Cálculo infinitesimal Grado en Matemáticas Curso 2014/15

Cálculo infinitesimal
Relación de problemas
Grado en Matemáticas
Curso 2014/15
Funciones elementales
1. Estudiar si las siguientes funciones son inyectivas, sobreyectivas o biyectivas:
f : N → N,
f (n) = n2
f : R → R,
f (x) = x2
f : Z → N,
f (n) = |n| + 1
f : Z → N,
f (n) = 2n si n ∈ N,
f : R → Z,
f (x) = [x]
f : Q → Z,
f (m/n) = m + n. ¿Es una función?
f : N2 → N,
f (m, n) = 2m 3n .
f (n) = 2|n| + 1 si n ∈
/N
2. 1. Sean p(x) = 2x , q(x) = x2 y s(x) = sin x. Calcular los valores de las siguientes funciones.
a) q ◦ p,
b) q ◦ s,
c) q ◦ p ◦ s + s ◦ p,
d) s ◦ q.
3. 1. Si f es una función real de variable real, se definen la parte positiva y la parte negativa de f mediante
f + (x) = máx{f (x), 0}, f − (x) = − mı́n{f (x), 0}. Demostrar que f = f + − f − y que además |f | = f + + f − .
Hallar una expresión para f + y f − en términos de f y |f |.
4. 1. Decidir por medio de pruebas y contraejemplos si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas.
a) f ◦ (g + h) = f ◦ g + f ◦ h,
b) (f + g) ◦ h = f ◦ h + g ◦ h.
5. Dibujar la gráfica de las siguientes funciones:
e) y = x2 − 3x − 4
√
i) y = x
c) y = x2
b) y = −2x + 1
a) y = 3x + 2
j) y =
f) y = x3
√
3
x
g) y =
k) log |x|
1
x
d) y = 1 − x2
h) y =
l) |sen x|.
6. Describir la gráfica de g en términos de la gráfica de f .
a) (g(x) = f (x − c),
b) g(x) = f (x) + c,
c) g(x) = cf (x),
d) g(x) = f (cx).
1
1
x−2
7. Demostrar las siguientes igualdades:
cos2 x =
1 + cos(2x)
2
sen2 x =
1 − cos(2x)
.
2
8. ¿Qué números reales cumplen sen x = 0? ¿Y sen x = 1? ¿Y sen x =
1
1
? ¿Y sen x = √ ?
2
2
9. 5. Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas:
a) sen x + cosec x = 5/2
b) sen2 x − 2 cos2 x = 1
c) sen x + cos2 x = 1.
10. Simplificar las expresiones siguientes:
a) sen (2 arcsen x)
b) tan (arcsen x)
c) sen (arctan x).
11. Sean a, b, x > 0, a 6= 1, b 6= 1. Demostrar:
a) logb x = (logb a)(loga x)
b) logb a = 1/ loga b
c) 1 + loga b =
12. Demostrar las siguientes propiedades de las funciones hiperbólicas.
a) cosh2 x − senh2 x = 1,
b) 1 − tgh2 x = 1/ cosh2 x,
c) senh(x + y) = senh x cosh y + cosh x senh y,
d) cosh(x + y) = cosh x cosh y + senh x senh y.
2
loga x
, si ab 6= 1, x 6= 1.
logab x