Cuaderno IV: Espacios vectoriales y aplicaciones lineales.

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CUADERNO IV
ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES
Miguel A. Sainz, Joan Serarols, Anna M. Pérez
Dep. de Informática y Matemática Aplicada
Universidad de Girona
RESUMEN: Se va a desarrollar la estructura algebraica denominada espacio vectorial,
formada por vectores y escalares, y su correspondiente subestructura denominada subespacio.
Se estudiarán los más interesantes, que son los de dimensión finita, caracterizándose sus
conjuntos genaradores hasta llegar a una base como conjunto generador mínimo, formada
por vectores linealmente independientes. El teorema de Steinitz permitirá definir la
dimensión de un espacio. Se estudiará el concepto de aplicación lineal, su imagen, núcleo y
rango para acabar con un importante teorema de caracterización de las aplicaciones lineales.
IV.1.- ESPACIO VECTORIAL
Vamos a estudiar una estructura algebraica dotada de distintas leyes de composición, de gran
importancia en la matemática aplicada. Sea (K,+,·) un cuerpo y V un conjunto no vacío. Con el
fin de distinguir a los elementos de K les llamaremos escalares y los designaremos
preferentemente mediante letras minúsculas griegas o latinas: a,b,..,x,..,β ,σ ,... y a los
elementos de V les llamaremos vectores y los designaremos mediante letras latinas minúsculas
en negrita: x,y,z,... Suponemos en V las siguientes leyes de composición:
a) Una l.c.i. en V, que llamaremos suma y designaremos por el mismo símbolo ,+, que la
primera l.c.i. del cuerpo K
+ : V×V
V
(x,y)
x+y
b) Una l.c. externa en V con dominio de operadores K que llamaremos producto externo,
y lo designaremos con el mismo símbolo · , omitido con frecuencia, que la segunda l.c.i del
cuerpo K
· : K×V
V
(β,x)
β ·x
El designar operaciones distintas con los mismos símbolos no tiene que dar lugar a
ambigüedades, habiendo tenido la precaución previa de distinguir escalares y vectores; así α+β
y αβ se refieren a las leyes de composición interna del cuerpo K, y x+y αx se refieren a las
leyes de composición de V.
Diremos que V es espacio vectorial sobre K, abreviadamente V e.v.s. K, si las dos leyes
de composición verifican las siguientes propiedades:
2
1) (V,+) es un grupo abeliano, lo que significa
1a) La ley + es asociativa en V
1b) La ley + es conmutativa en V
1c) Existe el vector neutro en V : 0
1d) Para todo vector de x∈V existe su opuesto −x : x+(−x) = 0
2) ( ∀x,y∈V ) (∀ β ∈K) (β (x+y) = β x+ β y)
3) ( ∀x∈V) (∀ α ,β ∈K) ((α + β )x = α x+ β x)
4) (∀x∈V) (∀ α ,β ∈K) (α (β x) = (αβ )x)
5) (∀x∈V) (1·x = x)
En esta definición hemos designado mediante 0 el vector neutro para la suma, para
distinguirlo del escalar neutro de la suma 0 y del escalar unidad para el producto 1. El vector
opuesto lo hemos designado por −x, notación habitual para una operación aditiva.
Las condiciones 2) y 3) de la definición son una especie de propiedad distributiva del
producto externo respecto a la suma de vectores y suma de escalares, y vistas las igualdades de
derecha a izquierda, constituyen el modo de sacar un vector o un escalar factor común
respectivamente. La condición 4) es una especie de propiedad asociativa entre el producto
externo de V y el producto interno de K. La condición 5) puede interpretarse como que el
elemento unidad para el producto interno de K es también unidad para el producto externo de V.
Veamos como ejemplos algunos tipos importantes de espacios vectoriales.
Ejemplo IV.1.1
Sea un cuerpo (K,+,·); el conjunto K n, formado por las n−plas de elementos de K,
con las leyes de composición
Suma : (a 1,a 2 ,...,a n)+(b 1,b 2,...,b n) = (a 1+b1,a 2 +b 2 ,...,a n+bn)
Producto externo : α (a 1,a 2 ,...,a n) = (αa 1,αa 2 ,..., α a n )
El conjunto K n es espacio vectorial sobre K. En efecto, es fácil comprobar las
propiedades anteriores, por ejemplo
1b) ∀x,y ∈ Kn serán x = (a 1 ,...,a n ) , y = (b 1 ,...,b n )
(a 1 ,...,a n )+(b 1 ,...,b n ) = (b 1 ,...,b n )+(a 1 ,...,a n)
ya que
(a 1 +b 1 ,...,a n+bn) = (b1+a 1 ,...,b n +a n)
por la conmutatividad de la suma en K.
1c) Si 0 es el elemento neutro de + en K, entonces el vector (0,...,0) es el neutro de +
en Kn, ya que para cualquier x = (a 1 ,...,a n)∈Kn será
(a 1 ,...,a n)+(0,...,0) = (a 1 +0,...,a n+0) = (a 1 ,...,a n)
3
1d) Si −a i es el opuesto de ai en K, entonces el vector (−a 1 ,...,−a n) es el opuesto de
(a 1 ,...,a n) en Kn ya que
(a 1 ,...,a n)+(−a 1 ,...,−a n) = (a 1+(−a 1 ),..a n+(−a n )) = (0,0,...,0)
3) (α+β)(a 1 ,...,a n) = α(a 1 ,...,a n)+β(a 1 ,...,a n) = (α a 1,...,α a n)+(β a 1,...,β a n) =
= (αa1+βa1,...,αan+βan) = ((α+β)a 1 ,..,(α + β )a n)
y por distributividad del producto respecto de la suma en K, la propiedad se cumple.
Análogamente se demuestran las otras condiciones de espacio vectorial.
Casos particulares de este espacio vectorial Kn son los siguientes:
a) Rn es espacio vectorial sobre R, por ser (R,+,·) un cuerpo.
b) R2 es espacio vectorial sobre R, es decir, C es espacio vectorial sobre R.
c) Para n = 1 tenemos el espacio vectorial de K sobre K. En este caso los
vectores y escalares se confunden; asimismo la suma de vectores y el producto
por un escalar con la suma y producto interno de K. Como casos particulares de
éste tenemos
c1) R es espacio vectorial sobre R.
c2) C es espacio vectorial sobre C.
Los espacios vectoriales anteriores son los más utilizados en ejercicios y problemas,
formando una categoría importante, como más adelante justificaremos. No obstante, existen
otros tipos de espacios vectoriales, dos de los cuales describimos en los siguientes ejemplos.
Ejemplo IV.1.2
Sea (K,+,·) un cuerpo, A un conjunto no vacío y el conjunto de funciones de A en K
F = { funciones f : A
K}
Consideramos en F las siguientes operaciones:
Suma :
f+g : A
x
K
(f+g)(x) = f(x)+g(x)
es decir, la función suma es una función de A en K tal que la imagen de un x∈A es la
suma (l.c.i en K) de las imágenes f(x) y g(x) (que son elementos de K)
Producto externo:
αf: A
x
K
(α f)(x) = α f(x)
donde al ser α y f (x) elementos de K, αf(x) es el producto interno de K. Con estas
dos leyes F es espacio vectorial sobre K. Por ejemplo
1c) La función
4
0A : A
x
K
0A(x) = 0
para 0 el neutro de la suma en K, es el vector neutro ya que
(f+0A)(x) = f(x)+0A(x) = f(x)+0 = f(x)
con lo que f+0A = f
4) (α(µf))(x) = α(µf)(x) = α(µf(x)) = (αµ)f(x)
con lo que por la asociatividad de · en K, son iguales las funciones
α(µf) = (αµ)f
Ejemplo IV.1.3
Otro espacio vectorial lo constituye K[x], conjunto de polinomios sobre un cuerpo
(K,+,·) con las operaciones
suma : (a 0+a 1 x+...+a nxn)+(b 0+b 1 x+...+b mxm) = (a 0+b0)+(a 1 +b 1 )x+...
producto externo : α(a 0+a 1 x+...+a nxn) = (αa 0)+(αa 1)x+...+(α a n )x n
Fácilmente se prueba que (K[x],+) es un grupo abeliano, verificándose además las
otras condiciones de espacio vectorial; por ejemplo
2) α((a 0+a 1 x+...+a nx n )+(b 0+b 1x+...+bmxm )) =
 α a nxn

= α(a 0+b0)+α(a 1 +b 1 )x+...+ αbmxm

α(a n+bm)xn
si n > m
si n < m
si m = n
α(a 0+a 1 x+...+a nx n )+α (b 0+b 1x+...+b m x m ) =
 α a nxn

= (αa0+αb0)+(αa1+αb1)x+...+ αbmxm

α(a n+bm)xn
si n > m
si n < m
si m = n
que son iguales, por distributividad del producto respecto de la suma en K.
Ejercicios
IV.1 .- Razonar si son espacios vectoriales los siguientes conjuntos:
a) C sobre R.
5
b) F = {funciones reales} sobre R.
c) P5[x] = {polinomios reales de grado ≤ 5} sobre R.
IV.2.- En R+ se definen las operaciones
x⊕y = xy
λ⊗x = xλ
Averiguar si es espacio vectorial sobre R .
IV.3.- En el conjunto R×R se define
(x,y)+(z,u) = (x+z,y+u)
λ(x,y) = (λx,α1)
Averiguar si con estas operaciones R×R es espacio vectorial sobre R para α1 =
mismo para las operaciones
. Lo
(x,y)+(z,u) = (x+z,y+u)
k(x,y) = (k2x,k2y)
con k∈R
Como (V,+) es un grupo, existe la operación inversa y así x−y será un vector que sumado
con y nos da x, y es igual a la suma de x con el opuesto de y
x − y = x+(−y)
Recordemos que al ser K un cuerpo existe también la diferencia de escalares.
De la definición de espacio vectorial se deducen propiedades que completan las condiciones
de la definición y que junto con ellas constituyen las reglas de cálculo con vectores y escalares.
Las enunciamos en la Tabla IV.1.1
TABLA IV.1.1
___________________________________________________
Propiedades de las l.c. de un espacio vectorial
Para cualesquiera x,y∈V y α,β∈K se verifica
1) (α−β )x = α x− β x
2) 0·x = 0
3) (−α )x = −α x
α (x − y) = α x − α y
α·0 = 0
α (−x) = −α x
(−α )(−x) = α x
4) αx = 0 implica α = 0 o x = 0
___________________________________________________
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Demostraciones:
1) (α − β )x+ β x = (α − β + β )x = α x ⇒ (α − β )x+ β x− β x = α x− β x ⇒
⇒ (α − β )x = α x− β x
Análogamente
α (x−y)+ α y = α (x−y+y) = α (x+0) = α x ⇒ α (x−y) = α x− α y
2) Particularizando el resultado anterior para α = β, tenemos
(α − α )x = α x − α x ⇒ 0·x = 0
y haciendo x = y se obtiene
α (x−x) = α x− α x ⇒ α ·0 = 0
3) Si en la propiedad 1) hacemos α = 0, tenemos
(0− β )x = 0·x− β x ⇒ (− β )x = 0− β x ⇒ (− β )x = − β x
Análogamente con x = 0,
α (0−y) = α 0− α y ⇒ α (−y ) = 0− α y ⇒ α (−y) = − α y
Combinando ambos resultados
(−α)(−x) = − (α (−x)) = − (− α x) = α x
4) Teniendo en cuenta que
α = 0
αx = 0 ⇒  ∨
α ≠ 0 ⇒ α -1(α x) = α -10 ⇒ (α -1α )x = 0 ⇒ 1·x = 0 ⇒ x = 0
Ejercicios
IV.4 .- Estudiar si el conjunto a+b 5 | a,b∈Q es o no un espacio vectorial sobre Q para la
suma y producto de números reales.
IV.5 .- Demostrar que E = a+b 2+c 3 | a,b∈Q es un espacio vectorial sobre Q.
IV.2.- COMBINACIONES LINEALES
Una importancia especial tienen las sumas de vectores multiplicados por escalares; una
expresión del tipo
7
α 1 x 1 + α 2 x 2 +...+ α n x n
se denomina combinación lineal de los vectores x1,...,xn. Así, diremos que un vector x es
combinación lineal de los vectores x1,...,xn, si existen escalares α 1 ,..., α n tales que
x = α 1 x 1 +...+ α n x n
Los escalares α 1 ,..., α n reciben el nombre de coeficientes de la combinación lineal.
Ejemplo IV.2.1.
En el espacio vectorial R3 sobre R, como
3(1,−4,2)−5(6,2,0)=(−27,−22,6)
diremos que (−27,−22,6) es combinación lineal de los vectores (1,−4,2), (6,2,0).
Asímismo (−27,−22,6) es combinación lineal de (1,−4,2), (6,2,0) y (4,2,3) ya que
3(1,−4,2)−5(6,2,0)+0(4,2,3) = (−27,−22,6)
Para averiguar si, por ejemplo, (3,−2,−12) es o no combinación lineal de (2,1,−1),
(1,1,1), (−3,−3,−3) y (3,2,0), habrá que resolver la ecuación en R3
(3,−2,−12) = α 1(2,1,−1)+α 2(1,1,1)+α 3(−3,−3,−3)+α 4(3,2,0)
Al hacer operaciones tenemos
(3,−2,−12) = (2α 1+ α 2−3α 3+3α 4 , α 1+ α 2−3α 3+2α 4 ,− α 1+ α 2−3α 3)
e igualando
2α 1+ α 2−3α 3+3α 4 = 3
α 1+ α 2−3α 3+2α 4 = −2
−α 1+ α 2−3α 3 = −12
que es un sistema lineal de tres ecuaciones en R en las incógnitas α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ; si
tiene solución significará que el vector (3,−2,−12) es combinación lineal de los otros
cuatro. Resolviéndolo por reducción
2α 1+ α 2−3α 3+3α4 = 3

α 1+ α 4 = 5 
α 1+ α 2−3α 3+2α 4 = −2  ⇒ 2α 1+2α 4 = 10  ⇒ α 1+ α 4 = 5 ⇒
−α 1+ α 2 −3α 3 = −12 
⇒ α4 = 5−α 1 ∧ α 2 = −12+α 1+3α 3
Así, dando valores arbitrarios a α 1 y α 3, obtenemos diferentes soluciones del sistema;
tenemos pues infinitas soluciones luego (3,−2,−12) es combinación lineal de los otros
vectores de infinitas maneras, por ser infinito el conjunto de coeficientes que verifican
la ecuación. Por ejemplo, para α 3 = 1 y α1 = 4 obtenemos α 4 = 1 y α 2 = −5 ,
cumpliéndose que (3,−2,−12) = 4(2,1,−1) −5(1,1,1)+1(−3,−3,−3)+1(3,2,0)
En general, y para espacios vectoriales tipo K n sobre K, toda ecuación en K n en la que
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intervengan únicamente combinaciones lineales de vectores, al hacer operaciones en ambos
miembros e igualar las componentes de los vectores resultantes se llega a un sistema de n
ecuaciones lineales en K. Por esta razón vamos a exponer un procedimento ágil de resolución
de estos sistemas; se denomina método de Gauss-Jordan; su base teórica se demostrará
cuando hablemos de la solución general de un sistema de ecuaciones lineales y ahora se presenta
de un modo totalmente práctico, basándonos simplemente en la posibilidad de permutar dos
ecuaciones, multiplicar una ecuación por un escalar, sumar a una ecuación un múltiplo de otra,
que son transformaciones que reducen el sistema a otro con las mismas soluciones.
Supongamos un sistema lineal, es decir, las incógnitas están multiplicadas por escalares y
sumadas. Por ejemplo, y para fijar ideas, vamos a razonar sobre un sistema lineal de tres
ecuaciones con tres incógnitas x 1 ,x 2 y x3, aunque los resultados son válidos para sistemas de
cualquier número de ecuaciones e incógnitas.
a11 x1+a 12 x2+a 13 x3 = b 1
a21 x1+a 22 x2+a 23 x3 = b 2
a31 x1+a 32 x2+a 33 x3 = b 3
En primer lugar, como dos sistemas lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas se
distinguen entre sí por sus coeficientes, éstos identifican al sistema, y lo pueden representar.
Para ello, los dispondremos en filas y columnas de forma que en cada fila figuren los
coeficientes de cada ecuación y en cada columna los de cada incógnita; la última columna será la
de los términos independientes. Así el sistema anterior se representará por
a 11
a 21
a 31
a 12
a 22
a 32
a 13
a 23
a 33
b1
b2
b3
Esta disposición de los coeficientes en filas y columnas se denomina matriz del sistema (el
concepto de matriz tiene un alcance mucho más amplio y será introducido más adelante; por
ahora no es nada más que una disposición en filas y columnas de los coeficientes de un sistema
de ecuaciones lineales). Las filas representan las ecuaciones, la última columna los términos
independientes y las restantes columnas las incógnitas, en el orden en el que se hayan escrito.
Supongamos que a11 ≠ 0; con él reduciremos a 0 los coeficientes no nulos que están en su
columna sumando a la segunda ecuación, previamente multiplicada por a11, la primera ecuación
multiplicada por −a21 y a la tercera ecuación, previamente multiplicada por a11, la primera
ecuación multiplicada por −a31. (Si fuera a11 = 0, hacemos previamente a este proceso un
cambio de ecuaciones para conseguir que este primer coeficiente sea no nulo). La matriz del
sistema resultante será
a 11
0
a 12
a122
a 13
a123
b1
1
b2
0
a132
a133
b3
1
Supongamos que a122 ≠ 0; con él reduciremos a 0 los coeficientes no nulos que están en su
columna sumando a la primera ecuación, previamente multiplicada por a122, la segunda ecuación
multiplicada por −a12 y a la tercera ecuación, previamente multiplicada por a122, la segunda
ecuación multiplicada por −a 132 . (Si fuera a122 = 0, hacemos previamente a este proceso un
cambio de la segunda ecuación con la tercera, si a132 ≠ 0; si también a 132 = 0 se salta a la
siguiente columna, realizando estas transformaciones en la columna tercera). La matriz del
9
sistema resultante será
a 11 0 a 13
0 a122 a123
b1
1
b2
a233
b3
0
0
2
Supongamos que a233 ≠ 0; con él reduciremos a 0 los coeficientes no nulos que están en su
columna sumando a la primera ecuación, previamente multiplicada por a233, la tercera ecuación
multiplicada por −a13 y a la segunda ecuación, previamente multiplicada por a233, la tercera
ecuación multiplicada por −a 123 . (Si fuera a233 = 0, entonces o b 23 ≠ 0, en cuyo caso la tercera
ecuación no tiene solución y tampoco el sistema, o b 23 = 0 y podemos prescindir de la tercera
ecuación que se ha convertido en una identidad). La matriz del sistema resultante será
a 11
0
1
0 a 22
0
0
0
0
b1
1
b2
2
a233 b3
Dividiendo la primera ecuación por a 11, la segunda por a 122 y la tercera por a 233, tendremos
1
0
0
0
1
0
0
0
1
c1
c2
c3
y la solución del sistema que representa, de acuerdo a como se han escrito las incógnitas, es
x1 = c1
x2 = c2
x3 = c3
que es también la solución del sistema inicial.
En resumen el método se basa en utilizar estas transformaciones (también puede dividirse una
ecuación por un número en cualquier fase del proceso con el fin de manejar números más
paqueños) para reducir la matriz del sistema inicial a otra que tenga columnas en las que exista
un 1, en diferentes lugares, acompañado de ceros . Este tipo de columnas determinan las
incógnitas, que podemos considerar principales, que pueden ser despejadas en función de los
términos independientes y quizás también de otras incógnitas no principales que se pasan a los
segundos miembros y entran a formar parte de estos términos independientes.
Ejemplo IV.2.2.
Siguiendo con el Ejemplo IV.2.1 veamos si es posible poner el vector (3,−2,−12)
como combinación lineal de los vectores (2,1,−1),(1,1,1),(−3,−3,−3) y (3,2,0); esto
significa resolver la ecuación
(3,−2,−12) = α 1(2,1,−1)+α 2(1,1,1)+α 3(−3,−3,−3)+α 4(3,2,0)
Al hacer operaciones tenemos
(3,−2,−12) = (2α 1+ α 2−3α 3+3α 4 , α 1+ α 2−3α 3+2α 4 ,− α 1+ α 2−3α 3)
10
Igualando obtenemos
2α 1+ α 2−3α 3+3α 4 = 3 
α 1+ α 2−3α 3+2α 4 = −2 
−α 1+ α 2−3α 3 = −12 
que es un sistema lineal de tres ecuaciones en R 3 en las cuatro incógnitas
α 1 , α 2 , α 3 , α 4. Aplicando el método de Gauss-Jordan
2
1
–1
1 –3
1 –3
1 –3
3 3
2 –2 →
0 –12
2
0
0
1 –3
1 –3
3 –9
3 3
1 –7 →
3 –21
→
1
0
0
0 0
1 –3
0 0
1 5
1 –7
0 0
2
0
0
0 0
1 –3
0 0
2
1
0
10
–7 →
0
tenemos a α 1 y α 2 como incógnitas principales y la solución del sistema es
α 1 = 5 −α 4 , α 2 = −7+3α 3− α 4
de modo que el vector dado resulta ser combinación lineal de los otros. Obsérvese que
para resolver el problema no es necesario escribir la ecuación de la combinación lineal
ni el sistema de ecuaciones en R sino que, directamente, de los datos puede escribirse
la matriz del sistema.
Así, el método de Gauss-Jordan no solamente sirve para resolver con rapidez un sistema de
ecuaciones lineales sino que también permite plantear de un modo inmediato un problema como
el anterior.
Ejercicios
IV.6.- Estudiar si el vector (1,2,3,5) de R4 es o no combinación lineal de los vectores de los
los siguientes conjuntos
a) {(2,3,0,5),(0,1,0,4),(1,1,0,2)}
b) {(−5,2,8,−16),(−5,3,17,−14),(1,1,11,6)}
c) {(0,1,2,−1),(1,2,−1,0),(0,2,−1,1),(4,6,1,3)}
d) {(0,1,1,1),(1,0,1,−1),(2,2,2,1),(0,0,−1,−1),(0,1,1,0)}
e) {(1,–1,3,3),(2,–2,6,6),(3,–1,3,5),(–2,2,−4,−4),(1,5,–3,3),(3,6,–9,0)}
IV.7.- En R3 se dan los siguientes conjuntos de vectores:
A = {(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(0,1,−1)}
B = {(3,0,0),(0,4,0),(0,0,2),(0,1,1)}
Probar que cualquier vector de de R3 es combinación lineal de los vectores de A y B.
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IV.8.- Hallar λ y µ para que el vector ( λ ,µ ,α 1,α 2) de Q 4 sea combinación lineal de los
vectores (1,α3,−5,3) y (α4,−1,4,7) para α1 = , α2 = , α3 = , α4 = .
IV.9.- Hallar m y n para que los vectores (1,1,0,m),(3,−1,n,−1) y (−3,5,n,−4) sean tales que
uno sea combinación lineal de los otros dos.
IV.3.- SUBESPACIO VECTORIAL
Sea V un espacio vectorial sobre K y W un subconjunto no vacío de V; diremos que W es un
subespacio de V si W es espacio vectorial sobre K, lo cual equivale a que
W subespacio de V si y sólo si
1)

2)

3)

4)

5)

6)
W es subgrupo aditivo de V
W es estable para el producto externo
(∀x,y∈W) (∀ α ∈K) (α (x+y) = α x+ α y)
(∀x∈W) (∀ α ,β ∈K) ((α + β )x = α x+ β x)
(∀x∈W) (∀ α ,β∈K) (α (βx) = (αβ )x)
(∀x∈W) (1·x = x)
Como las propiedades 3),4),5),6) se verificarán por el mero hecho de ser W un subconjunto
de V, según la condición de subgrupo aditivo, tendremos que
W subespacio de V si y sólo si
1) (∀x,y∈W) (x − y∈W)

2) (∀x∈W) (∀ α ∈K) (α x∈W)
y estas dos condiciones se pueden resumir en la siguiente, a la cual equivalen
W subespacio de V si y sólo si (∀x,y∈W) (∀ α ,β∈K) (α x+βy∈W)
Esta condición es verificada por los siguientes conjuntos, que son los subespacios triviales
{0}, ya que
α ·0+ β ·0 = 0 ∈ {0}
V, ya que αx+βy∈V por ser V un espacio vectorial.
Si W1 y W2 son subespacios de V, la intersección W1 ∩ W2 es también un subespacio ya que
cualesquiera que sean los escalares α,β∈K
(∀x∈W1 ∩ W2) ((x∈W1 ∧ x∈W2) ⇒ α x+ β y∈W1) por ser W1 subespacio
(∀y∈W1 ∩ W2) (( y∈W1 ∧ y∈W2) ⇒ α x+ β y∈W2) por ser W2 subespacio
por lo que
α x+ β y∈W1 ∩ W2
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El concepto de intersección de dos subespacios se generaliza de una manera natural a n
subespacios W1 ,...,Wn de un mismo espacio vectorial V, verificándose que W1 ∩ ... ∩ Wn es un
subespacio, como fácilmente se demuestra por inducción. Se verifica que
W1 ∩ ..∩ Wi ∩.. ∩ Wn ⊆ Wi
para cualquier i = 1,...,n.
Si W1 y W2 son subespacios de V, el conjunto de vectores
W1 +W2 = {v1 +v2  v1 ∈W1 ∧ v2 ∈W2}
es un subespacio, dado que para cualesquiera α,β∈K:
(∀x∈W1 +W2 ) (x = v1 +v2)
(∀y∈W1 +W2 ) (y = w1 +w2)
luego
α x+ β y = α (v1 +v2 )+ β (w1+w2) = (α v1 + β w1 )+( α v2 + β w2)∈W1+W2
ya que αv1 + β w1 ∈W1 y α v2 + β w2 ∈W2. Si W1 y W2 son tales que W1 ∩ W2 = {0} (evidentemente
dos subespacios nunca pueden ser disjuntos pues todos contienen el vector 0), el subespacio
suma se denomina suma directa, escribiéndose
W1 ⊕W2
y se dice que W1 y W2 son dos espacios independientes. Un vector del subespacio W1 +W2
será un vector descomponible en suma de dos vectores uno de W1 y otro de W2 es decir
x∈W1 +W2 ⇔ (∃v1 ∈W1 ) (∃v2 ∈W2 ) (x = v1 +v2)
pudiendo eventualmente existir otra descomposición en suma, es decir, puede que los dos
vectores v1 y v2 no sean únicos. Sin embargo se verifica que
x∈W1 ⊕W2 ⇔ (∃v1 ∈W1 único) ( ∃v2 ∈W2 único) ( x = v1 +v2)
En efecto,
Directo:
Si
x = v1 +v2 con v1 ∈W1 y v2 ∈W2 
 ⇒ v1 −w1 = w2 −v2 = u
x = w1 +w2 con w1 ∈W1 y w2 ∈W2 
y si u ≠ 0, como u = v1 −w1 ∈W1 y u = w2 −v2 ∈W2, entonces W1 y W2 tendrían
en común un vector distinto del 0, lo que está en contra de la hipótesis.
Recíproco: Si W1 ∩ W2 ≠ {0}, existe un w∈V no nulo tal que w∈W1 ∩ W2, pudiéndose
escribir x = (v1 +w)+(v2 − w ) con v1 +w∈W1 y v2 −w∈W2 y, por ello, la
descomposición de x como suma no sería única.
Si W1 y W2 son subespacios de V y se verifica que W1 ⊕W2 = V se dice que W1 y W2 son
subespacios suplementarios.
13
El concepto de suma y suma directa de dos subespacios se generaliza de forma natural a n
subespacios W1 ,...,Wn de un mismo espacio V, definiéndose
W1 +...+Wn = {v1 +...+vn | v1 ∈W1 ∧ ... ∧ vn ∈Wn }
demostrándose por inducción que es un subespacio. La suma se dirá directa si se verifican las n
igualdades
(W1 +...+Wi) ∩ Wi+1 = {0} (i = 1,..., n − 1)
representándose por W1 ⊕ ...⊕ Wn; por inducción se demuestra que el hecho de ser directa la
suma equivale a que todo vector del subespacio suma se exprese de forma única como suma de
vectores de W1 ,...,Wn , en cuyo caso se dice que los subespacios son independientes. Se
verifica que
Wi ⊆ W1 ⊕ ...⊕ Wi ⊕ ...⊕ Wn
para cualquier i = 1,...,n ya que xi = 0+...+xi+...+0 con 0∈W1 ,...,x i ∈ Wi ,...,0∈ Wn .
Si v1 ,...,vn son vectores cualesquiera de V, el conjunto
B = {α 1 v1 +...+ α n vn  α 1 ,..., α n ∈K}
es decir, el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores v1 ,...,vn , es un
subespacio vectorial de V, ya que
(∀x∈B) (x = µ 1v1 +...+ µ n vn)
(∀y∈B) (y = σ 1 v1 +...+ σ n vn)
se verifica
α x+ β y = α (µ 1 v1 +...+ µ n vn)+ β (σ 1v1 +...+ σ n vn) = (αµ 1+ βσ 1)v1 +...+( αµ n + βσ n )vn∈B
Este tipo de subespacios tienen gran importancia y reciben el nombre de subespacios
generados por un conjunto de vectores; se representan mediante el símbolo [v1 ,...,vn], que se
lee como el subespacio generado por los vectores v1 ,..,vn y es
[v1 ,...,vn] = {α 1 v1 +...+ α n vn α 1 ,..., α n ∈K}
Además verifica que está contenido en todos los subespacios vectoriales de V que contienen a
los vectores v1 ,...,vn; en efecto, si llamamos Ai a estos subespacios, tendremos que
(∀i∈I) ([v1 ,...,vn] ⊆ Ai)
con lo que
(∃k∈I) ([v1 ,...,vn] = A k )
∩ A i = [v1 ,...,vn]
i∈I
Ejemplo IV.3.1
En el espacio vectorial R3 sobre R, el subespacio engendrado por los vectores
14
(1,3,−4),(5,−1,0),(3,−1,−1),(2,4,0)
es
[(1,3,−4),(5,−1,0),(3,−1,−1),(2,4,0)] =
= {α 1(1,3,−4)+α 2(5,−1,0)+α 3(3,−1,−1)+α 4(2,4,0)  α 1,α 2,α 3,α 4∈R} =
= {(α 1+5α 2+3α3+2α 4 ,3 α 1− α 2− α 3+4α 4 ,−4 α 1− α 3 )  α 1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 ∈R}
Para averiguar si el vector (2,2,−2) pertenece a este subespacio debemos verificar si
existen escalares α 1 , α 2 , α 3 , α 4 tales que
α 1+5α 2+3α 3+2α 4 = 2 
3α 1− α 2− α 3+4α 4 = 2 
−4α 1− α 3 = −2 
Resolviendo este sistema por el método de Gauss-Jordan
1 5 3
3 –1 –1
–4 0 –1
→
1
5
3 2 2
1 5 3 2 2
0 –16 –10 –2 –4 → 0 –8 –5 –1 –2 →
0 20 11 8 6
0 20 11 8 6
2 2
4 2 →
0 –2
8 0 –1 11 6
–24 0 0 –22 –16
0 –8 –5 –1 –2 → 0 24 0 58 16 →
0
0 –3 11
2
0 0 –3 11 2
1
0
0
0
1
0
0 11/12 2/3
0 29/12 2/3
1 –11/3 –2/3
cuya solución es
α 1 = (−11α 4+8) / 12
,
α 2 = (−29α 4+8) / 12
,
α 3 = (11α 4−2) / 3
y dando valores arbitrarios a α 4 pueden obtenerse las distintas soluciones del sistema.
Esto quiere decir que (2,2,−2) pertenece al subespacio engendrado por los vectores
(1,3,− 4),(5,− 1,0), (3,− 1,− 1) y (2,4,0) ya que es posible expresarlo como
combinación lineal de ellos, además de distintas maneras. Podemos observar que a
partir de los datos es posible plantear directamente la matriz del sistema escribiendo
todos los vectores del subespacio en columna, y el vector a considerar como
combinación lineal de los del espacio, en la última columna
1 5 3
3 –1 –1
–4 0 –1
2 2
4
2
0 –2
Ejercicios
IV.10.- De los siguientes subconjuntos averiguar cuáles son subespacios
a) A = {(x1,x2,x3)∈R 3 | 2x1–x2 = 0 , 2x1–x3 = 0}
15
b) B = {(x1,x2,x3)∈R 3 | 2x1–x2 = 1 , 2x1–x3 = 0}
c) C = {(x1,x2,x1–3x2,1)∈R 4 | x1,x2∈R}
IV.11.- Averiguar si la unión de dos subespacios vectoriales es otro subespacio vectorial.
Demostrarlo mediante un contraejemplo con subespacios de R3 sobre R.
IV.12.- Averiguar si
F = {P(x)∈R[x]  gr(P(x)) = 2 ∧ 2P''(0)+P '(1)+P(2) = 0}
es un subespacio vectorial de R[x].
IV.13.- Averiguar si son subespacios los siguientes subconjuntos del espacio vectorial F de las
funciones reales de variable real
a) A = {f∈F  f(x2) = (f(x))2}
b) B = {f∈F  f(0) = f(2)}
c) C = {f∈F  f(2) = 3+f(−1)}
IV.14.- Probar que
P = {f∈F  (∀x∈R) (f(−x) = f(x))}
I = {f∈F  (∀x∈R) (f(−x) = −f(x))}
son subespacios vectoriales del espacio vectorial F de las aplicaciones de R en R y que
F = P+I.
IV.15.- Qué condición deben verificar las coordenadas de un vector de R4 para que pertenezca
a los subespacios A = [(1,1,0,1),(3,0,2,–3),(1,2,–1,–2)] y B = [(0,2,0,1),(1,0,2,–1)
(3,1,1,1),(4,3,3,1),(3,4,6,–1)].
IV.4.- BASE Y DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL
Los espacios vectoriales para los que existe un conjunto generador finito de vectores se
denominan espacios de dimensión finita. No todos los espacios son de dimensión finita, es
decir, no todos tienen un conjunto generador finito de vectores, de forma que todo vector pueda
expresarse como combinación lineal de ellos.
Ejemplo IV.4.1
a) Los espacios vectoriales Kn sobre un cuerpo K, son de dimensión finita, ya que el
conjunto de vectores
{(1,0,...,0),(0,1,...,0),...,(0,0,...,1)}
es generador de Kn, pues cualquiera que sea (a 1,a 2 ,...,a n) ∈ Kn tenemos que
(a 1,a 2 ,...,a n) = a 1 (1,0,...,0)+a 2 (0,1,...,0)+...+a n (0,0,...,1)
16
b) El espacio vectorial K[x] de los polinomios sobre un cuerpo K no es de dimensión
finita pues no existe un conjunto finito de polinomios {P1,...,Pn} generador de K[x],
ya que un polinomio Q cuyo grado sea tal que
gr(Q) > max(gr(P1),...,gr(Pn))
no es expresable como combinación lineal de P1,...,Pn. Sin embargo el conjunto
Kn[x] = {Polinomios sobre K de grado ≤ n}
es un subespacio de K[x], como se demuestra fácilmente, de dimensión finita, ya que
{1+0x+...+0xn , 0+1x+...+0xn ,...,0+0x+...+1xn}
es un conjunto generador Kn[x] al verificar
a0+a 1 x+...+a n xn = a 0 (1+0x+...+0xn)+a 1 (0+1x+...+0xn )+...+a n (0+0x+...+1xn)
c) El espacio vectorial sobre R
W = {funciones f : R
R}
tampoco es de dimensión finita, ya que ningún conjunto finito de funciones {f 1 ,...,f n }
pueden generar W; por ejemplo, la funcion f1·...·fn no es combinación lineal de ellas.
Las propiedades más importantes de los espacios vectoriales de dimensión finita, se
enuncian en la Tabla siguiente:
TABLA IV.4.1
____________________________________________________________________
Propiedades de los espacios vectoriales de dimensión finita
1) Si (p1,...,pn) es una permutación de (1,...,n), entonces [x1 ,...,x n] = [xp 1 ,...,x pn]
2) β ≠ 0 implica [x 1 ,...,x i,...,x n ] = [x 1 ,...,β x i,...,x n ]
3) x 1 ,...,x i ,...,x j ,...,x n = x 1 ,...,x i + α x j ,...,x j ,...,x n
4) xi combinación lineal de los demás vectores equivale a
[x 1 ,...,x i-1 ,x i ,x i+1 ,...,x n ] = [x 1 ,...,x i-1 ,x i+1 ,...,x n ]
____________________________________________________________________
Demostraciones:
17
Estas propiedades establecen en que condiciones un espacio vectorial generado permanece
invariante al manipular los vectores generadores. Un espacio de dimensión finita, permanece
invariante cuando en su conjunto generador
1) se reordenan vectores, ya que
x∈[x 1 ,...,x n ] ⇔
(∃ α 1 ,..., α n∈K) (x = α 1 x 1 +...+ α nx n) ⇔
⇔ x = α p1xp 1+...+ α p nxp n ⇔ x∈[ xp 1 ,...,x pn]
2) se multiplica un vector generador por un escalar no nulo β
x∈[x 1 ,...,x i,...,x n ] ⇔
(∃ α 1 ,..., α i ,..., α n ∈K) (x = α 1 x 1 +...+ α ix i+...+ α nx n) ⇔
⇔ x = α1x1+...+(α i/β ) β x i+...+ α n x n ⇔
x∈ [x 1 ,..., β x i,...,x n ]
3) se suma a un vector generador xi, un múltiplo de otro vector generador αxj, pues
x∈ [x 1 ,...,x i ,...,x j ,...,x n ] ⇔
x = α 1 x 1 +...+ α ix i+...+ α j x j ...+ α nx n ⇔
⇔ x = α 1 x 1 +...+ α i(x i+ α x j)+...+( α j−αα i)x j+...+ α nx n ⇔
⇔ x ∈ [x 1 ,...,x i+ α x j,...,x j ...,x n ]
4) se añade o se quita un vector combinación lineal de los demás generadores; en efecto, si
x i = β 1 x 1 +...+ β i-1 x i-1 + β i+1 x i+1 +...+ β n x n
entonces
x∈[x 1 ,...,x i-1 ,x i,x i+1 ,...,x n ] ⇔ x = α 1 x 1 +..+ α i-1x i-1+ α ix i+ α i+1 x i+1 +..+ α nx n ⇔
⇔ x = α 1 x 1 +..+ α i-1x i-1+ α i( β 1 x 1 +..+ β i-1 x i-1 + β i+1 x i+1 +..+ β n x n )+ α i+1 x i+1 +..+ α n x n ⇔
⇔ x = (α 1+ α iβ 1 )x 1 +..+( α i-1+ α iβ i-1)x i-1+( α i+1+ α iβ i+1 )x i+1 +..+( α n+ α iβ n)x n ⇔
⇔
x ∈ [x 1 ,...,x i-1 ,x i+1 ,...,x n ]
Recíprocamente, si [x 1,...,x i-1,x i+1 ,...,x n] = [x 1 ,...,x i-1 ,x i,x i+1 ,...,x n ], entonces x i debe
ser combinación lineal de los demás ya que si así no fuera, xi sería un vector del segundo
subespacio que no estaría en el primero.
Esta última propiedad 4) sugiere la posibilidad de encontrar un subconjunto minimal
generador de un espacio. Para un cierto espacio de dimensión finita
[x 1 ,...,x n ]
si en el conjunto generador {x1,...,xn} existe algún vector combinación lineal de los demás,
puede ser suprimido sin variar el espacio generado y este proceso puede ser continuado hasta
que no exista ningún vector en el conjunto generador combinación lineal de los demás, ya que
su supresión cambiaría el espacio. Un conjunto generador minimal de un espacio vectorial de
dimensión finita se denomina base del espacio.
Su obtención y propiedades, dependen del importante concepto de independencia lineal. Un
18
conjunto de vectores {x1,...,xn} se dice que es linealmente independiente (l.i.) si y sólo si
la ecuación
α 1 x 1 +...+ α n x n = 0
tiene por única solución α 1 = ... = α n = 0. En caso contrario diremos que el conjunto de
vectores {x 1,...,x n} es linealmente dependiente (l.d.) lo que, de acuerdo con la definición
anterior, significa que existen escalares no todos nulos α 1,...,α n∈K tales que
α 1 x 1 +...+ α n x n = 0
Ejemplo IV.4.2
a) En el espacio vectorial R3, el conjunto de vectores {(1,1,−1),(0,2,3),(1,4,4)} es
l.i., pues resolviendo la ecuación
α 1(1,1,−1)+α 2(0,2,3)+α 3(1,4,4) = (0,0,0)
por el método de Gauss-Jordan
1
1
–1
0
2
3
1
4
4
0
0 →
0
1
0
0
0
2
3
1
3
5
→
1
0
0
0
2
0
0
0
1
0
0 →
0
0
0 →
0
1
0
0
1
0
0
0
2
0
0
1
0
1
3
1
0
0
1
0
0 →
0
0
0
0
da como soluciones α 1 = α 2 =α 3 = 0.
b) El subconjunto {3,2+3x,5−7x2,6−x+x2}, del conjunto R2[x] de los polinomios de
coeficientes reales de grado menor o igual que 2, es l.d.
α 1(3)+α 2(2+3x)+α 3(5−7x2)+α 4(6−x+x2) = 0+0·x+0·x2 ⇒
⇒ (3α 1+2α 2+5α 3+6α 4)+(3α 2− α 4)x+(−7α 3+ α 4)x2 = 0+0·x+0·x2 ⇒
⇒
3α 1+2α 2+5α 3+6α 4 = 0
3α 2 − α 4 = 0
−7α 3+ α 4 = 0



que resuelto por el método de Gauss-Jordan
3
0
0
2 5 6
3 0 –1
0 –7 1
0
0 →
0
9
0
0
0 15 20
3 0 –1
0 –7 1
0
63
0 → 0
0
0
0 0 155 0
3 0 –1 0
0 –7 1 0
da la solución α 1 = –155α 4/63, α 2 = α 4/3, α 3 = α 4/7 existiendo infinitas soluciones
19
que se obtienen dando valores arbitrarios a α 4 .
Resumimos en la Tabla IV.4.2 las principales propiedades que caracterizan la independencia
lineal de un conjunto de vectores.
TABLA IV.4.2
__________________________________________________________________
Propiedades de la independencia lineal
1) {0} es l.d.
2) x ≠ 0 implica {x} es l.i.
3) {x1,x2} l.d. equivale a que existe algún escalar α ≠ 0 tal que
x2 = αx1 o x1 = αx2
4) {0,x 1,...,x n} es l.d. para cualesquiera x 1,...,x n
5) x i = x j
implica {x 1 ,..,x i,..,x j,..,x n } l.d.
6) {x1,...,xn} l.i. implica (∀i ≠ j) (xi ≠ xj)
7) {x1,..,xn} l.d. equivale a que algún xi es combinación lineal de los demás
8) {x 1 ,...,x n } l.d. implica (∀x∈V) ({x 1 ,...,x n ,x} l.d.)
9) {x 1,...,x n} l.i
x no es combinación lineal de x1,...,xn

 implican {x 1,...,x n,x} l.i.


 implican {x i,...,x j} l.i.
{x i,...,x j} ⊆ {x 1 ,...,x n } 
__________________________________________________________________
10) {x 1 ,...,x n } l.i.
Demostraciones:
1) {0} l.d. pues cualquier α∈K es solución de la ecuación α·0 = 0.
2) Si x ≠ 0, entonces {x} es l.i. pues la ecuación αx = 0 tiene como única solución α = 0.
3) Según la definición de dependencia lineal
{x1,x2} l.d. ⇒ α1x1+α2x2 = 0 con algún αi no nulo ⇒ x 1 =
α2
α1
x2 o x2 =
α1
α2
x1
20
y diremos que x 1 y x 2 son vectores proporcionales.
4) Para cualesquiera que sean los vectores x 1,...,x n, el conjunto {0,x 1,...,x n} es l.d. ya
que la ecuación α ·0+ α 1 x 1 +...+ α n x n = 0 tiene por solución α 1 = ... = α n = 0 y α
cualquier escalar de K.
5) Si en un conjunto hay dos vectores iguales x i = x j el conjunto es l.d. ya que puede
escribirse
0x 1 +...+1x j+...–1x j+...+0x n = 0
con lo que existen escalares no todos nulos soluciones de ecuación.
6) Es la contrarrecíproca de la anterior.
7) Esta propiedad caracteriza a los conjuntos de vectores linealmente dependientes y .
Directo :
{x 1 ,...,x n } l.d. ⇒ α 1 x 1 +...+ α nxn = 0 con algún α i ≠ 0 ⇒
⇒ α ix i = − α 1 x 1 −...− α i-1x i-1− α i+1 x i+1 −...− α nx n = 0 ⇒
α
α
α
α
⇒ xi = – 1 x1 – ... – i-1 xi-1 – i+1 xi+1 – ...– n xn
αi
αi
αi
αi
y xi resulta ser combinación lineal de los demás.
Recíproco: Si xi es combinación lineal, entonces
x i = α 1 x 1 +...+ α i–1 x i+1 + α i+1 x i+1 +...+ α nx n ⇒
⇒ α 1 x 1 +...+ α i–1 x i–1 +(−1)x i+ α i+1 x i+1 +...+ α n x n = 0
luego {x1.,...,xi,...,xn} es l.d. al existir al menos un coeficiente no nulo.
Las propiedades 8), 9) y 10) expresan que ocurre respecto de la independencia lineal cuando
se amplía o se reduce un conjunto de vectores.
8) {x 1,...,x n} l.d. ⇒ existe x i = α 1 x 1 +...+ α i–1 x i–1 + α i+1 x i+1 +...+ α nx n ⇒
⇒ xi = α 1 x 1 +...+ α i–1 x i–1 + α i+1 x i+1 +...+ α n x n +0 x ⇒ {x 1 ,...,x n ,x} l.d.
9) Expresa que si a un conjunto l.i. se le añade otro vector, el conjunto resultante será l.d. si
el vector añadido es combinación lineal de los otros, según 4), o l.i. si el vector añadido no
es combinación lineal. En efecto, si {x 1 ,..,x n ,x} fuera l.d. tendríamos que un vector x i
sería combinación lineal de los demás
x i = α 1 x 1 +...+ α i–1 x i–1 + α i+1 x i+1 +...+ α n x n + α x
con lo que
a) Si α = 0, entonces {x1,...,xn} no sería l.i.
b) Si α ≠ 0 tendríamos que
21
α
α
α
α
x= 1 xi – 1 x1 –...– i-1 xi-1 – i+1 xi+1 –...– n xn
α
α
α
α
α
lo que va contra la hipótesis.
10) Cualquier subconjunto de un conjunto l.i. continua siéndolo, pues si {xi,...,xj} fuera
l.d., tendríamos
x p = α ix i+...+ α p–1 x p–1 + α p+1 x p+1 +...+ α jxj
para algún
i ≤p≤j
y añadiendo sumandos del tipo 0x 1 ,...,0x n , en el conjunto {x1 ,...,x p ,...,x n } el vector x p
sería combinación lineal de los demás y no sería l.i..Sin embargo, queda sin resolver que
caracter tiene un subconjunto de un conjunto l.d., ya que depende de los vectores que
contenga, como se verá en el siguiente ejemplo.
Ejemplo IV.4.3
En R3 el conjunto {(1,−1,2),(3,0,2),(0,1,4),(−7,−2,−2)} es l.d. ya que la ecuación
α 1(1,−1,2)+α 2(3,0,2)+α 3(0,1,4)+α 4(−7,−2,−2) = (0,0,0)
resolviendo por el método de Gauss-Jordan
1
–1
2
3
0
2
0 –7
1 –2
4 –2
0
0 →
0
1 3
0 3
0 –4
0 –7
1 –9
4 12
16 0 0 32
→ 0 –48 0 144
0 0 16
0
0
0 →
0
0
0 →
0
1
0
0
1
0
0
0 –1 2
3 1 –9
0 16 0
0
1
0
0 2
0 –3
1 0
0
0 →
0
0
0
0
tiene por solución α 1 = –2α 4 , α 2 = 3α 4 , α 3 = 0 y α 4 arbitrario. Uno de los
vectores, el (1,−1,2), o el (3,0,2), o el (−7,−2,−2), es combinación lineal de los
otros. Sin embargo, no lo es el (0,1,4) ya que en la ecuación anterior α 3 = 0 y no
puede ser despejado este vector. Además del proceso de resolución anterior se deduce
que el conjunto {(1,−1,2),(3,0,2),(0,1,4)}, es decir, los vectores correspondientes a
las columnas que después de las transformaciones tiene un 1 y todos los demás
elementos 0, es l.i. ya que la solución de la ecuación de la independencia lineal que
forman estos tres vectores se obtiene mediante los cálculos anteriores excluyendo la
columna de coeficientes de α 4 y la solución es entonces α 1 = α 2 = α 3 = 0. Sin
embargo, es l.d. el subconjunto {(1,−1,2),(3,0,2),(−7,−2,−2)}.
Ejemplo IV.4.4
El conjunto de m vectores del espacio vectorial Kn
{(0,...,0,b 1r ,...,b 1n ),(0,...,0,b 2s ,...,b 2n ),...,(0,...,0,b mv ,...,b mn ) }
22
con r < s < ...< v, b1r ≠ 0, b2s ≠ 0 ,..., bmn ≠ 0 es l.i.. En efecto, la ecuación de la
independencia lineal para estos vectores es
α 1 (0,..,0,b 1r ,..,b 1n )+ α 2 (0,..,0,b 2s ,..,b 2n )+..+ α m (0,..,0,b mv ,..,b mn ) = (0,..,0,0,..,0)
que para resolver bastará con hacer operaciones e igualar las correspondientes
componentes, llegando al sistema
α 1b1r = 0
........
α 1b1s–1 = 0
α 1b 1s+ α 2b2s = 0
.............
.................
α 1b 1v+ α 2 b 2v +...+ α m bmv= 0
....................
α 1b 1n+ α 2 b 2n +...+ α mbmn= 0





 ⇒ α 1 = α 2 = ... = α m = 0




Ejercicios
IV.16.-Estudiar si los siguientes conjuntos de vectores de R4 son l.i. o l.d.
a) {(−5,2,8,−16),(−5,3,17,−14),(1,1,11,6)}
b) {(0,1, α 1 ,−1),(1, α 2 ,−1,0),(0, α 3 ,−1,1),(4,6,1, α 4 )} para α 1 =
, α4 =
, α2 =
, α3 =
.
c) {(0,1,1,1),(1,0,1,−1),(2,2,2,1),(0,0,−1,−1),(0,1,1,0)}
IV.17.- Si E es e.v.s. R y {x 1,x 2,...,x n} l.i., demostrar que {x 1 , x 1 +x 2 ,..., x 1 +x 2 +...+x n }
es también l.i.
IV.18.- Si V es un e.v.s. K y {x 1,x 2,...,x n} es un conjunto de vectores l.i., demostrar que
también lo es {a 1 x 1 ,a 2 x 2 ,...,a n x n }, con a i ≠ 0.
IV.19.- En el espacio vectorial de las funciones reales de variable real, demostrar que
f1(x) = e2x
f2(x) = x2
f3(x) = x
forman un conjunto l.i.
La independencia lineal caracteriza a la base de un espacio vectorial, que ya hemos definido
como un conjunto generador minimal del espacio, del modo expresado en el siguiente teorema:
"Un conjunto de vectores constituyen una base de un espacio vectorial V de dimensión
finita si y sólo si es un conjunto generador linealmente independiente".
Demostración:
Directo: Si los vectores e1 ,...,en forman base de V, constituyen un conjunto generador
23
minimal y por tanto l.i., pues si {e1 ,...,en} fuera l.d., algún ei sería combinación
de los otros y por la propiedad 4 de la Tabla IV.2.1
V = [e1 ,...,ei ,...,en] = [e1 ,...,ei–1 ,ei+ 1 ,...,en]
lo que va contra la hipótesis de que {e1 ,...,en} es conjunto generador minimal.
Recíproco : Si {e1 ,...,ei ,...,en} es un conjunto generador de V linealmente independiente, es
un conjunto generador minimal, pues si no lo fuera habría un subconjunto suyo
generador de V, quizá el {e1 ,...,ei–1 ,ei+ 1 ,...,en}, en cuyo caso todo vector de V,
en particular ei, sería combinación lineal de los éstos por lo que el conjunto
{e1 ,...,ei ,...,en} no sería l.i., en contra de la hipótesis.
Otra forma de caracterizar las bases viene expresada en el siguiente teorema:
" Un conjunto de vectores es una base de un espacio vectorial V de dimensión finita si y
sólo si es un conjunto linealmente independiente maximal".
Demostración:
Directo :
Si los vectores e1 ,...,en forman una base de V, según el teorema anterior el
conjunto {e1 ,...,en } es l.i. y generador de V, por lo que si x es un vector de
cualquiera de V, es combinación lineal de e1 ,...,en; entonces {e1 ,...,en ,x} es
l.d. y lo mismo ocurrirá con cualquier otro subconjunto de vectores que
contenga estrictamente al {e1 ,...,e n } .
Recíproco : Si {e1 ,...,en} es un conjunto maximal l.i., es también un conjunto generador de
V, pues para cualquier vector x∈V, como {e1 ,...,en ,x} es l.d., uno de los
vectores es combinación lineal de los otros
ei = α 1 e1 +...+ α i-1 ei-1+ α i+1 ei+1 +...+ α n en + α x
con α ≠ 0 (ya que si fuera α = 0, entonces sería ei una combinación lineal de
e1 ,...,ei-1 ,ei+ 1 ,...,en y {e 1 ,...,ei ,...,en} no sería l.i.) por lo que
x=–
α1
α
α
α
e –...– i-1 e i-1+ 1 e i – i+1 ei+1 –...– n e n
α 1
α
α
α
α
y x es combinación lineal de ellos; por tanto, según el teorema anterior, al ser
{e1 ,...,e i ,...,en} un conjunto l.i. y generador, es base de V.
Según estas caracterizaciones antes obtenidas, (e1 ,...,en) base de V equivale a
a) {e1 ,...,en} es un conjunto generador minimal de V
b) {e1 ,...,en} es un conjunto generador l.i. de V
c) {e1 ,...,en} es un conjunto maximal l.i. de V
Como los vectores e1 ,...,en de una base forman un conjunto generador, se verifica que
(∀x∈V) (∃ α 1 , α 2 ,..., α n∈K) (x = α1 e1 +...+ α n en)
24
y al ser un conjunto l.i., estos escalares α 1 ,..., α n son únicos, para cada vector, ya que si fuera
x = α 1 e1 +...+ α n en 
 ⇒
x = β 1 e1 +...+ β n en 
 α 1− β 1 = 0
(α 1− β 1)e1 +...+( α n−β n)en = 0 ⇒ . . . . . . . ⇒
α n−βn = 0
α 1 = β 1
. . . . .
α n = β n
Estos escalares, únicos para cada vector respecto una base dada, se denominan componentes
del vector respecto de la base de forma que, fijada una base de V, todo vector viene
determinado de forma única por sus componentes respecto de ella.
Ejemplo IV.4.5
En el espacio vectorial de R3 sabemos que, según un ejemplo anterior, los vectores
(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) son generadores de R3 y como son l.i., constituyen una base
de este espacio. Las componentes del vector (4,3,2) respecto de ella son
(4,3,2) = α 1(1,0,0)+α 2(0,1,0)+α 3(0,0,1) ⇒ α 1 = 4, α 2 = 3, α 3 = 2
que coinciden con los elementos que forman la terna que es el vector; por ello, esta
base se denomina base canónica. Los vectores (0,0,1),(1,0,0),(0,1,0), en este
orden, forman base de R3 y las componentes del vector (4,3,2) serán:
(4,3,2) = α 1(0,0,1)+α 2(1,0,0)+α 3(0,1,0) ⇒ α 1 = 2, α 2 = 4, α 3 = 3
distintas de las anteriores, por lo que debemos considerar como distintas ambas bases,
aunque estén formadas por los mismos vectores.
Para los espacios vectoriales del tipo Kn sobre K, para K un cuerpo cualquiera, los vectores
(1,0,...,0),(0,1,...,0),...,(0,0,...,1), en este orden, constituyen la base canónica de K n ,
pues las componentes respecto ella de un vector (a 1,a 2 ,...,a n)∈K n son
(a 1,a 2 ,...,a n) = a 1 (1,0,...,0)+a 2 (0,1,...,0)+...+a n (0,0,...,1)
que coinciden con los elementos de K que forman la n−pla que es el vector.
Si los vectores e1 ,...,en forman una base de V, los vectores e i 1 ,...,e i n , para (i1 ,i2 ,...,in ) una
permutación de (1,2,...,n), forman también base de V, pues siguen para generadores, por la
propiedad 1) de los espacios vectoriales de dimensión finita (Tabla IV.4.1) y l.i. (se comprueba
de forma inmediata), pero ambas bases son distintas por ser distintas las componentes de un
vector cualquiera. Por esta razón una base de un espacio V es una n−pla ordenada de vectores
generadores de V y linealmente independientes.
Si (e1 ,e2 ,..,en) es una base cualquiera de V, se cumple que
e1 = 1e1+0e2 +...+0en
e2 = 0e1+1e2 +...+0en
.............
en = 0e1+0e2 +...+1en
25
de lo que se deduce que sus componentes, respecto de la base que ellos contituyen, son
para e1 : 1,0,... y 0
para e2 : 0,1,... y 0
.............
para en : 0,0,... y 1
En un espacio de dimensión finita V conocer una base de V equivale a conocer el espacio
vectorial, en el sentido de que mediante una base pueden representarse todos los vectores del
espacio V, y como esta representación es única respecto a esta base, tendremos que cada vector
es identificable con los elementos del cuerpo que son sus componentes.
Ejercicios
IV.20.- De los siguientes subconjuntos, decir cuales son subespacios. En caso de que lo sean,
dar una base
a) A = {(x,x,x) | x∈R} ⊆ R 3
b) B = {(x,y,x−y) | x,y∈R} ⊆ R 3
c) C = {(x,2x−y,x−2y) | x,y∈R} ⊆ R 3
d) D = {(x,y,1) | x,y∈R} ⊆ R 3
e) E = {(x−3y,x,y,y) | x,y∈R} ⊆ R 4
IV.21.- a) Probar que si a, b, c, y d forman base de R4, también forman base los vectores
a, a+b, a+b+c, a+b+c+d
b) Sea el vector de componentes (1,0,−1,0) respecto de la primera base. Hallar sus
componentes en la segunda base.
IV.22.- Sean los vectores de R3
a = (2,0,1)
b = (1,−2,2)
c = (1,2,−1)
d = (1,0,1)
e = (0,1,1)
a) Hallar una base del subespacio A = [a,b,c] y averiguar si (5,4,3)∈A. Hallar
asímismo bases para los subespacios B = [d,e] y A ∩ B.
IV.23.- Dados los vectores de R3, a 1 = (1,2,−1), a 2 = (3,−1,2), b 1 = (3,0,−1), b 2 = (2,1,1),
a) Averiguar si (a 1 ,a 2 ) y (b1,b2) forman bases de subespacios de R 3 y expresar el
vector (1,1,1), si es posible, en función de dichas bases.
b) Hallar la intersección de estos subespacios y una base de dicha intersección.
IV.24.-Hallar una base de cada uno de los siguientes subespacios:
a) A = [(4,2,−1),(1,α 1,−3)] ∩ [(1,0,α 2),(2,−1,α 3),(4,α 4,3)]
26
para α1 =
, α2 =
, α3 =
, α4 =
.
α 1x1+x2–x3+x4 = 0
b) B = soluciones del sistema:
para α1 =
, α2 =
, α3 =
x1+ α 2x2+x3 = 0
α 3x1–x2+ α 4x3+x4 = 0
, α4 = .
IV.25.- En R3 sean los subespacios
A = [(1,0,1),(2,−1,1),(4,−1,3)]
B = [(1,1,1),(1,−1,0),(2,0,1)]
Hallar una base del subespacio A ∩ B.
IV.26- Hallar una base del subespacio A = [(4,−5,7),(3,−3,4),(1,1,−2),(2,−1,1)] y para B =
[(1,−2,3),(3,0,−1)]. Comparar A y B.
IV.27.- En el espacio vectorial R4 se consideran los vectores
v1 = (−1,4,−1,2)
v2 = (5,2,a,−2)
v3 = (5,13,−4,2)
v4 = (13,3,−2,b)
a) Determinar a y b para que formen una base de R4.
b) Determinar a y b para que el subespacio vectorial engendrado por los dos primeros
vectores coincida con el generado por los dos últimos.
IV.28.- Sea (e1 ,e2 ,e3) una base de un subespacio vectorial E sobre R. Tres vectores de este
espacio son
u1 = 2e1+5e2 −e3
u2 = e1 −e2+5e3
u3 = 3e1+ e2 −e3
¿Es (u1,u2,u3) otra base de E?. En caso afirmativo si v = 3e1+2e2 −e3 expresar v en la
base (u 1,u 2,u 3).
IV.29.- Sea E un espacio vectorial real de dimensión 3 y B = {e1 ,e2 ,e3 }, B' = {u 1,u 2,u 3} dos
bases de E tales que
u1 = 2e1+3e2 −e3
u2 = e2 −e3
u3 = 2e1 +e2+2e3
Dado v = 3e1 −e2+4e3, hallar sus componentes respecto de la base B'.
IV.30.-Encontrar una base de los siguientes subespacios:
a) A = {(x1,x2,x3)∈R 3  x1 = x2}
b) B = [cos2x,sen2x,cos(2x)]
c) C = [−1+x+3x2,–6+5x+2x2,8+4x+8x2]
d) D = [(−1,1,0),(0,α 1,2),(1,1,α 2),(α 3,−1,0),(α 4,0,1)]
α3 =
e) A ∩ D
, α4 =
.
para α 1 =
, α2 =
,
27
IV.31.- Sean x1,x2,x3 tres números reales distintos y los polinomios
P 1(x) = (x−x2)(x−x3) , P 2(x) = (x−x1)(x−x3) , P 3(x) = (x−x1)(x−x2)
a) Demostrar que (P 1 (x),P 2 (x),P 3 (x)) es una base del espacio vectorial de los
polinomios de grado igual o menor que 2.
b) Expresar en función de esta base el polinomio P(x) de grado menor o igual que tres,
que verifica
P(x1) = a
P(x2) = b
IV.32.- En E = {f  f : R
P(x3) = c
con a,b,c∈R.
R}, que es un e.v.s.R,
a) Demostrar que F = {f(x) = ae x+bx+c  a,b,c∈R} es un subespacio vectorial de E.
Hallar una base de F.
b) Hallar una base de G = {f∈F  f(0) = 0}
IV.33.- Hallar una base del subespacio generado por las funciones de R en R
{f 1 ,f 2 ,f 3 ,f 4 ,f 5 ,f 6 } siendo
f1 : R
x
f4 : R
x
R
1
f2 : R
x
R
sen(x+1)
f5 : R
x
R
senx
R
cos2x
f3 : R
x
f6 : R
x
R
cosx
R
sin2x
y encontrar las componentes de fi respecto de la base hallada.
Una base espacio vectorial de dimensión finita no es única, como hemos comentado
anteriormente; además veamos como a partir de ella pueden construirse otras, según asegura el
denominado Teorema de Steinitz:
" Si la n−pla (e1 ,...,en) es una base de V y {b1,...,bm} un conjunto l.i. de vectores de V,
se verifica que m ≤ n y que m vectores de entre los e1 ,...,en pueden ser sustituídos por
los vectores b1,...,bm de manera que la n−pla resultante sigue siendo una base de V ".
En efecto, si (e1 ,...,en) es base de V, entonces b1 = α 1 e1 +...+ α n en, con algún α i ≠ 0 (pues si
no tendríamos b 1 = 0 y {b 1 ,...,b m } no sería l.i.). Vamos a ver que b 1 puede sustituir a
cualquier ei tal que su coeficiente en la igualdad anterior sea distinto de cero, de forma que la n−
pla resultante es una base de V; en efecto, supongamos, para fijar ideas, que α 1 ≠ 0 y vamos a
probar que (b1,e2 ,..,en) es base de V
1) {b 1 ,e2 ,...,en } es l.i.pues
β 1 b 1 + β 2 e2 +...+ β n en = 0 ⇒ β1(α 1 e1+ α 2 e2 +...+ α n en)+ β 2e2 +...+ β n en = 0 ⇒
⇒ β1α 1 e1+(β 2+ β 1α 2 )e2 +...+( β n + β 1 α n )en = 0 ⇒
28
 β 1α 1 = 0

 β 2+ β 1α 2 = 0
⇒ 
. . . . . . . . .

 β n+ β 1α n = 0
⇒
β1 = 0

β2 = 0

. . . .

βn = 0
2) {b1 ,e2 ,...,en } genera V pues para cualquier vector x∈V, como {e1 ,e2 ,...,en}
genera V es
x = µ 1e1+ µ 2e2 +...+ µ n en
De b 1 = α 1 e1+ α 2 e2 +...+ α n en,como hemos supuesto α 1 ≠ 0, podemos despejar e1 y
sustituirlo en la igualdad anterior para obtener
α
α
x = µ 1 1 b1 – 2 e 2 –...– n e n +µ 2 e 2 +...+ µ n e n
α1
α1
α1
es decir
x=
µ1
µ α
µ α
b1 + µ 2– 1 2 e 2 +...+ µ n – 1 n e n
α1
α1
α1
que expresa a x como combinación lineal de b1,e2,..,en.
Aplicamos el mismo razonamiento a la nueva base: como (b 1 ,e2 ,..,en ) es base de V ,
entonces b2 = σ 1b 1+ σ 2e2+ σ 3e3 +...+ σ n en , con algún σ i ≠ 0 para i = 2,...,n (ya que en
caso contrario tendríamos b2 = σ 1 b 1 y {b 1 ,b 2 ,...,b m } no sería l.i.). Entonces b2 puede
sustituir a cualquier ei tal que su coeficiente σi sea distinto de cero, de manera que la n−pla
resultante es una base de V; en efecto, supongamos, para fijar ideas, que σ2 ≠ 0 y vamos a
probar que (b1,b2,e3 ,...,en ) es base de V
1) {b 1 ,b 2 ,e3 ,...,en} es l.i.pues
β 1b 1+ β 2b 2+ β 3e3 +...+ β n en = 0 ⇒
⇒ β1b1+β2(σ1b1+σ2e2+ σ 3e3 +...+ σ n en)+ β 3e3 +...+ β n en = 0 ⇒
⇒ (β1+β2σ1) b1+β2σ2e2+(β 3+ β 2σ 3) e3 +...+( β n + β 2 σ n ) en = 0 ⇒
⇒
 β 1+ β 2σ 1 = 0

 β 2σ 2 = 0

 β 3+ β 2σ 3 = 0
. . . . . . . . .
 β n+ β 2σ n = 0
⇒
β1 = 0

β2 = 0

β3 = 0
. . . . .
βn = 0
2) El conjunto {b 1 ,b 2 ,e3 ,...,en} genera V pues para cualquier vector x∈V, como
{b 1 ,e2 ,e3 ,...,en} genera V es
x = γ1b 1+ γ 2e2+ γ 3e3 +...+ γn en
De b 2 = σ 1 b 1 + σ 2 e2 + σ 3 e 3 +...+ σ n en , al suponer σ 2 ≠ 0, podemos despejar e2 y
29
sustituirlo en la igualdad anterior para obtener
x = γ 1b 1+ γ 2 –
σ1
σ2
b 1+
1
σ2
b2 –
σ3
σ2
e 3 –...–
σn
σ2
e n +γ 3 e 3 +...+ γ n e n
es decir
x = γ 1–
γ 2σ 1
σ2
b 1+
γ2
σ2
b 2+ γ 3 –
γ 2σ 3
σ2
e 3 +...+ γ n –
γ 2σ n
σ2
en
que expresa a x como combinación lineal de b1,b2,e3 ,..,en .
Reiterando el razonamiento hasta llegar al vector bm, tendremos que m ≤ n, pues si fuera al
revés, m > n, llegaría un momento que todos los vectores e1 ,...,en habrían sido sustituídos
por n vectores de entre los b1,...,bm para la n−pla resultante, (b1,...,b n), una base de V por
lo que bn+1 sería combinación lineal de ellos y {b1,...,bm} no sería l.i.. Así, al final de este
proceso de sustituciones sucesivas, llegamos a una base de V en la cual m de los n vectores
e1 ,...,en han sido sustituídos por b 1 ,...,b m . La n−pla resultante es una base de V, como
queríamos demostrar.
Ejercicios
IV.34.-Averiguar si existe en el espacio R 4 una base que contenga a los vectores (α 1,3,−
1,α 2),(1,0,α 3,2) y (0,1,0,α 4), para α 1 = , α 2 = , α 3 = , α 4 = .
IV.35.- Comprobar que el conjunto de vectores A = {(x,y,z,t)∈R 4  x = y−3z ∧ z = 2t } es
un subespacio de R4. Hallar una base y completarla a una base de R4.
IV.36.- En el espacio vectorial R3 sobre R sea el conjunto
U = {(x,y,z)∈R 3  x+y+z = 0 }
a) Demostrar que U es subespacio de R3.
b) Demostrar que ((1,0,−1),(0,−1,1)) es una base de U.
c) Completar esta base para obtener una base de R3.
Consecuencias del importante teorema de Steinitz son los resultados que vemos a continuación.
Corolario 1
"Todas las bases de un mismo espacio, tienen el mismo número de vectores".
Demostración:
Si (e1 ,...,en) y (u1,...,um) son bases del espacio vectorial V, entonces
30
(e1 ,...,en) base de V ⇒ {e1,...,en} l.i. 
 ⇒ n≤m
(u 1,...,u m ) base de V

(u1,...,um) base de V ⇒ {u1 ,...,u m } l.i. 
 ⇒ m≤n
(e1 ,...,en) base de V



 ⇒ m=n


Este número común de vectores que tienen todas las bases de un espacio vectorial V de
dimensión finita, se denomina dimensión de V. El subespacio {0} no tiene dimensión, en
sentido estricto, pues carece de base, ya que {0} es l.d.; sin embargo, definimos que
dim({0}) = 0
Corolario 2
" Si dim(V) = n y m > n, entonces cualesquiera que sean los vectores v1 ,...,vm∈ V el
conjunto {v1 ,...,vm} es l.d."
Demostración:
Como dim(V) = n, existe una base de V formada por n vectores; según el Teorema de
Steinitz, si {v1 ,...,vm} fuera un conjunto l.i., entonces m ≤ n, lo que está contra la hipótesis.
Corolario 3
" Si dim(V) = n y {v1 ,...,vn} es l.i., entonces (v1 ,...,vn) es una base de V ".
Demostración:
Como dim(V) = n, existe una base de V , (e1 ,...,en ), formada por n vectores. Como
{v1 ,...,v n } es l.i., según el Teorema de Steinitz, los n vectores de la base pueden ser
sustituídos por los n vectores l.i. y el resultado sigue para una base.
Corolario 4
"Si dim(V) = n y {v1 ,...,vn} es un conjunto generador de V, entonces (v1 ,...,vn) es una
base de V ".
Demostración:
{v1 ,...,vn} es también l.i., ya que si no lo fuera existiría un vector vi combinación lineal de
los demás y, según las propiedades de los subespacios generados por un conjunto finito de
vectores (Tabla IV.2.1), tendríamos
V = [v1 ,...,vi-1 ,vi ,vi+ 1 ,...,vn] = [v1 ,...,vi-1 ,vi+ 1 ,..,vn]
con lo que sería dim(V) < n, contra lo supuesto.
31
Corolario 5
" Si (e1 ,...,en) es una base de V y w1 ,...,wn son vectores de V obtenidos sucesivamente
a partir de los e1 ,...,en, permutándolos, multiplicándolos por escalares no nulos o
sumando a un vector un múltiplo de otro, entonces (w1 ,...,wn) es una base de V ".
Demostración:
Basta tener en cuenta que, según las propiedades vistas de los espacios generados por un
conjunto finito de vectores, estas transformaciones no varían el subespacio generado, luego
V = [w1 ,...,wn]
y aplicando el corolario anterior, al ser dim(E ) = n, es (w1 ,...,wn) una base de V.
Corolario 6
" Si V es un espacio de dimensión finita, y W es subespacio de V, entonces W es también
de dimensión finita y
dim(W) ≤ dim(V)
y si dim(W) = dim(V) , entonces W = V "
Demostración:
Como dim(V) = n, existe una base de V, (e1 ,...,en), formada por n vectores. Si W no fuera
de dimensión finita, entonces habría vectores de W, que también lo serían de V, que no
serían combinación lineal de ningún conjunto finito de vectores, con lo que V tampoco sería
de dimensión finita. Si (u 1 ,...,u m ) es una base de W, entonces {u 1 ,...,u m } es l.i.; en
consecuencia m ≤ n, es decir, dim(W) ≤ dim(V). Si dim(W) = dim(V), entonces una base
cualquiera de W, al estar formada por n vectores l.i., sería también base para V, por lo que
todo vector de V sería también un vector de W, es decir, ambos espacios serían iguales.
Corolario 7
" Si V es un espacio vectorial de dimensión finita y W1 y W2 son subespacios de V,
dim(W1 ∩ W2) ≤ min(dim(W1),dim(W2))
Demostración:
Basta aplicar el corolario 6, teniendo en cuenta que W1 ∩ W2 es subespacio de W1 y W2 .
Corolario 8
" Si V es un espacio vectorial de dimensión finita y W1 y W2 son subespacios de V,
32
dim(W1 +W2) = dim(W1)+dim(W2)− dim(W1 ∩ W2))
Demostración:
Sean
(u1,...,ur) una base de W1
(v1 ,...,vs) una base de W2
(e1 ,...,em) una base de W1 ∩ W2
Como W1 ∩ W2 está contenido en W1 y W2 y {e1 ,...,em } es l.i., podemos sustituir estos
vectores en las bases de W1 y W2 de forma que la r−pla y s−pla resultantes son bases
(e1 ,...,em ,u i(m+1),...,u i(r)) es base de W1
(e1 ,...,em ,vi(m +1) ,...,vi(s)) es base de W2
En esta situación, vamos a demostrar que
(e1 ,...,em ,u i(m+1) ,...,u i(r) ,vi(m +1) ,...,vi(s)) es base de W1 +W2
de donde se deduce inmediatamente
dim(W1 +W2) = m+(r−m)+(s−m) = r+s−m = dim(W1)+dim(W2)−dim(W1 ∩ W2)
En efecto, se verifica
a) El conjunto {e1 ,...,em ,u i(m+1) ,...,u i(r) ,vi(m +1) ,...,vi(s)} genera W1 +W2 ya que para
cualquier vector x de W1 +W2 será
x 1 ∈W1 ⇒ x1 combinación lineal de la base de W1
x = x1+x2 con 
x 2 ∈W2 ⇒ x2 combinación lineal de la base de W2
por lo que x es combinación lineal de
e1 ,...,em ,u i(m+1) ,...,u i(r) ,vi(m +1) ,...,vi(s)
b) {e1 ,...,em ,u i(m+1) ,...,u i(r) ,vi(m +1) ,...,vi(s)} es l.i. pues partiendo de la ecuación de
la independencia lineal
(α 1 e1 +...+ α m em )+(β m+1u i(m+1)+...+β r u i(r))+(δ m+1vi(m+1) +...+ δ s vi(s)) = 0
se obtiene
δ m+1 vi(m+1) +...+ δ s vi(s) = –α 1 e1 –...– α m em – β m+1u i(m+1)–...–β r u i(r)∈W 1
por lo que δm+1vi(m+1) +...+ δ s vi(s)∈W 1∩W 2, es decir
δm+1vi(m+1) +...+ δ s vi(s) = γ 1 e1 +...+ γ m em ⇒ δm+1vi(m+1) +...+ δ s vi(s)–γ 1 e1 –...– γ m em = 0
Como {e1 ,...,em ,vi(m +1) ,...,vi(s)} es l.i. serán δm+1 =...= δs = 0, que sustituidos en la
ecuación de la independencia lineal hacen que
33
α 1 e1 +...+ α m em + β m+1u i(m+1)+...+β r u i(r) = 0
Como {e1 ,...,em ,u i(m+1),...,u i(r)} es l.i., son α 1 =...= α m = β m+1 =...= β r = 0.
Corolario 9
" Si la suma es directa, entonces dim(W1 ⊕W2) = dim(W1)+dim(W2 )".
Demostración:
Basta aplicar el teorema anterior teniendo en cuenta que si la suma es directa, entonces
dim(W1 ∩ W2) = dim({0}) = 0
Este resultado se generaliza por inducción para la suma directa de más de dos subespacios, de
modo que dim(W1 ⊕ ...⊕ Wn) = dim(W1)+...+dim(Wn ).
Corolario 10
" Si (e 11 ,...,e 1n 1 ) es base del subespacio W 1 ,...,(e m 1 ,...,e mn m ) es base del subespacio
Wm, entonces (e 11 ,...,e 1n 1 ,...,e m 1 ,...,e m n m ) es base de W 1⊕...⊕W m ".
Demostración:
En efecto, los vectores forman un conjunto l.i. ya que si
α 11 e 11 +...+ α 1n 1e 1n 1+...+ α m1 e m1 +...+ α mn m e mn m = 0
haciendo
α 11 e 11 +...+ α 1n 1e 1n 1 = e 1 ∈W 1
...................
α m1 e m1 +...+ α mn m e mn m = e m ∈W m
es e 1+...+e m = 0; como la suma es directa, e 1 = 0,..., em = 0, por la independencia lineal de
los vectores de las bases de cada Wi
α 11 =...= α 1n 1 =...= α m1 =...= α mn m = 0
Además {e 11 ,...,e 1n 1 ,...,e m 1 ,...,e m n m } es un conjunto generador de W 1⊕...⊕W m pues para
cualquier x∈W 1⊕...⊕W m existen x 1∈W 1,..., x m ∈W m tales que x = x 1+...+x m y
x 1 = x 11 e 11 +...+x 1n 1e 1n 1
................
x m = x m1 e m1 +...+x mn m e mn m
34
luego x = x 11 e 11 +...+x 1n 1e 1n 1+...+x m1 e m1 +...+x mn m e mn m .
Ejercicios
IV.37.- Hallar la dimensión de los espacios vectoriales C sobre R y C sobre C.
IV.38.-Sean los vectores a = ( α1 ,0, α 2 ) b = (1,−1,α3 ) y c = ( α 4 ,1,−1) y sea E el espacio
vectorial engendrado por estos tres vectores para α1 = , α2 = , α3 = , α4 =
a) Hallar dimensión y una base de E y las componentes de (5,3,−2) respecto de esta
base.
b) Hallar la dimensión y una base del subespacio E ∩ [(1,0,1),(0,1,1)].
IV.39.- Hallar m y n para que los vectores (1,1,0,m),(3,−1,n,−1) y (−3,5,n,−4) generen un
subespacio de R4 de dimensión menor que tres.
IV.40.- Determinar, según los valores de los parámetros, dimensión y base de los subespacios
generados por los siguientes conjuntos de vectores:
a) A = {(r,1,1),(1,r,1),(1,1,r)}
b) B = {(0,r,−s),(−r,0,t),(s,−t,0)}
c) C = {(a,a,a,a),(a,b,b,b),(a,b,c,c),(a,b,c,d)}
con r,s,a,b,c,d∈R.
IV.41.- Sean los subespacios de R5
U = [(1,3,−2,2,3),(1,4,−3,4,2),(2,3,−1,2,9)]
W = [(1,3,0,2,1),(1,5,−6,6,3),(2,5,3,2,1)]
Hallar base y dimensión de los subespacios U , W, U ∩ W y U+W.
IV.42.- Sea el espacio vectorial V sobre R con una base B = (u1,u2,u3) y los subespacios
E = [a,b,c]
y
F = [d,e,f]
con
a = u1+3u3
b = 2u1−3u2+u3
c = 4u1−3u2+7u3
d = u1+u2+u3
e = 2u1+3u2+4u3
f = 3u1+4u2+5u3
Hallar bases y dimensión de E , F, E ∩ F y E+F.
IV.43.- En el espacio vectorial R2n se consideran los subespacios vectoriales
V = {(x 1 ,x 2 ,...,x 2n )∈R 2n  x n+i = x i (i = 1,2,...,n)}
U = {(y 1 ,y 2 ,...,y 2n )∈R 2n  y 2n+1–i = y i (i = 1,2,...,n)}
35
En el caso n = 2, se pide hallar la dimensión y una base de V , U , V ∩ U y V+U.
IV.44.- Sea (x 1 ,x 2 ,x 3 ) una base de E e.v.s K y los subespacios E 1 = [x1 ,x 2 +x 3 ], E 2 =
[x2,x1+x3] y E3 = [x3,x1+x2]. Hallar una base de E1 ∩ E2 ∩ E3 y su dimensión.
IV.5.- APLICACIONES LINEALES.
Sean U y V dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K y f una aplicación
f: U
x
V
f(x)
Diremos que f es una aplicación lineal entre U y V, si conserva las operaciones interna y
externa, de ambos espacios, es decir
1) (∀x,y∈U) (f(x+y) = f(x)+f(y))
2) (∀x∈U) (∀ λ∈K) (f(λx) = λf(x))
Ambas condiciones claramente equivalen a la siguiente:
(∀x,y∈U) (∀ λ ,µ ∈K) (f(λ x+ µ y) = λ f(x)+ µ f(y))
ya que
1)
2)
f(λ x+ µ y) = f(λ x)+f(µ y) = λ f(x)+ µ f(y)
y recíprocamente, si en esta segunda condición hacemos
λ = µ = 1 se verifica f(x+y) = f(x)+f(y)
µ = 0 se verifica f(λx) = λf(x)
Cuando V = U la aplicación lineal recibe el nombre de endomorfismo. Un subespacio A
de U es un subespacio invariante por un endomorfismo f de U si A es estable por f, es
decir si para cualquier vector x∈A es f(x)∈A. Por ejemplo U es obviamente invariante por
cualquier endomorfismo definido sobre él.
Ejemplo IV.5.1.
La aplicación f de R3 en R2 definida por f(x,y,z) = (x−y,2z−3y) es lineal pues
f(λ (x 1 ,x 2 ,x 3 )+ µ (y 1 ,y 2 ,y 3 )) = f(λ x 1 + µ y 1 ,λ x 2 + µ y 2 ,λ x 3 + µ y 3 ) =
= ((λx1+µy1)−(λx2+µy2),2(λx3+µy3)−3(λx2+µy2))
que coincide con
36
λ f(x 1 ,x 2 ,x 3 )+ µ f(y 1 ,y 2 ,y 3 ) = λ (x 1 −x 2 ,2x 3 −3x 2 )+ µ (y 1 −y 2 ,2y 3 −3y 2 ) =
= (λ(x1−x2)+µ (y1−y2),λ(2x3−3x2)+µ(2y3−3y2))
La aplicación
f : R2
(x,y)
R3
(x−y,3x−y,y+2)
no es lineal pues son distintos
f(λ (x 1,x 2)+ µ (y 1,y 2)) = f(λ x 1+ µ y 1,λ x 2+ µ y 2) =
= ((λx1+µy1)−(λx2+µy2),3(λx1+µy1)−(λx2+µy2),(λx2+µy2)+2)
λ f(x 1 ,x 2 )+ µ f(y 1 ,y 2 ) = λ (x 1 −x 2 ,3x 1 −x 2 ,x 2 +2)+ µ (y 1 −y 2 ,3y 1 −y 2 ,y 2 +2) =
= (λ(x1−x2)+µ(y1−y2),λ(3x1−x2)+µ(3y1−y2),λ(x2+2)+µ(y2+2))
Las propiedades más principales de las aplicaciones lineales están en la siguiente Tabla
IV.5.1.
TABLA IV.5.1.
______________________________________________________________________
Propiedades de las aplicaciones lineales
1) f(0U) = 0V
2) f(−x) = −f(x)
3) S subespacio de U implica f(S) subespacio de V
4) W subespacio de V implica f -1(W) subespacio de U, si no es vacío
5) f(λ 1 u 1 +...+ λ n u n ) = λ 1 f(u 1 )+...+ λ n f(u n )
6) f([u 1 ,...,u n ]) = [f(u 1 ),...,f(u n )]
7) {u 1,...,u n} l.d. implica {f(u 1),...,f(u n)} l.d.
8) f biyectiva y {z1,...,zm } l.i. implican {f -1(z1),...,f -1(zm )} l.i.
9) Si f y g son aplicaciones lineales, entonces f±g, λf y fog son lineales, cuando
puedan definirse
______________________________________________________________________
Demostraciones:
1) Ya que para cualquier vector x∈U es
f(x) = f(x+0U) = f(x)+f(0U) ⇒ f(0U) = 0V
37
De esta propiedad se obtiene que el subespacio {0 U } es invariante por cualquier
endomorfismo sobre U.
2) Ya que para cualquier vector x∈U es
0V = f(0U ) = f(x–x) = f(x+(–x)) = f(x)+f(–x) ⇒ f(–x) = –f(x)
3) Como
(∀z∈f(S)) (∃x∈S) (f(x) = z)
(∀t∈f(S)) (∃y∈S) (f(y) = t)
para cualesquiera λ,µ∈K, por ser S subespacio de U, será
λ z+ µ t = λ f(x)+ µ f(y) = f(λ x+ µ y)∈f(S)
4) Como
(∀x∈f -1(W)) (∃z∈W) (z = f(x))
(∀y∈f -1(W)) (∃t∈W) (t = f(y))
para cualesquiera λ,µ∈K será
f(λ x+ µ y) = λ f(x)+ µ f(y) = λ z+ µ t∈W ⇒ λ x+ µ y∈f -1(W)
por ser W subespacio de V.
5) La definición de aplicación lineal expresa que la imagen de una combinación lineal de dos
vectores es combinación lineal de las imágenes con los mismos coeficientes; en este sentido
esta propiedad viene a generalizar la definición de aplicación lineal en el sentido de que una
aplicación lineal va a conservar las combinaciones lineales. Por inducción sobre el conjunto
S = {z∈N  f(λ 1u 1+...+λ zu z) = λ 1 f(u 1)+...+λ z f(u z)}
que verifica
1∈S pues f(λ1u1) = λ1 f(u1)
z∈S ⇒ f(λ 1u 1+...+λ zu z) = λ 1 f(u 1)+...+λ z f(u z) ⇒
⇒ f(λ 1u 1+...+λ zu z)+λ z+1 f(u z+1) = (λ 1 f(u 1)+...λ z f(u z))+λ z+1 f(u z+1) ⇒
⇒ f(λ 1u 1+...+λ zu z+ λ z+1u z+1) = λ 1 f(u 1)+...+λ z f(u z)+λ z+1 f(u z+1)
⇒ z+1∈S
luego S = N.
6) La propiedad 3) expresa que la imagen de un subespacio es otro subespacio y la 6) precisa
esta idea: la imagen de un subespacio de dimensión finita engendrado por unos vectores, es
el subespacio de dimensión finita engendrado por los vectores imagen. En efecto,
z∈f([u 1 ,...,u n ]) ⇒ (∃x∈[u 1 ,...,u n ]) (z = f(x))
y al ser x = λ1u1+...+λnun tendremos
38
z = f(λ 1 u 1 +...+ λ n u n ) = λ 1 f(u 1 )+...+ λ n f(u n ) ⇒ z∈[f(u 1 ),...,f(u n )]
Recíprocamente
z∈[f(u 1 ),...,f(u n )] ⇒ z = λ 1 f(u 1 )+...+ λ n f(u n ) = f(λ 1 u 1 +...+ λ n u n ) ⇒ z∈f([u 1 ...u n ])
7) {u 1,...,u n} l.d. ⇒ existe un u i = α 1u 1+...+α i-1u i-1+ α i+1u i+1+...+α nu n ⇒
⇒ f(u i) = α 1 f(u 1)+...+α i-1 f(u i-1)+α i+1 f(u i+1)+...+α n f(u n) ⇒
⇒ {f(u 1 ),.., f(u i),.., f(u n )} l.d.
8) Por reducción al absurdo, y según la propiedad anterior
{f -1 (z 1 ),..., f -1 (z m )} l.d. ⇒ {f(f -1 (z 1 )),..., f(f -1 (z m ))} l.d. ⇒ {z 1 ,...,z m } l.d.
lo que va contra la hipótesis.
V es lineal, entonces λf : U
f(x)
x
9) Si f : U
x
V
es lineal, pues
(λ f)(x) = λ f(x)
(λ f)(α x+ β y) = λ f(α x+ β y) = λ (α f(x)+ β f(y)) = λα f(x)+ λβ f(y)
α (λ f)(x)+β (λ f)(y) = α (λ f(x))+β (λ f(y)) = αλ f(x)+βλ f(y)
que son iguales, por conmutatividad de K.
Si
f: U
x
f+g : U
x
V
f(x)
y
g: U
x
V
(f+g)(x) = f(x)+g(x)
V
g(x)
son lineales, entonces
es también una aplicación lineal, ya que
(f+g)(α x+ β y) = f(α x+ β y)+g(α x+ β y) = α f(x)+ β f(y)+ α g(x)+ β g(y) =
= α(f(x)+g(x))+β(f(x)+g(y)) = α(f+g)(x)+β(f+g)(y)
Si
f: U
x
g of : U
x
V
f(x)
y
g: V
y
W
(gof)(x) = g(f(x))
W
g(y)
son lineales, entonces
también es lineal, pues
(g of)(α x+ β y) = g(f(α x+ β y)) = g(α f(x)+β f(y)) = α g(f(x))+β g(f(y)) = α (g of)(x)+β (g of)(y)
Esta última propiedad permite definir las siguientes estructuras algebraicas sobre conjuntos
de aplicaciones lineales:
a) Sea L(U,V) el conjunto de aplicaciones lineales de un espacio vectorial U en otro V,
ambos sobre el mismo cuerpo. Tenemos entonces que (L(U,V),+) es una estructura
39
algebraica al ser + una l.c.i. en L(U,V), según la propiedad 9) anterior. Además (L(U,V),+)
es un grupo abeliano, pues además de ser conmutativa y asociativa la suma, existe la
aplicación neutra
0U : U
V
x
0U(x) = 0V
que es lineal, ya que
0U(α x+βy) = 0V = α 0U(x)+β0U(y)
verificando 0U+f = f pues
(0U+f)(x) = 0U(x)+f(x) = f(x)
y la aplicación opuesta
(−f) : U
x
V
(−f)(x) = −f(x)
que es lineal, ya que
(−f)(α x+ β y) = −(f(α x+ β y)) = − α f(x)− β f(y) = α (−f)(x)+ β (−f)(y)
y −f+f = 0U pues
(−f+f)(x) = (−f)(x)+f(x) = −f(x)+f(x) = 0U
El conjunto L(U,V) es también un espacio vectorial sobre K ya que además de ser grupo
abeliano aditivo, como acabamos de demostrar, se verifica
(λ+µ)f = λf+µf pues ((λ+µ)f)(x) = (λ+µ)f(x) = λf(x)+µf(x) = (λf+µf)(x)
λ(f+g) = λf+λg pues ((λ(f+g))(x) = λ(f+g)(x) = λ(f(x)+g(x)) = λf(x)+λg(x) = (λf+λg)(x)
λ(µf) = (λµ)f pues λ(µf)(x) = λ((µf)(x)) = λ(µf(x)) = (λµ)f(x) = ((λµ)f)(x)
1f = f pues (1f)(x) = 1f(x) = f(x)
b) Sea End(U) el conjunto de las aplicaciones lineales de U en U, es decir, de los
endomorfismos de U. Se verifica que (End(U),+,o) es un anillo con elemento unidad, pues
(End(U),+) es un grupo abeliano (se trata del caso anterior, para U = V), la composición de
aplicaciones es asociativa según ya vimos, es distributiva respecto a la suma, por verificar
fo(g+h) = (fog)+(foh)
ya que
(fo(g+h))(x) = f((g+h)(x)) = f(g(x)+h(x)) = f(g(x))+f(h(x)) = ((fog))+(foh))(x)
Esta propiedad distributiva se verifica también en el caso de que f∈L(V,W), g∈L(U,V) y
h∈L(U,V). La aplicación elemento unidad es
40
IU : U
x
U
IU (x) = x
que es lineal pues IU (αx+βy) = αx+βy = αIU (x)+βIU (y) y verifica foIU = f.
c) Si GL(U) el conjunto de los endomorfismos de U biyectivos, entonces (GL(U),o) es un
grupo, pues o es asociativa, existe elemento unidad, que es la aplicación IU anterior
(pertenece a GL(U) por ser biyectiva) y la aplicación opuesta de f∈GL(U) es su inversa f -1
que es biyectiva y lineal ya que si z = f(x) y t = f(y) y f -1(αz+βt) = m , entonces
f(m) = α z+ β t = α f(x)+ β f(y) = f(α x+ β y) ⇒ m = α x+ β y
es decir, f -1(αz+βt) = αf -1(z)+βf -1(t) y además verifica f -1of = IU y fof -1 = IU .
Ejercicios
IV.45.- Averiguar si son lineales las siguientes aplicaciones:
f : R3
(x,y,z)
R2
(x+y,x+z)
h : R2
(x,y)
g : R4
(x,y,z,t)
R2
(x2,y2)
i:
R
x−y+z−t
R3
(x,y,z)
R3
(x+y,y+z,x+y+z+1)
IV.46.- Averiguar si son lineales las aplicaciones de R3 en R2 dadas por las fórmulas
a) f de R 3 en R 2 dada por f(x1,x2,x3) = (3x1+2x2+x3, x1−x2+x3 )
b) f de R2[x] en R2[x] dada por f(a0+a1x+a2x2) = a0+(a0+a1)x+(a0+a1+a2)x2
c) f de R2[x] en R2[x] dada por f(P(x)) = P´(x)+P´´(x)
IV.47.- Sea E = {funciones f : R
R indefinidamente derivables}. Averiguar cuáles de
las siguientes aplicaciones son lineales para α1 = , α2 = , α3 = , α4 = .
g:E
f
R
f(α1)
j:E
R
h:E
f
R
f "(α2)
k:E
i:E
f
R
1
f
(f '(α 4) )2
f(x) dx
f
0
IV.6. NUCLEO, IMAGEN Y RANGO DE UNA APLICACION LINEAL
Dada la aplicación lineal
R
f(0)+α3
41
f:U
x
V
f(x)
definimos como núcleo de f el conjunto de vectores del espacio inicial cuya imagen es el vector
nulo del espacio final
Nuc(f) = {x∈U  f(x) = 0V}
y la imagen como el conjunto de todos los vectores del espacio final que son imagen de algún
vector del espacio inicial
Im(f) = f(U)
que verifican las propiedades expuestas en la Tabla IV.6.1.
TABLA IV.6.1
_________________________________________________________
Propiedades de Nuc(f) e Im(f)
1) Nuc(f) es un subespacio de U
2) Im(f) es un subespacio de V
3) Im(f) = V equivale a f sobreyectiva
4) Nuc(f) = {0U} equivale a f inyectiva
5) ({u1,...,un}l.i. ⇒ {f(u1),...,f(un)}l.i.) equivale a f inyectiva
_________________________________________________________
Demostraciones:
1) Por definición de núcleo
(∀x∈Nuc(f)) (f(x) = 0V)
(∀y∈Nuc(f)) (f(y) = 0V)
y para cualesquiera α,β∈K
f(α x+ β y) = α f(x)+ β f(y) = 0 V ⇒ α x+ β y∈Nuc(f)
2) Por definición de imagen
(∀z∈Im(f)) (∃x∈U) (f(x) = z)
(∀t∈Im(f)) (∃y∈U) (f(y) = t)
y para cualesquiera α,β∈K
α z+ β t = α f(x)+ β f(y) = f(α x+ β y)∈Im(f)
3) Es trivial, pues Im(f) es el espacio imagen, que coincidirá con el espacio final si y sólo si
42
f es sobreyectiva.
4) En efecto, si f es inyectiva tenemos
x∈Nuc(f) ⇒ f(x) = 0V = f(0U) ⇒ x = 0U ⇒ Nuc(f) = {0U}
y recíprocamente si Nuc(f) = {0U}, para cualesquiera vectores x,y∈U
f(x) = f(y) ⇒ f(x)–f(y) = f(x–y) = f(0 U ) = 0 V ⇒ x–y∈Nuc(f) ⇒ x–y = 0 U ⇒ x = y
5) En las propiedades de las aplicaciones lineales hemos visto que la imagen de un conjunto
linealmente dependiente es un conjunto linealmente dependiente; lo que ocurra con la imagen
de un conjunto linealmente independiente dependerá del tipo de aplicación, tal como afirma
esta equivalencia. En efecto,
Directo:
Si x∈Nuc(f), entonces f(x) = 0 V y si fuera x ≠ 0 U , entonces {x} l.i. para
{f(x)} l.d., lo que va contra la hipótesis, luego x = 0U y f es inyectiva.
Recíproco: α 1 f(u 1)+...+α n f(u n) = 0 V ⇒ f(α 1u 1+...+α nu n) = 0 V ⇒
⇒ α 1u1+...+α nun∈Nuc(f) ⇒ α 1u1+...+α nun = 0U ⇒ α 1 =...= α n = 0
Ejemplo IV.6.1
La aplicación
f:
R3
(x,y,z)
R2
(x−3y,x−y+2z)
es lineal pues
f( α (x 1 ,x 2 ,x 3 )+ β (y 1 ,y 2 ,y 3 )) = f( α x 1 + β y 1 ,α x 2 + β y 2 ,α x 3 + β y 3 ) =
= (αx1+βy1−3(αx2+βy2),(αx1+βy1)−(αx2+βy2)+2(αx3+βy3))
α f(x 1 ,x 2 ,x 3 )+ β f(y 1 ,y 2 ,y 3 ) = α (x 1 −3x 2 ,x 1 −x 2 +2x 3 )+ β (y 1 −3y 2 ,y 1 −y 2 +2y 3 ) =
= (α(x1−3x2)+β(y1−3y2),α(x1−x2+2x3)+β(y1−y2+2y3))
y ambos resultados coinciden. Hallemos núcleo e imagen
Nuc(f) = {(x,y,z)∈R 3  f(x,y,z) = (0,0)} = {(3y,y,−y)  y∈R}
es decir,
x−3y = 0 
 x = 3y
 ⇒ 
x−y+2z = 0 
 z = (y−x)/2
que es un subespacio; para hallar su base basta tener en cuenta que
Nuc(f) = {(3y,y,−y)  y∈R} = {y(3,1,−1)  y∈R} = [(3,1,−1)]
con lo que ((3,1,−1)) es una base de Nuc(f). Para calcular Im(f), según la definición,
43
(z1,z2)∈Im(f) ⇔ (∃(x 1,x 2,x 3)∈R 3) (f(x 1,x 2,x 3) = (z1,z2))
es decir,
x1−3x2 = z1 
 ⇒
x1−x2+2x3 = z2 
 x1 = z1+3x2

 x3 = (z2−x1+x2)/2
luego cualquiera que sean z1 y z2 existe antiimagen (x 1 ,x 2 ,x 3 ), y todo vector de R 2
pertenece a la imagen,
Im(f) = R2 ⇒ ((1,0),(0,1)) base de Im(f)
Como Nuc(f) ≠ {(0,0,0)}, f no es inyectiva y como Im(f) = R2, f es sobreyectiva.
A la dimensión del subespacio Im(f) le llamaremos rango de la aplicación
rang(f) = dim(Im(f))
El conocimiento del rango de una aplicación lineal proporciona resultados interesantes sobre
ella, cuando los espacios vectoriales sobre los que está definida son de dimensión finita y que
resumidos en la Tabla IV.6.2.
TABLA IV.6.2.
_____________________________________________________________
Propiedades del rango de una aplicación lineal f : U
V
1) rang(f) = dim(U)−dim(Nuc(f))
2) rang(f) ≤ dim(U) y rang(f) = dim(U) equivale a f inyectiva
3) rang(f) ≤ dim(V) y rang(f) = dim(V) equivale a f sobreyectiva
4) dim(U) = dim(V) equivale a (f inyectiva ⇔ f sobreyectiva ⇔ f biyectiva)
______________________________________________________________
Demostraciones :
1) Como Nuc(f) es de dimensión finita, por ser subespacio de U, supongamos que
(u 1,...,u n) base U
y
(e1 ,...,em) base de Nuc(f)
podemos sustituir m vectores u i por los m vectores ei, y el resultado es una base de U;
supongamos, p.ej., que son los m primeros vectores, con lo que (e1 ,..,em ,u m+1 ,...,u n ) será
una base de U. Demostremos que (f(um+1),...,f(un)) es base de Im(f) probando que forman
un conjunto l.i. y generador.
44
a) {f(u m+1),...,f(u n)} l.i. pues
λ m+1 f(u m+1)+...+λ n f(u n) = 0 V ⇒ f(λ m+1u m+1+...+λ nu n) = 0 V ⇒
⇒ λm+1um+1+...+λnun∈Nuc(f) ⇒ λm+1 =...= λn = 0
ya que si existiesen λ i1 ≠ 0,...,λ ir ≠ 0 tendríamos
x = λ i1u i1+...+λ iru ir∈Nuc(f) ⇒ λ i1u i1+...+λ iru ir = α 1 e 1 +...+ α m e m ⇒
⇒
{u i1 ,...,u ir,e 1 ,...,e m } l.d.
y (e 1,...,e m ,u m+1,...,u n) no sería base de U.
b) Es un conjunto generador de Im(f) ya que
(∀z∈Im(f)) (∃x∈U) (z = f(x) ⇒ z = f(λ 1e1+...+λ m em + λ m+1u m+1+...+λ nu n) ⇒
⇒ z = λ1 f(e1)+...+λm f(em)+λm+1 f(um+1)+...+λn f(un) ⇒
⇒ z = λm+1 f(um+1)+...+λn f(un))
ya que f(e1) =...= f(em) = 0V por ser base de Nuc(f).
De a) y b) se deduce que dim(Im(f)) = n−m, es decir,
rang(f) = dim(U)−dim(Nuc(f))
2) Inmediata a partir de la anterior teniendo en cuenta que
rang(f) = dim(U) ⇔ dim(Nuc(f)) = 0 ⇔ Nuc(f) = {0U} ⇔ f inyectiva
3) Según la definición de rango, rang(f) = dim(Im(f)) ≤ dim(V) para además
dim(Im(f)) = rang(f) = dim(V) ⇔ Img(f) = V ⇔ f sobreyectiva
4) Si ambos espacios tienen la misma dimensión, entonces
f inyectiva ⇔ dim(Nuc(f)) = 0 ⇔ rang(f) = dim(U) = dim(V) ⇔ f sobreyectiva
luego f es biyectiva. En particular, y según esta propiedad, para todo f endomorfismo de U
ser f inyectivo equivale a ser sobreyectivo y biyectivo.
Ejemplo IV.6.2
Para la aplicación lineal del ejemplo IV.6.1 anterior, tenemos
rang(f) = dim(Img(f)) = 2
dim(Nuc(f)) = 1
dim(R3) = 3
y, efectivamente rang(f) = dim(U)−dim(Nuc(f)). Como rang(f) < dim(R3), entonces f
no es inyectiva. Como rang(f) = dim(R2) es f sobreyectiva.
45
Ejercicios
IV.48.- Para la aplicación f de R3 en R2 definida por f(x,y,z) = (x+y/2,x+z/2) averiguar su
rango, núcleo, imagen y clasificarla. Lo mismo para el endomorfismo f de R2[x] dado
por f(P(x)) = P´(x)+P´´(x).
IV.49.- Sea F el espacio vectorial de las funciones f : R
Φ : R3
(a,b,c)
F
f: R
x
R y sea
R
f(x) = a sen2x+b cos2x+c
a) Probar que Φ es lineal.
b) Averiguar el Nuc(Φ), Im(Φ) y si Φ es inyectiva.
c) Si U es el subespacio de las funciones constantes, hallar Φ -1(U).
IV.50.- Sea la aplicación lineal
f : R3
(x,y,z)
R3
((λ−2)x+2y−z,2x+λy+2z,2λx+2(λ+1)y+(1+λ)z)
con λ∈R dado. Hallar según los valores de λ, el Nuc(f), Im(f) y rang f.
IV.51.- Demostrar que todo endomorfismo inyectivo es necesariamente sobreyectivo.
IV.7.- TEOREMA DE LA CARACTERIZACION DE UNA APLICACION LINEAL
Sean U y V e.v.s. K, (e1 ,...,en) es una base de U y {b 1,...,b n} un subconjunto de V, en
estas condiciones
a) existe una única aplicación lineal f de U en V tal que f (e1 ) = b 1 , ..., f(en ) = b n .
Además
b) {b1,...,bn} l.i. equivale a f inyectiva
y si V es de dimensión finita
c) {b1,...,bn} generan V equivale a f sobreyectiva
d) (b1,...,bn) base de V equivale a f biyectiva
Demostración: Veamos sucesivamente los diversos resultados enunciados.
a) En efecto, si x∈U, entonces por ser (e1 ,...,en) una base de U
x = α 1e1 +...+ α n en
46
y definimos la correspondencia
f:U
x
V
f(x) = α 1 b 1 +...+ α n b n
que es una aplicación, pues para todo vector x∈U existen y son únicos los escalares
α1,...,αn que lo expresan como combinación lineal de la base (e1 ,...,en), luego es único el
vector imagen
α 1 b 1 +...+ α n b n
En particular veamos las imágenes de e1 ,...,en
e1 = 1⋅e1 +...+0⋅en ⇒ f(e1 ) = 1⋅b 1 +...+0⋅b n = b 1
.................................
en = 0⋅e1 +...+1⋅en ⇒ f(en ) = 0⋅b 1 +...+1⋅b n = b n
Esta aplicación, así definida es lineal; en efecto como
(∀x∈U) (∃ α 1 ,...,α n ∈K) (x = α 1 e1 +...+ α n en)
(∀y∈U) (∃ β 1 ,...,β n ∈K) (y = β 1 e1 +...+ β n en)
para cualesquiera λ,µ∈K tendremos
f(λ x+ µ y) = f(λ (α 1e1 +...+ α n en)+µ (β 1e1 +...+ β n en)) =
= f((λα1+µβ1)e1 +...+( λα n + µβ n )en) = (λα 1+ µβ 1)b 1+...+(λα n+ µβ n)b n
λ f(x)+ µ f(y) = λ (α 1 b 1 +...+ α n b n )+ µ (β 1 b 1 +...+ β n b n ) = (λα 1 + µβ 1 )b 1 +...+( λα n + µβ n )b n
Además f es la única aplicación lineal para la que f(e1) = b 1 ,...,f(en) = bn ya que si hubiera
otra aplicación lineal con las mismas imágenes para los vectores e1 ,...,en
g:U
V
e1
g(e1) = b 1
..............
en
g(en) = b n
entonces para cualquier vector x = α1e1 +...+ α n en sería
g(x) = g(α 1e1 +...+ α n en) = α 1g(e1 )+...+ α n g(en ) = α 1 b 1 +...+ α n b n = f(x)
La elección de los vectores b1,...,bn imagen de los vectores de la base determina una única
aplicación lineal; más aún, si el espacio vectorial imagen es de dimensión finita, según sean
estos vectores imagen la aplicación será de un tipo u otro. En efecto
b) {b1,...,bn} l.i. equivale a f inyectiva.
47
Directo:
Si x = α 1e1 +...+ α n en e y = β 1e1 +...+ β n en y f(x) = f(y), entonces
α 1 b 1 +...+ α n b n = β 1 b 1 +...+ β n b n ⇒ (α 1 − β 1 )b 1 +...+( α n −β n )b n = 0 V
y como se supone {b1,...,bn}l.i., será
α1−β1 = 0 
α1 = β1 
.......  ⇒ .....  ⇒ x=y
αn−βn = 0 
αn = βn 
Recíproco: λ 1 b 1 +...+ λ n b n = 0 V ⇒ f(λ 1 e1 +...+ λ n en) = 0V ⇒ λ1e1 +...+ λ n en∈Nuc(f)
y como se supone f inyectiva y (e1 ,...,en) base de U, entonces
λ 1 e1 +...+ λ n en = 0U ⇒ λ 1 =....= λ n = 0
c) El conjunto {b1,...,bn} es generador de Im(f) ya que
Im(f) = f(U) = f([e1 ,...,en]) = [f(e1 ),...,f(en )] = [b 1 ,...,b n ]
y como se supone que
{b1,...,bn} genera V ⇔ Im(f) = V ⇔ f sobreyectiva
d) Reuniendo los resultados anteriores, tenemos
 {b1,...,bn} l.i. ⇔ f inyectiva
(b 1,...,b n) base de V ⇔ 
 {b1,...,bn} genera V ⇔ f sobreyectiva
lo que equivale a que f es biyectiva.
Ejemplo IV.7.1
Sean los espacios vectoriales R 3 y R 4. Una base de R 3 es ((1,1,0),(2,0,−1),(0,3,2))
pues forman un conjunto l.i.; en efecto
1 2
1 0
0 –1
0
3
2
0
0 →
0
→
1 2
0 –2
0 –1
0
3
2
0
0 →
0
1 0 3
0 –2 3
0 0 –1
0
0 →
0
1 0 0
0 –2 0
0 0 –1
0
0 →
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
Según el teorema anterior
R3
(1,1,0)
(2,0,−1)
(0,3,2)
f:
R4
(1,1,0,2)
(0,0,0,0)
(0,0,2,4)
0
0
1
48
define una única aplicación lineal, cuya fórmula se puede hallar haciendo
(x,y,z) = α 1(1,1,0)+α 2(2,0,−1)+ α 3(0,3,2)
1 2
1 0
0 –1
0
3
2
x
y →
z
→
1 2
0 –2
0 –1
0
x
3 y–x →
2
z
1 0 0
0 –2 0
0 0 –1
siendo, por tanto
1 0 3
0 –2 3
0 0 –1
4y–3x–6z
4y–4x–6z →
y–x–2z
1
0
0
y
y–x →
y–x–2z
0
1
0
0 –3x+4y–6z
0 2x–2y+3z
1
x–y+2z
α 1 = −3x+4y−6z
α 2 = 2x−2y+3z
α 3 = x−y+2z
con lo que
(x,y,z) = (−3x+4y−6z)(1,1,0)+(2x−2y+3z)(2,0,−1)+(x−y+2z)(0,3,2) ⇒
⇒
f(x,y,z) = (−3x+4y−6z)(1,1,0,2)+(2x−2y+3z)(0,0,0,0)+(x−y+2z)(0,0,2,4) =
= (−3x+4y−6z,−3x+4y−6z,2x−2y+4z,−2x+4y−4z)
Como {(1,1,0,2),(0,0,0,0),(0,0,2,4)} es l.d., entonces f no es inyectiva; como
{(1,1,0,2)(0,0,0,0)(0,0,2,4)} no genera R4, entonces f no es sobreyectiva. Además
Nuc(f) = {(x,y,z)∈R 3  f(x,y,z) = (0,0,0,0)}
es decir,
−3x+4y−6z = 0 
2x−2y+4z = 0  cuya solución es z arbitrario, y = 0, x = −2z
−2x+4y−4z = 0 
por lo que
Nuc(f) = {(−2z,0,z)  z∈R} = {z(−2,0,1)  z∈R} = [(−2,0,1)]
para pues ((−2,0,1)) base de Nuc(f). Según las propiedades del rango
dim(Im(f)) = rang(f) = 3−1 = 2
y, en efecto, el espacio imagen es
Im(f) = [(1,1,0,2)(0,0,0,0),(0,0,2,4)] = [(1,1,0,2)(0,0,2,4)]
siendo ((1,1,0,2)(0,0,2,4)) base de Im f
49
Dos consecuencias inmediatas se deducen del importante teorema anterior. En primer lugar
"Si V es e.v.s. K de dimensión n, entonces V es algebraicamente identificable con Kn"
En efecto, si (e1 ,e2 ,..,en) es una base de V, la identificación la establece la siguiente aplicación
V
Kn
e1
(1,0,...,0)
e2
(0,1,...,0)
..............
en
(0,0,...,1)
que es biyectiva por ser los vectores imagen una base de Kn, la base canónica. Consecuencia
inmediata de este resultado es que
"Dos espacios vectoriales de dimensión finita son algebraicamente identificables si tienen
la misma dimensión".
En efecto, si U y V son e.v.s. K de dimensión n, ambos son identificables con K n y, por ello,
son identificables entre sí.
Ejercicios
IV.52.- Sea la aplicación lineal
f:
R4
(1,0,0,0)
(0,1,0,0)
(0,0,1,0)
(0,0,0,1)
R4
(2,−1,−1,0)
(−1,1,0,−1)
(1,0,1,−1)
(0,−1,−1,2)
a) Hallar f(2,5,6,8), f(x,y,z,t) y f -1(1,0,0,1).
b) Hallar Nuc(f), Im(f), rang f y clasificarla.
IV.53.- Dada la aplicación lineal
f : R2
(1,0)
(0,1)
R2
(√2,1)
(1,√2 )
definir, si es posible, f -1 y hallar f -1(0,1) y f -1(x,y). Hallar núcleo, imagen y rango de
f y f -1.
IV.54.-Dadas las siguientes aplicaciones lineales, hallar sus rangos, bases del núcleo e
imagen y clasificarlas:
50
R3
(1,1,0)
(2,3,1)
(0,−2,1)
, α2 = , α3 =
f:
para α1 =
R4
(3,2,0,1)
(1,−2,1,1)
(4,0,1,2)
, α4 = .
h : R2
(2,−1)
(4,1)
R4
(α 1,0,−1,α 2)
(α 3,−2,α 4,1)
IV.55.-Dadas las siguientes aplicaciones lineales, hallar sus rangos, bases del núcleo e
imagen y clasificarlas:
i:
R3
(0,1,0)
(1,0,0)
(1,1,1)
para α1 =
, α2 =
R3
(0,2,0)
(1,0,0)
(2,6,0)
, α3 =
j:
, α4 =
.
R4
(1,2,−1,−3)
(−3,−1,0,5)
(4,2,5,0)
(−3,−2,1,7)
R2
(−5,1)
(8,0)
(α 1 , α 2 )
(α 3 , α 4 )
51
PROCEDIMIENTOS PRÁCTICOS BASICOS
Los procedimientos básicos que forman los elementos constructivos a partir de los cuales
pueden abordarse los problemas que tratan sobre las materias desarrolladas en este Cuaderno,
son los siguientes:
- Determinar si una estructura es un espacio vectorial.
- Resultados de combinaciones lineales en los e.v. Kn, K(x) y de funciones de A en K.
- Averiguar si un vector es combinación lineal otros.
- Algoritmo de Gauss-Jordan.
- Determinar si un subconjunto es un subespacio.
- Averiguar si un vector pertenece a un espacio de dimensión finita.
- Simplificar conjuntos generadores.
- Averiguar si un conjunto es o no linealmente independiente.
- Hallar una base de un e.v. de dimensión finita.
- Hallar componentes de vectores respecto de una base.
- Obtener bases mediante el teorema de Steinitz.
- Hallar bases de espacios suma e intersección.
- Hallar bases y dimensión de subespacios.
- Averiguar si una aplicación entre espacios vectoriales es lineal.
- Hallar rango imagen y núcleo de una aplicación lineal
- Definir aplicaciones lineales mediante fórmulas o mediante imágenes de vectores de una base
52
EJERCICIOS DE RECAPITULACION
IV.56.- Sean los vectores de R4
v1 = (2,3,−1,0), v2 = (−3,1,0,2), v3 = (−4,5,−1,4) y v4 = (9,8,−3,−2)
Probar que [v1 ,v2] = [v3 ,v4] = F y hallar un subespacio G tal que F+G = R4.
IV.57.- La ecuación λ1e1 + λ 2 e2 + λ 3 e3 + λ 4 e4 + λ 5 e5 = 0 tiene como solución
λ1 = λ2 = −λ3
λ4 = λ5 = 0
Se pide
a) Relación de dependencia, si existe, entre los vectores e1 ,e2 ,e3 ,e4 ,e5 .
b) Dimensión del subespacio engendrado por los ei .
c) Indicar dos bases de este subespacio.
IV.58.- a) Demostrar que los polinomios 1, 1+x, 1+x+x 2 ,..., 1+x+x2+...+x n forman una
base del espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a n. Calcular las
componentes del polinomio: P(x) = 2x3−2x2+x−1 respecto a una base de este tipo.
b) Demostrar que los polinomios 1,(x−a),(x−a)2 ,...,(x−a) n forman una base del
espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a n.
c) Demostrar que para un polinomio P(x) de grado n, las componentes respecto la base
anterior son
P(a) , P '(a ) ,
P ''(a )
,...,
2!
P (n)(a)
n!
IV.59.- En R3 se dan los siguientes conjuntos de vectores:
A = {(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(0,1,−1)}
B = {(3,0,0),(0,4,0),(0,0,2),(0,1,1)}
a) Demostrar que los conjuntos A y B son generadores de R3.
b) Hallar respecto de la segunda base (B) las componentes de un vector que respecto a
la base primera (A) tiene de componentes (−1,2,−2).
c) Generalizar este resultado hallando las componentes b 1 ,b 2 y b3 respecto de la
segunda base del vector cuyas componentes respecto de la primera son a 1,a 2 y a 3 .
IV.60.- Probar que el subespacio generado por los vectores (1,0,−1),(1,1,0) y (0,1,1)
coincide con el engendrado por los vectores (2,1,−1) y (1,2,1). Si denominamos F a
este subespacio de R 3 probar que (1,−1,0) no pertenece a F. Completar el vector
(4,5,1)∈F a una base de F.
IV.61.- En el espacio vectorial R3 sobre R sean los subespacios
53
S1 = [(0,1,1),(1,0,2),(−2,3,−1)]
S2 = [(1,1,3),(−1,4,a)]
a) Hallar a para que S1 = S2.
b) Completar una base S 1 , hasta obtener una base de R 3 . Si llamamos S 3 el
subespacio generado por el sistema de vectores añadidos a S1 para obtener la base de
R3 estudiar si el conjunto S1 ∪ S3 es un subespacio vectorial.
c) Hallar un sistema generador del subespacio vectorial S1 ∩ S4 para S4 el generado
por el conjunto de vectores {(1,0,1),(0,0,1),(1,0,0)}.
IV.62 .- Sean V y W dos espacios vectoriales reales, de bases (e1 ,e 2 ,e 3 ) y (u 1 ,u 2 ,u 3 ,u 4 ),
respectivamente. Si λ∈R, dada la aplicación
f:V
e1
e2
e3
W
λ u 1+u 2
u 3+u 4
u 1+u 2+u 3+u 4
hallar la ecuación de f, Nuc(f) e Im(f) y averiguar cuándo f es inyectiva.
BIBLIOGRAFIA
de Burgos J. (1988). Curso de Algebra y Geometría. Alhambra. Madrid.
Dixmier J. (1974). Matemáticas Generales. Editorial Aguilar. Madrid.
Godement R. (1974). Algebra. Tecnos. Madrid.
Hoffmann R., Kunze R. (1974). Algebra Lineal. Prentice. Madrid.
Lentin A., Rivaud J. (1973). Algebra Moderna. Aguilar. Madrid.
Noble B., Daniel J.W. (1988). Applied Linear Algebra. Prentice Hall. London.
Puerta F. (1986). Algebra lineal. Marcombo. Barcelona.
Queysanne M. (1985) Algebra. Vicens-Vives. Barcelona.
Sainz M.A., Serarols J.L. Pérez A.M. (1994). Álgebra. Escuela Politécnica Superior. Gerona.
Strang G. (1982). Algebra Lineal y sus aplicaciones. Fondo Educativo Interamericano.
Méjico.
Xambó S. (1977). Algebra Lineal y geometrias lineales. EUNIBAR. Barcelona.