t - aula MH

EXAMEN
SEGUNDO
SEMESTRE
ECONOMETRIA L.A.D.E.-5º U.R.J.C.
1
DESCRIPCIÓN DEL EXAMEN
Parte teoría 15 preguntas tipo test con 4 posibles respuestas de la que solo una es cierta, suman 0.5
puntos y restan 0.16, nota total del test un 6. Parte práctica con 3 ejercicios independientes.
TEORÍA (6 puntos)
1.- En un modelo lineal, existe multicolinealidad aproximada cuando las estimaciones por m.c.o. no
son eficientes
a)
Falso. Las estimaciones siguen siendo eficientes.
b) Verdadero. La multicolinealidad aproximada cuando la varianza de los estimadores son
mayores, no son eficientes.
c)
Falso. Las varianzas de las estimaciones de los coeficientes no se ven alteradas por la
multicolinealidad aproximada.
d) Verdadero. Hay multicolinealidad cuando tenemos sesgo positivo.
2.- El coeficiente de determinación corregidos se emplea con
a)
Datos de series temporales.
b) Datos de sección cruzada o corte transversal.
c)
Modelos anidados.
d) Modelos no lineales.
3.-
Dado
un
modelo
correcto:
con E ( ut ) = 0 ;V ( ut ) = σ t2
Yt = β 0 + β1 ⋅ X 12t + β 2 ⋅ Yt −1 + ut .
y
C ov ( ui ; u j ) = 0 No se cumple:
a)
Linealidad y homocedasticidad.
b) Regresores deterministas, Homocedasticidad y linealidad.
c)
Homocedasticidad, no auto correlación y regresores deterministas.
d) No auto correlación y linealidad.
4.- Dado un modelo correcto Yt = β 0 + β1 X 1t + u1 y el modelo incorrecto Yt = α1 X 1t + vt . Entonces al
estimar este último modelo el sesgo de la estimación del coeficiente α̂1 es:
a) 0
∑x
 ∑x
t

b) β1 
2
t




 ∑ xt 
 ∑ x 2 
t 

c) β 0 
 ∑ xt ⋅ ut
d) β1 
 ∑ x2
t

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


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5.-
Dado
el
modelo
yt = β1 + β 2 ⋅ x2t + ut
se
estima
2
por
MCG yt − ρ1 ⋅ yt − 2 − ρ2 ⋅ yt − 4 = β1 (1 − ρ1 − ρ2 ) + β 2 ( x2t − ρ1 ⋅ x2t − 2 − ρ2 ⋅ x2t − 4 ) + at ¿Qué tipo de auto
correlación se detectó en el término de error?:
a)
AR(1).
c)
ut = ρ1 ⋅ ut −12 + ρ2 ⋅ ut −24 .
b)
ut (1 − ρ1 ⋅ B − ρ2 ⋅ B 2 ) .
d)
ut (1 − ρ1 ⋅ B 2 − ρ2 ⋅ B 4 )
6.- Señale la respuesta correcta
a)
(g-g´)+(k-k´) = 1 Ecuación exactamente identificada.
b) (g-g´)+(k-k´) ≥ g-1 Ecuación exactamente identificada.
c)
(g-g´)+(k-k’) = g-1 Ecuación exactamente identificada.
d) (g-k´)+(k-k´) ≥ g-1.
7.- Dado un modelo correcto
yt = β1 + β 2 ⋅ x2 t + β 3 ⋅ x3t + ut y donde el modelo incorrecto es
yt = α1 + α 2 ⋅ x2t + α 3 ⋅ x3t + α 4 ⋅ x4 t + ut
a)
Los estimadores α1 , α 2 , α 3 , α 4 son sesgados.
b)
E α4 = 0
c)
Los estimadores α1 , α 2 , α 3 , α 4 son eficientes.
( )
d) Todas son falsas.
8.- Dado el modelo yt = β1 + β 2 ⋅ x2t + ut donde existen 15 observaciones. Se estima:
Yt = 0.8 + 0.7 X 2t + uˆt
 0´12 −0´93 


0´25 

El intervalo de confianza para β 2 al 90 % de confianza será:
a)
(-0.1855;1.5855)
b) (0.3465;1.0485)
c)
(-0.8305;2.2359)
d) No se puede calcular.
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9.- El test de Goldfed y Quand se eliminan demasiadas observaciones centrales:
a)
El test está sesgado, se rechaza la hipótesis nula de ausencia de heterocedasticidad.
b) El test está sesgado, se rechaza la hipótesis nula que es ausencia de homocedasticidad.
c)
Es test está sesgado, se acepta la hipótesis nula de ausencia de heterocedasticidad.
d) El test está sesgado, se acepta la hipótesis nula de ausencia de homocedasticidad.
10.- La variable explicativa de un modelo determinista:
a)
Se extraen distintas muestras de la variable, y se obtienen diferentes valores.
b) La variable explicativa determina o explica la Y.
c)
Las muestras extraídas de la variable son todas iguales.
d) Es la única variable explicativa del modelo.
11.- Si el término de error de un modelo se considera que no se distribuye de manera normal
podemos asegurar que:
a)
Las estimaciones por MCO de los coeficientes serán sesgadas.
b) Las estimaciones por MCO de los coeficientes estarán ineficientes.
c)
Los contrastes de hipótesis nos serán válidos.
d) Todas son ciertas.
12.- Cuando tenemos multicolinealidad exacta en el modelo podemos afirmar:
a)
No tenemos estimaciones de los coeficientes.
b) Las estimaciones de los coeficientes serán ineficientes.
c)
Tenemos infinitas soluciones de los coeficientes.
d) El estimador MCO pierde sus buenas propiedades, deja de ser ELIO.
PLANTILLA DE REPUESTAS
A
B
C
D
Pregunta 1
Pregunta 2
Pregunta 3
Pregunta 4
Pregunta 5
Pregunta 6
Pregunta 7
Pregunta 8
Pregunta 9
Pregunta 10
Pregunta 11
Pregunta 12
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PRÁCTICA (4 puntos)
EJERCICIO 1 (2 puntos)
Sea el siguiente modelo que modeliza la tasa de paro (Porcentaje) “Y” en función de las
importaciones (millones) “X” y la renta per cápita (millones de euros) “Z”
Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Sample: 1 6
Included observations: 6
Variable
X
Z
C
Coefficient
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
0.646148
??????
0.002194
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log Likelihood
F-statistic
Prob (F-statistic)
obs
1
2
3
4
5
6
Actual
17
18.3
17
17.5
20
21.5
Std Error
t-Statistic
??????
??????
??????
??????
4.993314
??????
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
Hannan-Quinn criter
Durbin-Watson stat
Fitted
16.98921224285015
18.37902659307558
16.78790767686915
17.63379327646762
20.33208730556952
????????????????
Prob.
0.1038
0.0030
0.0325
??????
??????
0.784617
0.680497
0.367815
??????
Residual
0.01078775714954914
-0.07902659307557514
0.2120923231308467
-0.1337932764676175
????????????????
????????????????
Con la siguiente información adicional:
∑ (Y − Y )
2
= 16.775;
∑( X − X )
2
= 83.3333;
∑(Z − Z )
2
= 13.3333
∑ (Y − Y )( X − X ) = −26.55; ∑ (Y − Y )( Z − Z ) = 14.60; ∑ ( X − X )( Z − Z ) = −19.6666
Y = 18.55;
X = 20.1666; Z = 41.6666
Calcular los estadísticos con ?????????????, comente la validez del modelo propuesto.
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EJERCICIO 2 (1 punto)
Se considera una muestra de sección cruzada de gastos e ingresos semanales de un colectivo de
1.000 individuos. Estos están divididos en 100 grupos de 10 observaciones respectivamente. Se
considera la relación de los gastos e ingresos como:
Yt = β 0 + β1 X t + ut ; t = 1; 2;3;...;100
Siendo la media de los gastos para el grupo i-ésimo y la media de los ingresos para el grupo i-ésimo.
a) Se estima la relación posterior y a partir de los residuos obtenidos:
ˆt
uˆ´2t = 1.2 + 0.7 ⋅ xt + 1.12 ⋅ xt2 + ∈
∑ (Y − Y )
2
= 12.8;
∑ uˆ
2
= 9.1
Detectar la existencia de heterocedasticidad para un 5 % de significación.
b) Suponga ahora que la varianza del terminar de error del modelo es proporcional al cuadro de
la variable “media de los ingresos”, explique el método más apropiado para que los
estimadores obtenidos cumplan las propiedades y compruebe que su propuesta corrige la
heterocedasticidad.
EJERCICIO 3 (1 punto)
Se ha estimado con 55 datos de series temporales, el modelo que relaciona el crecimiento del PIB
(Yt )
con la variable empleo en la construcción
( X 1t )
e índice de producción industrial
( X 2t ) .
Resultando la estimación:
Yt = 0.23 + 0.75 ⋅ x1t + 1.12 ⋅ x2t + uˆt
Se sospecha que puede existir autocorrelación en el término de error y por ellos se ha estimado la
siguiente regresión:
uˆt = 0.45 ⋅ uˆt −1 + at
Contraste la existencia de autocorrelación con el estadístico Durbin Watson. Nivel de significación
5 %.
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SOLUCION
PROBLEMA 1:
βˆMCO = ( Xɶ ' · Xɶ ) · Xɶ ' · Yɶ → MODELO EN DESVIACIONES
−1
i
 ∑ xɶt · yɶt   −26´55 
Xɶ ' · Yɶ = 
 = 

 ∑ zɶt · yɶt   14´60 
i
 ∑ xɶ2t
Xɶ ' · Yɶ = 


⌢
⌢
−19´6 
⌢
13´3 
∑ xɶ ⋅ zɶ  =  83´3⌢
∑ zɶ   −19´6
t
t
t
hacemos la inversa →
(
Xɶ ' · Xɶ
)
Yɶt = β 2 · xɶt + β 3 · zɶt + ut
−1
⌢
⌢
1  13´3 19´6 
⌢ ⌢
=
⌢
724´3 19´6 83´3 
Estimación de los parámetros (pendientes):
βˆ
MCO
⌢
⌢
1  13´3 19´6   −26´55   −0´0923  → βˆ2
⌢ ⌢
=
⌢⋅
=

724´3 19´6 83´3   14´60   0´9588  → βˆ3
βˆ1 = Y − βˆ2 · X − βˆ3 · Z
Recuperación del término independiente:
βˆ1 = 18´55 + 0´0923 ·20´166 − 0´9588 ·41´6 = −19´474
→ Modelo estimado: yt = −19´474 − 0´0923 ⋅ xt + 0´9588 · zt + uˆt Coefficient
Matriz de Varianzas y Covarianzas de β 2 y β 3 .
( )
(
Vˆ βˆi = σˆ · Xɶ ' · Xɶ
σˆ 2 =
2
)
−1
⌢
⌢
1  13´3 19´6 
⌢ ⌢
= ?? ⋅
⌢⇒
724´3  19´6 83´3 
SR
0´3259
=
= 0´1086 S. E. of regresion
T −K
6−3
 95´8 
→ SR = ∑ uˆt2 = Yɶ ' ⋅ Yɶ − βˆ ' ⋅ Xɶ ' Yɶ = ∑ Yɶt 2 − βˆ ' ⋅ 
=
 10´5 
Sum squared resid
 −26´55 
= 16´775 − ( −0´0923 0´9588 ) 
 = 0´3259
 14´60 
( βˆ )
( βˆ , βˆ )
 ˆ
 0´002 0´00295   V
ˆ
ˆ
⇒ V βi = 
=
0´0125  Cov

 ˆ
( )
2
2
3
( )
( )
ˆ βˆ2 , βˆ3 
Cov
 (Std Error)2

ˆ
ˆ
V β3

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Coeficiente de significado individual (t.Statistic)
Estadístico
 H 0 : β2 = 0

 H1 : β 2 ≠ 0
−0´0923
tβˆ =
= −2´063
2
0´002
 H 0 : β3 = 0

 H1 : β 3 ≠ 0
0´9588
tβˆ =
= 8´575
3
0´0125
Valor Crítico
tT − K ,1−α = t6 −3,1− 0'05 = t3,0'95 = 3´182
Decisión
−2´063 < 3´182
No Rechazamos H 0 , con α = 5 % , luego el parámetro β 2 individualmente, no es significativo,
conclusión a la que llegamos también con el p-valor pues la probabilidad del estadístico es 0´1038 >
0´05.
8´575 > 3´182
Rechazamos H 0 , con α = 5 % , luego el parámetro β3 individualmente, si es significativo, conclusión
a la que llegamos también con el p-valor pues la probabilidad del estadístico es 0´0030 < 0´05.
Coeficiente de Determinación → R 2 = 1 −
SR
R-squared
ST
2


→ ST = ∑  Yɶt − Yɶ  = ∑ Yɶt 2 = 16´775
⇓ 

0 

R2 = 1 −
0´3259
= 0´9805 La Regresión explica el 98´05 % de la variación de la variable endógena.
16´775
Adjusted R-squared
 6 −1 
R2 = 1− 
(1 − 0´9805) = 0´9675
 6 − 3 
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Contraste conjunto de las pendientes F-statisitc
 H 0 : β 2 = β3 = 0

 H1 : β i ≠ 0 ∀i = 2,3
R 2 [ k − 1]
0´9805 ( 3 − 1)
Fσ =
=
= 75´423
2
1 − R [T − k ] 0´0195 ( 6 − 3)
Valor Crítico
F2,3,0'95 = 9´55
Decisión
75´423 > 9´55 Rechazamos H 0 , con α = 5 % , luego los parámetros conjuntos, si son significativos,
conclusión a la que llegamos también con el p-valor pues la probabilidad del estadístico es 0´002194
< 0´05.
Mean dependent var y = 18´55
ST
=
T −1
S.D. dependent var Sc =
16´775
= 1´8305
6 −1
T
∑ uˆ ⋅ uˆ
t −1
t
Durbin-Watson stat DW ≈ 2 − 2 ⋅ ρˆ siendo ρˆ =
t =2
=
T
∑ uˆ
2
t
?
−0´05178
=
SR
0´3259
t =1
T
Como todo modelo con término independiente cumple
T
∑ uˆt = 0 donde
t =1
T
T
t
t =1
t
y por ello
t =1
T
∑ yt =∑ yˆt
t =1
∑ ( y − yˆ ) = 0
T
∑y
t
=17 + 18´3 + 17 + 17´5 + 20 + 21´5
por
ello
t =1
∑y
t
=111´3 .
t =1
T
∑ yˆ
t
=16´98.. + 18´37.. + 16´78.. + 17´63.. + 20´33.. + yˆ 6 = 111´3 yˆ 6 = 21´17797303
t =1
uˆ5 = y5 − yˆ5 = −0´3320873
uˆ6 = y6 − yˆ 6 = 0´32202697
T
∑ uˆ ⋅ uˆ
t
t −1
= −0´05178 Sustituimos DW ≈ 2 − 2 ⋅ ρˆ DW = 1´3177
t =2
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PROBLEMA 2:
Apartado a)
Contraste de White:
H 0 : Homocedasticidad.
H1 : Heterocedasticidad.
Estadístico
(
W = T ⋅ R 2 = 100 ⋅ 1− SR


9´1 
= 100 ⋅ 1−
= 28´906
)
ST
 12´8 
Valor Crítico
2
χ 2 p −1,1−α = χ 2,0´95
= 5´991
Decisión
28´906 > 5´991
Rechazamos H 0 , con α = 5 % , luego el modelo posee heterocedasticidad y por ello los estimadores
obtenidos por MCO son ELI, no óptimos.
Apartado b)
Var (ut ) = σ 2 ⋅ xt2 Divido el modelo por la raíz cuadrada del causante de la heterocedasticidad y estimo
el modelo resultante por MCO obteniendo estimadores ELIO.
yt
2
t
x
= β0 ⋅
1
2
t
x
+ β1 ⋅
xt
2
t
+
ut
yt* = β0* + β1 ⋅ xt* + ut*
2
t
x
x
Comprobamos si hemos corregido el problema

 ut
Var (u ) = Var 
 x 2
 t
*
t





H = 




1
x1
0
⋮
0

 =


1
(
xt2
2
)
⋅Var (ut ) =
1
(
xt2
2
)
⋅ σ 2 ⋅ xt2 = σ 2 la varianza es constante.
0 


1
……
0 
x2


⋮


1 
……
xT 
0
……
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−1
βˆ MCO = ( x*´ ⋅ x* ) ( x*´ ⋅ y* )





*
Siendo x = H ⋅ x = 




12
 y1 

1

x1 
 x1 


 y
1
 2 
1 *
x2  y = H ⋅ y =  x2 



⋮
⋮ 
 ⋮ 



1
 yT 
1
xT 
 x 
1
T
−1
V βˆ MCO = σu2 ⋅ ( x*´ ⋅ x* )
(
)
PROBLEMA 3:
Contraste de Durban-Watson:
H 0 : No existe autocorrelación de primer orden.
H1 : Si existe autocorrelación de primer orden
DW ≈ 2 − 2 ⋅ ρˆ como ρˆ = 0´45 sustituimos obteniendo DW ≈ 2 − 2 ⋅ 0´45 = 1´1
DW=1´1
di = 1´49
0
d s = 1´64
Existencia de
autocorrelación
positiva de
primer orden
2
4 − ds
4 − di
Existencia de
Ausencia de
Zona de duda
autocorrelación
4
Zona de duda
de primer orden
autocorrelación
negativa de
primer orden
El modelo presenta autocorrelación positiva de primer orden, luego los estimadores obtenidos por
MCO son ELI, no óptimos para obtener estimadores eficientes debemos de utilizar la estimación
MCG.
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