PDF (Una presentación sencilla para estudiantes de Ingenieria)

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IV. UNA PRESENTACIÓN SENCILLA PARA ESTUDIAOTES DE INGENIERÍA
Ansillzando el desarrollo histórico de las funciones logarítmica y exponencial, así como su importancia actual para interpretar y re§plver
numerosos problemas en las distintas ramas de la ingeniería, se qxiiere ahora presentar estas fxmciones en forma tal que se compaginen tanto el aspecto histórico como las aplicaciones modernas y que a la vez
sea xma presentación sencilla.
Para este fin, de cada xma de las presentaciones anteriores, se tomarán aquellos rasgos que permitan esta presentación sencilla, dirigida al estudiante de ingeniería,
A,
EL Invento de los Logaritmos.
Los logaritmos fueron inventados por Napier, xm noble escocés,
qxiien publicó sus tablas en 1614, Otro matemático, Bürgi, desarollo los logaritmos en forma independiente y casi simxiltánea.
El propósito de las tablas de logaritmos fue reducir operaciones
"difíciles", como multiplicaciones, a otras más fáciles, como
sumas.
Antes de que se inventaran los logaritmos, se usaban las fxmciones trigonométricas con este fin. La clave del método son las
5^
identidades:
Cos (<3t+/3)
-
Zos (A. - P i )
Cosc?^
=
CosíX
Cos ^
Cos^
-
Sen^
Sen/í
+ Sen:^
Sen/?
de l a s que se deriva:
2 Cos yt Cos/5
=
Cos (J^ + J ) + Cos ( Á - .-3)
Si se q u i e r e , mediante esta i d e n t i d a d , m u l t i p l i c a r dos números
a y b , se procede a s í : -
Supongamos primero que
-.
0<a<'1
0 / b< 1
Se h a l l a en l a s t a b l a s números c?/ y /3 t a l e s que
a = cos<?^ ,
b = cos .<? .
Se calcula -Á •>r / i
y c/ - y£
Se busca en las tablas valores de cos (w^ ^ , ^ ) y cos (A- - /^ )
y se promedian.
Este es el producto deseado:
ab =
o o s j . cos y3
Las tablas logarítmicas permiten realizar no sólo multiplicaciones sino también divisiones.
Durante más de tres siglos todos
los cálculos complicados se realizaban con logaritmos. Casi no
existió tm descubrimiento científico o avence tecnológico que no
usara este Invento en forma directa o indirecta.
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Recientemente, el uso de computadoras modernas ha hecho que las
tablas logarítmicas resulten obsoletas.
Sin embargo, la obra de Napier sigue teniendo vigencia, por las
importantes funciones que introdujo, la logarítmica y la exponencial, fxmciones que sirven para interpretar y resolver numerosos problemas en las más diversas ramas de la ciencia.
B,
Construcción de la fxmción.
Se quiere asignar a cada número x, otro número, su logaritmo, en
tal forma que si se quiere multiplicar dos números, esta operación sea correspondiente a sumar sus logaritmos. Como se va a
trabajar con sumas, tomemos valores positivos para x.
Sea
L(x) el logaritmo de x.
verifique
L(x y) =
L(X) +
Se pide que la fxmción x
L(y)
9 L(X)
(1)
Aplicando esta fxmción a x = y = 1 resxilta
L(1.1) =
L(1) =
2 L(1)
lo cual sólo se realiza si L(1) = 0.
Aún cuando no sabemos si esta función existe, supongamos que sí
y que además es derivable, o sea, L'(x) existe. Por definición:
55
L,(^)
.
lim
Jy^-^^),-
i-(^)
^
LWO
= lim
h-^0
L(xd + |)j - L(x)
h
= lim
L(x)
+
L d + ^) - L(x)
h^O
p^^ (^j
ll
=
T
L(1 + - )
lim
^
X
h-f O
h
=
-
lim
^ ^ ,
^
=
x*^
T
1 L(1 + lim
''
X
h-y O ^ .
1^X
ya que f
es fijo
Si suponemos que la derivada existe entonces el limite anterior
también existe, denotemos por c este limite, o sea
T,-™
L d + k)
lim
—*—r——*• =
k--»0
^
c
^ ..
en donde
,
h
k = —
^
Y por tanto:
L»(x) =
^ '
2.
X
Se tiene entonces que si existe una función derivable, x — i ^ L(x)
que satisfaga la ecuación (1), su derivada será — . Lo anterior
X
se cumple para cualqxiier valor de c.
Si una fxmción L(x) cumple
la ecuación (i) entonces la ecxiaclón ^ (x) = k(L(x)) también la
satisface ya que ^^ (x y) = k L(x y) = k(L(x) + L(y)) = jL (x) + ( c i y ) ,
Si L'(x) = - entonces fc_'(x)
kc
X
'
X
56
La elección más sencilla y natural de c es 1. Por lo tanto la
-I
función
X — f L(x) con L(1) = O y L'(x) = - se llama "logaritmo
X
natxiral". Esta fxmción se abrevia por ln en los libros de ingeniería y por log en los de matemática o científicos. Se utilizará la primera notación.
Atm cuando el trabajo de Napier es anterior al desarrollo del
cálculo diferencial, da la impresión de que él realizó un trabajo similar al anteriormente expuesto, axmque con diferente terminología. Reconoció que la propiedad (1) de la función impli•1
caba que la tasa de variación de ln(x)
es proporcional a - y
X
eligió el factor de proporcionalidad 1.
Sus tablas de 1614 son
tablas de logaritmos natxirales.
C.
Definición formal de la función logaritmo natural.
Se puede ahora definir la ftmción logaritmo natural de tma manera más adecuada para su manejo dentro del marco de desarrollo actual de las matemáticas y de la importancia intrínseca que ha alcanzado la ftmción como tal y no ya como herramienta para el cálculo de operaciones.
La función
nes
x—'f ln x
ln(l) = O, ^
es la fxmción que satisface las condicio-
ln(x) = ^ j para x > 0
51
EL teorema fundamental del cálculo garantiza la existencia y tmicldad de dicha función y se tiene la fómiula explícita:
A'
•1
dt
ln X =
-r-
para
xy O
\
El gráfico de y = "7 para
x 7 O
se muestra en la figura (i),
EL logaritmo natural de xm número mayor que cero es el área debajo de esa curva, tal como se indica en dicha figura.
EL gráfico
de ln X se ilustra en la figura (2).
Fig. (2)
Se debe verificar ahora que la fxmción logarítmica tiene la gráfica anterior y además que tiene la propiedad expresada en la ecuación (1), o sea que el logaritmo de xm producto es la sxima de
los logaritmos de los factores.
Teorema:
La ftmción
cóncava hacia abajo.
ln (x y) =
ln : R
?R
es continua, creciente y
Satisface además la ecuación
ln X + ln y
O j
y tiene las propiedades adicionales :
V
58
a) ln -• =
b) ln X
c) lim
ln X
=
- ln y
r ln X
para todo racional r
ln X = +*="
X-+C
d) lim ln(x) = -ctx^0+
,
^
.f
•
•
•
dm:
f-
.
•
,
• '
-,
• . ,
La fxmción ln x es continua para x ?• O porque tiene derivada,
—; creciente porque esa derivada es positiva y cóncava hacia abajo porque la segunda derivada, - -W es negativa.
Para demostrar que cumple la ecuación (1) se hará uso de dos razonamientos, para resaltar respectivamente dos hechos importantes de la fxmción, cuales son, su derivada es — y su definción
X
formal se hace con base en tm integral.
Razonamiento I :
Para y fijo sea f(x) = ln(x y) - ln x - ln y,
se debe verificar que f(x) ^ 0.
1) f(1) =
ln y - ln 1 - ln y =
- ln 1 = 0.
bastará verificar que f(x) es constante, o sea f'(x) r O,
li) Como y es constante, se tiene
fi(x) =
'
d (l"(x y) . d (x y)
ái}C^)
dx
d (ln x)
dx
d (ln y)
• dx
59
=
- ^ y - l - 0
xy '
X
= 0
como se esperaba.
Razonamiento II :
n
dt
t^
ln (X y) =
dt ,
t
dt
t
/
En la segunda integral de la derecha se sustituye t = x s y por
tanto dt = X ds; s = 1 paya t = x, s = y para t = xy, y se obtiene:
/>
dt ,
t
^
ds
xs
dt
t
—^ = ln X + ln y
s
;
/
como se esperaba.
Demostremos la propiedad a) del teorema:
•]
para y = —
se tiene:
X
1 = ln 1 = o - ln X + ln - y por
1 tanto
* ln 1
ln (x , -)
-X = - ln x
X
X
X - 1
1
pero ln — = ln (x . —) = ln x + ln - = ln x - ln y
*f
mf
J
Para obtener b) basta recordar que si n es entero positivo
n veces
n veces
ln X Y\ = ln (x,x...x) = ln x + ln x +...+ ln x = n ln x
Esto vale para n = O ya que x° = 1 y ln(1) = 0.
60
Si n es entero negativo será n = - m
, n
ln X
, - m
= ln X
=
^
=
1
ln -^
,-m =
X'
con m natural y
-,m
- ln X
=
- m ln x
n ln X
o sea que l a propiedad b) se cumple para todos l o s enteros.
Veamos ahora que se cumple para l o s racionales:
»i
Como X = ( \/~x )
, A
n
, n entero positivo
^n
ln X = ln ( V X )
o sea
n.
l n \lV X =
VI
= n ln V X
-|
"
—
ln x
n
Y en general para p natural y q entero se t i e n e :
Inx^P = m (x''/P)^ = qlnx''/P = qlnV~r
=. q(— l n x )
P
=
-^Inx
P
Para demostrar c) o sea lim ln x =•/•<», veamos que debido a
x-»+u.
que
lnx
es xma función estrictamente creciente
se tiene que
para
ln x 7 O
En particular
ln(1) = O,
ln 2 7 O y
x > 2^^ se tiene
ln X 7 1n (2") =
lim
sil x > 1.
y
ln X ^ lim
n ln 2
n ln 2 =
y para verificar d), o sea
+ ">
lim
ln x =
x-rO-*-
-'-^' t observemos que
61
1
- ln ""
ln X =
luego
lim
X-ro
D.
+
pero
ln X =
1
- =
^
lim ,
x-rO+
- lim
...
-ir tj->
1
ln — =
- c^'
X
X—»t>
EL número e .
De acuerdo con el teorema anterior, la fxmción
ln x
es continua
y toma valores arbitrariamente grandes negativos y positivos conforme X varía desde valores muy cercanos a cero positivos hasta
valores positivos arbitrariamente grandes. Es decir, el rango
de lnx es (-oc , to^).
Luego, por el teorema del valor interme-
dio, se garantiza que para todo
vo X tal que
a fc R
existe un número positi-
ln x = a y ese x es el único debido a que ln x
es estrictamente creciente.
En particular existe xm número e
tal que
._- .
ln (e) =
1 ' '
;
.^
'
Se ha establecido que e es irracional y que su valor aproximado
es
e = 2,718,,,
E.
Logaritmos en diferentes bases.
Se vló que conocida tma fxmción que satisfaga la ecuación
f(xy)
=
f(x) +
f(y)
62
cxialquier otra fxmción g, g = k f, k constante, también la satisface. Con base en esta propiedad se pueden definir logaritmos en
base a, a 7 O c.< a / 1 :
Si X es xm número positivo, log x
a
X y es el número
se lee logaritmo en base a de
log (x) = i 2 ^ •
^a ^ '
ln a
A.
:
.
Con esta definición se tiene :
log^ 1 = O
ln
^
ln
log^ (a)
=
A lo X =
1
1
dx "a
ln a x
log^ (x y) = log^ X + log^ y
log^ - = log^ X - log^ y
log„
aX
= r log^
aX
para r racional,
Para cada número real u, existe un único número positivo x
tal que log x = u.
Como ln e =
1,
' se tiene log'^ex = v"
ln ^e = ln x
por lo que e se ll£ima base de logaritmos natxirales.
63
F.
La fxmción exponencial.
La relación
a = r ln a
se demostró para r racional.
bién válida para r irracional?
Se cumple para expresiones como
—
ii~2
2
Es tam-
= if 2 ln 2?
Para que la pregunta tenga sentido definamos
lo que significa a , r real.
Definición;
a
Para todo
a 7 O y para todo
x é R
el símbolo
indica el único número cuyo logaritmo natxiral es x ln a. Por
lo tanto
ln a
=
X ln a
x ¿ B.
para todo
Ya vimos que esto concuerda con
(a)
a^, si r es racional.
La definición es correcta porque ese número existe por el teorema del valor intermedio.
Para
a = e la relación es :
ln e"'^ =
X
porque
Sea u xm número p o s i t i v o .
X = ln u.
/
ln e = 1
'
(b)
Sabemos que e x i s t e un x fc R t a l que
Aplicando (b) se t i e n e :
X =
ln u =
l n e^" ^
Como dos números diferentes no pueden tener el mismo logaritmo,
porque ln x es creciente, se tiene :
u
=
e^"^
(c)
64
También se tiene por (a) que :
X
a
X ln a
= e
Además log (a ) = x
a
(d)
ln a
ln a
logg^ (a^)
X ln a
=
ln a
porque
X
Y también
y°s^ u
=
(e)
u
porque
ambos tienen igual logaritmo en base a, ya que
log
porque
, log U\
(a a ) =
log^ (a) =
log u^ log
(a) =
log u
1,
Como resximen de ( b ) , (c) y (e) se t i e n e el siguiente resxiltado:
Para
a ^^ O, a / 1, a f i j o , l a s fxmciones
log^
(u) :
X
a
R"^
R
u
log^u
I,
:
R
R
son inversas la xma de la otra.
En particular lo son las funciones:
65
ln (u) :
R"*"
9R
u
>• ln u
e^ : R
X
1'
R"^
i
X
i^ e
O sea que se retoma aquí la definición de bachillerato de que el
logaritmo de xm número en base a, es la potencia a la que se debe elevar a para obtener ese número.
G, Lgyes de exponentes.
Son fáciles de comprobar, demostrando que su logaritmo es el mismo.
Estas son:
1) a^ + y = a^ . a^
2) a^ - y = ^
. .
^
y
3)
(a^)^ = a^ y
4)
(ab)^ =
a'' b^
Veamos la demostración de 1) como ejemplo:
T •
ln (a^ "*" y) =
(x + y) ln a = x ln a + x ln y = ln a^ + ln a^
66
H.
La derivada de las funciones exponenciales.
„
d X
Veamos que "w ^ =
para
a 7 O,
^^ a
X
^
=
y que
(ln a) a^
Usando el teorema de derivación de fxmciones Inversas:
e
dx ^
=
du
áx
'
u -v'=^ X
1
=
ln u
1
d ( l n u)
du
-
dx
du
1
1
u
Usando ahora la regla de la cadena:
, , ,
_d, X _
dx
j X l n a
d e
dx
X ln a
=
e
como se entmcio,
_
, / x l n a s
d (e
)
d ( x l n a)
/T
\
. ( l n a)
=
^
*
j / -,
\
d(x l n a)
dx
/,
\ x
( l n a) a
X
u - e