VECTORES

7
VECTORES
Página 171
REFLEXIONA Y RESUELVE
Multiplica vectores por números
■
Copia en un papel cuadriculado los cuatro vectores siguientes:
8
a
8
c
8
d
8
b
Representa:
8
8
a) 2 a
b) 5 b
c)
1 8
c
3
8
8
8
8
Expresa el vector d como producto de uno de los vectores a , b o c por un
número.
Designa los vectores anteriores mediante pares de números. Por ejemplo:
8
a (2, 3)
Repite con pares de números las operaciones que has efectuado anteriormente.
8
8
• d = –2,5 b =
8
8
–5 8
b
2
• a (2, 3)
1/3 c
8
b(–2, –2)
8
8
2a
c (3, 0)
8
8
5b
d (5, 5)
8
8
d = –5/2 b
8
• 2 a = 2 (2, 3) = (4, 6)
8
5 b = 5 (–2, –2) = (–10, –10)
1 8 1
c = (3, 0) = (1, 0)
3
3
Unidad 7. Vectores
1
Suma vectores
■
Efectúa gráficamente:
8
8
8
a) a + c
8
8
b) b + c
8
8
8
8
c) b + a
8
8
d) a + b + c
8
siendo a , b y c los del ejercicio anterior.
Realiza las mismas sumas con pares de números.
8
8
Por ejemplo: a + c = (2, 3) + (3, 0) = (5, 3)
8
8
8
8
8
8
8
8
a) a + c = (2, 3) + (3, 0) = (5, 3)
b) b + c = (–2, –2) + (3, 0) = (1, –2)
c) b + a = (–2, –2) + (2, 3) = (0, 1)
8
d) a + b + c = (2, 3) + (–2, –2) + (3, 0) = (3, 1)
8
c
a)
b)
8
a
8
8
8
8
b
8
b+c
8
a+c
c)
8
8
a
d)
8
8
b+a
b
8
8
8
8
c
b
c
a
8
8
a+b+c
Combina operaciones
8
u
8
v
8
w
■
8
8
8
Con los vectores u, v y w efectúa las siguientes operaciones gráficamente y
mediante pares de números:
8
8
8
a) 2 u + 3v
8
b) –v + 5w
8
8
8
c) 2 u + 3 v – 4 w
¿Cómo designarías al vector resultante de esta última operación?
8
8
8
8
8
8
a) 2 u + 3 v = 2 (3, 1) + 3 (2, –2) = (6, 2) + (6, –6) = (12, –4)
b) – v + 5 w = –(2, –2) + 5 (3, –1) = (–2, 2) + (15, –5) = (13, –3)
8
c) 2 u + 3 v – 4 w = 2 (3, 1) + 3 (2, –2) – 4 (3, –1) = (6, 2) + (6, –6) + (–12, 4) = (0, 0)
8
Vector nulo: 0
2
Unidad 7. Vectores
UNIDAD
a)
b)
8
2u
8
8
8
8
–v
3v
5w
8
8
8
–v + 5w
2u + 3v
c)
7
8
2u
8
3v
8
–4w
Página 175
8
8
1. Si u(–2, 5) y v (1, –4) son las coordenadas de dos vectores respecto de una base, halla las coordenadas respecto de la misma base de:
8
8
8
8
8
8
1 8
1 8
a) 2 u + v
b) u – v
c) 3 u +
d) – u – 2 v
v
3
2
8
8
a) 2 u + v = 2 (–2, 5) + (1, –4) = (–4, 10) + (1, –4) = (–3, 6)
8
8
b) u – v = (–2, 5) – (1, –4) = (–2, 5) + (–1, 4) = (–3, 9)
(
) (
)
1
1
–5
11
d) – u – 2 v = – (–2, 5) – 2 (1, –4) = (1,
+ (–2, 8) = (–1,
2
2
2 )
2 )
1 8
1
1 –4
–17 41
v = 3 (–2, 5) +
,
=
,
(1, –4) = (–6, 15) +
3
3
3 3
3
3
8
c) 3 u +
8
8
Página 176
8
8
8
8
1. Dos vectores u y v cumplen que: |u| = 4, |v| =
8
8
a) u · v
8
8
8
8
8
8
8
b) v · u
8
d) (3u) · (–5v )
8
8
ì
3
8 8
, ( u, v ) = 30°. Calcula:
2
8
e) u · u
ì
8 8
8
a) u · v = |u| |v| cos ( u, v ) = 4 ·
8
8
8
c) (–u) · v
8
8
f) v · (–v )
√3
3
· cos 30° = 6 ·
= 3√3
2
2
8
b) v · u = u · v = 3√3
8
8
8
8
c) (–u) · v = – ( u · v ) = –3√3
8
8
8
8
d) (3u) · (–5v ) = 3(–5) ( u · v ) = –15 · 3√3 = –45√3
8
8
8
e) u · u = |u| 2 cos 0° = 16
8
8
8
8
8
f) v · (–v ) = –v · v = –|v|2 = –
Unidad 7. Vectores
9
4
3
8
8
8
8
8 8
2. Si |u| = 3, |v| = 5 y u · v = –2, averigua el ángulo ( u, v ). (Usa la calculadora).
8
ì
8
8
ì
u·v
–2
2
8 8
=–
8 ( u, v ) = 97° 39' 44''
8
8 =
15
|u||v| 3 · 5
8 8
cos ( u, v ) =
8
8
8
8
8
8
8
ì
8 8
3. Halla u · ( v + u) y v · ( v – u) sabiendo que |u| = 3, |v| = 5, ( u, v ) = 120°.
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
u · ( v + u) = u · v + u · u = |u| |v| cos 120° + |u| |u| cos 0° =
( )
=3·5· –
8
8
8
8
8
8
1
15
3
+3·3=–
+9=
2
2
2
( )
8
v · ( v – u) = v · v – v · u = 25 – –
15
65
=
2
2
Página 178
8
8
4. Dados los vectores u y v mediante sus coordenadas respecto a una base or8
8
tonormal, u (3, – 4), v (–1, 3), halla:
8
8
8
8
a) u · v y v · u
8
8
ì
8 8
b) |u|, |v| y ( u, v )
8
c) El valor de k para que (4, k) sea perpendicular a v .
8
d) Un vector unitario perpendicular a u.
8
8
8
8
a) u · v = (3, –4) · (–1, 3) = 3 · (–1) + (–4) · 3 = –15
v · u = (–1, 3) · (3, –4) = (–1) · 3 + 3 · (–4) = –15
8
b) |u| = √32 + (–4)2 = 5
8
|v| = √(–1)2 + 32 = √10
ì
8
8
ì
–15
u·v
8 8
— = –0,9486832981 8 ( u, v ) = 161° 33' 54''
8
8 =
|u||v| 5√ 10
4
c) (4, k ) 2 (–1, 3) 8 (4, k ) · (–1, 3) = 0 8 –4 + 3k = 0 8 k =
3
8 8
cos ( u, v ) =
8
Para que (4, k ) sea perpendicular a v , ha de ser k =
4
.
3
8
d) Un vector perpendicular a u (3, –4) es, por ejemplo, (4, 3).
Un vector unitario paralelo a (4, 3) es
Hay dos vectores unitarios perpendiculares a (3, –4). Son
4
( )
( ) ( )
1
1
4 3
· (4, 3) = (4, 3) = ,
|(4, 3)|
5
5 5
4 3
4
3
,
y – ,– .
5 5
5
5
Unidad 7. Vectores
UNIDAD
7
Página 182
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
PARA PRACTICAR
Los vectores y sus operaciones
1 La figura ABCDEF es un hexágono.
C
P
D
N
Q
B
E
O
M
R
A
S
F
Compara el módulo, la dirección y el sentido de los siguientes pares de vectores:
8
8
8
a) AB y BC
8
8
b) FE y BC
8
8
8
c) BM y DE
8
d) OS y OE
8
a) |AB | = |BC |. Tienen distinta dirección.
b) Los dos vectores tienen la misma dirección, el mismo sentido y el mismo mó8
8
dulo, luego: FE = BC .
8
c) |BM | =
1 8
DE . Tienen la misma dirección y el mismo sentido.
2
8
Luego: BM =
8
1 8
DE .
2
8
8
8
d) | OS | < | OE |. Sus direcciones son perpendiculares: OS 2 OE .
8
2 Busca en la figura del ejercicio 1 tres vectores iguales a NC y otros tres igua8
les a AS .
8
8
8
8
8
8
8
8
NC = BN = FR = RE
AS = SF = CP = PD
Unidad 7. Vectores
5
3 Sustituye los puntos suspensivos por un número, de forma que estas igualdades sean verdaderas para el hexágono del ejercicio 1:
8
8
8
8
8
8
8
a) CD = 2 CP
8
8
b) MN = … AC
8
8
c) OP = …OS
8
a) CD = 2 CP
b) MN =
8
c) OP = – OS
8
d) NB = … BC
1 8
AC
2
d) NB = –
1 8
BC
2
4 Completa las igualdades siguientes con las letras que faltan para que, en el
hexágono del ejercicio 1, sean verdaderas:
8
8
8
8
8
a) AF + B… = AE
c) O… + SO = FD
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
b) AS + …C = SF
d) AM + A… = AB
a) AF + BC = AE
8
b) AS + CC = SF
8
c) OP + SO = FD
8
8
d) AM + AM = AB
5 Observa el rombo de la figura y calcula:
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
a) AB + BC
B
b) OB + OC
c) OA + OD
A
d) AB + CD
O
C
e) AB + AD
D
f ) DB – CA
Expresa los resultados utilizando los vértices del rombo.
8
8
a) AC
8
8
8
b) AB = DC
8
8
d) AA = 0
8
c) BA – CD
8
e) AC
f) 2 DC
8
6 Considera el vector w:
8
w
8
8
Dibuja en cada uno de estos casos un vector v que sumado con u dé co8
mo resultado w:
a)
b)
8
8
u
c)
6
8
u
u
d)
8
u
Unidad 7. Vectores
UNIDAD
a)
8
w
b)
8
8
u
8
c)
u
w
8
u
8
v
8
v
8
v
8
7
w
d)
8
8
w
u
8
v
8
8
8
8
7 Los vectores a , b y c los hemos obtenido operando con los vectores x,
8 8
y , z . ¿Qué operaciones hemos hecho en cada caso?
8
8
y
–z
8
z
x
8
–x
8
8
y
8
a
8
8
8
8
a=y–z–x
8
b
8
c
8
8
8
8
8
b=x+y– z
8
8
8
c =x–y+ z
Bases y coordenadas
8 A la vista de la figura, dibuja los vectores:
8
8
8
8
8
8
8
8
– u + v, u – v, u + v,
8
8
8
8
8
8
u
– u – v, – u + 2v, u – 2v
8
v
8
Si tomamos como base (u, v ), ¿cuáles son las coordenadas de los vectores
que has dibujado?
8
8
–u + v
8
8
u
v
8
–u
v
8
u
8
–u
8
v
8
8
u+v
8
8
2v
8
u – 2v
8
8
8
8
8
– u – v = (–1, –1)
Unidad 7. Vectores
8
8
–u
8
u – v = (1, –1)
8
8
u
–v
– u + v = (–1, 1)
8
–u + 2v
8
8
–2v
–u – v
8
u
8
u–v
8
8
8
8
–v
8
8
– u + 2v = (–1, 2)
8
8
u + v = (1, 1)
8
8
u – 2 v = (1, –2)
7
8 8
8
8
8
9 Escribe los vectores u, v , w como combinación lineal de x e y .
8
y
8
x
8
w
8
u
8
v
8
8
¿Cuáles serán las coordenadas de esos vectores respecto a la base B (x, y )?
8
u=–
(
8
18 18
1 1
x + y , luego u = – ,
2
2
2 2
) respecto de B (x, y).
8
8
( )
3
3
w = x + y , luego w = ( , 1) respecto de B ( x , y ).
2
2
8
v=
8
8
8 8
38 8
3
x + y , luego v =
, 1 respecto de B ( x , y ).
4
4
8
8
8
8
8
Página 183
8
8
8
8
10 Escribe las coordenadas de los vectores a , b, c , d, con respecto a la base
8 8
B (x, y ).
8
a
8
8
x
b
8
c
8
8
8
8
y
8
d
8
a = (2, 2); b = (0, –3); c = (–1, 0); d = (–1, 3)
8
11 En una base ortonormal las coordenadas de un vector son v (2, –5). Halla
8
las coordenadas de v en la base B = {(1, –1), (0, –1)}.
8
x (1, –1) ° 8
8
8
§ v = ax + by
8
y(0, –1) ¢
8
§ (2, –5) = a(1, –1) + b (0, –1) = (a, –a) + (0, –b ) = (a, –a – b )
v(2, –5) £
2=a
° a=2
¢
–5 = –a – b £ b = +3
8
Las coordenadas de v en la nueva base son (2, 3).
8
Unidad 7. Vectores
UNIDAD
8
7
8
12 Si las coordenadas de los vectores u y v son (3, –5) y (–2, 1), obtén las
coordenadas de:
8
a) –2 u +
18
v
2
8
38
b) – u – v
5
a) –2 (3, –5) +
b) – (3, –5) –
c)
c)
(
) (
)
) (
)
1
1
21
= –7,
(–2, 1) = (–6, 10) + –1,
2
2
2
(
3
6 –3
–9 72
(–2, 1) = (–3, 15) +
,
=
,
5
5 5
5
5
1 8 8 – 2 8 8
(u + v )
(u – v )
2
3
1
2
1
2
(3, –5) + (–2, 1) –
(3, –5) – (–2, 1) =
(1, –4) –
(5, –6) =
2
3
2
3
[
]
[
]
=
( 12 , –2) + ( –103 , 4) = ( –176 , 2)
8
8
8
8
8
18
13 Halla el vector b tal que c = 3 a –
b , siendo a (–1, 3) y c (7, –2).
2
(7, –2) = 3 (–1, 3) –
° 7 = –3 – (1/2)b1 8 b1 = –20 °
1
(b , b ) 8 ¢
¢
2 1 2
£ –2 = 9 – (1/2)b2 8 b2 = 22 £
8
b (–20, 22)
8
8
8
14 Dados los vectores a (3, –2), b(–1, 2) y c (0, –5), calcula m y n de modo que:
8
8
8
c = m a + n b.
° 0 = 3m – n
(0, –5) = m (3, –2) + n (–1, 2) 8 ¢
£ –5 = –2m + 2n
Resolvemos el sistema:
Despejando en la primera ecuación, n = 3m, y sustituyendo en la segunda:
–5 = –2m + 6m 8 –5 = 4m 8 m =
–5
–15
8 n=
4
4
8
8
15 Expresa el vector a (– 1, – 8) como combinación lineal de b (3, –2) y
8
(
c 4, –
)
1
.
2
8
☛ Calcula m y n tales que a = m b + n c .
8
(
1
(–1, –8) = m (3, –2) + n 4, –
2
)
8
° –1 = 3m + 4n
§
1
8 ¢
§ –8 = –2m – —n
2
£
Resolvemos el sistema por reducción (por ejemplo).
Unidad 7. Vectores
9
Para ello, multiplicamos la segunda ecuación por 8 (en los dos miembros) y sumamos miembro a miembro las dos:
–1 =
3m + 4n
–64 = –16m – 4n
–65 = –13m 8 m =
–65
=5
–13
Sustituyendo en una de las dos ecuaciones y despejando n :
–1 = 3m + 4n 8 –1 = 3 · (5) + 4n 8 –16 = 4n 8 n = –4
8
8
8
Así, podemos decir: a = 5 b – 4 c
16 ¿Cuáles de los siguientes pares de vectores forman una base?
8
8
8
8 2
,2
a) u(3, –1), v (1, 3)
b) u(2, 6), v
3
( )
8
8
a) Sí, tienen distinta dirección ( u ? k v para cualquier k). Basta con representarlos gráficamente para comprobarlo.
8
8
b) No, pues tienen la misma dirección ( u = 3 v ).
Producto escalar. Módulo y ángulo
17 En una circunferencia de centro O y de radio 2 cm, se inscribe un hexágono regular de vértices A, B, C, D, E, F. Calcula los productos:
8
8
8
8
8
a) OA · OB
8
b) OA · OC
8
c) AB · ED
8
d) BC · EF
8
8
8
8
8 8
1
a) OA · OB = |OA| · |OB | cos (OA, OB ) = 2 · 2 · cos 60° = 2 · 2 ·
=2
2
( 12 ) = –2
8
8
8
8 (*)
A
b) OA · OC = 2 · 2 · cos 120° = 2 · 2 · –
(*)
c) AB · ED = 2 · 2 · cos 0° = 2 · 2 · 1 = 4
(*)
B
60°
F
O
OAB es un triángulo equilátero, luego:
8
C
8
|AB | = |OA| = 2
8
E
D
Razonamos igual para |ED |.
8
8
d) BC = – EF (mismo módulo, misma dirección y sentido opuesto)
8
8
Luego: BC · EF = 2 · 2 · cos 180° = 2 · 2 · (–1) = –4
10
Unidad 7. Vectores
UNIDAD
8
8
7
8
18 Dados los vectores x(5, –2), y (0, 3), z (–1, 4), calcula:
8
8
8
8
8
8
8
8
8
a) x · y
8
8
b) x · z
8
c) y · z
a) x · y = (5, –2) · (0, 3) = –6
b) x · z = (5, –2) · (–1, 4) = –5 – 8 = –13
c) y · z = (0, 3) · (–1, 4) = 12
8
8
19 Calcula k para que el producto u · v sea igual a 0 en los siguientes casos:
8
8
a) u(6, k), v (–1, 3)
8
8
8
8
8
8
8
b) u
(
)
8
1
, –2 , v (k, 3)
5
8
8
c) u(–3, –2), v (5, k)
a) u · v = (6, k ) · (–1, 3) = 0 8 –6 + 3k = 0 8 k = 2
b) u · v =
( )
1
k
, –2 · (k, 3) = 0 8
– 6 = 0 8 k = 30
5
5
c) u · v = (–3, –2) · (5, k ) = 0 8 –15 – 2k = 0 8 k = –
8
8
15
2
8
20 Dados u(2, 3), v (–3, 1) y w(5, 2), calcula:
8
8
8
a) (3 u + 2 v ) w
8
8
8
8
b) u · w – v · w
8
8
8
c) ( u · v ) w
8 8
8
d) u( v · v )
☛ a) Halla primero las coordenadas de 3 u + 2 v .
8
8
8
8
8
c) Efectúa u · v . Multiplica el resultado (un número) por el vector w . Obtendrás
un vector.
8
8
a) 3 u + 2 v = 3 (2, 3) + 2 (–3, 1) = (6, 9) + (–6, 2) = (0, 11)
8
8
8
(3 u + 2 v ) · w = (0, 11) · (5, 2) = 0 · 5 + 11 · 2 = 0 + 22 = 22
8
8
b) u · w = (2, 3) · (5, 2) = 10 + 6 = 16
°
¢ 8
8 8
v · w = (–3, 1) · (5, 2) = –15 + 2 = –13 £
8
8
8
8
8 u · w – v · w = 16 – (–13) = 16 + 13 = 29
8
8
c) u · v = (2, 3) · (–3, 1) = –6 + 3 = –3
8
8
8
( u · v ) w = –3 (5, 2) = (–15, –6)
8
8
d) v · v = (–3, 1) · (–3, 1) = 9 + 1 = 10
8
8
8
u ( v · v ) = (2, 3) · 10 = (20, 30)
Unidad 7. Vectores
11
21 Halla el módulo de cada uno de los siguientes vectores:
8
8
u(3, 2)
8
z
(
√2 √2
2
,
2
)
8
v (–2, 3)
w(–8, –6)
8
8
t (5, 0)
8
r (1, 1)
8
| u | = √32 + 22 = √13
8
|w| = √(–8)2 + (–6)2 = 10
8
| v | = √(–2)2 + 32
—
√2 2
8
— +
|z| =
2
√( ) ( )
8
| t | = √52 + 02 = 5
| r | = √12 + 12 = √2
8
22 Halla el valor de m para que el módulo del vector u
8
|u| =
√( )
2
3
—
5
= √13
—
√2 2
— =1
2
9
16
+ m2 = 1 8
+ m2 = 1 8 m2 =
25
25
8
(
)
3
, m sea igual a 1.
5
4
m1 = —
5
4
m2 = – —
5
8
23 Calcula x, de modo que el producto escalar8de a (3, –5) y b(x, 2) sea igual
8
a 7. ¿Qué ángulo forman los vectores a y b?
(3, –5) · (x, 2) = 7 8 3x – 10 = 7 8 x =
8
8
cos a =
17
3
7
a·b
8 a = 78° 28' 34,6''
8 =
——
——
8
|a||b| (√ 32 + (–5)2 ) (√ (17/3)2 + 22 )
24 Halla el ángulo que forman los siguientes pares de vectores:
8
8
a) u(3, 2), v (1, –5)
8
8
b) m (4, 6), n (3, –2)
(
8
8
1
c) a (1, 6), b – , –3
2
)
8
8
a) Utilizamos las dos expresiones para calcular u · v:
8
8
8
8
u · v = 3 · 1 + 2 (–5) = –7
8
8
ì
ì
8 8
8 8
u · v = |u| · | v|· cos ( u, v ) = √ 13 · √ 26 · cos ( u, v )
Igualando las dos expresiones, se tiene:
ì
8 8
ì
8 8
–7 = √ 13 · √ 26 · cos ( u, v ) 8 cos ( u, v ) =
–7
—
— = –0,38
√13 · √ 26
ì
8 8
Luego: ( u, v ) = 112° 22' 48"
12
Unidad 7. Vectores
UNIDAD
7
b) Despejando directamente en la definición:
8
8
8
ì
8
8
8
m · n = |m| · | n | · cos ( m, n ) 8
8
ì
8
m·n
4 · 3 + 6 · (–2)
0
8 cos ( m, n ) = 8 8 =
= — — =0
— —
|m||n|
√52 · √13
√52 · √13
8
8
ì
8
8
8
8
de donde: ( m, n ) = 90° (basta con ver que m · n = 0)
ì
8
8
8 8
c) cos ( a, b ) =
a·b
–37/2
–1/2 – 18
–1
√2
=
=–
8 =
—
— — =
8
2
|a||b|
37
√
2
/2
√37 · √37/2
√2
(
)
ì
8 8
Luego: ( a, b ) = 135°
8
25 Dado el vector u(–5, k) calcula k de modo que:
8
8
a) u sea ortogonal a v (4, –2).
8
b) El módulo de u sea igual a √34 .
8
8
8
8
a) u 2 v ò u · v = 0 8 (–5, k) · (4, –2) = 0 8 –20 – 2k = 0 8 k = –10
8
b) | u | = √ (–5)2 + k 2 = √ 25 + k 2 = √ 34 8 25 + k 2 = 34 8 k 2 = 9 8 k = ±3
Hay, pues, dos soluciones.
8
26 Dado el vector u(6, – 8), determina:
8
a) Los vectores unitarios (módulo 1) de la misma dirección que u.
8
8
b) Los vectores ortogonales a u que tengan el mismo módulo que u.
8
c) Los vectores unitarios y ortogonales a u.
☛ Mira el problema resuelto número 4.
8
a) Calculamos: | u | = √62 + (–8)2 = 10
8
Los vectores de la misma dirección que u y de módulo 1 son:
1
3
4
8
v1 =
(6, –8) = , –
10
5
5
8
v2 =
(
(
1
3 4
(–6, 8) = – ,
10
5 5
)
)
8
b) Se obtienen permutando las coordenadas de u y cambiando el signo de una
de ellas.
8
v 1 = (8, 6)
8
v 2 = (–8, –6)
También se pueden hallar expresando analíticamente las dos condiciones y resolviendo el sistema que obtenemos:
Unidad 7. Vectores
13
8
8
v 2 u 8 (x, y) · (6, –8) = 0 8 6x – 8y = 0 8 x =
8
8y
4
=
y
6
3
8
| v | = | u | 8 √ x 2 + y 2 = 10 8 x 2 + y 2 = 100
( 43 y) + y
2
2
16 2
25 2
y + y 2 = 100 8
y = 100 8 y 2 = 36 8 y = ±6
9
9
= 100 8
8
4
6 = 8 8 v 1 (8, 6)
3
• Si y1 = 6 8 x1 =
8
• Si y2 = –6 8 x2 = –8 8 v 2 (–8, –6)
c) Teniendo en cuenta a) y b), haremos:
8
v1 =
8
v2 =
( )
( )
1
4 3
(8, 6) = ,
10
5 5
1
4
3
(–8, –6) = – , –
10
5
5
O bien, resolviendo el sistema:
8
8
u 2 v 8 6x – 8y = 0 8 x =
8
( 4y3 ) + y
2
2
=1 8
8y
4y
=
6
3
3
4 3
4
8 x1 =
·
=
5
3 5
5
• Si y2 =
–3
4
–3
–4
8 x2 =
·
=
5
3
5
5
8
( 45 , 35 ),
8
v2
8
16 2
25 2
25
3
y + y2 = 1 8
y = 1 8 y2 =
8 y=±
9
9
9
5
• Si y1 =
Así, v 1 =
°
§
¢
§
£
8
|v| = 1 8 √x 2 + y 2 = 1 8 x 2 + y 2 = 1
( )
( –45 , –35 )
Página 184
PARA RESOLVER
8
8
27 Halla las coordenadas de un vector v(x, y), ortogonal a u(3, 4) y que mida
8
el doble que u.
°
§
¢
8
8
2
2
| v | = 2| u | 8 √ x 2 + y 2 = 2 √ 9 + 16 = 2 √ 25 = 10 8 x + y = 100 §
£
Resolvemos el sistema:
8
8
8
8
u 2 v 8 u · v = 0 8 3x + 4y = 0
Despejamos x en la primera ecuación y sustituimos en la segunda:
14
Unidad 7. Vectores
UNIDAD
x=
–4
y 8
3
( –43 y) + y
Si y1 = 6 8 x1 =
2
2
= 100 8
7
16 2
25 2
y + y 2 = 100 8
y = 100 8 y = ±6
9
9
8
–4
· 6 = –8 8 v 1 (–8, 6)
3
8
v1
8
u
8
–4
Si y2 = –6 8 x2 =
· (–6) = 8 8 v 2 (8, –6)
3
El problema tiene dos posibles soluciones,
tales que:
8
8
v1 = –v2
8
8
v2
8
8
8
8
8
8
28 Dados a(2, 1) y b(6, 2), halla un vector v tal que v · a = 1 y v 2 b.
(x, y) · (2, 1) = 1 8 2x + 2y = 1 °
¢ Resolvemos el sistema:
(x, y) · (6, 2) = 0 8 6x + 2y = 0 £
Multiplicamos los dos miembros de la primera ecuación por (–1) y sumamos
miembro a miembro:
–2x – 2y = –1
6x + 2y = 0
= –1 8 x =
4x
–1
4
Sustituimos en una ecuación, por ejemplo en la segunda, y despejamos la otra incógnita:
–1
6
3
3
6x + 2y = 0 8 6 ·
+ 2y = 0 8 2y =
=
8 y=
4
4
2
4
( )
8
Así, nuestro vector será: v
8
( –14 , 34 )
8
8
8
29 Siendo u(5, –b) y v(a, 2), halla a y b, sabiendo que u y v son ortogo8
nales y que |v| = √13 .
8
8
8
8
Si u 2 v , entonces u · v = 0 8 (5, –b) · (a, 2) = 0 8 5a – 2b = 0
8
Si | v | = √ 13 , entonces √ a 2 + 22 = √ 13 8 a 2 + 4 = 13
Resolvemos el sistema:
a 2 + 4 = 13 8 a = ±3
Entonces: Si a = 3 8 b =
5a
15
=
2
2
Si a = –3 8 b =
Unidad 7. Vectores
5a
–15
=
2
2
15
8
(
)
–15 8
, v (3, 2)
2
Luego hay dos posibles soluciones: u 5,
8
(
O bien: u 5,
)
15 8
, v (–3, 2)
2
8
8
8
8
8
8
8
8
30 Dados los vectores a = 2 u –8v y b = –3 u + k v, siendo
u = (2, 3) y v = (–3, 0),
8
8
8
halla k de modo que ( a + b) sea ortogonal a ( a – b).
8
8
8
8
☛ Escribe las coordenadas de (a + b ) y (a – b).
8
8
8
8
8
8
8
8
Si ( a + b ) 2 ( a – b ), entonces ( a + b ) · ( a – b ) = 0. Obtendrás una ecuación cuya incógnita es k.
8
8
8
a = 2 (2, 3) – (–3, 0) = (7, 6)
° a + b = (1 – 3k, –3)
°
8
¢ 8 ¢8 8
b = –3 (2, 3) + k (–3, 0) = (–6 – 3k, –9) £
£ a – b = (13 + 3k, 15)
Ahora, como el producto escalar de ambos vectores debe ser 0, por ser ortogonales:
(1 – 3k, –3) · (13 + 3k, 15) = 0 8 (1 – 3k) (13 + 3k) + (–3) · 15 = 0
13 + 3k – 39k – 9k 2 – 45 = 0 8 9k 2 + 36k + 32 = 0
k=
=
–36 ± √ 1 296 – 1 152
–36 ± √ 144
=
=
18
18
–36 ± 12
=
18
–24/18 = –4/3 = k1
–48/18 = –8/3 = k2
8
8
8
8
8
8
31 Halla el valor que debe tener k para que los8 vectores x = k a + b e y = k a – b
8
sean perpendiculares, siendo a(3/2, 4) y b(5, 0).
°
§
§
§
3
3k
8
¢ Entonces:
y = k , 4 – (5, 0) =
– 5, 4k
§
2
2
§
8
8
8 8
§
Como queremos x 2 y ò x · y = 0 £
8
x=k
(
(
(
3
3k
, 4 + (5, 0) =
+ 5, 4k
2
2
)(
)
)
)
(
)(
)
3k
3k
3k
3k
+ 5, 4k ·
– 5, 4k = 0 8
+5
– 5 + (4k )(4k ) = 0 8
2
2
2
2
8
16
( )
( )
10
9k 2
73 2
– 25 + 16k 2 = 0 8
k = 25 8 k = ±
(dos soluciones)
4
4
√73
Unidad 7. Vectores
UNIDAD
8
8
7
8
32 Dados los vectores u(k, –6) y v(3, h), calcula k y h de modo que |u| = 10
8
8
y u 2 v.
8
| u | = √k 2 + (–6)2 = 10 8 k 2 + 36 = 100 8 k 2 = 64 8
8 k = ±8 (dos soluciones)
8
8
8
• Si k = 8 8 u (8, –6); u 2 v 8 (8, –6) · (3, h ) = 0 8 24 – 6h = 0 8 h = 4
8
8
8
• Si k = –8 8 u (–8, –6); u 2 v 8 (–8, –6) · (3, h ) = 0 8 –24 – 6h = 0 8
8 h = –4
8
8
8
8
33 Calcula las coordenadas de un vector u tal que |u| = 1 y u · v = 1 siendo
8
v(2, 1).
8
8
u (a, b ) 8 | u | = 1 8 √a2 + b 2 = 1
° Resolvemos el sistema:
8
u · v = 1 8 (a, b ) · (2, 1) = 1 8 2a + b = 1 ¢
£
b = 1 – 2a 8 a2 + (1 – 2a)2 = 1 8 a2 + 1 + 4a2 – 4a = 1 8 5a2 – 4a = 0
8
a=0 8 b=1
4
3
a=
8 b=–
5
5
8
8
Soluciones : u 1(0, 1) y u 2
8
(
4
3
,–
5
5
8
)
8
34 Expresa los vectores a, b y c como
8
8
combinación lineal de x e y.
8
8
a
8
b
y
8
x
8
c
8
a=–
18
8
x + 2y
2
8
b=
8
8
18
8
x + 2y
2
8
c=
18 8
x–y
2
8
8
35 De los vectores a y b sabemos
que |a| = 3 y |b| = 5 y que forman un án8
8
gulo de 120°. Calcula |a – b|.
☛ Mira el problema resuelto número 8.
8
8
8
8
8
8
2
2
Como: v · v = |v| |v| cos 0° = |v| · 1 = |v|
entonces podemos decir que:
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
|a – b|2 = (a – b) · (a – b) = a · a – 2a · b + b · b =
8
8
8
ì
8
8
8
2
2
= |a| – 2 |a| |b| cos ( a, b ) + |b| =
( 12 ) + 25 = 49
= 32 – 2 · 3 · 5 · cos 120° + 52 = 9 – 30 · –
8
8
Luego: |a – b| = 7
Unidad 7. Vectores
17
8
8
8
8
8
8
8
8
36 Si |u|= 3 y (u + v ) · (u – v ) = –11, halla |v|.
8
8
8
8
8
8
☛ ( u + v ) · ( u – v ) = u · u – v · v = –11.
8
8
8
8
Como u · u = |u|2 = 9, calcula |v|.
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
2
2
(u + v) · (u – v) = u · u – v · v = |u| – |v| = –11
8
Como |u| = 3, se tiene que:
8
8
8
2
2
32 – |v| = –11 8 |v| = 20 8 |v| = √ 20
8
8
8
8
8
8
8
8
37 Sabiendo que |u| = 3, |v| = 5 y u 2 v, halla |u + v| y |u – v|.
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
|u + v|2 = (u + v) · (u + v) = u · u + 2u · v + v · v =
(*)
8
8
8
8
2
2
= |u| + |v| = 32 + 52 = 34 8 |u + v| = √ 34
(*)
8
8
8
8
u2v 8 u·v=0
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
|u – v|2 = (u – v ) · (u – v) = u · u – 2u · v + v · v =
8
8
8
8
2
2
= |u| + |v| = 32 + 52 = 34 8 |u – v| = √ 34
8 8
8
8
8
8
38 Sea B( x, y) una base ortonormal. Calcula |x + y| y |x – y|.
☛ Mira el problema resuelto número 7.
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
|x + y|2 = (x + y) · (x + y) = x · x + 2x · y + y · y = |x| + 0 + |y| = 2 8 |x + y| = √2
|x – y|2 = (x – y) · (x – y) = x · x – 2x · y + y · y = |x| – 0 + |y| = 2 8 |x – y| = √2
8
8
8
8
8
8
39 Si |u| = 4, |v| = 3 y |u + v| = 5, ¿qué ángulo forman u y v ?
Razonando como en el problema resuelto número 7, llegamos a:
8
8
8
8
8
ì
8 8
8
|u + v|2 = |u|2 + 2 |u| |v| cos ( u, v ) + |v|2
Sustituyendo los valores conocidos:
ì
8 8
52 = 42 + 2 · 4 · 3 · cos ( u, v ) + 32
ì
8 8
25 = 16 + 24 cos ( u, v ) + 9
ì
8 8
cos ( u, v ) =
18
ì
25 – 25
8 8
= 0 8 ( u, v ) = 90°
24
Unidad 7. Vectores
UNIDAD
7
8
8
40 Calcula x para que los vectores a(7, 1) y b(1, x) formen un ángulo de 45°.
8
8
8
8
a · b = 7 + x = |a| | b| cos 45° 8
8 7 + x = √ 50 · √ 1 + x 2 ·
√2 8
2
14 + 2x
= √1 + x 2 8
10
8 14 + 2x = √ 100 (1 + x 2) 8
2
7+x
= √ 1 + x 2 8 49 + x + 14x = 1 + x 2 8
5
25
8
8 49 + x 2 + 14x = 25 + 25x 2 8 24x 2 – 14x – 24 = 0 8
8 12x 2 – 7x – 12 = 0 8 x =
7 ± √ 49 + 576
24
x1 = 4/3
x2 = –3/4
8
8
41 Calcula x para que a(3, x) y b(5, 2) formen un ángulo de 60°.
8
8
8
8
a · b = |a| | b| cos 60°
15 + 2x = √ 9 + x 2 · √ 29 ·
1
8 30 + 4x = √ 29 (9 + x 2) 8
2
8 900 + 16x 2 + 240x = 29 (9 + x 2) 8 13x 2 + 240x – 639 = 0
x=
=
–240 ± √ 57 600 + 33 228
–240 ± √ 90 828
=
=
26
26
x1 = –2,36
x2 = 20,82
–240 ± 301,4
26
8
42 Halla las coordenadas de cierto vector x, sabiendo que forma un ángulo de
8
60° con a(2, 4) y que los módulos de ambos son iguales.
—
8
8
|a| = √20 = |x| °
8 8
8
8
8
¢ 8 a · x = |a| |x| cos 60° 8
Sea x(m, n )
£
—
— 1
°
§ 2m + 4n = √20 · √20 · — 8 2m + 4n = 10
2
8 ¢
—
§ ——
2 + n 2 = √20 8 m 2 + n 2 = 20
√
m
£
Resolvemos el sistema:
m=
10 – 4n
= 5 – 2n
2
Sustituyendo en la segunda ecuación:
(5 – 2n )2 + n 2 = 20 8 25 + 4n 2 – 20n + n 2 = 20 8 n 2 – 4n + 1 = 0
n=
4 ± √ 16 – 4
4 ± 2√3
=
2
2
n1 = 0,27
n2 = 3,73
8
• Si n1 = 0,27 8 m1 = 5 – 2 · 0,27 = 4,46 8 x1 = (4,46; 0,27)
8
• Si n2 = 3,73 8 m2 = 5 – 2 · 3,73 = –2,46 8 x2 = (–2,46; 3,73)
Unidad 7. Vectores
19
8
8
43 Determina un vector a que forme con b(–1, –2) un ángulo de 30° y tal que
8
8
|a| = √3|b|.
8
° –x – 2y = |a8||b
| cos 30°
8
8
Sea a (x, y) 8 §¢
§ √x 2 + y 2 = √3 · √5
£
( )
°
√3
§ –x – 2y = √ 3 · √ 5 · √ 5 ·
2
8 ¢
§ 2
2
£ x + y = 15
(
)
°
15
§ –x – 2y =
2
8 ¢
§ 2
2
£ x + y = 15
Resolvemos el sistema:
x = –2y –
15
2
Sustituyendo en la segunda ecuación:
(4y
2
+
)
225
165
+ 30y + y 2 = 15 8 5y 2 + 30y +
=0
4
4
20y 2 + 120y + 165 = 0 8 4y 2 + 24y + 33 = 0
–24 ± √ 576 – 528
–24 ± 4 √ 3
√3
=
= –3 ±
8
8
2
y=
8
Así: a
(
√3
–3
– √ 3 , –3 +
2
2
)
8
o a=
8
(
√3
–3
+ √ 3 , –3 –
2
2
)
8
8
8
44 Dados los vectores u(1, 3) y v(6, 4), halla la proyección de v sobre u.
8
8
8
8
☛ Sabes que u · v = |u| · proyu8 ( v).
8
8
8
8
8
u · v = |u| · (proy. de v sobre u)
8
8
u·v
6 + 12
18
18 √ 10
9 √ 10
=
=
=
(proy. de v sobre u) = 8 =
10
5
|u|
√ 10
√ 10
8
8
8
8
8
8
45 Dados8los vectores a(5, 2) y b(4, –3), calcula la proyección de a sobre b y
8
la de b sobre a.
8
8
8
8
8
a · b = |a| · (proy. de b sobre a ) °§
¢
8
8
8 8
8
a · b = |b| · (proy. de a sobre b) §£
8
8
proy. de b sobre a =
8
8
8
8
a·b
20 – 6
14
14 √ 29
=
=
=
8
29
|a|
√ 29
√ 29
a·b
20 – 6
14
=
proy. de a sobre b = 8 =
5
|b|
√ 25
8
20
8
Unidad 7. Vectores
UNIDAD
8 8
8
8
8
7
8
46 De una base B = {u, v } se sabe que |u| = 2, |v| = 1 y u · v = –1. En esa base
8
8
8 8
las coordenadas de dos vectores son x(1, 2) e y(–1, 1). Calcula x · y.
☛ Mira el problema resuelto número 8.
8
8
8
8
8
x = 1u + 2v = u + 2v
8
8
8
8
8
y = –1u + 1v = –u + v
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
x · y = (u + 2v) · (–u + v) = –u · u + u · v – 2u · v + 2v · v =
8
8
8
8
= –|u| – u · v + 2|v| = –2 – (–1) + 2 · 1 = 1
8
8
8
47 Dados a(1, 2) y b(5, 5), expresa el vector b como suma de dos vectores:
8
8
uno de la misma dirección que a y otro ortogonal a a.
☛ Mira el problema resuelto número 6.
8
8
8
b = x + y, donde:
8
8
8
8
• x tiene la misma dirección de a 8 x = k a = k (1, 2) = (k, 2k )
8
8
8
• y 2 a 8 y = h (–2, 1) = (–2h, h )
Entonces:
8
8
(5, 5) = x + y = (k, 2k ) + (–2h, h ) = (k – 2h, 2k + h )
5 = k – 2h ° k = 3
¢
5 = 2k + h £ h = –1
8
8
Los vectores pedidos son x(3, 6) e y(2, –1).
8
8
8
8
8
8
8
8
48 Se sabe que c = a + 2 b y d = 5 a – 4 b son perpendiculares
y que a y b
8
8
son unitarios. ¿Cuál es el ángulo que forman a y b?
8
8
8
8
8
8
☛ Si c · d = 0 8 ( a + 2 b ) · (5 a – 4 b ) = 0.
8
8
8
8
8
8
8
8
Si c 2 d 8 c · d = 0 8 (a + 2 b) · (5 a – 4b) = 0
8
8
8
8
8
8
8
8
5a · a – 4a · b + 10b · a – 8b · b = 0
8
8
8
8
Como a y b son unitarios 8 |a| = 1 = |b|
8
8
8
8
8
8
2
2
5 |a| + 6a · b – 8 |b| = 5 + 6a · b – 8 = 0
8
8
a·b=
ì
ì
ì
8
8
8 8
8 8
8 8
–3
–1
–1
=
8 |a| |b| cos ( a, b ) = cos ( a, b ) =
8 ( a, b ) = 120°
6
2
2
8
8
8
8
8
8
8
49 Demuestra que el vector ( b · c ) a – ( a · c ) b es perpendicular al vector c.
8
8
8
8
8
8
8
☛ Debes probar que [( b · c ) a – ( a · c ) b ] · c = 0.
Hay que probar que el producto escalar de ambos vectores es igual a 0.
Unidad 7. Vectores
21
• Veamos primero cuáles son las coordenadas del primer vector:
8
8 8
8 8
8
(b · c) a – (a · c) b = (b1c1 + b2c2) (a1, a2) – (a1c1 + a2c2) (b1, b2) =
(
) (
)
= (b1c1 + b2c2) a1, (b1c1 + b2c2) a2 – (a1c1 + a2c2) b1, (a1c1 + a2c2) b2 =
= (a1b1c1 + a1b2c2, a2b1c1 + a2b2c2) – (a1b1c1 + a2b1c2, a1b2c1 + a2b2c2) =
= (a1b1c1 + a1b2c2 – a1b1c1 – a2b1c2, a2b1c1 + a2b2c2 – a1b2c1 – a2b2c2) =
= (a1b2c2 – a2b1c2, a2b1c1 – a1b2c1)
• Calculamos ahora:
[(8b · c) a – (a · c ) 8b] · c =
8 8
8
8
8
= (a1b2c2 – a2b1c2, a2b1c1 – a1b2c1) · (c1, c2) =
= (a1b2c2 – a2b1c2) c1 + (a2b1c1 – a1b2c1) c2 =
= a1b2c2c1 – a2b1c2c1 + a2b1c1c2 – a1b2c1c2 = 0
Página 185
CUESTIONES TEÓRICAS
50 Indica si el resultado de las siguientes operaciones es un número o un vector:
8
8
8
b) ( a · b) c
8
8
8
8
a) 2 a · b
8
8
8
8
8
c) (3 a – 2 b) · c
d) ( a + b) · ( a – b)
a) Número
b) Vector
c) Número
d) Número
8
8
51 Si B ( a, b) es una base de los vectores del plano, señala cuáles de los siguientes pares de vectores pueden ser otra base:
8
8
8
a) ( 3 a, –2 b)
8
8
8
8
8
8
b) ( –a – b, a + b)
8
8
8
c) ( a – b, a + b)
8
8
d) ( a – b, b – a )
8
8
8
a) Sí, pues no tienen la misma dirección, ya que 3a tiene la dirección de a y –2 b
8
8 8
tiene la dirección de b (que, por ser B (a, b) base, no es la misma).
8
8
8
8
b) No, pues –a – b = –1 (a + b), luego los dos vectores tienen la misma dirección
(y sentidos opuestos).
c) Sí, pues tienen distinta dirección.
8
a
8
8
8
8
a+b
a–b
8
b
8
8
8
8
d) No, pues tienen la misma dirección al ser a – b = –1 ( b – a).
22
Unidad 7. Vectores
UNIDAD
7
8
8
52 Sean a y b dos vectores no nulos. Indica qué ángulo forman en los siguientes casos:
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
a) a · b = |a| |b|
b) a · b = 0
8
8
c) a · b = –|a| |b|
8
8
d) a · b = 0,5 |a| |b|
ì
8
ì
8
8
8
a) cos ( a, b ) = 1 8 ( a, b ) = 0°
ì
8
8
8
8
b) a 2 b 8 ( a, b ) = 90°
ì
8
ì
8
8
8
c) cos ( a, b ) = –1 8 ( a, b ) = 180°
ì
8
ì
8
8
8
d) cos ( a, b ) = 0,5 8 ( a, b ) = 60°
PARA PROFUNDIZAR
8
8
53 Dados los vectores a(2, 6) y b(5, 1), calcula:
8
a) Las coordenadas de un vector unitario de la misma dirección que b.
8
b) Un vector de la misma
dirección que b y cuyo módulo sea
igual a la pro8
8
8
8
yección de a sobre b. (Vector proyección de a sobre b).
8
8
a) Habrá dos soluciones (v y –v)
8
8
• Si v es vector unitario 8 |v| = 1
8
8
8
8
• Si v es de la misma dirección que b 8 v = k b = (k 5, k )
1
√ 26
=±
√ 25k 2 + k 2 = 1 8 k = ±
26
√ 26
Luego las soluciones son:
8
v=
(
5 √ 26 √ 26
,
26
26
8
)
8
y –v =
(
–5 √ 26
√ 26
,–
26
26
)
8
a·b
10 + 6
16
16 √ 26
8 √ 26
b) proy. de a sobre b = 8 =
=
=
=
26
13
|b|
√ 26
√ 26
8
8
8 √ 26
Luego, |v| =
13
8
8
y v = k b = (5k, k )
8
Así: v
Unidad 7. Vectores
°
§
§
¢
§
§
£
8
8 √ 26k 2 =
8 √ 26
8
8 k=±
13
13
–8
,
( 4013 , 138 ), –v ( –40
13 13 )
8
23
8
8
54 Sean a y b los vectores que definen los lados de un rombo, partiendo de
uno de sus vértices (cada vector determina un par de lados paralelos):
8
8
a) Expresa las diagonales del rombo en función de a y b.
b) Demuestra vectorialmente que las diagonales del rombo son perpendiculares.
B
8
8
a) AC = 8
a+ b
8
8
a
8 8 8
8 8
BD = b – a = – a + b
A
8 8
b) Hay que probar que AC · BD = 0. Veámoslo:
C
8
8
a
b
8 8
8 8 8 8
8 2
8 8
8 8
8 2
AC · BD = ( a + b) · ( b – a) = b · b – a · a = |b| – | a|
8
b
D
8
Como |b| = | a| por ser la medida de los lados, se cumple que:
8 8
AC · BD = 0
8
8
8
8
55 Busca
algunos ejemplos con los que se vea que a · b = a · c no implica que
8
8
b = c.
8
c
8
8
8
Considera los vectores a, b y c del dibujo de
la derecha:
8
8
8
8
8
8
8
8
8
a · b = | a| · proy. de b sobre a
8
8
a · c = | a| · proy. de c sobre a
b
8
8
8
8
a
8
Como ambas proyecciones coinciden: a · b = a · c
8
8
Y, sin embargo: b ? c
8
8
8
8
8
8
8
56 Prueba, que si a 2 b y a 2 c, entonces: a 2 (m b + n c ), m, n é Á.
8
8
8
Hay que probar que a · (m b + n c ) = 0. Veamos:
8
(*)
8
8
8
8
a · (m b + n c ) = m ( a · b) + n ( a · c)
(*)
Propiedades 6 y 7 del producto escalar.
8
8
8
8
8
8
8
8
Como: a 2 b 8 a · b = 0
a2c 8 a· c=0
8
8
8
8
8
°
§
§
§
¢
§
§
§
£
8
8
8
8
8
8 a · (m b + n c ) = m · 0 + n · 0
8
8
57 Prueba que si a 2 b y a 2 ( b + c ) entonces se verifica que a 2 c .
8
8
8
8
Si a 2 b 8 a · b = 0
°
8 8
8
8
8
8
8
8
8
8
8 8
8 8
¢ 8 a ·c = 0 8 a2c
Si a 2 ( b + c ) 8 a · ( b + c ) = a · b + a · c = 0 £
24
Unidad 7. Vectores
UNIDAD
7
Página 185
AUTOEVALUACIÓN
8
8
1. Se consideran los vectores u(–2, 6) y v(1, –2).
8
8
Calcula u + 2 v y
18
8
u – 3v gráficamente y utilizando coordenadas.
2
8
2v
8
8
u + 2 v = (–2, 6) + 2(1, –2) =
8
u
8
= (–2, 6) + (2, –4) = (0, 2)
8
u + 2v
18
1
8
u – 3v = (–2, 6) – 3(1, –2) =
2
2
8
–3v
8
= (–1, 3) – (3, –6) = (–4, 9)
8
(1/2)u – 3v
8
(1/2)u
8
8
2. Sean u y v dos vectores unitarios que forman un ángulo de 60°. Calcula:
8
8
8
8
8
a) u · v
8
8
8
a) u · v = |u||v| cos 60° = 1 · 1 ·
8
8
b) (3u ) · (–2 v )
8
8
8
c) proy u8 (u + v )
1
1
=
2
2
8
b) 3 u · (–2 v ) = –6( u · v ) = –3
8
8
8
c) proy 8u ( u + v ) =
8
8
8
8
8
8
u · ( u + v)
u· u+u· v
1
3
8 8
8
=
= |u|2 + u · v = 1 +
=
8
2
2
|u|
1
8
3. Expresa el vector a(–1, –9) como combinación lineal de la base B = { (–2, 3),
(–1, 5)}.
(–1, – 9) = k (–2, 3) + s (–1, 5) = (–2k – s, 3k + 5s )
–1 = –2k – s ° s = 1 – 2k
¢
–9 = 3k + 5s £ –9 = 3k + 5(1 – 2k ) 8 –9 = –7k + 5 8 k = 2
s = 1 – 4 = –3
Por tanto: (–1, –9) = 2(–2, 3) – 3(–1, 5)
8
8
8
a = 2u – 3 v
Unidad 7. Vectores
25
8
8
4. Consideramos los vectores u (0, 2) y v (1, √3 ). Calcula:
a) Su producto escalar.
b) El módulo de ambos vectores.
c) El ángulo que forman.
8
8
a) u · v = (0, 2) · (1, √3 ) = 0 · 1 + 2 · √3 = 2√3
8
b) | u | = √02 + 22 = 2
8
|v | =
—
√12 + √3 2
=2
8
ì
8
u·v
2 √3
√3
=
=
8
8
2
|u| ·| v| 2 · 2
8 8
c) cos ( u, v ) =
( )
ì
√3
8 8
( u, v ) = arc cos
2
= 30°
8
5. Sea u(–3, k), calcula k de forma que:
8
8
a) u sea ortogonal a v(4, – 6).
8
b) El módulo de u sea igual a 5.
a) El producto escalar de dos vectores ortogonales es igual a 0.
8
8
8
8
u2v ï u·v =0
8
8
u · v = (–3, k ) · (4, –6) = –12 – 6k = 0 8 k = –2
8
b) | u | = √9 + k 2 = 5 8 9 + k 2 = 25 8 k = ±4
8
8
6. Determina las coordenadas de un vector a (x, y) que forme con el vector v
(–1, 0) un ángulo de 60° y cuyo módulo sea 2.
8
ì
8 8
cos ( a, v ) = cos 60° =
8
a·v
1
–x
= 8 8 =
8 x = –1
2
2·1
|a| ·| v|
8
| a | = √x 2 + y 2 = √1 + y 2 = 2 8 1 + y 2 = 4 8 y 2 = 3 8 y = ± √3
—
8
° a (–1, √ 3 )
—
Hay dos soluciones para el vector a : ¢ 8
£ a (–1, –√ 3 )
8
8
8
7. Obtén un vector u(x, y) ortogonal a v(8, 6) y cuyo módulo sea la mitad del
8
de v.
8
8
8
8
u2v ï u·v =0
8
| u | = √x 2 + y 2
26
8
| v | = √64 + 36 = 10
Unidad 7. Vectores
UNIDAD
7
(x, y) · (8, 6) = 8x + 6y = 0
1 8
| v | 8 √x 2 + y 2 = 5 8 x 2 + y 2 = 25
2
8
|u | =
Resolvemos el sistema:
3
–—
8x + 6y = 0 ° x = 4 y
¢
25
x 2 + y 2 = 25 £ 9 2
— y + y 2 = 25 8 — y 2 = 25 8 y 2 = 16 8 y = ±4
16
16
y = 4 8 x = –3
y = –4 8 x = 3
8
8
8
Hay dos soluciones para u : u (–3, 4); u (3, –4)
8
8
8
8
8. Calcula la proyección de v sobre u, siendo u(2, 0) y v(–3, –1).
8
8
u·v
–6 + 0
=
= –3
8
2
|u|
8
proy 8u v =
8
8
9. Sean a y b dos vectores unitarios que forman un ángulo de 120°.
8
8
8
8
Calcula |a + b| y |a – b|.
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
| a + b |2 = ( a + b ) · ( a + b ) = a · a + 2 a · b + b · b =
8
ì
( )
8
8 8
= | a |2 + 2| a || b | cos ( a, b ) + | b |2 = 1 + 2 · –
1
+1=
2
8
8
= 1 – 1 + 1 = 1 8 | a + b| = 1
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
| a – b |2 = ( a – b ) · ( a – b ) = a · a – 2 a · b + b · b =
8
ì
8 8
8
( )
= | a |2 – 2| a || b | cos ( a, b ) + | b |2 = 1 – 2 · –
8
1
+1=
2
8
= 1 + 1 + 1 = 3 8 | a – b | = √3
Unidad 7. Vectores
27