3. Problemas resueltos Matrices

Unidad 1: Matrices.
¿Cómo deben ser las matrices rectangulares M y N para que puedan efectuarse las multiplicaciones M.N y N.M?. Razonarlo.
Si el orden de la matriz M es (m,n) y el de la matriz N es (p,q).
Para poder multiplicar M·N , el numero de columnas de M debe ser igual al número
de filas de N, es decir n = p.
De igual forma, para poder multiplicar N·M, el numero de columnas de N debe ser
igual al de filas de M, es decir q = m
Por tanto, para poder multiplicar la M·N y la N·M a la vez, deberá verificarse que el
orden de M sea (m,n) y el orden de N sea (n,m) respectivamente.
Comprobar con las matrices indicadas que:
a) (B+C) ·A= B·A + C·A ; b) (5·A) ·B = 5 · (A · B)
a)
1
a) Para comprobar A2 + I = O  calculamos A2

Como pide una matriz B
Si x = 1 ; t = - 1
y
12 + yz = - 1  yz = -2
Si y = 1  z = - 2
2
Dada la matriz A, ¿existe una matriz B, tal que el producto A.B, o
bien el B.A, sea una matriz de una sola fila?.
Poner un ejemplo con
Siendo B de dimensiones (p,q) y A de dimensiones (3,4)
Si multiplicamos A·B será necesario que el nº de filas de B sea igual al nº de
columnas de A, es decir que p = 4
Esto nos indica que no existe ninguna matriz B de una sola fila.
Si multiplicamos B·A será necesario que el nº de columnas de B sea igual al nº de
filas de A, es decir que q = 3 y para que el resultado de B·A tenga una sola fila, será
necesario que la matriz B posea una sola fila, es decir p = 1
En este caso la matriz B tendrá de dimensiones (1,3)
Si tomamos B = (1 0 0) y multiplicamos B.A nos queda:
3
A·P= P·A
Solo valen
 0 0

A1  
0 1
1 1

A2  
0 0
1 2  a b   a b  1 2
 a  2c b  2d   a 2a  b 
  
  
  
  


b) 
d   c 2c  d 
0 1  c d   c d  0 1
 c
b + 2d = 2a + b ; 2d = 2a ; a = d  b
a b
 a, b  
P  
0 a
4
tal que:
a b 

Sea X  
c d 
0
A  X  
1
a
X  A  
c
A + X = A·X + X·A.
0 1  a b   a 1 b
  
  

A  X  
d 
 1 0   c d  1  c
1  a b   c d 



0   c d   a b 
b  0 1  b a



d   1 0   d c 
Si A+ X = A·X + X·A
=>
c  d
A  X  X  A  
a  d
 a 1 b  c  b


d   a  d
1  c
d  a

b  c 
d  a
 
b  c 
1 + b = 2a  b = 2a – 1
2a  1
 a
 a  
La matriz X  
a 
 2a  1
Dada la matriz A=
encontrar todas las matrices P =
tales que AP = PA
(PAU Junio 2005-06).
Se desea que
Por tanto debe cumplirse que:
Por tanto,
=>
, donde a y b son numeros cualesquiera
5
b) Hallar todas las matrices simétricas de segundo orden, que
verifiquen que A2 = I, siendo I la matriz unidad.
1  3
 2 0 1   2 0 1   4

 
 

a) P   1 0  2    1 0  2     2  2 3 
 0 1  1   0 1  1   1  1  1

 
 

2
 4 0 2 


2P   2 0  4 
 0 2  2


1  3    4 0 2   3 0 0   11 1  5 
 4

 
 
 

M    2  2 3    2 0  4   0 3 0    4 1
7 
 1  1  1  0 2  2  0 0 3  1  3 4 

 
 
 

a c

b) A  
 c b
A2 = I
 a c   a c  1 0

  
  
 ;
 c b  c b 0 1
 a 2  c 2 ac  cb   1 0 


 ca  bc c 2  b 2    0 1 


 
Si c = 0
a2  1
b2  1

a  1
b  1
Si a = - b  b2 + c2 = 1 ;
1 0 1 0 

 , 
 ,
 0 1   0 1
c   1  b2
 1 0  1 0 

 , 

 0 1   0  1
 b
A
  1  b2

 1  b2
b

 b  [1,1]


6
Dada una matriz P , a) ¿existe una matriz Q tal que el producto
P·Q, o bien el producto Q·P sea una matriz de una sola fila?. b) Calcular la matriz M = P2 – 3P- 2 I, siendo I la matriz identidad de orden 2
y P=
a) Pnxm · Qpxq = A1x q
Siempre que m = p y n = 1
P1x m · Qmxq = A1x q
  1 3   1 3
  1 3
1 0
  
  3  
  2  
 
b) M = P2 – 3P – 2I = P·P – 3P – 2I = 
 2 1  2 1
 2 1
0 1
 7 0   3 9  2 0  8  9
  
  
  

= 
 0 7   6 3  0 2    6 2 
Dadas las matrices
 1 2 3  x   7 

    
 3 2 1   y    9 
1 1 1  z   4

    
x  2 y  3z  7 e2  3e1
3x  2 y  z  9 
e3  e1
x yz 4
x  2 y  3z  7
x  2 y  3z  7

y  2z  3
y  2z  3
e3  e 2
 y  2 z  3
0z  0
x  2 y  3z  7
 4 y  8 z  12
 y  2 z  3

e3  e 2
sistema compatible indeterminado
Las infinitas soluciones son
7
(PAU Junio General 2009-10)
1 1  1 1   2  1
  
  

A 2  
1  2  1  2    1 5 
a   b 0   2  1  a  b
a 
 2  1  a

  
  
 
  

 2a  b 
  1 5   a  2a   0 b  ;   1 5   a
A3 = A2 · A = ( aA +bI ) A = a A2 + bA =
 2  1 1 1    2 1   3 3   1 4 
  3
  
  
  

 1
  1 5  1  2   1  5   3  6   4  11
A4 = A2 ·A2 = ( -A +3I ) ( -A +3I ) = A2 - 3A - 3A + 9I = A2 - 6A + 9I =
 2  1
  6
 
 1 5 
1 1 
1 0  5  7

  9 
  

1  2 
 0 1    7 26 
A5 = A3·A2 = ( - A2 + 3A ) ( -A + 3I ) = A3 - 3A2 - 3A2 + 9A =
=A3 - 6A2 + 9A =
1 4 
 2  1
1 1   1 4   12  6   9 9    2 19 
  6 
  9 
  
  
  
  

 
 4  11
 1 5 
1  2   4  11   6 30   9  18   19  59 
8
a) Calcular la matriz
b) Haciendo uso del apartado anterior, determinar
2  1  1 0 0   1
2  1
2

 
 

a) A  I    1  1 1    0 1 0     1  2 1 
 1  2 2  0 0 1  1  2 1 

 
 

A  I 
2
b)
2  1  1
2  1  0 0 0 
1

 
 

  1  2 1    1  2 1    0 0 0
 1  2 1   1  2 1   0 0 0

 
 

A4 = A2·A2
Calcularemos A2 partiendo de (A – I )2
(A – I )2 = (A – I ) · (A – I) = A2 - A · I – I · A + I2 = A2 – 2A + I
Como (A – I )2 = 0
 A2 – 2A+ I = 0

A2 = 2A– I
A4 = ( 2A – I ) · ( 2A – I ) = 4A2 – 2A·I – 2·I·A + I2 ;
A4 = 4A2 – 4A + I = 4A · (A – I) + I
2  1  1
2  1  1 0 0 
2  1  1 0 0 
2
1







 

A4  4    1  1 1     1  2 1    0 1 0   4    1  2 1    0 1 0  
 1  2 2   1  2 1  0 0 1
 1  2 1  0 0 1

 
 


 

8  4 1 0 0  5
8  4
 4

 
 

   4  8 4    0 1 0    4  7 4 
  4  8 4  0 0 1   4  8 5 

 
 

9
a) Para poder multiplicar Xnxm· A2x2 = B2x3 / m = 2
a

b) X   c
e

b

d
f 
a

c
e

y n=3
b
1 2
 2a  3b a  b   1 2 
  2 1 


 

   3 4    2c  3d c  d    3 4 
d   
3 1 

 2e  3 f e  f   5 6 
f  
5 6

 

2a  3b  1
ab  2
2a  3b  1
 2a  2b  4
b = -3 ; a = 2 – b ; a = 2 + 3 ; a = 5
2c  3d  3
cd 4
2c  3d  3
 2c  d  8
d = -5 ; c = 4 – d ; c = 4 + 5 ; c = 9
2e  3 f  5
e f 6
2e  3 f  5
 2e  2 f  12
 5  3


X   9  5
13  7 


f = -7
; e = 6 – f ; e = 6 + 7 ; e = 13
y es única
10
Dadas las matrices:
y
a) Hallar A10. b) Hallar la matriz inversa de B. c) En el caso
particular de k=0, halla B10.
(PAU Septiembre 2004-2005)
a) A2=
=
A3 =
=
=O
A4 = A3 x A= O x A = O ; y lo mismo A5 , A 6 … por tanto A 10 =
b) |B| =
= 1;
;
(Bd)t =
Es una matriz triangular, |B|= 1·1·1 = 1
Bd=
B-1=
B2 =
c)
B3 =
=
B4 =
=
Bn =
;
;
(Bd)t =
=
B10 =
11
Determinar los valores x, y, z para que se verifique la igualdad:
1

x
y 1

x   y
1  y 2

 x  yz

x   5 0


x   0 5 
Multiplicamos las dos primeras matrices y queda que
x  yz   5 0 

 Igualando los cuatro términos de ambas matrices
x 2 y 2   0 5 
llegamos a un sistema de ecuaciones.
z = 1  x =  2
x=-2
x=2
y=2 z= 1
y=2
z=-1
z=  1  x=  2
x=2
x=-2
y=-2 z=1
estas son las 4 posibles soluciones que
verifican la igualdad matricial.
y=-2 z=-1
12
Encontrar los valores x, y , u y v que verifican:
 2 x  3u 2 y  3v    4 0 

  

x
y
1
3

 

Hallar los productos A ∙ B y B ∙ A para las matrices
1 3 1  2 1 0  8 0 7

 
 

A  B   2 0 4    1  1 2   16 10 4 
 1 2 3   3 2 1  13 5 7 

 
 

 2 1 0 1 3 1  4 6 6 

 
 

B  A   1  1 2    2 0 4    1 7  3
 3 2 1   1 2 3   8 11 14 

 
 

No son conmutativos
13
Hallar todas las matrices X de la forma
2
 a 1 0  a 1 0  a

 
 
 0 b 1   0 b 1   0
0 0 c 0 0 c  0

 
 

Si
Si
Si
Si
1  a 2  a  1
0  ab
b 2  b;
1 bc
tales que
ab
1   1 0 1
 

2
b
b  c    0 b 1
0
c   0 0 c 
b·(b-1) = 0  b = 0, 1
a = 1 y b = 0  0 = 1 + 0 No vale
a = 1 y b = 1  0 = 1 + 1 No vale
a = -1 y b = 0  0 = -1 + 0 No vale
a = -1 y b = 1  0 = - 1 + 1 Si vale y la c = 1 – b = 1 – 1  c = 0
 1 1 0


A   0 1 1
 0 0 0


14
Hallar
+Y siendo X e Y matrices que verifican:
Primero resolvemos el sistema en x e y
0
 2 0
 6
  15 X  9Y  

5 X  3Y  
 1 5
  1  5
  4 15 
  12 45 
  Y  

 Y  
0 
5 
 1  1
 5
  2 0
2
  15 X  10Y  

3 X  2Y  
 2 9 
 10  45 
 1  1
 1  5
 3 9
 1 3
1  3 9
  2  
 ; 3X  
  X   
 ; X  

3X  
3   6 9
 2 9 
2 0 
  6 9
  2 3
 1 3   1 3    1  5    5 12    1  5    6 7 
  
  




X 2  Y  
0    8 3   2
0    6 3 
  2 3   2 3  2
Obtén las matrices A y B que verifican el sistema:
2A  B  X
2A  B  X
1

 7B  X  2Y  B   X  2Y 
7
A  3B  Y
 2 A  6 B  2Y
2A  B  X
6 A  3B  3 X

A  3B  Y
A  3B  Y
 7 A  3X  Y  A  3 X  y 
B
1  1 2 2    8  6  4  1 10 8 6 

  


7   2 1 0    2 0  2  7  0 1 2 
A
1  3 6 6   4  3  2 1  1 3 4 
 
  


7   6 3 0    1 0  1  7   7 3  1
1
7
15
Resolver el sistema matricial:
  1 3

2 X  3Y  
 2 5
0  9

9 X  3Y  
3 6 
 1  6
1  1  6
 X  

11X  
11  5 11 
 5 11 
 0  3
 0  3
1  1  6
  Y  
  3   

3 X  Y  
11  5 11 
1 2 
1 2 
3
 0  3   11
  
Y  
 1 2   15
 11
 18   3
 
11    11
4
3  
  11
 15 

11 
 1 

Sea A la matriz de una sola fila
sola columna
y sea B la matriz de una
. ¿Se pueden multiplicar A · B y B · A ?
A1x3 y B3x1 luego es multiplicable
 3
 
A  B  2 1 5   2   2  3  1  2  5  4  28
 4
 
B3x1 y A1x3 luego son multiplicables
 3
 6 3 15 
 


B  A   2   2 1 5   4 2 10 
 4
 8 4 20 
 


A.B  B.A
16
Hallar An , siendo n un número natural
Sea A la matriz
arbitrario. Calcular
(PAU MODELO 2008-09)
 1 1  1 1  1 2 
  
  

A 2  A  A  
 0 1  0 1  0 1 
 1 2   1 1  1 3 
  
  

A3  A 2  A  
 0 1   0 1  0 1 
 1 3   1 1  1 4 
  
  

A 4  A3  A  
 0 1   0 1  0 1 
Se observa fácilmente que el a11 =1 siempre, el a21 = 0 y el a22 = 1 .El único que
cambia es el a12 pero sigue una ley de recurrencia ya que su valor coincide con el
exponente de la A.
1 n
 1 5
 Si damos n =5  A5  

A n  
0 1
 0 1
 1 4   1 1  1 5 
  
  

Comprobamos que A5  A 4  A  
0
1
0
1
0
1

 
 

Como lo verifica para n= 5, lo verificara para cualquier n
Sea A una matriz cuadrada. Si A2 + 2A+ I = 0, donde I es la
matriz unidad, comprobar que A es invertible.
Una matriz es invertible siempre y cuando A  0
El problema surge de que tenemos que partir de la ecuación matricial A2 + 2A + I = 0
A2 + 2AI + I = 0 ;
A· (A +2I ) + I =0
A · (-1) · (A + 2I ) = (-1) · (-I )
A-1 · A · (- A - 2I ) = A-1 · I ;


I
A-1
A-1 = - A - 2I
A· ( A + 2I ) = - I
A · (- A – 2I ) = I
;
multiplicando a la izda por A-1
I · (- A – 2I ) = A-1
La inversa de A se obtiene restándole a la matriz - A, la matriz 2I
17
Sea la matriz
Hallar la ley de formación para las
potencias sucesivas de A, calcular An y demostrarlo por inducción.
1
A 2  A  A  
0
1
A3  A 2  A  
0
1 1 1 1


2   0 2   0
3 1 1 1


4   0 2   0
 1 2 n  1

A  
2 n 
0
n
3   1 2 2  1


4   0
2 2 
7   1 2 3  1


8   0
2 3 
Comprobación para n = 4
 1 2 4  1

A  
2 4 
0
4
 1 7   1 1   1 15 
  
  

A 4  A3  A  
 0 8   0 2   0 16 
Hallar a y b para que A2 = I.
Sea la matriz
2
2
 a b b   a b b   a  2b


 

A 2  A  A   b a b    b a b    2ab  b 2
 b b a   b b a   2ab  b 2

 
 
a 2  2b 2  1
2ab  b 2  0
Si b = 0

2ab  b 2
a 2  2b 2
2ab  b 2
 2ab  b 2  0  b  2a  b  0
a2 + 2.02 = 1 ; a2 = 1 ;
2ab  b 2   1 0 0 
 

2ab  b 2    0 1 0 
a 2  2b 2   0 0 1 
b0
2a  b  0  b  2a
a = ±1
Si b = -2a  a2 + 2 (4a2) = 1 ; a2 + 8a2 = 1 ; 9a2 = 1 ; a2 = 1/9
b  0  a 1
b  0  a  1
Soluciones: a  1  b   2
3
3
a 1 b 2
3
3
 1 / 3  2 / 3  2 / 3


A    2 / 3 1 / 3  2 / 3
  2 / 3  2 / 3 1/ 3 


;
a = ± 1/3
1 0 0
1 0 0 




A   0 1 0 ; A   0 1 0 
0 0 1
 0 0  1




  1/ 3 2 / 3 2 / 3 


A   2 / 3  1/ 3 2 / 3 
 2 / 3 2 / 3  1 / 3


18
Sea la matriz fila
: a) Hallar Xt. b) Hallar A = Xt.X
c)Comprobar que la matriz A no tiene inversa.
1
 
a) X   2 
 3
 
t
1
 1 2 3
 


b) A  X  X   2   1 2 3   2 4 6 
 3
 3 6 9
 


t
c) A no tiene inversa porque |A| = 0 , ya que tiene las 3 filas proporcionales.
Sea
. Encuentra una matriz cuadrada triangular B tal
que B · Bt = A. ¿Es única la matriz B?.
a b
 una matriz triangular de dimensión 2x2
Sea B  
0
c


a o
 Como B · Bt = A 
Su traspuestas será : B t  
b c
 a b   a 0  10 2 

  
  

0
c
b
c
2
4

 
 

a 2  b 2  10
bc  2
 c=±2
c2  4
Si c = 2 ; b = 2 / c = 2 / 2  b = 1 ;
a2 + 12 = 10  a2 = 9 a = ± 3
Si c = - 2 ; b = 2 / -2  b = -1 ;
a2 + (-1)2 = 10  a2 = 9 a = ± 3
3 1

Hay 4 soluciones diferentes 
0
2


 3 1 3 1

 

0

2
0
2


 
  3 1


0

2


19
Sea una matriz cuadrada A de orden n tal que A 2 = A, sea I la
matriz unidad de orden n y sea B = 2A – I, calcular B2 .
A2  A
B  2A  I
B2 = B · B = (2·A – I) · (2.A – I) = 4 ·A2 – 2·A·I – 2·I·A + I2
B2 = 4·A – 2·A – 2·A + I = I
Sean A, B y C matrices cuadradas de orden n. Si se verifica que 1
A· B = A· C. ¿Se puede concluir que será B = C? Si no es así, mostrarlo
con un ejemplo sencillo.
No se puede asegurar que B = C en cuanto que la matriz A no posea matriz
inversa, y esto sucederá cuando el determinante de A sea cero.
1 0
1 0 
1 0
 B  
 y C  
 en donde el A  0
Sea A  
0
0
0
1
1
1






 1 0  1 0   1 0 
  
  

Si multiplicamos A  B  
 0 0  1 1   0 0 
1 0 1 0 1 0
  
  

Si multiplicamos A  C  
 0 0  0 1  0 0
1 0

Como podemos observar el A  B  A  C  
 0 0
mientras que B  C
20
Sean A y B las matrices
Hallar
(A + B) 2 y A2 + 2AB + B2. ¿Se obtiene el mismo resultado?
 1  2  4 0 5  2
  
  

A  B  
 2 0    1 3 1 3 
;
5  2   5  2   23  16 
  
  

7 
1 3  1 3   8
 A  B 2  
 1  2  1  2   3  2
  
  

A 2  
 2 0   2 0   2  4
 1  2  4  0
 6  6  12  12 
  
  2  
  

2 A  B  2  
 2 0   1 3 
 8 0  16 0 
 4 0   4 0   16 0 
  
  

B 2  
  1 3   1 3   7 9
  3  2  12  12   16 0   25  24 
  
  
  

A 2  2 A  B  B 2  
5 
 2  4  16 0    7 9   11
Como se puede observar:
(A + B) 2  A2 + 2AB + B2
Se comprueba que:
(A + B) 2 = A2 + A·B + B·A + B2
Sean las matrices:
matriz X tal que
X·A·
Hay que eliminar la
. Hallar una
=B
multiplicando por X por la derecha de los términos.
=>
21
Sean las matrices
Hallar a) 3 · A - 2 · B ; b) A - 2 · (A + B) ; c) A – 9 · B ; d) 9 · A – B
a)
 1 2 6 
 3 0 4    3 6 18   6 0 8    9 6 10 
  2  
  
  
  

3  
 0 1  4
 9 2  3   0 3  17  18 4  6    18  1  6 
 1 2 6 
 2 2 10    1 2 6   4 4 20 
  2  
  
  
 
b) A  2   A  B   
 0 1  4
 9 3  7   0 1  4  18 6  14 
  5  2  14 

 
  18  5 15 
 30 
  1 2 6   27 0 36    28 2
  
  

c) A  9  B  
 0 1  4   81 18  27    81  17 23 
  9 18 54   3 0 4    12 18 50 
  
 = 

d) 9  A  B  
 0 9  36   9 2  3    9 7  33 
22
Sean las matrices
Hallar: a) A∙ B , b) B ∙A , c) A² d) B² , e) (A∙B) ² , f) A² ∙ B² . ¿Se
obtiene el mismo resultado en e) y en f) ?
  1 2 0   5 4 3    7  4 13 

 
 

a) A  B   1 3 9     1 0 8     7 13 63 
  4 1 2    1 1 4    23  14 4 

 
 

 5 4 3    1 2 0    13 25 42 

 
 

b) B  A    1 0 8    1 3 9     31 6 16 
  1 1 4    4 1 2    14 5 17 

 
 

4 18 
 1 2 0  1 2 0   3

 
 

c) A   1 3 9    1 3 91    34 20 45 
  4 1 2    4 1 2    3  3 13 

 
 

2
d)
e)
f)
No se obtiene el mismo resultado, debido a la no conmutatividad de matrices
23
Se considera la matriz
donde a, b y c son tres
números reales arbitrarios. Encuentra An para todo numero natural
n.
An = O para todo numero natural n
Se consideran las matrices
Calcular B3 ,
b)
Calcular A4 haciendo A = B + I
A4 = (B + I)4 = B4 + 4.B3.I + 6.B2.I2 + 4.B.I3 + I4 =
=
24
Se sabe que la matriz A =
Verifica la
igualdad A² = A + I, siendo I la matriz identidad.
Calcular A-1 y A4
Partiendo de A² = A + I  A·A = A + I  multiplicamos a la derecha por A-1 los dos
miembros
A.A.A-1 = (A + I) · A-1 ; A · I = A · A-1 + I· A-1
I
I
A = I + A-1
 A-1 = A - I
3
 0

4
 7
A-1 = 
9 2

 2
5

2 1 1 0
 
1  6  0 1

1 7  0 0
 
3  3   0 0
0
0
1
0
0  1 3
 
0  7
3


0
9 2
 


1  2
5
2 1

1  6
0 7 

3  4 
A4 = A2 · A2 = (A + I)· (A + I) = (A + I)· A + (A + I) · I=
A ·A + I · A + A · I + I · I = A2 + A + A + I = A + I + 2A + I = 3A + 2I =
3
 0

4
 7
3· 
9 2

 2
5

2 1 1 0
 
1  6  0 1
2
1 7  0 0
 
3  3   0 0
0
0
1
0
0  2
9
 
0   21 14

0    27  6
 
1   6
15
6 3 

3  18 
5 21 

9  7 
25
¿Tiene la propiedad conmutativa la multiplicación de matrices
cuadradas?. ¿Y la de matrices rectangulares?. Mostrar ejemplos
sencillos.
El producto de dos matrices no cumple siempre la propiedad conmutativa.
Si las matrices M y N no son cuadradas, para que se puedan multiplicar M·N y N·M
deberán ser de dimensiones (m,n) y (n,m) y entonces
M·N será de dimensiones (m,m)
N·M será de dimensiones (n,n)
Por tanto la pregunta solo tiene sentido cuando m = n, es decir para matrices
cuadradas del mismo orden.
Ahora bien, si tomamos dos matrices cualesquiera de orden 2, podemos ver que no
conmutan.
26
UNIDAD 2 : Determinantes.
Calcula el siguiente determinante, haciendo previamente ceros en la
segunda columna:
f2 + 6f1
=
f3 – 3f1
f4 + 9f1
= (-1) A12 =
= c1 – c2 =
= (-1)·(-1) ·
=
f2 + 10f1
=
f3 + 3f1
= 18483 - 21573 = - 3090
Aplico la regla de Chio y en el determinante 2x2 aplico Sarrus
Calcula, en función de a,b y c el valor de:
14 · (b – a) · (c – a) · (c – b)
(1)
(2)
(1) Si una línea de un determinante se divide por un numero k, el nuevo determinante
viene multiplicado por dicho numero k
(2) Es un determinante de Van der Monde.
27
Calcular, en función de n, el valor del determinante
Como puede observarse el determinante vale 0 para cualquier
valor de n.
Calcular el determinante
(1)
(2)
(1) Si cambiamos una línea de un determinante por una combinación lineal de ella
con otra paralela, el nuevo determinante no varia.
(2) El determinante de una matriz triangular vale el producto de los elementos de
su diagonal principal.
28
Procedimiento a): Trabajaremos con las filas realizando combinaciones lineales.
f2 – f1  f2 ; f3 – f1  f3 ; f4 – f1  f4 =
c2 + c1  c2 =
=
c2 + c1  c2 =
= (-1) (-1)
=
=
=
= 3a + 1 + a = 4a + 1.
Procedimiento b):
= c1 + c2 + c3 + c4  c1 =
=
c1 : (4a + 1) =
(4a + 1)
f2 – f1  f1 ; f3 – f1  f1 ;
f4 – f1  f1 = (4a + 1)
= (4a + 1) · 1 = 4a + 1.
29
Calcular los determinantes:
= 0
(1)
(2)
=0
(1)
(2)
(1) Un determinante no varia si se cambia una línea por una combinación lineal de
ella con otra paralela.
(2) Si en un determinante hay dos líneas paralelas proporcionales, su determinante
vale 0
(1)
(2)
(1) Si en un determinante existe una línea descompuesta en dos sumandos, se podrá
descomponer en suma de dos determinantes, en donde las líneas no descompuestas se
mantendrán iguales y la línea con dos sumando se descompondrá cada sumando en un
determinante.
(2) Si en un determinante existen dos líneas paralelas iguales, el determinante vale cero.
De otra forma:
(3)
(2)
(3) Si en un determinante intercambiamos una línea por una combinación lineal de
ella misma con otra paralela, el nuevo determinante no varía.
30
=
(1)
(2)
(1) Un determinante no varía si se cambia una línea por una combinación lineal
de ella con otra paralela.
(2) En un determinante con dos líneas paralelas iguales , vale 0
Contesta a las siguientes cuestiones:
a) Enuncia dos propiedades de los determinantes.
b) Calcula el siguiente determinante:
=
(1)
=
(2)
=
(1)
= (x + 3) · (x – 1)3
(1) Si cambiamos una línea por una combinación lineal de ella con otras paralelas, el
nuevo determinante no varía.
(2) Si dividimos una línea por un numero o función, el nuevo determinante vendrá
multiplicado por dicho numero.
31
1
1 1

1
1 9

Dada la siguiente matriz de orden n A   1  1 9



 
1 1 1











 1
 1
 1
 
 1
1

1
1


9 
Se pide:
a) Calcular el determinante de la matriz A2 .
b) Calcular el valor del determinante de la matriz A3 .
c) Calcular el valor del determinante de la matriz A5 .
(PAU Junio 2007-08)
a) A2 
1 1
 1  9  10
1 9
1 1 1
b) A3   1 9 1  81  1  1  9  9  1  100
1 1 9
c)
1
1
1
1
1 9
1
1
A3   1  1 9
1
1 1 1 9
1 1 1 1
1
1 1 1 1 1
1
0 10 2 2 2
1  0 0 10 2 2  10 4  10000
1
0 0 0 10 2
9
0 0 0 0 10
Demostrar que es nulo, sin desarrollar, el siguiente determinante
=
=
=
= 0
32
El determinante de una matriz cuadrada A de orden tres vale 16.
Hallar el determinante de las matrices: a) 5A ; b) –A ; c) -6A ;
d) At ; e)At · A ; f) A · At
3x3
= 16
= 125 · 16 = 2000
a)
= - 16
c)
= - 216 · 16 = 3456
d)
e)
= 16 · 16 = 256
f)
= 16 · 16 = 256
El determinante de una matriz cuadrada A de orden n vale k.
Hallar el determinante de las matrices 5A ; -A ; At y A · At .
| A |nxn = K.
| 5A |nxn = 5 n · | A | = 5n · K
| - A | = (-1)n · | A | = (-1)n · K
| At | = | A | = K
|A · At| = | A | · | At | = K · K = K2
El determinante de una matriz cuadrada A de orden n es k. ¿Qué
condición debe verificar k para que la matriz tenga inversa? ¿Cuánto
vale en ese caso
?
para que A posea inversa

es decir
=
33
Encontrar las transformaciones de filas o columnas necesarias para
deducir:
=
= 1 • (-1)5
·
= - (1 - a)· (1 - a) · A11
= - (1 - a) · (1 - a) · (- a2 – 2a +3) = (1 - a)2 · (a2 + 2a - 3) = (1 -a)2 · (a - 1) · (a + 3) =
= (- (a - 1) )2 · (a - 1) · (a + 3) = (a - 1)3 • (a + 3)
34
a
2
Hallar en función de a, el valor del determinante A 
3
4
a
a
2
3
a
a
a
2
a
a
a
a
(PAU Septiembre 1998-99)
a
2
A
3
4
a
a
2
3
a
a
a
2
a
0
0
0
a
2a
0
0
→ Restamos todas las columnas a la c4→
a
3a 2a
0
a
4a 3a 2a
a
a
=
a
a
→ Desarrollamos por los elementos de primera fila = 0∙ A11 + 0∙ A12 + 0∙ A13 + a ∙ A14
2a
0
0
0 → El determinante de una matriz triangular, en este caso
= -a ∙ 3a 2a
4a 3a 2a
superior es siempre el producto de los elementos de la diagonal principal.
Con lo que A = - a ∙ (2 - a)³
Hallar los determinantes de las siguientes matrices
b) B =
=
= (-1)·(-1)·
=
=
= 1 · A11 =
= 1· A23 = (-1)·
=0
=
= - (90 + 14) = - 104
35
Obtén el valor de los siguientes determinantes, utilizando el método del
pivote:
= 1 · ( - 30 – 2 + 0 + 2 + 0 + 10) 20
= 1 · ( 9 + 8 – 0 – 0 + 8 – 12) = 13
Obtener, simplificando, el desarrollo del determinante
Aaplicam0s las propiedades de los determinantes para no desarrollar por Sarrus.
=
=
(1)
(1)
·
·
(2)
= 2· a2 · b4 · c2
(3)
1: Si dividimos una línea por un mismo número real distinto de cero, el nuevo
determinante queda multiplicado por dicho número.
2: Si sustituimos una línea por ua combinación lineal de ella con otra paralela, el
determinante no varia.
3: El determinante de una matriz triangular (ceros por debajo de su diagonal principal)
vale el producto de los elementos de la diagonal principal.
36
Probar que
= sen (b - c) + sen (c - a) + sen (a - b)
Si desarrollamos por los elementos de la primera columna
=
= (sen b.cos c - cos b.sen c) + (sen c.cos a - sen a.cos c) +
+ (sen a.cos b - sen b.cos a) = sen (b - c) + sen (c - a) + sen (a - b)
Probar que:
(1)
(2)
(1) Si cambiamos una línea de un determinante por una combinación lineal de ella con
otra paralela, el nuevo determinante no varia.
(2) El determinante de una matriz triangular se calcula multiplicando los elementos de
la diagonal principal.
Prueba que
= 1·
=
=
= - (a – 1) · (- a2 – a + 2) = (a – 1) · (a2 + a – 2 ) =
= (a – 1)2 · (a + 2)
37
Resolver la ecuación
=0
Apliquemos las propiedades de los determinantes para rebajar el orden y poder calcular
su valor. Luego lo igualaremos a 0 para resolver la ecuación.
=
=
(1)
(2)
= -1 ·
=
= - (x - 1)
=
= - (x - 1)
=
= - (x - 1) · 1
= - (x - 1)
=
=
= - (x - 1) (-x2 + 2x - 1) (x3 - 3x2 + 3x - 1) = = - (x – 1) · [- (x – 1)2] · (x – 1)3 =
= + (x – 1)6
Para resolver la ecuación (x – 1)6 = 0  x = 1
No olvidar explicar las propiedades (1) y (2).
38
Resolver la ecuación:
=0
= a · (a - 1) · (a + 3) · 2a = 2 a2 ·(a - 1)·(a +3)
2a2 = 0;
2 a2· (a - 1) · (a + 3) = 0
a=0
a-1=0;
a=1
a + 3 = 0;
a = -3
En un determinante de una matriz triangular, su resultado es el producto de los
elementos de la diagonal principal.
Resolver las ecuaciones:
a)
a)
= -
x
-x
1
1
-1 -1 0
x -1 1
-1 x 1
-1 0 x
c2 + c1
=======
c4 – xc1
x
-x
1
1
-1 + x -1
0
-1
0
x
0
0
- x2
1 + x2 =1 · A41 =
1-x
0
-1+x -1
-x2
-1 1+x2
0
-1 1+ x2 = - (-1+x) A11 = (1-x)
= (1- x)[ - (1-x) – x (1+x2)]=
0
x 1- x
x 1 -x
= (1 - x) · (-1 + x – x – x3) = (1 - x) · (-1- x3)
1-x=0; x=1
(1-x) · (-1- x3) = 0
- 1 - x3 = 0 ; x3 = -1 ; x = 3√-1 = -1
b)
x -1 -1 c2 +c1
-x x -1 ======
1 -1 x c3 –xc1
x x+1
-x 0
1
0
-1 - x2
-1 + x
2
-1 + x =1 · A13 = 1
0
0
-1 - x2
=
-1 + x2
-1 + x= 0 ; x = 1
2
2
=(-1 + x) · (-1 + x ) ; (- 1 + x) · (-1 + x ) =0
-1+ x2 = 0 ; x2 = 1 ; x =  1
39
Resolver las ecuaciones: a)
b)
a)
=0
= 1 · A21 =
(1)
(2)
= 1 · (-1) ·
= (-1) · A12
(1)
(2)
= (-1) · (-7 – 12x + 42) = - 35 + 12x
= (-1) · (-1) · (-1) ·
e igualandolo a cero queda  12x = 35  x = 35 / 12
b)
=
(1)
= 1 · A11 =
= - x2 - x
(2)
Si igualamos a cero  - x2 – x = 0  -x · (x + 1) = 0
(1) Si cambiamos una línea de un determinante por una combinación lineal de ella
con otra paralela, el nuevo determinante no varia.
(2) Desarrollamos por los elementos de una línea.
40
Resolver las ecuaciones:
a)
=
= (2 – x) · (3 – x) · [3 + x – 2 – x] = (2 – x) ·
(3 – x)
Como debe valer cero (2 – x) · (3 – x) = 0 
Sale tambien por Van der Monde.
[3 – (-1)] · [z – (-1)] · (z – 3) = 4 · (z + 1) · (z – 3)
(1)
Como debe de valer cero  4 · (z + 1) · (z – 3) = 0 
(1) Aplicando el determinante de Van der Monde.
41
Resolver las ecuaciones siguientes:
= 28 · (x – 4) = 0 ; x = 4
; 2a3 = 0 ;
a3 = 0 ; a = 0
= 2 · 2 (k2 – 7) = 4 (k2 – 7); k2 – 7 = 0; k2 = 7; k =
= 1 + 2x + x (x – 2) = 1 + 2x + x2 – 2x = 1 + x2; 1 + x2= 2; x2-1 = 0; x2 = 1 ;
x=
42
?. ¿Por que?.
Para llegar al segundo determinante a partir del valor del primero, habrá que realizar
dos transformaciones.
averigua el valor del determinante de las siguientes matrices:
=
43
. Para cada número real ƛ definimos B =
Sea la matriz A =
A – I, donde I denota la matriz identidad 2x2.
a) Hallar los valores de que hacen que el determinante de B sea nulo
b) Resolver el sistema B·
=
para los distintos valores de
(PAU Modelo 2001-02)
a) A =
B= A –
I B=
ǀBǀ = 0
b)
-
=> - 4 +
2
=
+ 3 =0
2
- 1 = 0;
= 1
=
=
=0
=
1
x = 3y
Para todo
perteneciente a R
Existen infinitas soluciones -> Sistema compatible indeterminado.
= -1
Para todo
perteneciente a R
Existen infinitas soluciones -> Sistema compatible indeterminado.
es 25, calcular
razonadamente el valor de
= 8·25 = 200
44
(1)
(2)
(3)
(1) Si en un determinante hay una línea descompuesta en dos sumandos, se
descompondrá en dos determinantes en las que las filas no descompuestas, aparecerán
tal cual en cada determinante y los primeros sumandos de la descompuesta irán al
primer determinante y los segundos sumandos irán al segundo determinante.
(2) Si en un determinante existen dos líneas paralelas proporcionales, su valor es
cero.
(3) Si dividimos una línea por un mismo número, el determinante vendrá
multiplicado por dicho número.
45
46
UNIDAD 2 : Rango de matrices
Calcular el rango de la matriz A según los diferentes valores del
parámetro real a:
(PAU Junio 2001-02)
El rango al menos es 2, pues el menor
= 15
0.
Veamos qué debe pasar para que sea 3. Para ello estudiamos los menores de orden 3, a
partir del menor de orden 2
El menor
=
=
El menor
En consecuencia:


.
.
Calcula los valores de x para que sea 2 el rango de la matriz
Para que el rg A = 2

 - 1 + 3x - 3 + x = 0  4x = 4  x = 1
Para x = 1, el menor de orden 3 es nulo  No existe menor principal de orden 3 
rg A = 2
47
Estudiar el rango de la matriz
según los valores del parámetro m
(PAU Junio 2006-07).
=
m=0
menor principal orden 3 en A
menor principal orden 2 en A  rag A= 2
m=2
menor principal orden 3 en A
=1–2=-1
menor principal orden 2 en A  rag A = 2
menor principal orden 3 en A => rag A = 3
Halla el rango de la matriz :
existe menor principal de orden 1
= 7 + 6 = 13 ≠ 0 existe menor principal de orden 2
= - 105 ≠ 0 existe menor principal de orden 3
=
= - 35 · (3 – 4) = 35 ≠ 0 existe menor principal de orden 4  rg A = 4
48
Hallar el rango de la siguiente matriz M , según los valores de
α, β y γ:
Para calcular el rango utilizaremos la propiedad de que una combinación de filas
paralelas no varía el rango de la nueva matriz.
=
= rag
(1)
(2)
(1) si divido una fila por una número real el rango no varía
(2) dos filas paralelas proporcionales hacen que el rango disminuya en una fila.
Luego rg M < 3
α=β=γ=1
 rg M = 1
 rg M = 2
α=β≠γ
 rg M = 2
α≠β=γ
 rg M = 2
49
Estudiar su rango según los
diferentes valores de x.
Los valores que discutimos son x = 0, x = 1, x = 2 y los distintos de 0,1 y 2

50
Se pide: a) Calcular el rango de A. b)
Hallar la matriz A12
rg A = 3 pues una vez hechos los ceros por debajo de la diagonal principal, me
quedan 3 líneas linealmente independientes
Siguiendo y como a partir de ahora habrá que multiplicar por la matriz nula, nos
quedara que
51
52
UNIDAD 2 : Matriz inversa. Ecuaciones matriciales
Calcular para que valores de k la siguiente matriz
es invertible. En esos casos escribir sus matrices
inversas.
A tendrá matriz inversa cuando el determinante de la matriz no sea cero.
= 9k – 12 – 3 + 18 = 9k + 3
Si
= 0  9k + 3 = 0  9k = - 3  k = - 1 / 3
Para todos los valores de k distintos de – 1 / 3 existirá A-1
53
a) Halla para que
valores del parámetro b existe A-1 .
a)
b) Calcula A-1 para b = 2.
Para que exista A-1 el
Buscamos los valores de b para que valga 0
- b2 + 4b - 3 = 0  b2 - 4b + 3 = 0

existe A-1
b ≠ 1, 3 el
= -4+8–3=1
Para b = 2
a) Hallar A-1 . b) Comprobar que
se verifica A2 – 3·A – 4·I = O . c) Hallar A-1 a partir de la igualdad
anterior
a)
=2–6=-4
=
;
b)
=
.
c) A·A – 3·I·A - 4·I = O  (A – 3·I) ·A - 4·I = O  (A – 3·I) · A = 4·I
(A – 3·I) · A · A-1 = 4·I · A-1  A – 3·I = 4 · A-1 
54
, averiguar para que valores del
parámetro ß la matriz no tiene inversa. Calcular su inversa cuando
ß = 2.
Para que la matriz A pueda invertirse, debe ser A  0.
= - ß2 + 4ß - 3 Si hago que
ß tenemos que ß = 1 y ß = 3
= 0 resolviendo la ecuación de segundo grado en
Cuando ß = 1 o cuando ß = 3 la matriz A no posee inversa.
Calculemos la inversa de A, para ß = 2.
-4+8-3=1
Para comprobarlo A.A-1 = I
Halla el valor no nulo de c para
el cual la matriz A2 es diagonal. Con este valor de c hallar A-1 .
 2c + c2 = 0  c · (2 + c) = 0
1+8+8-4–4-4=4
55
Dada la matriz:
Se pide: a) Estudiar el rango de
la matriz A según los valores del parámetro . b) Obtener la matriz
inversa de A para
.
(PAU Junio 2008-09)
a)
1
0
1
1
1
1
-3
1
-2
2
-2
0
→
b)
56
Dada la matriz:
a) Determinar el rango de
M según los valores del parametro a. b) Determinar para que valores
de a existe la matriz inversa de M. Calcular dicha matriz inversa de
a=2
(PAU Junio 2005-06)
+ 1) = 0 =>
b)
57
Dada la matriz invertible A =
a) At · A
b) A · At
c) A · A-1
hallar :
d) A-1 · A
e) At · A-1 f) A-1 · At
Calculo At =
Calculo A-1:
|A| =
= 4+ 0 – 12 – 0 – 3 + 10 = –1
Ad =
A-1=
(Ad) t =
(Ad) t=
=
a) At · A =
·
=
b) A · At =
·
=
c) A · A-1 =
·
d) A-1 · A =
e) At · A-1 =
f) A-1 · At =
=
·
·
=I
=
=I
=
·
=
58
Dadas las matrices:
y
b) Hallar A10. b) Hallar la matriz inversa de B. c) En el caso
particular de k=0, halla B10.
(PAU Septiembre 2004-2005)
d) A2=
=
A3 =
=
=O
A4 = A3 x A= O x A = O ; y lo mismo A5 , A 6 … por tanto A 10 =
e) |B| =
= 1;
;
(Bd)t =
Es una matriz triangular, |B|= 1·1·1 = 1
Bd=
B-1=
B2 =
f)
B3 =
=
B4 =
=
Bn =
;
;
(Bd)t =
=
B10 =
59
Escribir la matriz inversa de
. Comprobar el resultado
multiplicándolo por la matriz dada.
Calculemos el
= 2 - 3 = - 1  0 con lo que se puede calcular la inversa de A.
Calculemos los adjuntos de la matriz A.
A11 = 1 ; A12 = - 1 ; A21 = - 3 ; A22 = 2
=
Comprobación:
·
Escribir la matriz inversa de la
y comprobar que
existe, cualquiera que sea el valor de a.
Para que exista la matriz inversa, el determinante de la matriz deberá ser no nulo.
=2-a+a-3=-1
Al ser el determinante  0 e independiente del valor de a, la matriz inversa existirá
siempre para todo valor real de a.
Comprovemos que A.A-1 = A-1.A = I
60
verifique que
su traspuesta es igual a su inversa. En esos casos hallar A 4 .
At = A-1  At · A = A-1 · A  At · A = I

1 + a2 = 1  a2 = 0  a = 0 Como a·b = 0 y como a·c = 0  valido para
todo b y todo c perteneciente a los nº reales.
½ + b2 = 1  b2 = ½ 
De las cuatro posibilidades solo son validas
2
½+c =1
2
 c =½ 
los valores de b y c que tengan signos opuestos, para que al sustituir en ½ + b·c = 0, la
verifique, es decir
Si a = 0 ;
Si a = 0 ;
=I
A3 = A2 · A = I · A = A
Las potencias impares dan A y las potencias pares dan I
4
3
A =A ·A=A·A=I
61
Hallar la inversa de la matriz
;
Hallar la matriz A-1 en función de A sabiendo que existe y que se
verifica A2 + 7A = I.
A2 + 7·A = I  A · A + 7·I· A = I  (A + 7·I) · A = I
(A + 7·I) · A · A-1 = I · A-1  A + 7·I = A-1
Hallar la matriz inversa de I - A siendo:
e I=
=B
62
Hallar la matriz inversa de
y comprobar el resultado,
multiplicándola por la matriz dada.
Si llamamos A a la matriz dada, un método para calcular la matriz inversa A -1 es:
= 2 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = 2  0 luego puedo invertir.
Calculemos los elementos de la matriz adjunta
Por último la
Para comprobar el resultado A·A-1 = I
Hallar la matriz X tal que:
iendo
(PAU Junio 2004-05)
; =>
Calculamos el menor complementario de A ,
=
Como
y
)t
;
X=
=
63
Sea A una matriz que verifica A2+2A=I, donde I denota la matriz
identidad. a) Demostrar que A no es singular (det(A)
y expresar
-1
A en función de A e I. b) Calcular dos números p y q tales que
A3 = p·I + q·A en función de A e I. c) Si A =
cumple la relación
de partida, calcular el valor de k.
(PAU Modelo 2001-02)
a) A es no singular
A·A + 2A = I
si
=>
=> 0 · 0 + 2 · 0
=>
A·A + 2A = I => (A + 2I) · A = I =>
b)
=> p = 5 y q = - 2
c) A =
;
+
=
=>
64
. Para cada número real ƛ definimos B =
Sea la matriz A =
A – I, donde I denota la matriz identidad 2x2.
a) Hallar los valores de que hacen que el determinante de B sea nulo
b) Resolver el sistema B·
=
para los distintos valores de
(PAU Modelo 2001-02)
a) A =
B= A –
I B=
ǀBǀ = 0
-
=> - 4 +
b)
2
=
+ 3 =0
2
- 1 = 0;
= 1
=
=
=0
=
x = 3y
1
Para todo
perteneciente a R
Existen infinitas soluciones -> Sistema compatible indeterminado.
= -1
Para todo
perteneciente a R
Existen infinitas soluciones -> Sistema compatible indeterminado.
Sean las matrices: A =
matriz X tal que
X·A·
Hay que eliminar la
. Hallar una
=B
multiplicando por X por la derecha de los términos.
=>
65
66
UNIDAD 3: Estudio general de sistemas de ecuaciones
lineales.
El camino entre dos ciudades A y B, tiene un tramo de subida a la
salida de A y uno de bajada a la llegada de B. La distancia entre las dos
ciudades es de 60 Km. Un ciclista tarda de ir de A a B 3 horas, y de ir
de B a A tarda 4 horas y media. Sabiendo que la velocidad de bajada es
cuatro veces la velocidad de subida, determinar ambas velocidades y el
punto donde se encuentra la cima de la montaña que separa A de B.
Sea x la distancia desde A a la cima
Sea ta el tiempo de subida
Sea y la distancia de la cima hasta B
Sea tb el tiempo de bajada
Vayamos de A hasta B pasando por la cima C
ta + tb = 3 ==> x / va + y / vb = 3
Vayamos de B hasta A pasando por la cima C
ta + tb = 4,5 ==> y / va + x / vb = 4,5
Además el camino recorrido x + y = 60

y la vb = 4 · va


==> x = 60 – y ==>
va = 10 Km/h
vb = 4 · va ==> vb = 40 Km/h
20 + y = 6 · 10 ==> y = 60 - 20 ==> y = 40 Km
x = 60 - y ==> x = 60 - 40 ==>
x = 20 Km
67
El empleo en el sector servicios en el 1987 representaba
aproximadamente el 53% del empleo total, en el sector industrial el
35% y en el sector agrícola el 12%. Si el empleo total del año fue de
11593900. Calcular los empleos del sector.
Llamamos x a los empleos del sector servicio
Llamamos y a los empleos del sector industrial
Llamamos z a los empleos del sector agrícola
Llamamos t a los empleos totales
x = 0,53t
y = 0,35t
z = 0,12t
x = 6144767 empleos sector servicio
y = 4057865 empleos industriales
z = 1391268 empleos agrícolas
En una acería se fabrican tres tipos de productos: acero en láminas,
en ro-llos o aceros especiales. Estos productos requieren chatarra,
carbón y aleacio-nes en las cantidades que se indican en la tabla, por
unidad de producto fabri-cado:
A. en laminas
A. en rollos
A. especiales
Chatarra
8
6
6
Carbón
6
6
4
Aleaciones
2
1
3
Si se disponen de 34 unidades de chatarra, 28 de carbón y 9
aleaciones, ¿Cuántas unidades de cada tipo de acero se podrán
fabricar con estos materiales?
=>
Por Gauss
=
3y – (1) = 5 ; 3y = 6 ;
y = 2 unidades de acero en rollos
4x + 3 · (2) + 3 ·(1) = 17 ; 4x = 8 ;
x = 2 unidades de acero en laminas
68
En una granja se venden pollo, pavos y perdices a razón de 2, 1,50 y
4 euros/kg, respectivamente. En una semana, los ingresos totales de la
granja ascendieron a 5700 €. Si se sabe que la cantidad de pollo
vendida es superior en 100kg a la de pavo, y que se vendió de perdiz la
mitad que de pavo:
a) Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar la cantidad
vendida de cada tipo de carne. b) Expresa matricialmente el problema.
c) ¿Cuántos kilos se vendieron de cada tipo?
x pollos
a 2€/kg
y pavos
a 15€/kg
z perdices
a 4€/kg
y = 2z ;
y = 1000kg de pavos.
x= 100 + y ;
x = 1100kg de pollos
Fulano de Tal quiere hacer una gran fiesta e invitar a sus amigos a
unas tortillas, así que va de tienda y compra una docena de huevos,
una bolsa de patatas y una botella de aceite. Dado el éxito obtenido,
decide repetir la fiesta y vuelve a comprar una docena de huevos y dos
botellas de aceite. Cuando llega a casa, se acuerda que no tiene patatas.
Vuelve a la tienda para comprar una bolsa de pata-tas y decide
comprar también otra docena de huevos. En la primera ocasión gasto 6
euros; en la segunda ocasión gasto 6,5 euros y en la ultima 3,5 euros.
Calcular si es posible, el precio de los huevos, las patatas y el aceite.
x precio de los huevos ; y precio de las patatas ; z precio del aceite
z = 2,5 €
=>
x = 6,5 – 2·2,5 = 1,5 €
=> y = 3,5 -1,5 = 2 €
69
Hace tres años la edad del padre era el triple de la de su hijo.
Dentro de nueve años la edad del hijo será la mitad de la del padre.
Hallar las edades actuales de ambos.
Edad actual del padre: x
Edad actual del hijo: y
Hace tres años
+ 9) / 2
==> x - 3 = 3· (y - 3)
Dentro de nueve años ==> y + 9 = (x
Resolvamos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
y = 15 años
=>
x = - 6 + 3 · 15 ==> x = - 6 + 45 ==>
x = 42 años
Los alumnos de los tres cursos de un centro suman 260. La relación
entre los de cuarto de ESO y primero es de 19/18, y la relación de
primero y segundo es de 6/5. ¿Cuántos alumnos hay en cada curso?.
¿Cuántos grupos de cada curso hay, en el supuesto de que cada grupo
tenga 35 alumnos como máximo?.
x serán los alumnos de 4º ESO
y serán los alumnos de 1º z serán los alumnos de 2º
y lo sustituimos en la 1ª ecuación =>
==> 52y = 4680 ==> y = 90 alumnos
x = 19 · (90 / 18) ==> x = 95 alumno;
z = 5 · (90 / 6)
==> z = 75 alumnos
Para calcular los grupos por curso, dividiremos los alumnos de cada curso por 35
alumnos como máximo.
De 4º serán: 95 / 35 = 2, ==> habrá 3 clases.
De 1º serán: 90 / 35 = 2, ==> habrá 3 clases.
De 2º serán: 72 / 35 = 2, ==> habrá 3 clases.
70
Mikel sale con un montón de cromos y vuelve a casa sin ninguno.
Su madre le pregunta que ha hecho con los cromos, a lo que Mikel
responde: A cada amigo que encontré le di la mitad de los cromos que
tenía en ese momento más uno. Su madre le pregunta que con cuantos
amigos se ha encontrado, a lo que Mikel contesta que con cinco.
¿Cuántos cromos tenia Mikel al salir de casa? Razona la respuesta.
x cromos al salir de casa
Al primer amigo le da x/2 + 1 = (x + 2) / 2 y le queda x – (x + 2) / 2 = (x – 2) / 2
Al segundo amigo le da [(x - 2) / 2] / 2 + 1 = (x – 2) / 4 + 1 = (x + 2) / 4 y le
queda (x – 2) / 2 - (x + 2) / 4 = (2x – 4 – x – 2) / 4 = (x – 6) / 4
Al tercer amigo le da [(x – 6) / 4] / 2 + 1 = (x – 6) / 8 + 1 = (x + 2) / 8 y le
queda (x – 6) / 4 - (x + 2) / 8 = (2x – 12 – x – 2 ) / 8 = (x – 14) / 8
Al cuarto amigo le da [(x – 14) / 8] / 2 + 1 = (x – 14) / 16 + 1 = (x + 2) / 16 y le
queda (x – 14) / 8 – (x + 2) / 16 = (2x – 28 – x – 2) / 16 = (x – 30) / 16
Por último al quinto amigo le da [(x – 30) / 16] / 2 + 1 = (x – 30) / 32 + 1 =
= (x + 2) / 32 y le queda (x – 30) / 16 – (x + 2) / 32 = (2x – 60 – x – 2) / 32 =
= (x – 62) / 32
Como al final no le quedan cromos  x – 62 = 0  x = 62 cromos
71
Se desea confeccionar una dieta de tres clases de alimentos: A, B,
C. El alimento del tipo A tiene 10cal. por cada 100gr., el de tipo B tiene
30cal. por cada 100gr., y el C tiene 40cal. por cada 100gr. Si la dieta
consta de 400gr. de alimento por cada día, si ducha dieta está
restringida a 840cal., y si la cantidad de alimento del tipo A ingerido
debe ser el doble en peso que la cantidad de alimento C. Hallar las
cantidades que debe ingerir de cada uno de los alimen-tos.
A= X B=Y
C=Z
=>
=>
=>
=> X = 2400gr. de alimento de tipo A
Z= 1200gr. de alimento de tipo
C
2400 + Y + 1200 = 4000 ;
Y = 400gr. de alimento de tipo B
72
Se tienen tres tipos de café: el de clase A, que cuesta 980 pts/kg; el
de clase B, que cuesta 875 pts/kg, y el de clase C, que cuesta 950 pts/kg.
Se desea hacer una mezcla para vender 1050 kg a 940 pts/kg. ¿Cuántos
kg de cada clase se deben de poner si del tercer tipo debe entrar el
doble de los otros dos juntos?.
x kg de café A a 980 pts/kg
y kg de café B a 875 pts/kg
z kg de café C a 950 pts/kg
Resolviendo por Gauss
1050 kg de mezcla a 940 pts/kg
=>
 z = 700 kg de café C
- 21y – 6·700 = - 8400 ; -21 y = - 4200  y = 210 kg de café B
x + 210 + 700 = 1050
 x = 140 kg de café A
73
Según RENFE, el nº de viajeros que utilizaron el tren en Enero
ascendió a 275700, en Febrero descendió en 25200 viajeros.
Las dos categorías que existen son de 1ª y 2ª. Si la relación para el
mes de Enero ha sido de un 30% de 1ª más en Enero que en Febrero y
la 2ª clase en Enero representa el 60% del total. ¿Cuántos pasajeros de
1ª y de 2ª han utilizado el servicio?.
Llamamos x a los pasajeros de 1ª ;
Llamamos y a los pasajeros de 2ª
Llamamos x1 a los de 1ª en Enero y x2 a los de 1ª en Febrero
Llamamos y1 a los de 2ª en Enero y y2 a los de 2ª en Febrero
x1 + y1 = 275700
x2 + y2 = 275700 - 25200 = 250500
x1 = x2 + 0,3x2
y1 = 0,6 · (x1 + y1)
==> x1 = 275700 - y1
x2 + y2 = 250500
275700 - y1 = 1,3x2
y1 = 0,6 ·(275700 - y1) + 0,6y1 ==> y1 = 165420 viajeros
275700 - 165420 = 1,3 · x2 ==> x2 = 110280 / 1,3 ==> x2 = 84831
y2 = 250500 - x2 = 250500 - 84831 = 165669 viajeros
x1 = 275700 - 165420 = 110280 viajeros
Los pasajeros de 1ª seran x = x1 + x2 = 110280 + 84831 ; x = 195111 viajeros.
Los pasajeros de 2ª seran y = y1 + y2 = 165420 + 165669 ; y = 331089 viajeros.
74
Sumando los años de antigüedad de tres empleados A, B y C, se
obtienen 50 años. Además, el doble de las antigüedades de B y de C es
igual al triple de la antigüedad de A, y la diferencia de antigüedad
entre B y C es igual al 30 % de la antigüedad de A. Determina los años
de antigüedad de cada empleado.
x años el A, y años el B, z años el C
=>
=> z = 240 / 20  z = 12
y + 12 = 30  y = 18
x + 18 + 12 = 50  x = 20
20 años de antigüedad el empleado A, 18 años de antigüedad el empleado B y
12 años de antigüedad el empleado C.
75
Tres amigos, Marcos, Luisa y Miguel, son aficionados a la música.
Entre los tres poseen un total de CD comprendido entre 16 y 22 unidades. Marcos presta 4 CD a Miguel, Luisa presta 1 CD a Marcos y
Miguel presta 2 CD a Luisa, con lo cual los tres amigos tienen al final
el mismo número de CD. ¿Cuántos CD pueden tener en total?.
Marcos tiene x CD, Luisa tiene y CD y Miguel tiene z CD
16 ≤ x + y + z ≤ 22
Marcos se queda con x – 4 + 1 = x – 3 CD
Luisa se queda con y – 1 + 2 = y + 1 CD
Miguel se queda con z + 4 – 2 = z + 2 CD
Como los tres deben de acabar con el mismo número de CD
x–3=y+1
x–3=z+2
x–y=4
x–z=6
y=x-4
z=x–5
Para que x, y ,z sean positivos λ ≥ 6
λ=6
λ=7
λ=8
λ=9
λ = 10
λ = 12
x = 6;
x = 7;
x = 8;
x = 9;
x = 10;
x = 11;
y = 2;
y = 3;
y = 4;
y = 5;
y = 6;
y = 7;
z=1
z=2
z=3
z=4
z=5
z=6
x+y+z=9
x + y + z = 12
x + y + z = 15
x + y + z = 18
x + y + z = 21
x + y + z = 24
no vale
no vale
no vale
si vale
si vale
no vale
Marcos 9 CD, Luisa 5 CD y Miguel 4 CD
Las soluciones son dos
Marcos 10 CD, Luisa 6 CD y Miguel 5 CD
76
Un autobús universitario transporta en hora punta 80 viajeros de
tres tipos: viajeros que pagan el billete entero, que vale 75 céntimos,
viajeros con bono de descuento del 20% y estudiantes con bono de
descuento del 40%. Si la recau-dación del autobús en ese viaje fue de
39,75 euros, calcula el número de viaje-ros de cada clase sabiendo que
el número de estudiantes era el triple que el del resto de viajeros.
x es el nº de viajeros sin descuento.
y es el nº de viajeros con el 20% de descuento.
z es el nº de viajeros con el 40% de descuento.
=> x = 20 - y
20 – y + 0,8y + 36 = 53 ==> - 0,2y = - 3 => y = 15
x = 20 – y = 20 – 15 = 5  x = 5
5 viajeros sin descuento, 15 viajeros con el 20% de descuento y 60 estudiantes.
77
Un número capicúa tiene cinco cifras. La suma de las cifras es 9. La
cifra de las centenas es la suma de las cifras de las unidades y las
decenas. Si se intercambian las cifras de las unidades y decenas, el
número que resulta disminuye en 9. Hallar el número.
El numero es xyzyx 
3z = 9 ; z = 3
Al cambiar el numero xyzxy disminuye en 9 unidades
-2y+z = -1 ; -2y+3 = -1 ; -2y = -4 ; y = 2
2x+2y+z = 9 ; 2x+4+3 = 9 ; 2x = 2 ; x = 1
El número es 12321
Una compañía de transportes tiene tres camiones diferentes, P, Q y
R, en los que caben exactamente un cierto número de contenedores de
tres tipos A, B y
Si se han de transportar 45 contenedores de tipo A,
44 de tipo B y 58 de tipo C, ¿cuántos viajes ha de hacer cada camión si
todos los viajes lo hacen totalmente llenos?. (PAU).
x nº de viajes el P ; y nº de viajes el Q ; z nº de viajes el R
 z=3
19y + 3·3 = 85  19y = 76  y = 4
5x + 2·4 + 4·3 = 45  5x = 25  x = 5
3 viajes realizo el camión R
4 viajes realizo el camión Q
5 viajes realizo el camión P
78
Una compañía fabrica tres tipos de muebles: sillas, mecedoras y
sofás. Para la fabricación de cada uno de estos muebles se necesitaron
unidades de madera, plástico y aluminio tal y como se indica en la
tabla. Si la compañía tenía en existencia 400 unidades de madera, 600
unidades de plástico y 1500 unidades de aluminio, y utilizo todas sus
existencias, ¿cuántas sillas, mecedoras y sofás
x sillas
y mecedoras
z sofás
==>
y + 600 = 700  y = 100 ;
x + 100 + 200 = 400  x = 100
Hay 100 sillas, 100 mecedoras y 200 sofás.
Una empresa produce un bien, cuya función de oferta es Q o = - 50 +
30p y su función de demanda viene dada por Qd = 100 - 20p. ¿Cuales
son el precio y la cantidad en el punto de equilibrio Q o = Qd?.
Si Qo = Qd ;
- 50 + 30p = 100 - 20p es decir una ecuación con una sola incógnita.
30p + 20p = 100 + 50 ==> 50p = 150 ==> p = 3
Qo = - 50 + 30.3 = - 50 + 90 ==> Qo = 40 pts sera el precio
En el equilibrio
Qd = 100 - 20.3 = 100 - 60 ==> Qd = 40 bienes demandados
79
Una multinacional de seguros tiene delegaciones en Madrid, Barcelona y Valencia. El número total de ejecutivos de las tres delegaciones asciende a 31. Para que el número de ejecutivos de la delegación de
Barcelona fuese igual al de Madrid, tendrían que trasladarse tres de
ellos de Madrid a Barcelona. Además, el número de los ejecutivos de
Madrid excede en uno a la suma de los destinados en las otras dos ciudades. ¿Cuántos ejecutivos están destinados en cada ciudad?
x ejecutivos en Madrid
y ejecutivos en Barcelona
z ejecutivos en Valencia
x = 16 ejecutivos en Madrid.
16 – y = 6; y = 10 ejecutivos en Barcelona.
; z = 5 ejecutivos en Valencia.
80
Una tienda vende una clase de calcetines a 12€ el par. Al llegar las
rebajas, realiza durante el primer mes un 30% de descuento sobre el
precio inicial y en el segundo mes hace un 40% también sobre el precio
inicial. Sabiendo que vende un total de 600 pares de calcetines por
5976€ y que durante las rebajas ha vendido la mitad de dicho total, ¿a
cuántos pares de calcetines se les ha aplicado el descuento del 40%? .
X calcetines a 12€ .
Y calcetines al 30% de 12€ ;
Z calcetines al 40% de 12€ ;
30/100 · 12 = 3´6 ;
40/100 · 12 = 4´8 ;
12 - 3´6 = 8´4 € .
12 – 4´8 = 7´2 € .
==>
Por Gauss
==> Z = 120 pares al 40%
Y = 300 – 120 = 180 pares al 30%
X = 600 – 180 – 120 ==> X = 300 pares sin rebaja.
81
UNIDAD 3: Estudio general de sistemas de
ecuaciones lineales.
Considerar el sistema de ecuaciones
y  z 1


(  1) x  y  z   
x  (  1) y  z  0 
a) Discutirlo según los valores del parámetro λ.
b) Resolverlo para λ=0.
c) Resolverlo para λ=3.
(PAU Septiembre 1999-2000)
a)
y  z 1
0
1
1


(  1) x  y  z     C  (  1)
1
1  1 + (λ - 1)·(λ - 1) - [1 - (λ - 1)] =

x  (  1) y  z  0 
1
(  1)  1
= 1 + λ 2 - λ – λ + 1 - (1 – λ + 1) = λ 2 - λ
→ C  0 → λ·(λ - 1) = 0 → λ = 0, 1
  0,1  C  0 →  menor principal orden 3 en C → rg C = 3
Si rg C = rg A = nº de incógnitas → SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO
→ Solución única
Para λ=0
C  0 → No existe menor principal orden 3 en C → rg C < 3
0 1
 0 →  menor principal orden 2 en C→ rg C=2
1 1
x
y ti
0 1 1
C  2x2 
A   1 1 0  1  1  0 → No existe menor principal de orden 3 en A → rg A = 2
1 1 0
Si rg C = rg A = 2 < nº de incógnitas → Sist. Compatible Indeterminado:
  soluciones.
82
Para λ =1
C  0 → No existe menor principal orden 3 en C → rgC < 3
0 1
 1  0 →  menor principal orden 2 en C → rg C=2
1 0
x y ti
0 1 1
C  2x2 
A  0 1 1  1  1  0 → No existe menor principal orden 3 en A → rg A = 2
1 0 0
Si rg A = rg C = 2 < nº de incógnitas → Sist. Compatible Indeterminado:
  soluciones.
b) Para λ = 0
y  z 1

y  z 1


 x  y  z  0 → La 3ª ecuación desaparece por tener rg C = 2 →

 x  y  z  0

x yz 0 
→ y  1 z
→  x  y  z   x  1  z  z  x  1  z  z  x  1
y  1 

 x  1
z  

c) Para λ = 3
ti y z
1 1 1
y  z 1


2 x  y  z  3  Método Cramer :
x  2 y  z  0
y
x
3 1 1
0 2 1
C
x ti
z
0 1 1
x y ti
0 1 1
2 3 1
1 0 1
2 1 3
1 2 0
C

 3  2 1
0
6
z
C


1 6  3  2
1
6
3  4 1
1
6
83

Resolver el
Discutir el sistema según los valores del parámetro.
sistema en el caso de tener infinitas soluciones.
=
= 5 λ2 + 8 + 18 – 15 - 12 - 4 λ2 = λ2 – 1


Si rg C = 2 y rg A = 3  Sistema incompatible, no existen soluciones.

1
2
= 5 – 4 = 1 existe menor de orden 2 en C  rg C = 2
Si λ = - 1 │C´│ =
2
5
Si rg C = 2 = rg A < nº de ecuaciones  Sistema compatible indeterminado,
soluciones.
Si λ ≠ 1
ecuaciones. ==>
≠0
∞
menor de orden 3 en C  rg C = rg A = 3 = nº
Sistema compatible determinado. La solución es única para cada λ distinto del ±1 .
84
b) Calculemos las infinitas soluciones para λ = -1 eliminando una de las ecuaciones
85
Dado el sistema:
Se pide: a) Discutir el
sistema según los valores del parámetro
.
. b) Resolver el sistema para
(PAU Junio 2008-09)
;
→
y
→
ya
que
→
Sistema compatible
determinado → Existe solución única.
→
Para
→
→ Sistema incompatible →
x
z
Para
→
→
→ Sistema incompatible →
Para
→
86
→
→ Sistema incompatible →
b) Resolver para
87
Dado el sistema de ecuaciones:
a) Discutirlo según los distintos valores de m.
b) Resolverlo cuando sea compatible indeterminado.
(PAU Junio 2004-05)
a) El sistema será compatible cuando el rango de la matriz de coeficientes (C) sea
igual al rango de la matriz ampliada (A).
La primera raíz m = - 1 se encuentra por Rufini (entre los divisores de 8); las otras dos
resolviendo la ecuación resultante de 2º grado para darnos m = 2 y m = 4
Por tanto:

m ≠ -1, 2 y 4,
el rg(C) = rg(A) = 3 = nº de incógnitas
el sistema será compatible determinado
=> solución única

Para m = - 1,
88

Para m = -2,

Para m = 4,
b) Si m = 4, el sistema es:
=>
89
Dado el sistema:
demuestra que es
compatible determinado para cualquier valor de
para = 1.
. Hallar su solución
principal de orden 3  rg C = 3
Como
α , sea lo que sea la ampliada, no existe menor de orden 4 en A  rg A = 3
Si rg C = rg A = 3 = nº de incógnitas
única para cada valor de α real
Sistema compatible determinado, solución
Resolviendo por Cramer:
90
Dado el sistema de ecuaciones lineales:
a)
Discutir si el sistema según los valores del parámetro a. Resolverlo
cuando la solución sea única. b) Determinar para qué valor o valores
de a el sistema tiene una solución en la que y = 2.
(PAU. Junio 2007-08).
C 
a)
a  1
1 a
 1  a 2
a 1
C  0  1  a 2
a 2  1; a  1
C  0   menor principal de orden 2 en C → rg C = 2
El rgA = 2 ya que no existen menores de orden 3
Si rgC = rgA = 2 = nº de incógnitas => Sistema compatible determinado, existe
solución única
a=1 C =0
menor principal orden 2 en C → rg C = 1
1 2
0
1 2
no existe menor principal orden 2 en A→ rg A = 1
A
Si rg C = rg A = 1 ‹ nº incógnitas. Sistema compatibles indeterminado → existen ∞
soluciones
a = -1 C  0
A
menor principal orden 2 en C → rg C = 1
1 2
 2  0 existe menor principal orden 2 en A→ rg A = 2
1 0
Si rgC ‹ rgA  Sistema incompatible, no existe solución
Para resolverlo para solución única a  1
x
2
a
a 1 1
C

2a a a a2

a2 1
a2 1
2
2
y
1
2
a a 1
C

a  1  2a  a  1
 2
a2 1
a 1
b)
 a 1
; 2a 2  2  a  1; 2a 2  a  3  0
2
a 1
 1  1  24  1  5
a1  1; a2  3 / 2
a

4
4
Si y = 2
2
91
Dado el sistema homogéneo de ecuaciones:
Se pide: a) Determinar para qué valores del parámetro k el sistema
tiene soluciones distintas de x= y = z = 0. b) Resolver para el caso k = 3
(PAU Junio General 2009-10)
Por ser un sistema homogéneo, para tener solución distinta de la trivial, es necesario
que rag C = 2
Para k = 3 y k = -5/2
rg C < 3
rg C = 2 = rg A < nº de incógnitas  Sistema compatible indeterminado 
luciones.
∞ so-
b)
x=
y=
=
=
=
=
92
4 + a + 2a – 4 – 2 – a2 = - a2 + 3a - 2
=2-1=1 
existe menor de orden 2 en C => rag C = 2
Si rg C = 2 = rg A < nº de ecuaciones  Sistema compatible indeterminado,
soluciones.
=2-1=1

∞
existe menor de orden 2 en C rango C = 2
Si rango C = 2 y rango A = 3 sistema incompatible
soluciones
93
 a 1, 2
0
 menor principal de orden 3 en C => rag C =3
 rango C = 3 = rango A = nº incógnitas  Sistema compatible determinado
 solución única
94
en función del parámetro a. Resuélvelo cuando sea posible.
=2+4=6 
rango C = 2
Si rg C = 2 = rg A < nº de ecuaciones  Sistema compatible indeterminado,
soluciones.
=2+4=6

∞
rango C = 2
95
Si rango C = 2 
 a 1, -1
rango A = 3
0
sistema incompatible
soluciones
 menor principal de orden 3 en C => rag C =3
 rango C = 3 = rango A = nº incógnitas  Sistema compatible determinado 
solución única
96
en
función del parámetro . Resuélvelo, si es posible, para
= 10.
 No existe menor de orden 3 en C  rg C < 3
Si
= 0  - 5α + 50 = 0  α = 10
menor de orden 3 en A
y rg A = 2
Para α = 10  rg C = rg A = 2 < nº de incógnitas Sistema compatible indeterminado,
existen ∞ soluciones
Para α ≠ 10  rg C = 2 y rg A = 3 Sistema incompatible, no existe solución
Para resolverlo para el valor α = 10 eliminando una de las tres ecuaciones
97
Calculemos los valores de m que anulan el determinante de la matriz de coeficiente.
Si
rg C < 3 ; como 
= 0
rag C = 2
En las dos primeras columnas de C ampliamos con los términos independientes y
calculamos los valores de m que anulan
Si m = 0
rg A < 3 pues no existe menor principal de orden 3.
S
rag A = 2 para m = 0
Como rag C = 2 y rag A = 2 => rag C = rag A < nº incógnitas
Sistema compatible indeterminado =>   soluciones.
Si m  0,
rg A = 3 pues si existe el menor principal de orden 3 ya que
m  0 rag C = 2; rag A = 3
=>
0
sistema incompatible, no tiene solución
98











si rg C < rg A sistema incompatible



soluciones








Si rg A = rg C = 2 < nº incógnitas ; Sistema compatible indeterminado ; ∞ soluc.
99


≠ 1, -2
≠0
 menor principal 3 en C rgC = rgA = 3 = nº incógnitas
sistema compatible determinado -> solucion unica.
100
para los
diferentes valores de a y resolverlo para a = 0
Calculamos los valores de a que anulen el
=
+3
existe en A el mismo menor principal de orden 2  rg A = 2
Si rg C = rg A < nº de incógnitas  Sistema compatible indeterminado  existen ∞
soluciones
101
Si rg C
rg A  Sistema incompatible  No existen soluciones
existe en A el mismo menor principal de orden 2  rg A = 2
Si rg C = rg A < nº de incógnitas  Sistema compatible indeterminado  existen ∞
soluciones
a ≠ 0, 1, -4  │C │ ≠ 0  rg C = 3
El rg A = 3 pues no puede ser mayor al no existir menores de orden 4
Si rg C = rg A = nº de incógnitas  Sistema compatible determinado  solución
única para
cada valor de a distinto de 0, 1 y -4.
102
según los
valores de λ, y resolverlo cuando sea posible.
Al tener más ecuaciones que incógnitas empezamos discutiendo la matriz ampliada
Hallemos los valores de λ que hacen que
=0
= 0 ; - λ3 + 3λ2 - 3λ +1 = 0 ; λ3 - 3λ2 + 3λ - 1 = 0
1
1
1
λ=1
-3
3
-1
1
-2
1
-2
1
0
=0
rag A
Si rg C = rg A = nº incognitas
única.
λ
0
λ=1
El sistema me queda
Sistema compatible determinado
solución
=> rag A = 3
Si rg C solo puede ser 2 o 1 pues no hay una tercera columna en C 
rg C  rg A , el sistema es por tanto incompatible   solucion real
Resolvamos para λ = 1 el sistema
103
según los valores de a
Hallemos los valores de a que anulen el
=0
==>
2a2 + 4a - 6 = 0 ==> a2 + 2a - 3 = 0 ;

=>
Sistema compatible indeterminado;  ∞ soluciones.
2 =>
Ampliamos el menor de orden 2 con los términos independientes
Si rgC ≠ rgA ==> sistema incompatible ==>
a ≠ 1, -3 rag C = 3 pues
solución.
≠ 0 y el ragA = 3 pues
menores de orden 4
Si rag C = rag A = nº de incógnitas ==> Sistema compatible determinado ==>
==> solución única para cada valor de a
104
λ=1
=>
=0
m.p. orden 3 en C y como todos los menores de orden 2 son nulos
m.p. orden 2 en C
0
m.p. orden 1 en C => rg. C = 1
En la matriz A ampliamos el C´´ =>
Como rag. C = rag. A = 1 < nº incógnitas=>
soluciones.
λ=-2
Si rag.C

 ≠ 1, -2
=0
rag.A
Sist. Comp. Indeterminado
m.p. orden 3 en C y como
=>
rag C = 3 pues
sistema Incompatible
=>
≠ 0 y el ragA = 3 pues
solución
menores de orden 4
Si rag C = rag A = nº de incógnitas ==> Sistema compatible determinado ==>
==> solución única para cada valor de a
105
Resolver para λ = 0
Como y = - x ==>
106
Discutir según los valores del parámetro , y resolver en los casos
que sea posible el sistema:
(PAU modelo 2004-05)
= 9 – 10 + 3
2
- 5 + 9 - 6 = 3 2- 11
+8
=0
3
Para = 8/3
2
- 11 +8 = 0
=0
;
=
≠0
=
Si rg C = 2 y rg A = 3
=1
A=
⟨
m .p. orden 2 en C
rg C = 2
= 16 + 20 + 8 - 5 – 18 - 256/9 ≠ 0 rg A = 3
A=
Para
=
=0
=
≠0
Sistema incompatible
m .p. orden 2 en C
∌ solución.
rg C = 2
= 6 + 3 + 20 - 5 - 4 - 18 = 2 ≠ 0 rg A = 3
Si rg C = 2 y rg A = 3
Sistema incompatible
∌
solución.
≠ 8/3 y 1
Para
=0
≠0
rg C =3 = rg A = nº incógnitas. => Sistema compatible
determinado Solución única.
y=2+z
-4x = +3
x = -3/4
2 z = -3 + 9/4 = - ¾ => z = -3/8 ; y = 2 – 3/8 => y = 13/8
107
Discutir según los valores del parámetro real
la posición relativa
de los planos:
(PAU Septiembre 2004-2005)
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
; x1 = 2 ; x2 = -8/3

menor principal de orden 3 en C, rag C = 3 = rag A= nº de
incógnitas, el sistema sería compatible determinado; solución única.

menor principal de orden 3 en C; rag C <3
|C’|=
0, (usando la 1º y 3ª fila y la 1ª Y 3ª columna);
menor principal
de orden 2 en C, rag C=2
|A|=
rag A = 3

menor principal de orden 3 en A,
rag C; el sistema es incompatible, no hay soluciones reales.
menor principal de orden 3 en C; rag C<3
|C’|=
0 (usando la 1º y 2ª fila y la 1ª Y 2ª columna);
menor
principal de orden 2 en C, rag C=2
|A|=
en A, rag A = 3
menor principal de orden 3
rag C; el sistema es incompatible, no hay soluciones reales.
108
Calculemos los valores de m que hacen
=0
– 9 m – 27 = 0
Si m = - 3
==> 9 m = – 27;
m=–3
No existe menor principal de orden 3 ==> rg C < 3
A partir de él ampliamos con los términos independientes.
rg A = 3 ; Si rg C ≠ rg A ==> sistema incompatible  no existe solución real
| C | ≠ 0 existe menor principal de orden 3 ==> rg C = 3
Si rg A = 3 ya que no existen menores de orden 4. Si rg C = rg A = 3 = nº de incógnitas
==>
sistema compatible determinado ==> existe solución única.
109
= 0  No existe menor de orden 3 en C  rg C < 3
Si - 5m + 50 = 0  m = 10
A=2
=0
menor de orden 3 en A y rg A < 3  rg
Si m = 10  rg C = rg A = 2 < nº de incógnitas, sistema compatible indeterminado
con ∞ soluciones
m ≠ 10  rg C = 2 y rg A = 3 ya que
solución
≠ 0 , sistema incompatible, no existe
Si lo resolvemos para el valor de m = 10, eliminamos una de las tres ecuaciones.
=>
x = 1 + 1/5 λ
y = -1 + 3/5 λ
z=
λ
λ
R
110

El sistema es homogéneo por lo que basta con trabajar con la matriz de coeficientes
= · (2 -  - 12) – 16 + 10  + 3 - 9 - 2 + 8 =
= λ3 - λ2 - 12λ - 16 + 10 λ + 3 λ – 9 - 2 λ + 8 = λ3 - λ2 - λ + 1
= 0  λ3 - λ2 - λ + 1 = 0 Por Ruffini
=
Para
λ= 1
=>
Si rg C < nº de incognitas  sistema compatible indeterminado con ∞ soluciones.
;
Para
=>
λ= -1
=>
Si rg C < nº de incognitas  sistema compatible indeterminado con ∞ soluciones.
=>
111
 ≠ 1,-1 
≠ 0  rg C = 3
 rg C = rg A = 3 = nº de incognitas
|A| ≠ 0  rg A = 3
Sistema compatible con solución trivial x = 0 ; y = 0 ; z = 0
112
Encuentra los valores del parámetro α que hacen que el sistema:
Si rg C < rg A =>
Sistema incompatible
solución
α=4
Si rg A = rg C = 2 < número de incógnitas => Sistema Compatible Indeterminado =>
=>
 α ≠ 3, 4
C ≠0
 menor principal orden 3 en C
rg C = 3
Si rg C = rg A = 3 = nº incógnitas  Sistema compatible determinado 
 solución única
113
H
distinta de la trivial. Resolverlo en esos casos.
Para que un sistema homogéneo tenga solución ≠ de (0,0,0) => el rg C = 2 ó 1 pero
siempre menor que el nº incógnitas
Si rg C = 2 es que  menor principal de orden 3 en C, es decir
=3ó4
=0
 rg C = 2 < nº incógnitas y el sistema tiene ∞ soluciones


114
y resolverlo para a=2
Hallaremos los valores de a que hacen que
=0
; - a2 – 2a - 1 = 0
a=-1
|C| = 0
=>
rg C < 3
No existe menor de orden 3 en C
Ampliamos con los términos independientes
= - 2 – 1 + 1 ≠ 0 rg A = 3 existe menor de orden 3 en A
Como rg C ≠ rg A
a ≠ -1
orden 4
sistema incompatible no existe solución
=> rg C= 3 , Como rg A = 3 por no existir menores principales de
Si rg C = rg A = nº de incógnitas. Según Rouche el sistema será compatible determinado. Existe solución única
Para resolverlo para a= 2 el sistema queda:
sistema con 3 ecuaciones
y 3 incógnitas y |C| ≠ 0. Es un sistema de Cramer
115
y se pide: a) Discutir
el sistema según los valores de p.
b) Resolverlo para p = 2
= -5–2–p+5 =-2- p
- 2 - p = 0  p = - 2 No existe menor de orden 3 en C  rg C < 3
Si p = - 2 =>
= - 5 ≠ 0 existe menor de orden 2 en C  rg C = 2
y rg A = 3
rg C = 2 y rg A = 3 Sistema incompatible, no existe solución
Si p ≠ -2 rg C = rg A = 3 = nº de incógnitas Sistema compatible determinado,
solución única para cada valor de p distinto del -2
Para resolverlo para el valor p = 2
Como se puede observar la solución es la terna (1,0,1)
116
Calculemos los valores de a para que
=0
 a2 – a – 2 = 0
a= 2
= 0  rg C < 3 pues no existe menor principal de orden 3
4–2 0
de orden 2.
rg C = 2
menor principal
A partir de él ampliamos con los términos independientes.
4–2-2=0
menor principal de orden 3  rg A = 2
si rg C = rg A = 2 < nº incógnitas  sist. Compatible indeterminado 
 existen ∞ soluciones. Para este valor hay que resolver el sistema:
Eliminamos una de las tres ecuaciones por ser combinación lineal de las otras,
(elimino la 1ª )
Si llamamos x = λ
para a = -1
obtenemos las ∞ soluciones.
= 0  rg C < 3 pues no existe menor principal de orden 3
1–2 0
principal de orden 2.
rg C = 2
menor
A partir de él ampliamos con los términos independientes.
117
–2-2
si rg C
0 existe menor principal de orden 3  rg A = 3
rg A = 2  sistema incompatible
a  2 , -1 rg C = rg A = 3  sistema compatible determinado, existe
solución única para esos valores de a.
118
ax  y  4 z  1

Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales:  x  ay  2 z  1
y  z  a

a) (1 punto) Discutir el sistema según los valores del parámetro a.
b) (1 punto) Resolver el sistema para a = 2.
c) (1 punto) Resolver el sistema para a = 1.
(PAU Septiembre 2000-2001)
a1  1
a 1 4
C  1 a 2  a 2  4  1  2a  a 2  2a  3  (a  1)(a  3) 
0 1 1
a2  3
a1  1
C 0
a2  3
a  1, 3  C  0   menor principal orden 3 en C  rg C=3= rg A= nº incógnitas 
 Sistema compatible determinado   solución única
a  1  C  0   menor principal orden 3 en C  rg C < 3
C´ 




1
 rgC  rgA  2  nº incógnitas  Sst comp. indeterminado    soluciones
1  0  C2=C3  rgA=2 


1
 0   menor principal orden 3 en C  rg C < 3
1 1
 2  0  rgC  2
1 1
1 1
A  1 1
0 1
a  3  C
3 1

 9  1  10  0  rgC  2 
1 3


3 1 1
 rgC  2  3  rgA  Sistema incompatible   solucion
A  1 3 1  28  0  rgA  3 


0 1 3
C´ 
a2
2 x  y  4 z  1

 x  2 y  2 z  1
y  z  2

119
1 1 4
1 2 2
2 1 1 4  5  12 13
x


A
5
5
2 1 4
1 1 2
0 2 1 10  7 3
y


A
5
5
2 1 1
1 2 1
0 1 2 6 1 7
z


A
5 5
a 1
x  y  4z  1

 x  y  2 z  1  Por ser un sistema compatible indeterminado se elimina una ecuación, por ejemplo la 2
y  z 1

x  y  4z  1  y  1  z


y  z 1
 x  1  z  4 z  1  x  3z
 x  3

  R
 y  1 
z  

120
Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente
del parámetro real a:
Se pide: a) Discutir el sistema según los diferentes valores del
parámetro a. b) Resolver el sistema para a= ‒1. c) Resolver el sistema
para a= 2.
(PAU Junio 2001-02)
a=0
a = ‒1
121
b) Resolvemos para a = ‒1
c)
Resolvemos para a = 2
por el método de Cramer
122
a) Discutir el sistema
según los valores de m; b) Resolverlo para m = 5
El sistema es homogéneo con lo que bastará con discutir el rango de coeficientes
según los valores de m ya que el rango de la ampliada será el mismo.
+
36m – 5 =
Si
= 0 ===> rgC < 3 ya que el menor de orden 3 no es
principal
para valer 0
-7 m² +36m – 5 =0 ===> m =
m = 1/ 7
 rg C = 2 < nº incógnitas ===> Sistema es compatible con ∞ soluciones
según Ronche
m=5
 rg C = 2 < nº incógnitas ===> Sistema es compatible con ∞ soluciones
según Ronche
m ≠ 1/7, 5 ===>
incógnitas
≠ 0 existen menor principal orden 3 ===> rg C = 3 = nº
===> Sistema con solución trivial x = 0 , y = 0 , z = 0 Según Ronche
b) Resuelve para m=5
Al ser
= 0 puedo eliminar uno de las 3 ecuaciones por ser Combinación lineal y el
123
sistema queda
Resuelva el sistema en x , y por Cramer
124
Se considera el sistema de ecuaciones.
ax  y  z  (a  1)(a  2)

2
 x  ay  z  (a  1) (a  2)
 x  y  az  (a  1) 3 (a  2)

a) Comprobar que es compatible para todo valor de a
b) Describir en términos geométricos el conjunto de soluciones para
a = 1 y para a = -2
c) Resolverlo para a = -2
(PAU Junio 1999-2000)
a) Para que sea compatible, el ragA = ragC, llamando A a la matriz ampliada, y C
a la matriz de coeficientes.
a 1 1
C  1 a 1  a 3  1  1  a  a  a  a 3  3a  2
1 1 a
Ruffini → (a - 1)∙(a 2 a  2) →
a
C =0
 1  1  4(1)(2)  1  9  1  3 1 


 
2
2
2  2 
C  (a  1)(a  1)(a  2)
Para a = 1, -2 =>
sistema
el ragC = ragA = 2 < nº de incognitas . Por ser un
homogéneo, es compatible indeterminado =>
a  1,2 el ragC = ragA = 3 = nº de incógnitas → El sistema será compatible
determinado
con una única solución.
b) Para a = 1 me queda solo una ecuación
plano
x  y  z  0
→ Su solución es un
Para a = -2 al ser el rag C = 2 elimino una de las tres ecuaciones
 2 x  y  z  0
Como rag A = rag C → su solución es una recta.

x  2 y  z  0
125
 2 x  y  z  0

c)  x  2 y  z  0 → como el rag = 2 → eliminamos una ecuación.
x  y  2z  0

 2 x  y   z
=>

x  2 y   z
x  

→ y    R
z  

126
a) Encuentra los valores de λ para que el rango de
la matriz de los coeficientes del sistema sea 2.
b) Resuelve el sistema anterior para λ=0
(PAU Junio 1998)
Como hay solo 3 ecuaciones para 4 incógnitas homogéneo , habría que buscar un rag
C = rag A
Para no hacer todos los determinantes 3x3 en función de , hacemos Gauss
2λ-3=0 ;
λ = 3/2
rg C = 2
y el rg A = 2 pues es homogéneo
y existen ∞ soluciones al ser menor que el numero de incógnitas.
Para λ  3/2
rg C = 3 y el rg A = 3 pues es homogéneo
También existen ∞ soluciones al ser menor que el numero de incógnitas.
Resolvámoslo para λ = 0 
t = 2x 
z = - x y llamando x =


y=0
nos queda
127
Si el rango de la matriz de coeficientes de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es igual a dos, ¿puede ser compatible el sistema?. ¿Puede ser compatible y determinado?. ¿Puede ser incompatible?.
Llamamos C a la matriz de coeficientes y A a la matriz ampliada con la columna de
los términos independientes.
Si el rango C = 2, el sistema será compatible en cuanto el rango A = 2.
Ahora bien, como en este caso el rango es menor que el número de incógnitas, el
sistema tendrá infinitas soluciones, por lo que el sistema nunca podrá ser compatible y
determinado.
Se puede observar que una de las tres ecuaciones es combinación lineal de las otras
dos, por lo que puede ser suprimida.
Nos queda pues, un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas, una de las cuales se
pasa al segundo miembro, y para cada valor que se le de a esa incógnita, obtendremos
una de las infinitas soluciones.
Si el rango A = 3, entonces el sistema será incompatible, ya que entonces rg C  rg A.
Un sistema de dos ecuaciones con cuatro incógnitas, ¿puede ser
incompatible?. En caso afirmativo mostrarlo con un ejemplo.
Un sistema de dos ecuaciones con cuatro incógnitas si que puede ser incompatible,
es decir, puede no tener solución.
Esto ocurrirá cuando el rango de la matriz de coeficientes sea distinto del rango de la
matriz ampliada.
Por ejemplo:
la
matriz
ampliada
128
Un sistema de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas, ¿puede
ser compatible y determinado?. En caso afirmativo, poner un
ejemplo.
Para que el sistema sea compatible y determinado, deberá verificarse que el rango de
la matriz de coeficientes deberá ser igual al rango de la matriz ampliada e igual a 2, que
es el número de incógnitas.
Para construir un sistema así, basta con partir de un sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas y añadir una combinación lineal de ambas ecuaciones.
rg C = rg A = 2 = nº de incógnitas ==> solución única
y = 2 ; x + y = 8 ===> x = 8 - 2 ==> x = 6
129
130