Problemas sobre lugares geométricos y cónicas -1-

Problemas sobre lugares geométricos y cónicas
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1.- Halla las ecuaciones de los siguientes lugares geométricos:
(a) Mediatriz del segmento de extremos A=(-5,-3), B=(7,1). Comprueba que es una recta perpendicular al
segmento en su punto medio.
(b) Mediatriz del segmento de extremos A=(-3,4), B=(1,0).
(c) Bisectrices de los ángulos formados por las rectas r: 5x+y+3=0 y s: x-2y+16=0.
(d) Bisectrices de los ángulos formados por las rectas r: 4x+3y-5=0 y s: 3x+4y-2=0. Comprueba que las
bisectrices son dos rectas perpendiculares que se cortan en el mismo punto que r y s.
(e) Circunferencia de centro C=(-3,4) y radio 5. Comprueba que pasa por el origen de coordenadas.
(f) Circunferencia de centro C=(-3,0) y radio 7.
2.- Halla, en cada caso, el lugar geométrico de los puntos que equidistan de A y B:
(a) A=(5,-3), B=(2,0)
(b) A=(3,5), B=(-4,5)
(c) A=(2,7), B=(2,-1)
3.- Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan de las rectas:
r: 3x-5y+11=0
s: 3x-5y+3=0
Interpreta las líneas obtenidas.
4.- Halla las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que forman las rectas r: 4x-3y+8=0 y s: 12x+5y-7=0
5.- Halla las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas r1: x=3 y r2: 3x-4y+1=0
6.- ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos que distan 5 unidades del punto P=(-3,2)?
7.- Halla la ecuación que cumplen todos los puntos cuya distancia al origen de coordenadas es 5. Represéntala.
8.- Halla el lugar geométrico de los puntos P(x,y) cuya diferencia de cuadrados de distancias a los puntos A=(0,0)
y B=(6,3) es 15. ¿Qué figura obtienes?
9.- Halla el lugar geométrico de los puntos P(x,y) cuya diferencia de cuadrados de distancias a los puntos A=(4,2)
y B=(-2,5) es 15.
10.- Halla el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a la recta 4x-3y+11=0 es 6.
11.- Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya distancia a la recta y=3 es igual al valor absoluto
de la suma de sus coordenadas. Representa las líneas obtenidas.
12.- Halla la ecuación de la circunferencia de centro (-5,12) y radio 13.
13.- Halla la ecuación de la circunferencia de centro (3,-2) y radio 4.
14.- Escribe las ecuaciones de las circunferencias de centro C y radio r
a) C=(0,0), r= 5
b) C=(2,0), r=
5
2


c) C=   2,
1
 3
 , r=
2
2 
Problemas sobre lugares geométricos y cónicas
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15.- Averigua cuáles de las siguientes expresiones corresponden a circunferencias y, en ellas, halla su centro y su
radio:
(a) x2+y2-8x+2y+10=0
(b) x2-y2+2x+3y-5=0
(c) x2+y2+xy-x+4y-8=0
(d) 2x2+2y2-16x+24=0
(e) x2+y2+6x+10y=-30
(f) x2+y2-4x+6=0
(g) 3x2+3y2-12x+6y-12=0
(h) x2+y2+4x-6y+13=0
16.- ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos del plano cuyo cociente de distancias a los puntos M=(6,0) y
N=(-2,0) es 3?
17.- ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos del plano cuyo cociente de distancias a los puntos A=(0,0) y
B=(6,3) es 2?
18.- Aplica dos métodos diferentes que permitan decidir si la recta r: 4x+3y-8=0 es exterior, tangente o secante
a la circunferencia (x-6)2+(y-3)2=25.
19.- Calcula la distancia del centro de la circunferencia x2+y2-2y-1=0 a la recta r: 2x-y+3=0. ¿Cuál es la posición
de r respecto a la circunferencia?
20.- Estudia la posición de la recta x+y=0 con relación a la circunferencia x2+y2+6x+2y+6=0
21.- Estudia la posición de la recta y=x con relación a la circunferencia x2+y2-8x+2y+1=0
22.- Estudia la posición relativa de la circunferencia C: x2+y2-6x-4y-12=0 respecto a las rectas:
s1: 3x-4y-26=0
s2: 5x-8y+60=0
s3: 3x-4y-1=0
s4: x=5
Halla los puntos de corte y de tangencia, si los hubiera.
23.- Halla la posición relativa de C: x2+y2-6x+8y=0 respecto a las rectas:
r1: x+y=10
r2: 4x+3y+20=0
r3: 3x-4y=0
r4: y=-2
24.- Halla la posición relativa de la circunferencia C: x2+y2-6x-4y+9=0 respecto de cada una de las siguientes
rectas: r1: 2x-y-2=0
r2: x+y-1=0
r3: 3x-4y+9=0
25.- ¿Para qué valores de b la recta y=x+b es tangente a la circunferencia x2+y2=9?
26.- ¿Para qué valor de b la recta y=x+b es tangente a la circunferencia x2+y2=1?
27.- Consideramos la circunferencia C: x2+y2-2x=0 y la recta 3x-4y+k=0. Calcula los valores que debe tomar k
para que r sea secante, tangente o exterior a la circunferencia.
28.- Halla la posición relativa del punto P=(7,-4) respecto a las circunferencias:
(a) C1: De centro O=(1,4) y radio 12.
(b) C2: x2+y2-8x+3y+12=0.
29.- Halla la posición relativa del punto P=(-3,8) respecto a las circunferencias:
(a) C1: De centro O=(4,-3) y radio 20.
(b) C2: x2+y2-14x+20=0.
Problemas sobre lugares geométricos y cónicas
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30.- Halla la posición relativa de la circunferencia C: x2+y2-6x-4y+9=0 respecto de los puntos:
(a) P=(5,2)
(b) Q=(2,1)
(c) R=(-1,0)
31.- Halla los puntos de intersección de cada pareja de circunferencias y di cuál es su posición relativa:
x2+y2-6x-16=0
x2+y2=4
(a)
(b)
x2+y2-6x-4y+9=0
x2+y2-6x+2y+9=0
32.- Halla la longitud de la cuerda común a las circunferencias de ecuaciones:
x2+y2-4x+2y-4=0
x2+y2-4=0
33.- Escribe las ecuaciones de las siguientes circunferencias:
(a) Centro en C=(-2,1) y pasa por P=(0,-4)
(b) Centro en C=(1,-3) y pasa por A=(5,0)
(c) Uno de sus diámetros es el segmento AB siendo A=(1,2) y B=(3,6).
(d) Centro en C=(-1,-5) y es tangente a la recta x-4=0.
(e) Centro en C=(3,5) y es tangente a la 4x+3y-2=0
34.- Halla las ecuaciones de las siguientes circunferencias:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
35.-
Pasa por A=(0,1) y B=(-1,0) y su radio es 5
Pasa por el origen de coordenadas y por los puntos A=(4,0) y B=(0,3)
Pasa por los puntos P=(10,0), Q=(10,24) y R=(17,7)
Pasa por A=(-2,0), B=(0,4) y C=(-4,1)
Tiene su centro en la recta x-3y=0 y pasa por los puntos (-1,4) y (3,6)
Pasa por los puntos (1,3) y (3,5) y tiene el centro en la recta x+2y=3.
(a) Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C=(-1,1) y es tangente a la recta 3x-4y-3=0
(b) De todas las rectas paralelas a la bisectriz del primer cuadrante, encuentra las que sean tangentes a la
circunferencia hallada en el apartado anterior.
36.-
(a) Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C=(3,2) y una de cuyas rectas tangentes
tiene por ecuación 4x-3y-5=0.
(b) Determina si el punto X=(3,3) es interior, es exterior o está en la circunferencia.
37.- Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por (-3,2) y (4,1) y es tangente al eje OX.
38.- Determina la ecuación de la circunferencia de radio 10 que, en el punto (7,2), es tangente a la recta
3x-4y-13=0.
39.- Halla la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo de lados:
y=0
3x-4y=0
4x+3y-50=0
40.- Halla la ecuación de la elipse de focos F=(4,0), F’=(-4,0) y cuya constante es 10. Escribe sus elementos
característicos.
41.- Una elipse tiene sus focos en los puntos F=(5,0), F’=(-5,0) y su constante es k=26. Halla sus elementos
característicos y su ecuación reducida. Represéntala.
Problemas sobre lugares geométricos y cónicas
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42.- Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a P=(-4,0) y Q=(4,0) es 10.
43.- Escribe la ecuación de la elipse que tiene por focos los puntos F’=(0,-1), F=(0,1) y cuya constante es 4. Halla
sus elementos característicos.
44.- Halla las ecuaciones de las elipses determinadas de las formas siguientes:
(a)
(b)
(c)
(d)
Focos (-2,0), (2,0). Longitud del eje mayor, 10.
F’=(-3,0), F=(3,0) y cuya excentricidad es igual a 0’5.
F’=(-4,0), F=(4,0) y cuya excentricidad es igual a 0’8.
Eje mayor sobre el eje X, 10. Centro en el origen de coordenadas. Pasa por el punto (3,3)
(e) Eje mayor sobre el eje Y, 2. Centro en el origen de coordenadas. Excentricidad, 1 .
2
(f) F’=(-1,2), F=(3,2) y cuya excentricidad es igual a 1 .
3
(g) F=(3,2), F’=(1,-2) y cuya constante es 6.
45.- Halla la ecuación de la elipse que pasa por el punto (3,1) y tiene sus focos en (4,0) y (-4,0).
46.- Escribe la ecuación de una elipse con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de abscisas,
sabiendo que pasa por el punto P=(8,-3) y que su eje mayor es igual al doble del menor.
47.- Halla los vértices, los focos, las excentricidades, y representa las elipses cuyas ecuaciones son:
2
2
(a) x  y  1
100 36
2
2
(b) x  y  1
64 100
(e) 9x2+4y2=3
2
2
(c) x  y  1
16
36
2
(d) 9x +25y2=25
(f) x2+4y2=4
48.- Representa, di su excentricidad y escribe los elementos característicos de:
( x  3) 2 ( y  2) 2

1
25
9
( x  3) 2 ( y  2) 2
(e)

1
9
25
2
2
(f) ( x  2)  ( y  1)  1
16
25
( x  5) 2 ( y  2) 2

1
16
4
( x  3) 2 ( y  7) 2
(b)

1
16
64
2
(c) ( x  3)  y 2  1
25
(a)
(d)
49.- Halla los puntos de intersección de la elipse
pasa por los focos.
x2 y2

 1 con la circunferencia cuyo centro es el origen y
25 9
50.- Calcula la longitud de la cuerda definida por la elipse x2 +3y2=28 y la recta 5x+3y=14.
51.- Identifica las siguientes cónicas, calcula sus elementos característicos y dibújalas:
(a) 4x2+9y2=36
(b) 25x2+9y2-225=0
(c) 9x2+9y2=25
(d) (x-3)2+3y2=9
(e) 25x2+144y2=900
52.- Halla el lugar geométrico de todos los puntos del plano tales que su distancia al punto (4,0) es igual a la
mitad de la distancia a la recta x-16=0. ¿Reconoces la figura que se obtiene?
Problemas sobre lugares geométricos y cónicas
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53.- Halla el lugar geométrico de todos los puntos del plano tales que su distancia al punto (4,0) es el doble de la
distancia a la recta x=1. ¿Reconoces la figura que se obtiene?
54.- Halla el lugar geométrico de los puntos P=(x,y) tales que el producto de
las pendientes de las rectas
trazadas desde P a los puntos A=(-2,1) y B=(2,-1) sea igual a 1. ¿Reconoces la figura que obtienes?
55.- Halla el lugar geométrico de todos los puntos P=(x,y) del plano cuya suma de cuadrados de distancias a los
puntos A=(-3,0) y B=(3,0) es 68. ¿Reconoces la figura que se obtiene?
56.- Halla analíticamente el lugar geométrico de los puntos del plano cuyo cociente de distancias a P=(4,0) y a r:
x=
25
es 0’8. Reconoce y representa la curva obtenida.
4
57.-
(a) Considera el lugar geométrico de los puntos del plano que son centro de las circunferencias que pasan
por los puntos P=(4,0) y Q=(0,2). Halla su ecuación. ¿Qué figura obtienes?
(b) El origen de coordenadas pertenece a una circunferencia de longitud 6  . Calcula el centro de esta
circunferencia si imponemos que debe ser un punto del lugar definido en el apartado (a).
58.- Dibuja las siguientes figuras:
2
2
4
9
(a) x  y  1
(c) x 2 
2
(b)
x
 y 1
4
(d)
y2
1
4
x2
 y2  0
4
(e)
(f)
x2 y2

1
4
4
x2
 y2  0
4
x
 y 1
4
x2
(h)
 y0
4
(g)