Práctica 2

SEÑALES Y SISTEMAS. PRÁCTICAS 2003/2004
PRÁCTICA 2. SISTEMAS LTI (LINEALES E INVARIANTES EN EL TIEMPO)
Plazo entrega: 2 Abril
Duración aproximada: 2 horas
1.- Introducción teórica
1.1.- Sistemas LTI discretos. Suma de Convolución
1.1.1.- Representación de señales discretas en términos de impulsos
Una señal discreta puede ser vista como la combinación lineal de una serie de
impulsos retrasados en el tiempo:
x[n] =
∞
∑ x[k ]δ [n − k ]
k = −∞
1.1.2.- Respuesta de un sistema LTI
Por el Principio de Superposición, la respuesta y[n] de un sistema LTI discreto
es la suma de las respuestas a cada uno de los impulsos desplazados en el tiempo que
forman la señal de entrada x[n] .
Si denominamos hk [n] a la respuesta del sistema al impulso δ [n − k ] , entonces
la respuesta a la señal de entrada x[n] puede ser escrita de la forma:
y[n] =
∞
∑ x[k ]h [n]
k = −∞
k
Utilizando la propiedad de invarianza temporal del sistema LTI, todas las
respuestas a los impulsos son versiones desplazadas de la misma respuesta al impulso
para k = 0 :
hk [n] = h0 [n − k ]
Por lo tanto, la respuesta al impulso h[n] = h0 [n] de un sistema LTI lo
caracteriza completamente.
1.1.3.- Suma de convolución
La suma de convolución es la respuesta de un sistema LTI discreto a una entrada
arbitraria:
y[n] =
∞
∑ x[k ]h[n − k ]
k = −∞
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1.1.4.- Operación de convolución
De forma más general, la convolución de dos señales discretas v[n] y w[n] ,
denotada como v[n]∗ w[n] se define como:
v[n]∗ w[n] =
∞
∑ v[k ]w[n − k ]
k = −∞
1.1.4.1.- Propiedades
a) Conmutativa
v[n]∗ w[n] = w[n]∗ v[n]
b) Asociativa
v[n]∗ (w[n]∗ y[n]) = (v[n]∗ w[n]) ∗ y[n]
c) Distributiva
x[n]∗ (v[n] + w[n]) = x[n]∗ v[n] + x[n]∗ w[n]
d) Otras propiedades
a (v[n]∗ w[n]) = (av[n]) ∗ w[n] = v[n]∗ (aw[n])
v[n]∗ w[n − N ] = (v ∗ w)[n − N ]
1.2.- Sistemas LTI continuos. Integral de convolución.
1.2.1.- Representación de señales continuas en términos de impulsos
Una señal continua puede ser expresada como la combinación lineal de un
continuo de impulsos:
+∞
x(t ) = ∫ x(τ )δ (t − τ )dτ
−∞
Podemos obtener esta expresión utilizando la propiedad de muestreo de la
función impulso:
x(τ )δ (t − τ ) = x(τ )δ (− (τ − t )) = x(τ )δ (τ − t ) = x(t )δ (τ − t )
+∞
+∞
+∞
−∞
−∞
−∞
∫ x(τ )δ (t − τ )dτ = ∫ x(t )δ (τ − t )dτ = x(t ) ∫ δ (τ − t )dτ = x(t )
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1.2.2.- Respuesta al impulso e integral de convolución de un sistema LTI
La propiedad de linealidad de los sistemas LTI nos permite aplicar el Principio
de Superposición para calcular la respuesta del sistema a la señal de entrada x̂(t ) . Si
denominamos hˆ (t ) a la respuesta del sistema al pulso de área unidad δ (t − k∆ ) para
∆
k∆
− ∞ < k < +∞ , la respuesta será:
yˆ (t ) =
∞
∑ x(k∆ )hˆ (t )∆
k∆
k = −∞
Se cumple además:
hˆk∆ (t ) → hτ (t ), ∆ → 0
En el límite obtenemos las expresiones:
x(t ) = lim xˆ (t )
∆ →0
+∞
y (t ) = lim yˆ (t ) = ∫ x(τ )hτ (t )dτ
∆ →0
−∞
Aplicando la propiedad de invarianza temporal de los sistemas LTI sabemos que
hτ (t ) = h0 (t ) con un desplazamiento temporal τ . Definimos la respuesta al impulso
unidad como h(t ) = h0 (t ) , que puede ser expresada mediante la integral de convolucion:
+∞
y (t ) = ∫ x(τ )h(t − τ )dτ
−∞
Un sistema LTI queda totalmente determinado a través de su respuesta al
impulso.
1.2.3.- La operación de convolución
La convolución de dos señales v(t ) y w(t ) , definida como v(t ) ∗ w(t ) será:
+∞
v(t ) ∗ w(t ) = ∫ v(τ )w(t − τ )dτ
−∞
Y cumplirá las siguientes propiedades:
a)
b)
c)
d)
e)
Conmutativa
Asociativa
Distributiva
Conmutativa con respecto a la multiplicación por un escalar
Desplazamiento temporal
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f) La convolución con el impulso unidad no modifica la señal
1.3.- Propiedades de los sistemas LTI
Dado que los sistemas LTI están caracterizados por su respuesta al impulso, sus
propiedades estarán caracterizadas también por ésta.
1.3.1.- Conmutativa
x
h
y
h
y
x
1.3.2.- Distributiva
x ∗ (h1 + h2 ) = x ∗ h1 + x ∗ h2
h1
+
x
+
h2
h
h1 ∗ h2
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y
y
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1.3.3.- Asociativa
y = ( x ∗ h1 ) ∗ h2 = x ∗ (h1 ∗ h2 )
x
y
h1
h
h2
h1 ∗ h2
y
1.3.4.- Memoria
Un sistema continuo LTI será sin memoria si la respuesta al impulso es nula para
t ≠ 0 , es decir, impulsos y dobletes unitarios o de orden más alto. Para el caso discreto
deberá ser de la forma h[n] = Aδ [n] .
1.3.5.- Invertibilidad
Un sistema es invertible si existe otro sistema tal que la combinación de ambos
deja inalterada la señal de entrada. En un sistema LTI con respuesta al impulso h(t ) ,
esto es equivalente a la existencia de otro sistema hI (t ) que cumple:
h(t ) ∗ hI (t ) = δ (t )
1.3.6.- Causalidad
Utilizando la definición de causalidad y la suma de convolución, podemos llegar
a la conclusión de que para que un sistema LTI sea causal, su respuesta al impulso
deberá satisfacer:
h(t ) = 0 t < 0
h[k ] = 0 k < 0
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