Modelo 6 - IES Aricel

Instrucciones: a) Duración: 1 hora y 30 minutos.
b) Elija una de las dos opciones propuestas y conteste los ejercicios de la opción elegida.
c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima que le corresponde.
d) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para
almacenar o transmitir datos.
e) Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios
para su obtención sin su ayuda. Justifique las respuestas.
Modelo 6
OPCIÓN A
EJERCICIO 1
2
a) (1.5 puntos) Resuelva la ecuación matricial 
1
a
Sea X = 
c
b 2
→ 
d  1
1  a

2  c
b  1
+ 
d  0
− 1  1
 =
2 0
0
X =
0
0
b) (1 punto) Dadas las matrices M = 
1
que se verifique la ecuación MA = A
0

1
1
0
 a
 .
 2
− 1
 = I2
2
 2a + c + 1 = 1
0  2b + d − 1 = 0
→ a = 0, b = 1, c = 0, d = −1
→
1  a + 2c = 0
b + 2d + 2 = 1
1
1
 X+ 
2
0
1

0 
b a
 =
1  2
1

−1
y
a
A =
2
b
 calcule los valores de a y b para
1
2 = a

b  1 = b
→ a = 2 , b =1
→
1  a = 2
1 = b

EJERCICIO 2
 2x − 5
, si x < 2

Sea la función f ( x) =  x + 4
 x3 − 3x 2 , si x ≥ 2

a) (1.5 puntos) Determine y represente gráficamente sus asíntotas. Calcule el punto donde la gráfica
de la función f corta al eje de ordenadas.
2.(−4) − 5 −13
−13
Como x + 4 = 0 → x = −4, f (−4) =
=
∃ y lim f ( x) =
= ±∞, la asíntota vertical es AV
. .: x = −4
x→ −4
−4 + 4
0
0
Como lim f ( x) = lim ( x3 − 3 x 2 ) = lim x3 = ∞ → No hay asíntota horizontal en ∞
x→ ∞
x→ ∞
x→ ∞
2x − 5
2x
= lim
= 2 → La asíntota horizontal en − ∞ es A.H . en − ∞ : y = 2
x → −∞ x + 4
x→ −∞ x
Como lim f ( x) = lim
x→ −∞
- Página 1 -
Punto de corte con el eje de ordenadas (eje Y ) : (0, f (0)) = (0,
2.0 − 5
−5
) = (0, )
0+4
4
Consideraciones sobre la puntuación de este apartado:
0.6 por cada asíntota y su gráfica, 0.3 por el punto de corte.
b) (1 punto) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en x = – 3
En x = −3 : Como − 3 ∈ ( −∞, 2), f ( x) =
2x − 5
13
⇒ f ´( x) =
x+4
( x + 4) 2
rtg : y = f ´(a).( x − a) + f (a). En este caso, a = −3, f (a) = f (−3) =
2.(−3) − 5
13
= −11 ; f ´(a) = f ´(−3) =
= 13
−3 + 4
(−3 + 4)2
rtg : y = 13.( x + 3) −11 → rtg : y = 13x + 28
Consideraciones sobre la puntuación de este apartado:
0.2 por el punto de tangencia, 0.5 por la pendiente, 0.3 por la ecuación.
EJERCICIO 3
Un estudio estadístico determina que la noche del 31 de diciembre conduce el 5% de la población, el
20% consume alcohol esa noche y el 2% conduce y consume alcohol.
 A = conducir
; Según el enunciado, p ( A) = 0, 05 , p( B ) = 0, 2
Sean los sucesos 
 B = consumir alcohol
y
p ( A ∩ B) = 0, 02
a) (0.5 puntos) ¿Son independientes los sucesos “conducir” y “consumir alcohol”?
p(A ∩ B) = 0,02
y
p(A) . p(B) = 0,05 . 0,2 = 0,01.
Luego, A y B NO son independientes porque p(A ∩ B) ≠ p(A) . p(B).
b) (1 punto) ¿Qué porcentaje de la población no conduce ni consume alcohol esa noche?
Ac ∩ Bc = (A U B)c , por una de las leyes de Morgan. Luego, p(Ac ∩ Bc) = p[(A U B)c] = 1 – p(A U B) =
= 1 – [p(A) + p(B) – p(A ∩ B)] = 1 – [0,05 + 0,2 – 0,02]= 0,77→ El 77% no conduce ni bebe
c) (1 punto) De las personas que consumen alcohol, ¿qué porcentaje conduce esa noche?
Nos piden : p( A / B) =
p( A ∩ B) 0, 02
=
= 0,1 → El 10%
p( B)
0, 2
- Página 2 -
EJERCICIO 4
El capital de las hipotecas constituidas sobre fincas urbanas en Andalucía es una variable aleatoria
Normal con desviación típica 10000 €.
a) (2 puntos) Se toma una muestra aleatoria de 9 hipotecas con los siguientes capitales (en euros):
95000 99000 105000 106000 108000 111000 112000 115000 120000.
Construya un intervalo de confianza, al 95%, para el capital medio de dichas hipotecas.
X = capital de las hipotecas; X → N (µ ; 10000); desviación típica : σ = 10000; tamaño de la muestra : n = 9 ;
95000 + 99000 + 105000 + 106000 + 108000 + 111000 + 112000 + 115000 + 120000
Media muestral : x =
≅ 107888,89
9
Nivel de confianza : nc = 95% = 0,95. El int ervalo de confianza es I = ( x − E , x + E ) , siendo el error E = zα .
σ
2
1 + nc
, donde φ ( zα ) = p ( Z < zα )
2
2
2
2
2
2
2
1 + 0,95 1,95
En este caso, el nivel de confianza nc = 0,95, luego φ ( zα ) =
=
= 0,975.
2
2
2
Buscamos dentro de la tabla de la N (0,1) el valor 0,975 y obtenemos zα = 1,96
zα cumple p (− zα < Z < zα ) = nc → 2φ ( zα ) − 1 = nc → φ ( zα ) =
2
2
10000
E = 1,96.
≅ 6533, 33. Por tan to, el int ervalo de confianza es I = (107888,89 − 6533,33 ; 107888,89 + 6533, 33)
9
I = (101355,561 ; 114422, 22)
Consideraciones sobre la puntuación de este apartado:
0.5 por la media, 0.3 por valor crítico, 1.2 por el intervalo.
b) (0.5 puntos) ¿Qué número mínimo de hipotecas deberíamos considerar en una muestra para que,
con el mismo nivel de confianza, el error máximo en la estimación del capital medio sea de 4000 €?
σ
10000
10000
E ≤ 4000 → zα .
≤ 4000 → 1,96.
≤ 4000 → 1,96.
≤ n → 4,9 ≤ n → 24, 01 ≤ n
2
4000
n
n
Luego, el tamaño mínimo de la muestra debe ser n = 25
OPCIÓN B
EJERCICIO 1
(2.5 puntos) Se desea invertir 100000 € en dos productos financieros A y B que tienen una
rentabilidad del 2% y del 2.5% respectivamente. Se sabe que el producto B exige una inversión
mínima de 10000 € y, por cuestiones de riesgo, no se desea que la inversión en B supere el triple de
lo invertido en A. ¿Cuánto se debe invertir en cada producto para que el beneficio sea máximo y cuál
sería dicho beneficio?
Representamos en una tabla los datos del problema:
cantidad a invertir (€) rentabilidad o beneficio (€)
inversión en A
x
0,02x
inversión en B
y
0,025y
total
x+y
0,02x + 0,025y
Determinamos las restricciones y la función objetivo
 x + y ≤ 100000
 y ≥ 10000

Restricciones: 
Función objetivo: beneficio = F(x , y) = 0,02x + 0,025y
 y ≤ 3x
 x ≥ 0 y ≥ 0
- Página 3 -
n
F ( A) = 0, 02.25000 + 0, 025.75000 = 2375
F ( B) = 0, 02.90000 + 0, 025.10000 = 2050
F (C ) = 0, 02.10000 / 3 + 0, 025.10000 = 316, 67
El máximo beneficio es 2375 € invirtiendo 25000 € en A y 75000 € en B
Consideraciones sobre la puntuación de este ejercicio: Hasta 0.8 puntos por el planteamiento,
0.6 por el recinto, 0.6 por los vértices, 0.2 por el beneficio máximo y 0.3 por indicar cómo se alcanza..
EJERCICIO 2
− x 2 + x + 6, si x ≤ 2
Se considera la función f , definida a trozos por la expresión f ( x) = 
 x + 2, si x > 2
a) (0.5 puntos) Estudie la continuidad de la función.
Para x ≠ 2, f es continua porque se compone de funciones polinómicas, que son continuas
Estudio de la continuidad en x = 2
 lim f ( x) = lim (− x 2 + x + 6 ) = 4
 x → 2−
x→ 2
; f (2) = 4 ⇒ f es continua en x = 2. Luego, f es continua en R

 lim+ f ( x) = lim (x + 2) = 4
x→ 2
 x→ 2
b) (0.5 puntos) Analice la derivabilidad de la función.
Para x ≠ 2, f es derivable porque se compone de funciones polinómicas, que son derivables
−2 x + 1, si x < 2
Además, para x ≠ 2 f ´( x) = 
1, si x > 2
Estudio de la derivabilidad en x = 2.
f es continua en x = 2
 lim− f ´( x) = lim (−2 x + 1) = −3
x→ 2
 x→ 2
⇒ f NO es derivable en x = 2 porque no coinciden las derivadas laterales

f
x
´(
)
lim
1
1
=
=
 xlim
+
x→ 2
 →2
- Página 4 -
c) (1.5 puntos) Represéntela gráficamente, determinando los extremos, los intervalos de crecimiento
y decrecimiento y los puntos de corte con los ejes.
1

− x 2 + x + 6, si x ≤ 2
−2 x + 1, si x < 2
 −2 x + 1 = 0 → x =
f ( x) = 
; f ´( x) = 0 ⇒ 
⇒ f ´( x) = 
2
1, si x > 2
 x + 2, si x > 2
1 = 0 (Im posible)
1
1
( ,2)
(-∞ , )
Intervalo
(2 , ∞)
2
2
f´(x)
– 2x+1
–2x+1
1
Signo de f´(x)
+
–
+
Monotonía de f(x) creciente decreciente creciente
2
1
1
1 25
25
1 1
; f( )= −   + + 6 = → máximo relativo: M( , )
2
2
2 4
4
2 2
2
f(2)= −2 + 2 + 6 = 4 → mínimo relativo: N(2,4)
Luego, f tiene un máximo relativo en x =
f tiene un mínimo relativo en x = 2;
Puntos de corte con los ejes:
− x 2 + x + 6 = 0 → x = −2, x = 3 (no válido, pues debe ser x < 2)
Eje X: f(x) = 0 ; 
→ corta al eje X en (−2, 0)
 x + 2 = 0 → x = −2
Eje Y: (0,f(0)) ; corta al eje Y en (0,6)
Consideraciones sobre la puntuación de este apartado:
Hasta 0.5 por la gráfica, hasta 1 punto por el resto.
EJERCICIO 3
Una enfermedad puede estar provocada por solo una de estas tres causas: A, B o C.
La probabilidad de que la causa sea A es 0.3, la de que sea B es 0.2 y la de que sea C es 0.5.
El tratamiento de esta enfermedad requiere hospitalización en el 20% de los casos si está provocada
por A, en el 55% si la causa es B y en el 10% si la causa es C.
 A = la causa es A
 D = el enfermo requiere hospitalización

Sean los sucesos  B = la causa es B ; 
C = la causa es C  E = el enfermo no requiere hospitalización

- Página 5 -
a) (1.5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que un enfermo con la citada enfermedad no necesite
hospitalización?
p ( E ) = p ( A) . p( E / A) + p ( B) . p ( E / B) + p (C ) . p ( E / C ) = 0,3 . 0,8 + 0, 2 . 0, 45 + 0,5 . 0,9 = 0, 78 → 78%
b) (1 punto) Si un enfermo está hospitalizado debido a esta enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de
que la causa haya sido A?
p( A ∩ D)
p ( A). p( D / A)
0,3 . 0, 2
p( A / D) =
=
=
≅ 0, 2727 → 27, 27%
p( D)
1 − p( E )
0, 22
EJERCICIO 4
(2.5 puntos) El peso medio de los pájaros de una determinada especie que habita en un parque
natural se consideraba no inferior a 110 g, pero los biólogos del parque sostienen ahora la hipótesis
de que dicho peso medio ha disminuido a consecuencia del cambio climático.
Se ha tomado una muestra de 100 pájaros de esta especie y se ha obtenido un peso medio de 108 g.
Se sabe que la variable que mide el peso de los pájaros de esta especie sigue una distribución
Normal con desviación típica igual a 6 g.
Plantee un contraste de hipótesis (H0: μ ≥ 110), con un nivel de significación del 5%, determine la
región crítica de este contraste y, utilizando ésta, razone si con ese nivel se puede aceptar que los
biólogos del parque están en lo cierto.
Planteamos el contraste de hipótesis unilateral para la media, µ , de la v.a. normal X = peso de los pájaros
 H 0 : µ ≥ 110 (hipótesis nula )

 H1 : µ < 110 (hipótesis alternativa )
( µ0 = 110)
Nivel de significación : α = 5% = 0, 05; nivel de confianza : nc :1 − α = 0, 95
Re gión de aceptación : R = (− zα , ∞)
Re gión crítica : Rc = ( − ∞, − zα )
2
2
1 + nc
, donde φ ( zα ) = p ( Z < zα )
2
2
2
2
2
2
2
2
1 + 0,95 1,95
En este caso, φ ( zα ) =
=
= 0,975.
2
2
2
Buscamos dentro de la tabla de la N (0,1) el valor 0,975 y obtenemos zα = 1,96
zα cumple p (− zα < Z < zα ) = nc → 2φ ( zα ) − 1 = nc → φ ( zα ) =
2
Re gión de aceptación : R = (− 1, 96 ; ∞)
Re gión crítica : Rc = ( − ∞ ; − 1,96)
Tamaño muestral : n = 100 ; Media muestral : x = 108 ; Desviavión típica : σ = 6
Estadístico de contraste : z =
x − µ0
σ
n
=
108 − 110
= −3, 33
6
100
Como z = −3, 33∈ Rc = (−∞ ; 1,96), aceptamos la hipótesis alternativa.
Por tan to, aceptamos que los bió log os tienen razón
Consideraciones sobre la puntuación de este ejercicio: 0.25 por plantear el contraste, 0.75 por el
estadístico de contraste, 1 punto por la región de rechazo/aceptación, 0.5 por la conclusión.
- Página 6 -