Practico Nº 5

6º Ingeniería 1 – Nocturno - Matemática “B”– Liceo Nº 3
Prof.: Marcelo Valenzuela
Práctico Nº 5
r
r
r r
1. Dados u y v , dos vectores de coordenadas [2,-3] y [1,-4] respectivamente, asociados a una base ordenada ( i , j ).
r r
r r
d) –3.( u + v )
Hallar las coordenadas de los siguientes vectores respecto ( i , j )
r
r
r
a) u + v
r
b) u + 3 v
r
r
c) 3 u – 2 v
uuur
uuur
ur
2. Que coordenadas debe tener P para que se verifique 3PQ − 2QR = σ . Siendo Q(3,2) y R(-1,5).
r r
3. Dada una base ( i , j ). Indicar si los siguientes conjuntos pueden formar una base del plano.
r r
r r
r r ur
r r ur
r ur
b) { u ’, v }
c) { u , v , w } d) { u , v , σ }
e) { u , σ }
r
r
r
ur
Siendo u = [2,3]; v = [-1,3]; u ’ = [4,-2] y w = [0,1]. (Resolver analíticamente)
a) { u , v }
r r
r r
b) (- j , 2 i )
r
r r
a) ( j , i )
r
4. Si u = [-2,4] en ( i , j ) , hallar las coordenadas de u en:
r r
r
r r
a) Hallar las coordenadas de t en ( v , u ).
r
r
r
5. Si u = [1,2]; v = [4,3] y t = [8,1] en ( i , j ).
r
r r
b)Hallar las coordenadas de v en ( t , u ).
r r
6. Dados A y B, de coordenadas (x0,y0) y (x1,y1) respectivamente en ( i , j ). Halle las coordenadas del punto medio
del segmento AB.
7. Si A(2,-1) y B(3,3), halle las coordenadas de C, simétrico de B respecto de A.
8. Si A(x0,y0) y B(x1,y1), halle las coordenadas de C, simétrico de A respecto de B.
9. Utilizando el ejercicio 9 del práctico 4, halle el baricentro del triángulo ABC, con A(1,3), B(5,-5) y C(-3,-1).
uuuur
uuuur
uuur
10. Dados A(-5,7) y B(1,-2); halle las coordenadas de los puntos M y N, tal que, AM = MN = NB .
11. Dados el cuadrilátero ABCD, con A(xa,ya), B(xb,yb), C(xc,yc) y D(xd,yd) y los puntos medios de los respectivos lados
uuur uur
Q, R , S y T. Verificar que QR = TS y deducir la naturaleza de QRST.
12. Sean A x a , y a  , B  x b , y b y C  x c , y c  3 puntos.
a) Escribir usando un determinante, qué condición deben cumplir las coordenadas de los puntos para que
 y AC
 sean colineales.
AB
b) Idem, para que los 3 puntos estén alineados.
c) Verifique que la ecuación obtenida en 2 es equivalente a:
xa ya 1
xb y b 1 =0
xc yc 1
d) Si A(1,-3) , B(2,5) y C(-3,k). Halle k para que A, B y C estén alineados
∣ ∣
r
r uur
13. Si u = 3i + 2 j
r
r uur
y v = 2i − 3 j
rr
rr
( )
a) Suponiendo que i, j es una base ortonormal DEDUZCA < i, j > usando propiedades de producto interno
(Indique que propiedad usa).
r r
b) ¿Son ortogonales los vectores u y v independientemente de la base elegida? Según su respuesta: justifique
demostrándolo, o mostrando un ejemplo donde no se cumpla.
r r
c) ¿Puede ser el conjunto { u , v } Linealmente Independiente?.
Responda i) Suponiendo que es una base ortonormal. Justifique
u =[2,3] y v =[−5,6] en una base ortogonal
14. Sea 
Calcular < u , v >
r
r
ii) Sin suponer nada sobre i y j . Justifique
 i , j  con ∣i ∣=2
Asuma que en los demás ejercicios, las coordenadas están expresadas en una base ortonormal
,
∣j∣=1
 i , j   i ⊥ j ;∣i∣=∣j∣=1 
15. Dados A(-3,5) y B(1,7) y D(1,-5); los vértices de un paralelogramo ABCD. Hallar las coordenadas del
punto C y las del punto de intersección de sus diagonales.
u =[3,−4] y v =[ 4,−1] Halle:

v > b) ∣u∣ y ∣v∣ c)  
a) < u , 
u , v 

16. Sean los vectores
17. Demostrar que el triángulo ABC es equilátero: A(3,3); B(-3,-3) y C 3  3,−3  3
18. Sea ABCD un cuadrado. Con A(2,3) y B(5,0)

i) Hallar coordenadas de AB
 de módulo 2.
ii) Hallar coordenadas de un vector de igual dirección de AB

iii) Hallar coordenadas de todos los vectores v / 
v ⊥ AB


iv) Hallar coordenadas de un vector ortogonal a AB de igual módulo que AB
v) Hallar posibles coordenadas de C y D.
vi) Hallar el área del cuadrado ABCD.
19. Sea ABCD un rombo. Con A(1,0) y C(5,4).
i) Hallar coordenadas del centro del rombo.
 ∣= 3 ∣AC
∣
ii) Hallar coordenadas de los puntos B y D, sabiendo que ∣BD
2
iii) Hallar el área del rombo, y los ángulos en cada vértice.