( ) [ ]x

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3º año
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FUNCIÓN DEFINIDAS POR PARTES
Los valores que toma una función pueden estar definidos por medio de una fórmula pero
también por varias fórmulas. En este último caso se dice que está definida por partes ó por
tramos o es una función partida porque para definirla se necesitan distintas fórmulas para
distintos subconjuntos del dominio (intervalos de la variable independiente).
El dominio R de la función se parte en subconjuntos disjuntos.
Ejemplo:
⎧5
⎪
⎨2x + 7
⎪- x + 10
⎩
si
x ≤ -1
si - 1 ⟨ x ≤ 1
si
x ⟩1
FUNCIÓN PARTE ENTERA
La función parte entera, se denota de la siguiente manera:
f (x ) = [x ]
Está definida por:
[x ] = n
si n ≤ x < n + 1 , donde n es un número entero ( n ∈ N ).
Dom f = R ; Im f = Z
FUNCIÓN ESCALONADA
Problema: Una empresa paga los sueldos a sus vendedores según el siguiente criterio: un
vendedor nuevo comienza con un sueldo de $ 600; cada año de antigüedad en el puesto, su
salario se incrementa en $ 100.
¿Cuál es el sueldo de un empleado que tiene un año de antigüedad?, ¿y cuando la
antigüedad es de un año y medio?
¿Cuál es la gráfica que puede usarse para representar el salario en función del tiempo de
antigüedad?
Como el sueldo aumenta al momento de cumplirse cada año nuevo y se mantiene constante
durante todo su transcurso, la gráfica resulta escalonada.
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En casos como este la función lineal no es adecuada para representar la situación, porque
los incrementos no son proporcionales al tiempo transcurrido. La gráfica resulta
“escalonada”.
En general, el dominio de estas funciones es el conjunto de los números reales o un
subconjunto de él y la imagen es el conjunto o un subconjunto de los números naturales o
enteros.
FUNCIÓN MANTISA
La función mantisa, se denota de la siguiente manera:
f (x ) = x − [x ]
 Indicar dominio e imagen de esta función
Â
FUNCIÓN SIGNO DE X
La función mantisa, se denota de la siguiente manera:
f (x ) = sgn (x )
Está definida por:
⎧− 1 si x < 0
⎪
sgn (x ) = ⎨0 si x = 0
⎪1 si x > 0
⎩
 Indicar dominio e imagen de esta función
FUNCIÓN MÓDULO O VALOR ABSOLUTO
Recordar: definición de valor absoluto. Dado un número real x, se define como valor
absoluto ó módulo x a la distancia de x a 0.
⎧⎪si x ≥ 0
x =x
x =⎨
x = -x
⎪⎩si x ⟨ 0
Considerando la función f : R → R/ f (x ) = x , esta función se llama “función módulo” y se
define por partes.
⎧x
f (x ) = x = ⎨
⎩- x
si x ≥ 0
si x ⟨ 0
Gráficamente
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El conjunto imagen de esta función es Im f (x ) = [0; ∞ ) , lo cual lo relaciona con una propiedad
ya conocida: el módulo de cualquier número real es un número real positivo o cero. La
gráfica de la función resulta simétrica respecto del eje y, es una función par.
FUNCION POLINÓMICA
Función polinómica de grado n es una función de la forma
P(x) = an xn + an-1 xn – 1 + ... + a2 x2 + a1 x1 +a0
Donde n es un número entero no negativo y an ∫ 0
Los números reales a0, a1, a2, ... , an se llaman coeficientes del polinomio.
El número real a0 se llama término independiente o coeficiente constante.
A an se lo llama coeficiente principal y an xn es el término principal.
Recordando…
Para realizar el análisis de las funciones polinómicas deberás repasar los
contenidos abordados en 2º año:
Factorización de polinomios
Método de Gauss para la búsqueda de raíces racionales de un polinomio entero.
Teorema Fundamental del Álgebra
Si un polinomio está expresado como producto de otros polinomios, las raíces de éstos son
las raíces de P(x)
Ejemplo
Polinomio expresado como producto
Raíces reales
P (x ) = −2 . (x − 1) . (x − 2) . (x + 3 )
x = 1; x = 2 ; x = −3
Tres
x = 7; x = 9 (raíz doble)
Tres
x = − 6 (raíz triple)
Tres
x=3
Una
Q (x ) =
5
. (x − 7 ) . (x − 9 ) . (x − 9 )
3
R (x ) = (x + 6 ) . (x + 6 ) . (x + 6 )
S (x ) =
(
)
11
(x − 3 ) . x 2 + 1
13
Cantidad de raíces reales
Si al escribir un polinomio como producto hay más de un factor que tiene la misma
raíz, a esta se la llama raíz múltiple.
Por eso x = 9 es raíz doble de Q(x) (se cuentan como dos raíces), y x = − 6 es raíz triple de
R(x) (se cuentan como tres raíces).
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En la tabla anterior figuran raíces reales, pero un polinomio puede tener raíces reales y
raíces no reales. Existe un teorema, llamado teorema fundamental del álgebra (TFA)
que afirma lo siguiente:
Un polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces reales
Ejemplo
 1 es raíz de P (x ) = x − 1 porque P (1) = 0
 2 es raíz de P (x ) = 2 x 2 − 8 porque P (2 ) = 0
¿-2 también es raíz?
 0 es raíz de P (x ) = x 3 − x porque P (0 ) = 0
¿Es la única raíz real?
¿Por qué?
 No existe a ∈ R raíz de P (x ) = x 2 + 9 pues el polinomio
P (x ) no se anula para ningún número real.
P(a ) = a 2 + 9 y a 2 + 9 > 0
∀ a∈R
Conclusiones:
•
El número de raíces de un polinomio está relacionado con su grado.
•
Existen polinomios con coeficientes reales que “no poseen raíces reales”
•
Todo polinomio con coeficientes reales de grado impar, admite al menos
una raíz real
Para poder expresar un polinomio como producto se estudiaron las técnicas de
factorización
Consecuencias de la factorización de polinomios
En general se puede afirmar que:
Todo polinomio P(x) compuesto y de grado n, que tenga n raíces reales,
puede factorizarse como
P(x) = a. (x − r1). (x − r2 ). .... (x − rn )
Donde
an es el coeficiente principal de P(x)
r1, … , rn son la n raíces reales de P(x)
Raíces múltiples
Profundizaremos aquí esta cuestión mencionada más arriba
Ejemplo
2
 Hallar las raíces de f ( x ) = 4x − 8x + 4
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Para hallar las raíces de este polinomio se puede factorizar el mismo aplicando casos de
factorización o trabajándolo como una ecuación de segundo grado y aplicando la fórmula
resolvente.
f ( x ) = 4 ( x − 1) ( x − 1) = 4 ( x − 1)
En la descomposición de f(x), x = 1 es raíz de los dos factores. Entonces se dice que x = 1 es
2
raíz doble de f(x).
En general se puede afirmar que:
Un polinomio f ( x ) = ax 2 + bx + c que tiene una raíz doble (r), es de la forma
P( x) = a.( x − r )
2
Ejemplo
2
 Graficar la función polinómica dada anteriormente f ( x ) = 4x − 8x + 4
O bien, f ( x ) = 4 ( x − 1)
2
Si un polinomio de grado dos puede expresarse mediante
un número por un cuadrado de un binomio, el polinomio
tiene una raíz doble.
Al haber un solo punto de contacto entre la parábola y el eje
x, ese punto debe ser necesariamente el vértice de la
parábola.
Es decir,
esta raíz doble representa un rebote de la gráfica de la función en el eje x.
Veamos que sucede con polinomios de otros grados
Ejemplo
Â
g ( x ) = ( x + 1)( x + 1)( x + 1)( x + 1)( x − 2 )( x − 2 )( x − 2 )
O bien,
g ( x ) = ( x + 1)
4
( x − 2)
3
Por lo tanto,
x = − 1 es raíz doble de g(x)
x = 2 es raíz triple de g(x)
Observando el gráfico de g(x) y el grado de multiplicidad
de las raíces
En general, cuando una raíz r tiene:
Grado de multiplicidad impar, el polinomio atraviesa el eje x en x = r .
Grado de multiplicidad par, el polinomio toca pero no atraviesa el eje x; “rebota“
en x = r
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Al factorizar un polinomio, descubrimos el grado de multiplicidad de sus raíces.
Ejemplo
3
2
 Hallar las raíces de V ( x ) = x − 5 x + 7x − 3 y el grado de multiplicidad de cada una.
Como los coeficientes son enteros se puede aplicar
Teorema de Gauss.
Factorizado el polinomio queda expresado de la
siguiente manera:
V ( x ) = ( x − 1)( x − 1)( x − 3 ) = ( x − 1) ( x − 3 )
⇒ x = 1 es raíz de multiplicidad 2 de V(x) y x = 3 es
2
raíz de multiplicidad uno de V(x).
En resumen:
Suponiendo que r es un cero de la función polinómica de multiplicad n. entonces la forma de
la gráfica de f(x) cerca de r es como sigue
Atención!!
Si se desea conocer la multiplicidad de una raíz, se debe controlar que el polinomio
esté factorizado.
Ejemplo
Erróneamente se puede decir que x = − 6 es raíz cuádruple del polinomio
P ( x ) = ( x + 6)
4
(x
2
)
+ x − 30 .
Pero P(x) no está factorizado. Al factorizar Q ( x ) = x 2 + x − 30 , se obtiene
Q ( x ) = ( x + 6 )( x − 5 ) .
Entonces, P ( x ) = ( x + 6 )
5
( x − 5) .
Ahora P(x) está factorizado y se puede ver que x = − 6 es raíz quíntuple de P(x).
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Teorema de Bolzano
Si P es una función continua en un intervalo [a , b] y
tiene distinto signo en los extremos del mismo,
entonces tiene por lo menos una raíz real en ese
intervalo.
P ( a ) y P ( b ) tienen signos opuestos ⇒
∃ c ∈ (a , b ) tal
que P ( c ) = 0 .
No se demostrará este teorema, pero en la figura se muestra por qué es intuitivamente
posible.
Una consecuencia importante de este teorema es que entre dos ceros sucesivos
cualesquiera, los valores de un polinomio son todos positivos o negativos.
Es decir, entre dos ceros sucesivos la gráfica esta por completo arriba o
abajo del eje x.
Máximos y mínimos locales de una función polinómica
Recordar
Definiciones de extremos relativos o locales.
Para una función polinómica el número de extremos locales debe ser menor que el grado,
como indica el siguiente principio.
Si P(x) = an xn + an-1 xn – 1 + ... + a2 x2 + a1 x1 +a0 es un polinomio de grado n,
entonces la gráfica de P tiene a lo sumo n-1 extremos locales.
Esto significa que un polinomio de grado n puede tener de hecho menos de n-1 extremos
locales. Por ejemplo, P ( x ) = x 5 no tiene extremos locales, aún cuando es de grado 5. El
principio precedente indica sólo que un polinomio de grado n puede tener NO más de n-1
extremos locales.
Gráficas de polinomios
Las gráficas de polinomios de grado 0 o 1 son rectas, y las gráficas de polinomios de grado
dos son parábolas. Mientras mayor sea el grado del polinomio, más complicada será la
gráfica. Sin embargo, la gráfica de una función polinómica o polinomial es siempre una
curva lisa; es decir, no tiene discontinuidades en las esquinas. La demostración de este
hecho requiere cálculo, lo cual no está al alcance de este curso.
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Las funciones polinómicas más simples son los polinomios P ( x ) = x n . La gráfica de P ( x ) = x n
tiene la misma forma general que y = x 2 cuando n es par y la misma forma general que,
y = x 3 cuando n es impar. Sin embargo, a medida que el grado de n es más grande, las
gráficas se vuelven más planas respecto al origen y más inclinadas en otra parte.
y = x2
y = x3
y = x4
y = x5
y = x6
y = x7
Comportamiento extremo y el coeficiente principal
El comportamiento extremo de un polinomio es una descripción de los que sucede cuando x
se vuelve grande en la dirección positiva o negativa.
Para cualquier polinomio, el comportamiento extremo está determinado por el término que
contiene la potencia más alta de x, porque cuando x es grande, los otros términos son de
tamaño relativamente insignificante. En el cuadro se muestran los tipos posibles de
comportamiento extremo, con base en la potencia más alta y el signo de su coeficiente.
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Trazado de gráficas de funciones polinómicas
Ceros. Factorizar el polinomio para hallar todos sus ceros reales; estos son las
intersecciones con el eje x de la gráfica.
Puntos de prueba. Construir una tabla de valores para el polinomio. Incluir los
puntos de prueba para determinar si la gráfica del polinomio está arriba o abajo
del eje x en los intervalos determinados por ceros. Incluir la intersección con el eje
y en la tabla.
Comportamiento extremo. Determinar el comportamiento extremo del
polinomio.
Gráfica. Trazar las intersecciones y otros puntos que haya encontrado en la tabla.
Bosquejar una curva lisa que pase por estos puntos y mostrar el comportamiento
extremo requerido.
Ejemplo
 Bosquejar la gráfica de la función polinómica P ( x ) = ( x + 2 ) ( x − 1) ( x − 3 )
El domino de la función es el conjunto de los números reales.
Los ceros de la función son x = − 2 , 1, 3 . Empleando estos puntos de prueba, se obtiene la
siguiente información.
Graficando algunos puntos adicionales y conectándolos con una curva uniforme, se obtiene
el siguiente gráfico
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Polinomios “a medida”
Se pueden inventar polinomios que posean determinadas características.
Ejemplos
 Inventar un polinomio K(x) que sea de grado cuatro, mónico y que toque pero no
atraviese el eje x en x = 1 y en x = 2 .
Â
Inventar un polinomio P(x) con las siguientes características:
Que sea de grado tres;
Que su conjunto de ceros sea C0 = {−2;3}
Que atraviese al eje x únicamente en la raíz positiva, y
Que su conjunto de positividad sea C + = ( 3; ∞ )
¿Es único el polinomio posible con esas características?
FUNCION RACIONAL. ECUACION RACIONAL ASOCIADA
Recordando…
Así como llamamos números racionales a los números de la forma
a
con a y b
b
enteros ( b ≠ 0 ), llamaron (el año pasado) expresiones racionales a las
expresiones de la forma
donde P(x) y Q(x) son polinomios de un sola indeterminada x, siendo Q(x) no
nulo.
Ejemplos
Â
3
es una expresión racional, porque el numerador P ( x ) = 3 es un polinomio y el
x
denominador Q ( x ) = x también es un polinomio.
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Â
Â
− 9x 2 + 2 x − 1
es una expresión racional, porque el numerador P ( x ) = − 9x 2 + 2 x − 1 es
3
2
x + 6x − 5
un polinomio y el denominador Q ( x ) = x 3 + 6x 2 − 5 también es un polinomio.
3x 5 + 7x
2x + x
3
NO es una expresión racional, porque el numerador P ( x ) = 3x 5 + 7x es un
polinomio, pero el denominador Q ( x ) = 2x 3 +
x NO es un polinomio.
Concepto de función racional
Llamamos función racional a las funciones f: A → R tal que
f (x) =
P (x)
Q (x)
Donde P(x) y Q(x) son polinomios reales y Q ( x ) ≠ 0
Salvo que se indique otra cosa, debe quedar entendido que el dominio de una función es el
conjunto más amplio de números reales para el cual la fórmula tiene sentido.
Como la división por cero no está definida, el dominio de una función racional
es el conjunto de todos los valores de la variable independiente que no
anulan al denominador.
Dom f ( x ) = A donde A = {x ∈ R / Q ( x ) ≠ 0}
Cuando trabajamos con funciones racionales, como su dominio NO puede ser R,
es importante que tener presente constantemente su dominio.
Ejemplo
Â
Â
Â
Â
Â
x+7
x−3
x−5
El dominio de la función g ( x ) =
x ( x − 3)
El dominio de la función f ( x ) =
es Dom f ( x ) = R − {3}
es Dom g ( x ) = R − {0,3}
3x − 5
es Dom h ( x ) = R − {− 4,4}
x 2 − 16
3x − 11
El dominio de la función p ( x ) = 2
es Dom p ( x ) = R
x + 16
x2 − 1
El dominio de la función q ( x ) = 3
x + 3x 2 − x − 3
El dominio de la función h ( x ) =
Para indicar su dominio, se debe factorizar el denominador. Para ello, deberás repasar los
casos de factorización de polinomios estudiados en 2º año.
(
)
x 3 + 3x 2 − x − 3 = x 2 ( x + 3 ) − 1( x + 3 ) = ( x + 3 ) x 2 − 1 = ( x + 3 ) ( x + 1) ( x − 1)
Extrayendo factor común por grupos y luego factorizando la diferencia de cuadrados
x 3 + 3x 2 − x − 3 = ( x + 3 ) ( x + 1) ( x − 1)
Significa que la función se puede q(x) se puede escribir
q( x) =
x2 − 1
( x + 3 ) ( x + 1) ( x − 1)
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Las raíces del denominador son
x1 = − 3 ,
x2 = −1
,
x3 = 1
Por lo tanto el dominio de la q(x) es Dom q ( x ) = R − {− 3, − 1,1}
Recordando…
Simplificación de expresiones racionales
Al trabajar con funciones racionales resulta conveniente simplificar las
expresiones racionales. Es posible simplificarlas cuando existen factores
comunes al numerador y al denominador; de lo contrario, la expresión
racional es irreducible
Para poder simplificar deberán primero factorizar los polinomios del numerador y del
denominador, para poder encontrar los factores comunes.
Para la función q(x)
q(x) =
( x + 1) ( x − 1)
( x + 3 ) ( x + 1) ( x − 1)
=
1
x+3
Las dos expresiones racionales anteriores son equivalentes. Es más sencillo trabajar con la
irreducible, pero sin perder de vista que el dominio de la función es el que quedó
determinado a partir de la expresión original
Dom q ( x ) = R − {− 3, − 1,1}
Representación gráfica de una función racional
Estudiaremos una característica que suelen presentar algunas funciones racionales.
INTERSECCIONES CON LOS EJES
Intersección con el eje y: Ordenada al origen
Recordando…
La intersección del gráfico de una función f(x) con el eje y se produce cuando la
variable x se anula.
Esto es posible únicamente si x = 0 pertenece al dominio de f(x); en caso
contrario, no hay intersección
Ejemplo
Â
Considerar la función f ( x ) =
x−2
x2 + 1
Dom p ( x ) = R
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Como x pertenece al dominio de f, entonces
se puede calcular f(0)
f (0) =
0−2
= −2
02 + 1
Por lo tanto, la intersección de la función con
el eje y se produce en el punto Py = ( 0, − 2 )
Intersección con el eje x: Ceros de la función
Recordando…
Las intersecciones del gráfico de una función racional f(x) con el eje x se
producen los valores de x que anulan la función, es decir, para aquellos que
anulan el numerador y que pertenecen al dominio de f. Estos valores de x, si
existen, son los ceros de f(x).
f: A → R /
f (x) =
P (x)
Q ( x)
, entonces x 0 es CERO de f(x) si y sólo si f ( x 0 ) = 0 , es
decir P ( x 0 ) = 0 , x 0 ∈ A
Ejemplo
Â
Sea f ( x ) =
x +1
x −1
Dom f ( x ) = R − {1} para hallar los ceros, se resuelve la ecuación
x +1
= 0 , lo que implica x + 1 = 0
x −1
Por lo tanto, la solución de dicha ecuación es x = − 1 , como − 1∈ Dom f ( x ) el conjunto de
racional asociada
ceros de f(x) es:
C0 = {− 1}
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Â
Sea g ( x ) =
x 2 + 2x + 1
x2 − 1
Dom f ( x ) = R − {− 1,1}
x 2 + 2x + 1
= 0 , lo que
x2 − 1
x = −1
Para hallar los ceros, se resuelve la ecuación racional asociada
implica x 2 + 2x + 1 = 0 ,
( x + 1)
2
=0
,
x + 1= 0
,
Pero!!! − 1∉ Dom g ( x ) , luego el conjunto de ceros de g(x) es vacío.
C0 = ∅
Si se factoriza g(x)
g(x) =
( x + 1)
x 2 + 2x + 1
x +1
=
=
2
x −1
( x + 1) ( x − 1) x − 1
2
Es válida la simplificación pues x = − 1 no pertenece al dominio de g(x), luego las gráficas de
f(x) y de g(x) son IDÉNTICAS, EXCEPTO EN x = − 1 .
ASÍNTOTAS VERTICALES
Consideremos la función f ( x ) =
1
, cuyo dominio es Dom f ( x ) = R − {0}
x
Como no podemos calcular f ( 0 ) , analizaremos las imágenes de f(x) para valores de x muy
próximos a cero.
A medida que x toma valores cada vez más próximos a 0
por la derecha ( x → 0 + ), los valores de f(x) son cada vez
mayores ( f ( x ) → ∞ )
f ( 0,0001) = 10000
f ( 0,00001) = 100000
f ( 0,000001) = 1000000
Lo indicamos así
Si x tiendo a 0 + ⇒ f(x) tiende a +∞
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Si nos acercamos al cero por la izquierda
A medida que x toma valores cada vez más próximos a 0
por la derecha ( x → 0 − ), los valores de f(x) son cada vez
menores ( f ( x ) → − ∞ )
Lo indicamos así
Si x tiendo a 0 − ⇒ f(x) tiende a - ∞
El gráfico de f ( x ) =
1
tiene una rama derecha y una rama
x
izquierda.
Si x tiende a 0, cada una de las ramas se aproxima a la
recta vertical x = 0 (eje de ordenadas).
Esa recta es una asíntota vertical de la función.
En general
Si a ∈ R es cero de Q(x) y no anula a P(x) ( P ( a ) ≠ 0 ), la recta de ecuación x = a es
una asíntota vertical.
Cuidado!!! La recíproca no es válida.
Ejemplo h ( x ) =
x
x2
Si el denominador de la fórmula de una función racional no tiene ceros ( Q ( x ) ≠ 0 ),
esa función NO TIENE ASÍNTOTAS VERTICALES. En cambio, si a es cero del
denominador y no anula al numerador, la recta de ecuación x = a es una asíntota
vertical.
En resumen para el trazo de gráficas de funciones racionales, se debe
Factorizar. Factorizar el numerador y el denominador
Intersecciones. Hallar las intersecciones con el eje x determinando los ceros del
numerador, y las intersecciones con el eje y del valor de la función en x = 0 .
Asíntotas verticales. Hallar las asíntotas verticales determinando los ceros del
denominador, y luego ver si y → ∞ o y → − ∞ en cada lado de cada asíntota
vertical usando valores de prueba.
Asíntota horizontal. Encontrar la asíntota horizontal (si existe) dividiendo
numerador y denominador entre la potencia más alta de x que aparece en el
denominador; luego, permitir que x → ± ∞ .
Bosquejar la gráfica. Graficar la información que se determinó en los cuatro
primeros pasos. Luego, trazar tantos puntos adicionales como sea necesario para
completar una curva lisa que pase por estos puntos y mostrar el comportamiento
extremo requerido.
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DETERMINACIÓN DEL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
En la determinación del dominio de la función hay que tener en cuenta lo siguiente:
9 La naturaleza de la variable independiente: continuas o discretas.
9 Las operaciones que definen la ecuación asociada a la función: teniendo en cuenta que
hay operaciones que no tienen sentido para determinados valores en el conjunto de los
números reales, consideraremos los siguientes casos:
† División por cero: Si una función está dada como cociente, aquellos valores reales
que anulen el denominador deben ser excluidos del dominio, pues en ellos no tiene
sentido el cálculo.
† Radicandos: Hay que excluir del dominio aquellos valores que hacen negativo al
radicando cuando el índice es par, ya que no se puede calcular la raíz de un número
negativo.
† Logaritmos: El argumento de un logaritmo no puede ser negativo o nulo, por lo
tanto habrá que excluir los valores de x que no lo hagan estrictamente positivo, para
poder así determinar el dominio.
Ejemplo:
 Calcular el dominio de las siguientes funciones:
a) f ( x ) =
2x + 1
5x + 3
b) f(x) = x 2 + 2x − 3
c) y = ln ( 4 − x )
Resolución
a) Veamos qué valores de x anulan el denominador, resolviendo la ecuación 5x + 3 = 0 se
obtiene que su raíz es
x=−
3
5
El dominio estará formado por todos los números reales excepto el consignado, expresado
simbólicamente:
3⎞ ⎛ 3 ⎞
⎧ 3⎫
⎛
Dom f ( x ) = R − ⎨− ⎬ ó Dom f ( x ) = ⎜ −∞, − ⎟ ∪ ⎜ − , ∞ ⎟
5⎠ ⎝ 5 ⎠
⎩ 5⎭
⎝
b) Vamos a factorizar el radicando, para lo cual debemos detectar las raíces,
x 2 + 2x − 3 ≥ 0
es equivalente a
(x − 1).(x + 3) ≥ 0
Formarán el dominio los valores de x que hagan que los dos factores sean de igual signo o
alguno de ellos anule la expresión.
Una forma útil de visualizar la solución consiste en estudiar el signo de cada uno de los
factores.
Gráficamente
Signo de (x + 3)
Signo de (x − 1)
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Signo de (x − 1).(x + 3)
Observando en la última línea dónde es positivo o nulo el producto de los factores
considerados, el dominio resulta:
Dom(f ) = ( −∞, −3] ∪ [1, ∞ )
c) Aquí se analizará para qué valores el argumento del logaritmo es un número positivo
4−x>0
Resolviendo la inecuación, resulta
−x > −4
Multiplicando ambos miembros por (-1) e invirtiendo el sentido de la desigualdad, resulta
Resulta así
x<4
Dom (y) = ( − ∞, 4)
Observación: Pueden aparecer combinaciones de los casos precedentes que se
irán solucionando mediante sucesivas intersecciones.
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ALGEBRA DE FUNCIONES
Con las funciones también se pueden realizar las operaciones de suma, resta,
multiplicación, división y otras más (composición de funciones).
Dadas dos funciones
f: A → B
La suma de las funciones f y g:
y
g: B → C
(f + g)(x ) = f (x ) + g(x )
La diferencia de las funciones f y g:
(f − g)(x ) = f (x ) − g(x )
El producto de las funciones f y g:
(f . g)(x ) = f (x ). g(x )
El producto de las funciones f y g:
⎛f ⎞
f (x )
⎜⎜ ⎟⎟(x ) =
g (x )
⎝g⎠
El dominio en cada caso, consiste en la intersección de los dominios de f y g
Dom(f + g)(x ) = {x ∈ Dom f (x ) ∩ Dom g(x )}
Dom(f − g)(x ) = {x ∈ Dom f (x ) ∩ Dom g(x )}
Dom(f . g)(x ) = {x ∈ Dom f (x ) ∩ Dom g(x )}
y en el caso del cociente se deben restar los valores de la variable
independiente que anulan la función del denominador
⎛f ⎞
Dom⎜⎜ ⎟⎟(x ) = {x ∈ Dom f (x ) ∩ Dom g (x )} − {x ∈ R / g (x ) = 0}
⎝g ⎠
Ejemplos:
 Hallar el dominio de (f + g )(x ) , tales que f: R → R y g: R → [0;∞) tales que f (x ) = x − 1 y
g (x ) = x 2
Dom (f + g )(x ) = R
Composición de funciones
Dadas dos funciones
f: A → B y g: B → C
tales que la segunda tiene como dominio imagen de la primera, hay una
función asociada a f y g .
Dicha función se llama compuesta entre f y g y se define:
g o f : A → C / (g o f )(x ) = g(f (x ))
El dominio de la composición g o f es el conjunto de todos los x que
pertenecen al dominio de f(x), tal que f(x) está en el dominio de g(x):
Dom (g o f )(x ) = {x ∈ Dom f (x ) / Im f (x ) ⊂ Dom g(x )}
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La función compuesta es la función de una función
Ejemplos:
 Dadas f: R → R y g: R → R tales que f (x ) = −2 x −
1
y g (x ) = 3.x + 2
2
Encontrar ( f o g ) y ( g o f )
(f o g )(x ) = f (g (x )) = f (3.x + 2) = −2.(3.x + 2) − 1 = − 6.x − 4 − 1 = − 6.x − 9
2
2
2
(g o f )(x ) = g (f (x )) = g ⎛⎜ − 2.x − 1 ⎞⎟ = 3.⎛⎜ − 2.x − 1 ⎞⎟ + 2 = −6.x − 3 + 2 = −6.x + 1
2⎠
⎝
2⎠
⎝
2
2
f( x ) = x - 1 y g( x ) = x2
 f: R → R y g: R → [0;∞) tales que
Resolución
1) La función compuesta g o f tiene dominio y la imagen en R y está definida:
(g o f )(x ) = g (f (x )) = g (x − 1) = (x − 1)
2
2) La función compuesta f o g tiene dominio y codominio en R y está definida:
(f o g )(x ) = f (g (x )) = f (x ) = x
2
( )
2
−1
 Dadas f x = x − 1 y g (x ) =
respectivos.
2
Resolución:
1) (f o g )(x ) = f (g (x )) = f
(
Dom g (x ) = [− 3; ∞ )
x + 3 , hallar f o g y g o f y determinar los dominios
) (
x +3 =
x+3
)
2
−1= x + 2
Im g (x ) = [0; ∞ )⎫
⎬ Im g (x ) ⊆ Dom f (x )
Dom f (x ) = R ⎭
Por lo tanto,
Dom (f o g )(x ) = [− 3; ∞ )
(
)
2) (g o f )(x ) = g (f (x )) = f x 2 − 1 =
Dom f (x ) = R
Im f (x ) = [− 1; ∞ ) ⎫
⎬ Im g (x ) ⊆ Dom f (x )
Dom g (x ) = [− 3; ∞ )⎭
Por lo tanto,
Dom (g o f )(x ) = R
 Dadas f (x ) = x 2 − 4 y g(x ) =
Dom f (x ) = R
x 2 − 1+ 3 = x 2 + 2
x − 1 , hallar g o f y determinar su dominio.
Im f (x ) = [− 4 ; ∞ ) ⎫
⎬ Im g(x ) ⊄ Dom f (x )
Dom g(x ) = [1; ∞ )⎭
Por lo tanto, se debe restringir la imagen de f(x).
Redefiniendo la imagen
Im f (x ) = [1; ∞ )
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Por lo tanto, es necesario recalcular el dominio de f(x)
x2 − 4 ≥ 1
Operando
x ≥ 5
Por lo tanto, el nuevo dominio de f(x) es
] [ 5 ;∞ )
(
Dom f (x ) = − ∞ ; − 5 ∪
Por lo tanto, el dominio de la función composición
(
] [ 5 ;∞ )
Dom (g o f )(x ) = − ∞ ; − 5 ∪
 Dadas f (x ) =
Â
x y g(x ) = cos x , hallar f o g y determinar su dominio.
Dada f y g definida por f ( x ) =
i) ( f o g) (x )
x2 −1
g ( x ) = 2 x + 1, determinar:
ii) (g o f ) (x )
iii) Calcular ( f o g) ⎛
1⎞
⎜− ⎟
⎝ 4⎠
y
( f o g) (2)
Encontrar el dominio de cada una de las funciones compuestas.
Descomposición de funciones
En la composición (g o f )(x ) = g(f (x )) es muy útil ver a f como la “función interna“ y a g como
la “función externa”.
Es muy útil en precálculo y cálculo, representar una función dada h(x) como la composición
de dos funciones g(x) y f(x). El proceso de identificar funciones posibles g(x) y f(x) se llama
descomposición de una función.
 Sea h(x ) =
x 2 + 1 . Determinar dos funciones f(x) y g(x) de modo que h(x ) = (f o g)(x )
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FUNCIÓN INYECTIVA, SURYECTIVA Y BIYECTIVA
Sea f una función, f : A → B , se dice:
9 f es una función inyectiva si dos elementos distintos cualesquiera del
dominio (A) tienen, por f, imágenes distintas.
En símbolos:
f es inyectiva ⇔
x 1 ≠ x 2 ⇒ f (x 1 ) ≠ f (x 2 )
9 f es una función suryectiva o sobreyectiva si y sólo si para todo y
perteneciente a B, existe x perteneciente a A, tal que f (x ) = y
En símbolos:
f es suryectiva ⇔
Im f = B
9 f es una función biyectiva si y sólo si es inyectiva y suryectiva.
FUNCIONES INVERSAS
Definición:
Sea f ( f : A → B ) una función biyectiva. Se llama función inversa de f a la
correspondencia f-1 ( f − 1 : B → A ).
Propiedad:
Una función f-1 se llama inversa de otra cuando
(f o f )(x ) = f (f (x )) = f (f (x )) = (f
−1
Ejemplo:
Â
f :R →R
/
f (x ) = 2 x − 4
Â
f :R →R
/
f (x ) = x 2 − 3
f : [0 , ∞ ) → [− 3 , ∞ )
f
−1
es
función
−
biyectiva,
−1
luego
−1
o f )(x ) = x
existe
= + x +3
 Si f (x ) = 5.x − 4 y g (x ) =
x+4
, f y g son inversa porque
5
x+4
⎛ x +4⎞
f (g (x )) = f ⎜
−4= x+4−4 = x
⎟ = 5/ .
5/
⎝ 5 ⎠
5.x − 4/ + 4/ 5/ .x
=
=x
5
5/
2 .x − 1
3 .x + 1
 Si f (x ) =
y g (x ) =
, f y g son inversa porque
x+3
2−x
g (f (x )) = g (5.x − 4 ) =
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f − : [− 3 , ∞ ) → [0 , ∞ )
tal
que
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3.x + 1
6.x + 2/ − 2/ + x
−1
2.
x
+
3
.
1
7x 2 − x
⎛
⎞
2−x
2−x
=
f (g (x )) = f ⎜
=
=x
⎟=
3.x + 1 + 6 − 3.x 2 − x 7
⎝ 2 − x ⎠ 3 .x + 1 + 3
2− x
2−x
2.x − 1
+1
3.
x+3
6.x − 3 + x + 3
7/ .x
⎛ 2.x − 1 ⎞
x
+
3
g (f (x )) = g ⎜
=
=x
=
=
⎟
x
−
2
.
1
x +3
2 . x + 6 − 2 .x + 1
7/
⎝ x +3 ⎠
2−
x+3
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