Descargar

Curso Matemática Básica 1
Calculo de porcentajes, regla de
tres simple, compuesta, reaparto
proporcional
Compilación y armado: Sergio Pellizza
dto. Apoyatura Académica I.S.E.S.
Lecc 1ª Qué son Porcentajes?
Lecc 2ª Problemas con Porcentajes IPC
Lecc 3 ª Interés Simple
Lecc 4 ª Calcular intereses - Meses y
días
Lecc 5ª Regla de Tres
Lecc 6ª Regla de Tres (Continuación)
Lecc 7ª Razones y Proporciones
Lecc 8ª Proporcionalidad Inversa o
Regla de Tres Inversa
Lecc 9ª Reparto Proporcional Simple
Lecc 10ª
Reparto Proporcional
Simple (Continuación)
Lecc 11ª
Reparto Proporcional
Inverso
Lecc 12 ª
Reparto Proporcional
Compuesto (directo)
Lecc 13 ª
Reparto Proporcional
Compuesto (inverso)
Lecc 14 ª
Reparto Proporcional
Mixto
¿QUE SON PORCENTAJES?
PORCENTAJES
¿Qué se entiende por porcentaje?
Porcentaje equivale a una fracción cuyo denominador siempre es 100. El numerador,
cuyo valor puede variar, nos indica el número de partes de un total de 100 y escribimos
y también 4% ,
, 9%, etc. Leemos: el cuatro por 100, el 9 por cien y
también: el 4 por ciento, el 9 por ciento.
Si decimos: el 14% de los alumnos y alumnas aprovechan el verano para estudiar un
idioma extranjero.
Significa que de cada 100 alumnos, 14 estudian un idioma en verano .
6.1 Escribe: el 12 por cien
el 22 por ciento
Respuestas:
12% y también
22% y también
TANTO POR CIENTO DE UNA
CANTIDAD
Cuando hablamos del tanto por ciento nos referimos a un número o a una cantidad: el
4% de 790, el 12% de 1000, etc.
La preposición de equivale a la operación de multiplicar ‘
’.
Es lo mismo: el 4% de790 que
6.2 Calcula el 12% de 1000.
Respuesta: 120
Solución:
Tienes resuelto paso a paso:
6.3 ¿Cuánto es el 20% de 50?
Respuesta:10
6.4 El 4% de los habitantes de un pueblo de 1200 habitantes hablan inglés. ¿Cuántos
son los habitantes que hablan inglés?
Respuesta: 48 habitantes
6.5 El 20% de los alumnos de un colegio de 400 hablan inglés correctamente.
¿Cuántos alumnos no hablan inglés correctamente?
Respuesta: el 80% ó 320 alumnos.
Solución:
Si de cada 100 alumnos, 20 habla inglés correctamente quiere decir que: 100 – 20 = 80
(que lo podemos escribir como el 80%) no lo hablan.
El número de alumnos que habla inglés correctamente es:
El 20% de 400 será:
El número de alumnos que no habla inglés correctamente es de: 400 - 80 = 320.
Calculamos de otro modo el número de alumnos que no habla inglés:
.
6.6 En un pueblo viven 800 personas de las que el 40% son mujeres. ¿Cuántas mujeres
y hombres habitan en el pueblo?
Respuesta:320 mujeres y 480 hombres.
Solución:
Recuerda que la palabra ‘ vez ’ o ‘ veces ’ equivale a multiplicar ‘
’
Hallamos el 40% de 800:
Si el 40% son mujeres, quiere decir que, el 60% son hombres.
Calculamos el números de hombres que hay en el pueblo:
hombres
El total de mujeres y hombres nos tienen que dar el total de habitantes: 320 + 480 = 800.
PROBLEMAS CON PORCENTAJES
– IPC
6.7 En una clase hay un total de 25 alumnos. Han aprobado matemáticas el 64%.
¿Cuántos alumnos han suspendido?
Respuesta: 9 alumnos
Solución:
Hallamos el número de alumnos que han aprobado:
Habrán suspendido: 25 – 16 = 9 alumnos.
6.8 Un par de zapatos costaron hasta ayer 36 €. A partir de hoy van a descontar un 10%.
¿Cuánto pagaré por ellos?
Respuesta: 32,40 €
Solución:
Debo calcular el 10% de 36:
Si me descuentan 3,60 € debo pagar: 36 – 3,60 = 32,40 €
6.9 He comprado un libro que lleva el precio de 15 € y a la hora de pagar, el librero me
cobra 16,05 €. ¿Se ha equivocado?
6.10 En un bosque el 65% de los árboles que hay son pinos. El número de árboles es de
12000. ¿Cuántos pinos hay?
Respuesta: 7800 pinos.
6.11 Un pantalón sin IVA vale 25 €. Si el impuesto del IVA es del 16% ¿Cuánto tengo
que pagar por él?
Respuesta: 29 €
Solución:
Calculo a cuanto asciende el IVA:
Debo pagar:
El IPC significa Índice de Precios al Consumo. Se aprende en unos segundos.¿No
oyes decir en casa a tu madre o a quien se ocupe de la compra, que los precios de las
patatas, frutas, aceite, ropa, libros, etc., han subido?.
Son pocas las veces que los precios bajan. Cada mes, se hace un cálculo de la variación
que han experimentado los precios de los artículos más necesarios que necesita una
familia: alimentarse, vestirse, pagar la vivienda, etc.
Esos precios se toman de varios miles de establecimientos repartidos por toda España.
Al resultado de la variación del conjunto de los precios se llama índice y se mide en
tanto por ciento Cuando los primeros días de cada mes lees en el periódico o escuchas
en el Telediario que el IPC ha subido un 0,5% quiere decir que los precios con relación
al mes pasado han subido un 0,5%.
El dato del IPC es importante conocerlo para muchas cosas. Si los sueldos de quienes
trabajan y pensiones de los jubilados no suben y sí los precios, llegaría un momento en
que no podríamos comprar los artículos más necesarios. 6.12 He leído: “El IPC (Índice
de Precios del Consumo) hoy es un 4% más caro que hace un año”. ¿Qué quiere decir?
Respuesta: Significa que para comprar las mismas cosas que hace un año, hoy tengo
que pagar un 4% más y para poder mantener el mismo nivel de vida tengo ganar un
4% más. Los jubilados tendrán que cobrarun 4% más que el año pasado.
6.13 Mipadre ganaba el año pasado 1500 € al mes ¿Cuánto deberá ganar este año para
mantener el mismo nivel de vida si el IPC ha subido un 3,5% con relación al año
pasado?
Respuesta: 1552,50 €
Solución:
Calculo en cuanto han subido los precios y para ello calculo el 3,5%
de 1500:
Si los precios han subido 52,50 € en esa misma cantidad tendrán que subir los sueldos y
pensiones.
Este año mi padre deberá ganar: 1500+52,50 = 1552,50 €.
6.14 Una barra de pan cuesta 0,85 € sin tener en cuenta el IVA (el IVA correspondiente
al pan es el 4%). ¿Cuánto debo pagar incluido el IVA?
Respuesta: 0,88 €
6.15 Si una persona el año pasado cobraba al mes 1480 € ¿cuánto deberá ganar
mensualmente este año si el IPC ha subido un 3%?
Respuesta: 1524,40 €
6.16 Han comenzado las rebajas. Me compro una camisa cuyo precio es de 18 €. Si me
hacen una rebaja del 15% ¿cuánto debo pagar por ella?
Respuesta: 15,30 €
INTERÉS SIMPLE
Las carpinterías trabajan con maderas.
Las cajas de ahorros con dinero.
Los sastres con telas.
Los bancos con dinero.
Si por tu cumpleaños has recibido un total de 200 € y en lugar de tenerlos guardados en
tu habitación los llevas a una caja de ahorros o un banco, verás que después de un año
tienes más de 200 €. Te pueden dar un 3% (suele variar).
Esto quiere decir que por cada 100 € al final del año te dan 3 €, luego por 200 €, te
darán 6 €.
Si en lugar de tener 1 año en la caja de ahorros o un banco tienes 2, después de estos 2
años dispones de los 200 que llevaste más 12 €. Si sacas lo que tienes guardado te
devolverán 212 €.
Se llama interés (se representa con una I) a la cantidad de dinero que produce lo tienes
depositado en un banco o caja de ahorros después de un tiempo.
Se llama rédito o tipo de interés (se representa con una r)la cantidad de dinero que paga
el banco o caja de ahorros por cada 100 euros.
Se llama capital (se representa con una C) al dinero que ingresas o llevas al banco o
caja de ahorros.
Se llama tiempo (se representa con una t) a los años que tienes depositado tu dinero.
Cuanto más dinero(C) colocas en el banco o caja de ahorros más interés recibirás.
Cuanto mayor sea el tipo de interés (r) más dinero recibirás al final del año.
Cuanto más tiempo (t) lo tengas depositado el dinero más intereses recibirás.
Si tienes un capital de 1000 € y al cabo de 1 año te pagan un rédito del 3%, los intereses
que te corresponden serán:
El 3 por 100 de 1000 que lo puedo escribir:
Interés=
Recibiría al cabo de 1 año….. 30€.
Si lo tuviera depositado en el banco o caja de ahorros durante 2 años,
recibiría…….…30 2 = 60 €.
La fórmula para el cálculo del interés I que produce un capital C a un tipo de interés r
durante un tiempo t es igual a:
Ejemplo:
Si depositas un capital de 1000 € en un banco al 3% de tipo de interés o rédito durante
un tiempo de 5 años te corresponderán:
A la fórmula para el cálculo del interés algunos le llaman “ carrete partido por 100”. Lo
de “ carrete” es por las letras:
UNAS PREGUNTAS:
Como tú hay muchos miles, incluso millones de personas que depositan dinero en las
cajas de ahorro y los bancos.
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
¿Los bancos y cajas de ahorro regalan el dinero por dejarles que nos lo cuiden?
¿No se arruinan si nos “regalan” dinero?
¿No se les acaba el dinero?
¿No dicen que ganan mucho dinero?
¿Qué hacen con nuestro dinero?
En el tema de negocios nadie regala nada si no es para ganar más dinero.
Los bancos y cajas de ahorro te dan un pequeño tipo de interés, pero ellos invierten tu
dinero en empresas como las que producen y distribuyen la electricidad, petróleo,
autopistas, etc., donde obtienen grandes beneficios. Si te dan un 3% de rédito, ellos
pueden obtener: 25%, 40% incluso mucho más.
Si necesitas dinero, ellos te lo prestan a más de un 5%, mientras que a ti te dan un 3%.
6.17 ¿Cuánto dinero producen 8000 € al 3% en 10 años?
Respuesta: 2400 €
Solución:
Aplicamos la fórmula del interés:
6.18 Calcula los intereses que producen 12000 € al 2,5% durante 6 años.
Respuesta: 1800 €
6.19 Con el dinero que me han producido 2000 € al 3% durante 2 años he comprado una
bicicleta pero mis padres me han dado el dinero del IVA. ¿A cuánto ascendía el IVA
(16%)?
Respuesta: 19,20 €
CALCULAR INTERES – MESES Y
DIAS
CALCULAR INTERESES
CUANDO EL TIEMPO LO
EXPRESAMOS EN MESES Y
DÍAS:
¿Qué sucede cuando quiero cobrar los intereses y para completar el año me faltan 7
meses? ¿Debo esperar a que se cumpla el año?
No. El cálculo mensual es muy sencillo. La fórmula:
se refiere al interés
después de transcurridos un año ó 12 meses (que tiene el año).
El interés que corresponde a 1 mes sería a ese valor dividido por 12:
Como 12 pasa dividiendo lo coloco en el denominador y como allí se encuentra con
100, los multiplico.
Si tuviera ingresado durante 5 meses el cálculo lo haría:
6.20¿Cuántos intereses me producen 1000 € al 3% en 5 meses?:
Respuesta: 12,5 €
Solución:
Aplico la fórmula:
6.21¿Cuántos intereses me producen 2000 € al 3% en 15 meses?:
Respuesta: 75 €
Lo mismo sucede cuando quiero cobrar intereses y han transcurrido 122 días. No tengo
que esperar a que transcurran 360 días (en los cálculos de intereses y descuentos puedes
tomar el año comercial o año de 360 días en lugar de 365).
La fórmula:
se refiere al interés después de transcurridos un año ó 360 días
(que tiene el año comercial).
El interés que corresponde a 1 día sería a ese valor dividido por 360. Como 360 pasa
dividiendo lo coloco en el denominador y como allí se encuentra con 100, los
multiplico.
Si tuviera ingresado durante 55 días el cálculo lo haría:
6.22 Calcula los intereses que corresponden a 900 € al 2,8% durante 200 días:
Respuesta: 14 €
6.23 Calcula los intereses que producen 900 € al 2,8% durante 38 meses.
Respuesta: 79,8 €
REGLA DE TRES
REGLA DE TRES SIMPLE:
La regla de tres simple se llama así porque conociendo tres datos tenemos que hallar un
cuarto dato que desconocemos.
6.24 Un coche recorre 120 kilómetros con 5 litros de gasolina. ¿Cuántos kilómetros
recorrerá con 12 litros?
Respuesta: 288 kilómetros
Solución:
Los tres datos que conozco son; 120 Km., 5 litros y 12 litros. El cuarto dato, el
desconocido que lo llamaré ‘x ’ es el que hay que calcularlo.
Los datos los escribo del siguiente modo:
Los leo así:
Con 5 litros recorro 120 Km, con 12 litros recorreré x que es el dato desconocido.
Es como decir: con más gasolina recorreré más kilómetros .
Cuando en la frase aparece más .... más... o cuando aparece ..... menos
....menos.... decimos que
LAREGLA DE TRES es DIRECTA.
Cuando la regla de tres es directa:
MULTIPLICAS EL DATO
CONOCIDO QUE ESTÁ ENCIMA
DE LA X (120) POR EL DATO QUE
ESTÁ EN SU FILA (12) Y SE
DIVIDE POR EL TERCER DATO
(5):
6.25 Con 15 € compro 14 kilos de naranjas ¿cuántos kilos podré comprar con 10 €?
Respuesta: 9,333 kilos.
Solución:
Escribo los datos como en el problema anterior:
Estos datos los leo del modo siguiente:
Con 15 € compro 14 kilos, con 10 € compraré xkilos.
Es como decir: Con menos euros compraré menos kilos.
Veo que se trata de una regla de tres directa porque en la frase aparece menos euros
..... menos kilos.
El valor de x será:
REGLA DE TRES INVERSA:
Sucede a veces, que cuando razonamos los datos que tenemos para resolver el problema
surgen en la frase las palabras:
Cuando aparecen las palabras más….menos o al revés, decimos que la regla de tres es
inversa.
6.26 Con 6 albañiles se puede acabar una obra en 20 días. ¿Cuántos días tardarían en
hacer esa obra si trabajaran 8 albañiles?
Respuesta: 15 días
Solución:
Colocamos los datos
Viendo los datos que tenemos podemos decir:
Con más albañiles terminaremos la obra en menos días.
Esto quiere decir que la regla de tres es inversa y para calcular el valor de ‘x’:
MULTIPLICAS LOS DATOS
CONOCIDOS QUE ESTÁN
ENCIMA DE LA X (20 Y 16) Y SE
DIVIDE POR EL TERCER DATO
CONOCIDO (18):
6.27 Una rueda da 1000 vueltas en 4 minutos ¿Cuántas vueltas dará en 1 hora?
Respuesta: 15000 vueltas.
Solución:
Otra forma de escribir los datos es:
Comparando, como siempre, el dato conocido de la segunda fila con su
correspondiente de la primera diremos:
A más minutos más vueltas
Luego se trata de una regla de tres directa:
6.28 Si tardas 20 minutos en llegar a tu colegio andando a una velocidad de 4 Km/hora.
¿Cuánto tardarías si fueras a 5Km/hora?
Respuesta: 16 minutos
Solución:
Comparo, como siempre, el dato conocido de la segunda fila con su correspondiente en
la primera y diré:
Amásvelocidad tardaré menostiempo
Vemos que se trata de una regla de tres inversa:
REGLA DE TRES
(CONTINUACION)
6.29 Una fuente vierte agua a razón de 15 litros cada 25 minutos ¿Cuántos litros verterá
en 1 hora y 20 minutos?
Respuesta: 51 litros
6.30 Trabajando juntos 4 albañiles construyen un muro en 12 días. ¿Cuántos días
habrían tardado si hubiesen trabajado 6 albañiles?
Respuesta: 8 días
6.31 Un grupo de amigos compuesto por 24 personas piensa pasar unos días por la
montaña y llevan comida para 10 días. A última hora por motivos diferentes 8 personas
no pueden ir. ¿Para cuántos días tienen comida?
Respuesta: 15 días
Solución:
Las personas que van de excursión son 16. A menos personas para comer tienen
comida para más días. La regla de tres es inversa.
REGLA DE TRES COMPUESTA:
Cuando el número de datos conocidos es mayor que tres entonces llamamos regla de
tres compuesta.
6.32 Doce obreros trabajando juntos durante 10 días, 6 horas al día han construido un
muro de 18 metros de longitud. ¿Cuántos días tardarán 4 obreros, trabajando 10 horas al
día para hacer un muro de 30 metros de longitud?
Respuesta: 30 días
Solución:
Colocamos los datos tal como lo hacíamos para la regla de tres simple:
Es como tener unidos varios planteamientos a interés simple.
Analizamos en primer lugar Obreros con Días, el resto de los datos no los tenemos en
cuenta:
A menos obreros tardarán más días
Inversa
Ahora, analizamos las Horas con los Días. Como antes, el resto de los datos no nos
interesan en este momento:
A más horas de trabajo al día necesitamos menos días
Inversa
Nos quedan Metros y Días:
A más metros de pared necesitamos más días
Directa
Para hacer las operaciones debes recordar que cuando es directa se multiplica el dato
que está encima de la ‘x’ por el que está en su misma fila y se divide por el dato
tercero. Si es inversa se multiplican los datos que están sobre la ‘x’ y se divide por el
que está en su fila. Teniendo esto en cuenta calculamos el valor de ‘x’:
6.33 Para ir desde un punto A hasta otro B necesitas ir andando 9 días durante 8 horas
al día a una velocidad de 5 Km/h. ¿Cuántos días tardaríamos si fuésemos a una
velocidad de 4 Km/h., caminando 10 horas al día?
Respuesta: 9 días
INTERÉS SIMPLE Y REGLA DE
TRES:
Los problemas de interés simple podemos resolverlos por medio de la regla de tres.
Vamos a resolver unos problemas de interés simple de dos formas.
6.34 Calcula interés que produce un capital de 1000 € en 3 años al 5%.
Respuesta: 150 €
Solución:
Vemos que en 1 año 100 € producen 5 €
1) por regla de tres:
A más euros de capital más intereses
A más años más intereses
2) Aplicando la fórmula del interés simple llegamos a los mismo:
6.34 Calcula haciendo uso de la regla de tres, los intereses que producen 2000 € al 3%
en 2 años y 60 días.
Respuesta: 130 €
Solución:
Los cálculos los hacemos tomando 360 días al año.
6.35 Calcula por medio de una regla de tres, los intereses que producirán 3000 € en 2
años y seis meses al 2%.
Respuesta: 150 €
RAZONES Y PROPORCIONES
Llamamos razónal cociente indicado de dos números:
son razones que como ves, se tratan de divisiones que están
indicadas, sin calcular su resultado.
Llamamos proporcióna la igualdad de dos razones:
Es una proporción porque tenemos igualadas dos razones;
proporción porque tenemos la igualdad de dos razones.
es otra
se lee: ‘a’ ES‘b’ COMO’c’ES a ‘d’.
La proporción:
En la vida de cada día vemos que muchas cosas son proporcionales:
1) Velocidad de un automóvil con el consumo de gasolina (a más velocidad, mayor
consumo de combustible).
2) Valor de un saco de patatas con los kilos que pesa (a más kilos mayor importe a
pagar).
3) Precio de un billete de tren con la distancia a recorrer (cuanto más lejos vaya, más
dinero pagaré por el billete).
Existen muchos otros ejemplos….
Los componentes de una proporción se llaman: Extremos y medios.
Los extremos, como su nombre indican son el primero y último términos de la
proporción.
Los medios, los que están entre los dos anteriores; segundo y tercero términos.
En la proporción:
medios.
, a y d son los extremos, b y c los
1) En toda proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios.
2) El cociente de las dos fracciones de una proporción siempre son iguales. (Porque
las fracciones son equivalentes)
Veamos la siguiente proporción:
1) El producto de los extremos es:
2) El producto de los medios es:
El cociente de
son iguales.
Al cociente de las fracciones de una proporción se llama constante de proporcionalidad
(muy útil para resolver problemas que tratan de repartos proporcionales).
6.36 ¿Crees que
y
forman una proporción?
Respuesta: Sí porque el producto de extremos es igual al producto de medios y porque
se trata de fracciones equivalentes.
6.37 ¿Cuál es la constante de proporcionalidad en
?
Respuesta:
PROPORCIONES Y REGLA DE
TRES:
Los problemas que hicimos utilizando la regla de tres, podemos resolverlos haciendo
uso de las proporciones.
Proporcionalidad directa (regla de tres directa):
En una proporción en la que nos dan el valor de 3 datos, podemos calcular el cuarto de
un modo muy simple. Veamos en un ejemplo:
6.38 Un vehículo recorre 300 kilómetros con 25 litros de gasolina. ¿Cuántos kilómetros
podría recorrer con 200 litros?
Respuesta:
Solución:
Por regla de tres escribimos los datos conocidos:
Si la regla de tres es directa, cada pareja de datos, debidamente ordenados, los
podemos escribir en forma de dos razones:
, como ves, en el mismo orden tal como los habíamos escrito en la
regla de tres.
Colocamos estas dos razones en forma de proporción:
Sabemos que en toda proporción el producto de extremos es igual al producto de
medios:
300 200 = 25 x
Para calcular el valor de x tenemos que pasar el número (25) que lo multiplica al otro
lado del signo =, es decir, donde se encuentran300 200 pero cuando un dato pasa al
otro lado del signo igual lo hace con el signo contrario al que tenía: si le sumaba a
‘x’ pasa restando, si estaba restando pasa sumando, si estaba multiplicando, pasa
dividiendo y se le estaba dividiendo pasa multiplicando.
En el caso actual, 25 multiplica a ‘x’, luego, pasará dividiendo:
6.39 Una rueda da 1000 vueltas en 4 minutos ¿Cuántas vueltas dará en 1 hora?.
Resuelve utilizando las proporciones:
Respuesta: 15000 vueltas.
Solución:
Directamente establecemos la proporción:
6.40 Con 30 € puedo comprar 2 camisas ¿cuántas podré comprar con 180 €? Resolverlo
haciendo uso de las proporciones.
Respuesta: 12 camisas
Solución:
6.41 Para construir 5 casas se han utilizado 22000 kilos de cemento. ¿Cuántas casas
podremos hacer con 132000 kilos?
Respuesta: 30 casas
PROPORCIONALIDAD INVERSA
O REGLA DE TRES INVERSA:
El inverso de un número se representa por la unidad dividida por dicho número:
Siempre dividimos la unidad por el número. Para calcular el inverso de
dividimos 1
entre
y escribimos:
. Al 1 del numerador lo podemos dividir por 1 sin que haya
variado ningún valor y escribiremos:
Es importante que lo que acabamos de decir lo tengas muy en cuenta. Veamos como
resolvemos un problema de proporcionalidad inversa o regla de tres inversa.
6.42 Un carpintero construye 9 mesas en 3 días trabajando 6 horas al día. ¿Cuántos días
necesitará para hacer el mismo número de mesas si trabaja 9 horas al día?
Respuesta: 2 días
Solución:
Loresolvemos primero por regla de tres:
(a más horas de trabajo al día necesitará menos días
inversa)
Resolvemos con proporciones:
Con los datos que tenemos establecemos las dos razones o cocientes:
por lo que se
refiere a los días y por lo que se refiere a las horas de trabajo por día. Pero como se
trata de una proporcionalidad inversa invertimos los datos de una razón;
hallamos el inverso de
que es
.
La proporción correcta para la resolución de este problema es:
Producto de extremos igual al producto de medios:
de donde
6.43 Un coche recorre hace un recorrido en 3 horas marchando a una velocidad de 100
Km/h. ¿Cuántas horas tardaría si va a una velocidad de 150 Km/h.?
Respuesta: 2 horas
Solución:
Calculamos por medio de una proporción:
Las razones son:
pero como sabemos que a más velocidad tardará
menos tiempo, hallamos el inverso de la segunda razón y así tenemos:
Establecemos la proporción y la resolvemos:
,
.
de donde
6.44 Calcula el número de días que hubieran necesitado 20 obreros para hacer un
trabajo que otro grupo de 30 necesitó 10 días.
Respuesta: 15 días
REPARTO PROPORCIONAL
SIMPLE
Repartir proporcionalmente significa dividir en partes un conjunto (manzanas, euros,
agua, DVDs., etc.) de un modo en que se cumplan unas determinadas condiciones.
Ejemplos:
Repartir el agua de un pantano entre tres pueblos con la condición de que el pueblo
que más habitantes tiene le corresponda más agua. En proporción al número de
habitantes.
Repartir 300 euros entre tres hermanos de 14, 10 y 7 años con la condición de que el
que más años tiene reciba más dinero. En proporción al número de años de cada uno.
Repartir el número de horas de riego de 3 campos de patatas con relación al número de
metros cuadrados de cada parcela. El agua que se reciba estará en proporción a la
superficie de cada terreno.
Repartir un tonel de gasolina entre cuatro coches con la condición de que el coche que
más cilindrada tiene reciba más litros de combustible. En proporción a la cilindrada de
cada vehículo.
Repartir 100000 €, procedentes de una herencia, entre dos hermanos de 69 y 48 años
de modo que el hermano más joven reciba más dinero. En proporción a los posibles
años que le quedan por vivir.
Se trata siempre de hacer un reparto, una división de un modo razonable y justo.
El cálculo de los repartos proporcionales es muy sencillo.
Basta que tengas en cuenta dos cosas:
Cantidad a repartir y número de partes.
Después haces uso de la regla de tres o de las proporciones.
Pasemos a la práctica:
6.45 Repartir 1800 € entre tres hermanos que tienen Andrés de 14 años, Elena de 12 y
Pedro de 9 años. Hay que repartir de modo que el más años tiene recibirá más dinero.
¿Cuánto recibirá cada uno?
Respuesta: Andrés 720 €, Elena 617,14 € y Pedro 462,86 €
Solución:
Cantidad a repartir: 1800 €
Número de partes es el del total de los años: 14 + 12 + 9 = 35 años.
Ahora aplico la regla de tres por lo que se refiere a Andrés:
A menos años corresponderán menos euros: Directa
Elena debe recibir:
A menos años corresponderán menos euros: Directa
A Pedro hay que darle:
A menos años corresponderán menos euros: Directa
La suma de lo recibido por los 3 debe ser igual a 1800:
Podemos resolverlo por medio de las proporciones:
En el caso de Andrés:
Para Elena y Pedro hacemos por el mismo procedimiento.
Otra forma de resolver este problema es usando la constante de proporcionalidad. La
constante de proporcionalidad se calcula dividiendo la cantidad a repartir (1800 €)
entre el total de partes (en el problema actual el total de años).
Una vez calculada la constante de proporcionalidad la multiplicamos por cada cantidad
(en este caso, por los años de cada hermano):
Es un modo muy sencillo de resolverlo.
¿Qué método debes utilizar? El que te resulte más cómodo, más sencillo.
REPARTO PROPORCIONAL
SIMPLE (CONTINUACION)
6.46 El agua de un pantano se estima en 1000000 m3(1 m3 = 1000 litros) . Hay que
repartir entre los habitantes de dos pueblos que tienen 2500 y 4000 habitantes. ¿Cuántos
m3 corresponde a cada pueblo?
Respuesta: 384615,38 m3 y 615384,62 m3
Solución:
Total de habitantes para
Al primer pueblo le corresponderán:
Por regla de tres:
A menos habitantes se necesitarán menos litros de agua. Directa
Al segundo pueblo le corresponderán:
Por regla de tres:
A menos habitantes se necesitarán menos litros de agua. Directa
habitantes.
Para comprobar si está bien resuelto, sumamos las dos cantidades obtenidas nos deben
dar 1000000 m3
Resolver este problema por medio de las proporciones verás que no ofrece dificultad
alguna.
Lo calculamos utilizando la constante de proporcionalidad:
La constante de proporcionalidad será:
Al primer pueblo le corresponderán:
Al segundo pueblo le corresponderán:
6.47 Dividir al número 900 en partes directamente proporcionales a
Respuesta: 234,78 €, 313,04 €, 352,18 €
Solución:
Hallamos la suma de las partes:
La regla de tres para la primera parte:
Como se trata de una regla de tres directa:
La regla de tres para la segunda parte:
La regla de tres para la tercera parte:
Lo resolvemos por proporciones:
1ª
El mismo procedimiento utilizamos para las otras dos partes.
Calculamos utilizando la constante de proporcionalidad:
Cantidad a repartir: 900
Total de partes:
Constante de proporcionalidad:
Al primero le corresponderán 469,5652174
Al segundo le corresponderán 469,5652174
Al tercero le corresponderán 469,5652174
6.48 Divide el número 2000 en partes directamente proporcionales a:
por el método que prefieras.
Respuestas: 722,8916 € --- 674,698 € --- 602,4096 €
REPARTO PROPORCIONAL
INVERSO
Hasta ahora hemos tratado únicamente lo que se refiere al reparto proporcional directo.
Los ejercicios que hemos hecho se refieren a repartos que cumplen las condiciones:
En la práctica surgen casos que cumplen las condiciones:
En estos dos últimos casos estamos refiriéndonos al reparto proporcional inverso.
Recuerda que el inverso de un número es igual a la unidad dividida por dicho número:
.
Si nos dicen que tenemos que repartir 300 € inversamente proporcionales a los números
2 y 3 significa que hemos de repartir entre:
Para ello sumo estas cantidades
Ahora no tengo más que dividir 300 en partes proporcionales a:
1º
1º
2º
2º
Un modo de resolver sería haciendo lo que hemos hecho hasta ahora (simplifico algunas
cantidades):
1º
2º
Otra forma de resolver sería haciendo aplicación de la constante de proporcionalidad.
La constante de proporcionalidad es:
Ahora se multiplica cada parte por la constante de proporcionalidad:
La primera parte que es
La segunda parte que es
multiplico por 360 = 180
multiplico por 360 = 120
6.49 Hay que repartir un premio de 3600 € entre dos personas cuyos sueldos
mensuales son 1200 y 1600 €, de modo que quien menos gane reciba mayor
gratificación (repartir 3600 € inversamente proporcional a los sueldos).
Resuélvelo haciendo uso de la constante de proporcionalidad.
Respuesta: 2057,14 y 1542,86 €
Solución:
Tengo que repartir los 3600 € inversamente a 1200 y 1600 € . Sus inversos
son:
Hallamos constante de proporcionalidad =
El m.c.m. (1200 y 1600) = 4800
Calculada la constante de proporcionalidad no tengo más que multiplicarla por cada
una de las partes:
6.50 Divide 3000 inversamente proporcional a 2, 3 y 5 primero, sin aplicar la constante
de proporcionalidad y segundo, aplicándola.
Respuesta: La constante de proporcionalidad = 2903,23; 1ª parte: 1451,62 €, 2ª parte:
967,74 € y tercera parte: 580,64 €
REPARTO PROPORCIONAL
COMPUESTO (DIRECTO):
Hasta ahora hemos hecho problemas que tenían que ver un solo tipo de datos.
Por ejemplo: Repartir 100 € entre dos hermanos, Juan de 15 anos y María de 16 años, de
modo que quien más edad tiene reciba más dinero. El tipo de datos en este caso son las
edades. La cantidad a repartir son los 100 €.
Pero puede suceder que tengamos más tipos de datos a la hora de hacer uso de los
repartos o divisiones de modo proporcional.
Por ejemplo:
6.51 Repartir 100 € entre dos hermanos, Juan de 15 años y María de 16 años que al
final de curso han obtenido unas notas cuyas medias han sido de 8 y 9, de modo que
quien más edad y mejores notas ha sacado debe recibir más dinero.
Como ves, se trata de un reparto proporcional compuesto directo.
Respuesta: 45,45 € y 54,55 €
Solución:
Es sumamente sencillo el modo de resolver.
1) Los tipos de datos los colocamos debidamente ordenados:
2) Los dos tipos de datos los multiplicamos cada dato de una serie o tipo por su
correspondiente en la otra ( u otras) serie o tipo y luego sumamos:
Calculamos la constante de proporcionalidad:
Ahora multiplicamos cada dato compuesto por la constante de proporcionalidad y
obtenemos las respuestas:
Puedes simplificar cuando las cantidades te lo permiten. Podemos simplificar por 24 la
última columna de:
Calculamos la constante de proporcionalidad:
Ahora multiplicamos cada dato compuesto simplificado por la constante de
proporcionalidad y obtenemos las respuestas:
Los resultados no varían.
REPARTO PROPORCIONAL
COMPUESTO (INVERSO)
El reparto proporcional compuesto es inverso cuando las cantidades a repartirse son
inversamente proporcionales a los tipos de datos.
6.52 Una cantidad de 5000 € han de repartirse entre tres empleados cuyas edades son
25, 45 y 55 años y sus sueldos mensuales son 1000, 1200 y 1400 € respectivamente. El
reparto ha de ser proporcional a la edad y al sueldo: quien menos años tiene recibirá más
dinero y quien menos gana ha de recibir más euros de gratificación.
Como ves, se trata de un reparto proporcional compuesto inverso.
Respuesta: 2796,98, 1294,90 y 908,12 €
Solución:
1)Los tipos de datos los colocamos debidamente ordenados:
Simplificamos los datos(1ª columna por 5, y la 2ª por 200):
2) Los dos tipos de datos los multiplicamos cada dato de una serie o tipo por su
correspondiente en la otra ( u otras) serie o series, tipo o tipos:
Sus inversos son:
Calculamos la suma de las partes:
Hallamos la constante de proporcionalidad:
Multiplicamos esta cantidad por cada una de las partes y de este modo calculamos la
parte que ha de percibir cada operario:
REPARTO PROPORCIONAL
MIXTO
El reparto proporcional mixto se refiere a que la cantidad a dividir o repartir se hace de
forma directa respecto a uno o varios tipos de datos o series de datos e inversa respecto
a otros.
El modo de resolver es muy simple, basta multiplicar uno de los tipos o series de datos
por los inversosde sus correspondientes en la otra u otras.
6.53 Una cantidad de 5000 € han de repartirse entre tres empleados cuyas edades son
30, 40 y 50 años y sus sueldos mensuales son 1200, 1400 y 1600 € respectivamente. El
reparto ha de ser directamente proporcional a la edad e inversamente proporcional al
sueldo: quien menos años tiene recibirá menos dinero y quien menos gana recibirá más
euros de gratificación.
Como ves, se trata de un reparto proporcional mixto.
Respuesta: 1473,68424, 1684,21056 y 1842,1053 €
Solución:
1) Los tipos de datos los colocamos debidamente ordenados:
Simplificamos los datos:
2) Los dos tipos de datos los multiplicamos cada dato de una serie o tipo por su
correspondiente en la otra teniendo en cuenta que en este segundo tipo los datos son
inversamente proporcionales:
Calculamos el m.c.m.de los denominadores de
= 56
Las fracciones entre paréntesis podemos escribirlas:
=
Cuando todos los denominadores de cada parte son iguales PODEMOS
PRESCINDIRLOS y nos quedan los numeradores. El problema se reduce ahora a
repartir en partes proporcionales a 28, 32 y 36.
Hallamos la constante de proporcionalidad:
6.54 Descomponer el número 1587 en tres partes que sean directamente proporcionales
a 1, 2 y 3 e inversamente proporcionales a 4, 5 y 6.
Respuestas: