Matrices: Conceptos
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Matemáticas Discretas TC1003 Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Departamento de Matemáticas ITESM Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 1/25 Matriz Una matriz A m × n es un arreglo rectangular de m · n números en forma de m renglones horizontales y n columnas verticales: Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas Matemáticas Discretas - p. 2/25 Matriz Una matriz A m × n es un arreglo rectangular de m · n números en forma de m renglones horizontales y n columnas verticales: a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n am1 am2 · · · amn Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas Matemáticas Discretas - p. 2/25 Matriz Una matriz A m × n es un arreglo rectangular de m · n números en forma de m renglones horizontales y n columnas verticales: a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n am1 am2 · · · amn Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas Nos referiremos al elemento que se encuentra en el renglón i y en la columna j como el elemento aij de A o como el (i, j)-ésimo elemento de A. Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 2/25 Matriz Una matriz A m × n es un arreglo rectangular de m · n números en forma de m renglones horizontales y n columnas verticales: a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n am1 am2 · · · amn Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas Nos referiremos al elemento que se encuentra en el renglón i y en la columna j como el elemento aij de A o como el (i, j)-ésimo elemento de A. La dimensión de A es el producto indicado del número de renglones por el número de columnas, así en este caso la dimensión de A es m × n. Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 2/25 El i-ésimo renglón de A es: i h ai1 ai2 · · · ain Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas Matemáticas Discretas - p. 3/25 El i-ésimo renglón de A es: i h ai1 ai2 · · · ain La j-ésima columna de A es: a1j a2j . . . Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas amj Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 3/25 También podemos considerar que la matriz A es una secuencia de sus columnas a1 , a2 ,..., an : A = [a1 a2 · · · an ] . Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas Matemáticas Discretas - p. 4/25 Ejemplo Indique cuáles de las siguientes representaciones son matrices: 2 2 2 2 0 2 −2 4 −3 −2 4 −3 , , −2 4 −3 0 −1 5 0 −1 0 0 0 0 0 Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas Matemáticas Discretas - p. 5/25 Ejemplo Indique cuáles de las siguientes representaciones son matrices: 2 2 2 2 0 2 −2 4 −3 −2 4 −3 , , −2 4 −3 0 −1 5 0 −1 0 0 0 0 0 Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas Recuerde: Matriz es un arreglo rectangular; Por consiguiente, la única representación que corresponde a una matriz es la última. Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 5/25 Ejemplo Para cada matriz indique el número de renglones, el número de columnas y su dimensión: 1. 3. 5. 7. −4 2. −4 −4 4. h 4 2 −1 −2 −6 −2 −1 3 6 5 1 i 6. 8. h −1 6 −2 6 −5 4 −4 i 3 −4 Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas 2 5 −5 2 6 −3 −3 −6 0 3 −1 0 Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 6/25 Ejemplo Para cada matriz indique el número de renglones, el número de columnas y su dimensión: 1. 3. 5. 7. −4 2. −4 −4 4. h 4 2 −1 −2 −6 −2 −1 3 6 5 1 i 6. 8. h −1 6 −2 6 −5 4 −4 i 3 −4 Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas 2 5 −5 2 6 −3 −3 −6 0 3 −1 0 Soluci ón Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 6/25 Ejemplo Liste en orden los elementos (3, 1), (3, 2), y (2, 2) de la matriz: −3 −4 −1 1 2 −3 −3 3 3 Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas Matemáticas Discretas - p. 7/25 Ejemplo Liste en orden los elementos (3, 1), (3, 2), y (2, 2) de la matriz: −3 −4 −1 1 2 −3 −3 3 3 Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas Solución El elemento (3, 1) está en el renglón 3 y en la columna 1: es -3. El elemento (3, 2) está en el renglón 3 y en la columna 2: es 3. El elemento (2, 2) está en el renglón 2 y en la columna 2: es 1. Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 7/25 Igualdad entre matrices Definición Dos matrices se dicen matrices iguales si tienen la misma dimensión y además elemento por elemento son iguales. Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas Matemáticas Discretas - p. 8/25 Igualdad entre matrices Definición Dos matrices se dicen matrices iguales si tienen la misma dimensión y además elemento por elemento son iguales. Ejemplo Cuál debe ser el valor de x y de y para que las matrices sean iguales: " # " # 1 x 1 y−x = y x+y 2x 3 Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas Matemáticas Discretas - p. 8/25 Igualdad entre matrices Definición Dos matrices se dicen matrices iguales si tienen la misma dimensión y además elemento por elemento son iguales. Ejemplo Cuál debe ser el valor de x y de y para que las matrices sean iguales: " # " # 1 x 1 y−x = y x+y 2x 3 Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas Solución Se requiere que: x = y − x, que y = 2 x y que x + y = 3. Resolviendo el sistema se obtiene que x = 1 y que y = 2. Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 8/25 Ejemplo Cuál debe ser el valor de x y de y para que las matrices sean iguales: " # 1 y−x 1 x = 2x 3 y x+y 0 0 Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas Matemáticas Discretas - p. 9/25 Ejemplo Cuál debe ser el valor de x y de y para que las matrices sean iguales: " # 1 y−x 1 x = 2x 3 y x+y 0 0 Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas Solución Como la matriz a la izquierda es 2 × 2 y la de la derecha es 3 × 2. Las matrices no pueden ser iguales para ningún valor de x y de y. Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 9/25 Terminología 1. Una matriz 1 × n se llama matriz renglón. Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas Matemáticas Discretas - p. 10/25 Terminología 1. Una matriz 1 × n se llama matriz renglón. 2. Una matriz m × 1 se denomina una matriz columna o vector. Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas Matemáticas Discretas - p. 10/25 Terminología 1. Una matriz 1 × n se llama matriz renglón. 2. Una matriz m × 1 se denomina una matriz columna o vector. 3. Una matriz n × n se llama matriz cuadrada. Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas Matemáticas Discretas - p. 10/25 Terminología 1. Una matriz 1 × n se llama matriz renglón. 2. Una matriz m × 1 se denomina una matriz columna o vector. 3. Una matriz n × n se llama matriz cuadrada. 4. Una matriz cuya totalidad de elementos es cero se llama matriz cero y se representa por 0. Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas Matemáticas Discretas - p. 10/25 Sea A una matriz cuadrada: 1. A la colección de elementos aii se le llama su diagonal principal. 2. Se dice matriz triangular superior si todos los elementos que están abajo de la diagonal principal son cero. 3. Se dice matriz triangular inferior si todos los elementos que están arriba de la diagonal principal son cero. 4. Se dice matriz diagonal si todos los elementos que están por arriba y por abajo de la diagonal principal son cero. 5. Se dice matriz escalar si es diagonal y todos los elementos de la diagonal principal son iguales. Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas Matemáticas Discretas - p. 11/25 Ejemplo Clasifique las siguientes matrices: 1. 5. 2 1 2 4 6 0 0 5 2. 6. 0 4 2 4 4 0 0 0 3. 7. Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas 4 0 5 0 4 0 0 5 4. 8. 4 0 0 6 0 −8 3 3 Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas Matemáticas Discretas - p. 12/25 Ejemplo Clasifique las siguientes matrices: 1. 5. 2 1 2 4 Solución 6 0 0 5 2. 6. 0 4 2 4 4 0 0 0 3. 7. 4 0 5 0 4 0 0 5 4. 8. 4 0 0 6 0 −8 3 3 Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas La matriz 1. por el elemento (2, 1) no es ni triangular superior, ni diagonal, ni escalar. Por el elemento (1, 2) tampoco es triangular inferior Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 12/25 Ejemplo Clasifique las siguientes matrices: 1. 5. 2 1 2 4 Solución 6 0 0 5 2. 6. 0 4 2 4 4 0 0 0 3. 7. 4 0 5 0 4 0 0 5 4. 8. 4 0 0 6 0 −8 3 3 Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas La matriz 2. por el elemento (2, 1), no es triangular superior, ni diagonal ni escalar. Por el lemento (1, 2) tampoco es triangular inferior. Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 12/25 Ejemplo Clasifique las siguientes matrices: 1. 5. 2 1 2 4 Solución 6 0 0 5 2. 6. 0 4 2 4 4 0 0 0 3. 7. 4 0 5 0 4 0 0 5 4. 8. 4 0 0 6 0 −8 3 3 Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas La matriz 3. es triangular superior, pero no diagonal ni escalar; no es triangular inferior. Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 12/25 Ejemplo Clasifique las siguientes matrices: 1. 5. 2 1 2 4 Solución 6 0 0 5 2. 6. 0 4 2 4 4 0 0 0 3. 7. 4 0 5 0 4 0 0 5 4. 8. 4 0 0 6 0 −8 3 3 Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas La matriz 4. es triangular superior y triangular inferior, diagonal pero no matriz escalar. Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 12/25 Ejemplo Clasifique las siguientes matrices: 1. 5. 2 1 2 4 Solución 6 0 0 5 2. 6. 0 4 2 4 4 0 0 0 3. 7. 4 0 5 0 4 0 0 5 4. 8. 4 0 0 6 0 −8 3 3 Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas La matriz 5. es triangular inferior, pero no diagonal ni escalar; no es triangular superior. Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 12/25 Ejemplo Clasifique las siguientes matrices: 1. 5. 2 1 2 4 Solución 6 0 0 5 2. 6. 0 4 2 4 4 0 0 0 3. 7. 4 0 5 0 4 0 0 5 4. 8. 4 0 0 6 0 −8 3 3 Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas La matriz 6. es triangular inferior, pero no diagonal ni escalar; no es triangular superior. Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 12/25 Ejemplo Clasifique las siguientes matrices: 1. 5. 2 1 2 4 Solución 6 0 0 5 2. 6. 0 4 2 4 4 0 0 0 3. 7. 4 0 5 0 4 0 0 5 4. 8. 4 0 0 6 0 −8 3 3 Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas La matriz 7. es triangular inferior, triangular superior, matriz diagonal y matriz escalar. Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 12/25 Ejemplo Clasifique las siguientes matrices: 1. 5. 2 1 2 4 Solución 6 0 0 5 2. 6. 0 4 2 4 4 0 0 0 3. 7. 4 0 5 0 4 0 0 5 4. 8. 4 0 0 6 0 −8 3 3 Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas La matriz 8. no es triangular inferior, ni triangular superior, ni matriz diagonal, ni matriz escalar. Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 12/25 Suma de Matrices Dos matrices de las mismas dimensiones se pueden sumar; la suma de dos matrices de diferente dimensión no. La suma de dos matrices de las mismas dimensiones es una matriz de las misma dimensiones y se obtiene sumando sus elementos correspondientes: a11 a 21 .. . am1 ··· a1n ··· .. . a2n .. . ··· amn b11 b 21 + .. . bm1 ··· b1n ··· .. . b2n .. . ··· bmn Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas a11 + b11 a +b 21 21 = .. . am1 + bm1 ··· Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas a1n + b1n ··· .. . a2n + b2n .. . ··· amn + bmn Matemáticas Discretas - p. 13/25 Ejemplo Realize la suma de las matrices: −1 0 −1 2 A = 1 1 y B = 1 2 . 4 1 1 1 Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas Matemáticas Discretas - p. 14/25 Ejemplo Realize la suma de las matrices: −1 0 −1 2 A = 1 1 y B = 1 2 . 4 1 1 1 Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas Observamos que la suma sí se puede realizar porque las dimensiones de las matrices coinciden, así: −1 2 −1 0 (−1) + (−1) (2) + (0) −2 2 + = = (1) + (2) 2 3 . 1 1 1 2 (1) + (1) 1 1 4 1 (1) + (4) (1) + (1) 5 2 Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 14/25 Producto de un escalar por una matriz Matriz Sea A cualquier matriz y c un escalar cualquiera. Igualdad El Producto Escalar c A es una matriz que tiene las Terminologı́a Suma mismas dimensiones que la matriz A, y que en Producto por escalar cada elemento contiene el elemento Producto entre matrices correspondiente de A multiplicado por c: Producto Propiedades c a11 c a12 · · · c a1nNotas a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n c a21 c a22 · · · c a2n . = . c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . am1 am2 · · · amn c am1 c am2 · · · c amn Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 15/25 Ejemplo Realize el producto −1 2 −3 1 0 . 1 −4 Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas Matemáticas Discretas - p. 16/25 Ejemplo Realize el producto −1 2 −3 1 0 . 1 −4 Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas Este producto siempre se puede realizar, y en este caso: −1 2 3 −6 (−3) · (−1) (−3) · (2) −3 1 0 = (−3) · (1) (−3) · (0) = −3 0 . (−3) · (1) (−3) · (−4) −3 12 1 −4 Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 16/25 Producto entre matrices Sea A una matriz m × n y B una matriz columna n × 1, el Producto Matricial A B es la una matriz C columna m × 1 definida como: Pn a11 a12 · · · a1n b1 j=1 a1j bj Pn a21 a22 · · · a2n b2 a2j bj j=1 . .. .. .. ... . .. = . . . . . Pn am1 am2 · · · amn bn j=1 amj bj Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas a11 b1 + a1,2 b2 + · · · + a1n bn = Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas a21 b1 + a2,2 b2 + · · · + a2n bn .. . am1 b1 + am,2 b2 + · · · + amn bn Matemáticas Discretas - p. 17/25 Ejemplo Realize el producto: " 2 0 −1 3 4 −2 # −4 5 . −7 Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas Matemáticas Discretas - p. 18/25 Ejemplo Realize el producto: " 2 0 −1 3 4 −2 # Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas −4 5 . −7 Observamos que el producto sí se puede realizar por que el número de columnas de la matriz A coincide con el número de renglones de B, así: " # −4 " # 2 0 −1 (2) (−4) + (0) (5) + (−1) (−7) 5 = 3 4 −2 (3) (−4) + (4) (5) + (−2) (−7) −7 " # " # = −8 + 0 + 7 −12 + 20 + 14 Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas = −1 22 Matemáticas Discretas - p. 18/25 Producto entre Matrices Sea A una matriz m × n y B una matriz n × k. El producto A B es la matriz m × k cuyas columnas son A b1 ,A b2 ,..., A bk , donde b1 ,b2 ,..., bk son las columnas de la matriz B. A B = A[b1 , . . . , bk ] = [A b1 , . . . A bk ] Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas Matemáticas Discretas - p. 19/25 Ejemplo Realice el producto A por B si " # 3 2 4 2 0 1 A= y B = −2 4 5 . 2 1 2 0 3 −2 Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas Matemáticas Discretas - p. 20/25 Ejemplo Realice el producto A por B si " # 3 2 4 2 0 1 A= y B = −2 4 5 . 2 1 2 0 3 −2 Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas Observamos que el número de columnas de A (3) coincide con el número de renglones de B (3) por lo cual el producto se puede efectuar. Para la realización trabajemos sobre las columnas de B: Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 20/25 Ejemplo Realice el producto A por B si " # 3 2 4 2 0 1 A= y B = −2 4 5 . 2 1 2 0 3 −2 Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas Observamos que el número de columnas de A (3) coincide con el número de renglones de B (3) por lo cual el producto se puede efectuar. Para la realización trabajemos sobre las columnas de B: ■ b1 columna 1 de B: " # " # " # 3 (2) (3) + (0) (−2) + (1) (0) 6 2 0 1 = A b1 = −2 = (2) (3) + (1) (−2) + (2) (0) 4 2 1 2 0 Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 20/25 ■ b2 columna 2 de B: A b2 = " 2 0 1 2 1 2 # Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas " # " # 2 (2) (2) + (0) (4) + (1) (3) 7 = 4 = (2) (2) + (1) (4) + (2) (3) 14 3 Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 21/25 ■ b2 columna 2 de B: A b2 = ■ b3 " 2 0 1 2 1 2 # columna 3 de B: A b3 = " 2 0 1 2 1 2 # Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas " # " # 2 (2) (2) + (0) (4) + (1) (3) 7 = 4 = (2) (2) + (1) (4) + (2) (3) 14 3 " # " # 4 (2) (4) + (0) (5) + (1) (−2) 6 = 5 = (2) (4) + (1) (5) + (2) (−2) 9 −2 Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matemáticas Discretas - p. 21/25 ■ b2 columna 2 de B: A b2 = ■ b3 " 2 0 1 2 1 2 # columna 3 de B: A b3 = " 2 0 1 2 1 2 # Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas " # " # 2 (2) (2) + (0) (4) + (1) (3) 7 = 4 = (2) (2) + (1) (4) + (2) (3) 14 3 " # " # 4 (2) (4) + (0) (5) + (1) (−2) 6 = 5 = (2) (4) + (1) (5) + (2) (−2) 9 −2 Por consiguiente el producto es: A B = [A b1 A b2 A b3 ] = Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas " 6 7 6 4 14 9 # Matemáticas Discretas - p. 21/25 Propiedades de las operaciones Sean A, B y C matrices m × n cualquiera, y sean a, b, y c escalares cualquiera. Entonces son válidas las siguientes afirmaciones: 1. La suma de matrices es asociativa: (A + B) + C = A + (B + C). 2. La suma de matrices es conmutativa: A + B = B + A. 3. La matriz 0 es el neutro bajo la suma: A + 0 = 0 + A = A. 4. Cada matriz tiene un inverso aditivo y este es precisamente el escalar −1 por la matriz: A + (−1 A) = (−1 A) + A = 0. Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas Matemáticas Discretas - p. 22/25 5. El producto por escalares se distribuye sobre la suma de matrices: c (A + B) = c A + c B. 6. La suma de escalares se distribuye sobre la multiplicación por matrices: (a + b) A = a A + b B. 7. La multiplicación por escalares es asociativa: (a · b) A = a (b A). 8. El escalar 1 multiplicado por una matriz da como resultado la matriz inicial: 1 A = A. 9. El escalar cero por una matriz da la matriz de ceros: 0 A = 0. Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas Matemáticas Discretas - p. 23/25 10. La multiplicación de matrices es asociativa: A (B C) = (A B) C. 11. La multiplicación de matrices se distribuye sobre la suma de matrices: a) A (B + C) = A B + A C, y b) (A + B) C = A C + B C. 12. Movilidad de los escalares en una multiplicación: a (A B) = (a A) B = A (a B). 13. La con sólo unos en la diagonal In es la identidad multiplicativa: Im A = A In = A. 14. El resultado de multiplicar la matriz cero, de la dimensión adecuada, por cualquier matriz da como resultado la matriz cero: 0 A = A 0 = 0. Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas Matemáticas Discretas - p. 24/25 Notas Importantes ■ El producto de matrices sólo está definido en el caso cuando el número de columnas de la primera matriz es igual al número de renglones de la segunda matriz. En cualquier otro caso se dice que está indefinido o que es irrealizable. Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas Matemáticas Discretas - p. 25/25 Notas Importantes ■ ■ El producto de matrices sólo está definido en el caso cuando el número de columnas de la primera matriz es igual al número de renglones de la segunda matriz. En cualquier otro caso se dice que está indefinido o que es irrealizable. El producto matricial no es conmutativo: en general A B 6= B A. Matrices: Conceptos y Operaciones Básicas Matriz Igualdad Terminologı́a Suma Producto por escalar Producto entre matrices Producto Propiedades Notas Matemáticas Discretas - p. 25/25
