida es ganada por Lucas con probabilidad 0.55 y por Monk con
probabilidad 0.45 (no hay tablas). Hallar la probabilidad de que Lucas gane el campeonato
en la segunda partida sabiendo que lo ganará en 4 o menos partidas.
2. Una máquina selecciona ciruelas clasificándolas según su diámetro. Las de diámetro superior a los 4 cm. se consideran de clase A y las otras de clase B. El diámetro de cada ciruela
es una variable aleatoria uniforme entre 3 y 5 cm. Hallar la probabilidad de que en una bolsa
de 20 ciruelas de tipo A exactamente 3 tengan diámetro superior a los 4.5 cm.
3. Una máquina produce rollos de alambre. El alambre tiene fallas distribuidas como un
proceso de Poisson de intensidad 1 cada 35 metros. La máquina corta el alambre en la primer
falla detectada después de los 50 metros, pero detecta las fallas con probabilidad 0.9. Hallar
la cantidad media de fallas en los rollos.
4. Clientes llegan a un banco de acuerdo con un proceso de Poisson de intensidad λ por
hora. Sabiendo que en los primeros 10 minutos llegaron exactamente 5 clientes, estimar por
máxima verosimilitud la probabilidad de que en los siguientes cinco minutos arriben más de
3 clientes.
5. En una elección se presentan dos candidatos: el verde y el rojo. Diseñar un test de hipótesis
basado en una encuesta entre 1000 votantes para verificar si el candidato rojo obtendrá más
del 20 % de los votos, con un nivel de significación del 10 %. Graficar la curva caracterı́stica
operativa calculando por lo menos tres de sus puntos. Qué decidirı́a si la encuesta arroja 190
votos a favor del candidato rojo?
Probabilidad y Estadı́stica 61.06, No Industriales, 18/II/2009.
1. Existen dos caminos de A hasta B (que no pasan por C) y dos caminos de B hasta
C (que no pasan por A). Cada uno de estos caminos está bloqueado con probabilidad 0.3
independientemente de los demás. Hallar la probabilidad de que no exista ningún camino
abierto desde A hasta B sabiendo que no hay ningún camino abierto desde A hasta C.
C
B
A
2. Un dado equilibrado se arrojará sucesivamente hasta que la suma de los resultados
obtenidos supere 2. Hallar la probabilidad de que la suma sea igual a 4.
3. Una máquina produce rollos de alambre. El alambre tiene fallas distribuidas como un
proceso de Poisson de intensidad 1 cada 35 metros. La máquina detecta cada falla con probabilidad 0.9 y corta el alambre en la primer falla detectada antes de los 140 metros o a los
140 metros si no se detectan fallas. Hallar la cantidad media de fallas en los rollos.
4. El número de accidentes que ocurren diariamente en una planta industrial tiene una
distribución Poisson de media λ desconocida. Sobre la base de experiencias previas en plantas
industriales similares un estadı́stico afirma que los posibles valores de λ se distribuyen a
priori como una variable exponencial de media 1/3. Sabiendo que durante los primeros 9
dı́as de funcionamiento de la planta industrial ocurrieron un total de 45 accidentes hallar la
distribución a posteriori de λ y calcular la probabilidad de que durante el décimo dı́a ocurran
dos
accidentes. Sugerencia: si le parece conveniente puede usar la siguiente fórmula
R ∞ on más
−ax dx = n! .
x
e
0
an+1
5. Un informe oficial afirma que el consumo medio de agua en los hogares de la Ciudad de
Buenos Aires es de 750 litros diarios. Se realizó una investigación sobre 20 hogares elegidos
al azar y los resultados sobre el consumo diario de litros de agua en cada uno de esos hogares
fueron los siguientes:
601
826
872
778
926
745
768
830
726
866
707
850
898
700
912
832
765
930
858
860
Suponiendo que el consumo diario de litros de agua en los hogares de la Ciudad de Buenos
Aires tiene distribución normal, diseñar un test de hipótesis de nivel de significación 0.05 para
refutar la afirmación oficial. ¿Qué puede concluirse a partir de los datos observados?
Probabilidad y Estadı́stica 61.06, No Industriales, 25/II/2009.
1. La figura siguiente representa el mapa de una localidad turı́stica de 40 manzanas situada
en la costa atlántica.
H
Q
P
Un paseo desde el hotel, situado en el punto H, hasta el puerto de pescadores, situado en
el punto P , es una sucesión de 14 cuadras -dentro de la localidad- recorridas hacia la izquierda
o hacia abajo (ver la figura). Si se elige al azar un paseo desde el hotel hasta el puerto de
pescadores (esto es, todos los paseos tienen la misma probabilidad de ser elegidos), cuál es la
probabilidad de que se pase por el quiosco de diarios y revistas situado en el punto Q?
2. El peso de ciertas bolsas de naranjas es una variable aleatoria uniforme entre 2 y 6 kilos.
Se van agregando bolsas en una balanza hasta que el peso supere 5 kilos. Hallar la media de
la cantidad final de bolsas en la balanza.
3. Una máquina produce rollos de alambre. El alambre tiene fallas distribuidas como un
proceso de Poisson de intensidad 1 cada 25 metros. La máquina detecta cada falla con probabilidad 0.9 y corta el alambre en la primer falla detectada antes de los 100 metros o a los 100
metros si no se detectan fallas antes. Hallar la media de la longitud de los rollos de alambre.
4. En una urna hay k bolas blancas y 5 bolas negras, donde 0 ≤ k ≤ 6. Se extraen 2
bolas al azar sin reposición, se las examina y se las repone en la urna. Sabiendo que las dos
bolas examinadas resultaron blancas y usando el método de máxima verosimilitud estimar la
probabilidad de que al extraer nuevamente dos bolas al azar sin reposición una sea blanca y
la otra negra.
5. Una empresa de cervezas afirma que el 40 % de las botellas de cerveza de un litro que se
venden en el mercado son de su marca. Diseñar un test de hipótesis tal que: si la afirmación de
la empresa es verdadera, se la confirme con probabilidad 0.95; y si el porcentaje verdadero de
ventas de dichas botellas fuera del 30 % la probabilidad de refutar la afirmación de la empresa
sea 0.9. (a) Cuál es la probabilidad de concluir que la afirmación de la empresa es verdadera,
cuando en verdad el porcentaje de ventas de dichas botellas es del 45 %? (b) Qué concluirı́a
si al realizar una encuesta sobre ventas, conforme al test de hipótesis diseñado previamente,
el porcentaje observado de ventas de dichas botellas fuera del 47 %?
Probabilidad y Estadı́stica 61.09, 10/VII/2008.
1. En una urna hay 2 bolas rojas y 2 bolas negras. En cada paso se extrae una bola al azar
y si es negra se la reemplaza en la urna por una roja. Encontrar la función de probabilidad
de la cantidad de pasos necesarios para sacar una bola roja.
2. Sea (X, Y ) un punto aleatorio con distribución uniforme en el cuarto del cı́rculo de radio
1 centrado en (0, 0) contenido en primer cuadrante.
(a) Hallar las densidades marginales de X.
(b) Hallar la densidad condicional de Y dado que X = 1/2.
√
(c) Hallar la función distribución de Z = X 2 + Y 2 .
3. A un contador Geiger arriban pulsos de acuerdo con un proceso de Poisson a tasa de 3
arribos por segundo. Cada partı́cula que arriba al contador tiene una probabilidad 2/3 de ser
registrada. Sea X(t) el número de pulsos registrados en t segundos.
(a) P(X(t) = 0) = ?
(b) E[X(t)] = ?
4. Sea X una variable aleatoria con función densidad f (x) = ax2 para 0 < x < b. Encontrar
la relación entre a y b. A priori, los valores de a están distribuidos uniformemente entre 0
y 2. Si se obtuvieron los valores muestrales 0.2, 0.8 y 3 hallar la función de distribución a
posteriori de a.
5. Los siguientes datos, en cientos de millones de pesos, corresponden a la facturación total
del año 2007 de 10 empresas de productos alimenticios:
5.15, 5.04, 4.60, 3.42, 3.36, 3.14, 2.84, 2.65, 2.50, 2.34
(a) Construya intervalos de confianza de nivel 0.95 para la media y la varianza, suponiendo
que las ventas anuales de las empresas del sector se distribuyen con una ley normal.
(b) ¿Rechazarı́a la siguiente afirmación: “En media, las ventas anuales de cada empresa del
sector son de 430 millones de pesos”?, ¿Qué riesgo corre de haberse equivocado?
Probabilidad y Estadı́stica 61.09, 16/VII/2008.
1. Inicialmente, un tirador tiene una probabilidad de acertar a un blanco de 0.6. En cada
tiro mejora su punterı́a, aumentando en un 10 % la probabilidad de acertar al blanco respecto
al tiro anterior. Si disparó tres tiros y acertó exactamente una vez, cuál es la probabilidad de
que haya sido en el último tiro?
2. Sea Ω la región del plano limitada por el cuadrilátero de vértices (0, 0), (1/2, 0), (1, 1/2),
(1, 1). Sea (X, Y ) un punto aleatorio con distribución uniforme en la región Ω.
(a) Hallar la distribución marginal de X.
(b) Hallar la función densidad de probabilidades de X − Y .
3. Un comprador desea adquirir lotes de pilas cuya duración media sea mayor que 233 horas.
Está dispuesto a correr los siguientes riesgos: no más del 1 % de adquirir un lote si la duración
media de sus pilas fuese de 233 horas; no más del 5 % de descartarlo si la duración media
fuese de 240 horas. Suponiendo que la duración de las pilas tiene una distribución normal de
desvı́o 10 horas, diseñar un test y construir una regla de decisión que verifique las normativas
estipuladas por el comprador. Graficar la curva caracterı́stica operativa y analizar el riesgo
de descartar el lote si la duración media de sus pilas fuese de 235 horas.
4. En un bolillero hay 6 bolitas. Se extraen dos: una es blanca, la otra es negra. Estimar la
cantidad de bolitas blancas en el bolillero.
5. Decida si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas justificando adecuadamente
su respuesta.
(a) Sea X1 , X2 , . . . una sucesión de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con distribución exponencial de intensidad λ. Si Yk es el promedio de las primeras
k variables de la sucesión, entonces la varianza de Yk es 1/λ2 .
(b) Si X1 y X2 son v. a. independientes con distribuciones exponenciales de intensidades
λ1 y λ2 , respectivamente, entonces mı́n(X1 , X2 ) tiene distribución exponencial de intensidad
mı́n(λ1 , λ2 ).
(c) Sea X1 , X2 , . . . una sucesión de variables aleatorias, todas de media 2. Si N es una v.a.
con distribución geométrica de parámetro p = 2/3, entonces la esperanza de X1 + · · · + XN
condicionada a que N ≥ 2 es 5.
Probabilidad y Estadı́stica 61.09, 23/VII/2008.
1. Se tienen dos urnas. Cada una contiene dos monedas cargadas. Las monedas de la urna
1 están cargadas con una probabilidad p1 para el lado de la cara, las de la urna 2 con
probabilidad p2 (p2 6= p1 ). Puede optar por una de las siguientes estrategias: (E1) Elegir una
urna al azar y lanzar ambas monedas. (E2) Elegir una moneda de cada urna y lanzar ambas
monedas. El juego se gana si ambas monedas salen cara; en caso contrario se pierde. ¿Cuál
de las dos estrategias es más conveniente?.
2. Sea (X, Y ) con distribución uniforme en el cuadrado de vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1).
Sea ϕ(x) = e−x . Se define U := 1{Y ≤ ϕ(X)}. Calcular E[U ] y V(U ).
3. El precio por llamada desde un teléfono público es de 20 centavos por pulso, contabilizados
desde que se inicia la llamada. Suponiendo que la duración de cada pulso es de dos minutos
y las llamadas tienen duración exponencial de media 3 minutos.
(a) Hallar la función de probabilidad de la duración en pulsos de la llamada
(b) ¿Cuál es el costo medio y la varianza de cada llamada?
4. Se sabe que la cantidad de litros de vino consumidos anualmente por cada cliente de
una tradicional bodega mendozina se rige por una distribución normal con desvı́o igual a
18 litros. La bodega planea innovar su lı́nea de vinos siempre y cuando pueda asegurarse
una venta media de no menos de 100 litros por cliente. Envı́a algunas botellas “gratis” a 16
clientes de confianza, quienes después de haber degustado la noble bebida, deberán contestar
cuántos litros estarı́an dispuestos a consumir. En base a esos resultados decidirá qué hacer.
Si el consumo medio fuese de 105 litros per capita, está dispuesta a correr un riesgo del 5 %
de no innovar.
Construya la regla de decisión y grafique su curva caracterı́stica operativa. Si la bodega
decidiese no innovar, cuál serı́a la máxima probabilidad de haberse equivocado.
5. Se tienen solo dos tipos de dado. Uno honesto y otro con probabilidad de as 0.2. Se elige un
dado y se lo lanza 10 veces. Se observan 3 ases. Hallar el estimador de máxima verosimilitud
de la probabilidad de as (o el modo de la estimación bayesiana).
Probabilidad y Estadı́stica 61.09, 30/VII/2008.
1. Hallar la probabilidad de que x2 − 2ax + b no tenga raı́ces reales si los coeficientes a y b
son variables aleatorias independientes con distribución común U[0, 2].
2. Para viajar de A a B se puede ir en taxi o colectivo. Los tiempos de llegada entre taxis (en
minutos) son exponenciales independientes de parámetro λT mientras que los de los colectivos
son exponenciales independientes pero de parámetro λC . Usted se encuentra en A a las 7 AM.
(a) Halle el tiempo medio hasta la llegada del primer vehı́culo.
(b) Calcule la probabilidad de que el primer vehı́culo que llega sea un taxi.
(c) De hecho hay colectivos comunes (con probabilidad p) y rápidos (con probabilidad 1 − p)
que arriban en forma independiente. Si se queda en A durante r minutos, qué cantidad media
de colectivos rápidos que verá.
3. Una persona le apuesta que en 100 lanzamientos de una moneda honesta la cantidad de
caras observadas diferirá de 50 en 4 o más. ¿Cuál es la probabilidad de que usted resulte
ganador? ¿Es cierto que la probabilidad de que ocurran un 50 % de caras aumenta a medida
que aumenta la cantidad de tiros?
4. Se tiene una población con distribución U(θ, θ + 1). Basandose en una muestra de tamaño
1, X1 , diseñar una regla de decisión de nivel de significación 0.1, para verificar H0 : θ ≤ 5
contra H1 : θ > 5. Grafique la curva caracterı́stica operativa.
5. En una bodega se desea conocer la proporción p de barriles existentes con el vino ya
estacionado y listo para la distribución. En base a estudios previos, se le asigna a p la siguiente
distribución: f (p) = c(1 − p), 0 < p < 1. Por otro lado, a un empleado de la bodega se le
encomienda la tarea de probar un vaso de cada uno de los 800 barriles existentes, para poder
determinar p en forma exacta. El empleado empieza a probar un vaso de cada barril, y va
anotando en su cuaderno “LISTO” o “NO LISTO”, de acuerdo a lo que prueba. Sin embargo,
luego de probar el noveno vaso, se olvida de qué era lo que estaba haciendo, y se queda
dormido entre dos barriles. Otro empleado recoge el cuaderno, donde encuentra 5 veces la
palabra “LISTO” y 4 veces “NO LISTO”.
(a) Actualizar en forma bayesiana la distribución de p, en base a los 9 resultados que llegó a
obtener el primer empleado. Hallar la media y el máximo de la distribución a posteriori de p
condicional a dichos resultados.
(b) Encontrar el estimador de máxima verosimilitud, que no tiene en cuenta la distribución
a priori, y comparar con el máximo encontrado en (a).
Probabilidad y Estadı́stica 61.09, 6/VIII/2008.
1. Sea (X, Y ) con distribución uniforme en el triángulo de vértices (0, 0), (2, 0), (1, 1). Hallar
la función de distribución de Z = mı́n(X, Y ).
2. Un proceso de llegadas comienza en t = 0 y los tiempos entre llegadas son i.i.d con
distribución:
1 −λx
fX (x) =
λe
+ λ2 xe−λx , x ≥ 0 (λ > 0)
2
(a) Hallar la media y la varianza de X (no es necesario calcular integrales).
(b) Sea N10 la cantidad de arribos desde t = 0 hasta t = 10. Calcule P(N10 = 0) (Debe llegar
a un resultado numérico).
(c) Graficar f (x) y encontrar el valor de x que la maximiza.
3. Familias de mexicanos migran a EE.UU. de acuerdo con un proceso de Poisson de tasa
λ = 2 por semana. Si el número de integrantes de cada familia es independiente y puede ser
1, 2, 3, 4 con probabilidades respectivas 61 , 13 , 31 , 16 . ¿Cuál es el valor esperado y la varianza del
número de mexicanos que migran a EE.UU. durante un perı́odo fijo de 5 semanas?
4. Una especificación de compras de una empresa requiere, para una materia prima comprada
en grandes lotes, que el porcentaje de unidades defectuosas sea no mayor del 2 %. Para verificar
si un lote entregado cumple el requerimiento se extrae una muestra de n unidades, a las que
se somete a inspección.
(a) Suponiendo que n = 80 y sólo una pieza inspeccionada es no conforme, ¿recomendarı́a
aceptar el lote? Justificar detalladamente y mencionar los criterios tenidos en cuenta
(b) Para otra materia prima diferente de la anterior, una instrucción establece la aceptación
de lotes cada vez que, en una muestra de tamaño 150 aparezcan 0 o 1 unidades defectuosas,
¿cuál deberá ser la calidad de un lote para tener una probabilidad de aceptación del 90 %?
(calidad de lote: porcentaje de unidades defectuosas en el lote)
5. Un proceso de producción, produce con una calidad del 100 p % de artı́culos defectuosos.
A priori se supone que la proporción p de artı́culos defectuosos se distribuye uniformemente
en el intervalo (0, 1). De una partida se examina una muestra de 10 artı́culos y se encuentran 2 defectuosos. Se arma una caja con otros 4 artı́culos de la misma partida ¿cuál es la
probabilidad de que tenga solo un artı́culo defectuoso?
Probabilidad y Estadı́stica 61.09, 10/XII/2008.
1. Lucas tiene 3 sacos idénticos, cada uno con dos bolsillos. Todos los sacos salvo uno tienen
un paquete de cigarillos en cada bolsillo. El saco restante tiene un paquete de cigarrillos en
un bolsillo y una cajita de fósforos en el otro. Lucas elige un saco al azar y sale a trabajar.
En la parada del colectivo mete la mano en un bolsillo y saca un paquete de cigarrillos. Cuál
es la probabilidad de que pueda fumar mientras espera el colectivo?
2. Sea (X, Y ) un punto aleatorio con distribución uniforme en el triángulo de vértices
(0, 0), (2, 0), (2, 2). Hallar la recta de regresión de Y basada en X.
3. Se tirará un dado equilibrado hasta que salga el as. Sea N la cantidad de tiradas necesarias
y sea M la cantidad de cuatros obtenidos. Calcular Cov(N, M ).
4. El tiempo de funcionamiento en años de cada chip de computadoras, producido por
una firma de semiconductores china, se distribuye como una exponencial de media 1/λ. La
distribución a priori de λ es una Gamma con función de densidad
f (λ) =
λ2 e−λ
,
2
λ > 0.
Sabiendo que el promedio del tiempo de funcionamiento de 20 chips examinados es de 4.5
años: hallar la densidad a posteriori de λ y estimar puntualmente λ Rutilizando su máximo.
∞
n!
(Sugerencia: si le parece conveniente puede usar la siguiente fórmula 0 xn e−ax dx = an+1
.)
5. Para identificar las obras de su serie titulada Los paisajes binarios el artista digital Nelo
las firma con una imagen aleatoria de 10 × 10 pixels producida con el siguiente procedimiento:
por cada pixel se lanza un dado equilibrado: si sale 1, 2 o 3 se pinta de rojo; si sale 4 o 5 se
pinta de verde y si sale 6 se pinta de azul. Se somete a examen la firma de una obra digital
titulada Cordillera binaria y se obtienen los siguientes resultados: 46 pixels rojos, 37 verdes y
17 azules. Se puede concluir a un nivel del 5 % que Cordillera binaria no pertenece a la serie
Los paisajes binarios?
Probabilidad y Estadı́stica 61.09, 17/XII/2008.
1. Un libro sobre juegos recomienda la siguiente estrategia para ganar en la ruleta. Se juega
un peso al rojo. Si sale rojo (cuya probabilidad es 18/37), el jugador debe tomar su ganancia
y retirarse de la mesa. Si no sale rojo (cuya probabilidad es 19/37), debe apostar un peso
al rojo en cada uno de las dos tiradas siguientes y abandonar la mesa. Sea X la “ganancia”
del jugador cuando abandona la mesa. Hallar P(X > 0) y E[X]. Qué opina de la estrategia
recomendada?
2. El tiempo, t, en horas, que se tarda en reparar una PC es una variable aleatoria con
distribución uniforme sobre el intervalo (0, 4).
√ El costo en mano de obra de reparación depende
del tiempo utilizado y es igual a 120 + 90 t. Hallar la función de distribución del costo en
mano de obra de reparar una PC y calcular su media.
3. Una máquina produce rollos de alambre. El alambre tiene fallas distribuidas como un
proceso de Poisson de intensidad 1 cada 25 metros. La máquina deberı́a cortar el rollo en
cada falla pero solo detecta el 90 %. Hallar la cantidad media de fallas en los rollos que miden
más de 200 metros.
4. Lucas ingresa en un banco a las 11:30 para cobrar un cheque y le dan el número 68 de la
fila de espera. Mientras se sienta a esperar observa que está siendo atendido el cliente número
61. El tiempo de atención (en minutos) para cada cliente se distribuye como una variable
exponencial. A las 11:45 comienza a ser atendido el cliente número 66 y Lucas decide salir del
banco a fumar un cigarrillo. Suponiendo que Lucas demora 6 minutos en volver a la fila de
espera, estimar por máxima verosimilitud la probabilidad de que haya perdido su turno en la
fila.
5. Una propaganda afirma que el uso del complejo vitamı́nico “jirafol” favorece el crecimiento
anual de los niños. Medido en centı́metros, el crecimiento anual en la población infantil es una
variable aleatoria normal de media 3 y desvı́o 1. Un estudio realizado sobre 2500 niños que
consumieron “jirafol” arrojó un promedio de crecimiento de 3.05 cm. por niño. Suponiendo
que el desvı́o se mantuvo igual a 1, recomendarı́a el uso de “jirafol”? Describa los riesgos
estadı́sticos involucrados.
Probabilidad y Estadı́stica 61.09, 11/II/2009.
1. Lucas y Monk juegan un campeonato de ajedrez que ganará el primero que obtenga dos
triunfos de ventaja. Cada partida es ganada por Lucas con probabilidad 0.55 y por Monk con
probabilidad 0.45 (no hay tablas). Hallar la probabilidad de que Lucas gane el campeonato
en la segunda partida sabiendo que lo ganará en 4 o menos partidas.
2. Una máquina selecciona ciruelas clasificándolas según su diámetro. Las de diámetro superior a los 4 cm. se consideran de clase A y las otras de clase B. El diámetro de cada ciruela
es una variable aleatoria uniforme entre 3 y 5 cm. Hallar la probabilidad de que en una bolsa
de 20 ciruelas de tipo A exactamente 3 tengan diámetro superior a los 4.5 cm.
3. Una máquina produce rollos de alambre. El alambre tiene fallas distribuidas como un
proceso de Poisson de intensidad 1 cada 35 metros. La máquina corta el alambre en la primer
falla detectada después de los 50 metros, pero detecta las fallas con probabilidad 0.9. Hallar
la cantidad media de fallas en los rollos que miden más de 100 metros.
4. Los tiempos de atención de clientes en un banco son variables aleatorias exponenciales de
intensidad λ e independientes entre sı́. Sabiendo que en 10 minutos fueron atendidos exactamente 5 clientes, estimar por máxima verosimilitud la probabilidad de que en los siguientes
cinco minutos sean atendidos más de 3.
5. En una elección se presentan dos candidatos: el verde y el rojo. Diseñar un test de hipótesis
basado en una encuesta entre 1000 votantes para verificar si el candidato rojo obtendrá más
del 20 % de los votos, con un nivel de significación del 10 %. Graficar la curva caracterı́stica
operativa calculando por lo menos tres de sus puntos. Qué decidirı́a si la encuesta arroja 190
votos a favor del candidato rojo?
Probabilidad y Estadı́stica 61.09, 18/II/2009.
1. Existen dos caminos de A hasta B (que no pasan por C) y dos caminos de B hasta
C (que no pasan por A). Cada uno de estos caminos está bloqueado con probabilidad 0.2
independientemente de los demás. Hallar la probabilidad de que exista un camino abierto
desde A hasta B sabiendo que no hay ningún camino abierto desde A hasta C.
C
B
A
2. El peso de ciertas bolsas de naranjas es una variable aleatoria uniforme entre 1 y 3
kilos. Se ponen bolsas en una balanza hasta reunir más de 2 kilos. Hallar la media del peso
ası́ obtenido.
3. Una máquina produce rollos de alambre. El alambre tiene fallas distribuidas como un
proceso de Poisson de intensidad 1 cada 30 metros. La máquina detecta cada falla con probabilidad 0.9 y corta el alambre en la primer falla detectada antes de los 120 metros o a los
120 metros si no se detectan fallas. Hallar la cantidad media de fallas en los rollos.
4. El número de accidentes que ocurren diariamente en una planta industrial tiene una
distribución Poisson de media λ desconocida. Sobre la base de experiencias previas en plantas
industriales similares un estadı́stico afirma que los posibles valores de λ se distribuyen a
priori como una variable exponencial de media 1/2. Sabiendo que durante los primeros 9
dı́as de funcionamiento de la planta industrial ocurrieron un total de 45 accidentes hallar la
distribución a posteriori de λ y calcular la probabilidad de que durante el décimo dı́a ocurran
dos
accidentes. Sugerencia: si le parece conveniente puede usar la siguiente fórmula
R ∞ on más
n!
−ax
.
dx = an+1
0 x e
5. Un informe oficial afirma que el consumo medio de agua en los hogares de la Ciudad de
Buenos Aires es de 850 litros diarios. Se realizó una investigación sobre 20 hogares elegidos
al azar y los resultados sobre el consumo diario de litros de agua en cada uno de esos hogares
fueron los siguientes:
701
926
972
878
1026
845
868
930
826
966
807
950
998
800
1012
932
965
1030
958
960
Suponiendo que el consumo diario de litros de agua en los hogares de la Ciudad de Buenos
Aires tiene distribución normal, diseñar un test de hipótesis de nivel de significación 0.05 para
refutar la afirmación oficial. ¿Qué puede concluirse a partir de los datos observados?
Probabilidad y Estadı́stica 61.09, 25/II/2009.
1. La figura siguiente representa el mapa de una localidad turı́stica de 40 manzanas situada
en la costa atlántica.
H
Q
C
P
Un paseo desde el hotel, situado en el punto H, hasta el puerto de pescadores, situado en el
punto P , es una sucesión de 14 cuadras -dentro de la localidad- recorridas hacia la izquierda
o hacia abajo (ver la figura). Se elige al azar un paseo desde el hotel hasta el puerto de
pescadores (esto es, todos los paseos tienen la misma probabilidad de ser elegidos). Sabiendo
que se pasó por el café situado en el punto C, hallar la probabilidad de haber pasado por el
quiosco de diarios y revistas situado en el punto Q.
2. Una máquina produce rollos de alambre. El alambre tiene fallas distribuidas como un
proceso de Poisson de intensidad 1 cada 20 metros. La máquina corta el alambre en la primer
falla detectada después de los 40 metros, pero detecta las fallas con probabilidad 0.9. Si entre
los 40 y los 100 metros no detecta ninguna falla, la máquina corta el alambre a los 100 metros.
Hallar la cantidad media de fallas en los rollos.
3. El peso W (en toneladas) que puede resistir un puente sin sufrir daños estructurales
es una variable aleatoria con distribución normal de media 1400 y desvı́o 100. El peso (en
toneladas) de cada camión de arena es una variable aleatoria de media 20 y desvı́o 0.25.
¿Cuántos camiones de arena debe haber, como mı́nimo, sobre el tablero del puente para que
la probabilidad de que ocurran daños estructurales supere 0.1?
4. En una urna hay k bolas blancas y 5 bolas negras, donde 0 ≤ k ≤ 6. Se extraen 2
bolas al azar sin reposición, se las examina y se las repone en la urna. Sabiendo que las dos
bolas examinadas resultaron blancas y usando el método de máxima verosimilitud estimar la
probabilidad de que al extraer nuevamente dos bolas al azar sin reposición una sea blanca y
la otra negra.
5. Se tiene una población con distribución U(θ, θ + 1). Basándose en el máximo de una
muestra de tamaño 3, M := max(X1 , X2 , X3 ), diseñar una regla de decisión de nivel de
significación 0.1, para verificar la hipótesis H0 : θ ≤ 5 contra H1 : θ > 5. Graficar la curva
caracterı́stica operativa correspondiente. ¿Qué debe concluirse si en una muestra de tamaño
3 el valor máximo observado es igual a 5.5?