VII / 6 UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR MA1112 enero

VII 1 / 6
UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR
Departamento de Matemáticas
Puras y Aplicadas.
MA1112 enero-marzo de 2004
Ejercicios sugeridos para :
los temas de la clase del 17 de febrero de 2004.
Temas :
Funciones hiperbòlicas y sus inversas.
1.- Recordando las definiciones de seno, coseno y tangente hiperbòlicos :
ex - e-x
ex + e-x
senh(x)
senh(x) = 2
, cosh(x) =
,
tgh(x)
=
2
cosh(x) ,
diga, justificando, cuales de las siguientes identidades son ciertas y cuales no.
1a) cosh2(x) - senh2(x) = 1 ;
1c)
1
= 1 - tgh2(x) ;
cosh2(x)
1b)
1d) (senh(x))' =
1e) (cosh(x))' =
d cosh(x)
= senh(x);
dx
1g) (tgh(x))' =
1
cosh2(x)
cosh(2x) - 1
;
2
d senh(x)
= cosh(x) ;
dx
1f) (cosh(x))' =
d cosh(x)
= - senh(x);
dx
1h) senh(2x)= 2.senh(x).cosh(x) ;
1i) cosh2(x) + senh2(x) = cosh(2x) ;
1k) cosh2(x) =
1
= 1 + tgh2(x) ;
cosh2(x)
1j) senh2(x) =
cosh(2x)+1
;
2
senh(2x)
1m) 1+cosh(2x) = tgh(x) .
2.- Calcule los siguientes lìmites : 2a) →
lím tgh(x) ; 2b) →
lím tgh(x) .
x +∞
x -∞
3.- Haga un bosquejo de las gràficas de : 3a) senh(x) ; 3b) cosh(x) ; 3c) tgh(x) .
VII 2 / 6
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4.- Demuestre que la funciòn
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senh(x) : R→R es inyectiva y sobreyectiva.
5.- Sea arcsenh(x) la funciòn inversa de senh(x) [ en algunos libros esta funciòn inversa se indica con
"sect(senh(x)) " y se llama "sector del seno hiperbòlico de x" ];
5a) halle una fòrmula explìcita para arcsenh(x) [usando logaritmos] ;
5b) halle la derivada de arcsenh(x)
[ puesto y= arcsenh(x), derive la identidad x=senh(y) usando derivaciòn implìcita] ;
⌠ 1
5c) Calcule la integral 
dx , usando la sustituciòn x= senh(v) ;

2

1+x

√

⌡
5d) Calcule la integral ∫ sec(x)dx . usando la sustituciòn v = tg(x) , teniendo en cuenta que
sec2(x) = 1+tg2(x) = 1+v2 .[Nota : no es restrictivo suponer sec(x)> 0 , sec(x)=√
1+v2] .

6.- Se define la funciòn arccosh(x) [ "arco-coseno-hiperbòlico de x" ] como la funciòn inversa de la
funciòn cosh(x) : ([0,+∞)→[1,+∞) y, en forma parecida a lo del ejercicio 5 :
6a) halle una fòrmula explìcita para arccosh(x) [usando logaritmos] ;
6b) halle la derivada de arccosh(x)
[ puesto y= arccosh(x), derive la identidad x=cosh(y) usando derivaciòn implìcita] ;
⌠ 1
6c) Calcule la integral 
 2 dx , usando la sustituciòn x= cosh(v) .

x -1

⌡√
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7.- Calcule las derivadas de las siguientes funciones:
3
7a)
earcsenh(x2) ; 7b) log3(senh(5x)- tgh(4x)) ; 7c) arctg(cosh(7x)+5x) .

√
8.- Calcule las siguientes integrales :
⌠ arccosh(x)
8b) 
dx ;

x2
⌡
8a) ∫ tgh(x) dx ;
⌠ tgh(x)
8c) 
dx .

⌡ cosh2(x)
9.- Calcule las siguientes integrales,usando convenientes sustituciones con funciones
hiperbòlicas, para eliminar las raìces cuadradas que aparecen en las fòrmulas :
9a)
∫ √
1+x2dx
; 9b)
⌠ dx
9e) 


(x2+1)3

⌡√
∫ √
x2-1dx
; 9c)
⌠ dx
9f) 


(x2-1)3

⌡√
∫ √
x2+2x+2 dx
; 9d)
∫ √
x2+2x-3 dx ;
⌠
2x+3
9g) 
dx .

2+2x+37)3

(x

√

⌡
RESPUESTAS.
1) Son incorrectas las identidades 1b) , 1f) , 1j) , 1k) ; todas las restantes son ciertas.
2a)
lím tgh(x) = 1 ; 2b) →
lím tgh(x) = -1 .
x -∞
x→+∞
4,- como (senh(x) )' = cosh(x) ≥ 1 > 0 la función es estrictamente creciente y por consiguiente
inyectiva; como →
lím senh(x) = +∞ , →
lím senh(x) = -∞ dado cualquier número real, k,
x +∞
x -∞
existen a, b tales que senh(a) < k , senh(b) > k y por consiguiente (usando el teorema de Bolzano) la
función f(x) = senh(x)-k tiene almenos un cero, c, en el intervalo (a, b) , de manera que
senh(c) = k .
VII 4 / 6
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1
u-u
5a) poniendo u= ex , se tiene : y = senh(x)=
⇒ 2uy = u2-1 ⇒
2
u= y ±
y2+1 ⇒ x = ln( y+√
y2+1). [ nota : y - √
y2+1 < 0 ].
√



1
5b) x = senh(y) ⇒ [derivando] 1 = (cosh(y))y ' ⇒ y ' = cosh(y) =
1
x2+1

√
;
el mismo resultado se puede también obtener, derivando ln( x+
x2+1).
√
⌠ 1
5c) x= senh(v) ⇒ 
dx =

2

1+x

√

⌡
⌠
1

cosh(v).dv = ∫ 1.dv =

2(v)

1+senh

√

⌡
= v+ C = ln( x+√
x2+1) + C .

5d) v = tg(x) ⇒ dv= (sec2(x).dx = (v2+1)dv ,
⌠ 2
1
⌠ 1
∫ sec(x)dx = 
v +1 2 dv = 
dv = ln( v+√
v2+1) + C = ln( tg(x)+sec(x)) + C .
√




v +1
⌡
2

1+v

⌡√
6a) arccosh(x) = ln( x+√
x2-1 ) ; 6b) (arccosh(x) )' =

1
x2-1

√
3
7a) f(x) =
earcsenh(x2) = earcsenh(x2)/3 ;

√
1
f '(x) = earcsenh(x2)/33 [
2x
x4+1

√
2
]=3
x
x4+1

√
3
earcsenh(x2) ;

√
; 6c) análogo a 5c) .
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7b) g(x) = log3(senh(5x)- tgh(4x)) =
g '(x) =
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ln(senh(5x)- tgh(4x))
;
ln(3)
1 5.cosh(5x) - 4.sech2(x)
;
ln(3) senh(5x)- tgh(4x)
7c) h(x)= arctg(cosh(7x)+5x) ; h '(x) =
1
[ 7.senh(7x)+ln(5).5x ].
1+[cosh(7x)+5x]2
⌠senh(x)
8a) ∫ tgh(x) dx = 
dx = lncosh(x)+ C ;

⌡cosh(x)
⌠ arccosh(x)
8b) 
dx =

x2
⌡
⌠
ln(x+√
x2-1 )

1

dx = [integrando por partes con u=ln(x+√
x2-1 ), v ' = 2 ]
2

x
x
⌡
=-
⌠ u.du
ln(x+√
x2-1)
⌠
1
x2-1)



2-1 , u.du=x.dx ] - ln(x+√
+
dx
=
[
u=

√

x
+
=


x
x
2-1
⌡ (u2+1).u

x.
x
√


⌡
=-
ln(x+√
x2-1)
ln(x+√
x2-1)


+
arctg(u)
+
C
=
+ arctg(√
x2-1 ) + C .

x
x
⌠ tgh(x)
8c) 
dx =

⌡ cosh2(x)
⌠
-1
 senh(x) dx =
+ C.

3
2.cosh2(x)
⌡cosh (x)
9a) [x=senh(u)] ⇒
∫ √
1+x2 dx = ∫.√
1+senh2(u) cosh(u) du = ∫ cosh2(u) du =

⌠ cosh(2u)+1
1
u
1
=
du = 4 senh(2u) + 2 + C = 2 [ x.√
1+x2 + ln(x+√
1+x2 ) ] + C



2
⌡
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9b) [x=cosh(u)] ⇒
∫ √
x2-1 dx =
1
x2-1 - ln(x+√
x2-1 ) ] + C ;


2 [ x.√
9c) ∫ √
x2+2x+2 dx = ∫ √
(x+1)2+1 dx=


9d)
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1
[ (x+1).√
x2+2x+2 +ln(x+1+√
x2+2x+2 ) ]+ C;


2
⌠
∫ √
x2+2x-3 dx = ∫ √
(x+1)2-4 dx= 2 
( x+1
)2-1 dx =


⌡√

2
1
= 2 [ (x+1).√
x2+2x-3 - 4.ln(x+1+√
x2+2x-3 ) ]+ C;


⌠ dx
9e) [x=senh(u)] ⇒ 
=

2+1)3

(x

√

⌡
9f)
⌠ dx
[x=cosh(u)] ⇒ 
=

2-1)3

(x

√

⌡
∫ sech2(u) du = tgh(u) + C =
-x
x2-1

√
x
x2+1

√
+C;
+C;
9g) x2+2x+37 = (x+1)2 + 62 = 62[ x+1
)2+1 ] ; x+1
= senh(u) , x=6.senh(u)-1,
6
6
⌠ 12.senh(u) + 1
⌠
2x+3
dx=6.cosh(u)du ⇒ 
dx = 
6.cosh(u) du =


⌡ 6.cosh(u)
2+2x+37)3

(x

√

⌡
= ∫ (12.senh(u)+ 1)du= 12.cosh(u)+u+C= 12
=2√
x2+2x+37 + ln(x+1+

( x+1
) +1 + ln( x+1
+√
( x+1
) +1 + C =
√

6
6

6
x2+2x+37 ) + C2 .
√

2
2