Examen 2 Cálculo IV Soluciones Problema 1 (25 puntos). Encuentra

Examen 2
Cálculo IV
Soluciones
Problema 1 (25 puntos). Encuentra todas las soluciones de la ecuación
sen z = cosh 2.
Solución: Si z = x + iy, x, y ∈ R, sen z = sen x cosh y + i cos x senh y. Ası́ que la ecuación
sen z = cosh 2 implica
sen x cosh y = cosh 2
y
cos x senh y = 0.
Entonces cos x = 0 ó senh y = 0. Sin embargo, si senh y = 0, entonces y = 0 y cosh y = 1, lo
cual implicarı́a sen x = cosh 2 > 1, lo cual es imposible. Ası́ que cos x = 0, y entonces
x=
2n + 1
π.
2
Esto implica que sen x = (−1)n . Como cosh y ≥ 0, n debe ser par, y cosh y = cosh 2. Como
cosh es par, y = ±2.
Por lo tanto, las soluciones son de la forma
z=
4k + 1
π ± 2i.
2
Problema 2 (25 puntos). Calcula la integral
Z
dz
,
2
γ z −1
donde γ es el contorno de la figura.
γ
−1
1
Solución: El contorno γ está formado por dos cı́rculos de radio 1 alrededor de 1 y −1, el
último con orientación negativa. Entonces γ = C1 (1) − C1 (−1), y
Z
Z
Z
dz
dz
dz
=
−
.
2
2
2
γ z −1
C1 (1) z − 1
C1 (−1) z − 1
1
Por la fórmula integral de Cauchy, y el hecho z 2 − 1 = (z − 1)(z + 1),
Z
Z
dz
1
1/(z + 1)
=
dz = 2πi · = πi,
2
z−1
2
C1 (1) z − 1
C1 (1)
y
Z
Por lo tanto
Z
γ
C1 (−1)
dz
=
2
z −1
Z
C1 (−1)
1
1/(z − 1)
dz = 2πi ·
= −πi.
z+1
−2
dz
= πi − (−πi) = 2πi.
−1
z2
Problema 3 (25 puntos). Utiliza la fórmula integral de Cauchy para calcular la integral
Z 2π
dθ
.
3 − 2 sen θ
0
1
1
z−
, por lo que la integral es
Solución: Observamos que, si z = eiθ , entonces sen θ =
2i
z
igual a
Z
Z
1
dz
dz
=−
,
·
1
2
1
iz
C 3−2
C z − 3iz − 1
z−
2i
z
p
√
2+4
3i
±
(3i)
3
±
5
=
i,
donde C es el cı́rculo unitario C1 (0). Las raı́ces de z 2 −3iz−1 son
2
2
y observamos que
3 + √5 3 − √5 mientras que
i > 1
i < 1,
2
2
por lo que aplicamos la fórmula de Cauchy para obtener
Z 2π
Z
Z
dθ
dz
dz
1
√ ·
√
=−
=−
2
3 − 2 sen θ
3+ 5
3− 5
0
C z − 3iz − 1
C
i z−
i
z−
2
2
−2πi
2
√
√ = √ π.
=
3− 5
5
3+ 5
i−
i
2
2
Problema 4 (25 puntos). Calcula la serie de Taylor de la función f (z) = cosh z alrededor
de 0.
Solución: Las derivadas de cosh z son, alternativamente, senh z y cosh z,
(
cosh z n par
cosh(n) z =
senh z n impar.
2
Entonces cosh(n) (0) = 1 si n es par y cosh(n) (0) = 0 si n es impar. Ası́ que su serie de Taylor
alrededor de 0 es
∞
X
cosh(n) (0)
n=0
n!
∞
X
z2 z4
z 2n
z =
=1+
+
+ ....
(2n)!
2
4!
n=0
n
La serie converge a cosh z para todo z ∈ C porque cosh es entera.
3