2 +

LAS CÓNICAS COMO LUGARES GEOMÉTRICOS
Elipse: lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de
distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
d(X,F) + d(X,F’) = k
LAS CÓNICAS COMO LUGARES GEOMÉTRICOS
Hipérbola: lugar geométrico de los puntos del plano cuya
diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es
constante.
|d(X,F) – d(X,F’)| = k
LAS CÓNICAS COMO LUGARES GEOMÉTRICOS
Parábola: lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de un punto, llamado foco, y de una recta llamada
directriz.
d(X,F) = d(X,d)
ESTUDIO DE LA ELIPSE
Elipse: lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de
distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
ELEMENTOS DE LA ELIPSE
Centro de la elipse: O
Semieje mayor: a
Semieje menor: b
Semidistancia focal: c
Focos: F(c,0), F(-c,0)
Vértices: A(a,0), A’(-a,0), B(0,b), B’(0,-b)
Constante: k = 2a, porque d(A,F) + d(A,F’) = k,
luego k = 2a
RELACIONES EN LA ELIPSE:
1) a2 = b2 + c2
El vértice B cumple: d(B,F) + d(B,F’) = k
Como k = 2a y d(B,F) = d(B,F’)
d(B,F) = d(B,F’) = a
a, b y c forman un triángulo rectángulo, luego a2 = b2 + c2
2) Excentricidad: exc =
c
a
La excentricidad de una elipse es un número comprendido entre 0 y 1.
Cuanto más separados están los focos, mayor es la excentricidad
y más se aleja la elipse de la circunferencia.
a = 15, c = 4
exc = 4/15 = 0’267
a = 15, c = 12
a = 15, c = 9
exc = 9/15 = 0’6
¿Cómo será una elipse de excentricidad cero?
Es una circunferencia
exc = 12/15 = 0’8
ECUACIÓN REDUCIDA DE LA ELIPSE:
Ecuación de la elipse centrada en el origen de coordenadas y cuyos ejes son los
ejes de coordenadas.
Cualquier punto X(x,y) de la elipse cumple: d(X,F) + d(X,F’) = k
Como k = 2a , d(X,F) + d(X,F’) = k , (x c)2 (y 0)2
(x c)2 (y 0)2
2a
(x c)2 (y 0)2
x
2
2cx c
2
y
(x c)2 (y 0)2
2
2a
x
x 2 2cx c2 y 2
x2
c2
2cx
y2
2
2cx c
2a,
2
2
y ,
a x
2cx c
y
2
2
a2x 2 2a2cx a2c2 a2 y 2
a2x 2 a2c2 a2 y 2
2cx c
2cx,
2
a2 cx ,
2
x2
2
2
2cx
4a x 2 2cx c2 y 2
2a
x
2
2a,
2cx c
2
y
2
c2
y2 ,
4a2 4cx,
a2 cx, elevando al cuadrado,
a2 x2 2cx c2 y2
a4 2a2cx c 2x 2 ,
y
x 2 2cx c2 y 2
x 2 2cx c 2 y 2 ,
4a2 4a x2 2cx c2 y2
Simplificando por 4, a x 2 2cx c2 y 2
2
x
2
4a2 4a x 2 2cx c2 y 2
2cx 4a2 4a x 2 2cx c2 y 2
2
x 2 2cx c2 y 2
a2x 2
a4 c2x 2 , a2x 2 c2x 2 a2 y 2
2a2cx
a2c2 a2 y2
a4
2a2cx
c2 x 2 ,
a4 a2c2 , sacando factor común a
x2 en el 1er miembro y a a2 en el 2º, se obtiene x2 a2 c2
como a2 = b2 + c2, a2 – c2 = b2, luego b2x 2 a2 y 2
a4 2a2cx c2x 2 ,
a2 y2
a2 a2 c2 ,
a2b2 , dividiendo por a2b2, se obtiene
2
,
2 2
bx
b2 x 2
2
a b
2
2 2
ay
a2 y 2
2
a b
2
2 2
2b2, se obtiene: b x
dividiendo
por
a
ab ,
a2b2
2 2
a2 b2
2
a b
2
, es decir,
a2 y 2
a2b2
2
x
2
a
a2b 2
,
2 2
ab
2
y
2
b
1
EJEMPLO 1: Escribir la ecuación de la elipse centrada en el origen de focos (2,0) y (-2,0) y
constante 6.
2
x
La ecuación de una elipse centrada en el origen de coordenadas es de la forma:
a2
K = 2a, luego 2a = 6, a = 3
y2
b2
1
a2 = b2 + c2, b2 = a2 – c2, b2 = 9 – 4 = 5
x2
9
y2
5
1
EJEMPLO 2: Escribir la ecuación de la elipse centrada en el origen, de excentricidad 0’8 y
semieje mayor 10. Represéntala.
2
2
x
y
La ecuación de una elipse centrada en el origen de coordenadas es de la forma:
1
a2 b2
c c
= 0’8, c = 8; a2 = b2 + c2, b2 = a2 – c2, b2 = 100 – 64,
Conocemos a = 10, como exc = ,
a 10
b2 = 36, b = 6.
x2
100
y2
36
1
x2
REPRESENTACIÓN DE
100
1.- Ejes de coordenadas
2.- Centro de la elipse
3.- Semiejes
4.- Vértices de la elipse
5.- Dibujar la elipse
y2
36
1
ECUACIÓN REDUCIDA DE LA ELIPSE CON LOS FOCOS EN EL EJE Y:
FOCOS SOBRE EL EJE X
x2
2
a
y2
2
b
1
FOCOS SOBRE EL EJE Y
2
y
2
a
2
x
2
b
1
ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON EL CENTRO FUERA DEL ORIGEN DE COORDENADAS
FOCOS SOBRE EL EJE Y
FOCOS SOBRE EL EJE X
)2
(x
a
2
)2
(y
b
2
1
)2
(y
a
2
)2
(x
b
2
1
EJEMPLO: Halla los elementos notables y la excentricidad de la siguiente
elipse y represéntala.
y2
36
x2
16
1
Centro: O(0,0)
Focos sobre el eje Y
Semiejes: a: 6, b = 4
a2 = b2 + c2, c2 = a2 – b2 = 36 – 16 = 20,
c = 20 = 4’47
Vértices: A(0,6), A’(0,-6), B(4,0), B’(-4,0)
Focos: F(0,4’47), F’(0,-4’47)
EJEMPLO: Halla los elementos notables y la excentricidad de la siguiente
elipse y represéntala.
(x 2)2
4
y2
1
Centro: C(2,0)
Focos sobre el eje X
Semiejes: a = 2, b = 1
a2 = b2 + c2, c2 = a2 – b2 = 4 – 1 = 3,
c=
3 = 1’73
Vértices: A(4,0), A’(0,0), B(2,1), B’(2,-1)
Focos: F(2’73,0), F’(0’27,0)
exc =
c
a
3
2
0’866
EJEMPLO: Halla los elementos notables y la excentricidad de la siguiente
elipse y represéntala.
(x 2)2
25
(y 1)2
16
1
Centro: C(-2,1)
Focos sobre paralelo al eje X
Semiejes: a = 5, b = 4
a2 = b2 + c2, c2 = a2 – b2 = 25 – 16 = 9,
c=3
Vértices: A(4,0), A’(0,0), B(2,1), B’(2,-1)
Focos: F(2’73,0), F’(0’27,0)
exc =
c
a
3
5
0’6
EJEMPLO: Halla los elementos notables y la excentricidad de la elipse
4x2 + y2 = 4 y represéntala.
Dividiendo la ecuación por 4 obtenemos: x
2
y2
4
y2
1,
4
x2
1
Centro: C(0,0)
Focos sobre el eje Y
Semiejes: a = 2, b = 1
a2 = b2 + c2, c2 = a2 – b2 = 4 – 1 = 3,
c=
3 = 1’73
Vértices: A(0,2), A’(0,-2), B(1,0), B’(-1,0)
Focos: F(0,1’73), F’(0,-1’73)
exc =
c
a
3
2
0’866
EJEMPLO: Halla los elementos notables y la excentricidad de la
elipse 4x2 + 9y2 – 8x + 36y + 4 = 0 y represéntala.
Si nos fijamos en los términos que contienen x podemos escribir:
(2x – 2)2 = 4x2 – 8x + 4
(3y + 6)2 = 9y2 + 36y + 36
luego
4x2 + 9y2 – 8x + 36y + 4 = (2x – 2)2 + (3y + 6)2 – 36
por tanto la ecuación de la elipse se puede escribir:
(2x – 2)2 + (3y + 6)2 – 36 = 0
(2x – 2)2 + (3y + 6)2 = 36
Si en el primer binomio se extrae factor común a 2 y en el segundo a 3, se obtiene:
[2(x – 2)]2 +[3(y + 2)]2 – 36 = 0, 4(x – 2)2 +9(y + 2)2 = 36
4(x 2)2
36
9(y 2)2
36
36
36
(x 2)
9
2
dividiendo por 36
(y 2)
4
2
1
(x 2)2
9
(y 2)2
4
1
Focos sobre un eje paralelo al eje X
Centro: C(2,-2)
Semiejes: a = 3, b = 2
a2 = b2 + c2, c2 = a2 – b2 = 9 – 4 = 5,
c=
5 = 2’24
Vértices: A(5,-2), A’(-1,-2), B(2,0), B’(2,-4)
Focos: F(4’24,-2), F’(-0’24,-2)
exc =
c
a
5
2
0’118