Tema 2. Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo (Sesión 2)

SISTEMAS LINEALES
Tema 2. Sistemas Lineales e
Invariantes en el Tiempo (Sesión 2)
14 de octubre de 2010
F. JAVIER ACEVEDO
[email protected]
TEMA 2
Contenidos.
•Representación de señales discretas en términos de
impulsos
•Representación de señales continuas en términos de
impulsos
•Respuesta al impulso en sistemas LTI discretos. Suma de
convolución. Ejemplos de suma de convolución
•Respuesta al impulso en sistemas LTI discretos. Integral de
convolución. Ejemplos de integral de convolución.
•Propiedades de los sistemas LTI a partir de su respuesta al
impulso.
•Respuesta al escalón.
•Sistemas descritos por ecuaciones en diferencias.
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SISTEMAS LINEALES.
REPASO DE CONCEPTOS
En un sistema LTI la respuesta al impulso (h[n] o h(t)) caracteriza completamente el
sistema. Es decir, a partir de la respuesta al impulso podemos conocer la salida ante
cualquier entrada mediante la operación de convolución.
y [n] =
h[n] = y[n]|x[n]=δ[n]
∞
P
k=−∞
y (t) =
h(t) = y(t)|x(t)=δ(t)
R∞
−∞
Las propiedades que cumple la convolución son:
a) Conmutativa
b) Asociativa
c) Distributiva
Importante:
x(t) ∗ δ(t) = x(t)
x(t) ∗ δ(t − t0 ) = x(t − t0 )
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x [k] h [n − k] = x[n] ∗ h[n]
x(τ )h (t − τ )dτ = x (t) ∗ h (t)
REPASO DE CONCEPTOS
Es imprescindible entender qué significa que el sistema es LTI. En el siguiente ejemplo, en el
que se conocen las salidas ante x1[n] y x2[n] encuentre la respuesta al impulso.
4
4
4
3
x1 [n]
3
y1 [n]
2
2
1
1
2
1
1
0
0
-1
-1
-2
-4
-2
-3
-2
-1
0
1
2
3
-2
-4
4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
2
4
x2 [n]
y2 [n]
3
2
1
2
1.5
1
0.5
1
0
1
-0.5
0
-1.5
-1
-2
-4
-2
-1
-2
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
h[n] =
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-3
-2
-1
0
1
2
3
4
PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS
A partir de la respuesta al impulso, en un sistema LTI, se puede determinar sus propiedades de
causalidad, memoria, estabilidad y encontrar el sistema inverso si existe.
a) Causalidad: Un sistema es causal cuando su salida no anticipa valores futuros de
la entrada. Podemos asegurar que un sistema es causal si:
h(t) = 0 t < 0
h[n] = 0 n < 0
Demostración: Si el sistema es causal, al no poder depender de valores futuros
de x[n] en la suma de convolución no podrá depender de valores de x[k] si k>n
y [n] =
∞
P
k=−∞
x [k] h [n − k] =
Para que se de esa igualdad:
n
P
k=−∞
x [k] h [n − k]
Esta igualdad solo
si es causal
h[n − k] = 0 si k > n
h[n − k] = 0 si n − k < 0
Si recordamos que (h[n] o h(t)) es la respuesta al impulso, parece lógico que un
sistema LTI que es causal (y por tanto no puede anticipar la entrada) no pueda tener
salida no nula antes de del instante cero.
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PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS
b) Memoria: En un sistema LTI sin memoria, su respuesta al impulso solo puede ser
un múltiplo de δ[n], δ(t)
h(t) = 0 ∀t 6= 0
Sistema sin memoria: h[n] = 0 ∀n 6= 0
Dado que en un sistema sin memoria, la salida no puede depender de valores
pasados ni futuros de la entrada, solo puede ser no nula en el instante cero.
c) Estabilidad: Un sistema LTI es estable si se cumple:
∞
P
−∞
R∞
|h[n]| < ∞
−∞
|h(t)|dt < ∞
Demostración: En un sistema estable, la salida tiene que estar acotada si la entrada
está acotada:
|x[n]| ≤ P
|y [n] | = |
∞
P
k=−∞
∞
P
k=−∞
|y[n]| < ∞
x [k] h [n − k] | =
|x [k] ||h [n − k] | ≤
∞
P
k=−∞
∞
P
k=−∞
|x [k] ||h [n − k] | < ∞
P |h [n − k] |∞
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∞
P
−∞
|h[n]| < ∞
PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS
d) Invertibilidad. Un sistema será invertible si existe un sistema tal que
h[n] ∗ hI [n] = δ[n]
x (t)
Sistema
h(t) ∗ hI (t) = δ(t)
y (t)
h(t)
δ (t)
Sistema Inverso
hI (t)
h (t)
z (t) = x (t)
δ (t)
Ejemplos: De los siguientes sistemas LTI conocemos su respuesta al impulso.
Deduzca a partir de las mismas las propiedades de causalidad, memoria y estabilidad.
a) h[n] = 2n u[n]
b) h(t) = 3δ(t + 1)
c) h[n] = cos(3n + 2)
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PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS
De los siguientes sistemas deduzca sus propiedades de linealidad, invarianza en el
tiempo, causalidad, memoria y estabilidad. Para aquellos que sean LTI calcule su
respuesta al impulso (de la forma más cerrada posible) y a partir de la misma vuelva a
deducir sus propiedades de causalidad, memoria y estabilidad.
a)
y[n] = x[n]
b) y(t) =
Rt
∞
x(τ )dτ
c) y[n] = cos(n)x[n]
d) y[n] =
∞
P
k=0
x[k]cos[n − k]
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RESPUESTA AL ESCALÓN
Hasta ahora hemos trabajado con la respuesta al impulso (h[n] o h(t)). A veces
interesa trabajar con la respuesta al escalón:
s[n] = y[n]|x[n]=u[n]
s(t) = y(t)|x(t)=u(t)
La respuesta al escalón está relacionada con la respuesta al impulso mediante:
h[n] = s[n] − s[n − 1]
s[n] =
n
P
h(t) =
h[k]
s(t) =
k=−∞
Una propiedad de los sistemas LTI es que
y(t)
x(t)
d(s(t))
dt
Rt
−∞
= s0 (t)
h(τ )dτ
y 0 (t)
x0 (t)
A partir de las propiedades de la convolución, podemos
deducir ´
que:
³
0
0
y (t) = x(t) ∗ h (t)
0
y(t) = x (t) ∗
y(t) = x0 (t) ∗ s(t)
y[n] = (x[n] − x[n − 1) ∗ s[n]
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Rt
−∞
h(τ )dτ
SISTEMAS DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS
Un sistema descrito por una ecuación en diferencias es aquél que viene definido
como:
N
M
P
k=0
ak y[n − k] =
P
k=0
bk x[n − k]
De la ecuación anterior podemos despejar y[n] como:
y[n] =
1
a0
µ
M
P
k=1
bk x[n − k] −
N
P
k=0
¶
bk y[n − k]
Si
el sistema se denomina no recursivo. Se trata de un sistema LTI y su
respuesta al impulso viene dada por:
h[n] =
bn
a0
0
0<n<M
resto
sistema FIR (Finite Impulse Response )
Cuando N 6= 0 el sistema se denomina recursivo, ya que para conocer el valor de
y[n] en un determinado instante necesitamos conocer las salidas en N instantes
anteriores.
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SISTEMAS DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS
N 6= 0
Un sistema descrito en ecuaciones en diferencias recursivo será LTI si se cumple:
Si x[n] = 0 < n0 → y[n] = 0 ∀n < n0
En general, si el sistema parte del reposo, el sistema es LTI y causal y la salida
Ejemplo:
Calcular la respuesta al impulso del siguiente sistema descrito por su ecuación
en diferencias, sabiendo que parte del reposo
−3y[n − 1] + 2y[n − 2] + y[n] = x[n]
³
´
n+1
h[n] = (2)
− 1 u[n]
Sistema causal, con memoria e inestable.
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