Tema 2. Introducción a las señales y los sistemas (Sesión 1)

SISTEMAS LINEALES
Tema 2. Introducción a las señales y
los sistemas (Sesión 1)
7 de octubre de 2010
F. JAVIER ACEVEDO
[email protected]
TEMA 2
Contenidos.
•Representación de señales discretas en términos de
impulsos
•Representación de señales continuas en términos de
impulsos
•Respuesta al impulso en sistemas LTI discretos. Suma de
convolución. Ejemplos de suma de convolución
•Respuesta al impulso en sistemas LTI discretos. Integral de
convolución. Ejemplos de integral de convolución.
•Propiedades de los sistemas LTI a partir de su respuesta al
impulso.
•Respuesta al escalón.
•Sistemas descritos por ecuaciones en diferencias.
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SEÑALES DISCRETAS EN TÉRMINOS DE IMPULSOS
Supongamos la señal x[n] dada en la figura. La podemos descomponer como:
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-8
4
3.5
-4
-2
0
2
4
6
8
4
3.5
3.5
3
3
3
2.5
+
2
1.5
2.5
2.5
+
2
1
1
0.5
0.5
0.5
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0
-8
2
1.5
1.5
1
0
-8
-6
4
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0
-8
-6
-4
x [n] = 1δ [n + 1] + 2δ [n] + 3δ[n − 1]
x [n] = x [−1] δ [n + 1] + x [0] δ [n] + x [1]δ[n − 1]
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SISTEMAS LINEALES.
-2
0
2
4
6
8
SEÑALES DISCRETAS EN TÉRMINOS DE IMPULSOS
x [n]
3
2
2
1
1
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
-1
Otro ejemplo:
-2
x [n] = 1δ[n + 3] + (−2)δ[n + 2] + 3δ[n + 1] + 2δ[n] + 1δ[n − 1] + 2δ[n − 2] +
(−1)δ[n − 3]
x [n] = x[−3]δ[n − (−3)] + x[−2]δ[n − (−2)] + x[−1]δ[n − (−1)] + x[0]δ[n] +
x[1]δ[n − 1] + x[2]δ[n − 2] + x[3]δ[n − 3]
Por tanto, cualquier señal en tiempo discreto puede ser definida en función de un
sumatorio de deltas de Kronecker desplazadas y ponderadas:
x [n] =
∞
P
k=−∞
x [k] δ [n − k]
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SEÑALES CONTINUAS EN TÉRMINOS DE IMPULSOS
Dada una señal continua, x(t) podemos aproximarla como un sumatorio de pulsos
ponderados
4
Si definimos la señal como
3
2
1
s(t) =
0
1
∆
−
∆
2
<t<
∆
2
0 resto
-1
-2
-3
-4
-10
x̂(t) =
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
∞
P
k=−∞
x(k∆)s(t − k∆)∆
Cuanto más estrechos se hagan los pulsos, mejor aproximación tendremos.
lim s(t) → δ(t)
∆→0
x (t) =
R∞
−∞
x(τ )δ (t − τ )dτ
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SISTEMAS LINEALES.
SISTEMAS LTI-LINEALIDAD
Sabiendo que tenemos un sistema lineal y que ante las entradas x1[n] y x2[n] hemos obtenido
las señales de salida correspondientes, calcule la señal de salida ante la entrada x3[n].
3
2
1.5
2.5
1
x1 [n]
2
y1 [n]
0.5
1.5
0
-0.5
1
-1
0.5
0
-8
-1.5
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
2
-2
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
2
1.8
1.5
1.6
1
1.4
x2 [n]
1.2
0.5
1
y2 [n]
0
0.8
-0.5
0.6
-1
0.4
0.2
0
-8
-1.5
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
2
-2
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
1.8
1.6
1.4
x3 [n]
y3 [n] = y1 [n] − 2y2 [n]
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
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SISTEMAS LINEALES.
SISTEMAS LTI-INVARIANZA
Sabiendo que tenemos un sistema invariante y que ante las entrada x1[n] se ha obtenido la
señal de salida correspondiente, calcule la señal de salida ante la entrada x2[n].
x1 [n]
2
2
1.8
1.8
1.6
1.6
1.4
1.4
1.2
1.2
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0
-8
y1 [n]
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
2
1.5
1.8
1.6
1.4
1
1.2
x2 [n]
1
0.8
0.5
0.6
0.4
0.2
0
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0
-8
x2 [n] = x1 [n + 2]
-6
-4
-2
0
2
4
y2 [n] = y1 [n + 2]
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6
8
SISTEMAS LTI-RESPUESTA AL IMPULSO
Sabiendo que tenemos un sistema LTI y que ante las entrada x1[n] se ha obtenido la señal de
salida correspondiente, calcule la señal de salida ante la entrada x2[n].
1.5
4
y1 [n]
3.5
x1 [n]
3
1
2.5
2
1.5
0.5
1
0.5
0
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
3
0
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
8
7
x2 [n]
2.5
6
2
5
1.5
4
3
1
2
0.5
0
-8
1
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
y2 [n] = y1 [n] + 2y1 [n − 1]
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SISTEMAS LTI-RESPUESTA AL IMPULSO
Otro ejemplo: Sabiendo que tenemos un sistema LTI y que ante las entrada x1[n] se ha
obtenido la señal de salida correspondiente, calcule la señal de salida ante la entrada x2[n].
1.5
3
2.5
y1 [n]
2
x1 [n]
1.5
1
1
0.5
0
0.5
-0.5
-1
-1.5
0
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-2
-8
-6
-4
-2
0
2
3
2.5
x2 [n]
y2 [n]
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
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4
6
8
SISTEMAS LTI-RESPUESTA AL IMPULSO
En los ejemplos anteriores, estamos aprovechando que el sistema es LTI. Si no fuera así, no
podríamos determinar la salida. Además, como sabemos que toda señal en tiempo discreto se
puede determinar como:
x [n] =
∞
P
k=−∞
x [k] δ [n − k]
Si conocemos la salida o respuesta del sistema a x[n] = δ[n] podemos conocer la
salida para cualquier señal.
h[n] = y[n]|x[n]
h[n] es la respuesta al impulso (h(t) para sistemas continuos). En sistemas LTI
caracteriza completamente al sistema. Es decir, basta conocer h[n] para determinar
la salida, aunque no conozcamos implícitamente la relación entrada-salida del
sistema.
Para sistemas no LTI podemos conocer la respuesta al impulso, pero esta
información no nos sirve para caracterizar el sistema.
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SUMA DE CONVOLUCIÓN
En un sistema discreto LTI, en el que conocemos su respuesta al impulso, podemos
calcular la salida ante cualquier entrada mediante:
y [n] =
∞
P
k=−∞
x [k] h [n − k]
La expresión anterior se denomina suma de convolución y se expresa como:
y[n] = x[n] ∗ h[n]
Cumple las siguientes propiedades:
a) Conmutativa:
∞
P
k=−∞
x [n]
Sistema LTI
x [k] h [n − k] =
y [n]
∞
P
k=−∞
x [n − k] h [k]
h [n]
h [n]
Sistema LTI
x [n]
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y [n]
SUMA DE CONVOLUCIÓN
En un sistema LTI, en el que conocemos su respuesta al impulso, podemos calcular
la salida ante cualquier entrada mediante:
y [n] =
∞
P
k=−∞
x [k] h [n − k]
La expresión anterior se denomina suma de convolución y se expresa como:
y[n] = x[n] ∗ h[n]
Cumple las siguientes propiedades:
a) Conmutativa:
∞
P
k=−∞
x [n]
Sistema LTI
x [k] h [n − k] =
y [n]
∞
P
k=−∞
x [n − k] h [k]
h [n]
h [n]
Sistema LTI
x [n]
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y [n]
SUMA DE CONVOLUCIÓN
En un sistema LTI, en el que conocemos su respuesta al impulso, podemos calcular
la salida ante cualquier entrada mediante:
y [n] =
∞
P
k=−∞
x [k] h [n − k]
La expresión anterior se denomina suma de convolución y se expresa como:
y[n] = x[n] ∗ h[n]
Cumple las siguientes propiedades:
a) Conmutativa:
∞
P
k=−∞
x [n]
Sistema LTI
x [k] h [n − k] =
y [n]
∞
P
k=−∞
x [n − k] h [k]
h [n]
h [n]
Sistema LTI
x [n]
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y [n]
SUMA DE CONVOLUCIÓN
b) Asociativa:
x [n]
y[n] = x[n] ∗ (h1 [n] ∗ h2 [n]) = (x[n] ∗ h1 [n]) ∗ h2 [n]
y [n]
Sistema LTI
Sistema LTI
h2 [n]
h1 [n]
(x[n] ∗ h1 [n]) ∗ h2 [n]
x [n] ∗ h1 [n]
x [n]
Sistema LTI
y [n]
h1 [n] ∗ h2 [n]
Una consecuencia directa de esta propiedad es que si los sistemas que forman una
interconexión serie son LTI se puede cambiar el orden
x [n]
Sistema LTI
y [n]
x [n]
h1 [n] ∗ h2 [n]
x [n]
Sistema LTI
h2 [n]
Sistema LTI
y [n]
h2 [n] ∗ h1 [n]
Sistema LTI
y [n]
h1 [n]
Si los sistemas (o alguno de ellos) no son LTI no podemos asegurar lo anterior.
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SUMA DE CONVOLUCIÓN
c) Distributiva:
x [n]
y[n] = x[n] ∗ (h1 [n] + h2 [n]) = (x[n] ∗ h1 [n]) + (x[n] ∗ h2 [n])
Sistema LTI
h1 [n]
y [n]
x [n]
+
Sistema LTI
h1 [n] + h2 [n]
Sistema LTI
h2 [n]
Ejemplo:
h1 [n]
+
h3 [n]
x [n]
y [n]
+
h2 [n]
h4 [n]
ht [n] = ((h1 [n] + h2 [n]) ∗ h3 [n]) + h4 [n]
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y [n]
SUMA DE CONVOLUCIÓN
¿Cómo se realiza la convolución de dos señales discretas?
1. Obtenemos:
y[n] = x[n] ∗ h[n]
x[k] y h[−k]
2. Para cada valor de n desplazamos la señal h[n − k]
Para n<0 será un adelanto de n muestras de la señal h[-k]
Para n>0 será un retardo de n muestras de la señal h[-k]
3. Para cada valor de n obtenemos la señal producto x[k]h[n − k]
4. Sumamos todas las muestras y ese es el valor de salida para el instante n.
Ejemplo:
3
x [n]
-8
2
2
-6
-4
2
-2
6
4
8
-2
h [n]
2
1
-8
-6
-4
-2
2
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4
6
8
SUMA DE CONVOLUCIÓN
x[k] y h[−k]
1. Obtenemos:
3
Solo es un cambio de variable
2
2
x [k]
-6
-8
-4
-2
h [−k]
2
4
6
8
2
4
6
8
-2
2
1
-6
-8
-4
-2
3
Ej: Para n=-2
2
2
x [k]
-8
h [−5 − k]
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
2
4
6
8
-2
2
1
-6
-4
-2
x[k]h [−5 − k]
-8
-6
-6
-4
-2
2
4
6
2
4
6
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8
SUMA DE CONVOLUCIÓN
3
Ej: Para n=-2
2
2
x [k]
-6
-8
-4
h [−2 − k]
-6
-8
2
-2
6
4
8
-2
2
y[−2] = 0
1
-4
2
-2
6
4
8
3
Ej: Para n=-1
2
2
x [k]
-8
-6
-4
h [−1 − k]
-8
-2
2
2
4
6
8
2
4
6
8
-2
1
-6
-4
-2
6
y[−1] = 6
x[k]h [−1 − k]
-8
-4
-2
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8
SUMA DE CONVOLUCIÓN
3
Ej: Para n=0
2
2
x [k]
-8
-6
-4
-2
h [−k]
2
2
4
6
8
2
4
6
8
-2
1
-8
-6
-4
-2
4
3
x[k]h [−k]
-8
-4
-2
y[0] = 3 + 4 = 7
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SISTEMAS LINEALES.
8
SUMA DE CONVOLUCIÓN
3
Ej: Para n=1
2
2
x [k]
-8
-6
-4
2
-2
4
6
8
4
6
8
-2
h [1 − k]
2
1
-8
-6
-4
2
-2
2
x[k]h [1 − k]
-8
-4
y[1] = 2 − 4 = −2
8
-2
-4
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SUMA DE CONVOLUCIÓN
3
Ej: Para n=2
2
2
x [k]
-8
-6
-4
2
-2
4
6
8
4
6
8
-2
h [2 − k]
2
1
-8
-6
-4
-2
2
4
x[k]h [2 − k]
-8
-4
8
-2
-2
y[2] = −2 + 4 = 2
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SUMA DE CONVOLUCIÓN
3
Ej: Para n=3
2
2
x [k]
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
4
6
8
-2
h [3 − k]
2
1
-8
-6
-4
-2
2
2
x[k]h [3 − k]
-8
-4
-2
y[3] = 2
Para n>3 la salida será nula.
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SISTEMAS LINEALES.
8
SUMA DE CONVOLUCIÓN
Por tanto, la convolución de estas dos señales:
3
x [n]
-8
2
2
-6
-4
2
-2
6
4
8
-2
h [n]
2
1
-8
-6
-4
Da como resultado:
2
-2
6
y [n]
6
4
6
8
7
2
-6
4
2
-4
2
-2
Si hubiéramos dejado fija h[k] y desplazado x[n-k] el resultado habría sido el mismo.
Para secuencias finitas, si x[n] tiene N muestras y h[n] L muestras la convolución
tendrá L+N-1 muestras.
Ejemplo: x[n] (N=4 muestras), h[n] (L=2 muestras), y[n]=4+2-1=5 muestras.
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SISTEMAS LINEALES.
INTEGRAL DE CONVOLUCIÓN
Para tiempo continuo hemos visto como cualquier señal puede ser descompuesta
mediante:
x (t) =
R∞
−∞
x(τ )δ (t − τ )dτ
Si en un sistema LTI conocemos su respuesta al impulso h(t), entonces la salida vendrá
dada por:
R
y (t) =
∞
x(τ )h (t
−∞
− τ )dτ = x (t) ∗ h (t)
Las propiedades (conmutativa, distributiva y asociativa) son las mismas que en tiempo
discreto. Para realizar una convolución en tiempo continuo, los pasos son muy similares
a los expuestos en tiempo discreto.
1.
2.
3.
4.
Obtener x(τ ) (cambio de variable) y h(−τ ) (cambio de variable y reflexión).
Analizar por tramos. Para diferentes valores de t, obtener la señal h(t − τ )
Obtener para los diferentes valores de t la señal multiplicación x(τ )h(t − τ )
Encontrar el área que encierra la señal anterior.
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SISTEMAS LINEALES.
INTEGRAL DE CONVOLUCIÓN
Ejemplo: Obtener la convolución de x(t) con h(t).
x (t)
x (t) =
4
3
2t
0<t<2
0 resto
2
-6
-8
-4
2
-2
6
4
8
4
h (t)
-6
-8
h (t) =
2
-4
2
-2
6
4
8
Obtenemos x (τ ) y h (−τ )
4
x (τ )
2
-8
-6
-4
2
-2
4
h (−τ )
2
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SISTEMAS LINEALES.
4
6
8
1 0<t<3
0 resto
INTEGRAL DE CONVOLUCIÓN
Si t<0 (por ejemplo t=-2)
4
x (τ )
2
-6
-8
-4
2
-2
4
h (−2 − τ )
2
4
x(τ )h (−τ )
2
³
R∞
y (t) = −∞ x(τ )h t − τ )dτ = −∞ 0dτ = 0
R∞
Para t<0 la salida será nula.
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SISTEMAS LINEALES.
4
6
8
INTEGRAL DE CONVOLUCIÓN
Si 0<t<2 (ejemplo t=1)
4
x (τ )
2
-6
-8
-4
2
-2
6
4
8
4
h (1 − τ )
2
4
x(τ )h (1 − τ )
y (t) =
R∞
2
− τ )dτ =
−∞ x(τ )h(t
R1
3
0 2 τ dτ
= 34 τ 2 |10 =
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SISTEMAS LINEALES.
3
4
La
salida
valdrá
para
t=1 el área de
esa señal
INTEGRAL DE CONVOLUCIÓN
En general, en el tramo 0<t<2
4
x (τ )
2
-6
-8
-4
2
-2
4
4
h (t − τ )
2
4
x(τ )h (−τ )
y (t) =
R∞
t
2
x(τ )h(t − τ )dτ =
−∞
Rt
3
τ dτ
0 2
= 34 τ 2 |t0 = 34 t2
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SISTEMAS LINEALES.
6
8
INTEGRAL DE CONVOLUCIÓN
Para el tramo 2<t<3
4
x (τ )
2
-6
-8
-4
2
-2
4
6
8
4
h (t − τ )
2
4
x(τ )h (−τ )
y (t) =
R∞
t
2
− τ )dτ =
−∞ x(τ )h(t
R2
3
0 2 τ dτ
= 34 τ 2 |20 = 34 4 = 3
Mientras la multiplicación de ambas señales produzca la misma señal, la salida será
constante.
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SISTEMAS LINEALES.
INTEGRAL DE CONVOLUCIÓN
Para el tramo 3<t<
4
x (τ )
2
-6
-8
-4
2
-2
6
4
4
h (t − τ )
2
4
x(τ )h (−τ )
y (t) =
R∞
−∞
2
x(τ )h(t − τ )dτ =
¿Hasta cuándo durará este tramo?.
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SISTEMAS LINEALES.
t
8
INTEGRAL DE CONVOLUCIÓN
Para el tramo t>
4
x (τ )
2
-8
-6
-4
2
-2
4
6
8
4
h (t − τ )
2
4
x(τ )h (−τ )
y (t) =
R∞
−∞
2
x(τ )h(t − τ )dτ = 0
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SISTEMAS LINEALES.
t