La Conjetura abc

La Conjetura abc
Nelly Yazmı́n Villamizar Villamizar
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Departamento de Matemáticas
2005
Capı́tulo 1
De las Ecuaciones
Diofánticas a la Conjetura
abc
Una ecuación Diofántica es una ecuación polinomial en las variables
x1 , x2 , x3 , . . . con coeficientes racionales o enteros, lo que hace que ésta sea
una ecuación Diofántica son las restricciones que se imponen sobre las soluciones que de ella se van a considerar: dada una ecuación se quieren sus
soluciones racionales o sus soluciones enteras.
Consideramos la ecuación polinomial
f (x1 , x2 , x3 , . . . , xn ) = b
(1.1)
con coeficietes enteros, si ésta ecuación tiene una solución en los enteros
(racionales) x1 , x2 , x3 , . . . , xn entonces diremos que (x1 , x2 , x3 , . . . , xn ) es
una solución entera (solución racional, respectivamente). Es claro que en
el caso homogéneo el problema de encontrar las soluciones enteras es equivalente al de encontrar las soluciones racionales.
Un ecuación Diofántica muy conocida es la ecuación Pitagórica
x2 + y 2 = z 2
(1.2)
las soluciones enteras de ésta ecuación son las llamadas triplas Pitagóricas, se
les llama ası́ pues Pitágoras suponı́a que tenı́a demostrado que las longitudes
a, b, c de los lados de un triángulo rectángulo satisfacen la relación
a2 + b2 = c2 ;
1
PROGRAMA DE TRABAJO DE GRADO
La conjetura abc
Nelly Yazmı́n Villamizar Villamizar
Director
Vı́ctor Albis González
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
SEDE BOGOTÁ
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
2004
.
Descripción del problema
El matemático francés Pierre de Fermat (1601-1665) enunció su llamado Último teorema en el margen de su copia de la Aritmética de Diofanto,
en 1637.1 En una de las más osadas declaraciones por uno de los personajes
más ilustres de la historia de las matemáticas, Fermat escribió: “...He encontrado una demostración realmente admirable. No cabrı́a en la exigüidad
de este margen”. Es muy probable que esta prueba estuviera incompleta.
Sin embargo, la afirmación, bastante ingenua, incitó a cientos de personas
muy capacitadas (y otras menos capacitadas) a enfrentar el fébril trabajo
de demostrarla. Por más de tres siglos y medio nadie pudo encontrar una
demostración. Lo que sı́ se logró, fue el desarrollo de nuevas teorı́as matemáticas que surgieron inesperadamente cuando se pensaba tener el problema resuelto.
Este capı́tulo de la historia de las matemáticas culminó en 1995 con el
trabajo de Andrew Wiles. John Fraleigh aludiendo a la prueba de Wiles
del Último teorema de Fermat hizo un comentario, en el cual se resume lo
que significa para los matemáticos éste teorema: “...serı́a una maravilla que
algún matemático pudiera ahora hacer una conjetura matemática cuya verdad, falsedad, o indecibilidad no pudiera ser establecido a pesar de intensos
esfuerzos por los mejores matemáticos, por otros 350 años...”
Este podrı́a ser el caso de la llamada conjetura abc, pero aún es demasiado
pronto para afirmarlo.
La conjetura abc “surge” en 1985 de una discusión entre David W. Masser y Joseph Oesterlé. Curiosamente aunque esta conjetura pudo haber
sido formulada en el siglo XIX, su formulación está basada en modernas
investigaciones en la teorı́a de cuerpos de funciones y curvas elı́pticas. De
hecho, Oesterlé estaba motivado por consideraciones sobre la conjetura de
Szpiro en curvas elı́pticas y Masser, por la consideración de posibles resultados análogos sobre Z del teorema de polinomios de coeficientes complejos
de Mason (véase más adelante).
En este trabajo de grado se estudiará el origen de la conjetura abc, el
enunciado que presentó Oesterlé inicialmente, la forma que le dió Messer (la cual es la más conocida (que es la que enunciaremos aquı́)), y otras
versiones tales como la de Alan Baker, en 1996, y la de Granville; la importancia de éstas versiones la veremos en las conexiones que resultan con
1 n
x + y n = z n no tiene soluciones no triviales en
Z para n ≥ 3.
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Nelly Villamizar Villamizar
diversos problemas, bien conocidos en teorı́a de números; también se estudiará la equivalencia entre otras conjeturas y la conjetura abc, y finalmente
se estudiará la evidencia que hace pensar que la conjetura abc sea verdadera.
Presentamos a continuación el teorema de Mason, su conexión con la
conjetura abc y una versión débil del último, teorema de Fermat al cual se
podrı́a llegar si la conjetura abc fuera demostrada.
Teorema. [Mason] Sean a, b, c ∈ C [z] polinomios primos relativos dos
a dos, donde al menos uno de ellos no es constante. Sea N0 el número de
raı́ces distintas del producto abc. Entonces si a + b = c, se tiene que grad(a),
grad(b), grad(c) ≤ N0 − 1.
Con otras palabras, el teorema de Mason dice que si al sumar tres polinomios a, b, c el resultado es 0, donde estos polinomios no son todos constantes
y no tienen raı́ces en común, entonces el grado de cada uno de ellos no puede ser más grande que el número de raı́ces distintas del producto abc. El
punto es, que aunque el teorema de Mason tiene muchas restricciones, es
muy poderoso, como lo podemos apreciar en el teorema que enunciamos
más adelante. Mason obtiene este resultado en su tesis doctoral escrita bajo la dirección de Alan Baker, en la Universidad de Cambridge, Inglaterra,
en 1983. Los resultados de esta tesis se encuentran en su libro Diophantine Equations over Function Fields (London Mathematical Society Lectures
Notes 96, Cambridge University Press, London, 1984).
Pero primero daremos una definición:
r
Definimos el radical de un polinomio f (x) = cn (t − αi )mi ∈ C[t] como :
i=1
rad (f ) =
r
(t − αi ).
i=1
Teorema. [Último teorema de Fermat para polinomios] Sea n ≥ 3 un
entero, entonces, no existen x, y, z ∈ C [t] polinomios primos relativos dos a
dos, no todos constantes, tales que xn + y n = z n .
Demostración: Supongamos que existen x, y, z polinomios que satisfacen
las condiciones dadas en el teorema. Sean a = xn , b = y n y c = z n .
Entonces rad (abc) = rad (xn y n z n ) = rad (xyz), y como grad(xn ) = n ·
grad(x) obtenemos que:
n · grad(x) ≤ n · max(grad(x), grad(y), grad(z))
= max(grad(xn ), grad(y n ), grad(z n ))
= max(grad(a), grad(b), grad(c))
Trabajo de grado
3
Ahora, aplicando el teorema de Mason a estos polinomios a, b, c, obtenemos:
n · grad(x) ≤ max(grad(a), grad(b), grad(c))
≤ grad(rad(abc)) − 1
= grad(rad(xyz)) − 1
≤ grad(xyz) − 1
= grad(x) + grad(y) + grad(z) − 1
Se sigue que
n(grad(x) + grad(y) + grad(z)) ≤ 3(grad(x) + grad(y) + grad(z)) − 3
≤ n(grad(x) + grad(y) + grad(z)) − 3 ,
lo cual es imposible. Cabe anotar que este teorema fue demostrado en el siglo XIX por A.
Korkine (Sur l’impossibilité de la relation algébrique X n + Y n + Z n = 0,
C. R. Acad. Sci. Paris 90, 303–304.), usando técnicas donde el grado de los
polinomios y sus derivadas juegan un papel preponderante (véase Vı́ctor
Albis. Las ecuaciones de Fermat y Catalan en K[t], Boletı́n de Matemáticas,
9 (1975), 217–220.).
Si en lugar del cuerpo C o de cualquier otro cuerpo de caracterı́stica cero,
consideramos polinomios en un cuerpo de caracterı́stica p > 0, este teorema
no se tiene en K[t]. Por ejemplo, si f (x) = x + 1, g(x) = x y h(x) = 1
tienen coeficientes en un cuerpo de caracterı́stica p > 0, es fácil verificar
que f (x)p = g(x)p + h(x)p . En 1974, M. B. Nathanson un resultado que
podemos considerar óptimo en un cierto sentido: la ecuación de Fermat es
válida en K[t] siempre y cuando p no divida al exponente n.
n dificultad
y n en
xLa
+
=1
el caso en que p | n estriba en que al derivar la ecuación
z
z
n−1
n−1
(xy − yx ) = z
(zx − xz ),
con respecto a t, no se puede afirmar que y
relación que es esencial en la demostración de Nathanson.
Inmediatamente después de ver el teorema de Mason uno podrı́a preguntase por su análogo en los números enteros y si éste podrı́a ser usado para
demostrar el último teorema de Fermat. Para encontrar el análogo al teorema de Mason en enteros hay que empezar por buscar el concepto análogo
en los enteros a cada uno de los conceptos que aparecen en su teorema. El
principal de éstos es el grado, que en algún sentido es una medida de longitud. El grado es también el número de factores lineales de un polinomio
y como un polinomio lineal es primo, esto nos sugiere que el “grado” de un
entero podrı́a ser entendido como el número de sus factores primos.
El análogo al teorema de Mason es precisamente la conjetura abc, que
como buena parte de los problemas más complicados, es fácil de enunciar,
pero contrario a lo que se podrı́a pensar, resolverla resulta bastante difı́cil.
Esta conjetura por sı́ misma es sorprendente, pues si ella fuese cierta uno
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Nelly Villamizar Villamizar
podrı́a probar con relativa facilidad muchos teoremas o conjeturas en teorı́a
de números.
Para n ∈ Z, supongamos n = pe11 ···pekk donde los pi son primos distintos y
las ei son enteros positivos. Definimos el radical de n como rad (n) = p1 ···pk
con rad (1) = 1. Con otras palabras, rad (n) es el máximo divisor de n, sin
factores cuadráticos.
Conjetura abc en Z: Para todo ε > 0 existe un número K(ε) tal que, si
a, b, c son enteros no nulos, primos relativos dos a dos y a + b = c, entonces
max (|a| , |b| , |c|) ≤ K(ε) rad(abc)1+ε .
Podemos considerar, sin pérdida de generalidad, triplas no triviales de
enteros (a, b, c) tales que a + b = c y m.c.d.(a, b, c) = 1 (pues si p es un
primo que divide a a y b, entonces p también divide a c ; es decir, las dos
condiciones anteriores implican que a, b y c son primos relativos entre sı́).
Obviamente cualquier suma de la forma a + b = c puede ser reordenada
de tal manera que a, b, c > 0, por lo tanto, podemos asumir que todos los
elementos de nuestras triplas son positivos.
Antes de la demostración de Wiles se sabı́a, como consecuencia de los
resultados de Faltings sobre la conjetura de Mordell (véase más adelante)
que
CONJETURA: [El problema asintótico de Fermat] Existe N ∈ Z tal
que para todo n > N , xn + y n = z n , donde m.c.d.(x, y, z) = 1, sólo tiene
solución trivial en los enteros.
Este resultado también es consecuencia de la conjetura abc:
TEOREMA: La conjetura abc implica el problema asintótico de Fermat.
Demostración: Sean x, y, z enteros positivos, m.c.d.(x, y, z) = 1, tales que
xn + y n = z n . Entonces
rad (xn y n z n ) = rad (xyz) ≤ xyz ≤ z 3
(1)
(pues por ser x, y, z enteros positivos y xn + y n = z n se tiene que x ≤ z,
y ≤ z). Si n ≥ 2, x y y no pueden ser simultáneamente iguales a 1, pues
1n +1n = 1+1 = 2 = z n para cualquier z ∈ Z. Por lo tanto, uno de los dos,
x o y debe ser ≥ 2, entonces xn + y n ≥ 5 lo cual implica z ≥ 3. Tomando
a = xn , b = y n , c = z n , (se cumple que a + b = c y m.c.d.(a, b, c) = 1),
y aplicando la conjetura abc tenemos que, para cada ε > 0, existe K(ε) tal
que:
z n = max(xn , y n , z n ) = max(|xn | , |y n | , |z n |)
≤ K(ε)rad (xn y n z n )1+ε
1+ε
= K(ε)(xyz)
(2)
3 1+ε
≤ K(ε)(z )
Trabajo de grado
5
En particular, tomando ε = 1, la desigualdad anterior se convierte en:
z n ≤ K1 z 6 ,
donde K1 = max (1, K(1)). Entonces,
n log z ≤ log K1 + 6 log z =⇒ n =
log K1
log K1
+6 ≤ 6+
.
log z
log 3
log k1
, por lo anterior, si el problema asintótico de Fermat
log 3
tiene solución, n debe ser ≤ N , en otras palabras para cada n > N el
problema asintótico de Fermat sólo tiene solución trivial en los enteros. En 1991, Elkies demostró que la conjetura abc para cuerpos numéricos
implica la conjetura de Mordell. Esta conjetura es la más importante que
se haya formulado con respecto a las soluciones racionales de ecuaciones
diofánticas y fue demostrada en 1985 por G. Faltings. Un caso especial
dice que:
Si f (X, Y, Z) ∈ Z[X, Y, Z] es un polinomio homogéneo tal que la curva
proyectiva plana C correspondiente no es singular y tiene género mayor que
1, entonces sólo existe un número finito de puntos racionales sobre la curva.
Más explı́citamente, sólo hay número finito de triplas (x, y, z) de enteros,
con m.c.d.x, y, z) = 1 tales que f (x, y, z) = 0.2 Su aplicación a la curva definida por f (X, Y, Z) = xn +Y n +Z n produce de inmediato una demostración
del teorema asintótico de Fermat.
Por otra parte, la conjetura abc con una constante explı́cita K podrı́a
suministrar cotas superiores para los puntos racionales de la conjetura de
Mordell.
Otra de las implicaciones más importantes de la conjetura abc fue demostrada por Enrico Bombieri en 1994. Se trata de una versión del teorema
de Roth, el cual dice que
para un ε > 0 fijo y todo número algebraico α, la
1
p
desigualdad diofántica α − < 2+ε (p y q enteros) sólo tiene un número
q
q
finito de soluciones.
Bombieri demostró lo siguiente:
Teorema. La conjetura
abc implica que, bajo las condiciones del teorema de
1
p
p
Roth se tiene α − < 2+k para todas las fracciones en forma reducida,
q
q
q
− 12
−1
donde k = C(α)(log q) (log log q) , para alguna constante C(α) que sólo
depende de α.
Resumiendo tenemos:
Sea N = 6 +
2
Para las curvas planas no singulares definidas por polinomios f de grado n, el género
(n − 1)(n − 2)
.
2
g está definido por la fórmula g =
6
Nelly Villamizar Villamizar
- Teorema asintótico de Fermat
H
6
HH
HH
HH
HH
j
H
?
Conjetura abc
T. de Roth-Bombieri
T. de Mordell-Weil-Faltings
Bibliografı́a
1. R. C. Mason. Diophantine Equations over Function Fields. London Mathematical Society Lectures Notes 96, Cambridge University Press,
London, 1984.
2. P. Ribenboim. Thirteen Lessons on Fermat Last Theorem. Springer,
Berlin.
3. Vı́ctor Albis. Las ecuaciones de Fermat y Catalan en K[t], Boletı́n
de Matemáticas, 9 (1975), 217–220.
4. P. Ribenboim, Catalan’s Conjecture, Acad. Press, Boston, 1994.
5. G. Faltings. Die Vermutungen von Tate und Mordell. Jahresber.
Deutsch. Math.-Verein 86, 1-13, 1984.
6. M. van Frankenhuysen. The abc Conjecture Implies Roth’s Theorem
and Mordell’s Conjecture. Mat. Contemp. 16, 45-72, 1999.
7. K. Ireland & M. Rosen. The Mordell Conjecture. §20.3 in A Classical Introduction to Modern Number Theory, 2nd ed. New York: SpringerVerlag, pp. 340-342, 1990.
8. Voloch.
http://www.ma.utexas.edu/users/voloch/surveylatex/node1.html
METODOLOG´IA
• El proceso de elaboración estará guiado por el continuo tratamiento de
la producción bibliográfica seleccionada, referente al tema de estudio,
como a las temáticas complementarias para su comprensión.
• La presentación parcial y final del trabajo estará apoyada por el empleo del programa LATEX. La estrategia discursiva se carcterizará por
utilizar un lenguaje de razonamiento lógico, es decir, presentando definiciones, teoremas y demostraciones pertinentes, y por otro lado, por
una forma argumentativa o explicativa que permita la confrontación y
concatenación de los resultados del trabajo.
Trabajo de grado
7
CRONOGRAMA
El trabajo será una monografı́a. Se realizará en 17 semanas (30 de enero
del 2005- 22de mayo del 2005), programadas de la siguiente manera:
SEMANA
01
02-04
05-06
07-11
12
13-14
15-16
17
ACTIVIDAD
Recopilación de la información primaria
Estudio del origen y versiones de la conjetura abc
Estudio de la conjetura abc con Congruencias
Estudio de las aplicaciones de la conjetura abc
Revisión del material bibliográfico sobre la evidencia de la conjetura abc
Redacción del trabajo
Revisión y corrección del trabajo
Entrega del trabajo y sustentación de mismo
PRESUPUESTO
El proyecto se realizará en el Departamento de Matemáticas de la Universidad Nacional bajo la dirección y asesorı́a del doctor Vı́ctor Albis. Los
recursos disponibles para este trabajo son:
• Biblioteca Departamento de Matemáticas, Universidad Nacional de
Colombia.
• Bibliografı́a encontrada en Internet
Los recursos financieros necesarios son:
•
•
•
•
•
Papelerı́a: $ 50.000
Fotocopias: $ 150.000
Cartuchos par impresora: $ 200.000
Empastes de las copias del trabajo de grado: $ 60.000
Internet: $ 100.000
La financiación económica será con recursos del estudiante.
2
Conjetura abc
es ası́ como, la existencia de soluciones de la ecuación Diofántica (1.2) justifica principalmente la existencia de tales triángulos con lados medibles mediante números enteros. Una solución (x, y, z) entera es no trivial cuando
x, y, z no son cero, para determinar todas las soluciones no triviales de(1.2)
es suficiente determinar las soluciones primitivas, es dicir, las soluciones en
las que x, y, z son positivos y 1 = mcd(x, y, z)1 .
Supongamos que (x, y, z) es una solución primitiva de (1.2), entonces x, y, z
son primos relativos dos a dos y además x y y no pueden ser ambos impares,
pues si x = 2k + 1yy = 2k 0 + 1, con k, k 0 , k 00 enteros:
x2 + y 2 = (2k + 1)2 + (2k 0 + 1)2
= 4(k 2 + k 02 + k + k) + 2
= 2(2k 00 + 1)
= z2
lo cual contradice que z es un entero. Asumamos que x es par y impar y
z impar, el siguiente resultado se puede remontar hasta Diofanto aunque es
posible que, al menos en parte, se haya conocido un poco antes.
Sean a, b enteros primos relativos entre sı́, no ambos impares, a > b ≥ 1, y
sea

2
2

x = a − b
(1.3)
y = 2ab


2
2
z =a −b .
Entonces (x, y, z) es una solución primitiva de la ecuación Pitagórica, y toda
solución puede obtenerse de una única pareja (a, b)del tipo indicado por las
relaciones (1.3).
En particular de acuerdo a éste resultado, la ecuación (1.2) tiene infinitas soluciones, pero si consideramos la ecuación Diofántica que generaliza la
ecuación Pitagórica,
xn + y n = z n
(n > 2)
(1.4)
El problema de encontrar sus soluciones es un poco más desafiante, la
situación, respecto a la ecuación Pitagórica,es ya muy diferente para cubos, bicuadrados, y de ahı́ en adelate.
1
mcd(x, y, z) denota el máximo común divisor de los enteros x, y, z.
Nelly Yazmı́n Villamizar Villamizar
3
Esta ecuación es conocida como la Ecuación de Fermat, se le llama ası́,
porque en el margen de su copia de la edición de Bachet de los trabajos
completos de Diophantus, Fermat escribió:
Es imposible separar un cubo en dos cubos, o un bicuadrado en dos
bicuadrados, o en general, cualquier potencia más grande que la segunda en patencias de igual grado; he descubierto una prueba realmente
extraordinaria que este margen demasiado pequeño para contenerla
La copia original se extravió, pero la nota apareció en la edición de 1670
de los trabajos de Fermat, editada en Toulouse por su hermano Samuel de
Fermat. En History of the Theory of Number, volumen II, de Dickson, se
afirma que Fermat la escribió cerca de 1637. Tannery (1883) mencionó una
carta que Fermat habı́a escrito a Mersenne en la cual él deseaba encontrar
dos cubos cuya suma fuera un cubo, y dos bicuadrados cuya suma fuera un
bicuadrado, ésta carta aparece con la fecha de Junio de 1638, en el volumen
7 de Correspondance du Père Marin Mersenne(1962); el mismo problema
fué propuesto a Frénicle de Bessy (1640) en una carta a Mersenne, y a Wallis y Brouncker en una carta a Digby, escrita en 1657, pero no hay mención
alguna de la extraordinaria prueba que él supuestamente habı́a encontrado.
En el lenguaje moderno, la afirmación de Fermat dirı́a:
La ecuación xn + y n = z n , donde n es un número natural más grande que
2, no tiene solución en los enteros todos diferentes de 0.
Ninguna prueba de esta afirmación fué encontrada nunca entre los papeles de
Fermat. Sin embargo, escribió una prueba de que las ecuaciones x4 −y 4 = z 2
y x4 + y 4 = z 4 no tienen soluciones en enteros todos diferentes de 0, de hecho, ésta es una de las dos pruebas hechas por Fermat en teorı́a de números
que aún se preservan. La prueba de Fermat es muy ingeniosa, la realizó por
el método que él mismo denominó descendencia infinita, mediante el cual
también se pueden resolver otras ecuaciones Diofánticas importantes tal como será ilustrado en el siguiente ejemplo,...
Con pocas excepciones todas las otras afirmaciones que hizo Fermat habı́an
sido probadas por ésta razón usualmente éste problema era llamado el Teorema de Fermat, a pesar que aún no se conocı́a ninguna demostración. El
problema de Fermat fué capturando el interés de los matemáticos y muchas
de las mejores mentes se ocuparon de él. Euler consideró el caso de los cubos, y la primera prueba escencialmente fué hecha por él. Sin pérdida de
4
Conjetura abc
generalidad uno puede considerar que x3 + y 3 = z 3 con x, y, z enteros primos relativos entre sı́, x y y impares ... Gauus dió otra prueba del caso de
los cubos empleando números complejos ... Alrededor de 1820 distinguidos
matemáticos franceses y alemanes intentaron intensamente hacer la prueba
de Teorema de Fermat; en 1885, G. Lejeune Dirichlet ... A través de muchos
de los intentos fallidos se lograron grandes avances en teorı́a moderna de
números tal como sucedió ...
Con todo lo anterior, aún hoy dı́a, resultarı́a muy extraño que en el salón
de clase uno pudiera voltear las mesas y usar sólo nuestros conocimientos
elementales para ayudar en una investigación, incluso se podrı́a considerar
como improbable que podemos hacer una prueba del teorema de Fermat
usando sólo algunas herramientas del cálculo y del álgebra lineal...Wallis..
Supongamos que existen soluciones para 1.4, podemos suponer, sin pérdida
de generalidad que x, y, z no tienen factor común. Al derivar la ecuación
xn + y n = z n obtenemos:
nx0 xn−1 + ny 0 y n−1 = nz 0 z n−1 ,
x0 xn−1 + y 0 y n−1 = z 0 z n−1
(dividiendo por el factor común n) (1.5)
Tomando xn−1 , y n−1 y z n−1 como variables tenemos dos ecuaciones lineales
(1.4), (1.5), lo cual nos sugiere usar álgebra lineal para eliminar una de las
variables. Multiplicando (1.4) por y 0 y (1.5) por y tenemos:
y 0 xn + y 0 y n = y 0 z n
yx0 xn−1 + y 0 y n = yz 0 z n−1
y restando una de la otra obtenemos
y 0 xn − yx0 xn−1 = y 0 z n − yz 0 z n−1
xn−1 (y 0 x − x0 y) = z n−1 (y 0 z − z 0 y)
de acuerdo con esta última igualdad xn−1 divide al producto z n−1 (y 0 z −z 0 y),
pero como mcd (x, z) = 1 entonces,
xn−1 divide y 0 z − z 0 y.
Esto resulta un poco sorprendente pues si y 0 z − z 0 y 6= 0 con lo anterior
tenemos que una potencia grande de x divide a y 0 z − z 0 y, lo cual es algo que
no parece consistente con la igualdad xn + y n = z n .
5
Nelly Yazmı́n Villamizar Villamizar
Debido a que nosotros derivamos, evidentemente nunca estabamos trabajando con enteros x, y, z sino más bien, con polinomios.
0
Si y 0 z −z 0 y = 0, entonces yz = 0, es decir, y es una constante por z, lo que
contradice que y y z no tienen factores en común. Por lo tanto y 0 z − z 0 y 6= 0
y ya que xn−1 divide a y 0 z − z 0 y entonces,
grad (xn−1 ) 5 grad (y 0 z − z 0 y)
y como grad (y 0 ) = grad (y) − 1, grad (z 0 ) = grad (z) − 1 y grad xn−1 =
(n − 1)x, entonces,
grad (xn−1 ) 5 grad (y 0 z − z 0 y)
= Máx grad (y 0 z), grad (z 0 y)
= grad (y) + grad (z) − 1
(1.6)
Adicionando grad (x) en ambos lados de (1.6) obtenemos
n grad (x) 5 grad (x) + grad (y) + grad (z) − 1
< grad (x) + grad (y) + grad (z)
(1.7)
Si observamos (1.7) y lo que se hizo para llegar a ésta desigualdad, vemos que
el lado derecho es simétrico para x, y, z, y además, como el lado izquierdo
es función de x ńicamente podrı́amos obteneter con la misma facilidad el
mismo resultado para y y z en lugar de x, y obtendrı́amos de esta manera
n grad (y) < grad (x) + grad (y) + grad (z)
n grad (z) < grad (x) + grad (y) + grad (z)
y sumando estas últimas tres desigualdades
n grad x + grad (y) + grad (z) < 3 grad x + grad (y) + grad (z)
y dividiendo por el factor común grad x + grad (y) + grad (z) a lado y lado
obtenemos
n<3
6
Conjetura abc
y esto es evidentemente una contradicción, pues en la ecuación de Fermat
el entero n de la ecuación xn + y n = z n es > 3.
Y ası́ quedarı́a probado el teorema de Fermat! . . . bueno, no completamente,
pero aún ası́ lo que hemos probado, y de manera muy simple, es de gran
interés:
Proposición 1 No existen polinomios no triviales, primos relativos entre
n
n
sı́ y no
n todos constantes x(t), y(t), z(t) ∈ C[t] tales que x(t) + y(t) =
z(t) , siendo n un entero = 3.
Que el teorema de Fermat es fácil de probar para polinomios no es un resultado reciente,la prueba que hemos presentado es de hace algunos años y
sólo tiene algunas variantes respecto a las que se presentan en los libros de
hace 50 años; una prueba un poco más complicada fué hecha por Liuville
(1851) utilizando intregración.
En el caso n = 2, similar al caso de los enteros, sı́ existen soluciones polinomiales a la ecuación x2 +y 2 = z 2 ; por ejemplo, (1−t2 )2 +(2t)2 = (1+t2 )2 .
Ya que el argumento que usamos parece ser fácilmente aplicable a otros
problemas Diofánticos, podrı́amos pensar en generalizarlo, aunque en un
principio no sea tan obvio lo que será el resultado final.
¿Cuál podrı́a ser, posiblemente, una afirmación más general y más simple
que el teorema de Fermat?
Richard C. Mason (1983) dió una posible respuesta a esta pregunta,
propuso buscar las soluciones a la ecuación
a + b = c.
Siguiendo la prueba de (1), comencemos asumiendo, sin pérdida de generalidad que a, b, c son polinomios sin factores comunes y no todos iguales a
cero y tales que a + b = c. Derivando obtemos
a0 + b0 = c0 .
y a continuación empleamos álgebra lineal, a pesar de que la analogı́a no es
muy obvia. Ponemos nuestros coeficientes en una matriz
a(t) b(t)
(1.8)
a0 (t) b0 (t)
Nelly Yazmı́n Villamizar Villamizar
7
sabemos que existen soluciones cuando el determinante
a(t) b(t) ∆= 0
a (t) b0 (t)
no es cero; pero esto se tiene, pues si que ∆ = 0 entonces
b(t) 0
0
0
a(t)b (t) − b(t)a (t) = 0 ⇒
= 0 ⇒ b(t), a(t) 6= 1.
a(t)
Haciendo operaciones elementales entre las filas de la matriz (1.8), obtenemos
a(t) c(t) ,
∆= 0
adicionando la primera a la segunda columna
a (t) c0 (t)
c(t) b(t) ,
∆ = 0
adicionando la segunda a la primera columna.
c (t) b0 (t)
Para encontrar una analogı́a apropiada a lo hecho en la demostración de (1)
cuando dijimos que xn−1 dividı́a la diferencia zy 0 − yz 0 podemos decir en
éste caso, que una potencia considerablemente alta de a divide a ∆(t). Ṡea
ahora α una raı́z de a(t) y (t − α)e la potencia más alta de (t − α) que divide
a a(t), evidentemente (t − α)e−1 es la mayor potencia de (t − α) que divide
a a0 (t) y por lo tanto también a ∆ ya que α no es raı́z de b(t); por lo tanto,
(t − α)e | (t − α)∆(t)
como la anterior desigualdad puede ser obtenida para cada raı́z α de a(t)
entonces
Y
a(t)∆(t)
(t − α) ,
a(α)=0
lo mismo podemos hacer con la raı́ces de b(t) y c(t) y como a(t), b(t) y c(t)
no tienen raı́ces en común, entonces
Y
a(t)b(t)c(t)∆(t)
(t − α)
abc(α)=0
por lo tanto
grad (a) + grad (b) + grad (c) 5 grad (∆(t)) + #raı́ces distintas de abc(t)
8
Conjetura abc
Por otro lado,
∆(t) = a(t)b0 (t) − b(t)a0 (t) = a(t)c0 (t) − c(t)a0 (t) = c(t)b0 (t) − b(t)c0 (t)
entonces,
grad (∆(t)) 5 grad (a) + grad (b) − 1
5 grad (a) + grad (c) − 1
5 grad (c) + grad (b) − 1,
juntando las desigualdades tenemos que
Máx (grad (a), grad (b), grad (c)) 5 #raı́ces distintas de abc(t).
Este resultado puede leerse de la siguiente manera:
Proposición 2 (Teorema de Mason) Si a, b, c ∈ C[t] son polinomios no
nulos, primos relativos entre sı́, no todos constantes y tales que
a + b = c,
entonces
Máx (grad (a), grad (b), grad (c)) 5 N0 (abc) − 1 = grad (rad abc) − 1,
donde N0 (abc) denota el número de raı́ces distintas del polinomio abc, y
rad (abc) es el radical de abc.
La Conjetura abc
Nelly Yazmı́n Villamizar Villamizar
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Departamento de Matemáticas
2005
ii
Capı́tulo 1
De las Ecuaciones
Diofánticas a la Conjetura
abc
1.1.
El Último Teorema de Fermat
Una ecuación Diofántica es una ecuación polinomial en las variables
x1 , x2 , x3 , . . . con coeficientes racionales o enteros, lo que hace que ésta sea
una ecuación Diofántica son las restricciones que se imponen sobre las soluciones que de ella se van a considerar: dada una ecuación se quieren sus
soluciones racionales o sus soluciones enteras.
Consideramos la ecuación polinomial
f (x1 , x2 , x3 , . . . , xn ) = b
(1.1)
con coeficietes enteros, si ésta ecuación tiene una solución en los enteros (racionales) x1 , x2 , x3 , . . . , xn entonces diremos que (x1 , x2 , x3 , . . . , xn ) es una
solución entera (solución racional, respectivamente). Es claro que en el caso
homogéneo el problema de encontrar las soluciones enteras es equivalente al
de encontrar las soluciones racionales.
Un ecuación Diofántica muy conocida es la ecuación Pitagórica
x2 + y 2 = z 2
(1.2)
las soluciones enteras de ésta ecuación son las llamadas triplas Pitagóricas, se
les llama ası́ pues Pitágoras suponı́a que tenı́a demostrado que las longitudes
1
2
CAPÍTULO 1. DE LAS ECUACIONES DIOFÁNTICAS A LA CONJETURA ABC
a, b, c de los lados de un triángulo rectángulo satisfacen la relación
a2 + b2 = c2 ;
es ası́ como, la existencia de soluciones de la ecuación Diofántica (1.2) justifica principalmente la existencia de tales triángulos con lados medibles mediante números enteros. Una solución (x, y, z) entera es no trivial cuando
x, y, z no son cero, para determinar todas las soluciones no triviales de(1.2)
es suficiente determinar las soluciones primitivas, es dicir, las soluciones en
las que x, y, z son positivos y 1 = mcd(x, y, z)1 .
Supongamos que (x, y, z) es una solución primitiva de (1.2), entonces x, y, z
son primos relativos dos a dos y además x y y no pueden ser ambos impares,
pues si x = 2k + 1yy = 2k 0 + 1, con k, k 0 , k 00 enteros:
x2 + y 2 = (2k + 1)2 + (2k 0 + 1)2
= 4(k 2 + k 02 + k + k) + 2
= 2(2k 00 + 1)
= z2
lo cual contradice que z es un entero. Asumamos que x es par y impar y
z impar, el siguiente resultado se puede remontar hasta Diofanto aunque es
posible que, al menos en parte, se haya conocido un poco antes.
Sean a, b enteros primos relativos entre sı́, no ambos impares, a > b ≥ 1, y
sea

2
2

x = a − b
(1.3)
y = 2ab


2
2
z =a −b .
Entonces (x, y, z) es una solución primitiva de la ecuación Pitagórica, y toda
solución puede obtenerse de una única pareja (a, b)del tipo indicado por las
relaciones (1.3).
En particular de acuerdo a éste resultado, la ecuación (1.2) tiene infinitas soluciones, pero si consideramos la ecuación Diofántica que generaliza la
ecuación Pitagórica,
xn + y n = z n
(n > 2)
(1.4)
1
mcd(x, y, z) denota el máximo común divisor de los enteros x, y, z.
1.1. EL ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT
3
El problema de encontrar sus soluciones es un poco más desafiante, la situación, respecto a la ecuación Pitagórica,es ya muy diferente para cubos,
bicuadrados, y de ahı́ en adelate.
Esta ecuación es conocida como la Ecuación de Fermat, se le llama ası́,
porque en el margen de su copia de la edición de Bachet de los trabajos
completos de Diophantus, Fermat escribió:
Es imposible separar un cubo en dos cubos, o un bicuadrado en dos
bicuadrados, o en general, cualquier potencia más grande que la segunda en patencias de igual grado; he descubierto una prueba realmente
extraordinaria que este margen demasiado pequeño para contenerla
La copia original se extravió, pero la nota apareció en la edición de 1670
de los trabajos de Fermat, editada en Toulouse por su hermano Samuel de
Fermat. En History of the Theory of Number, volumen II, de Dickson, se
afirma que Fermat la escribió cerca de 1637. Tannery (1883) mencionó una
carta que Fermat habı́a escrito a Mersenne en la cual él deseaba encontrar
dos cubos cuya suma fuera un cubo, y dos bicuadrados cuya suma fuera un
bicuadrado, ésta carta aparece con la fecha de Junio de 1638, en el volumen
7 de Correspondance du Père Marin Mersenne(1962); el mismo problema
fué propuesto a Frénicle de Bessy (1640) en una carta a Mersenne, y a Wallis y Brouncker en una carta a Digby, escrita en 1657, pero no hay mención
alguna de la extraordinaria prueba que él supuestamente habı́a encontrado.
En el lenguaje moderno, la afirmación de Fermat dirı́a:
La ecuación xn + y n = z n , donde n es un número natural más grande que
2, no tiene solución en los enteros todos diferentes de 0.
Ninguna prueba de esta afirmación fué encontrada nunca entre los papeles de
Fermat. Sin embargo, escribió una prueba de que las ecuaciones x4 −y 4 = z 2
y x4 + y 4 = z 4 no tienen soluciones en enteros todos diferentes de 0, de hecho, ésta es una de las dos pruebas hechas por Fermat en teorı́a de números
que aún se preservan. La prueba de Fermat es muy ingeniosa, la realizó por
el método que él mismo denominó descendencia infinita, mediante el cual
también se pueden resolver otras ecuaciones Diofánticas importantes tal como será ilustrado en el siguiente ejemplo,...
Con pocas excepciones todas las otras afirmaciones que hizo Fermat habı́an
sido probadas por ésta razón usualmente éste problema era llamado el Teorema de Fermat, a pesar que aún no se conocı́a ninguna demostración. El
4
CAPÍTULO 1. DE LAS ECUACIONES DIOFÁNTICAS A LA CONJETURA ABC
problema de Fermat fué capturando el interés de los matemáticos y muchas
de las mejores mentes se ocuparon de él. Euler consideró el caso de los cubos, y la primera prueba escencialmente fué hecha por él. Sin pérdida de
generalidad uno puede considerar que x3 + y 3 = z 3 con x, y, z enteros primos relativos entre sı́, x y y impares ... Gauus dió otra prueba del caso de
los cubos empleando números complejos ... Alrededor de 1820 distinguidos
matemáticos franceses y alemanes intentaron intensamente hacer la prueba
de Teorema de Fermat; en 1885, G. Lejeune Dirichlet ... A través de muchos
de los intentos fallidos se lograron grandes avances en teorı́a moderna de
números tal como sucedió ...
Con todo lo anterior, aún hoy dı́a, resultarı́a muy extraño que en el salón
de clase uno pudiera voltear las mesas y usar sólo nuestros conocimientos
elementales para ayudar en una investigación, incluso se podrı́a considerar
como improbable que podemos hacer una prueba del teorema de Fermat
usando sólo algunas herramientas del cálculo y del álgebra lineal...Walis..
Supongamos que existen soluciones para (1.4), podemos suponer, sin pérdida de generalidad que x, y, z no tienen factor común. Al derivar la ecuación
xn + y n = z n obtenemos:
nx0 xn−1 + ny 0 y n−1 = nz 0 z n−1 ,
dividiendo por el factor común n
x0 xn−1 + y 0 y n−1 = z 0 z n−1
(1.5)
Tomando xn−1 , y n−1 y z n−1 como variables tenemos dos ecuaciones lineales
(1.4), (1.5), lo cual nos sugiere usar álgebra lineal para eliminar una de las
variables. Multiplicando (1.4) por y 0 y (1.5) por y tenemos:
y 0 xn + y 0 y n = y 0 z n
yx0 xn−1 + y 0 y n = yz 0 z n−1
y restando una de la otra obtenemos
y 0 xn − yx0 xn−1 = y 0 z n − yz 0 z n−1
xn−1 (y 0 x − x0 y) = z n−1 (y 0 z − z 0 y)
(1.6)
5
1.1. EL ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT
de acuerdo con esta última igualdad xn−1 divide al producto z n−1 (y 0 z −z 0 y),
pero como mcd (x, z) = 1 entonces,
xn−1 divide y 0 z − z 0 y.
Esto resulta un poco sorprendente pues si y 0 z − z 0 y 6= 0 con lo anterior
tenemos que una potencia grande de x divide a y 0 z − z 0 y, lo cual es algo que
no parece consistente con la igualdad xn + y n = z n .
Debido a que nosotros derivamos, evidentemente nunca estabamos trabajando con enteros x, y, z sino más bien, con polinomios.
0
Si y 0 z −z 0 y = 0, entonces yz = 0, es decir, y es una constante por z, lo que
contradice que y y z no tienen factores en común. Por lo tanto y 0 z − z 0 y 6= 0
y ya que xn−1 divide a y 0 z − z 0 y entonces,
grad (xn−1 ) 5 grad (y 0 z − z 0 y)
y como grad (y 0 ) = grad (y) − 1, grad (z 0 ) = grad (z) − 1 y grad xn−1 =
(n − 1)x, entonces,
grad (xn−1 ) 5 grad (y 0 z − z 0 y)
= máx grad (y 0 z), grad (z 0 y)
= grad (y) + grad (z) − 1
(1.7)
Adicionando grad (x) en ambos lados de (1.6) obtenemos
n grad (x) 5 grad (x) + grad (y) + grad (z) − 1
< grad (x) + grad (y) + grad (z)
(1.8)
Si observamos (1.7) y lo que se hizo para llegar a ésta desigualdad, vemos que
el lado derecho es simétrico para x, y, z, y además, como el lado izquierdo
es función de x ńicamente podrı́amos obteneter con la misma facilidad el
mismo resultado para y y z en lugar de x, y obtendrı́amos de esta manera
n grad (y) < grad (x) + grad (y) + grad (z)
n grad (z) < grad (x) + grad (y) + grad (z)
y sumando estas últimas tres desigualdades
n grad x + grad (y) + grad (z) < 3 grad x + grad (y) + grad (z)
6
CAPÍTULO 1. DE LAS ECUACIONES DIOFÁNTICAS A LA CONJETURA ABC
y dividiendo por el factor común grad x + grad (y) + grad (z) a lado y lado
obtenemos
n<3
y esto es evidentemente una contradicción, pues en la ecuación de Fermat
el entero n de la ecuación xn + y n = z n es > 3.
Y ası́ quedarı́a probado el teorema de Fermat! . . . bueno, no completamente,
pero aún ası́ lo que hemos probado, y de manera muy simple, es de gran
interés:
Proposición 1. No existen polinomios no triviales, primos relativos entre
n
n
sı́ y no
n todos constantes x(t), y(t), z(t) ∈ C[t] tales que x(t) + y(t) =
z(t) , siendo n un entero = 3.
Que el teorema de Fermat es fácil de probar para polinomios no es un
resultado reciente,la prueba que hemos presentado es de hace algunos años
y sólo tiene algunas variantes respecto a las que se presentan en los libros
de hace 50 años; una prueba un poco más complicada fué hecha por Liuville
(1851) utilizando intregración.
En el caso n = 2, similar al caso de los enteros, sı́ existen soluciones polinomiales a la ecuación x2 +y 2 = z 2 ; por ejemplo, (1−t2 )2 +(2t)2 = (1+t2 )2 .
Ya que el argumento que usamos parece ser fácilmente aplicable a otros
problemas Diofánticos, podrı́amos pensar en generalizarlo, aunque en un
principio no sea tan obvio lo que será el resultado final.
¿Cuál podrı́a ser, posiblemente, una afirmación más general y más simple
que el teorema de Fermat?
1.2.
El Teorema de Mason
Richard C. Mason (1983) dió una posible respuesta a esta pregunta,
propuso buscar las soluciones a la ecuación
a + b = c.
Siguiendo la prueba de (1), comencemos asumiendo, sin pérdida de generalidad que a, b, c son polinomios sin factores comunes y no todos iguales a cero
1.2. EL TEOREMA DE MASON
7
y tales que a + b = c. Derivando obtemos
a0 + b0 = c0 .
y a continuación empleamos álgebra lineal, a pesar de que la analogı́a no es
muy obvia. Ponemos nuestros coeficientes en una matriz
a(t) b(t)
(1.9)
a0 (t) b0 (t)
sabemos que existen soluciones cuando el determinante
a(t) b(t) ∆= 0
a (t) b0 (t)
no es cero; pero esto se tiene, pues si que ∆ = 0 entonces
b(t) 0
0
0
a(t)b (t) − b(t)a (t) = 0 ⇒
= 0 ⇒ b(t), a(t) 6= 1.
a(t)
Haciendo operaciones elementales entre las filas de la matriz (1.9), obtenemos,
adicionando la primera a la segunda columna
a(t) c(t) ,
∆= 0
a (t) c0 (t)
adicionando la segunda a la primera columna.
c(t) b(t) .
∆= 0
c (t) b0 (t)
Para encontrar una analogı́a apropiada a lo hecho en la demostración del
último teorema de Fermat en polinomios cuando se dijo que xn−1 dividı́a la
diferencia zy 0 − yz 0 podemos decir en éste caso, que una potencia considerablemente alta de a divide a ∆(t). Ṡea ahora α una raı́z de a(t) y (t − α)e la
potencia más alta de (t − α) que divide a a(t), evidentemente (t − α)e−1 es
la mayor potencia de (t − α) que divide a a0 (t) y por lo tanto también a ∆
ya que α no es raı́z de b(t); por lo tanto,
(t − α)e | (t − α)∆(t)
8
CAPÍTULO 1. DE LAS ECUACIONES DIOFÁNTICAS A LA CONJETURA ABC
como la anterior desigualdad puede ser obtenida para cada raı́z α de a(t)
entonces
Y
a(t)∆(t)
(t − α) ,
a(α)=0
lo mismo podemos hacer con la raı́ces de b(t) y c(t) y como a(t), b(t) y c(t)
no tienen raı́ces en común, entonces
Y
a(t)b(t)c(t)∆(t)
(t − α)
abc(α)=0
por lo tanto
grad (a) + grad (b) + grad (c) 5 grad (∆(t)) + #raı́ces distintas de abc(t)
Por otro lado,
∆(t) = a(t)b0 (t) − b(t)a0 (t) = a(t)c0 (t) − c(t)a0 (t) = c(t)b0 (t) − b(t)c0 (t)
entonces,
grad (∆(t)) 5 grad (a) + grad (b) − 1
5 grad (a) + grad (c) − 1
5 grad (c) + grad (b) − 1,
juntando las desigualdades tenemos que
máx (grad (a), grad (b), grad (c)) 5 #raı́ces distintas de abc(t).
Este resultado puede enunciarse de la siguiente manera,
Proposición 2 (Teorema de Mason). Si a, b, c ∈ C[t] son polinomios no
nulos, primos relativos entre sı́, no todos constantes y tales que
a + b = c,
entonces
máx (grad (a), grad (b), grad (c)) 5 N0 (abc) − 1 = grad (rad (abc)) − 1,
donde N0 (abc) denota el número de raı́ces distintas del polinomio abc, y
rad (abc) es el radical de abc.
1.2. EL TEOREMA DE MASON
9
Recordemos que el radical de un entero no negativo m es el producto de
números primos distintos que dividen a m, esto es,
rad(m) =
Y
p
p|m
Por ejemplo, rad (19) = 19, rad (72) = 6 y rad (−1) = 1.
Si f (t) ∈ C[t] es un polinomio de grado n y α1 , . . . , αr son las raı́ces
distintas de f (t), entonces podemos
escribir f (t) como producto de términos
Q
lineales en la forma f (t) = cn ri=1 (t − αi )mi , donde el coeficiente cn 6= 0 y
m1 + · · · + mr = n. El radical del polinomio f (t) está definido por
r
Y
rad(f ) =
(t − αi ).
i=1
El resultado anterior es el “mejor posible”, en el sentido que podemos encontrar infinitos ejemplos en los que el número de raı́ces de la ecuación abc(t) = 0
es exactamente igual al grado más alto de los polinomios a(t), b(t), c(t) mas
uno. Por ejemplo, en la identidad que consideramos antes
(2t)2 + (t2 − 1)2 = (t2 + 1)2 ,
o si se quiere una un poco más interesante
tn + 1 = (tn + 1).
Usemos ahora, el Teorema de Mason para dar otra demostración del
último teorema de Fermat para polinomios.
Demostración de la Proposición 1. apartir del teorema de Mason. Sea n =
3, y supongamos que x, y, z son polinomios no nulos, primos relativos entre
sı́, no todos constantes, tales que xn + y n = z n . Aplicamos el teorema de
Mason con a = xn , b = y n , y c = z n . Entonces
rad (abc) = rad (xn y n z n ) = rad (xyz).
10
CAPÍTULO 1. DE LAS ECUACIONES DIOFÁNTICAS A LA CONJETURA ABC
Dado que grad (xn ) = n grad (x),
n grad (x) 5 n máx grad (x), grad (y), grad (z)
= máx grad (xn ), grad (y n ), grad (z n )
= máx grad (a), grad (b), grad (c)
5 grad rad (abc) − 1
= grad rad (xyz) − 1
5 grad (xyz) − 1
= grad (x) + grad (y) + grad (z) − 1.
Debido a que la anterior desigualdad se puede obtener también para n grad (y)
y n grad (z), sumando las tres obtenemos
n grad (x) + grad (y) + grad (z) 5 3 grad (x) + grad (y) + grad (z) − 3
5 n grad (x) + grad (y) + grad (z) − 3.
Lo cual es imposible.
1.3.
Demostración de Silverman del Teorema de
Mason
Silverman propuso una forma más sofisticada para llegar a la Proposición 2., por teorı́a de transformaciones cubiertas.
Consideremos las siguientes funciones racionales
π : C ∪ {∞} → C ∪ {∞}
f (t)
para polinomios f y g.
π(t) =
g(t)
La fórmula de Riemman-Hurwitz es un resultado clave sobre transformaciones racionales, y en éste caso dirı́a lo siguiente
X
2 grad(π) = 2 +
grad (π) − #π −1 (z)
z∈C∪{∞}
Donde
grad (π) = máx grad f (t), grad g(t) y,
π −1 (z) = x ∈ C ∪ {∞}|π(x) = z
= x ∈ C ∪ {∞}|f (t) = zg(t)
= x ∈ C ∪ {∞}|f (t) − zg(t) = 0 ,
1.3. DEMOSTRACIÓN DE SILVERMAN DEL TEOREMA DE MASON
11
para cada z este conjunto tiene a lo sumo grad (π) elementos, y usualmente
tiene exactamente éste número, si no es ası́ f (t) − zg(t) tiene por lo menos
una raı́z doble.
Tomemos ahora polinomios a, b, c ∈ C[t] no nulos, primos relativos entre
sı́, no todos constantes, tales que a + b = c y hagamos
π(t) =
a(t)
,
c(t)
dado que para todo z grad (π) − #π −1 (z) es no negativo busquemos una
cota inferior.
Seleccionando el subconjunto {0, 1, ∞} de C ∪ {∞}. Notamos que:
π(∞) 6= 0 ⇒ π(t) = 0 sii a(t) = 0
π(∞) 6= 1 ⇒ π(t) = 0 sii b(t) = 0
π(∞) 6= ∞ ⇒ π(t) = 0 sii c(t) = 0
Las tres implicaciones anteriores se obtienen similarmente, a manera de ilustrarlo explicaremos la primera:
Dado que a y b son polinomios, entonces
a(t)
=0
t→k c(t)
lı́m
ocurre cuando a(k) = 0 (en cuyo caso c(k) 6= 0) o cuando lı́mt→k c(t) = ∞
y a(k) es una constante, pero esto último no es posible en este caso pues
lı́mt→k b(t) = ∞ se tiene si y sólo si k = ±∞ y por hipótesis π(∞) 6= 0.
Reescribamos las tres observaciones de una manera más conveniente,
π(∞) 6= 0 ⇒ π(t) = 0 sii π −1 (0) = x ∈ C ∪ {∞}|a(t) = 0
π(∞) 6= 1 ⇒ π(t) = 0 sii π −1 (1) = x ∈ C ∪ {∞}|b(t) = 0
π(∞) 6= ∞ ⇒ π(t) = 0 sii π −1 (∞) = x ∈ C ∪ {∞}|c(t) = 0 ,
ahora,como π(∞) puede ser a lo sumo uno de los elementos en {0, 1, ∞},
supongamos que ∞ =
6 1, 2, entonces
π −1 (0) = {∞} ∪ {#raı́ces de a(t)}
= {raı́ces de a(t)}
ó
12
CAPÍTULO 1. DE LAS ECUACIONES DIOFÁNTICAS A LA CONJETURA ABC
y con esto
#π −1 (0) 5 (# raı́ces de a(t)) + 1.
Recordemos que
2 grad π(t) = 2 +
X
grad (π) − #π −1 (z)
z∈C∪{∞}
=2+
X
grad (π) − #π −1 (z)
z∈{0,1,∞}
entonces,
grad π(t) 5 −2 + π −1 (0) + π −1 (1) + π −1 (∞)
grad π(t) 5 −2 + #raı́ces de abc + 1
5 #raı́ces de abc − 1.
Y esto es equivalente al Teorema de Mason pues,
grad (π) = máx (grad a(t), grad c(t))
= máx grad a(t), grad b(t), grad c(t) .
Tendrı́amos grad π(t) = #raı́ces de abc − 1 si la suma que consideramos
incluye todos los términos no nulos, es decir, si ∞ ∈ π −1 {0, 1, ∞} y
π −1 (z) = grad (π) ∀z ∈
/ {0, 1, ∞}. Las transformaciones con esta propiedad son llamadas transformaciones de Belyı̌, pues fué él quien primero
identificó su importancia central. El mostró, entre otras cosas que:
“Para cualquier subconjunto finito S de Q hay una transformación
π : C ∪ {∞} → C ∪ {∞} para la cual π(S) ⊆ {0, 1, ∞} y π −1 (z) =
grad (π) ∀z ∈
/ {0, 1, ∞}”.
Este resultado lo podemos interpretar en términos de polinomios como
sigue:
Proposición 3. Para cualquier f (t) ∈ Z[t] existen a(t), b(t), c(t) ∈ Z[t] no
nulos, primos relativos entre sı́, no todos constantes, tales que a(t) + b(t) =
c(t) para los cuales f (t)|abc(t) y máx grad a(t), grad b(t), grad c(t) .
La elegante construcción que presentamos, aparte de ser central en varios
resultados importantes, nos dá la posibilidad de usar transformaciones de
Belyı̌ para construir muchos y mejores ejemplos del Teorema de Mason.
1.4. ANÁLOGO DEL TEOREMA DE MASON EN Z
13
Muchos resultados para ecuaciones Diofánticas en enteros son análogos
a los resultados para ecuaciones en polinomios.
Dada la simplicidad de la desigualdad de Manson para las soluciones
polinomiales de la ecuación a + b + c, uno podrı́a preguntarse si hay un
resultado similar para enteros (y si lo hay, esto podrı́a implicar una prueba
directa del Último teorema de Fermat!)
1.4.
Análogo del Teorema de Mason en Z
A continuación descutiremos la idea de que el conjunto de enteros Zes
análogo C[z] de los polinomios con coeficientes complejos en una variable
compleja z.
Nosotros no podemos dividir un entero entre otro entero siempre, lo mismo sucede para los polinomios z+1
z−1 no es un polinomio, este es el primer
indicio que quizá la analogı́a es bastante apropiada después de todo. n1 es
un entero siempre y cuando n = ±1 que son las llamadas unidades, similar1
mente sucede en los polinomios, los únicos polinomios f (z) tales que f (z)
es un polinomio son los polinomios constantes no nulos y éstos son precisamente las unidades en C[t]. Además la adición, substracción y multiplicación
tienen sentido similar en C[t] y en Z, ésto nos permite entonces, conectar
varias ecuaciones polinomiales en una y varias variables (como la ecuación
de fermat) en otras palabras, intentar encontrar soluciones polinomiales a
las ecuaciones Diofánticas.
¿Qué pasa con los primos?
Sabemos que un entero positivo p es primo si para un entero q > 0 se
cumple que q|p implica q = p o q = 1. Esta noción se puede extender a los
enteros negativos y decir que p es un número primo si es divisible únicamente
por los enteros de la forma p donde = ±1, una unidad. Ahora, como la
noción de divisibilidad tiene sentido para polinomios, podemos definir un
polinomio primo f (z) como un polinomio cuyos únicos divisores son cf (z)
donde c es una unidad.
Como los polinomios que estamos considerando están en C[t] todo polinomio se puede escribir como producto de factores lineales, un polinomio
primo debe ser entonces, lineal, y recı́procamente, si es lineal es primo.
Con esto podemos ver como el Teorema del Álgebra llega a ser, en éste
lenguaje el Teorema Fundamental de la Aritmética: Cada polinomio puede
14
CAPÍTULO 1. DE LAS ECUACIONES DIOFÁNTICAS A LA CONJETURA ABC
ser factorizado en un producto de polinomios primos de manera única salvo
el orden de los factores y multiplicación por unidades.
Por ésta razón, entre otras, usualmente los números primos son considerados la analogı́a apropiada a los factores irreducibles de polinomios, de
modo que uno puede conjeturar que el análogo a la proposión 2 podrı́a ser
algo ası́ como:
“Si a + b = c con a, b, c enteros primos relativos, entonces el número
total de factores primos de a (b o c) contando multiplicidades, es menor
que el número total de factores primos distintos de abc”
Al revisar la conjetura anterior, uno encuentra contraejemplos rápidamente: 1 + 1 = 2, 1 + 3 = 4 o 1 + 7 = 8; de hecho, si 2n − 1 es primo,
la afirmación muestra que n < 1 + 1! (tomando a = 2n y b = −1, n es el
número se factores primos de a y 2 el número de factores primos distintos
de abc).
Quizá si modificamos un poco la conjetura obtendremos un mejor resultado.
Por mucho tiempo en teorı́a analı́tica de números se ha establecido la
importancia de la función logaritmo cuando se trata de
primos. Por lo
Q contar
e
p
tanto, quizá la medida apropiada para
Pun entero a = p pP análoga al grado
en el caso de los polinomios no es p ep sino mejor,
p = log a.
p ep logP
reemplazando el número total de factores distintos de abc por
p|abc log p
y aplicando exponencial a ambos lados, conseguimos la siguiente conjetura:
Q “Si a+b = c con a, b, c enteros primos relativos, entonces máx (a, b, c) ≤
p|abc p”
Desafortunadamente de nuevo econtramos contraejemplos rápidamente:
1+8 = 9, 5+27 = 32, 1+48 = 49, 1+63 = 64 1+80 = 81, 32+49
= 81 . . . ,
Q
sin embargo en todos estos ejemplos el cociente máx(a, b, c)/ p|abc p nunca
es demasiado grande. Realmente, cuando 1 ≤ a, b, c < 1000 la proporción más grande encontrada
es 9/2 que ocurre cuando a = 1, b = 29
Q
y c = 33 · 19, máx(a, b, c)/ p|abc p = 33 · 19/3 · 2 · 19. Lo anterior sugiere que posiblemente
si mutiplicamos el lado derecho de la desigualdad s
Q
máx (a, b, c) ≤ p|abc p por una constante convenientemente grande (talvez 5), podriamos obtener una desigualdad válida. Pero aún ası́, igual
es falso, para a = 1 y c = 2p(p−1) donde p es algún primo grande,
tenemos que b = 2p(p−1) − 1 es divisible por p2 (ya que por el teorema de Euler 2p−1 ≡ 1 (mód p2 ) ⇒ 2p(p−1) ≡ 1 (mód p2 )), si suponemos que existe tal constante k máx (a, b, c) = 2p(p−1) ≤ (2b/p)k como
1.4. ANÁLOGO DEL TEOREMA DE MASON EN Z
15
2(2p(p−1) − 1)k − 2p(p−1) p = 2p(p−1) (2k − p) − 2k pero como p puede ser
tan grande como se quiera, la diferencia anterior no necesariamete es mayor
que cero.
Aún cuando los cálculos numéricos indican que estamos muy cerca de
llegar a algo que es válido, todo parece indicar que esto se va ha lograr
haciendo solamente pequeñas modificaciones.
Conjetura 1 (Conjetura abc). Para todo > 0 existe una constante
k tal que, si a, b, c son enteros positivos primos relativos, para los cuales
a + b = c entonces:
Y 1+
c ≤ k
p
.
p|abc
Una de las metas en la formulación del análogo al teorema de Mason
era que pudieramos deducir el último teorema de Fermat sobre los enteros,
veamos a que resultado llegamos con la conjetura anterior. Sea (x, y, z) una
solución entera a la ecuación de Fermat donde x y y son ambos positivos,
ponemos a = xn , b = y n y c = z n , según la conjetura anterior debemos
saber exactamente cuáles son los primos que dividen al producto xyz, esta
información no la tenemos, pero dado que x y y son positivos entonces los
dos son más pequños que z, de modo que xyz < z 3 , por lo tanto siguiendo
la conjetura,dado existe k para la cual
Y 1+
z < k
p
≤ k (z 3 )1+ ,
n
p|xyz
si tomamos = 1/6 y n ≥ 4 tenemos que z n−3(1+(1/6)) ≤ k1/6 , como n ≥ 4
entonces n − 3(1 + (1/6)) ≥ n/8, de la conjetura abc deducimos
8
z n ≤ k1/6
;
hemos probado entonces que para cualquier solución de xn + y n = z n con
n ≥ 4 los números xn , y n , z n están por debajo de alguna cota, por lo tanto,
existen sólo un número finito de tales soluciones.
Si tuvieramos una versión explicita de la conjetura abc, esto es, con los
valores de k explı́citos, podrı́amos dar una cota explı́cita sobre todas las
soluciones de la ecuación de Fermat y calcular hasta dicha cota si existen o
no soluciones. Esta no serı́a la prueba más elegante del último teorema de
Fermat, pero con esto habrı́amos conseguido el objetivo.
La Conjetura abc
Nelly Yazmı́n Villamizar Villamizar
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Departamento de Matemáticas
2005
ii
Capı́tulo 1
De las Ecuaciones
Diofánticas a la Conjetura
abc
1.1.
El Último Teorema de Fermat
Una ecuación Diofántica es una ecuación polinomial en las variables
x1 , x2 , x3 , . . . con coeficientes racionales o enteros, lo que hace que ésta sea
una ecuación Diofántica son las restricciones que se imponen sobre las soluciones que de ella se van a considerar: dada una ecuación se quieren sus
soluciones racionales o sus soluciones enteras.
Consideramos la ecuación polinomial
f (x1 , x2 , x3 , . . . , xn ) = b
(1.1)
con coeficietes enteros, si ésta ecuación tiene una solución en los enteros (racionales) x1 , x2 , x3 , . . . , xn entonces diremos que (x1 , x2 , x3 , . . . , xn ) es una
solución entera (solución racional, respectivamente). Es claro que en el caso
homogéneo el problema de encontrar las soluciones enteras es equivalente al
de encontrar las soluciones racionales.
Un ecuación Diofántica muy conocida es la ecuación Pitagórica
x2 + y 2 = z 2
(1.2)
las soluciones enteras de ésta ecuación son las llamadas triplas Pitagóricas, se
les llama ası́ pues Pitágoras suponı́a que tenı́a demostrado que las longitudes
1
2
CAPÍTULO 1. DE LAS ECUACIONES DIOFÁNTICAS A LA CONJETURA ABC
a, b, c de los lados de un triángulo rectángulo satisfacen la relación
a2 + b2 = c2 ;
es ası́ como, la existencia de soluciones de la ecuación Diofántica (1.2) justifica principalmente la existencia de tales triángulos con lados medibles mediante números enteros. Una solución (x, y, z) entera es no trivial cuando
x, y, z no son cero, para determinar todas las soluciones no triviales de(1.2)
es suficiente determinar las soluciones primitivas, es dicir, las soluciones en
las que x, y, z son positivos y 1 = mcd(x, y, z)1 .
Supongamos que (x, y, z) es una solución primitiva de (1.2), entonces x, y, z
son primos relativos dos a dos y además x y y no pueden ser ambos impares,
pues si x = 2k + 1yy = 2k 0 + 1, con k, k 0 , k 00 enteros:
x2 + y 2 = (2k + 1)2 + (2k 0 + 1)2
= 4(k 2 + k 02 + k + k) + 2
= 2(2k 00 + 1)
= z2
lo cual contradice que z es un entero. Asumamos que x es par y impar y
z impar, el siguiente resultado se puede remontar hasta Diofanto aunque es
posible que, al menos en parte, se haya conocido un poco antes.
Sean a, b enteros primos relativos entre sı́, no ambos impares, a > b ≥ 1, y
sea

2
2

x = a − b
(1.3)
y = 2ab


2
2
z =a −b .
Entonces (x, y, z) es una solución primitiva de la ecuación Pitagórica, y toda
solución puede obtenerse de una única pareja (a, b)del tipo indicado por las
relaciones (1.3).
En particular de acuerdo a éste resultado, la ecuación (1.2) tiene infinitas soluciones, pero si consideramos la ecuación Diofántica que generaliza la
ecuación Pitagórica,
xn + y n = z n
(n > 2)
(1.4)
1
mcd(x, y, z) denota el máximo común divisor de los enteros x, y, z.
1.1. EL ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT
3
El problema de encontrar sus soluciones es un poco más desafiante, la situación, respecto a la ecuación Pitagórica,es ya muy diferente para cubos,
bicuadrados, y de ahı́ en adelate.
Esta ecuación es conocida como la Ecuación de Fermat, se le llama ası́,
porque en el margen de su copia de la edición de Bachet de los trabajos
completos de Diophantus, Fermat escribió:
Es imposible separar un cubo en dos cubos, o un bicuadrado en dos
bicuadrados, o en general, cualquier potencia más grande que la segunda en patencias de igual grado; he descubierto una prueba realmente
extraordinaria que este margen demasiado pequeño para contenerla
La copia original se extravió, pero la nota apareció en la edición de 1670
de los trabajos de Fermat, editada en Toulouse por su hermano Samuel de
Fermat. En History of the Theory of Number, volumen II, de Dickson, se
afirma que Fermat la escribió cerca de 1637. Tannery (1883) mencionó una
carta que Fermat habı́a escrito a Mersenne en la cual él deseaba encontrar
dos cubos cuya suma fuera un cubo, y dos bicuadrados cuya suma fuera un
bicuadrado, ésta carta aparece con la fecha de Junio de 1638, en el volumen
7 de Correspondance du Père Marin Mersenne(1962); el mismo problema
fué propuesto a Frénicle de Bessy (1640) en una carta a Mersenne, y a Wallis y Brouncker en una carta a Digby, escrita en 1657, pero no hay mención
alguna de la extraordinaria prueba que él supuestamente habı́a encontrado.
En el lenguaje moderno, la afirmación de Fermat dirı́a:
La ecuación xn + y n = z n , donde n es un número natural más grande que
2, no tiene solución en los enteros todos diferentes de 0.
Ninguna prueba de esta afirmación fué encontrada nunca entre los papeles de
Fermat. Sin embargo, escribió una prueba de que las ecuaciones x4 −y 4 = z 2
y x4 + y 4 = z 4 no tienen soluciones en enteros todos diferentes de 0, de hecho, ésta es una de las dos pruebas hechas por Fermat en teorı́a de números
que aún se preservan. La prueba de Fermat es muy ingeniosa, la realizó por
el método que él mismo denominó descendencia infinita, mediante el cual
también se pueden resolver otras ecuaciones Diofánticas importantes tal como será ilustrado en el siguiente ejemplo,...
Con pocas excepciones todas las otras afirmaciones que hizo Fermat habı́an
sido probadas por ésta razón usualmente éste problema era llamado el Teorema de Fermat, a pesar que aún no se conocı́a ninguna demostración. El
4
CAPÍTULO 1. DE LAS ECUACIONES DIOFÁNTICAS A LA CONJETURA ABC
problema de Fermat fué capturando el interés de los matemáticos y muchas
de las mejores mentes se ocuparon de él. Euler consideró el caso de los cubos, y la primera prueba escencialmente fué hecha por él. Sin pérdida de
generalidad uno puede considerar que x3 + y 3 = z 3 con x, y, z enteros primos relativos entre sı́, x y y impares ... Gauus dió otra prueba del caso de
los cubos empleando números complejos ... Alrededor de 1820 distinguidos
matemáticos franceses y alemanes intentaron intensamente hacer la prueba
de Teorema de Fermat; en 1885, G. Lejeune Dirichlet ... A través de muchos
de los intentos fallidos se lograron grandes avances en teorı́a moderna de
números tal como sucedió ...
Con todo lo anterior, aún hoy dı́a, resultarı́a muy extraño que en el salón
de clase uno pudiera voltear las mesas y usar sólo nuestros conocimientos
elementales para ayudar en una investigación, incluso se podrı́a considerar
como improbable que podemos hacer una prueba del teorema de Fermat
usando sólo algunas herramientas del cálculo y del álgebra lineal...Walis..
Supongamos que existen soluciones para (1.4), podemos suponer, sin pérdida de generalidad que x, y, z no tienen factor común. Al derivar la ecuación
xn + y n = z n obtenemos:
nx0 xn−1 + ny 0 y n−1 = nz 0 z n−1 ,
dividiendo por el factor común n
x0 xn−1 + y 0 y n−1 = z 0 z n−1
(1.5)
Tomando xn−1 , y n−1 y z n−1 como variables tenemos dos ecuaciones lineales
(1.4), (1.5), lo cual nos sugiere usar álgebra lineal para eliminar una de las
variables. Multiplicando (1.4) por y 0 y (1.5) por y tenemos:
y 0 xn + y 0 y n = y 0 z n
yx0 xn−1 + y 0 y n = yz 0 z n−1
y restando una de la otra obtenemos
y 0 xn − yx0 xn−1 = y 0 z n − yz 0 z n−1
xn−1 (y 0 x − x0 y) = z n−1 (y 0 z − z 0 y)
(1.6)
5
1.1. EL ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT
de acuerdo con esta última igualdad xn−1 divide al producto z n−1 (y 0 z −z 0 y),
pero como mcd (x, z) = 1 entonces,
xn−1 divide y 0 z − z 0 y.
Esto resulta un poco sorprendente pues si y 0 z − z 0 y 6= 0 con lo anterior
tenemos que una potencia grande de x divide a y 0 z − z 0 y, lo cual es algo que
no parece consistente con la igualdad xn + y n = z n .
Debido a que nosotros derivamos, evidentemente nunca estabamos trabajando con enteros x, y, z sino más bien, con polinomios.
0
Si y 0 z −z 0 y = 0, entonces yz = 0, es decir, y es una constante por z, lo que
contradice que y y z no tienen factores en común. Por lo tanto y 0 z − z 0 y 6= 0
y ya que xn−1 divide a y 0 z − z 0 y entonces,
grad (xn−1 ) 5 grad (y 0 z − z 0 y)
y como grad (y 0 ) = grad (y) − 1, grad (z 0 ) = grad (z) − 1 y grad xn−1 =
(n − 1)x, entonces,
grad (xn−1 ) 5 grad (y 0 z − z 0 y)
= máx grad (y 0 z), grad (z 0 y)
= grad (y) + grad (z) − 1
(1.7)
Adicionando grad (x) en ambos lados de (1.6) obtenemos
n grad (x) 5 grad (x) + grad (y) + grad (z) − 1
< grad (x) + grad (y) + grad (z)
(1.8)
Si observamos (1.7) y lo que se hizo para llegar a ésta desigualdad, vemos que
el lado derecho es simétrico para x, y, z, y además, como el lado izquierdo
es función de x ńicamente podrı́amos obteneter con la misma facilidad el
mismo resultado para y y z en lugar de x, y obtendrı́amos de esta manera
n grad (y) < grad (x) + grad (y) + grad (z)
n grad (z) < grad (x) + grad (y) + grad (z)
y sumando estas últimas tres desigualdades
n grad x + grad (y) + grad (z) < 3 grad x + grad (y) + grad (z)
6
CAPÍTULO 1. DE LAS ECUACIONES DIOFÁNTICAS A LA CONJETURA ABC
y dividiendo por el factor común grad x + grad (y) + grad (z) a lado y lado
obtenemos
n<3
y esto es evidentemente una contradicción, pues en la ecuación de Fermat
el entero n de la ecuación xn + y n = z n es > 3.
Y ası́ quedarı́a probado el teorema de Fermat! . . . bueno, no completamente,
pero aún ası́ lo que hemos probado, y de manera muy simple, es de gran
interés:
Proposición 1.1. No existen polinomios no triviales, primosrelativos entre
n
n
sı́ y no
n todos constantes x(t), y(t), z(t) ∈ C[t] tales que x(t) + y(t) =
z(t) , siendo n un entero = 3.
Que el teorema de Fermat es fácil de probar para polinomios no es un
resultado reciente,la prueba que hemos presentado es de hace algunos años
y sólo tiene algunas variantes respecto a las que se presentan en los libros
de hace 50 años; una prueba un poco más complicada fué hecha por Liuville
(1851) utilizando intregración.
En el caso n = 2, similar al caso de los enteros, sı́ existen soluciones polinomiales a la ecuación x2 +y 2 = z 2 ; por ejemplo, (1−t2 )2 +(2t)2 = (1+t2 )2 .
Ya que el argumento que usamos parece ser fácilmente aplicable a otros
problemas Diofánticos, podrı́amos pensar en generalizarlo, aunque en un
principio no sea tan obvio lo que será el resultado final.
¿Cuál podrı́a ser, posiblemente, una afirmación más general y más simple
que el teorema de Fermat?
1.2.
El Teorema de Mason
Richard C. Mason (1983) dió una posible respuesta a esta pregunta,
propuso buscar las soluciones a la ecuación
a + b = c.
Siguiendo la prueba de (1.1), comencemos asumiendo, sin pérdida de generalidad que a, b, c son polinomios sin factores comunes y no todos iguales a
1.2. EL TEOREMA DE MASON
7
cero y tales que a + b = c. Derivando obtemos
a0 + b0 = c0 .
y a continuación empleamos álgebra lineal, a pesar de que la analogı́a no es
muy obvia. Ponemos nuestros coeficientes en una matriz
a(t) b(t)
(1.9)
a0 (t) b0 (t)
sabemos que existen soluciones cuando el determinante
a(t) b(t) ∆= 0
a (t) b0 (t)
no es cero; pero esto se tiene, pues si que ∆ = 0 entonces
b(t) 0
0
0
a(t)b (t) − b(t)a (t) = 0 ⇒
= 0 ⇒ b(t), a(t) 6= 1.
a(t)
Haciendo operaciones elementales entre las filas de la matriz (1.9), obtenemos,
adicionando la primera a la segunda columna
a(t) c(t) ,
∆= 0
a (t) c0 (t)
adicionando la segunda a la primera columna.
c(t) b(t) .
∆= 0
c (t) b0 (t)
Para encontrar una analogı́a apropiada a lo hecho en la demostración del
último teorema de Fermat en polinomios cuando se dijo que xn−1 dividı́a la
diferencia zy 0 − yz 0 podemos decir en éste caso, que una potencia considerablemente alta de a divide a ∆(t). Ṡea ahora α una raı́z de a(t) y (t − α)e la
potencia más alta de (t − α) que divide a a(t), evidentemente (t − α)e−1 es
la mayor potencia de (t − α) que divide a a0 (t) y por lo tanto también a ∆
ya que α no es raı́z de b(t); por lo tanto,
(t − α)e | (t − α)∆(t)
8
CAPÍTULO 1. DE LAS ECUACIONES DIOFÁNTICAS A LA CONJETURA ABC
como la anterior desigualdad puede ser obtenida para cada raı́z α de a(t)
entonces
Y
a(t)∆(t)
(t − α) ,
a(α)=0
lo mismo podemos hacer con la raı́ces de b(t) y c(t) y como a(t), b(t) y c(t)
no tienen raı́ces en común, entonces
Y
a(t)b(t)c(t)∆(t)
(t − α)
abc(α)=0
por lo tanto
grad (a) + grad (b) + grad (c) 5 grad (∆(t)) + #raı́ces distintas de abc(t)
Por otro lado,
∆(t) = a(t)b0 (t) − b(t)a0 (t) = a(t)c0 (t) − c(t)a0 (t) = c(t)b0 (t) − b(t)c0 (t)
entonces,
grad (∆(t)) 5 grad (a) + grad (b) − 1
5 grad (a) + grad (c) − 1
5 grad (c) + grad (b) − 1,
juntando las desigualdades tenemos que
máx (grad (a), grad (b), grad (c)) 5 #raı́ces distintas de abc(t).
Este resultado puede enunciarse de la siguiente manera,
Proposición 1.2 (Teorema de Mason). Si a, b, c ∈ C[t] son polinomios
no nulos, primos relativos entre sı́, no todos constantes y tales que
a + b = c,
entonces
máx (grad (a), grad (b), grad (c)) 5 N0 (abc) − 1 = grad (rad (abc)) − 1,
donde N0 (abc) denota el número de raı́ces distintas del polinomio abc, y
rad (abc) es el radical de abc.
1.2. EL TEOREMA DE MASON
9
Recordemos que el radical de un entero no negativo m es el producto de
números primos distintos que dividen a m, esto es,
rad(m) =
Y
p
p|m
Por ejemplo, rad (19) = 19, rad (72) = 6 y rad (−1) = 1.
Si f (t) ∈ C[t] es un polinomio de grado n y α1 , . . . , αr son las raı́ces
distintas de f (t), entonces podemos
escribir f (t) como producto de términos
Q
lineales en la forma f (t) = cn ri=1 (t − αi )mi , donde el coeficiente cn 6= 0 y
m1 + · · · + mr = n. El radical del polinomio f (t) está definido por
r
Y
rad(f ) =
(t − αi ).
i=1
El resultado anterior es el “mejor posible”, en el sentido que podemos encontrar infinitos ejemplos en los que el número de raı́ces de la ecuación abc(t) = 0
es exactamente igual al grado más alto de los polinomios a(t), b(t), c(t) mas
uno. Por ejemplo, en la identidad que consideramos antes
(2t)2 + (t2 − 1)2 = (t2 + 1)2 ,
o si se quiere una un poco más interesante
tn + 1 = (tn + 1).
Usemos ahora, el Teorema de Mason para dar otra demostración del
último teorema de Fermat para polinomios.
Demostración de la Proposición (1.1) apartir del teorema de Mason.
Sea n = 3, y supongamos que x, y, z son polinomios no nulos, primos relativos entre sı́, no todos constantes, tales que xn + y n = z n . Aplicamos el
teorema de Mason con a = xn , b = y n , y c = z n . Entonces
rad (abc) = rad (xn y n z n ) = rad (xyz).
10
CAPÍTULO 1. DE LAS ECUACIONES DIOFÁNTICAS A LA CONJETURA ABC
Dado que grad (xn ) = n grad (x),
n grad (x) 5 n máx grad (x), grad (y), grad (z)
= máx grad (xn ), grad (y n ), grad (z n )
= máx grad (a), grad (b), grad (c)
5 grad rad (abc) − 1
= grad rad (xyz) − 1
5 grad (xyz) − 1
= grad (x) + grad (y) + grad (z) − 1.
Debido a que la anterior desigualdad se puede obtener también para n grad (y)
y n grad (z), sumando las tres obtenemos
n grad (x) + grad (y) + grad (z) 5 3 grad (x) + grad (y) + grad (z) − 3
5 n grad (x) + grad (y) + grad (z) − 3.
Lo cual es imposible.
1.3.
Demostración de Silverman del Teorema de
Mason
Silverman propuso una forma más sofisticada para llegar a la Proposición 1.2, por teorı́a de transformaciones cubiertas.
Consideremos las siguientes funciones racionales
π : C ∪ {∞} → C ∪ {∞}
f (t)
para polinomios f y g.
π(t) =
g(t)
La fórmula de Riemman-Hurwitz es un resultado clave sobre transformaciones racionales, y en éste caso dirı́a lo siguiente
X
2 grad(π) = 2 +
grad (π) − #π −1 (z)
z∈C∪{∞}
Donde
grad (π) = máx grad f (t), grad g(t) y,
π −1 (z) = x ∈ C ∪ {∞}|π(x) = z
= x ∈ C ∪ {∞}|f (t) = zg(t)
= x ∈ C ∪ {∞}|f (t) − zg(t) = 0 ,
1.3. DEMOSTRACIÓN DE SILVERMAN DEL TEOREMA DE MASON
11
para cada z este conjunto tiene a lo sumo grad (π) elementos, y usualmente
tiene exactamente éste número, si no es ası́ f (t) − zg(t) tiene por lo menos
una raı́z doble.
Tomemos ahora polinomios a, b, c ∈ C[t] no nulos, primos relativos entre
sı́, no todos constantes, tales que a + b = c y hagamos
π(t) =
a(t)
,
c(t)
dado que para todo z grad (π) − #π −1 (z) es no negativo busquemos una
cota inferior.
Seleccionando el subconjunto {0, 1, ∞} de C ∪ {∞}. Notamos que:
π(∞) 6= 0 ⇒ π(t) = 0 sii a(t) = 0
π(∞) 6= 1 ⇒ π(t) = 0 sii b(t) = 0
π(∞) 6= ∞ ⇒ π(t) = 0 sii c(t) = 0
Las tres implicaciones anteriores se obtienen similarmente, a manera de ilustrarlo explicaremos la primera:
Dado que a y b son polinomios, entonces
a(t)
=0
t→k c(t)
lı́m
ocurre cuando a(k) = 0 (en cuyo caso c(k) 6= 0) o cuando lı́mt→k c(t) = ∞
y a(k) es una constante, pero esto último no es posible en este caso pues
lı́mt→k b(t) = ∞ se tiene si y sólo si k = ±∞ y por hipótesis π(∞) 6= 0.
Reescribamos las tres observaciones de una manera más conveniente,
π(∞) 6= 0 ⇒ π(t) = 0 sii π −1 (0) = x ∈ C ∪ {∞}|a(t) = 0
π(∞) 6= 1 ⇒ π(t) = 0 sii π −1 (1) = x ∈ C ∪ {∞}|b(t) = 0
π(∞) 6= ∞ ⇒ π(t) = 0 sii π −1 (∞) = x ∈ C ∪ {∞}|c(t) = 0 ,
ahora,como π(∞) puede ser a lo sumo uno de los elementos en {0, 1, ∞},
supongamos que ∞ =
6 1, 2, entonces
π −1 (0) = {∞} ∪ {#raı́ces de a(t)}
= {raı́ces de a(t)}
ó
12
CAPÍTULO 1. DE LAS ECUACIONES DIOFÁNTICAS A LA CONJETURA ABC
y con esto
#π −1 (0) 5 (# raı́ces de a(t)) + 1.
Recordemos que
2 grad π(t) = 2 +
X
grad (π) − #π −1 (z)
z∈C∪{∞}
=2+
X
grad (π) − #π −1 (z)
z∈{0,1,∞}
entonces,
grad π(t) 5 −2 + π −1 (0) + π −1 (1) + π −1 (∞)
grad π(t) 5 −2 + #raı́ces de abc + 1
5 #raı́ces de abc − 1.
Y esto es equivalente al Teorema de Mason pues,
grad (π) = máx (grad a(t), grad c(t))
= máx grad a(t), grad b(t), grad c(t) .
Tendrı́amos grad π(t) = #raı́ces de abc − 1 si la suma que consideramos
incluye todos los términos no nulos, es decir, si ∞ ∈ π −1 {0, 1, ∞} y
π −1 (z) = grad (π) ∀z ∈
/ {0, 1, ∞}. Las transformaciones con esta propiedad son llamadas transformaciones de Belyı̌, pues fué él quien primero
identificó su importancia central. El mostró, entre otras cosas que:
“Para cualquier subconjunto finito S de Q hay una transformación
π : C ∪ {∞} → C ∪ {∞} para la cual π(S) ⊆ {0, 1, ∞} y π −1 (z) =
grad (π) ∀z ∈
/ {0, 1, ∞}”.
Este resultado lo podemos interpretar en términos de polinomios como
sigue:
Proposición 1.3. Para cualquier f (t) ∈ Z[t] existen a(t), b(t), c(t) ∈ Z[t] no
nulos, primos relativos entre sı́, no todos constantes, tales que a(t) + b(t) =
c(t) para los cuales f (t)|abc(t) y máx grad a(t), grad b(t), grad c(t) .
La elegante construcción que presentamos, aparte de ser central en varios
resultados importantes, nos dá la posibilidad de usar transformaciones de
Belyı̌ para construir muchos y mejores ejemplos del Teorema de Mason.
1.4. ANÁLOGO DEL TEOREMA DE MASON EN Z
13
Muchos resultados para ecuaciones Diofánticas en enteros son análogos
a los resultados para ecuaciones en polinomios.
Dada la simplicidad de la desigualdad de Manson para las soluciones
polinomiales de la ecuación a + b + c, uno podrı́a preguntarse si hay un
resultado similar para enteros (y si lo hay, esto podrı́a implicar una prueba
directa del Último teorema de Fermat!)
1.4.
Análogo del Teorema de Mason en Z
A continuación descutiremos la idea de que el conjunto de enteros Z es
análogo C[z] de los polinomios con coeficientes complejos en una variable
compleja z.
Nosotros no podemos dividir un entero entre otro entero siempre, lo mismo sucede para los polinomios z+1
z−1 no es un polinomio, este es el primer
indicio que quizá la analogı́a es bastante apropiada después de todo. n1 es
un entero siempre y cuando n = ±1 que son las llamadas unidades, similar1
mente sucede en los polinomios, los únicos polinomios f (z) tales que f (z)
es un polinomio son los polinomios constantes no nulos y éstos son precisamente las unidades en C[t]. Además la adición, substracción y multiplicación
tienen sentido similar en C[t] y en Z, ésto nos permite entonces, conectar
varias ecuaciones polinomiales en una y varias variables (como la ecuación
de fermat) en otras palabras, intentar encontrar soluciones polinomiales a
las ecuaciones Diofánticas.
¿Qué pasa con los primos?
Sabemos que un entero positivo p es primo si para un entero q > 0 se
cumple que q|p implica q = p o q = 1. Esta noción se puede extender a los
enteros negativos y decir que p es un número primo si es divisible únicamente
por los enteros de la forma p donde = ±1, una unidad. Ahora, como la
noción de divisibilidad tiene sentido para polinomios, podemos definir un
polinomio primo f (z) como un polinomio cuyos únicos divisores son cf (z)
donde c es una unidad.
Como los polinomios que estamos considerando están en C[t] todo polinomio se puede escribir como producto de factores lineales, un polinomio
primo debe ser entonces, lineal, y recı́procamente, si es lineal es primo.
Con esto podemos ver como el Teorema del Álgebra llega a ser, en éste
lenguaje el Teorema Fundamental de la Aritmética: Cada polinomio puede
14
CAPÍTULO 1. DE LAS ECUACIONES DIOFÁNTICAS A LA CONJETURA ABC
ser factorizado en un producto de polinomios primos de manera única salvo
el orden de los factores y multiplicación por unidades.
Por ésta razón, entre otras, usualmente los números primos son considerados la analogı́a apropiada a los factores irreducibles de polinomios, de
modo que uno puede conjeturar que el análogo a la proposión 2 podrı́a ser
algo ası́ como:
“Si a + b = c con a, b, c enteros primos relativos, entonces el número
total de factores primos de a (b o c) contando multiplicidades, es menor
que el número total de factores primos distintos de abc”
Al revisar la conjetura anterior, uno encuentra contraejemplos rápidamente: 1 + 1 = 2, 1 + 3 = 4 o 1 + 7 = 8; de hecho, si 2n − 1 es primo,
la afirmación muestra que n < 1 + 1! (tomando a = 2n y b = −1, n es el
número se factores primos de a y 2 el número de factores primos distintos
de abc).
Quizá si modificamos un poco la conjetura obtendremos un mejor resultado.
Por mucho tiempo en teorı́a analı́tica de números se ha establecido la
importancia de la función logaritmo cuando se trata de
primos. Por lo
Q contar
e
p
tanto, quizá la medida apropiada para
Pun entero a = p pP análoga al grado
en el caso de los polinomios no es p ep sino mejor,
p = log a.
p ep logP
reemplazando el número total de factores distintos de abc por
p|abc log p
y aplicando exponencial a ambos lados, conseguimos la siguiente conjetura:
Q “Si a+b = c con a, b, c enteros primos relativos, entonces máx (a, b, c) ≤
p|abc p”
Desafortunadamente de nuevo econtramos contraejemplos rápidamente:
1+8 = 9, 5+27 = 32, 1+48 = 49, 1+63 = 64 1+80 = 81, 32+49
= 81 . . . ,
Q
sin embargo en todos estos ejemplos el cociente máx(a, b, c)/ p|abc p nunca
es demasiado grande. Realmente, cuando 1 ≤ a, b, c < 1000 la proporción más grande encontrada
es 9/2 que ocurre cuando a = 1, b = 29
Q
y c = 33 · 19, máx(a, b, c)/ p|abc p = 33 · 19/3 · 2 · 19. Lo anterior sugiere que posiblemente
si mutiplicamos el lado derecho de la desigualdad s
Q
máx (a, b, c) ≤ p|abc p por una constante convenientemente grande (talvez 5), podriamos obtener una desigualdad válida. Pero aún ası́, igual
es falso, para a = 1 y c = 2p(p−1) donde p es algún primo grande,
tenemos que b = 2p(p−1) − 1 es divisible por p2 (ya que por el teorema de Euler 2p−1 ≡ 1 (mód p2 ) ⇒ 2p(p−1) ≡ 1 (mód p2 )), si suponemos que existe tal constante k máx (a, b, c) = 2p(p−1) ≤ (2b/p)k como
1.4. ANÁLOGO DEL TEOREMA DE MASON EN Z
15
2(2p(p−1) − 1)k − 2p(p−1) p = 2p(p−1) (2k − p) − 2k pero como p puede ser
tan grande como se quiera, la diferencia anterior no necesariamete es mayor
que cero.
Aún cuando los cálculos numéricos indican que estamos muy cerca de
llegar a algo que es válido, todo parece indicar que esto se va ha lograr
haciendo solamente pequeñas modificaciones.
Conjetura 1 (Conjetura abc). Para todo > 0 existe una constante
k tal que, si a, b, c son enteros positivos primos relativos, para los cuales
a + b = c entonces:
Y 1+
c ≤ k
p
.
p|abc
Una de las metas en la formulación del análogo al teorema de Mason
era que pudieramos deducir el último teorema de Fermat sobre los enteros,
veamos a que resultado llegamos con la conjetura anterior. Sea (x, y, z) una
solución entera a la ecuación de Fermat donde x y y son ambos positivos,
ponemos a = xn , b = y n y c = z n , según la conjetura anterior debemos
saber exactamente cuáles son los primos que dividen al producto xyz, esta
información no la tenemos, pero dado que x y y son positivos entonces los
dos son más pequños que z, de modo que xyz < z 3 , por lo tanto siguiendo
la conjetura,dado existe k para la cual
Y 1+
n
z < k
p
≤ k (z 3 )1+ ,
p|xyz
si tomamos = 1/6 y n ≥ 4 tenemos que z n−3(1+(1/6)) ≤ k1/6 , como n ≥ 4
entonces n − 3(1 + (1/6)) ≥ n/8, de la conjetura abc deducimos
8
z n ≤ k1/6
;
hemos probado entonces que para cualquier solución de xn + y n = z n con
n ≥ 4 los números xn , y n , z n están por debajo de alguna cota, por lo tanto,
existen sólo un número finito de tales soluciones.
Esta versión del teorema que Fermat es conocida como el Teorema Asintótico de Fermat.
Si tuvieramos una versión explicita de la conjetura abc, esto es, con los
valores de k explı́citos, podrı́amos dar una cota explı́cita sobre todas las
soluciones de la ecuación de Fermat y calcular hasta dicha cota si existen o
16
CAPÍTULO 1. DE LAS ECUACIONES DIOFÁNTICAS A LA CONJETURA ABC
no soluciones. Esta no serı́a la prueba más elegante del último teorema de
Fermat, pero con esto habrı́amos conseguido el objetivo.
La conjetura abc fué enunciada por J. Oesterlé y D.W Masser en 1985.
Masser estaba motivado por las sentencias análogas sobre Z del teorema
de Mason y Oesterlé, por las consideraciones de la conjetura de Szpiro en
curvas elı́pticas.
La formulación que hemos presentado es la que presentó Masser.
Originalmente Oesterlé enunció la conjetura en la siguiente forma:
“Si a, b, c son enteros primos relativos, que satisfacen a + b = c entonces,
L = L(a, b, c) =
log máx (|a|, |b|, |c|)
log rad (abc)
es acotado”.
Masser refinó el enunciado, y le dió la forma más común que es la que
presentamos anteriormente.
La imporatancia del que aparece en la versión de Masser la podemos
ver en un ejemplo desarrollado por Wojtek Jastrzebowski y Dan Spielman,
y presentado por Serge Lang.
Mostraremos que no existe k tal que c ≤ k rad (abc) , para triplas
(a, b, c) que cumplan las condiciones de la hipótesis.
Si n ∈ Z+ , consideremos
n
an = 32 − 1 ,
bn = 1 y
n
cn = 32 .
Entonces para cada entero positivo n , mcd (an , bn , cn ) = 1 y an +bn = cn
n
por lo tanto, (an , bn , cn ) satisface las hipótesis. Además 2n |(32 − 1) .
Si suponemos que existe una constante k tal que
n
32 ≤ k rad (an bn cn ) ,
1.4. ANÁLOGO DEL TEOREMA DE MASON EN Z
17
como
n
rad (an bn cn ) = 3 rad (32 − 1)
n
32 − 1
≤ n−1
2
n
32
< n−1
2
entonces, tendrı́amos que para cada n ∈ Z+ , 2n−1 ≤ k lo cual evidentemente es una contradicción.
Capı́tulo 2
Aplicaciones de la conjetura
abc
La conjetura abc parece estar siempre situada sobre la frontera entre
lo conocido y lo desconocido. Es una simple, pero poderosa afirmación
entre las propiedades aditivas y multiplicativas de los enteros, con la cual
es posible probar muchos teoremas en teorı́a de números que se ven muy
difı́ciles sin ella, por ejemplo, el último teorema de Fermat para exponentes
suficientemente grandes, tal como fué mostrado en el capı́tulo anterior.
Desafortunadamente, no sabemos si esta conjetura es verdadera o no.
En éste capı́tulo presentaremos algunas de estas consecuencias que se
siguen asumiendo que la conjetura abc es verdadera.
2.1.
Conjetura de Catalán
La conjetura de Catalán asegura que 8 y 9 son las únicas potencias consecutivas, en otras palabras, que la única solución a la ecuación de Catalán
xm − y n = 1
(2.1)
con x, y, m, n enteros mayores que 1 es 32 − 23 = 1.
El enunciado de ésta conjetura apareció en una carta que escribió Catalán
en 1884. En 1850 Lebesgue usando enteros Gaussianos probó que la ecuación
xm − y 2 = 1 no tiene solución en enteros positivos x, y cuando m > 2.
19
20
CAPÍTULO 2. APLICACIONES DE LA CONJETURA ABC
En 1964, Chao Ko probó que x2 − y n = 1 no tiene soluciones en enteros
positivos cuando n > 1, (se necesitaron 120 años para establecer este caso especial). De acuerdo a ésto, será suficiente considerar la ecuación de
Catalán cuando mı́n (m, n) ≥ 3.
Teorema 2.1 (Teorema Asintótico de Catalán). La conjetura abc implica que la ecuación de Catalán tiene solo un número finito de soluciones.
Demostración. Sea (x, y, m, n) una solución a la ecuación de Catalán (2.1).
x, y son entonces primos relativos (ya que si p|x y p|y, p|(xm − y n ) lo cual
implica que p|1), aplicando la conjetura abc con a = xm , b = −y n , c = 1 y
= 1/4, existe una constante k1/4 tal que
y n < xm = máx (xm , y n , 1)
5/4
≤ k1/4 rad (xm y n )
5/4
= k1/4 rad (xy)
entonces,
5
log xy
4
5
= log k1/4 + (log x + log y) ,
4
n log y < m log x ≤ log k1/4 +
y sumando las desigualdades correspondientes a log x y log y obtenemos
5
m log x + n log y < 2 log k1/4 + (log x + log y)
2
5
5
m−
log x + n −
log y < 2 log k1/4 .
2
2
(2.2)
Como x, y ≥ 2, se sigue que
(m + n − 5) log 2 < 2 log k1/4
2 log k1/4
m+n<
+ 5.
log 2
Por lo tanto, hay solo un número finito de parejas (m, n) de enteros para
los cuales la ecuación de Catalán es soluble. Para exponentes fijos m ≥ 3 y
n ≥ 3 la ecuación (2.2) tiene solo un número finito de soluciones en enteros
positivos x y y, con estas dos observaciones se completa la demostración
ya que el conjunto de soluciones (x, y, m, n) es en consecuencia finito.
2.2. PRIMOS DE WIEFERICH
2.2.
21
Primos de Wieferich
Sea n ∈ Z y p un primo. Entonces si n 6= 0 existe un entero no
negativo d tal que pd |n pero pd+1 - n. El número d es llamado el orden
de n en p y se denota por ordp n. Si n = 0, ordp 0 = ∞.
Diremos entonces que un entero positivo v es un número poderoso si
para cada primo p que divide a v, ordp v ≥ 2
Por el pequeño teorema de Fermat sabemos que para todo primo impar
p, 2p−1 ≡ 1 (mód p) es decir, p divide 2p−1 − 1. Un primo impar p tal
que
2p−1 6≡ 1 (mód p2 )
es llamado primo de Wieferich.
Wieferich probó que si p es un número primo impar para el cual la
ecuación de Fermat
xp + y p = z p
tiene una solución en enteros x, y, z con mcd (p, xyz) = 1 , entonces
2p−1 ≡ 1
(mód p2 ) .
Los cálculos que se han hecho sugieren que tales primos son muy raros y que
hay “muchos más ”primos que son primos de Wieferich.
Aún no se conoce si existen infinitos primos que sean primos de Wieferich
ni tampoco si existen infinitos primos que no lo sean; asumiendo la conjetura abc podemos demostrar que el conjunto W de primos de Wieferich es
infinito, esta prueba se debe a Silverman.
Lema 2.1. Sea p un primo impar. Si existe un entero n tal que 2n ≡ 1
(mód p) pero 2n 6≡ 1 (mód p2 ) , entonces p es un primo de Wieferich.
Demostración. Sea d el orden de 2 módulo p (es decir, d es el menor
entero positivo tal que 2d ≡ 1 (mód p) ), entonces d|n. Dado que 2n 6≡ 1
(mód p2 ), se sigue que 2d 6≡ 1 (mód p2 ), entonces 2d = 1 + kp donde
mcd (k, p) = 1. Además, como 2p−1 ≡ 1 (mód p), d|p − 1 es decir, d = ep
para algún entero e 1 ≤ e ≤ p − 1. Tenemos entonces que mcd (ek, p) = 1
y
2p−1 = 2de = (2d )e = (1 + kp)e ,
22
CAPÍTULO 2. APLICACIONES DE LA CONJETURA ABC
como
e
(1 + kp) =
e X
e
t=0
e
e
(kp) ≡
+
kp
t
0
1
t
(mód p2 )
entonces,
2p−1 ≡ 1 + ekp (mód p2 )
6≡ 1
(mód p2 ),
por lo tanto, p es un primo de Wieferich.
Teorema 2.2. La conjetura abc implica que existen infinitos primos de Wieferich.
Demostración. Para cada entero positivo n escribimos
2n − 1 = un vn
donde vn es el número poderoso maximal que divide a 2n −1, un es entonces
libre de cuadrados, esto es
Y
n
vn =
pordp (2 −1)
p| 2n −1
ordp (2n −1)≥2
y
Y
un = =
p.
p| 2n −1
ordp (2n −1)=1
Como para cada primo p que divide a un se cumple
2n ≡ 1
(mód p)
2n 6≡ 1
(mód p2 ),
Se sigue, del 2.1 que p ∈ W , entonces un es un entero libre de cuadrados
divisible únicamente por primos de Wieferich.
Si W es finito, existe solo un número finito de enteros libres de cuadrados
cuyos únicos divisores son primos de Wieferich, por lo tanto, el conjunto
{un : n = 1, 2, . . . } es finito, y como {2n − 1 : n = 1, 2, . . . } es infinito
2.3. UNA FORMA EFECTIVA DE LA CONJETURA ABC
23
entonces {vn : n = 1, 2, . . . } es infinito y por lo tanto, no está acotado. Por
ser vn un número poderoso,
rad (vn ) ≤ vn1/2 .
Sea 0 < < 1. Aplicando la conjetura abc a la identidad
(2n−1 ) + 1 = 2n ,
como vn ≤ 2n − 1 entonces,
vn < 2n
= máx (2n − 1, 1, 2n )
1+
≤ k rad 2n (2n − 1)
≤ k rad (2un vn )1+
= k (2un )1+ rad (vn )1+
≤ k0 vn(1+)/2 .
Esta última desigualdad implica que los vn están acotados, lo cual es una
contradicción. Por lo tanto, W no puede ser finito.
2.3.
Una forma efectiva de la conjetura abc
T. Chocrane y R. E Dressler se preguntaron si la distancia entre dos
enteros positivos A, C (C − A < A < C) con los mismos factores primos
podrı́a ser pequeña. Apartir de una forma débil de la conjetura abc lograrn
demostrar que para todo > 0 la desigualdad C − A < A1/2 tiene solo un
número finito de soluciones (A, C).
Consideremos las triplas (a, b, c) de enteros positivos que satisfacen:
a+b=c
a<c
mcd (a, b, c) = 1 .
Para cada tripla (a, b, c) , sea
L = L(a, b, c) =
log c
.
log rad (abc)
24
CAPÍTULO 2. APLICACIONES DE LA CONJETURA ABC
Consideremos además, las parejas (A, C) de enteros positivos que satisfacen:
C −A<A<C
rad (A) = rad (C),
las llamaremos parejas admisibles.
Para cada pareja admisible (A, C) definimos
α = α(A, C) =
log(C − A)
,
log A
Aα = C − A .
Si p es un número primo, escribimos pr kn si pr |n pero pr+1 - n .
Lema 2.2. Si (A, C) es una pareja admisible, entonces para todo entero
positivo d la pareja (Ad, Cd) es también admisible, α(A, C) < α(Ad, Cd)
para todo d > 1 y lı́md→∞ α(Ad, Cd) = 1 .
Demostración. Veamos en primer lugar que si d ≥ 1 entonces (Ad, Cd) es
una pareja admisible.
Dado que C − A < A < C, por ser d un entero positivo tenemos
que (C − A)d < Ad < Cd y además rad (Ad) = rad (Cd) pues, si p es
un primo tal que p| rad (Ad) entonces p|d o p|A , y dado que rad (A) =
rad (C), cualquiera de los dos casos nos conduce a que p| rad (Cd); ası́ que
rad (Ad)| rad (Cd) , y similarmente, rad (Cd)| rad (Ad) . Por lo tanto, (Ad, Cd)
es una pareja admisible.
Ahora veamos que α(A, C) ≤ α(Ad, Cd) .
log(C − A)
, y
log A
log(Cd − Ad)
α (Ad, Cd) =
.
log Ad
α(A, C) =
Como C − A < A , entonces log(C − A) < log A . Ası́ que
log(C − A) log d < log A log d ,
log(C − A) log d + log A < log A log d + log(C − A) ,
log(C − A)
log d + log(C − A)
<
log A
log d + log A
log(C − A)d
=
,
log Ad
2.3. UNA FORMA EFECTIVA DE LA CONJETURA ABC
25
que era lo que se querı́a.
Faltarı́a ver que lı́md→∞ α(Ad, Cd) = 1 .
log d + log(C − A)
d→∞
log d + log A
lı́m α(Ad, Cd) = lı́m
d→∞
= lı́m
d→∞
1+
1
log(C−A)
log d
log A
+ log d
= 1.
Decimos que la pareja admisible (A, C) es una pareja reducida si para
cada primo p que divida a A , la pareja A/p, C/p es adimisible.
Lema 2.3. (i) La pareja admisible (A, C) es reducida si y sólo si, para
todo primo p que divida a A se tiene pkA y p2 |C ,o pkC y p2 |A .
(ii) Para cada pareja admisible (A, C) existe un único d tal que d| mcd (A, C) ,
y la pareja (Ad, Cd) es admisible y reducida.
Demostración. (i) (⇒) Sea (A, C) una pareja reducida y sea p un primo.
Si pkA y pkC entonces (A/p, C/p) es una pareja admisible y esto contradice el hecho de que (A, C) sea reducida, por lo tanto, para cada primo
p : pkA y p2 |C ,o pkC y p2 |A .
(⇐) Supongamos ahora que para cada primo p tal que p|A se tiene
pkA y p2 |C , o pkC y p2 |A .
Si existiera un primo p para el cual la pareja (A/p, C/p) es admisible
entonces, rad Ap = rad Cp .
• Si pkA y p2 |C , p rad Cp pero p - rad Ap .
• Si pkC y p2 - A , p rad Ap pero p - rad Cp .
Como lo anterior nos lleva a un contradicción, la pareja (A, C) debe ser
reducida.
(ii) Para cada p que divida a A , sea
(
mı́n ordp (A), ordp (C) − 1 si ordp (A) 6= ordp (C)
Sp =
ordp (A)
si ordp (A) = ordp (C) .
26
CAPÍTULO 2. APLICACIONES DE LA CONJETURA ABC
Tomemos d de tal manera que
ordp (d) = Sp ≤ mı́n ordp (A), ordp (C)
⇒ d| mcd (A, C).
Por construcción,
ordp (A) < ordp (C) ⇒ ordp (d) = ordp (A) − 1
entonces
A
ordp
=1
d
y
ordp
C
d
= ordp (C) − ordp (A) − 1
≥ 2.
Similarmente,
ordp (A) > ordp (C) ⇒ ordp
C
d
=1
y
A
ordp
≥ 2.
d
Si ordp (A) = ordp (C)
ordp (d) = ordp (A) = ordp (C)
y en este caso
A
C
ordp
= ordp
= 0.
d
d
Se sigue, que rad (A/d) = rad (C/d) .
Como (A, C) es una pareja admisible entonces, C − A < A < C , y
por lo tanto Cd − Ad < Ad < Cd (note que d 6= 0 pues A y C no son 0 ).
Ası́, (A/d, C/d) es también una pareja admisible, y aplicando la parte (i)
vemos que es reducida. Además, d por construcción, es única.
2.3. UNA FORMA EFECTIVA DE LA CONJETURA ABC
27
Para una pareja admisible (A, C) definimos la tripla (a, b, c) de la siguiente manera
C −A
a=
,
rad (A)
b=
A
rad(A) ,
c=
C
.
rad (a)
Y para una tripla (a, b, c) tal que


a + b = c
a<b


mcd (a, b, c) = 1
(2.3)
definimos la pareja (A, C) como sigue
A = b rad (bc) ,
C = c rad (bc) ,
entonces C − A = a rad (bc) .
Lema 2.4. (i) La tripla (a, b, c) definida por la pareja admisible (A, C)
satisface (2.3).
(ii) La pareja (A, C) definida por la tripla (a, b, c) es admisible y reducida.
(iii) Las fórmulas de (a, b, c) y (A, C) corresponden a las triplas que satisfacen (2.3) y las parejas admisibles reducidas respectivamente.
Demostración. (i) Sea (A, C) una pareja admisible reducida, y (a, b, c) la
tripla definida por ella. Entonces, dado que C − A < A < C , a , b y c
son enteros positivos y a < c . Además
C −A
A
+
rad (A) rad (A)
C
=
rad(A)
= c.
a+b=
28
CAPÍTULO 2. APLICACIONES DE LA CONJETURA ABC
Si p es un primo tal que p radA(A) , p radC(A) entonces, p2 |A y p2 |C .
Esto
que (A, C) es reducida (Lema 2.3.(i)) . Por lo tanto
contradice
mcd radA A , radC(A) = 1 , y con esto terminamos la prueba, ya que lo anterior
implica que mcd (a, b, c) = 1 .
(ii) Veamos que la pareja (A, C) definida por la tripla (a, b, c) es
admisible y reduciada.
C − A = a rad (bc)
< b rad (bc)
=A
< (a + b) rad (bc)
=C.
Además, rad (A) = rad b · rad (bc) = rad (bc) = rad c · rad (bc) = rad (C) .
Por lo tanto, (A, C) es una pareja admisible.
Ahora, usando el Lema (2.3.(i) ), veamos que (A, C) es reducida.
Si p es un primo tal que p2 |b rad (bc) , dado que mcd (a, b, c) = 1 entonces,
p|b y por lo tanto, p - c , y p2 - c rad (bc) es decir, pkC . Similarmente
ocurre cuando tomamos un primo p tal que p2 |c · rad (bc) . Ası́, para cada
primo p que divide a A , p2 |A y pkC , o p2 |C y pkA .
(iii) Sea (A, C) una pareja admisible y reducida, veamos que existe
una tripla (a, b, c) que la define.
A
C
C−A
Si tomamos a = rad
(A) , b = rad (A) y c = rad (A) ) , la pareja que define
la tripla (a, b, c) es precisamente la pareja (A, C) pues,
AC
AC
rad (rad A)2 = rad (AC) ya que para cada primo p , si p (rad
entonces
A)2
p|AC y, si suponemos que existe un primo q tal que, q| rad (AC) = rad (A)
AC
pero p - (rad
, dado que (A, C) es reducida entonces qkA y q 2 |C o,
A)2
q 2 |A y qkC ; en cualquiera de los dos casos, tendremos que q 3 |AC , y esto
AC
implica que q (rad
lo cual es una contradicción.
A)2
Por lo tanto
rad (bc) = rad
AC
(rad A)2
= rad (AC) = rad (A)
2.3. UNA FORMA EFECTIVA DE LA CONJETURA ABC
29
entonces,
b · rad (bc) =
A
· rad (A) = A
rad (A)
c · rad (bc) =
C
· rad (A) = C .
rad (A)
y
Finalmente, veamos que para cada tripla (a, b, c) existe una pareja admisible y reducida (A, C) que la define.
Sea A = b · rad (bc) y C = c · rad (bc) . La tripla definida por la pareja
b · rad (bc), c · rad (bc) es precisamente la tripla (a, b, c) pues,
C −A
(c − b) · rad (bc)
(c − b) · rad (bc)
=
=
= a,
rad (A)
rad (bc)
rad b · rad (bc)
A
b · rad (bc)
b · rad (bc)
=
=
=b
y
rad (A)
rad (bc)
rad b · rad (bc)
C
c · rad (bc)
c · rad (bc)
=
=
= c.
rad (A)
rad (bc)
rad b · rad (bc)
Podemos enunciar la conjetura abc de la siguiente manera,
Conjetura 10 . Para todo número real q > 1 existe solo un número finito de triplas (a, b, c) que satisfacen las condiciones (2.3) y L(a, b, c) > q .
Tal como mencionamos en el capı́tulo 1, ésta es la forma original en que
Oesterlé enunció la conjetura abc. En el capı́tulo siguiente veremos que
ésta conjetura implica la versión de la conjetura abc de Masser (Conjetura
(1)).
Conjetura 2. Sólo hay 11 triplas (a, b, c) que satisfacen L(a, b, c) > 1.5 .
Las 11 triplas a las que hace referencia la conjetura (2) se encuentran en
la Tabla ().
La conjetura (10 ) sólo garantiza que para 1.5 existe un número finito
de triplas (a, b, c) para las cuales L(a, b, c) > 1.5 pero no nos asegura que
ese número sea 11, por lo tanto, no implica la conjetura (2). Tampoco ésta
última implica la primera, pues podrı́a existir un número real q0 , 0 < q0 <
1.5 para el cual infinitas triplas (a, b, c) satisfagan 1.5 > L(a, b, c) > q0 .
Diremos entonces, simplemente, que la conjetura (2) es una versión débil de
la conjetura (10 ).
30
CAPÍTULO 2. APLICACIONES DE LA CONJETURA ABC
N0
a
b
c
L(a, b, c)
1.
2
310 · 109
235
1.629912
2
32
·
56
·
73
221
· 23
2.
11
3.
19 · 1307
7 · 292 · 318
28 · 322 · 54
1.623490
4.
283
511 · 132
28 · 38 · 173
1.580756
5.
1
2 · 37
54 · 7
1.567887
6.
73
310
7.
72 · 412 · 3113
1116 · 132 · 79
2 · 33 · 523 · 953
1.54434
8.
53
29 · 317 · 132
115 · 17 · 313 · 137
1.536714
9.
13 · 196
2030 · 5
313 · 112 · 31
1.526999
210
1.522160
10.
318
11.
· 23 · 2269
173
· 29 ·
211
318
58 · 173
239
·
1.625991
· 29
52
·
1.547075
1715
210 · 374
1.502839
Tabla 2.1: Triplas conocidas para las cuales L(a, b, c) > 1.5 .
Teorema 2.3. Para una pareja (A, C) admisible y reducida, sea (a, b, c)
la tripla que ella define.
Si α = α(A, C) < t < 1/2 entonces, L = L(a, b, c) >
1−t
t
> 1.
Demostración. Recordemos que
α(A, C) =
log(C − A)
log A
y L(a, b, c) =
log c
.
log rad (abc)
C−A
rad (A)
entonces, C − A = a · rad (A) = Aα . Y de acuerdo a la
AC
demostración del Lema (2.4.(iii)), rad (bc) = rad (rad A)2 = rad (AC) =
Como a =
rad (A) y, A = b · rad (bc) .
Tenemos que
α
a · rad (A) = b · rad (a) ,
2.3. UNA FORMA EFECTIVA DE LA CONJETURA ABC
31
lo cual implica
1−α
1−α
a1−α · rad(A)
≤ a · rad (A)
= bα .
Entonces
α
a · rad (A) ≤ b 1−α ,
y por lo tanto
c1 /L = rad (abc)
= rad (a) · rad (bc)
= rad (a) · rad (A)
≤ a · rad (A)
α
≤ b 1−α
α
< c 1−α .
Ası́, obtenemos
1
α
<
,
L
1−α
dado que 0 < α < 1 pues C y A son enteros positivos y C −A < A < C ,
la anterior desigualdad nos conduce finalmente a
1−α
1−t
2 1
>
=1+
− t > 1.
L>
α
t
t 2
Si ponemos t =
1
2
− obtenemos L > 1 + 2t .
Aplicando la conjetura abc tenemos que, para cada q = 1 + 2t existe
sólo un número finito de triplas (a, b, c) para las cuales L > l + 2t , ahora,
si recordamos la correspondencia entre las triplas (a, b, c) y las parejas
admisible y reducidas (A, C) (Lema 2.4.(iii)), nos conduce a que para cada
> 0 existe sólo un número finito de parejas admisibles y reducidas (A, C)
para las cuales α(A, B) < 21 − .
El número de pareja admisibles (A, C) (no necesariamente reducidas)
que satisfacen la desigualdad α(A, C) < 21 − tambien es finito pues, por
32
CAPÍTULO 2. APLICACIONES DE LA CONJETURA ABC
el Lema (2.2) , si (A, C) es una pareja admisible y d es entero positivo,
lı́md→∞ α(Ad, Cd) = 1 ; la sucesión
{(Ad, Cd)}∞
d=1
(∗)
es estrictamente creciente ya
que C − A < A implica que para cada d ,
log(C−A) log(d+1)−log(d) < log(A) log(d+1)−log(d) lo cual, haciendo
un cálculo simple nos conduce a
log(C − A)(d + 1)
log(C − A)d
<
.
log Ad
log A(d + 1)
Tenemos con esto, que sólo para un número finito de enteros d , α(Ad, Cd) <
1
2 − (ya que 1 es el único punto de acumulación de la sucesión (∗)), y como a cada pareja admisible (A, C) corresponde una única pareja reducida
(Lema 2.3.(ii)) según lo anterior, si la pareja admisible (A, C) satisface
α(A, C) < 21 − entonces necesariamente su pareja reducida debe satisfacer
la misma desigualdad, lo cual nos conduce directamente al resultado.
En resumen,para cada ( 0 < < 1/2 ) existe sólo un número finito de
1
parejas admisible (A, C) , C − A > A 2 − .
Este resultado se debe a T. Crochrane y R.E Dressler.
Colorario 1. Si existen exactamente 11 triplas que satisfacen L(a, b, c) >
1.5 entonces, salvo dos casos, para todas las parejas (A, C) admisible y
reducidas se cumple C − A > A0.4 .
Demostración. Sea t = 0.4 , según el Teorema (2.3) y el Lema (2.4.(iii)) las
parejas admisibles y reducidas que satisfacen α(A, C) < 0.4 son precisamente las que corresponden a las triplas (a, b, c) tales que L(a, b, c) > 1.5 .
La prueba se concluye haciendo los cálculo deacuerdo a la Tabla () .
Colorario 2. Si existe un apareja admisible (A0 , C 0 ) para la cual α(A0 , C 0 ) <
1
3 , se puede encontrar una tripla (a, b, c) que satisfaga las condiciones (2.3
y L(a, b, c) > 2 .
Demostración. Aplicando el Lema (2.3.(ii)) a la pareja (A0 , C 0 ) , sabemos
que existe un entero positivo d para el que la pareja (A0 /d, C 0 /d) = (A, C)
es admisible y reducida. Por otro lado, por el Lema (2.2), α(A, C) < 31 .
Finalmente, aplicando el Teorema (2.3) a la pareja (A, C) , sabemos que
para la tripla (a, b, c) que ella define se tiene que L(a, b, c) > 2 .
2.4. SOLUCIONES A LA ECUACIÓN DIOFÁNTICA αX R + βY S + γZ T = 0
2.4.
33
Soluciones a la ecuación diofántica αxr +βy s +
γz t = 0
Teorema 2.4. Asumiendo la conjetura abc. Fijamos 0 < < 1 y enteros
α, β, γ . Entonces la ecuación diofántica αxr + βy s + γz t = 0 tiene sólo
un número finito de soluciones en enteros x, y, z, r, s, t que satisfacen
xyz 6= 0 ,
mcd (x, y) = mcd (x, z) = mcd (y, z) = 1 ,
r, s, t > 0 ,
1 1 1
+ + <1−.
r s
t
Además, el número de tales soluciones puede ser efectivamente calculable si
la constante k de la conjetura abc es efectiva.
Demostración. Consideremos x, y, z, r, s, t una de las solucines descritas en
el teorema.
Sea A = αxr , B = βy s y C = γz t . Sin pérdida de generalidad,
podemos suponer mcd (x, y, z) = 1 y |A| < |B| < |C| .
La conjetura abc implica que existe una constante k para la cual
|γz t | = |C|
1+
< k rad (ABC)
≤ k |αβγxyz|1+ .
Dado que |A|, |B| < |C| ,
|αxr | < |γz t |
y
|βy s | < |γz t |
entonces,
1/r
γ |x| < |z|t/r
α
(∗)
34
CAPÍTULO 2. APLICACIONES DE LA CONJETURA ABC
y
1/s
γ |y| < |z|t/s .
β
Tenemos, por lo tanto
1+
1/r 1/s
γ
γ
|C| < k αβγ · · · |z|1+t/r+t/s α
β
1+
1+
= k |γ|1+1/r+1/s · |α|1−1/r · |β|1−1/s
|z|1+t/r+t/s
entonces,
|z| < k1/t |γ|(1+1/r+1/s)(1+)−1 · |α|(1−1/r)(1+) · |β|(1−1/s)(1+)
1+
· |z|1/t+1/r+1/s
1+
≤ k |γ|3(1+)−1 · |αβ|1+ · |z|1/t+1/r+1/s
lo que significa que
1+
|z| k z 1/t+1/s+1/r k 1− 1+
z
2
= k |z|1− .
Por lo tanto, z está acotado.
Como |A| < |B| ,
|αxr | < |βy s |
y por tanto
1/r
β |x| < · |y|s/t ,
α
por (∗)
|βy s | < k |αβγ|1+ .
1/t
2.4. SOLUCIONES A LA ECUACIÓN DIOFÁNTICA αX R + βY S + γZ T = 0
35
Entonces,
1/s
|y| < k1/s · α(1−1/r)(1+) β (1+1/r)+1 γ 1+ · |y|(1/s+1/r)(1+) · |z|(1+)/s
1/s
≤ k |α|1+ |β|2(1+)+1 |γ|1+
· |y|(1/s+1/r)(1+) · |z|(1+)/s .
Dado que z está acotado,
|y| k |y|(1/r+1/s)(1+)
y como
1 1
1
+ < (1 − ) −
s r
t
< 1 − ,
tenemos que
2
|y| k |y|1+ ,
lo cual implica que y está acotado.
Finalmente, como
αxr | < k |αβγxyz|1+
entonces,
|x| < k1/r |βγ|1+ · |α|
1/r
· |yz|(1+)/r |x|(1+)/r
≤ k |βγ|1+ · |x| · |yz|(1+)/r |x|(1+)/r .
Como y y z están acotados y además
1 1
1
< (1 + ) −
+
r
s
t
<1−
entonces,
|x| kepsilon |x|(1+)/r
2
k |x|1− .
(por ∗)
36
CAPÍTULO 2. APLICACIONES DE LA CONJETURA ABC
Por lo tanto, x también está acotado.
Tenemos por lo tanto que
máx |αxr |, |βy s |, |γz t | < k |αβγxyz|1+
1.
Lo cual indica que también r , s y t estaán acotados.
Ası́, el número de soluciones de la ecuación diofántica αxr +βy s +γz t = 0
que satisfacen las condiciones dadas el enunciado del teorema, es finito.
Capı́tulo 3
Conjeturas equivalentes a la
conjetura abc
En la Sección (2.3) afirmamos que la Conjetura 10 implica la Conjetura
(refconjetura abc), a continuación daremos la prueba.
Conjetura 10 (⇒) Conjetura 1.
Demostración. Sea q = 1 + . Según la Conjetura ( 10 ), para cada > 0
existe sólo un número finito de triplas (a, b, c) de enteros positivos que
satisfacen a + b = c y mcd (a, b, c) = 1 , para las cuales
log(a, b, c) =
log c
> 1 + ;
log rad (abc)
esta última desigualdad la podemos escribir como
1+
c > rad (abc)
.
Entonces lo que tenemos, en otras palabras, es que para cada > 0 , si
(a, b, c) es una tripla de enteros positivos que satisfacen a + b = c y
mcd (a, b, c) = 1 entonces,
1+
máx (a, b, c) = c < rad (abc)
excepto para un número finito de tales triplas. Es decir, para cada > 0
existe una constante k (= máx {L(a, b, c) : L(a, b, c) > 1 + }) tal que, para
cada tripla a, b, c , que satisface a + b = c y mcd (a, b, c) se tieme que
1+
máx (a, b, c) < k rad (abc)
.
37
38
CAPÍTULO 3. CONJETURAS EQUIVALENTES A LA CONJETURA ABC
3.1.
Conjetura abc en Congruencias
Entenderemos por una tripla (a, b, c) , una tripla de enteros que satisfacen a + b + c = 0 y mcd (a, b, c) = 1 .
Oesterlé en su “Nouvelleapproches du thèoréme de Fermat” abserva que
si la conjetura abc se cumple para toda tripla (a, b, c) para la cual 16|abc
entonces, la conjetura abc es cierta para toda tripla (a, b, c) .
Este resultado se puede extender mostrando que si para algún entero N
(≥ 2) la conjetura abc en congruencias es cierta para cada tripla (a, b, c)
tal que N |abc entonces la conjetura abc se sigue.
La demostración de este hecho se debe a Ellenberg.
Para nuestras propósitos, una abc-solución s es una tripla (a, b, c) de
enteros distintos, tal que a y b son enteros negativos.
Si n > 0 es un entero, para cada > 0 definimos la siguiente función
f (s, ) = log(c) − (1 + ) log rad (abc)
entonces la conjetura abc puede enunciarse de la siguiente manera:
Conjetura 3. Para cada > 0 , existe una constante C tal que para cada
s , f (s, ) < C .
Esta conjetura es evidentemente equivalente a la Conjetura (1), (la constante k serı́a una constante k0 que depende de C ).
Conjetura 4 (Conjetura abc en congruencia para N ). Sea N un
entero ( ≥ 2 ). Para cada > 0 existe una constante CN, para la cual,
f (s, ) < CN, para toda s tal que N |abc .
Este enuciado es más débil que el de la conjetura abc, ya que está restringido por una condición de congruencia ( abc ≡ 0 (mód N ) . Sin embargo,
probaremos que si la conjetura en congruencias es cierta para algún N ,
entonces la conjetura abc sin restricciones es tambien verdadera.
Teorema 3.1. Sea N ≥ 3 . Si la conjetura abc en conguencia es verdadera
para N , entonces la conjetura abc es verdadera.
Demostración. Para cada entero positivo par n definimos Θn sobre las
abc-soluciones como sigue,
n
Θn (s) = (−2−m (a − b)n , −2−m cn − (a − b) , 2−m cn )
39
3.1. CONJETURA ABC EN CONGRUENCIAS
donde
(
m = n, si c es par,
m = 0, en otro caso.
Veamos que Θn (s) es nuevamente una abc-solución.
Sea
A = −2−m (a − b)n ,
n
B = −2−m cn − (a − b)
y
−m n
C=2
c .
Entonces
A + B + C = −2−m (a − b)n + cn − (a − b)n − cn
= 0.
Si c es par,
a−b n
,
A=−
2
cn − (a − b)n
B=−
,
n
n 2
c
C=
;
2
por ser c un número par, a y b deben ser impares, puesto que mcd (a, b, c) =
1 ; por lo tanto, a − b es par, luego A, C ∈ Z y por consiguiente,
a−b también
c
B ∈ Z
caso mcd (A, B, C) = 1 pues, si d 2 y d 2 enton .a−bEn éste
a+b
ces d 2 + 2
es decir, d es divisor común para c y a , pero como
mcd (a, b, c) = 1 y a + b + c = 0 entonces d = 1 .
Ahora, si c es impar
A = −(a − b)n ,
B = (a − b)n − cn ,
C = cn ;
obviamente, A , B y C son enteros y mcd (A, B, C) = 1
40
CAPÍTULO 3. CONJETURAS EQUIVALENTES A LA CONJETURA ABC
Lema 3.1. Existen constantes cn, > 0 y c0n, tales que,
≥ cn, f (s, ) + c0n, .
f Θn (s),
n + (n + 1)
Demostración. Como Θn (s) es una abc-solución podemos aplicarle f , conservando la notación introducida anteriormente, tenemos que
−m n
f Θn (s),
= log(2 c )− 1+
·log rad (ABC) ,
n + (n + 1)
n + (n + 1)
B
log rad(ABC) ≤ log |a − b| rad (abc) rad
ab
y
B
(a + b)n − (a − b)n
=
ab
ab
(a + bn−1 + (a + b)n−2 (a − b) + · · · + (a − b)n−1
= 2b ·
ab
n−2
2a · (a + b)
+ (a + b)n−4 (a − b)2 + · · · + (a − b)n−2
=2·
a
(note que en este último paso hemos usado que n es un número par).
= 2 · 2 (a + b)n−2 + (a + b)n−4 (a − b)2 + · · · + (a − b)n−2
n
≤ 2 · 2 · (a + b)n−2
2
(pues como a y b tienen el mismo signo entonces, |a + b| ≥ |a − b| , y por
lo tanto (a + b)2 ≥ (a − b)2 .)
= 2n(a + b)n−2
= 2ncn−2 .
De acuerdo a esto tenemos que
log rad (ABC) ≤ |a + b| + log rad (abc) + log(2ncn−2 )
= log rad (abc) + (n + 2) log c + log 2n
≤ (n − 1) log c + log rad (abc) + log 2n
log c − f (s, )
= (n − 1) log c +
+ log 2n
1+
= (n + 1) log c + (1 + )−1 log c − (1 + )−1 f (s, ) + log 2n .
3.1. CONJETURA ABC EN CONGRUENCIAS
Como C =
cn
2m
41
entonces, log C = n log c − m log 2 y por lo tanto,
log rad (ABC) ≤ log C + m log 2 − log c + (1 + )−1 log c
− (1 + )−1 f (s, ) + log 2n
= 1 − (n(1 + ))−1 (log C + m log 2)
− (1 + )−1f (s, ) + log 2n .
Entonces,
log rad (ABC) + (1 + )−1 f (s, ) − log 2n
− m log 2 ≤ log C
1 − (n(1 + ))−1
y por lo tanto,
log rad (ABC) + (1 + )−1 f (s, ) − log 2n
f Θn (s),
≥
n + (n − 1)
1 − (n(1 + ))−1
− m log 2 − 1 +
· log rad (ABC) .
n + (n + 1)
Tomando
cn, =
(1 + )−1
−1
1 − n(1 + )
n
=
n(1 + ) − y
n(1 + )
· log 2n − m log 2
n + n + 1
obtenemos el resultado que se buscaba.
c0n, = −
Continuando con la demostración del teorema, si la conjetura abc en conguencia es verdadera para N , existe una constante CN, tal que f (s, ) <
CN, para cada s tal que N |abc .
Si aplicamos la función φ de Euler a N = pa11 pa22 · · · pal l , sea
n = φ(N )
1
1
1
=N 1+
1+
··· 1 +
.
p1
p2
pl
Obervemos que si N = 2 el teorema es trivial pues, dado que a+b+c =
0 al menos uno de los tres es par. Ası́ que en adelate, consederaremos
N > 2.
42
CAPÍTULO 3. CONJETURAS EQUIVALENTES A LA CONJETURA ABC
Lema 3.2. Si N > 2 y (A, B, C) = Θn (s) entonces N |ABC .
Demostración. Sea p un primo que divide a N tal que ordp N = v .
n
Entonces φ(pv )| = (p − 1)pv−1 |n y, v < n (ya que v ≤ log
log p < n ).
Supongamos inicialmente que p es impar.
Siguiendo con la notación establecida al comienzo de la demostración del
teorema.
Si p|c , dado que p es un primo impar entonces pn |C , similarmente si
p|(a − b) entonces pn |A .
Es decir, si p es divisor de alguno de los dos, de c o de a − b entonces,
pn |ABC
y como v < n entonces,
pv |ABC .
En el caso en que p - c y p - (a − b) tenemos (c, pv ) = (a − b, pv ) = 1 .
Aplicando el teorema de Euler,
v)
cφ(p
≡1
(mód pv )
v)
y
(a − b)φ(p
y
(a − b)n ≡ 1
≡1
(mód pv ) ,
como φ(pv )|n entonces,
cn ≡ 1
(mód pv )
(mód pv ) ,
por lo tanto
cn − (a − b)n ≡ 0
(mód pv )
y dado que p es impar, lo anterior implica que
pv |B
y como consecuencia
pv |ABC .
Ahora consideremos el caso p = 2 . Sea ord2 (N ) = r .
Si c es par, dado que a + b + c = 0 , entonces a + b y a − b son enteros
pares, exactamente uno de ellos múltiplo de 4 (pues si a + b = 2k y
a − b = 2k 0 ( k, k 0 ∈ Z ), 2a = 2(k + k 0 ) y como mcd (a, b, c) = 1 entonces
k y k 0 no pueden tener la misma paridad). Por lo tanto, exactamente
uno de los dos cn o (a − b)n es múltiplo de 4n , es decir, sólo uno de los
3.1. CONJETURA ABC EN CONGRUENCIAS
n
43
n
dos A = − (a−b)
o C = 2cn es múltiplo de 2n . Y como r < n , aquel
2n
que sea múltiplo de 2n también lo es de 2r , entonces 2r |ABC .
Si c es impar, también a+c y a−b son impares luego, cn y (a−b)n
son ambos congruentes a 1 módulo 2n , es decir
(a − b)n ≡ cn
(mód 2n ) ,
lo que significa que 2n |B y por lo tanto que 2r |B .
Esto último implica que
2r |ABC .
De acuerdo a todo lo anterior tenemos entonces, que todo divisor de N
divide al producto ABC , es decir, N |ABC .
Sea > 0 y s una abc-solución. Por la conjetura abc en congruencia
para N , existe una constante CN, tal que para cada n
f (Θn (s), ) < CN, .
De acuerdo al Lema (3.1), existen constantes c0n, y cn, para las cuales
f Θn (s), n+(n−1)
− c0n,
f (s, ) ≤
cn,
0
C0 − cn,
<
cn,
donde 0 =
n+(n−1)
,
dado que ninguna de las constantes C0 , c0n, , cn, que aparecen en la
desigualdad anterior depende de la abc-solución, podemos decir entonces
que:
Para cada > 0 existe una constante k tal que para cada abc-solución,
f (s, ) < k .
Y ésta es precisamente la conjetura abc.
El recı́proco del teorema anterior se cumple trivialmente.
Por lo tanto, la conjetura abc es equivalente a la conjetura abc en congruencia para
N ( n ≥ 2 ).
44
CAPÍTULO 3. CONJETURAS EQUIVALENTES A LA CONJETURA ABC
3.2.
Conjetura de Szpiro
Sea K un campo y F (x0 , x1 , x2 ) ∈ K[x0 , x1 , x2 ] un polinomio homogéneo de grado d . Se dice que la ecuación
F (x0 , x1 , x2 )
define una curva de grado d sobre K . Si L es un campo que contiene a
K uno puede considerar los ceros de F en P 2 (L) (el 2-espacio proyectivo) que son precisamente los puntos en la hipersuperficie H F (L) definida
por F en P 2 (L) , H F (L) = {[a] ∈ P n (K) : F (a) = 0} . Por lo tanto
una hipersuperficie en espacio 2-proyectivo es apropiadamente llamada una
curva.
Un punto a ∈ H F (L) es un punto no singular si no es solución simultánea a las ecuaciones
∂F
= 0,
∂x0
∂F
= 0,
∂x1
∂F
= 0.
∂x2
En este caso la recta
0=
∂F
∂F
∂F
(a)x0 +
(a)x1 +
(a)x2
∂xo
∂x1
∂x2
es llamada la recta tangente a F en a . Se dice que la curva F (x0 , x1 , x2 )
es no singular si para toda extención L de K todos los puntos en H F (L)
son no singulares.
Si F está definida sobre K , un cero de F en P 2 (K) se dice que es
un punto racional sobre K .
Diremos que un polinomio cúbico homogéneo no singular
F (x0 , x1 , x2 ) ∈ K[x0 , x1 , x2 ]
define una curva elı́ptica sobre K si este tiene un punto racional sobre K .
La razón por la cual se les dá éste nombre proviene del hecho que las
coordenadas de sus puntos pueden expresarse en términos de un parámetro
elı́ptico u valiendose de la funcón de Weierstrass.
Si F (x0 , x1 , x2 ) define una curva elı́ptica sobre K y L es un campo
de extensión de K notamos H F (L) como E(L) .
3.2. CONJETURA DE SZPIRO
45
Si la caracterı́stica del campo K no es 2 ni 3 se puede mostrar que
una curva elı́ptica sobre K puede ser transformada en una de la forma
Z
2
3
2
3
x0 x2 = x1 − Ax0 x1 − Bx0 , A, B K .
Esta curva tiene exactamente un punto en el infinito, a saber (0, 0, 1) . Si
x0 6= 0 sea x = x1 /x0 y y = x2 /x0 . Entonces, en coordenadas afines la
ecuación de la curva es
y 2 = x3 − Ax − B .
La no singularidad de
F (x0 , x1 , x2 ) = x0 x22 − x31 + Ax20 x1 + Bx30
es equivalente a que
∆ = 16(4A3 − 27B 2 ) 6= 0 .
Recı́procamente si ∆ 6= 0 entonces F define una curva elı́ptica.
Por medio de las llamadas tranformaciones birracionales que consisten
en cambios de variables del tipo
x = ϕ(z, u) ,
y = ψ(z, u) ;
z = Φ(x, y) ,
u = Ψ(x, y) ;
donde ϕ, ψ, Φ, Ψ son funciones racionales, se establece una correspondencia
biunı́voca entre los puntos de las curvas
f (x, y) = 0
y
f (z, u) = f ϕ(z, u), ψ(z, u) = 0 ,
salvo un número finito puntos.
Mediante una transformación birracional de una curva a otra puede cambiar el grado de la ecuación o su forma, pero hay algo que no varı́a, el número
positivo llamado el género g de la curva. Este hecho es un conocido teorema de Riemann.
En el caso de las curvas de tercer grado es posible caracterizar aquellas
que tienen géneros 0 y 1 .
Si la curva f (x, y) = 0 tiene un punto singular, la curva es de género
0 . En el caso contrario, la curva es de género 1 .
Siendo F (x0 , x1 , x2 ) un polinomio homogéneo de grado d , consideramos la ecuación correspondiente en coordenadas afines f (x, y) = F (1, x, y) .
46
CAPÍTULO 3. CONJETURAS EQUIVALENTES A LA CONJETURA ABC
Para encontrar los puntos de intersección de f (x, y) con la recta y = mx+b
simplemente sustituimos y y encontramos las soluciones de f (x, mx + b) =
0 . Dado que F tiene grado d esta última ecuación generalmente tiene
grado d , Si estamos en un campo algebráicamente cerrado L habrán d
raı́ces contando multiplicidades. Las únicas excepciones serán las intersecciones en el infinito, en cuyo caso f (x, mx + b) tendrá grado menor que
d . En el caso particular de las curvas elı́pticas, si P1 , P2 ∈ E(L) entonces la recta que une P1 y P2 intersecta la curva en un tercer punto P3
unı́vocamente determinado que también pertenece a E(L) . Si P1 = P2
entonces la recta tangente en P1 da lugar a un tercer punto P3 . Éste
procedimiento para encontrar puntos racionales sobre curvas elı́pticas debido a Bachet, sugiere la posibilidad de que todos los puntos racionales de la
cúbica f (x, y) = y 2 − x3 + Ax + B se obtienen de esta forma.
Supongamos ahora, K = Q . En 1922, intentando demostrar éste hecho anterior, L.J. Mordell demostró el siguiente teorema, conjeturado por
H. Poincaré en 1901.
Sea E una curva elı́ptica definida sobre Q .
grupo abeliano finitamente generado .
Entonces E(Q) es un
En otras palabras, Mordell demostró sobre curva elı́ptica E definida
sobre Q existen puntos P1 , . . . , Pr a partir de los cuales se obtienen todos
los puntos recionales de la curva mediante el trazado de rectas tangentes y
secantes.
En 1928 A. Weil estendió éste resultado al caso en que Q es reemplazado
por un campo arbitrario de números algebráicos. El teorema que se obtiene
es llamado el teorema de Mordell-Weil.
El menor valor posible de r se llama el rango de la curva.
Una curva elı́ptica E sobre un campo K tiene ecuación de Weierstrass
generalizada (o modelo) de la forma
E : y 2 + a1 xy + a3 y = x3 + a2 x2 + a4 x + a6
(3.1)
donde ai ∈ K para i = 1, 2, 3, 4, 6 .
Sea E una curva elı́ptica sobre Q con ecuación de Weierstrass (3.1) .
Decimos que E es minimal a un primo p si:
La Conjetura abc
Nelly Yazmı́n Villamizar Villamizar
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Departamento de Matemáticas
2005
Índice General
Prólogo
v
1. De las Ecuaciones Diofánticas a la Conjetura abc
1.1. El Último Teorema de Fermat . . . . . . . . . . . .
1.2. El Teorema de Mason . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Demostración de Silverman del teorema de Mason
1.4. Análogo del teorema de Mason en Z . . . . . . . .
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1
1
5
9
11
2. Aplicaciones de la conjetura abc
2.1. Conjetura de Catalán . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Primos de Wieferich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Conjetura original de Hall . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Una forma efectiva de la conjetura abc . . . . . . . . . .
2.5. Soluciones a la ecuación diofántica αxr + βy s + γz t = 0
2.6. Teorema de Roth y Conjetura de Mordell . . . . . . . .
2.6.1. Teorema de Roth . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2. Conjetura de Mordell . . . . . . . . . . . . . . .
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17
17
18
21
23
30
33
41
45
3. Conjeturas equivalentes a la conjetura abc
3.1. Formulación de Oesterlé de la conjetura abc . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Conjetura abc en Congruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Conjetura de Szpiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
47
49
54
4. Evidencia de la Conjetura abc
4.1. La Evidencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Buenas triplas asociadas con la conjetura abc . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
61
68
i
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.
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.
Índice de Tablas
1.
Ejemplos de triplas (a, b, c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.
Triplas conocidas para las cuales L(a, b, c) > 1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3.
3.
3.
3.
3.
4.
5.
Buenas triplas conocidas . . . . . . . . . . . . . . . .
Buenas triplas conocidas . . . . . . . . . . . . . . . .
Buenas triplas conocidas . . . . . . . . . . . . . . . .
Buenas triplas conocidas . . . . . . . . . . . . . . . .
Buenas triplas conocidas . . . . . . . . . . . . . . . .
Descubridores de las buenas triplas . . . . . . . . . .
Resultados (Buenas Triplas para 1 ≤ a, b ≤ 100000 )
68
69
70
71
72
72
73
iii
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Prólogo
En teorı́a de números es frecuente encontrar problemas que se pueden formular en términos
comprensibles, y que son relativamente fáciles de entender. Sin embargo, muchas de estas
preguntas son sorpresivamente difı́ciles, o imposibles de responder.
El último teorema de Fermat, por ejemplo, involucra una ecuación de la forma xn + y n =
n
z . Hace más de 300 años, Pierre de Fermat (1601–1665), conjeturó que la ecuación no tiene
solución si x , y y z son enteros positivos y n es cualquier entero más grande que 2 .
Andrew Wiles de la Universidad de Princenton finalmente probó la conjetura en 19941 .
Con el objeto de probar el teorema, Wiles tuvo que intentar extender varias ideas del
núcleo de las matemáticas modernas. Él no probó el último teorema de Fermat directamente,
en su lugar, atacó una vieja y famosa conjetura sobre curvas elı́pticas, que provee enlaces
entre las ramas conocidas de las matemáticas como geometrı́a algebraica y análisis complejo,
llamada la “conjetura Taniyama”2 , y probó lo suficiente para poder deducir Fermat.
La fecha de la conjetura remonta a 1955 , cuando fué publicada en japonés como un
problema de investigación por el difunto Yutaka Taniyama. Goro Shimura de Princenton, y
Andre Weil del Instituto de Estudios Avanzados, proporcionaron conocimientos claves en la
formulación de la conjetura, los cuales proponı́an un tipo especial de equivalencia entre los
objetos matemáticos llamados curvas elı́pticas y las matemáticas de ciertos movimientos en
el espacio.
La ecuación del último teorema de Fermat es un ejemplo de una ecuación diofántica,
una expresión algebraica en varias variables cuyas soluciones se requiere que sean números
racionales (números enteros, o fracciones, que en el fondo son equivalentes a nḿeros enteros).
Resulta interesante que la prueba de Wiles del último teorema de Fermat haya sido
producto de su profunda incursión en la prueba de la conjetura Taniyama. El esfuerzo de
Wiles podrı́a ayudar a conducir a una teorı́a general de ecuaciones diofánticas en 3 variables.
Históricamente, los matemáticos han enunciado y resuelto problemas sobre la base caso–por–
caso. Una teorı́a que abarque todo representarı́a un gran avance.
El elemento clave para construir tal teorı́a parece ser un problema llamado la conjetura
abc, que fué formulado a mediados de los 1980’s por Joseph Oesterlé de la Universidad de
Parı́s VI y David W. Masser del Instituto de Matemáticas de de la Universidad de Baseld en
Swizerland. La conjetura abc ofrece un nuevo camino para expresar problemas diofánticos,
de hecho, translada un número finito de ecuaciones diofánticas (incluyendo la ecuación del
último teorema de Fermat) a una única sentencia matemática.
La conjetura abc es uno de esos problemas que puede enunciarse de manera relativamente
1
Wiles, Andrew. Modular elliptic curves and Fermats Last Theorem. Ann. of Math. 141 (1995)., 443–551.
El primer enunciado de esta conjetura fué hecho por Taniyama, posteriormente, se hizo más preciso con
Shimura, quien probó que habı́an infinitos ejemplos en los que la conjetura era verdadera. Discutiblemente,
la conjetura sólo se dió a conocer ampliamente con los trabajos e influencia de Weil, por esta razón, ha sido
acreditada confusamente a varios subconjuntos de estos tres nombres.
2
v
vi
Prólogo
simple, en términos comprensibles. Incorpora el concepto de entero libre de cuadrados: un
entero es libre de cuadrados cuando no es divisible por el cuadrado de ningún número. Por
ejemplo, 15 y 17 son libres de cuadrados pero 16 y 18 no lo son.
La parte libre de cuadrados de un entero n es definida como el número más grande libre
de cuadrados que puede formarse multiplicando los factores primos de n . Tal número es
denotado por rad (n) . Ası́, para n = 15 , los factores primos son 3 y 5 y 3 · 5 = 15 es un
número libre de cuadrados, y por lo tanto, rad (15) = 15 . Por otro lado, para n = 16 , los
factores primos son todos 2 , lo cual significa que rad (16) = 2 . Similarmente, rad (17) = 17
y rad (18) = 6 .
En general, si n es libre de cuadrados, la parte libre de cuadrados de n es justamente
n . De otra manera, rad (n) representa lo que queda después de que todos los factores que
crean un cuadrado han sido eliminados, es decir, rad (n) es el producto de los distintos
primos que dividen a n .
Con estos preliminares, el matemático Dorian Goldfield de la Universidad de Columbia,
describió la conjetura abc en los siguientes términos: El problema trata con parejas de números que no tienen factores en común. Suponga que a y b son dos de tales números y que c
es su suma. Por ejemplo, si a = 3 y b = 7 , entonces, c = 3 + 7 = 10 . Ahora, considerela
parte libre de cuadrados del producto abc : rad (3 · 5 · 10) = 210 .
Para la mayorı́a de las elecciones de a y b , rad (abc) es más grande que c , como en el
ejemplo anterior. Es decir, para la mayorı́a de los casos, rad (abc)/c es más grande que 1 .
De vez en cuando, sin embargo, esto no es verdad. Por ejemplo, si a = 1 y b = 8 ,
entonces c = 1 + 8 = 9 , rad (abc) = rad (1 · 8 · 9) = 6 y rad (abc)/c = 6/9 = 2/3 .
Similarmente, si a = 3 , b = 125 , la proporsión es 15/64 , y si a = 1 y b = 512 la
proporsión es 2/9 .
Masser probó que rad (abc)/c puede ser arbitrariamente pequeño. En otras palabras,
él probó que si tomamos un número cualquiera más grande que 0 , no importa que tan
pequeño, podemos encontrar enteros a y b para los cuales rad (abc)/c sea más pequeño que
ese número.
n
En contraste, la conjetura abc afirma que rad (abc) /c alcanza un valor mı́nimo siendo
n cualquier entero mayor que 1 .
Sorprendentemente, una demostración de la conjetura abc proveerı́a un camino para establecer el último teorema de Fermat en menos de una página de razonamiento matemático.
Realmente, muchas conjeturas y teoremas famosos en teorı́a de números se seguirı́an inmediatamente de la conjetura abc, algunas veces, en pocas lı́neas.
“La conjetura abc es sorprendentemente simple comparada con las pregutas profundas en
teorı́a de números que puede resolver”, dice Andrew J. Granville de la Universidad de Georgia
en Atenas3 . “Esta extraña conjetura resulta equivalente a todos lo problemas principales en
teorı́a de números, y éste es el centro de todo lo que a ella se refiere”, él añade.
“La conjetura abc es el más importante problema no resuelto en análisis diofántico”, escribe Goldfield en Math Horizons4 . “A parte de ser muy útil, es para los matemáticos también
una cuetión de belleza. Ver muchos problemas diofánticos inesperadamente encapsulados en
una única ecuación, y cómo todas las subdisciplinas de las matemáticas son aspectos de una
única unidad fundamental que en el fondo es expresable en lenguaje simple, es emocionante”.
3
Granville, Andrew and Tucker, Tomas J. It’s As Easy As abc. Notices of the AMS. Volume 49, Number
10. November 2002., 1224-1231.
4
Goldfeld, Dorian. Beyond the last theorem. Math Horizons. September, 1996., 26-34.
Goldfeld, Dorian. Beyond the last theorem. The Sciences. March/April, 1996., 34-40
Prólogo
vii
Sin sorpresa, los matemáticos están trabajando duro en busca de un camino para conquistar la fascinante conjetura abc.
Resolviendo la conjetura abc podrı́amos tener un extraordinario impacto sobre la comprensión de la teorı́a de números. Probarla o refutarla resultarı́a asombroso. Lo menos deseable de este asunto podrı́a ser descubrir que la conjetura abc es indescidible, pues ¡ası́ lo serı́an
las conjeturas equivalentes a ella y muchas de las preguntas importantes en esta materia!.
Si los enteros a , b , c son reemplazados por por polinomios en una variable con coeficientes en un campo de caracterı́stica cero, una sentencia análoga a la conjetura abc es verdadera,
esta sentencia es conocida como el teorema de Mason. Tiene sentido entonces, contemplar
por qué se puede probar el teorema pero no la conjetura, ¿qué es lo que hay de especial en
los polinomios?.
El presente trabajo lo hemos dividido en cuatro capı́tulos de la siguiente manera.
El Capı́tulo 1, “De las ecuaciones diofánticas a la conjetura abc”, es una breve exposición
del interés original de la conjetura abc, presentamos la conjetura abc en su forma más conocida
y la demostración de su análogo en polinomios.
El Capı́tulo 2, “Aplicaciones de la conjetura abc”, contiene algunas de las más importantes
consecuencias que se obtinen al asumir que la conjetura abc es verdadera, al comienzo de cada
una de las aplicaciones hemos incluido las nociones necesarias para reconstruir cada una de
las demostraciones. Otras aplicaciones de conjetura abc, no menos importantes se encuentran
el los artı́culos citados en la bibliografı́a.
En el Capı́tulo 3, “Conjeturas equivalentes a la conjetura abc”, presentamos el enunciado
que originalmente Joseph Oesterlé hizo de la conjetura abc motivado por las consideraciones
de la conjetura de Szpiro en curvas elı́pticas, y su respectiva equivalencia con la conjetura
enuciada por David W. Masser. También incluimos la equivalencia entre la conjetura abc y
la conjetura abc en congruencias, que en principio parece ser más débil, la equivalencia.
Finalmente, en el Capı́tulo 4,“Evidencia de la conjetura abc”, exponemos los resultados a
los que llegaron C. L. Stewart y Tijdeman en 1986, que fueron mejorados posteriormente por
C. L. Stewart y Kunrui Yu en 1991, y en el 2001. Ellos obtuvieron una cota superior para c
(siguiendo la notación del comienzo), en función del radical rad (abc) , basados en estimaciones de Kunrui Yu para formas lineales p –ádicas en logarı́tmos de números algebraicos.
Definimos además lo que se conoce como buenas triplas, y listamos las que se conocı́an hasta
enero del año 2002.
El propósito de este trabajo no es presentar todo lo que tiene que ver con la conjetura
abc, pues de hecho, un trabajo con tales aspiraciones resultarı́a bastante extenso. Lo que
quisimos, fué dar una idea lo más clara posible de lo poderosa, y a la vez sencilla, que resulta
ser conjetura abc.
Capı́tulo 1
De las Ecuaciones Diofánticas a la
Conjetura abc
1.1.
El Último Teorema de Fermat
Muchos problemas en teorı́a de números tienen la forma: si f es un polinomio con coeficientes enteros, la ecuación f = 0 tiene soluciones enteras? . Tales preguntas fueron consideradas por el matemático griego Diofanto y son llamados problemas diofánticos en su honor.
Por una ecuación diofántica se entenderá una ecuación polinomia
f (x1 , x2 , x3 , . . . , xn ) = b
(1.1)
con coeficientes racionales o enteros. Si esta ecuación tiene una solución en los enteros
x1 , x2 , x3 , . . . , xn entonces diremos que (x1 , x2 , x3 , . . . , xn ) es una solución entera. Si (1.1)
es homogénea entonces una solución distinta de (0, . . . , 0) es llamada no trivial. Una solución a (1.1) con racionales x1 , x2 , x3 , . . . , xn es llamada una solución racional. Es claro
que en el caso de una ecuación homogénea el problema de encontrar las soluciones enteras es
equivalente al de encontrar las soluciones racionales.
Un ecuación diofántica muy conocida es la ecuación pitagórica
x2 + y 2 = z 2 .
(1.2)
Las soluciones enteras de esta ecuación son conocidas como triplas pitagóricas. Se le llama ası́ pues Pitágoras creı́a tener demostrado que las longitudes a, b, c de los lados de un
triángulo rectángulo satisfacen la relación
a2 + b2 = c2 ;
es ası́ como la existencia de soluciones de la ecuación diofántica (1.2) justifica principalmente
la existencia de tales triángulos con lados medibles mediante números enteros. Para determinar todas las soluciones no triviales de (1.2) es suficiente determinar las soluciones primitivas,
es dicir, las soluciones en las que x, y, z son positivos y 1 = mcd(x, y, z) 1 .
1
mcd(x, y, z) denota el máximo común divisor de los enteros x, y, z.
1
2
CAPÍTULO 1. DE LAS ECUACIONES DIOFÁNTICAS A LA CONJETURA ABC
Siendo (x, y, z) una solución primitiva de (1.2), entonces mcd (x, y) = mcd (x, z) =
mcd (y, z) y además x y y no son ambos impares, pues si x = 2k + 1 y y = 2k 0 + 1 con
k y k 0 enteros, entonces
x2 + y 2 = (2k + 1)2 + (2k 0 + 1)2
= 4(k 2 + k 02 + k + k 0 ) + 2
= 2(2k 00 + 1)
( k 00 ∈ Z )
= z2
lo cual contradice que z es un entero. Podemos entonces asumir sin pérdida de generalidad
que x es par, y que y y z son impares. El siguiente resultado se puede remontar hasta
la época de Diofanto aunque es posible que, al menos en parte, se haya conocido un poco antes.
Sean a, b enteros primos relativos entre sı́, no ambos impares, a > b ≥ 1 , y sea

2
2

x = a − b
y = 2ab


z = a2 − b2 .
(1.3)
Entonces (x, y, z) es una solución primitiva de la ecuación pitagórica, y toda solución de
(1.2) puede obtenerse de una única pareja (a, b) del tipo indicado por las relaciones (1.3).
En particular de acuerdo con este resultado, la ecuación (1.2) tiene infinitas soluciones.
El lector puede encontrar más información sobre la ecuación pitagórica e incluso la prueba
del hecho que aquı́ hemos mencionado en [30, pág. 31–53].
Si consideramos ahora la ecuación diofántica que generaliza la ecuación pitagórica,
xn + y n = z n
(n > 2) ,
(1.4)
el problema de encontrar sus soluciones es un poco más desafiante, pues la situación, con
respecto a la ecuación pitagórica, es ya muy diferente para cubos, bicuadrados, y de ahı́ en
adelante.
Esta ecuación se conoce como la ecuación de Fermat. Se conoce con este nombre, pues en
el margen de su copia de la edición de Bachet de los trabajos completos de Diofanto, Fermat
escribió:
Es imposible separar un cubo en dos cubos, o un bicuadrado en dos
bicuadrados, o en general, cualquier potencia más grande que la segunda en potencias de igual grado; he descubierto una prueba realmente
extraordinaria que este margen es demasiado pequeño para contenerla
La copia original se extravió, pero la nota apareció en la edición de 1670 de los trabajos
de Fermat editada en Toulouse por (su hijo) Samuel de Fermat. En su History of the Theory
of Numbers, volumen II, Dickson, afirma que Fermat la escribió por el año 1637. Tannery
(1883) mencionó una carta que Fermat habı́a escrito a Mersenne en la cual él deseaba encontrar dos cubos cuya suma fuera un cubo, y dos bicuadrados cuya suma fuera un bicuadrado,
esta carta aparece con la fecha de Junio de 1638, en el volumen 7 de Correspondance du Père
Marin Mersenne(1962); el mismo problema fué propuesto a Frénicle de Bessy (1640) en una
1.1. EL ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT
3
carta a Mersenne, y a Wallis y Brouncker en una carta a Digby, escrita en 1657, pero no hay
mención alguna de la extraordinaria prueba que él supuestamente Fermat habı́a encontrado.
Para más información véase [4] y [29, Lectura 1].
En el lenguaje moderno, la afirmación dirı́a:
La ecuación xn + y n = z n no tiene solución con x , y y z enteros positivos y n un
número natural mayor que 2.
Ninguna prueba de esta afirmación fué encontrada nunca entre los papeles de Fermat, tan
solo conocemos una prueba que escribió para el caso particular en que n = 4 que de hecho,
es una de las dos pruebas hechas por Fermat en teorı́a de números que aún se preservan. La
prueba de Fermat es muy ingeniosa, la realizó por el método que él mismo denominó descenso
infinito, mediante el cual también se pueden resolver otras ecuaciones diofánticas importantes; para el lector que esté interesado, en [19, pág. 14–15] y [29, pág. 37–38] se ilustra la
manera de emplear este método.
Con pocas excepciones, todas las otras afirmaciones que hizo Fermat habı́an sido probadas
en la mitad del siglo XIX, razón por la cual usualmente a este problema se le conoce como
último teorema de Fermat, a pesar que aún no se conocı́a ninguna demostración. El problema
de Fermat fué capturando el interés de los matemáticos y muchas de las mejores mentes se
ocuparon de él. Euler consideró el caso de los cubos, y la primera prueba esencialmente
fué hecha por él; Gauus dió otra prueba, para el mismo caso, empleando números complejos.
Ambas pruebas pueden ser vistas en [29, pág. 39–45].
Alrededor del año 1820 distinguidos matemáticos franceses y alemanes intentaron intensamente probar el último teorema de Fermat, pero por más de tres siglos y medio, desde el
momento en que Fermat escribió esa inocente afirmación, nadie lo logró. Sin embargo, se
obtuvieron varias demostraciones de casos particulares, y en lugar de que el ánimo de los
matemáticos desvaneciera, las demostraciones de estos casos particulares hacı́an fortalecer la
idea de que Fermat tenı́a razón y en realidad el caso general era de un teorema. Entre los
casos particulares que se demostraron, podemos mencionar el caso n = 5 que fué demostrado
independientemente por G. Lejeune Dirichlet y Legendre; el caso n = 14 establecido también
por Dirichlet, en 1832; el caso n = 7 probado por Lamé, en 1839, prueba que fué simplificada
poco tiempo después por Lebesgue; y el caso en que n = p es un primo impar tal que 2p + 1
es también un número primo, demostrado por Sophie Germain, una matemática francesa.
Además, grandes avances en teorı́a moderna de números surgieron de intentos fallidos por
demostrar el último teorema de Fermat, tal como es el caso de la teorı́a que se desarrollo a
partir del trabajo de Kummer. Para más información el lector puede dirigirse a [29].
Este capı́tulo de la historia de las matemáticas llegó a su cierre en 1994 con el trabajo de
Andrew Wiles.
Con todo lo anterior, aún hoy dı́a, resultarı́a muy extraño que en el salón de clase usando sólo conocimientos elementales se pudiera ayudar en una investigación, incluso se podrı́a
considerar como improbable poder hacer una demostración del último teorema de Fermat
usando sólo algunas herramientas del cálculo y del álgebra lineal.
Supongamos que existen soluciones para (1.4), sin pérdida de generalidad podemos supo-
4
CAPÍTULO 1. DE LAS ECUACIONES DIOFÁNTICAS A LA CONJETURA ABC
ner que x, y, z no tienen divisores en común. Al derivar la ecuación xn +y n = z n obtenemos:
nx0 xn−1 + ny 0 y n−1 = nz 0 z n−1 ,
dividiendo por el factor común n
x0 xn−1 + y 0 y n−1 = z 0 z n−1 ;
(1.5)
si tomamos xn−1 , y n−1 y z n−1 como variables, tenemos dos ecuaciones lineales (1.4) y
(1.5) y podrı́amos pensar entonces en usar álgebra lineal para eliminar una de las variables.
Multiplicando (1.4) por y 0 y (1.5) por y
y 0 xn + y 0 y n = y 0 z n
yx0 xn−1 + y 0 y n = yz 0 z n−1
y restando una de otra obtenemos
y 0 xn − yx0 xn−1 = y 0 z n − yz 0 z n−1
xn−1 (y 0 x − x0 y) = z n−1 (y 0 z − z 0 y) .
De acuerdo con la última igualdad, xn−1 divide al producto z n−1 (y 0 z − z 0 y) ; pero como
mcd (x, z) = 1 entonces
xn−1 divide a y 0 z − z 0 y.
Esto resulta un poco sorprendente pues si y 0 z − z 0 y 6= 0 , una potencia grande de x divide
a y 0 z − z 0 y , lo cual es algo que no parece consistente con la igualdad xn + y n = z n .
Conviene hacer la observación de que nosotros, evidentemente, no hemos estado trabajando con enteros x, y, z sino más bien, con polinomios, pues comenzamos derivando. Habiendo
hecho esta observación, continuemos.
0
Si y 0 z − z 0 y = 0 entonces yz = 0 es decir, y es igual z por una constante, lo que
contradice que y y z no tienen factores en común. Por lo tanto, y 0 z − z 0 y 6= 0 y como
xn−1 divide a y 0 z − z 0 y entonces
grad (xn−1 ) 5 grad (y 0 z − z 0 y) .
Por otro lado, grad (y 0 ) = grad (y) − 1 , grad (z 0 ) = grad (z) − 1 y grad (xn−1 ) = (n − 1) ·
grad (x) ; tenemos entonces que
grad (xn−1 ) 5 grad (y 0 z − z 0 y)
= máx grad (y 0 z), grad (z 0 y)
= grad (y) + grad (z) − 1 .
(1.6)
Adicionando grad (x) en ambos lados de (1.6) obtenemos
n grad (x) 5 grad (x) + grad (y) + grad (z) − 1
< grad (x) + grad (y) + grad (z) .
(1.7)
1.2. EL TEOREMA DE MASON
5
De forma similar a como obtuvimos (1.7) podemos llegar a las siguientes desigualdades valiéndonos de las simetrı́as entre x, y y z
n grad (y) < grad (x) + grad (y) + grad (z)
n grad (z) < grad (x) + grad (y) + grad (z) ;
sumando las tres, obtenemos
n grad x + grad (y) + grad (z) < 3 grad x + grad (y) + grad (z)
y finalmente, dividiendo por el factor común grad x + grad (y) + grad (z) llegamos a que
n < 3,
lo cual es evidentemente una contradicción, pues en la ecuación de Fermat el entero n es ≥ 3 .
Y ası́ quedarı́a probado el último teorema de Fermat para el anillo C[t] . Más precisamente, tenemos
Proposición 1.1 (Último teorema de Fermat en polinomios). No existen polinomios
no triviales,
primos
relativos
n
n
n entre sı́ y no todos constantes x(t), y(t), z(t) ∈ C[t] tales que
x(t) + y(t) = z(t)
siendo n un entero ≥ 3 .
Que el teorema de Fermat es fácil de probar para polinomios, no es un resultado reciente.
La prueba que hemos presentado data del siglo XIX y es debida a Korkine [22]. Una prueba
un poco más complicada fué hecha por Liouville (1851) utilizando intregración.
Cuando n = 2 sucede algo similar al caso de los enteros, sı́ existen soluciones polinomiales a la ecuación x2 + y 2 = z 2 ; por ejemplo, (1 − t2 )2 + (2t)2 = (1 + t2 )2 .
Ya que el argumento que usamos parece ser fácilmente aplicable a otros problemas diofánticos, podrı́amos pensar en generalizarlo, aunque en un principio no sea tan obvio lo que será el
resultado final.
¿Cuál podrı́a ser, posiblemente, una afirmación más general y más simple que el teorema
de Fermat?
1.2.
El Teorema de Mason
Richard C. Mason (1983) propuso buscar las soluciones a la ecuación
a+b=c,
donde a, b, c ∈ C[t] .
Siguiendo la prueba de (1.1), comencemos por asumir, sin pérdida de generalidad, que
a, b, c son polinomios sin factores comunes, no todos nulos y tales que a + b = c . Derivando
obtemos
a0 + b0 = c0 .
6
CAPÍTULO 1. DE LAS ECUACIONES DIOFÁNTICAS A LA CONJETURA ABC
y a continuación empleamos álgebra lineal, a pesar de que la analogı́a no es muy obvia.
Ponemos nuestros coeficientes en una matriz:
a(t) b(t)
,
(1.8)
a0 (t) b0 (t)
sabemos que existen soluciones cuando el determinante
a(t) b(t) ∆ = 0
a (t) b0 (t)
no es cero; pero esto se tiene, pues si que ∆ = 0 entonces
b(t) 0
0
0
a(t) · b (t) − b(t) · a (t) = 0 ⇒
= 0 ⇒ b(t), a(t) 6= 1.
a(t)
Haciendo operaciones elementales entre las columnas de la matriz (1.8), obtenemos, adicionando la primera a la segunda columna
a(t) c(t) ,
∆= 0
a (t) c0 (t)
y adicionando la segunda a la primera columna
c(t) b(t) .
∆ = 0
c (t) b0 (t)
Para encontrar una analogı́a apropiada a lo hecho en la demostración del último teorema de
Fermat en polinomios cuando se dijo que xn−1 dividı́a la diferencia zy 0 − yz 0 podemos decir
en este caso, que una potencia considerablemente alta de a divide a ∆(t) .
Sea ahora α una raı́z de a(t) y (t − α)e la potencia más alta de (t − α) , que divide a
a(t) , evidentemente (t − α)e−1 es la mayor potencia de (t − α) que divide a a0 (t) y por
lo tanto también a ∆ ya que α no es raı́z de b(t) ; por lo tanto,
(t − α)e | (t − α)∆(t)
y, como la anterior desigualdad puede ser obtenida para cada raı́z α de a(t) entonces
Y
a(t)∆(t)
(t − α) ;
a(α)=0
lo mismo podemos hacer con la raı́ces de b(t) y c(t) , y dado que a(t) , b(t) y c(t) no
tienen raı́ces en común, entonces
Y
a(t)b(t)c(t)∆(t)
(t − α) ;
abc(α)=0
por lo tanto,
grad (a) + grad (b) + grad (c) ≤ grad (∆(t)) + #raı́ces distintas de abc(t) .
1.2. EL TEOREMA DE MASON
7
Ahora bien,
∆(t) = a(t)b0 (t) − b(t)a0 (t) = a(t)c0 (t) − c(t)a0 (t) = c(t)b0 (t) − b(t)c0 (t)
de modo que,
grad (∆(t)) ≤ grad (a) + grad (b) − 1
≤ grad (a) + grad (c) − 1
≤ grad (c) + grad (b) − 1 .
Juntando las desigualdades tenemos que
máx (grad (a), grad (b), grad (c)) ≤ #raı́ces distintas de abc(t) − 1 .
Este resultado puede enunciarse de la siguiente manera,
Proposición 1.2 (Teorema de Mason). Si a, b, c ∈ C[t] son polinomios no nulos, primos
relativos entre sı́, no todos constantes y tales que
a + b = c,
entonces
máx (grad (a), grad (b), grad (c)) ≤ N0 (abc) − 1 = grad (rad (abc)) − 1,
donde N0 (abc) denota el número de raı́ces distintas del polinomio abc , y rad (abc) es el
radical de abc .
Recordemos que el radical de un número entero m , denotado rad (m) , es el producto
de los números primos distintos que dividen a m , es decir
Y
rad(m) =
p;
p|m
Por ejemplo,
Q rad (19) = 19 , rad (72) = 6 y rad (−1) = 1 . El radical de un polinomio
f (t) = cn ri=1 (t − αi )mi ∈ C[t] de grado n se define análogamente como
rad(f ) =
r
Y
(t − αi ).
i=1
La desigualdad del teorema de Mason es la“mejor posible”, en el sentido que podemos
encontrar infinitos ejemplos en los que el número de raı́ces de la ecuación abc(t) = 0 es
exactamente igual al grado más alto de los polinomios a(t), b(t), c(t) más uno. Por ejemplo,
en la identidad que consideramos antes
(2t)2 + (t2 − 1)2 = (t2 + 1)2 ,
o si se quiere una un poco más interesante
tn + 1 = (tn + 1).
8
CAPÍTULO 1. DE LAS ECUACIONES DIOFÁNTICAS A LA CONJETURA ABC
Observación 1.1. El teorema de Mason en realidad se cumple no solo para polinomios con
coeficientes en en C, sino en cualquier campo algebraicamente cerrado de caracterı́stica cero.
Con la versión del teorema de Mason en campos algebraicamente cerrados de caracterı́stica cero se puede probar la siguiente Proposición, un poco más general del último teorema de
Fermat en polinomios (1.1).
Proposición 1.1’ Sean x(t), y(t), z(t) polinomios primos relativos, cuyos coeficientes pertenecen a un campo algebraicamente cerrado de caracterı́stica cero, y por menos uno de ellos
tiene grado > 0 .
Entonces
x(t)n + y(t)n = z(t)n
no tiene solución para n > 3 .
Demostración de la Proposición (1.1’) a partir del teorema de Mason.
Sea n ≥ 3, y supongamos que x, y, z son polinomios no nulos, primos relativos entre sı́, no
todos constantes, tales que xn + y n = z n . Aplicamos el teorema de Mason con a = xn ,
b = y n , y c = z n . Entonces
rad (abc) = rad (xn y n z n ) = rad (xyz).
Dado que grad (xn ) = n grad (x) ,
n grad (x) ≤ n máx grad (x), grad (y), grad (z)
= máx grad (xn ), grad (y n ), grad (z n )
= máx grad (a), grad (b), grad (c)
≤ grad rad (abc) − 1
= grad rad (xyz) − 1
≤ grad (xyz) − 1
= grad (x) + grad (y) + grad (z) − 1.
Debido a que la anterior desigualdad se puede obtener también para n grad (y) y n grad (z) ,
sumando las tres obtenemos
n grad (x) + grad (y) + grad (z) ≤ 3 grad (x) + grad (y) + grad (z) − 3
≤ n grad (x) + grad (y) + grad (z) − 3.
Lo cual es imposible.
El último teorema de Fermat para polinomios falla cuando la caracterı́stica p del campo
es mayor que 0. Por ejemplo, sea f (x) = x + 1 , g(x) = x y h(x) = 1 polinomios cuyos
coeficientes están en un campo de caracterı́stica p > 0 ; entonces, f (x)p = g(x)p + h(x)p .
1.3. DEMOSTRACIÓN DE SILVERMAN DEL TEOREMA DE MASON
1.3.
9
Demostración de Silverman del teorema de Mason
Silverman propuso una forma más sofisticada para llegar a la Proposición (1.2), por teorı́a
de cubrimientos.
Consideremos las siguientes funciones racionales
π : C ∪ {∞} → C ∪ {∞}
f (t)
π(t) =
para polinomios f y g .
g(t)
La fórmula de Riemman-Hurwitz es un resultado clave sobre transformaciones racionales, y
en este caso dirı́a lo siguiente
X
grad (π) − #π −1 (z) ,
2 grad(π) = 2 +
z∈ C ∪{∞}
donde
grad (π) = máx grad f (t), grad g(t) y,
π −1 (z) = x ∈ C ∪ {∞} : π(x) = z
= x ∈ C ∪ {∞} : f (t) = zg(t)
= x ∈ C ∪ {∞} : f (t) − zg(t) = 0 ,
para cada z este conjunto tiene a lo sumo grad (π) elementos, y usualmente tiene exactamente este número. Si no es ası́ f (t) − zg(t) tiene por lo menos una raı́z doble.
Tomemos ahora polinomios a, b, c ∈ C[t] no nulos, primos relativos entre sı́, no todos
constantes, tales que a + b = c y hagamos
π(t) =
a(t)
,
c(t)
como para todo z , grad (π) − #π −1 (z) es no negativo, busquemos una cota inferior.
Seleccionando el subconjunto {0, 1, ∞} de C ∪ {∞} , notamos que:
π(∞) 6= 0 ⇒ π(t) = 0 sii a(t) = 0
π(∞) 6= 1 ⇒ π(t) = 0 sii b(t) = 0
π(∞) 6= ∞ ⇒ π(t) = 0 sii c(t) = 0
Las tres implicaciones anteriores se obtienen similarmente, a manera de ilustración explicaremos la primera:
Dado que a y b son polinomios, entonces
lı́m
t→k
a(t)
=0
c(t)
ocurre cuando a(k) = 0 (en cuyo caso c(k) 6= 0 ) o cuando lı́mt→k c(t) = ∞ y a(k) es una
constante, pero esto último no es posible en este caso pues lı́mt→k b(t) = ∞ se tiene si y sólo
si k = ±∞ y por hipótesis π(∞) 6= 0 .
Reescribamos las tres observaciones de una manera más conveniente,
10
CAPÍTULO 1. DE LAS ECUACIONES DIOFÁNTICAS A LA CONJETURA ABC
π(∞) 6= 0 ⇒ π(t) = 0 sii π −1 (0) = x ∈ C ∪ {∞} : a(t) = 0
π(∞) 6= 1 ⇒ π(t) = 0 sii π −1 (1) = x ∈ C ∪ {∞} : b(t) = 0
π(∞) 6= ∞ ⇒ π(t) = 0 sii π −1 (∞) = x ∈ C ∪ {∞} : c(t) = 0 .
Ahora bien, como π(∞) puede ser a lo sumo uno de los elementos en {0, 1, ∞} , supongamos
que π(∞) 6= 1, ∞ , entonces
π −1 (0) = {∞} ∪ {#raı́ces de a(t) }
ó
= {raı́ces de a(t)}
y con esto
#π −1 (0) ≤ (# raı́ces de a(t)) + 1 .
Recordemos que
2 grad π(t) = 2 +
X
grad (π) − #π −1 (z)
z∈C∪{∞}
≥2+
X
grad (π) − #π −1 (z)
z∈{0,1,∞}
entonces,
grad π(t) ≤ −2 + π −1 (0) + π −1 (1) + π −1 (∞)
grad π(t) ≤ −2 + #raı́ces de abc + 1
= #raı́ces de abc − 1 .
Y esto es equivalente al Teorema de Mason pues,
grad (π) = máx grad a(t), grad c(t)
= máx grad a(t), grad b(t), grad c(t) .
Tendrı́amos entonces que grad π(t) = #raı́ces de abc − 1 si la suma que consideramos
incluye todos los términos no nulos, es decir, si ∞ ∈ π −1 {0, 1, ∞} y π −1 (z) = grad (π) ∀z ∈
/
{0, 1, ∞} ,
Las transformaciones con esta propiedad son llamadas transformaciones de Belyı̌, pues
fué él quien primero identificó su importancia central. Él mostró, entre otras cosas que:
Para cualquier subconjunto finito S de Q hay una transformación π : C ∪ {∞} → C ∪ {∞}
para la cual π(S) ⊆ {0, 1, ∞} y π −1 (z) = grad (π) ∀z ∈
/ {0, 1, ∞} .
Este resultado lo podemos interpretar en términos de polinomios como sigue:
1.4. ANÁLOGO DEL TEOREMA DE MASON EN Z
11
Proposición 1.3. Para cualquier f (t) ∈ Z[t] existen a(t), b(t), c(t) ∈ Z[t] no nulos, primos
relativos entre sı́, no todos constantes,
tales que a(t) + b(t) = c(t) para los cuales f (t)|abc(t)
y máx grad a(t), grad b(t), grad c(t) .
La elegante construcción que presentamos, aparte de ser central en varios resultados importantes, nos dá la posibilidad de usar transformaciones de Belyı̌ para construir muchos y
mejores ejemplos del teorema de Mason.
Muchos resultados para ecuaciones diofánticas en enteros son análogos a los resultados
para ecuaciones en polinomios.
Dada la simplicidad de la desigualdad de Mason para las soluciones polinomias de la
ecuación a + b + c , uno podrı́a preguntarse si hay un resultado similar para enteros (y si lo
hay, ¡esto podrı́a implicar una prueba directa del último teorema de Fermat!).
1.4.
Análogo del teorema de Mason en Z
A continuación discutiremos la idea de que el conjunto de enteros Z es análogo al conjunto
C[t] de los polinomios con coeficientes complejos en una variable compleja t .
La adición, substracción y multiplicación tienen sentido similar en C[t] y en Z. En el
caso de la división, sabemos que no siempre podemos dividir un entero entre otro entero. Lo
mismo sucede para los polinomios, pues, por ejemplo, t+1
t−1 no es un polinomio. Éste es el
primer indicio de que quizá la analogı́a es bastante apropiada.
Sabemos que n1 es un entero siempre y cuando n = ±1 que son, en Z, las llamadas
unidades. Algo semejante sucede en los polinomios: los únicos polinomios f (t) tales que
1
f (t) es un polinomio son los polinomios constantes no nulos y éstos son precisamente las
unidades en C[t] .
Similar a lo que hacemos con los enteros, podemos, en el caso de polinomios en C[t] , conectar varias ecuaciones polinomias en una y en varias variables por medio de las operaciones
de adición, substracción, multiplicación y división, lo cual nos da la posibilidad de intentar
encontrar soluciones polinomias a las ecuaciones diofánticas.
¿Qué pasa con los primos?
Sabemos que un entero positivo p es primo si para un entero q > 0 se cumple que
q|p implica q = p o q = 1 . Esta noción se puede extender a los enteros negativos y
decir que p es un número primo si es divisible únicamente por los enteros de la forma
p donde = ±1 , una unidad. Ahora bien, como la noción de divisibilidad tiene sentido
para polinomios, podemos definir un polinomio primo f (t) como un polinomio cuyos únicos
divisores son de la forma cf (t) , siendo c una unidad.
Como los polinomios que estamos considerando están en C[t] , todo polinomio se puede
escribir como producto de factores lineales, un polinomio primo debe ser entonces lineal, y
recı́procamente, si es lineal es primo.
Con lo anterior, podemos ver entonces, cómo el teorema fundamental del álgebra llega
a ser, en este lenguaje, análogo al teorema fundamental de la aritmética: Cada polinomio
puede ser factorizado en un producto de polinomios primos de manera única salvo el orden
12
CAPÍTULO 1. DE LAS ECUACIONES DIOFÁNTICAS A LA CONJETURA ABC
de los factores y multiplicación por unidades.
La anterior es una de las razones por las cuales, usualmente, los números primos son
considerados la analogı́a apropiada a los factores irreducibles de polinomios. Con ésto uno
podrı́a conjeturar que el análogo a la Proposión (1.2) fuese algo ası́ como:
“Si a + b = c con a, b, c enteros primos relativos, entonces el número total de factores
primos de a ( b o c ) contando multiplicidades, es menor que el número total de factores
primos distintos de abc .”
Pero al revisar el enunciado anterior, uno encuentra contraejemplos rápidamente: 1 + 1 =
2 , 1+3 = 4 o 1+7 = 8 ; de hecho, si 2n −1 es primo, la afirmación muestra que n < 1+1 !
(tomando a = 2n y b = −1 , n es el número se factores primos de a y 2 el número de
factores primos distintos de abc ).
Quizá si modificáramos un poco la conjetura obtendrı́amos un mejor resultado.
Por mucho tiempo en teorı́a analı́tica de números se ha establecido la importancia de la
función logaritmo cuando
Q epse trata de contar primos. Quizá entonces, la medida apropiada
P
para un entero
a
=
análoga al grado en el caso de los polinomios, no es
pp
p ep , si
P
no mejor,
e
log
p
=
log
a
.
Reemplazando
el
número
total
de
factores
distintos
de abc
p p
P
por
p|abc log p y aplicando exponencial a ambos lados, conseguimos la siguiente conjetura:
“Si a + b = c con a, b, c enteros primos relativos, entonces máx (a, b, c) ≤
Q
p|abc p ”
Desafortunadamente de nuevo econtramos contraejemplos rápidamente: 1 + 8 = 9 , 5 +
27 = 32 , 1 + 48 = 49 , 1 + 63 = 64 1 +Q
80 = 81 , 32 + 49 = 81 . . . . Sin embargo, en todos
estos ejemplos el cociente máx(a, b, c)/ p|abc p nunca es demasiado grande. En realidad,
cuando 1 ≤ a, b, c < 1000 la proporción más
es 9/2 que ocurre cuando
Q grande encontrada
3
9
3
a = 1 , b = 2 y c = 3 · 19 , máx(a, b, c)/ p|abc p = 3 · 19/3 · 2 · 19 .
Lo anterior nos sugiereQque, posiblemente, si mutiplicáramos el lado derecho de la desigualdad máx (a, b, c) ≤ p|abc p por una constante convenientemente grande (talvez 5),
podrı́amos obtener una desigualdad válida.
Pero aún ası́, igual es falso para a = 1 y c = 2p(p−1) donde p es algún primo grande,
pues tenemos que b = 2p(p−1) − 1 es divisible por p2 (ya que por el teorema de Euler
2p−1 ≡ 1 (mód p2 ) ⇒ 2p(p−1) ≡ 1 (mód p2 ) ); si suponemos que existe tal constante k tal
que máx (a, b, c) = 2p(p−1) ≤ (2b/p)k , como 2(2p(p−1) − 1)k − 2p(p−1) p = 2p(p−1) (2k − p) − 2k
y p puede ser tan grande como se quiera, la diferencia anterior no necesariamete es mayor
que cero.
Aún cuando los cálculos numéricos indican que estamos muy cerca de llegar a algo que es
válido, todo parece indicar que esto se va ha lograr haciendo solamente pequeñas modificaciones.
Conjetura 1 (Conjetura abc). Para todo > 0 existe una constante k tal que, si a, b, c
son enteros positivos primos relativos, para los cuales a + b = c entonces:
!1+
c ≤ k
Y
p|abc
p
.
1.4. ANÁLOGO DEL TEOREMA DE MASON EN Z
13
Una de las metas en la formulación del análogo al teorema de Mason era que pudieramos
deducir el último teorema de Fermat sobre los enteros. Veamos a qué resultado llegamos con
la conjetura anterior.
Sea (x, y, z) una solución entera a la ecuación de Fermat (1.4) donde x y y son ambos
positivos. Ponemos a = xn , b = y n y c = z n . Según la conjetura anterior debemos saber
exactamente cuáles son los primos que dividen al producto xyz . Esta información no la
tenemos, pero dado que x y y son positivos entonces los dos son más pequños que z , de
modo que xyz < z 3 . Por lo tanto, según la conjetura, dado existe una constante k para
la cual
!1+
Y
n
p
≤ k (z 3 )1+ ,
z < k
p|xyz
si tomamos = 1/6 y n ≥ 4 tenemos que z n−3(1+(1/6)) ≤ k1/6 . Como n ≥ 4 entonces
n − 3(1 + (1/6)) ≥ n/8 y de la conjetura abc deducimos
8
z n ≤ k1/6
;
hemos probado entonces que para cualquier solución de xn +y n = z n con n ≥ 4 los números
xn , y n , z n están por debajo de alguna cota, por lo tanto, existen sólo un número finito de tales
soluciones.
Esta versión del teorema que Fermat es conocida como el teorema asintótico de Fermat.
Si tuvieramos una versión explı́cita de la conjetura abc, esto es, con los valores de k
explı́citos, podrı́amos dar una cota explı́cita sobre todas las soluciones de la ecuación de
Fermat y calcular hasta dicha cota si existen o no soluciones. Esta no serı́a la prueba más
elegante del último teorema de Fermat, pero habrı́amos conseguido el objetivo.
La conjetura abc fué enunciada por Joseph Oesterlé y David W. Masser en 1985. Masser
estaba motivado por las proposiciones análogas sobre Z del teorema de Mason, mientras que
Oesterlé lo estaba por consideraciones de la conjetura de Szpiro en curvas elı́pticas.
Originalmente Oesterlé enunció la conjetura en la siguiente forma:
“Si a, b, c son enteros primos relativos, que satisfacen a + b = c entonces,
L = L(a, b, c) =
log máx (|a|, |b|, |c|)
log rad (abc)
es acotado”.
Masser refinó el enunciado, y le dió la forma más común que es la que presentamos anteriormente.
P
Consideremos las triplas de la Tabla
1.
Nótese
que
p|abc log p es mayor que log c . La
P
conjetura abc lo que afirma es que
log
p
no
puede
ser mucho más grande que log c .
p|abc
Si escribimos la desigualdad de la conjetura abc como
X
log c ≤ k + (1 + ) ·
log p
p|abc
donde k = log k ; en particular, podemos decir que la conjetura abc afirma que si se fija el
radical, esto es, si consideramos sumas en las que abc tienen la misma descomposición en
14
CAPÍTULO 1. DE LAS ECUACIONES DIOFÁNTICAS A LA CONJETURA ABC
a+b=c
2+3=5
9 + 16 = 25
3 + 125 = 128
19 · 1307 + 7 · 292 · 318 = 28 · 322 · 54
log c
log 5
log 25
log 128
36.1523 · · ·
P
p|abc log p
log 30
log 30
log 30
22.2683 · · ·
Tabla 1. Ejemplos de triplas (a, b, c)
factores primos, entonces hay sólo un número finito de tales sumas.
La imporatancia del que aparece en la versión de Masser se puede apreciar en el
siguiente ejemplo desarrollado por Wojtek Jastrzebowski y Dan Spielman.
Mostraremos que no existe k tal que c ≤ k rad (abc) , para triplas (a, b, c) que cumplan
las condiciones de la hipótesis.
Si n ∈ Z+ , tomemos
n
an = 32 − 1 ,
bn = 1 ,
n
cn = 32 .
Entonces para cada entero positivo n , mcd (an , bn , cn ) = 1 y an + bn = cn , por lo tanto,
(an , bn , cn ) satisface las hipótesis de la conjetura abc.
Supongamos que existe una constante k tal que
n
32 ≤ k rad (an bn cn ) ,
n
como 2n |(32 − 1) y
n
rad (an bn cn ) = 3 rad (32 − 1)
n
32 − 1 = 3 rad 2n ·
2n
n
2
3 −1
≤3·2·
2n
tenemos que
n
3
2n
32 − 1
,
≤ 6k ·
2n
multiplicando ambos lados de la desigualdad por 2n y dividiendo por 32
n
32 − 1
2 ≤ 6k ·
,
32 n
n
n
obtenemos:
1.4. ANÁLOGO DEL TEOREMA DE MASON EN Z
15
lo cual implica que para cada n ∈ Z+ , 2n−1 ≤ 6k , y esto es evidentemente una contradicción.
Este ejemplo fué presentado por Serge Lang [24].
Capı́tulo 2
Aplicaciones de la conjetura abc
La conjetura abc parece estar siempre situada sobre la frontera entre lo conocido y lo
desconocido. Es una simple, pero poderosa afirmación, entre las propiedades aditivas y
multiplicativas de los enteros, con la cual es posible probar muchos teoremas en teorı́a de
números que se ven muy difı́ciles sin ella, por ejemplo, el último teorema de Fermat para
exponentes suficientemente grandes, tal como fué mostrado en el capı́tulo anterior.
Desafortunadamente, no sabemos si esta conjetura es verdadera o no.
En este capı́tulo presentaremos algunas de estas consecuencias bajo la hipótesisque de
que la conjetura abc es verdadera.
2.1.
Conjetura de Catalán
La conjetura de Catalán asegura que 8 y 9 son las únicas potencias consecutivas, en
otras palabras, que la única solución a la ecuación de Catalán
xm − y n = 1
(2.1)
con x, y, m, n enteros mayores que 1 es 32 − 23 = 1 .
El enunciado de esta conjetura apareció en una carta que escribió Catalán en 1884. En
1850 Lebesgue, usando enteros gaussianos, probó que la ecuación xm − y 2 = 1 no tiene
solución en enteros positivos x, y cuando m > 2 . En 1964, Chao Ko probó que x2 − y n =
1 no tiene soluciones en enteros positivos cuando n > 1 , (se necesitaron 120 años para
establecer este caso especial). El lector que esté interesado, puede consultar [30].
De acuerdo con lo anterior, será suficiente considerar la ecuación de Catalán cuando
mı́n (m, n) ≥ 3 .
Teorema 2.1 (Teorema asintótico de Catalán). La conjetura abc implica que la ecuación
de Catalán tiene solo un número finito de soluciones.
Demostración. Sea (x, y, m, n) una solución a la ecuación de Catalán (2.1). Entonces x , y
son primos relativos (ya que si p|x y p|y , p|(xm − y n ) lo cual implica que p|1 ). Aplicando
17
18
CAPÍTULO 2. APLICACIONES DE LA CONJETURA ABC
la conjetura abc con a = xm , b = −y n , c = 1 y = 1/4 , existe una constante k1/4 tal
que
y n < xm = máx (xm , y n , 1)
5/4
≤ k1/4 rad (xm y n )
5/4
= k1/4 rad (xy)
.
Entonces,
5
· log xy
4
5
= log k1/4 + (log x + log y) ,
4
n log y < m log x ≤ log k1/4 +
y sumando las desigualdades correspondientes a log x y log y obtenemos
5
m log x + n log y < 2 log k1/4 + (log x + log y) ,
2
lo cual implica que
5
m−
2
5
log x + n −
2
log y < 2 log k1/4 .
(2.2)
Como x, y ≥ 2, se sigue que
(m + n − 5) log 2 < 2 log k1/4
2 log k1/4
+ 5.
m+n<
log 2
De acuerdo a esta última desigualdad, tenemos que hay sólo un número finito de parejas
(m, n) de enteros para los cuales la ecuación de Catalán es soluble. Además, para exponentes
fijos m ≥ 3 y n ≥ 3 la ecuación (2.2) tiene solo un número finito de soluciones en enteros
positivos x y y . Por lo tanto, el conjunto de soluciones (x, y, m, n) es finito, y ésto completa
la demostración.
2.2.
Primos de Wieferich
Sean n ∈ Z y p un primo. Entonces si n 6= 0 existe un entero no negativo d tal que
pd |n pero pd+1 - n . El número d es llamado el orden de n en p y se denota por ordp n .
Por convención, si n = 0 , ordp 0 = ∞ .
Diremos entonces que un entero positivo v es un número poderoso si para cada primo p
que divide a v , ordp v ≥ 2 .
19
2.2. PRIMOS DE WIEFERICH
Por el pequeño teorema de Fermat sabemos que para todo primo impar p , 2p−1 ≡ 1
(mód p) es decir, p divide 2p−1 − 1 . Un primo impar p tal que
2p−1 6≡ 1
(mód p2 )
se llama un primo de Wieferich.
Por ejemplo, 3 , 5 y 7 son primos de Wieferich dado que 22 6≡ 1
(mód 25) , y 26 6≡ 1 (mód 49) .
(mód 9) , 24 6≡ 1
Wieferich probó que si p es un número primo impar para el cual la ecuación de Fermat
xp + y p = z p
tiene una solución en enteros x, y, z con mcd (p, xyz) = 1 , entonces
2p−1 ≡ 1
(mód p2 ) .
Los cálculos que se han hecho sugieren que tales primos son muy raros y que hay “muchos”primos que son primos de Wieferich.
Aún no se conoce si existen infinitos primos que sean primos de Wieferich ni tampoco si
existen infinitos primos que no lo sean. Asumiendo la conjetura abc podemos demostrar que
el conjunto W de primos de Wieferich es infinito. Esta prueba se debe a Silverman.
Lema 2.1. Sea p un primo impar. Si existe un entero n tal que 2n ≡ 1
2n 6≡ 1 (mód p2 ) , entonces p es un primo de Wieferich.
(mód p) pero
Demostración. Sea d el orden de 2 módulo p (es decir, d es el menor entero positivo tal
que 2d ≡ 1 (mód p) ), entonces d|n . Dado que 2n 6≡ 1 (mód p2 ) , se sigue que 2d 6≡ 1
(mód p2 ) , de modo que 2d = 1 + kp donde mcd (k, p) = 1 . Además, como 2p−1 ≡ 1
(mód p) , entonces d|(p−1) , es decir, p−1 = de donde e es un entero tal que 1 ≤ e ≤ p−1 .
Tenemos entonces que mcd (ek, p) = 1 y
2p−1 = 2de = (2d )e = (1 + kp)e ,
como
e
(1 + kp) =
e X
e
t=0
e
e
(kp) ≡
+
kp
t
0
1
t
(mód p2 )
entonces,
2p−1 ≡ 1 + ekp (mód p2 )
2p−1 6≡ 1
(mód p2 ),
por lo tanto, p es un primo de Wieferich.
Teorema 2.2. La conjetura abc implica que existen infinitos primos de Wieferich.
20
CAPÍTULO 2. APLICACIONES DE LA CONJETURA ABC
Demostración. Para cada entero positivo n escribimos
2n − 1 = un vn
donde vn es el número poderoso maximal que divide a 2n − 1 . Es decir,
Y
n
pordp (2 −1)
vn =
p| 2n −1
ordp (2n −1)≥2
y
Y
un =
p.
p| 2n −1
ordp (2n −1)=1
Tenemos entonces que un es libre de cuadrados, y como para cada primo p que divide a
un se cumple
2n ≡ 1
n
2 6≡ 1
(mód p)
(mód p2 ),
se sigue, del Lema (2.1) que p ∈ W , de modo que un es un entero libre de cuadrados
divisible únicamente por primos de Wieferich.
Supongamos que W es finito, entonces existe solo un número finito de enteros libres
de cuadrados cuyos únicos divisores son primos de Wieferich. En consecuencia, el conjunto
{un : n = 1, 2, . . . } es finito, y como {2n − 1 : n = 1, 2, . . . } es infinito, esto implica que
{vn : n = 1, 2, . . . } es también infinito.
Por otra parte, por ser vn un número poderoso,
rad (vn ) ≤ vn1/2 .
Sea 0 < < 1 . Aplicando la conjetura abc a la identidad
(2n − 1) + 1 = 2n ,
como vn ≤ 2n − 1 obtenemos,
vn < 2n
= máx (2n − 1, 1, 2n )
1+
≤ k rad 2n (2n − 1)
= k rad (2un vn )1+
≤ k (2un )1+ rad (vn )1+
≤ k0 · vn(1+)/2
donde k0 = k · s , siendo s una constate tal que un ≤ s para cada n .
21
2.3. CONJETURA ORIGINAL DE HALL
La última desigualdad que obtuvimos implica que los vn están acotados, lo cual, por supuesto, es una contradicción.
Por lo tanto, W no puede ser finito.
Hay también otras conjeturas, a parte de la conjetura abc, que conducen a un resultado
parecido al anterior. Por ejemplo, por las conjeturas Lang-Trotter, la probabilidad de que
2p−1 ≡ 1 + pk (mód p2 ) para una clase residual fija k módulo p será O( p1 ) . Por lo
tanto,
un x fijo, el número de primos p ≤ x tales que 2p−1 ≡ 1 + pk (mód p2 ) serı́a
P para
O( p<x p1 ) = O(log log x) ; en otras palabras, hay muchos primos de Wieferich.
2.3.
Conjetura original de Hall
Conjetura 2 (Conjetura original de Hall). Sean u y v números enteros, primos relativos1 tales que u3 − v 2 6= 0 . Entonces
|u3 − v 2 | |u|1/2−
Teorema 2.3. La conjetura abc implica la conjetura original de Hall .
La siguiente prueba es debida a Lang.
Demostración. Nótese que equivalentemente se podrı́a afirmar que si v 2 = u3 + t para algún
t ∈ Z , entonces t está acotado.
En particular, la conjetura abc implicarı́a que |u| |t|2+ (∗) .
A continuación, probaremos una afirmación un poco más general.
Fijamos a, b ∈ Z no nulos, y m, n ∈ Z+ tales que mn > m + n . Pongamos
a · um + b · v n = k .
Para 0 > 0 fijo, aplicamos la conjetura abc a la anterior igualdad y obtenemos
1+0
|u|m u · v · rad(k)
y
1+0
|v|n u · v · rad(k)
.
Sin pérdida de generalidad, supongamos que |a ·
um |
≤ |b ·
(2.3)
vn|
. Entonces
|u| |v|n/m .
(2.4)
Por (2.3) y (2.4):
n
1+0
|v|n v m +1 · rad (k)
n
0
+1 (1+0 )
m
· (rad k)1+ ,
= |v|
1
Originalmente la hipótesis de que u y v son primos relativos no fué hecha, pero dado cualquier par
de enteros no nulos podemos eliminar los factores que tienen en común y continuar como se hace en la
demostración de Lang.
22
CAPÍTULO 2. APLICACIONES DE LA CONJETURA ABC
por lo tanto
|v|n−
n
+1
m
(1+0 )
0
(rad k)1+ ,
y en consecuencia:
(1+0 )m
|v| (rad k) nm·(n+m)(1+0 )
(1+0 )m
≤ k nm·(n+m)(1+0 ) .
Entonces, por (2.4)
(1+0 )·n
|u| k nm·(m+n)(1+0 ) .
(2.5)
Teniendo establecido el caso general, podemos ahora, establecer la implicación de la conjetura de Hall.
Tomamos =
120
1−50
. Entonces 0 =
12+5
.
Escogemos m = 3 , n = 2 , a = 1 y b = −1 , de esta manera la ecuación
a · um + b · v n = k
que vamos a considerar es
u3 − v 2 = k .
Por (2.5):2
2+20
|u| k 1−50
0
=k
12
2+ 1−5
0
,
y entonces
1
|u| 2
0
12
− 1−5
0
k
2+
120
1−50
0
=k
12
1− 32 · 1−5
0−
1
120
− 1−5
0
2
120
1−50
2
Sustituyendo por obtenemos
1
3
2
|u| 2 − k 1− 2 ·− < k ,
que finalmente nos conduce a
1
|u| 2 − |u3 − v 2 | .
2
Nótese que de la desigualdad que obtenemos se puede llegar a (∗) .
.
2.4. UNA FORMA EFECTIVA DE LA CONJETURA ABC
2.4.
23
Una forma efectiva de la conjetura abc
T. Chocrane y R. E. Dressler [10] se preguntaron si la distancia entre dos enteros positivos
A , C tales que C − A < A < C y con los mismos factores primos podrı́a ser pequeña. A
partir de una forma débil de la conjetura abc, ellos lograron demostrar que para todo > 0 ,
la desigualdad C − A < A1/2 tiene sólo un número finito de soluciones (A, C) .
Consideremos las triplas (a, b, c) de enteros positivos que satisfacen:
a+b=c,
a<c,
mcd (a, b, c) = 1 .
Para cada tripla (a, b, c) , sea
L = L(a, b, c) =
log c
.
log rad (abc)
Consideremos, además, las parejas (A, C) de enteros positivos que satisfacen:
C −A<A<C
y
rad (A) = rad (C),
las cuales se llaman parejas admisibles.
Para cada pareja admisible (A, C) definimos
α = α(A, C) =
log(C − A)
,
log A
entonces Aα = C − A .
Si p es un número primo, escribimos pr kn si pr |n pero pr+1 - n .
Lema 2.2. Si (A, C) es una pareja admisible, entonces para todo entero positivo d la pareja
(Ad, Cd) es también admisible, α(A, C) < α(Ad, Cd) para todo d > 1 y lı́md→∞ α(Ad, Cd) =
1.
Demostración. Veamos, en primer lugar, que si d ≥ 1 entonces (Ad, Cd) es una pareja
admisible.
Dado que C − A < A < C , por ser d un entero positivo tenemos que (C − A)d < Ad <
Cd y además rad (Ad) = rad (Cd) pues, si p es un primo tal que p| rad (Ad) entonces p|d
o p|A , y sabemos que rad (A) = rad (C) , luego, en cualquiera de los dos casos p| rad (Cd) ;
ası́ que rad (Ad)| rad (Cd) , y similarmente, rad (Cd)| rad (Ad) . Por lo tanto, (Ad, Cd) es
una pareja admisible.
Ahora veamos que α(A, C) ≤ α(Ad, Cd) para cada entero d > 1 .
24
CAPÍTULO 2. APLICACIONES DE LA CONJETURA ABC
Tenemos lo siguiente:
log(C − A)
, y
log A
log(Cd − Ad)
α (Ad, Cd) =
.
log Ad
α(A, C) =
Como C − A < A , entonces log(C − A) < log A . Ası́ que
log(C − A) log d < log A log d ,
log(C − A) log d + log A < log A log d + log(C − A) ,
log(C − A)
log d + log(C − A)
<
log A
log d + log A
log(C − A)d
=
,
log Ad
que era lo que se querı́a.
Faltarı́a ver que lı́md→∞ α(Ad, Cd) = 1 .
log d + log(C − A)
d→∞
log d + log A
lı́m α(Ad, Cd) = lı́m
d→∞
= lı́m
d→∞
1+
1
log(C−A)
log d
log A
+ log d
= 1.
Decimos que la pareja admisible (A, C) es una pareja reducida si para cada primo p
que divida a A , la pareja A/p, C/p es adimisible.
Lema 2.3. (i) La pareja admisible (A, C) es reducida si y sólo si, para todo primo p que
divida a A se tiene pkA y p2 |C o pkC y p2 |A .
(ii) Para cada pareja admisible (A, C) existe un único entero d tal que d| mcd (A, C) , y
la pareja (Ad, Cd) es admisible y reducida.
Demostración. (i) (⇒) Sea (A, C) una pareja reducida y sea p un primo. Si pkA y pkC
entonces (A/p, C/p) es una pareja admisible y esto contradice el hecho de que (A, C) sea
reducida, por lo tanto, para cada primo p : pkA y p2 |C o pkC y p2 |A .
(⇐) Supongamos ahora que para cada primo p tal que p|A se tiene pkA y p2 |C , o
pkC y p2 |A .
Si existiera
un
primo p para el cual la pareja (A/p, C/p) fuese admisible entonces,
A
C
rad p = rad p .
2.4. UNA FORMA EFECTIVA DE LA CONJETURA ABC
• Si pkA y p2 |C , p rad
• Si pkC y p2 - A , p rad
C
p
A
p
pero p - rad
A
p
.
pero p - rad
C
.
p
Como lo anterior nos lleva a una contradicción, la pareja (A, C) debe ser reducida.
(ii) Para cada primo p que divida a A , sea
(
mı́n ordp (A), ordp (C) − 1 ; si ordp (A) 6= ordp (C)
Sp =
ordp (A) ;
si ordp (A) = ordp (C) .
Tomemos d de tal manera que
ordp (d) = Sp ≤ mı́n ordp (A), ordp (C)
entonces
d| mcd (A, C).
Por construcción,
ordp (A) < ordp (C) ⇒ ordp (d) = ordp (A) − 1 ;
por lo tanto
A
ordp
=1
d
y
ordp
C
d
= ordp (C) − ordp (A) − 1
≥ 2.
Similarmente,
ordp (A) > ordp (C) ⇒ ordp
C
d
=1
y entonces,
A
ordp
≥ 2.
d
Si ordp (A) = ordp (C)
ordp (d) = ordp (A) = ordp (C)
y en este caso
A
C
ordp
= ordp
= 0.
d
d
25
26
CAPÍTULO 2. APLICACIONES DE LA CONJETURA ABC
Se sigue, que rad (A/d) = rad (C/d) .
C
d
Como (A, C) es una pareja admisible entonces, C − A < A < C , y por lo tanto
− Ad < Ad < Cd . Nótese que d 6= 0 pues A y C no son 0 .
De esta manera, (A/d, C/d) es también una pareja admisible, y aplicando la parte (i)
vemos que es reducida.
Además d , por construcción, es única.
Para una pareja admisible (A, C) definimos la tripla (a, b, c) de la siguiente manera
a=
C −A
,
rad (A)
b=
A
rad(A) ,
c=
C
.
rad (a)
Y para una tripla (a, b, c) tal que


a + b = c
a<b


mcd (a, b, c) = 1
(2.6)
definimos la pareja (A, C) como sigue
A = b · rad (bc) ,
C = c · rad (bc) ,
entonces C − A = a · rad (bc) .
Lema 2.4.
(i) La tripla (a, b, c) definida por la pareja admisible (A, C) satisface (2.6).
(ii) La pareja (A, C) definida por la tripla (a, b, c) es admisible y reducida.
(iii) Las fórmulas de (a, b, c) y (A, C) corresponden a las triplas que satisfacen (2.6) y las
parejas admisibles reducidas respectivamente.
Demostración. (i) Sea (A, C) una pareja admisible reducida, y (a, b, c) la tripla definida
por ella. Entonces, dado que C − A < A < C , entonces a , b y c son enteros positivos,
a < c y además
A
C −A
+
rad (A) rad (A)
C
=
rad(A)
= c.
a+b=
2.4. UNA FORMA EFECTIVA DE LA CONJETURA ABC
27
Si p es un primo tal que p radA(A) , p radC(A) entonces, p2 |A y p2 |C .
Esto contradice que (A, C) sea reducida (Lema 2.3.(i)) .
A
C
Por lo tanto mcd rad A , rad (A) = 1 , y esto termina la prueba, ya que lo anterior implica
que mcd (a, b, c) = 1 .
(ii) Veamos que la pareja (A, C) definida por la tripla (a, b, c) es admisible y reducida.
C − A = a · rad (bc)
< b · rad (bc)
=A
< (a + b) · rad (bc)
=C.
Además, rad (A) = rad b · rad (bc) = rad (bc) = rad c · rad (bc) = rad (C) . Por lo tanto,
(A, C) es una pareja admisible.
Ahora bien, usando el Lema (2.3.(i) ), veamos que (A, C) es reducida.
Si p es un primo tal que p2 b·rad
(bc) , dado que mcd (a, b, c) = 1 entonces, p|b y por
lo tanto, p - c y p2 - c · rad (bc) . Es decir, pkC . Similarmente ocurre cuando tomamos
un primo p tal que p2 c · rad (bc) . De esta manera, para cada primo p que divide a A
tenemos que p2 |A y pkC o p2 |C y pkA .
(iii) Sea (A, C) una pareja admisible y reducida. Veamos que existe una tripla (a, b, c)
que la define.
C−A
A
C
Si tomamos a = rad
(A) , b = rad (A) y c = rad (A) ) , la pareja que define la tripla (a, b, c)
es precisamente la pareja (A, C) pues
AC
rad
= rad (AC)
(rad A)2
AC
ya que para cada primo p , si p (rad
entonces p|AC y, si suponemos que existe un primo
A)2
AC
q tal que, q| rad (AC) = rad (A) y q - (rad
, dado que (A, C) es reducida entonces qkA
A)2
2
2
y q |C o, q |A
y qkC . Pero en cualquiera de los dos casos tendremos que q 3 |AC , y esto
AC
implica que q (rad A)2 , lo cual es una contradicción.
Por lo tanto,
rad (bc) = rad
AC
(rad A)2
= rad (AC) = rad (A)
entonces,
b · rad (bc) =
A
· rad (A) = A
rad (A)
c · rad (bc) =
C
· rad (A) = C .
rad (A)
y
Finalmente, veamos que para cada tripla (a, b, c) existe una pareja admisible y reducida
(A, C) que la define.
28
CAPÍTULO 2. APLICACIONES DE LA CONJETURA ABC
Sea A = b·rad (bc) y C = c·rad (bc) . La tripla definida por la pareja b·rad (bc), c·rad (bc)
es precisamente la tripla (a, b, c) pues,
C −A
(c − b) · rad (bc)
(c − b) · rad (bc)
=
=
=a,
rad (A)
rad (bc)
rad b · rad (bc)
A
b · rad (bc)
b · rad (bc)
=
=
=b,
rad (A)
rad (bc)
rad b · rad (bc)
C
c · rad (bc)
c · rad (bc)
=
=
= c.
rad (A)
rad (bc)
rad b · rad (bc)
Podemos enunciar una versión de la conjetura abc de la siguiente manera,
Conjetura 10 . Para todo número real q > 1 existe solo un número finito de triplas (a, b, c)
que satisfacen las condiciones (2.6) y L(a, b, c) > q .
(Recordemos que la anterior fué la forma en la que originalmente Oesterlé enunció la
conjetura abc.)
Conjetura 3. Sólo hay 11 triplas (a, b, c) que satisfacen L(a, b, c) > 1.5 .
Las 11 triplas a las que se refiere la Conjetura (3) se encuentran en la Tabla (2).
N0
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
a
2
2
11
19 · 1307
283
1
73
72 · 412 · 3113
53
13 · 196
318 · 23 · 2269
239
b
c
L(a, b, c)
· 109
· 56 · 73
7 · 292 · 318
511 · 132
2 · 37
310
1116 · 132 · 79
29 · 317 · 132
2030 · 5
173 · 29 · 318
58 · 173
235
1.629912
1.625991
1.623490
1.580756
1.567887
1.547075
1.54434
1.536714
1.526999
1.522160
1.502839
310
32
221
· 23
·
· 54
28 · 38 · 173
54 · 7
211 · 29
2 · 33 · 523 · 953
115 · 17 · 313 · 137
313 · 112 · 31
210 · 52 · 1715
210 · 374
28
322
Tabla 2. Triplas conocidas para las cuales L(a, b, c) > 1.5 .
La Conjetura (10 ) sólo garantiza que existe un número finito de triplas (a, b, c) para las
cuales L(a, b, c) > 1.5 , pero no nos asegura que ese número sea 11, por lo tanto, no implica
la Conjetura (3). Tampoco esta última implica la primera, pues podrı́a existir un número
real q0 , 0 < q0 < 1.5 para el cual infinitas triplas (a, b, c) satisfagan 1.5 > L(a, b, c) > q0 .
Decimos entonces, simplemente, que la Conjetura (3) es una versión débil de la Conjetura
(10 ).
2.4. UNA FORMA EFECTIVA DE LA CONJETURA ABC
29
Teorema 2.4. Para una pareja (A, C) admisible y reducida, sea (a, b, c) la tripla que ella
define. Si α = α(A, C) < t < 1/2 entonces, L = L(a, b, c) > 1−t
t > 1.
Demostración. Recordemos que
α(A, C) =
log(C − A)
log A
y L(a, b, c) =
log c
.
log rad (abc)
C−A
rad (A)
entonces, C − A = a · rad (A) = Aα . Y de acuerdo a la demostración del
AC
Lema (2.4. (iii)), rad (bc) = rad (rad A)2 = rad (AC) = rad (A) y, A = b · rad (bc) .
Como a =
Tenemos que
α
a · rad (A) = b · rad (a) ,
lo cual implica
1−α
1−α
a1−α · rad(A)
≤ a · rad (A)
= bα .
Entonces
α
a · rad (A) ≤ b 1−α ,
y por lo tanto
c1 /L = rad (abc)
= rad (a) · rad (bc)
= rad (a) · rad (A)
≤ a · rad (A)
α
≤ b 1−α
α
< c 1−α .
Ası́, obtenemos que
1
α
<
.
L
1−α
Dado que 0 < α < 1 , pues C y A son enteros positivos y C − A < A < C , la anterior
desigualdad nos conduce finalmente a
1−α
1−t
2 1
L>
>
=1+
− t > 1.
α
t
t 2
Si ponemos t =
1
2
− obtenemos L > 1 + 2t .
Aplicando la conjetura abc tenemos que, para cada q = 1+ 2t existe sólo un número finito
de triplas (a, b, c) para las cuales L > l + 2t . Ahora bien, si recordamos la correspondencia
30
CAPÍTULO 2. APLICACIONES DE LA CONJETURA ABC
entre las triplas (a, b, c) y las parejas admisible y reducidas (A, C) (Lema 2.4.(iii)), esto
nos conduce a que para cada > 0 existe sólo un número finito de parejas admisibles y
reducidas (A, C) para las cuales α(A, B) < 12 − .
Además, el número de parejas admisibles (A, C) (no necesariamente reducidas) que
satisfacen la desigualdad α(A, C) < 21 − tambien es finito pues, por el Lema (2.2) , si
(A, C) es una pareja admisible y d es entero positivo, lı́md→∞ α(Ad, Cd) = 1 . La sucesión
{(Ad, Cd)}∞
d=1
(∗)
es estrictamente
creciente ya que C − A < A implica que para cada d , log(C − A) log(d +
1) − log(d) < log(A) log(d + 1) − log(d) lo cual, haciendo un cálculo simple nos conduce a
log(C − A)(d + 1)
log(C − A)d
<
.
log Ad
log A(d + 1)
Tenemos con esto, que sólo para un número finito de enteros d , α(Ad, Cd) < 12 − (ya
que 1 es el único punto de acumulación de la sucesión (∗)), y como a cada pareja admisible
(A, C) corresponde una única pareja reducida (Lema 2.3. (ii)) según lo anterior, si la pareja
admisible (A, C) satisface α(A, C) < 21 − entonces necesariamente su pareja reducida
debe satisfacer la misma desigualdad, lo cual nos conduce directamente al resultado.
En resumen,para cada ( 0 < < 1/2 ) existe sólo un número finito de parejas admisible
1
(A, C) , C − A > A 2 − .
Este resultado se debe a T. Crochrane y R.E Dressler, ver [10].
Colorario 1. Si existen exactamente 11 triplas que satisfacen L(a, b, c) > 1.5 entonces, salvo
dos casos, para todas las parejas (A, C) admisible y reducidas se cumple C − A > A0.4 .
Demostración. Sea t = 0.4 , según el Teorema (2.4) y el Lema (2.4. (iii)) las parejas admisibles
y reducidas que satisfacen α(A, C) < 0.4 son precisamente las que corresponden a las triplas
(a, b, c) tales que L(a, b, c) > 1.5 .
La prueba se concluye haciendo los cálculo de acuerdo a la Tabla (2) .
Colorario 2. Si existe un apareja admisible (A0 , C 0 ) para la cual α(A0 , C 0 ) < 31 , se puede
encontrar una tripla (a, b, c) que satisfaga las condiciones (2.6) y L(a, b, c) > 2 .
Demostración. Por el Lema (2.3. (ii)) sabemos que paraa la pareja (A0 , C 0 ) existe un entero
positivo d para el cual la pareja (A0 /d, C 0 /d) = (A, C) es admisible y reducida. Además,
por el Lema (2.2), α(A, C) < 13 .
Finalmente, aplicando el Teorema (2.4) a la pareja (A, C) , sabemos que para la tripla
(a, b, c) que ella define se tiene que L(a, b, c) > 2 .
2.5.
Soluciones a la ecuación diofántica αxr + βy s + γz t = 0
Teorema 2.5. Asumiendo la conjetura abc. Fijamos 0 < < 1 y enteros α, β, γ . Entonces
la ecuación diofántica αxr + βy s + γz t = 0 tiene sólo un número finito de soluciones en
2.5. SOLUCIONES A LA ECUACIÓN DIOFÁNTICA αX R + βY S + γZ T = 0
31
enteros x, y, z, r, s, t que satisfacen
xyz 6= 0 ,
mcd (x, y) = mcd (x, z) = mcd (y, z) = 1 ,
r, s, t > 0 ,
1 1 1
+ + <1−.
r s
t
Además, el número de tales soluciones puede ser efectivamente calculable si la constante k
de la conjetura abc es efectiva.
Demostración. Consideremos x, y, z, r, s, t una de las soluciones descritas en el teorema.
Sea A = αxr , B = βy s y C = γz t . Sin pérdida de generalidad, podemos suponer
mcd (x, y, z) = 1 y |A| < |B| < |C| .
La conjetura abc implica que existe una constante k para la cual
|γz t | = |C|
1+
< k rad (ABC)
1+
≤ k |αβγxyz|
.
Dado que |A|, |B| < |C| ,
|αxr | < |γz t |
y
|βy s | < |γz t |
entonces,
1/r
γ |x| < |z|t/r
α
y
1/s
γ |y| < |z|t/s .
β
Tenemos, por lo tanto
1+
1/r 1/s
γ
γ
|C| < k αβγ · · · |z|1+t/r+t/s α
β
1+
1+
= k |γ|1+1/r+1/s · |α|1−1/r · |β|1−1/s
|z|1+t/r+t/s
(∗)
32
CAPÍTULO 2. APLICACIONES DE LA CONJETURA ABC
entonces,
|z| < k1/t |γ|(1+1/r+1/s)(1+)−1 · |α|(1−1/r)(1+) · |β|(1−1/s)(1+)
1+
≤ k |γ|3(1+)−1 · |αβ|1+ · |z|1/t+1/r+1/s
1/t
· |z|1/t+1/r+1/s
1+
lo que significa que
1+
|z| k z 1/t+1/s+1/r 1+
k z 1− 2
= k |z|1− .
Por lo tanto, z está acotado.
Ahora bien, como |A| < |B| ,
|αxr | < |βy s |
tenemos que
1/r
β |x| < · |y|s/t ,
α
y por (∗)
|βy s | < k |αβγ|1+ .
Entonces,
1/s
|y| < k1/s · α(1−1/r)(1+) β (1+1/r)+1 γ 1+ · |y|(1/s+1/r)(1+) · |z|(1+)/s
1/s
≤ k |α|1+ |β|2(1+)+1 |γ|1+
· |y|(1/s+1/r)(1+) · |z|(1+)/s .
Dado que z está acotado,
|y| k |y|(1/r+1/s)(1+)
y como
1 1
1
+ < (1 − ) −
s r
t
< 1 − ,
obtenemos
2
|y| k |y|1+ ,
lo cual implica que y está acotado.
Finalmente, dado que
|αxr | < k |αβγxyz|1+
(por ∗)
2.6. TEOREMA DE ROTH Y CONJETURA DE MORDELL
33
entonces,
1/r
|x| < k1/r |βγ|1+ · |α|
· |yz|(1+)/r |x|(1+)/r
≤ k |βγ|1+ · |α| · |yz|(1+)/r |x|(1+)/r .
Como y y z están acotados y además
1 1
1
< (1 − ) −
+
r
s
t
<1−
entonces,
|x| k |x|(1+)/r
2
k |x|1− .
Lo que implica que x también está acotado.
Con todo lo anterior conseguimos, finalmente, que
máx |αxr |, |βy s |, |γz t | < k |αβγxyz|1+
1.
Es decir, r , s y t están acotados. Por lo tanto, el número de soluciones de la ecuación
diofántica αxr +βy s +γz t = 0 que satisfacen las condiciones dadas el enunciado del teorema,
es finito.
2.6.
Teorema de Roth y Conjetura de Mordell
En 1991, Noam D. Elkies mostró que la conjetura abc implica la conjetura de Mordell
[12]. Y en 1994 Enrico Bombieri mostró que la conjetura abc implica el teorema de Roth
[7]. Las demostraciones de estas dos implicaciones son muy similares, incluso hay un teorema
que implica ambos, el teorema de Roth y la conjetura de Mordell, ver [34, pág. 69–70]. En
realidad, tanto el teorema de Roth como la conjetura de Mordell son teoremas, y desde este
punto de vista no parece interesante tener pruebas condicionales de ellos que dependen de la
conjetura abc cuya validez no es aún conocida. Sin embargo, los pruebas de estos teoremas
a partir de la conjetura abc son mucho más simples y transparentes. Aún más importante,
usando la conjetura abc se pueden demostrar versiones considerablemente fuertes de los dos
teoremas. Especı́ficamente, abc implica Mordell efectivo y una forma fuerte de la conjetura
abc implica un cierto refinamiento del teorema de Roth.
En esta sección hemos restringido nuestra exposición a los números racionales, pero la
conjetura abc, la conjetura de Mordell y el teorema de Roth pueden ser formulados en cualquier extensión finita de Q , y abc también implica Roth y Mordell en estas situaciones más
generales.
Presetaremos primero algunas nociones preliminares necesarias, y a continuación, la demostración del teorema de Roth a partir de una forma fuerte de la conjetura abc. Enunciaremos
la conjetura de Mordell pero su demostración no la haremos aquı́, remitimos al lector a la
34
CAPÍTULO 2. APLICACIONES DE LA CONJETURA ABC
bibliografı́a correspondiente donde la puede encontrar.
En adelante, C denotará una curva elı́ptica (ver Sección (3.3)), C(Q) los puntos en C
con coordenadas racionales, P 1 la lı́nea proyectiva y Q el campo que contiene todos los
puntos algebraicos sobre Q .
Pensamos en C como el conjunto de puntos (x0 : . . . : xn ) ∈ P n que satisfacen las
ecuaciones homogéneas
p1 (x0 , . . . , xn ) = 0, . . . , pk (x0 , . . . , xn ) = 0
con k un entero ≥ n − 1 y pi irreducible.
El conjunto de soluciones complejas de estas ecuaciones se conoce como la superficie de
Riemann C(C) .
Si los coeficientes de p1 , . . . , pk están en Q decimos que C está definida sobre Q .
Una transformación f : C −→ P m está definida por m + 1 polinomios homogéneos del
mismo grado:
f : (x0 : . . . : xn ) 7−→ f0 (x0 , . . . , xn ) : . . . : fm (x0 , . . . , xn ) ,
(2.7)
si los coeficientes de f0 , . . . , fm están en Q decimos que f está definida sobre Q .
Sea a + b = c con a, b, c ∈ Z primos relativos, definimos la altura y el radical 3 de esta
suma por:
h(a, b, c) = máx (log |a|, log |b|, log |c|) ,
(2.8)
r(a, b, c) =
X
log p ,
p|abc
donde p recorre todos los divisores primos de a , b y c .
la conjetura abc de la siguiente manera:
En estos términos, enunciamos
Para cada > 0 existe una constante k tal que
h(a, b, c) ≤ r(a, b, c) + h(a, b, c) + k
para toda suma a + b = c de enteros primos relativos entre sı́.
La desigualdad anterior la podemos escribir (de forma equivalente) como:
h(a, b, c) ≤
3
k()
1
r(a, b, c) +
.
1−
1−
El lector no debe confundir r(a, b, c) con rad (abc) definido en el Capı́tulo 1.
(2.9)
2.6. TEOREMA DE ROTH Y CONJETURA DE MORDELL
35
Una valuación de Q es una función ν : Q −→ R ∪ {−∞} que para alguna constante k
satisface:
ν(x) = −∞ , sólo para x = 0 ,
ν(xy) = ν(x) + ν(y) , para todo x, y ∈ Q∗ ,
ν(x + y) ≤ k + máx (ν(x), ν(y)) , para todo x, y ∈ Q .
Dado un número primo p , denotamos el número de factores p del número racional x por
ordp (x) (en el caso en que x es un entero esta definición coincide con la que dimos en la
Sección (2.2) ).
Definimos la valuación p –ádica de Q como:
νp = − ordp (x) log p
y la valuación ∞ como:
ν∞ (x) = log |x| .
Por ejemplo, ν2 (4/3) = −2 log 2 , ν3 (4/3) = log 3 , νp (4/3) = 0 para cualquier otra valuación p –ádica, y ν∞ (4/3) = log(4/3) .
Para todo primo p la valuación p –ádica de Q es no –arquimediana, pues:
νp (x + y) ≤ máx νp (x), νp (y)
para todo x, y ∈ Q .
La valuación ∞ satisface
ν∞ (x + y) ≤ log 2 + máx ν∞ (x), ν∞ (y)
para todo x, y ∈ Q ,
y la llamamos arquimediana.
Sabemos que las anteriores son las únicas valuaciones sobre Q , excepto por la valución
trivial :
ν(0) = −∞
y,
ν(x) = 0
para x 6= 0 .
Todo número racional x distinto de 0 tiene una descomposición en factores primos
Y
|x| =
pordp (x) ,
p
poniendo logarı́tmos, obtenemos la siguiente relación entre las valuaciones de Q .
Proposición 2.1. Para todo x ∈ Q∗ ,
X
ν(x) = 0
ν
donde la sumatoria recorre todas las valuaciones sobre Q .
En otras palabras, la anterior proposición dice que la suma de todas las valuaciones sobre
Q es precisamente la valuación trivial.
La valuación ν∞ puede extenderse a una valuación de Q(α) valiéndonos del hecho que
un número algebraico α es usualmente visto como una raı́z compleja de su polinomio minimal
36
CAPÍTULO 2. APLICACIONES DE LA CONJETURA ABC
y |α| es justamente el módulo de este número complejo. En el caso de una valuación finita
νp , toda función σ : Q(α) −→ Cp da una extensión de νp definida por νp (β) = νp σ(β) ,
para β ∈ Q(α) .
Denotamos por P 2 (Q) el plano proyectivo sobre Q , es decir, el conjunto de triplas
(x : y : z) tales que x, y, z son racionales no todos nulos, y para cada λ ∈ Q∗ las triplas
(x : y : z) y (λx : λy : λz) denotan el mismo punto de P 2 (Q) . Tenemos entonces, varios
caminos para denotar cada punto en P 2 (Q) , por ejemplo, dado un punto (x : y : z) podemos
escojer λ de tal manera que λx, λy, λz sean enteros primos relativos entre sı́, o en el caso
en que z 6= 0 podemos dividir por z para obtener (f : g : 1) donde f = x/z y g = y/z .
La punto (0 : 0 : 0) que llamaremos indeterminado, no es un punto de P 2 (Q) .
La altura del punto P = (a : b : c) ∈ P 2 (Q) está definida por
X
máx ν(a), ν(b), ν(c) ,
h(P ) = h(a : b : c) =
ν
donde, como siempre, ν recorre todos las valuaciones sobre Q ; si a , b y c no son cero,
el radical de P se define como
X
r(P ) = r(a : b : c) =
log p .
p : #{νp (a),νp (b),νp (c)}≥2
Se puede chequear fácilmente que las dos definiciones son independientes de la elección de
coordenadas de P (en el caso de la altura usamos la Proposición (2.1)), y que además,
coinciden con las definiciones (2.8)
Definimos el término error de P como
e(P ) = e(a : b : c) = máx h(P ) − r(P ), 0 .
Conjetura 4 (Reformulación de la conjetura abc).
Para todo > 0 existe una constante k tal que
e(P ) ≤ · h(p) + k ,
(2.10)
para todo punto P = (a : b : c) ∈ P 2 (Q) sobre la recta a + b = c con abc 6= 0 .
Si suponemos que en (2.10) conocemos k explı́citamente como una función de entonces, para cada valor de h podemos determinar el mı́nimo ψ(h) de h + k :
ψ(h) = mı́n (h + k ) .
>0
En estas condiciones, la desigualdad de la Conjetura (4) se puede escribir como
e(P ) ≤ ψ h(P ) .
Por ejemplo, si k =
k
k
ψ() = mı́n h +
,
>0
(2.11)
2.6. TEOREMA DE ROTH Y CONJETURA DE MORDELL
37
d
d
h+ k = h − k2 , igualando a cero obtenemos que h+ k tiene un valor mı́nimo cuando
h = k2 es decir, cuando
k 1/2
=
,
h
entonces
h 1/2
k 1/2
√
·h+k·
= 2 hk .
ψ(h) =
h
k
Para x = (x0 : x1 : . . . : xn ) ∈ P n (Q) , la altura de x está definida por:
X
máx (ν(x0 ), . . . , ν(xn )) .
h(x) =
ν
El primero, y más importante hecho sobre las alturas, es que para todo B > 0 el número de
puntos x tales que x ∈ P 1 (Q) y h(x) ≤ B , es finito.
Sea m un polinomio en dos variables con grado total d ; entonces existe una constante
k tal que:
log | mcd (s, t)| ≤ d · h(s : t) + k
(2.12)
para s, t ∈ Z primos relativos.
Una transformación f : P 1 (Q) −→ P m (Q) de grado d se define como en (2.7), tomando
n = 1 y fi ∈ Q[x0 , x1 ] de grado d .
Como podemos denotar el punto f (x) ∈ P 2 por λf0 (x0 , x1 ), . . . , λfm (x0 , x1 ) de tal
manera que sus coordenadas sean enteros primos relativos, entonces para cada primo p
máx νp (λf0 (x0 , x1 )), . . . , νp (λfm (x0 , x1 )) = 0
y
máx ν∞ (λf0 (x0 , x1 )), . . . , ν∞ (λfm (x0 , x1 )) = máx (log |λf0 (x0 , x1 )|, . . . , log |λfm (x0 , x1 )|) ,
por lo tanto
X
h f (x0 : x1 ) =
máx ν(λf0 (x0 , x1 )), . . . , λfm (x0 , x1 )
ν
= máx log |λf0 (x0 , x1 )|, . . . , log |λfm (x0 , x1 )| ;
aplicando (2.12)
h(f (x0 : x1 ) ≤ d h(x0 , x1 ) + k .
La desigualdad −k + d h(x) ≤ h f (x) también es cierta, pero no es tan fácil de demostrar. A continuación veremos las dos desigualdades para una transformación particular, es
decir, mostraremos que
h f (x) − d h(x) ≤ k
(2.13)
para una transformación particular.
Consideremos P : (a : b) 7−→ (a : b : a + b) , entonces
h(x) ≤ h P (x) ≤ h(x) + log 2 ,
(2.14)
38
CAPÍTULO 2. APLICACIONES DE LA CONJETURA ABC
la primera desigualdad resulta obvia por la definición de h , veamos la segunda: Tomando
x0 y x1 primos relativos, por lo que se dijo antes,
h P (x) = máx ν∞ (x0 ), ν∞ (x1 ), ν∞ (x0 + x1 ) ,
y aplicando la desigualdad ν∞ (x0 + x1 ) ≤ log 2 + máx ν∞ (x0 ), ν∞ (x1 ) obtenemos,
h P (x) ≤ máx (ν∞ (x0 ), ν∞ (x1 ), log 2 + máx ν∞ (x0 ), (x1 )
= log 2 + máx ν∞ (x0 ), ν∞ (x1 )
= log 2 + h(x0 : x1 ) = log 2 + h(x) .
Para definir una función de altura sobre C(Q) , primero, escogemos una transformación
f : C −→ P 1 . Si f tiene grado d definimos la altura h(x) = hf (x) de x ∈ C(Q) por
h(x) = hf =
1
· h f (x) .
d
Si g : C −→ P 1 es otra transformación, existe una constante k tal que
q
hf (x) − hg (x) ≤ k · hf (x)
para todo x ∈ C(Q̄) , los puntos con coordenadas algebraicas sobre C .
Consideremos una transformación f : C −→ C 0 entre curvas algebraicas no singulares.
Permitiendo valores complejos para las coordenadas conseguimos una transformación entre
superficies de Riemann, f : C(C) −→ C 0 (C) . Para el punto y ∈ C 0 (C) la preimagen
f −1 {y} contiene, en general, un cierto número de puntos, digamos d . Sólo para un número
finito de puntos y , la preimagen contiene un número diferente de puntos, y en este caso,
ese número es menor que d . El número d con esa propiedad es llamado el grado de f y lo
denotamos por grad (f ) .
Cuando #f −1 {y} < grad (f ) decimos que f es ramificada sobre y .
En general, para un punto x ∈ C(C) , f transforma una vecindad bastante pequeña de
x , en C(C) , en una pequeña vecindad de f (x) , en C 0 (C) , en forma inyectiva.
Sólo para un número finito de puntos x la transformación f no es uno -a - uno en ninguna
vecindad de x , para tales puntos x decimos que f es ramificado en x . En este caso, existe
un número e ≥ 2 y una vecindad pequeña U de x en C(C) tal que, la restricción de f
a U \{x} es e - a - uno; e es llamado la multiplicidad de f en x , y se denota por ex (f ) .
Decimos que f no es ramificada en x si y sólo si ex (f ) = 1 .
Una forma de chequear si f es ramificada en un punto x es por medio de la derivada. Sea
∆ ⊂ C el disco unidad y ϕ : ∆ −→ U una biyección analı́tica, con U como la tomamos
anteriormente y ϕ(0) = x . Ası́ mismo, sea ψ : f (U ) −→ C analı́tica e inyectiva. Entonces
g = ψ ◦ f ◦ ϕ : ∆ −→ C es analı́tica y e - a - uno cerca de 0 . Ası́, g(z) = g(0) + ge · z e + · · ·
y por lo tanto, f es ramificada sobre y si y sólo si g 0 (0) = 0 .
Sabemos que f es ramificada sobre y si y sólo si f es ramificada en algún punto x
tal que f (x) = y . Sea g : C 0 −→ C 00 otra transformación. Entonces grad (g ◦ f ) =
grad f · grad g , y g ◦ f es ramificada exactamente sobre cada punto sobre el cual g es
39
2.6. TEOREMA DE ROTH Y CONJETURA DE MORDELL
ramificada y, sobre cada punto z ∈ C 00 tal que f es ramificado en algún elemento de
g −1 {z} .
Si contamos los puntos en f −1 {y} teniendo en cuenta multiplicidades, este número siempre es grad (f ) , es decir, para cada y ∈ C 0 (C) :
X
ex (f ) = grad (f ) .
(2.15)
x:f (x)=y
Más adelante aplicaremos la llamada fórmula de Hurwitz, la cual relaciona la ramificación
de f con el género de C y el género de C 0 , esta fórmula es la siguiente,
X
2 g(C) − 2 = 2 g(C 0 ) − 2 grad(f ) +
ex (f ) − 1
(2.16)
x∈C(C)
donde g(C) y g(C 0 ) denotan el género de las curvas C y C 0 , respectivamente.
Nótese que la suma de la derecha es finita, ya que sólo para un número finito de x ∈ C(C)
ex (f ) 6= 1 .
La fórmula de Hurwitz es muy útil para hallar el género de ciertas curvas. Hallemos, por
ejemplo, el género de P 1 .
Consideremos la transformación z 7−→ z 2 de P 1 en P 1 .
El grado de esta transformación es 2 , ya que para cada (x0 : x1 ) ∈ P 1 hay, a lo sumo,
dos elementos en su preimagen: (z0 : z1 ) y (z0 : −z1 ) , y como los únicos elementos en P 1
para los cuales ex 6= 1 (es decir, para los cuales
conformada por un sólo
P su preimagen está
elemento) son (0 : z1 ) y (z0 : 0) , entonces,
e
(f
)
−
1
=
2
· (2 − 1) = 2 .
x
x∈C(C)
Aplicando la fórmula de Hurwitz obtenemos
X
2 g(P 1 ) − 2 = 2 g(P 1 ) − 2 · 2 +
ex (f ) − 1 ,
x∈C(C)
y esto implica que
2 · g (P 1 ) = 0 ,
es decir, el género de P 1 es 0 .
Ahora bien, para una transformación que solamente es ramificada sobre 0 , 1 y ∞ tenemos que
X
2 g (C) − 2 = 2 g (C 0 ) − 2 grad (f ) +
ex (f ) − 1
x:f (x)=0,1,∞
0
= 2 g (C ) grad (f ) + grad (f ) +
X
ex (f ) − #f −1 {0, 1, ∞ } ,
x:f (x)=0,1,∞
tomando C 0 = P 1 , por el resultado anterior y por (2.15), sabemos que
3 · grad (f ) , por lo tanto:
P
x:f (x)=0,1,∞ ex (f )
2 g (C) − 2 = 2 g (C 0 ) grad (f ) + grad (f ) + grad (f ) − #f −1 {0, 1, ∞} .
=
(2.17)
40
CAPÍTULO 2. APLICACIONES DE LA CONJETURA ABC
Sea C una curva algebraica de género g . El campo de transformaciones f : C(C) −→
P 1 (C) tiene las valuaciones νx (f )P= − ordx (f ) para cada punto x ∈ C(C) . La proposición
análoga a la Propisición (2.1) es
x νx (f ) = 0 .
Para una transformación no constante
f : C(C) −→ P 1 (C) , definimos la altura y el
radical de P = (f : 1 − f : 1) ∈ P 2 C(C) por
h(P ) = grad(f )
y
r(P ) = #f −1 {0, 1, ∞}
respectivamente. Por (2.15) y (2.16), obtenemos
X
2 g(C) − 2 ≥ −2 grad (f ) +
ex (f ) − 1
x:f (x)=0,1,∞
X
= grad(f ) −
1,
x:f (x)=0,1,∞
de esta manera,
2 g −2 ≥ h(P ) − r(P ) ,
es decir,
h(P ) ≤ 2g − 2 + r(P ) ,
que es precisamente el análogo de la la conjetura abc para funciones algebraicas.
La pregunta que queda, es si esta desigualdad es la mejor posible. En otras palabras, si
existe una transformación f : C −→ P 1 que sea solamente ramificada sobre 0 , 1 y ∞ .
El siguiente teorema responde esta pregunta.
Teorema 2.6 (Belyı̌). Dada una curva algebraica C definida sobre Q y un subconjunto
finito Σ de puntos algebraicos sobre C , existe una transformación f : C −→ P 1 definida
sobre Q únicamente ramificada sobre 0 , 1 y ∞ y tal que f (Σ) ⊆ {0, 1, ∞} .
Demostración. La demostración está dada en tres pasos:
1) Reducción a C = P 1 .
Sea g : C −→ P 1 una transformación definida sobre Q , y consideremos el subconjunto
finito de P 1 :
Σ0 = g(Σ) ∪ {x ∈ P 1 : g es ramificado sobre x } .
Sea f 0 : P 1 −→ P 1 la transformación que resulta al aplicar el teorema a P 1 y Σ0 .
La transformación f = f 0 ◦g es precisamente la que se requiere para demostrar el teorema.
Por esta razón, en adelante, nos dedicaremos a encontrar f 0 .
Supongamos entonces, que C = P 1 y Σ ⊂ P 1 es un conjunto finito de puntos algebraicos.
2.6. TEOREMA DE ROTH Y CONJETURA DE MORDELL
41
2) Reducción del grado de α ∈ Σ .
Sea d el grado maximal sobre Q de los elementos de Σ , escogemos α ∈ Σ de grado
d . El número algebraico α es raı́z de un polinomio m(x) de grado d con coeficientes
racionales.
Definimos la transformación
m : P 1 −→ P 1
x 0
: xd1 ,
m : (x0 , x1 ) 7−→ xd1 · m
x1
la cual es ramificada en ∞ y en todo punto x en el cual la derivada m0 (x) se anula.
Consideremos el conjunto
Σ0 = m(σ) ∪ {m(x) : m0 (x) = 0} ∪ {∞} .
Ahora bien, m(α) = 0 , y para todo β ∈ Σ , el grado de m(β) es a lo más el grado de
β ; además, dado que m0 tiene grado d − 1 , m(x) tiene grado a lo más d − 1 sobre Q
para una raı́z x de m0 .
Por lo tanto, Σ0 contiene menos elementos de grado d que Σ .
Repitiendo este paso, eventualmente Σ contendrá sólo puntos racionales. Podemos entonces asumir que {0, 1, ∞} ⊆ Σ . A saber, si a ∈ Σ entonces la transformación z 7−→ az
es ramificada y transforma a en ∞ ; luego, si {a, 0, ∞} ⊆ Σ , z 7−→ az es ramificado y
transforma a , 0 , ∞ en 1 , 0 , ∞ .
3) Reducción del número de elementos de Σ .
Supongamos que Σ contiene a 0 , 1 y ∞ , y a un cuarto punto a/c tal que a, c 6= 0 y
a 6= c . Consideremos la función
ϕ(x) = λxa (1 − x)c−a .
Esta transformación es posiblemente ramificada en 0 , 1 , ∞ y en puntos x en los cuales
ϕ0 (x) = 0 .
Además, ϕ(x) = 0 o ∞ sólo cuando x = 0, 1 o ∞ . De manera que, para x 6= 0, 1, ∞ ,
0 (x)
ϕ0 (x) = 0 si y sólo si ϕϕ(x)
=0.
Por otro lado,
ϕ0 (x)
a
c−a
= −
,
ϕ(x)
x 1−x
entonces, ϕ0 (x) = 0 si x = a/c .
Escogiendo λ de tal manera que ϕ(c/a) = 1 , ϕ solamente es ramificada en 0 , 1 y
∞ , y dado que ϕ {0, 1, ∞} = {0, ∞} entonces, ϕ(Σ) contiene menos elementos que
Σ . Repitiendo este último paso, eventualmente, Σ sólo contendrá a 0 , 1 y ∞ .
2.6.1.
Teorema de Roth
En 1955, K. J Roth probó el siguiente teorema:
42
CAPÍTULO 2. APLICACIONES DE LA CONJETURA ABC
Teorema 2.7 (Teorema de Roth). Sea α algebraico sobre Q y > 0 . Entonces
s 1
α − < 2+
t
t
solamente para un número finito de números racionales s/t .
Definamos la altura de x = s/t donde s, t ∈ Z son primos relativos, como:
h(x) = máx{log |s|, log |t|} .
Dada una valuación ω de Q y un número algebráico α , extendemos ω a una valiación
de Q(α) , y consideramos la función
λω (x, α) = máx 0, −ω(x − α)
λω (x, ∞) = máx 0, ω(x) ,
con ella formulamos la siguiente generalización del teorema de Roth:
Teorema 2.8 (Generalización del teorema de Roth). Sean > 0 y S un conjunto
de valuaciones de Q . Para cada ω ∈ S definimos αω como un número algebraico o ∞ ,
y extendemos ω a una valuación de Q(αω) . Entonces existe una constante k tal que:
X
λω (x, αω ) ≤ 2h(x) + h(x) + k
(2.18)
ω∈S
para todo x ∈ Q .
En los años sesenta S. Lang conjeturó que el teorema de Roth podı́a ser mejorado a
− log |α − p/q| − 2 log q ≤ (1 + ) log log q , ver [23, pág. 214]. Sin embargo, la forma más
fuerte posible de la conjetura abc solo conduce a
√
log q
p − logα − − 2 log q ≤ k ·
,
q
log log q
para alguna constante k que depende sólo de α .
Teorema 2.9. La conjetura abc en la forma (2.11) implica que existen
constantes k y d
tales que (2.18) es satisfecha por todo x ∈ Q , reemplazando h(x) +k por ψ d·h(x) +k .
Demostración. Sea f : P 1 −→ P 1 la transformación de Belyı̌ asociada a C = P 1 , y
Σ = {(αω : 1) : ω ∈ S} . Como f es una función racional definida sobre Q , la podemos
considerar como un cociente de polinomios homogéneos, primos relativos, y con coeficientes
enteros:
f (x0 : x1 ) = a(x0 , x1 ) : c(x0 , x1 )
donde a, c ∈ Z[x0 , x1 ] son polinomios homogéneos de grado d = grad(f ) .
Sea b(x0 , x1 ) = c(x0 , x1 ) − a(x0 , x1 ) . Consideramos los polinomios a , b y c como
producto de factores homogéneos irreducibles sobre Z[x0 , x1 ] ,
a(x0 , x1 ) = me11 (x0 , x1 ) · · · · · mei i (x0 , x1 ) ,
e
e
i+1
b(x0 , x1 ) = mi+1
(x0 , x1 ) · · · · · mj j (x0 , x1 ) ,
e
j+1
c(x0 , x1 ) = mj+1
(x0 , x1 ) · · · · · mekk (x0 , x1 ) .
2.6. TEOREMA DE ROTH Y CONJETURA DE MORDELL
43
Si dv = grad(mv ) entonces,
#f −1 {0} =
#f −1 {1} =
i
X
dv ,
v=1
j
X
dv ,
v=i+1
#f
−1
k
X
{∞} =
dv ;
v=j+1
por lo tanto,
k
X
dv = #f −1 {0, 1, ∞} .
v=1
Por (2.17): #f −1 {0, 1, ∞ = grad (f ) + 2 − 2 g (C) , pero dado que C en este caso es P 1
entonces, g(C) = 0 , y por lo tanto:
k
X
dv = d + 2 .
(2.19)
v=1
Ahora bien, como para cada ω ∈ S , f (αω ) = 0 , 1 o ∞ (pues, por f una transformación
de Belyı̌ f (Σ) ⊆ {0, 1, ∞} ), el punto αω es una raı́z de uno de los factores irreducibles mv ,
es decir, para algún µ ( 1 ≤ µ ≤ k ) mµ (αω,1 ) = 0 o, mµ (1, 0) = 0 si αω = ∞ .
Dado que los polinomios mv son primos relativos, este mµ es único.
En adelante, si ω = νp o ω = ν∞ es una valuación especı́fica, escribiremos αp o α∞
en lugar de αω .
Sea x ∈ P 1 (Q) un punto tal que f (x) 6= 0, 1, ∞ . Tomamos x = (s : t) con s, t ∈ Z
primos relativos, y aplicamos la conjetura abc al punto:
P = f (x) : 1 − f (x) : 1 = a(s, t) : b(s, t) : c(s, t) .
De acuerdo a las desigualdades (2.13) y (2.14), existe una constante k0 tal que
h(P ) > h f (x) ≥ d h(x) − k0 ;
(2.20)
y para el radical de P :
r(P ) =
X
log p ,
p:#{νp (a),νp (b),νp (c)}≥2
dado que a(s, t) , b(s, t) y c(t) son primos relativos, entonces
r(p) ≤
X
log p
p|a(s,t)·b(s,t)·c(s,t)
=
X
p|mi (s,t)·····mk (s,t)
log p .
(2.21)
44
CAPÍTULO 2. APLICACIONES DE LA CONJETURA ABC
Si S contiene sólo la valuación ν∞ podemos contintinuar de la siguiente manera.
Por (2.21),
r(P ) ≤
≤
k
X
v=1
k
X
log |mv (s, t)|
dv h(x) − λ∞ (x, α∞ ) + K
(2.22)
v=1
para alguna constante K. Esta última desigualdad es consecuencia del Lema (2.5), (ver página
(45) más adelante).
Por (2.19), (2.20) y (2.22), obtenemos
λ∞ (x, α∞ ) ≤
k
X
dv h(x) − r(P ) + K
v=1
= (d + 2) h(x) − r(P ) + K
= 2 · h(x) + K + d h(x) − r(P )
y por la conjetura abc en la forma (2.11),
máx (d h(P ) − r(P ), 0) ≤ ψ d h(x)
por lo tanto,
λ∞ (x, α∞ ) ≤ 2 · h(x) + K + ψ d h(x) ,
y esto implica el Teorema (2.7).
Consideremos ahora el caso en que S contenga más valuaciones.
Por (2.21), si un primo p contribuye con log p al radical de P entonces,
p|mµ (s, t)
para algún µ entre 1 y k . Esta contribución está acotada por −νp mµ (s, t) .
Si νp ∈ S y αp es una raı́z de mµ , aplicamos el caso (ii) del Lema (2.5) (página (45))
para conseguir una mejor cota para la contribuciı́on de p al radical,
log p ≤ −νp mv (s, t) − λp (x, αp ) + Kp
donde Kp es una constante.
De esta manera, la contribución de νp al radical está acotada por
k
X
−νp mv (s, t) ,
si νp 6∈ S
v=1
y por
X
k
v=1
−νp mv (s, t) − λp (x − αp ) + Kp ,
si νp ∈ S .
45
2.6. TEOREMA DE ROTH Y CONJETURA DE MORDELL
Sumando todas las contribuciones, obtenemos, por la Proposición (2.1):
r(P ) ≤
k
X
log |mv (s, t)| −
v=1
X
X
λω (x, αω ) +
ω∈S, finito
Kω ,
ω∈S, finito
y concluimos (como en (2.22)) que:
r(P ) ≤
k
X
v=1
dv h(x) −
X
λω (x, αω ) + K
(2.23)
ω∈S
para alguna constante K .
Finalmente, combinando (2.23), (2.19) y (2.20), por la conjetura abc (en la forma (2.11))
obtenemos:
X
λω (x, αω ) ≤ 2 · h(x) + K + ψ d h(x) ,
ω∈S
y ésto concluye la prueba.
Lema 2.5. Sea α algebraico sobre Q de grado d , o α = ∞ , en cuyo caso d = 1 . Sea
m(x0 , x1 ) ∈ Z[x0 , x1 ] el polinomio minimal homoéneo tal que m(α, 1) = 0 (o m(x0 , x1 ) =
x1 , si α = 0 ). Sea ω una valuación de Q que extendemos a una valuación de Q(α) .
Entonces, existe una constante K tal que, para todo x = s/t ∈ Q , con s y t son primos
relativos:
i) Si ω = ν∞ ,
νω m(s, t) ≤ d h(x) − λ(x, α) + K .
ii) Si ω = νp ,
νp m(s, t) ≤ −λp (x, α) + K .
Demostración. Si α = ∞ , el resultado se sigue directamente de la definición de las valuaciones y de λω . La demostración en el caso α 6= ∞ se encuentra en [34, pág. 64].
2.6.2.
Conjetura de Mordell
En 1992, L. J Mordell hizo la siguiente conjetura, ver [26],
Conjetura 5 (Conjetura de Mordell). Si C es una curva algebraica definida sobre Q
de género g ≤ 2 , entonces C(Q) es finito.
La conjetura de Mordell fué probada por Faltings en 1983 [14]. En 1991, Vojta presentó una prueba por medio de aproximación diofántica, ver [6, 15, 35]. Pero, tal como Vojta
afirmó en [35], las demostraciones conocidas de esta conjetura son inefectivas, en el sentido,
que dada una curva algebraica, se puede obtener una cota superior explı́cita para el número
de puntos en C(Q) , pero no para su altura. Tal demostración es posible a partir de la
conjetura abc.
La conjetura abc implica Mordell efectivo, usando la conjetura abc, obtenemos un algorı́tmo para encontrar puntos de C(Q) como sigue:
46
CAPÍTULO 2. APLICACIONES DE LA CONJETURA ABC
i) Se construye un transformación especial f : C −→ P 1 ;
ii) Entonces para todo punto x ∈ C(Q) , la altura de f (x) está acotada por una constante
expı́cita o f (x) = 0 , 1 o ∞ .
La demostración y algunas nociones adicionales a las que hemos dado pueden ser consultada en [34, pág. 64–69].
Capı́tulo 3
Conjeturas equivalentes a la
conjetura abc
3.1.
Formulación de Oesterlé de la conjetura abc
Bajo hipótesis apropiadas Oesterlé condideró
log máx (|a|, |b|, |c|)
log c
=
log rad (a, b, c)
log rad (abc)
L = L(a, b, c) =
y se preguntó L tenı́a una cota. Ésta será la forma de la conjetura abc que vamos a considerar.
Teorema 3.1. La conjetura abc se sigue si y sólo si limsup{L} ≤ 1 .
Demostración.
( ⇒ ) Asumiendo la conjetura abc,
log máx(|a|, |b|, |c|)
log rad(abc)
log k (rad abc)1+
≤
log rad abc
log k
=
+ (1 + ) .
log rad abc
L(abc) =
Fijamos y ponemos k = k .
Lo que queremos conseguir es
log k
≤
log rad abc
para todas excepto un número finito de triplas (a, b, c) , esta desigualdad equivalente a
log rad abc ≥
log k
,
que a su vez, se tiene si y sólo si
rad abc ≥ M := elog k / .
47
(3.1)
48
CAPÍTULO 3. CONJETURAS EQUIVALENTES A LA CONJETURA ABC
Y (3.1) se cumple, dado que por las hipótesis de la conjetura abc existe sólo un número finito
de triplas (a, b, c) tales que rad (abc) ≤ M .
(⇐)
Supongamos que lı́m sup{L} ≤ 1 . Esto es equivalente a
log cn
,
lı́m sup
log rad (an , bn , cn )
entonces
log cn
≤1+
log rad (an bn cn )
para n suficientemente grande.
Entonces, para n ≥ N para algún N ∈ Z :
1+
cn ≤ rad (an bn cn )
.
Buscamos constantes µ1 (), µ2 (), . . . , µN () tales que
1+
ci ≤ µi () · rad (an bn cn )
para todo i = 1, . . . , N .
Sea µ() = máx1≤i≤N µi () , entonces
1+
cn ≤ µ() · rad (an bn cn )
para todo n .
Recordemos un ejemplo dado en el Capı́tulo 1, en el cual pusimos
n
an = 32 − 1 ,
bn = 1 y
n
cn = 32 ;
para estos valores:
n
log 32
Ln =
log rad (32n − 1) · 1 · 32n
n
log 32
log 3 + log rad (32n − 1)
n
log 32
≥
n 2
log 3 + log 2 · rad 3 2n−1
≥
2n log 3
.
log 3 + log 2 + log (32n − 1) − log 2n
Ln ≥
2n · log 3
.
log 3 + log(32n − 1) − (n − 1) log 2
Por lo tanto
(3.2)
3.2. CONJETURA ABC EN CONGRUENCIAS
49
y para n = 3
L3 ≥
8 · log 3
log 3 + log(38 − 1) − 2 log 2
en particular, tenemos L3 > 1 .
Obsevemos que el cociente de la desigualdad (3.2) crece cuando n llega a ser suficientemente grande. Por lo tanto, existen infinitas triplas (an , bn , cn ) tales que Ln > 1 . Con
esto hemos mostrado:
Teorema 3.2. La conjetura abc es verdadera si y sólo si lı́m sup{L} = 1 .
3.2.
Conjetura abc en Congruencias
Entenderemos por una tripla (a, b, c) , una tripla de enteros que satisfacen a + b + c = 0
y mcd (a, b, c) = 1 .
Oesterlé en su “Nouvelle approches du thèoréme de Fermat” abserva que si la conjetura
abc se cumple para toda tripla (a, b, c) para la cual 16|abc entonces, la conjetura abc es
cierta para toda tripla (a, b, c) .
Este resultado se puede extender mostrando que si para algún entero N (≥ 2) la conjetura
abc en congruencias es cierta para cada tripla (a, b, c) tal que N |abc entonces la conjetura
abc se sigue.
La demostración de este hecho se debe a Ellenberg.
Para nuestras propósitos, una abc-solución s es una tripla (a, b, c) de enteros distintos,
tal que a y b son enteros negativos.
Si n > 0 es un entero, para cada > 0 definimos la siguiente función
f (s, ) = log(c) − (1 + ) log rad (abc)
entonces la conjetura abc puede enunciarse de la siguiente manera:
Conjetura 6. Para cada > 0 , existe una constante C tal que para cada s , f (s, ) < C .
Esta conjetura es evidentemente equivalente a la Conjetura (1), (la constante k serı́a
una constante k0 que depende de C ).
Conjetura 7 (Conjetura abc en congruencia para N ). Sea N un entero ( ≥ 2 ).
Para cada > 0 existe una constante CN, para la cual, f (s, ) < CN, para toda s tal
que N |abc .
Este enunciado es más débil que el de la conjetura abc, ya que está restringido por una
condición de congruencia ( abc ≡ 0 (mód N ) . Sin embargo, probaremos que si la conjetura
en congruencias es cierta para algún N , entonces la conjetura abc sin restricciones es tambien
verdadera.
Teorema 3.3. Sea N ≥ 3 . Si la conjetura abc en conguencia es verdadera para N ,
entonces la conjetura abc es verdadera.
50
CAPÍTULO 3. CONJETURAS EQUIVALENTES A LA CONJETURA ABC
Demostración. Para cada entero positivo par n definimos Θn sobre las abc-soluciones como
sigue,
n
Θn (s) = (−2−m (a − b)n , −2−m cn − (a − b) , 2−m cn )
donde
(
m = n, si c es par,
m = 0, en otro caso.
Veamos que Θn (s) es nuevamente una abc-solución.
Sea
A = −2−m (a − b)n ,
n
B = −2−m cn − (a − b)
y
−m n
C=2
c .
Entonces
A + B + C = −2−m (a − b)n + cn − (a − b)n − cn
= 0.
Si c es par,
a−b n
A=−
,
2
cn − (a − b)n
,
B=−
n
n 2
c
C=
;
2
por ser c un número par, a y b deben ser impares, puesto que mcd (a, b, c) = 1 ; por lo
tanto, a − b es par, luego A, C ∈ Z y por consiguiente,
a−btambién
B ∈ Z . En este caso
a+b
mcd (A, B, C) = 1 pues, si d 2c y d a−b
entonces
d
+
es decir, d es divisor
2
2
2
común para c y a , pero como mcd (a, b, c) = 1 y a + b + c = 0 entonces d = 1 .
Ahora bien, si c es impar
A = −(a − b)n ,
B = (a − b)n − cn ,
C = cn ;
obviamente, A , B y C son enteros y mcd (A, B, C) = 1
Lema 3.1. Existen constantes cn, > 0 y c0n, tales que,
f Θn (s),
n + (n + 1)
≥ cn, f (s, ) + c0n, .
51
3.2. CONJETURA ABC EN CONGRUENCIAS
Demostración. Como Θn (s) es una abc-solución podemos aplicarle f , conservando la notación introducida anteriormente, tenemos que
−m n
f Θn (s),
= log(2 c ) − 1 +
· log rad (ABC) ,
n + (n + 1)
n + (n + 1)
B
log rad(ABC) ≤ log |a − b| rad (abc) rad
ab
y
B
(a + b)n − (a − b)n
=
ab
ab
(a + bn−1 + (a + b)n−2 (a − b) + · · · + (a − b)n−1
= 2b ·
ab
2a · (a + b)n−2 + (a + b)n−4 (a − b)2 + · · · + (a − b)n−2
=2·
a
(nótese que en este último paso hemos usado que n es un número par).
= 2 · 2 (a + b)n−2 + (a + b)n−4 (a − b)2 + · · · + (a − b)n−2
n
≤ 2 · 2 · (a + b)n−2
2
(pues como a y b tienen el mismo signo entonces, |a+b| ≥ |a−b| , y por lo tanto (a+b)2 ≥
(a − b)2 .)
= 2n(a + b)n−2
= 2ncn−2 .
De acuerdo a esto tenemos que
log rad (ABC) ≤ |a + b| + log rad (abc) + log(2ncn−2 )
= log rad (abc) + (n + 2) log c + log 2n
≤ (n − 1) log c + log rad (abc) + log 2n
log c − f (s, )
= (n − 1) log c +
+ log 2n
1+
= (n + 1) log c + (1 + )−1 log c − (1 + )−1 f (s, ) + log 2n .
Como C =
cn
2m
entonces, log C = n log c − m log 2 y por lo tanto,
log rad (ABC) ≤ log C + m log 2 − log c + (1 + )−1 log c
− (1 + )−1 f (s, ) + log 2n
= 1 − (n(1 + ))−1 (log C + m log 2)
− (1 + )−1f (s, ) + log 2n .
Entonces,
log rad (ABC) + (1 + )−1 f (s, ) − log 2n
− m log 2 ≤ log C
1 − (n(1 + ))−1
52
CAPÍTULO 3. CONJETURAS EQUIVALENTES A LA CONJETURA ABC
y por lo tanto,
f Θn (s),
n + (n − 1)
log rad (ABC) + (1 + )−1 f (s, ) − log 2n
1 − (n(1 + ))−1
· log rad (ABC) .
− m log 2 − 1 +
n + (n + 1)
≥
Tomando
cn, =
(1 + )−1
−1
1 − n(1 + )
n
=
n(1 + ) − y
c0n, = −
n(1 + )
· log 2n − m log 2
n + n + 1
obtenemos el resultado que se buscaba.
Continuando con la demostración del teorema, si la conjetura abc en conguencia es verdadera para N , existe una constante CN, tal que f (s, ) < CN, para cada s tal que
N |abc .
Si aplicamos la función φ de Euler a N = pa11 pa22 · · · pal l , sea
n = φ(N )
1
1
1
=N 1+
.
1+
··· 1 +
p1
p2
pl
Obervemos que si N = 2 el teorema es trivial pues, dado que a + b + c = 0 al menos
uno de los tres es par. Ası́ que en adelate, consederaremos N > 2 .
Lema 3.2. Si N > 2 y (A, B, C) = Θn (s) entonces N |ABC .
Demostración. Sea p un primo que divide a N tal que ordp N = v . Entonces φ(pv )| =
n
(p − 1)pv−1 |n y, v < n (ya que v ≤ log
log p < n ).
Supongamos inicialmente que p es impar.
Siguiendo con la notación establecida al comienzo de la demostración del teorema.
Si p|c , dado que p es un primo impar entonces pn |C , similarmente si p|(a − b) entonces
pn |A .
Es decir, si p es divisor de alguno de los dos, de c o de a − b entonces,
pn |ABC
y como v < n entonces,
pv |ABC .
53
3.2. CONJETURA ABC EN CONGRUENCIAS
En el caso en que p - c y p - (a − b) tenemos (c, pv ) = (a − b, pv ) = 1 . Aplicando el
teorema de Euler,
v)
cφ(p
≡1
v)
(mód pv )
y
(a − b)φ(p
(mód pv )
y
(a − b)n ≡ 1
≡1
(mód pv ) ,
como φ(pv )|n entonces,
cn ≡ 1
(mód pv ) ,
por lo tanto
cn − (a − b)n ≡ 0
(mód pv )
y dado que p es impar, lo anterior implica que
pv |B
y como consecuencia
pv |ABC .
Ahora consideremos el caso p = 2 . Sea ord2 (N ) = r .
Si c es par, dado que a+b+c = 0 , entonces a+b y a−b son enteros pares, exactamente
uno de ellos múltiplo de 4 (pues si a + b = 2k y a − b = 2k 0 ( k, k 0 ∈ Z ), 2a = 2(k + k 0 ) y
como mcd (a, b, c) = 1 entonces k y k 0 no pueden tener la misma paridad). Por lo tanto,
exactamente uno de los dos cn o (a − b)n es múltiplo de 4n , es decir, sólo uno de los dos
n
n
A = − (a−b)
o C = 2cn es múltiplo de 2n . Y como r < n , aquel que sea múltiplo de 2n
2n
también lo es de 2r , entonces 2r |ABC .
Si c es impar, también a + c y a − b son impares luego, cn y (a − b)n son ambos
congruentes a 1 módulo 2n , es decir
(a − b)n ≡ cn
(mód 2n ) ,
lo que significa que 2n |B y por lo tanto que 2r |B .
Esto último implica que
2r |ABC .
De acuerdo a todo lo anterior tenemos entonces, que todo divisor de N divide al producto
ABC , es decir, N |ABC .
Sea > 0 y s una abc-solución. Por la conjetura abc en congruencia para N , existe
una constante CN, tal que para cada n
f (Θn (s), ) < CN, .
De acuerdo al Lema (3.1), existen constantes c0n, y cn, para las cuales
f Θn (s), n+(n−1)
− c0n,
f (s, ) ≤
cn,
0
C0 − cn,
<
cn,
54
CAPÍTULO 3. CONJETURAS EQUIVALENTES A LA CONJETURA ABC
donde 0 =
n+(n−1)
,
dado que ninguna de las constantes C0 , c0n, , cn, que aparecen en la desigualdad anterior
depende de la abc-solución, podemos decir entonces que:
Para cada > 0 existe una constante k tal que para cada abc-solución, f (s, ) < k .
Y ésta es precisamente la conjetura abc.
El recı́proco del teorema anterior se cumple trivialmente.
Por lo tanto, la conjetura
abc es equivalente a la conjetura abc en congruencia para N ( n ≥ 2 ).
3.3.
Conjetura de Szpiro
Sea K un campo y F (x0 , x1 , x2 ) ∈ K[x0 , x1 , x2 ] un polinomio homogéneo de grado d .
Se dice que la ecuación
F (x0 , x1 , x2 )
define una curva de grado d sobre K . Si L es un campo que contiene a K uno puede
considerar los ceros de F en P 2 (L) (el 2-espacio proyectivo) que son precisamente los puntos
en la hipersuperficie H F (L) definida por F en P 2 (L) , H F (L) = {[a] ∈ P n (K) : F (a) = 0} .
Por lo tanto una hipersuperficie en espacio 2-proyectivo es apropiadamente llamada una curva.
Un punto a ∈ H F (L) es un punto no singular si no es solución simultánea a las ecuaciones
∂F
= 0,
∂x0
En este caso la recta
0=
∂F
= 0,
∂x1
∂F
= 0.
∂x2
∂F
∂F
∂F
(a)x0 +
(a)x1 +
(a)x2
∂xo
∂x1
∂x2
es llamada la recta tangente a F en a . Se dice que la curva F (x0 , x1 , x2 ) es no singular
si para toda extención L de K todos los puntos en H F (L) son no singulares.
Si F está definida sobre K , un cero de F en P 2 (K) se dice que es un punto racional
sobre K .
Diremos que un polinomio cúbico homogéneo no singular
F (x0 , x1 , x2 ) ∈ K[x0 , x1 , x2 ]
define una curva elı́ptica sobre K si este tiene un punto racional sobre K .
La razón por la cual se les dá este nombre proviene del hecho que las coordenadas de sus
puntos pueden expresarse en términos de un parámetro elı́ptico u valiendose de la funcón
de Weierstrass.
Si F (x0 , x1 , x2 ) define una curva elı́ptica sobre K y L es un campo de extensión de
K notamos H F (L) como E(L) .
3.3. CONJETURA DE SZPIRO
55
Si la caracterı́stica del campo K no es 2 ni 3 se puede mostrar que una curva elı́ptica
sobre K puede ser transformada en una de la forma
x0 x22 = x31 − Ax20 x1 − Bx30 ,
A, B ∈ K .
(3.3)
Esta curva tiene exactamente un punto en el infinito, a saber (0, 0, 1) . Si x0 6= 0 sea
x = x1 /x0 y y = x2 /x0 . Entonces, en coordenadas afines la ecuación de la curva es
y 2 = x3 − Ax − B .
(3.4)
La no singularidad de
F (x0 , x1 , x2 ) = x0 x22 − x31 + Ax20 x1 + Bx30
es equivalente a que
∆ = 16(4A3 − 27B 2 ) 6= 0 .
Recı́procamente si ∆ 6= 0 entonces F define una curva elı́ptica.
Por medio de las llamadas tranformaciones birracionales que consisten en cambios de
variables del tipo
x = ϕ(z, u) ,
y = ψ(z, u) ;
z = Φ(x, y) ,
u = Ψ(x, y) ;
donde ϕ, ψ, Φ, Ψ son funciones racionales, se establece una correspondencia biunı́voca entre
los puntos de las curvas
f (x, y) = 0
y
f (z, u) = f ϕ(z, u), ψ(z, u) = 0 ,
salvo un número finito puntos.
Mediante una transformación birracional de una curva a otra puede cambiar el grado de
la ecuación o su forma, pero hay algo que no varı́a, el número positivo llamado el género g
de la curva. Este hecho es un conocido teorema de Riemann.
En el caso de las curvas de tercer grado es posible caracterizar aquellas que tienen géneros
0 y 1.
Si la curva f (x, y) = 0 tiene un punto singular, la curva es de género 0 . En el caso
contrario, la curva es de género 1 .
Siendo F (x0 , x1 , x2 ) un polinomio homogéneo de grado d , consideramos la ecuación
correspondiente en coordenadas afines f (x, y) = F (1, x, y) . Para encontrar los puntos de
intersección de f (x, y) con la recta y = mx + b simplemente sustituimos y y encontramos
las soluciones de f (x, mx + b) = 0 . Dado que F tiene grado d esta última ecuación
generalmente tiene grado d , Si estamos en un campo algebraicamente cerrado L habrán
d raı́ces contando multiplicidades. Las únicas excepciones serán las intersecciones en el
infinito, en cuyo caso f (x, mx + b) tendrá grado menor que d . En el caso particular de las
curvas elı́pticas, si P1 , P2 ∈ E(L) entonces la recta que une P1 y P2 intersecta la curva en
un tercer punto P3 unı́vocamente determinado que también pertenece a E(L) . Si P1 = P2
entonces la recta tangente en P1 da lugar a un tercer punto P3 . Este procedimiento para
encontrar puntos racionales sobre curvas elı́pticas debido a Bachet, sugiere la posibilidad de
56
CAPÍTULO 3. CONJETURAS EQUIVALENTES A LA CONJETURA ABC
que todos los puntos racionales de la cúbica f (x, y) = y 2 − x3 + Ax + B se obtienen de esta
forma.
Supongamos ahora, K = Q . En 1922, intentando demostrar este hecho anterior, L.J. Mordell
demostró el siguiente teorema, conjeturado por H. Poincaré en 1901.
Sea E una curva elı́ptica definida sobre Q .
tamente generado .
Entonces E(Q) es un grupo abeliano fini-
En otras palabras, Mordell demostró sobre curva elı́ptica E definida sobre Q existen
puntos P1 , . . . , Pr a partir de los cuales se obtienen todos los puntos recionales de la curva
mediante el trazado de rectas tangentes y secantes.
En 1928 A. Weil estendió este resultado al caso en que Q es reemplazado por un campo
arbitrario de números algebráicos. El teorema que se obtiene es llamado el teorema de
Mordell-Weil.
El menor valor posible de r se llama el rango de la curva.
Una curva elı́ptica E sobre un campo K tiene ecuación de Weierstrass generalizada (o
modelo) de la forma
E : y 2 + a1 xy + a3 y = x3 + a2 x2 + a4 x + a6
(3.5)
donde ai ∈ K para i = 1, 2, 3, 4, 6 .
Siguiendo las formulaciones de Tate definimos
b2 = a21 + 4a2 ,
b4 = a1 a3 + 2a4 ,
b6 = a23 + 4a6 ,
b8 = a21 a6 − a1 a3 a4 + 4a2 a6 + a2 a23 − a4 ,
el discriminante de E
∆ = −b22 b8 − 8b34 − 27b26 + 9b2 b4 b6
y
j=
a34
.
∆
Para cada primo p consideramos el campo Qp de los racionales p-ádicos. Sea νp la
valuación p -ádica normalizada de tal manera que νp (p) = 1 y por lo tanto Zp = {x ∈ Qp :
νp (x) ≥ 0} .
Sea p un número primo fijo. Entre todos los modelos isomorfos de una curva elı́ptica
dada definida sobre Qp podemos encontrar uno donde todos los coeficientes ai estén en Zp
y ası́, νp (∆) ≥ 0 . Esto se hace posible mediante el cambio de coordenadas
x → u−2 x
y → u−3 y ,
57
3.3. CONJETURA DE SZPIRO
el cual conduce cada ai en ui ai , entonces u se escoge como una potencia de p .
Dado que νp es una función discreta, además podemos considerar una ecuación en la
cual νp (∆) sea del menor valor posible.
Si E una curva elı́ptica sobre Q con ecuación de Weierstrass (3.5) . Decimos que E es
minimal p si: ai ∈ Zp (i = 1, 2, 3, 4, 6) y −νp (∆) es minimal entre todos los modelos
isomorfos de E sobre Qp .
Decimos que E es un modelo minimal global si E es minimal para todo primo p .
Consideremos entonces, una curva elı́ptica E definida sobre Q (modelo minimal global)
con ecuación de Weierstrass
E : y 2 + a1 xy + a3 y = x3 + a2 x2 + a4 x + a6 ,
asociamos a E dos invariantes, el discriminante ( ∆ ) y el conductor ( N ).
Discriminante: ∆ = −b22 b8 − 8b34 − 27b6 + 9b2 b4 b6
Q f
Conductor: N = p ∆pp donde


0



1
fp =

2+δ




si E(Fp ) es no singular,
si E(Fp ) tiene una singularida nodal,
si E(Fp ) tiene una singularidad de cúspide,
δ = 0 si p 6= 2, 3 .
Los valores del conductor fueron mostrados por primera vez en 1967 por Ogg.
Conjetura 8 (Conjetura de Szpiro (1981)). Sea E una curva elı́ptica sobre Q que es
modelo minimal con discriminante ∆ y conductor N . Entonces, para todo > 0 existe
una constante K() > 0 tal que
∆ < K N 6+ .
Teorema 3.4. La conjetura abc es equivalente a la conjetura de Szpiro.
Demostración.
Conjetura abc (débil) ⇒ Conjetura de Szpiro.
Como Q es un campo de caracterı́stica la curva elı́ptica E puede ser transformada a
una de la forma (3.3) cuya representación en coordenadas afines está dada por (3.4).
Fijemos > 0 y sea 00 = 21 . Tomemos
D = 4u3 − 27v 2 = D .
Por la conjetura abc, (en particular por nuestra demostración la conjetura de Hall (2.3))
|u| (rad D)
para algún 0 < 0 ≤
00
(18+500 )
.
2(1+0 )
1−50
y
|v| (rad d)
3(1+0 )
1−50
58
CAPÍTULO 3. CONJETURAS EQUIVALENTES A LA CONJETURA ABC
Entonces
00
ku| (rad D)2+
00
|v| (rad D)3+
y
y por lo tanto
00
|u|3 (rad D)6+3 = (rad D)6+
y
00
|v|2 (rad D)6+3 = (rad D)6+
luego,
|D| = |4u3 − 27v 2 | 5 4|u|3 + 27|v|2 (4 + 27)(rad D)6+
con lo cual obtenemos que
∆ (rad D)6+ N 6+ .
Conjetura de Szpiro (⇒) Conjetura abc.
La demostración de esta implicación se encuentra en [24], aquı́ presentamos la demostración de algo un poco más débil.
Conjetura 9 (Conjetura abc (débil)). Sean a, b, c enteros primos entre sı́ que satisfacen
a + b = c . Eentonces, para todo > 0 existe una constante k tal que
|abc|1/3 < k rad (abc)1+ .
A partir de la conjetura abc se deduce facilmente la anterior, y decimos que es una versión
débil pues no es posible a partir de ella demostrar la conjetura abc.
La conjetura abc implica la conjetura abc (débil), ya que para toda tripla de enteros
a, b, c
|a|, |b|, |c| ≤ máx (|a|, |b|, |c|)
y dado que a, b, c son distintos, entonces
3
|a| · |b| · |c| < máx (|a|, |b|, |c|)
y por lo tanto,
|abc| = |a| · |b| · |c|
3
< máx (|a|, |b|, |c|) .
Conjetura de Szpiro (⇒) Conjetura abc (débil).
Sean a, b, c enteros primos relativos tales que a + b + c = 0 .
3.3. CONJETURA DE SZPIRO
59
Consideremos la curva de Frey-Hellegouarch
Ea,b : y 2 = x(x − a)(x − b) .
Un modelo minimal para esta curva tiene discriminante
∆ = (abc)2 · 2−s
y conductor
N = rad (abc) · 2−t
donde s y t son enteros acotados.
Por la conjetura de Szpiro, para cada > 0 existe una constante K > 0 tal que
∆ = (abc)2 · 2−s
< K N 6+
= K (rad (abc) · 2−t )6+ ,
y entonces tenemos que
|abc|1/3 < (K · 2−t(6++s)/6 · rad (abc)(6+)/6 .
Si ponemos k = K · 2−t(6++s)/6 , k es entonces una constante que solo depende de y
para la cual
|abc|1/3 = k rad (abc)(6+)/6
< k rad (abc)1+ .
De esta manera, dado un > 0 hemos encontrado una constante k tal que
|abc|1/3 < k rad (abc)1+
es decir, a partir de la conjetura de Szpiro se sigue la conjetura abc (débil).
Capı́tulo 4
Evidencia de la Conjetura abc
4.1.
La Evidencia
Recordemos el enuciado de la conjetura abc presentado en el Capı́tulo (1),
Para todo > 0 existe una constante k tal que, si a, b, c son enteros positivos primos
relativos, para los cuales a + b = c entonces:
Y 1+
c ≤ k
p
.
p|abc
En 1986 , Stewart y Tijdeman obtuvieron una cota superior para c en función de
rad (abc) , ellos probaron lo siguiente:
Existe una constante positiva c0 efectivamente calculable la cual, para todos los enteros
positivos a , b y c tales que a + b = c y mcd (abc) = 1 ,
c < exp c0 (rad abc)15 .
(4.1)
La prueba depende de una estimación p –ádica para formas lineales en logaritmos de números
algebraicos debida a van der Poorten [33]. En 1991, Stewart y Yu reforzaron (4.1); ellos
probaron el siguiente teorema combinando una estimación p -ádica para formas lineales en
logarı́tmos de números algebraicos desarrollada por Yu [39], con una temprana estimación
Arquimediana debida a Waldshmidt [36],
Teorema 4.1. Existe una constante k efectivamente calculable tal que para todos los enteros
positivos a , b y c con a + b = c , mcd (a, b, c) = 1 y c > 2 ,
c < exp (rad abc)2/3+k/ log log rad abc .
(4.2)
C. L. Stewart y Kunrui Yu en junio del 2001 presentaron dos mejoramientos sobre (4.2).
Teorema 4.2. Existe un número positivo efectivamente calculable k1 tal que, para todos los
enteros positivos a , b y c con a + b = c y mcd (a, b, c) = 1 ,
z < exp k1 (rad abc)1/3 (log rad abc)3 .
(4.3)
61
62
CAPÍTULO 4. EVIDENCIA DE LA CONJETURA ABC
El nuevo ingrediente clave de la prueba es una estimación de Yu [40] para formas lineales
p –ádicas de números algebraicos que tiene una mejor dependencia del número de términos en
la forma lineal, que la estimación p−ádica previa. Los detalles sobre la medida arquimediana
usada por Yu se pueden ver en el trabajo de E. M. Matveen [25]. Ellos emplearon esta
estimación con el objetivo de controlar el orden p− ádico en los primos p más pequeños que
dividen a a , b y c .
Un examen cuidadoso en la prueba del teorema anterior revela que el abstáculo para mejorarlo no es la dependencia sobre el número de términos de la estimación para formas lineales
en logarı́tmos, en lugar de esto, es la dependencia sobre el parámetro p en la estimación
p –ádica. Este hecho se resalta en el resultado que enunciamos a continuación, también de
Stewart y Yu, el cual muestra que si el factor primo más grande de a , b o c es pequeño en
relación con rad (abc) , entonces la estimación para c del Teorema (4.2) puede ser mejorada.
Si pa , pb y pc denotan los factores primos más grandes de a , b y c respectivamente,
con la convención de que el factor primo más grande de 1 es 1 ; y p0 = mı́n (pa , pb , pc ) . El
resultado puede ser enunciado de la siguiente manera.
Teorema 4.3. Existe un número positivo k2 efectivamente calculable tal que, para todos los
enteros positivos a , b y c con a + b = c y c > 2 ,
c < exp p0 (rad abc)k2 ·log3 (r∗ )/log2 rad (abc)
(4.4)
donde r∗ = máx rad (abc), 16 .
Las demostraciones de los teoremas (4.2) y (4.3) se encuentran con todos sus detalles en
[32]. Nosotros presentamos aquı́ la demostración del Teorema (4.1).
A contiuación daremos algunas notaciones y lemas preliminares que serán de gran utilidad
en la demostración del Teorema (4.1)
Si p es un número primo, sea
(
2 si p > 2
q=
3 si p = 2 ,
(
ζ4 si p > 2
α0 =
ζ2 si p = 2
y
donde ζm = e2πi/m siendo m un entero positivo.
Sea K = Q(α0 ) y D = Ω ∩ K el anillo de los enteros algebraicos en K.
p
Para c = x + iy ∈ C , |c| = x2 + y 2 . Entonces, si α1 , . . . , αn ∈ D son tales que
|αi ≤ Ai | para 1 ≤ i ≤ n donde cada Ai ≥ 4 ,
A = máx Ai .
1≤i≤n
Sean b1 , . . . , bn enteros racionales (es decir, en Z ) tales que |bi | ≤ B para 1 ≤ i ≤ n ,
donde B es un entero fijo ≥ 3 .
63
4.1. LA EVIDENCIA
Para cada α ∈ K \ {0} , dado que D es un dominio de Dedekind, el dominio del ideal
e℘
(α)D puede ser escrito como un producto de ideales primos en D , es decir (α)D = ℘1 1 ·
e℘
· · · · ℘g g ; definimos ord℘i α = e℘i , que es el ı́ndice de ramificación de ℘i , y f℘ el grado de
la clase residual. Y por último, sea Θ = α1b1 · · · αnbn − 1 .
1/q
1/q Lema 4.1. Si K α0 , . . . , αn : K = q n+1 , ord℘ αj = 0 para j = 1, . . . , n y Θ 6= 0 ,
entonces
ord℘ Θ < (c1 n)n p2 · log B · log log A · log A1 · · · · · log An
donde c1 es un número efectivamente calculable.
1/2
1/2 Lema 4.2. Para α1 , . . . , αn ∈ Z+ , si Q α1 , . . . , αn : Q = 2n y b1 · log α1 + · · · + bn ·
log αn 6= 0 , entonces
|b1 · log α1 + · · · + bn · log αn | > exp(−c2 n)n log b(log log A)2 log A1 · · · log An .
donde c2 es un número positivo efectivamente calculable.
Lema 4.3. Sean α1 , . . . , αn números primos tales que α1 < α2 < · · · < αn . Entonces
1/2
1/2
Q α1 , α2 , . . . , αn1/2 : Q = 2n .
Si q = 2 y α0 = ζ4 o q = 3 y α0 = ζ6 , y K = Q(α0 ) . Entonces
1/q
1/q
K α0 , α1 , . . . , αn1/q : K = q n+1
excepto cuando q = 2 , α0 = ζ4 y α1 = 2 , y en este caso
1/2
1/2
K α0 , (1 + i)1/2 , α2 , . . . , αn1/2 : K = 2n+1 .
Lema 4.4. Sea p1 = 2, p2 , . . . la sucesión de números primos en orden creciente. Entonces
existe una constante efectivamente calculable c3 > 0 tal que para todo entero positivo r ,
r
Y
j=1
pj
>
log pj
r+3
c3
r+3
.
El lector que este interesado en las demostraciones de los lemas anteriores las puede
encontrar en [31].
La siguiente prueba es debida a Stewart y Yu.
Demostración del Teorema (4.1).
Sean c4 , c5 , . . . constantes positivas efectivamente calculables. Sin pérdida de generalidad
supongamos que a ≤ b . Dado que a + b = c , mcd (a, b, c) = 1 y c ≥ 2 , se sigue que
a < b < c y rad(abc) ≥ 6 . Escribimos
a = pe11 · · · pet t
b = q1f1 · · · qufu
c = sg11 · · · sgvv
64
CAPÍTULO 4. EVIDENCIA DE LA CONJETURA ABC
donde p1 , . . . , pt , q1 , . . . , qu , s1 , . . . , sv son primos distintos con t ≥ 0 , u ≥ 1 , v ≥ 1 y
e, f, g ∈ Z+ .
De nuevo, denotamos por pa el primo más grande que divide a a , excepto cuando a = 1
en cuya situación simplemente ponemos pa = 1 ; similarmente notamos por pb y pc el primo
más grande que divida a a y c respectivamente.
Entonces para cualquier primo p
máx (ordp a, ordp b, ordp c) ≤
log c
.
log 2
(4.5)
Por otro lado,
log c =
X
(ordp c · log p) ≤ máx (ordp c) · log (rad abc)
(4.6)
p|c
p|c
pues,
X
(ordp c · log p) ≤
p|c
X
p|c
máx(ordp c) · log p
p|c
= máx(ordp c) ·
p|c
X
p|c
= máx(ordp c) · log
p|c
log p
Y p .
p|c
Dado que (a, b) = (a, c) = (b, c) = 1 , para cada primo p que divide a c ,
ordp c = ordp
c a
a 4
= ordp
−1 ,
− 1 ≤ ordp
−b
−b
b
y ahora estimamos
ordp
a 4
b
−4f1
4et
1
− 1 = ordp (p4e
· · · qu−4fu − 1)
1 · · · pt · q 1
empleando el Lema (4.1) .
4
Sea Θ = ab − 1 (claramente Θ 6= 0 ya que mcd (a, b) = 1 ). Si p = 2 ponemos
K = Q(ζ6 ) , y si p > 2 K = Q(ζ4 ) . Definimos q y α0 como en los enunciados de los
Lemas (4.1) y (4.2) . Sea ℘ un ideal primo del anillo de los enteros algebraicos de K tal
que (p) ⊆ ℘ (aquı́ (p) es el ideal principal generado por p en D ); entonces,
ordp Θ ≤ ord℘ Θ .
Para el n del Lema (4.1) tomamos n = t + u y consideramos α1 , . . . , αn como los primos
p1 , . . . , pt , q1 , . . . , qu ordenados en orden creciente, excepto en el caso en que p > 2 y α1 = 2 .
En este caso ponemos en el primer lugar de la sucesión α1 = 1 + i en lugar de α1 = 2 .
Para i = 1 . . . , n tomamos
(
αi si |αi | ≥ 4
Ai =
4 de lo contrario.
65
4.1. LA EVIDENCIA
Como p|c y mcd (a, c) = mcd (b, c) = 1 entonces ordp αi = 0 para i = 1, . . . , t + u ,
además como (p) ⊆ ℘ y ℘ es un ideal primo entonces (αi ) * ℘ es decir, ord℘ αi = 0 para
i = 1, . . . , n , en el caso en que p > 2 y α1 = 2 , en el cual hemos puesto α1 = 1 + i en lugar
de α1 = 2 basta observar que 24 = (1 + i)8 , en consecuencia, si 1 + i ∈ ℘ , 24 = (1 + i)8 ∈ ℘
y esto implica que 2 ∈ ℘ (por ser ℘ un ideal primo), lo cual es claramente una contradicción.
Por lo tanto, por el Lema (4.3)
1/q
1/q
1/q K α0 , α1 , . . . , αt+u : K = q t+u+1 ,
y haciendo B = máx(4e1 , . . . , 4et , 8f1 , . . . , 4fu ) , por (4.5)
B≤
4 log c
log 2
Entonces, por el Lema (4.1)
ordp c ≤ ordp Θ ≤ ord℘ Θ
Y
t+u 2
< c4 · (t + u)
· p · log log c · log log rad (abc) ·
log p
(4.7)
p|abc
donde c1 es una constante efectivamente calculable.
4
Similarmente, si p|b consideramos ordp ac − 1 y tenemos que
Y
t+v 2
ordp b < c5 · (t + v)
· p · log log rad (abc) ·
log p
(4.8)
p|ac
donde c5 es una constante efectivamente calculable.
Y si p|a entonces consideramos ordp cb 4 − 1 , y obtenemos
Y
u+v 2
ordp a < c6 (u + v)
· p · log log c · log log rad (abc) ·
log p .
(4.9)
p|bc
Ahora bien, por (4.6) y (4.7)
log rad (abc)
log c
≤ máx(ordp c) ·
log log c
log log c
p|c
Y
t+u 2
· pc · log log rad (abc) · log rad (abc) ·
log p
< c4 · (t + u)
p|abc
Y
2
t+u
· log rad (abc) · p2c ·
log p .
< c4 · (t + u)
(4.10)
p|abc
Dado que b >
c
2
y c≥3
log b > (log c) − (log 2) >
log c
.
4
(4.11)
66
CAPÍTULO 4. EVIDENCIA DE LA CONJETURA ABC
Pero (4.6) se cumple si reemplazamos c por b , por lo tanto de (4.8)
log c
b
<
4 log log c
log log c
log rad (abc)
≤ máx(ordp b) ·
log log c
p|b
Y
t+v 2
log p
< c5 (t + v)
· pb · log log rad (abc) · log rad (abc) ·
(4.12)
p|ac
t+v
2 Y
log p .
≤ c5 (t + v)
· pb · log rad (abc) ·
(4.13)
p|ac
√
√
Sabemos que a > b o a ≤ b , entonces

√
Si a > b , log a ≥ 12 log b > log8 c
(por 4.11)
√
Si a ≤ b , log a+b = log 1 + a < log 1 + √1 <
b
b
b
(∗)
√1
b
<
√
√2
c
(∗∗)
En el primer caso usamos (4.6) reemplazando c por a junto a (4.9) para concluir que
log c
log a
<
8 log log c
log c
log rad (abc)
≤ máx(ordp a) ·
log log c
p|a
Y
u+v 2
< c6 (u + v)
· pa · (log rad (abc))2 ·
log p ;
(4.14)
p|bc
en el segundo caso,
0 < log
c
a+b
= log
b
b
= g1 log s1 + · · · + gv log sv − f1 log q1 − · · · fu log qu .
(4.15)
Por el Lema (4.3) aplicado a los primos q1 , . . . , qu , s1 , . . . , sv , podemos usar el Lema (4.2)
para obtener una cota inferior para log cb .
Entonces, de acuerdo al Lema (4.2)
|g1 log s1 + · · · + gv log sv − f1 log q1 − · · · fu log qu | >
Y
u+v
exp −c2 (u + v)
· log B · (log log A)2 ·
log p
(4.16)
p|cb
donde B = máx (4f1 , . . . , 4fu , 4g1 , . . . , 4gv ) , A = máx1≤i≤u+v (αi ) siendo α1 , . . . , αu+v los
primos que dividen a bc ordenados en orden creciente, y c2 un número positivo efectivamete
calculable.
De ( ∗ ) y (4.16)
√
Y
u+v
2
2
exp −c2 (u + v)
· log B · (log log A) ·
p|c log p < √
c
67
4.1. LA EVIDENCIA
además
log c
log log c
1 1
1
c
<
= · = log
8 log log c
8 log log c
2 4
2
2
y
Y
u+v
2
log p
− log exp −c7 (v + u)
· log B · (log log A) ·
p|cb
u+v = − log exp −c7 (v + u)
+ log
1
Q
log B · (log log A)2 · p|cb log p
1
Q
log B · (log log A)2 · p|cb log p
Y
u+v
< c7 (u + v)
+ c0 p2a · (log rad (abc))2 ·
u+v
≤ c7 (u + v)
+
p|bc
donde c0 es una constante positiva efectivamente calculable, y de esta última desigualdad
obtenemos nuevamente (4.14) (con una constante diferente).
Tomando ρ = t + u + v , de (4.10), (4.13) y (4.14) deducimos que
log c 3
(log c)3
≤
4 log log c
4 · 4 · 4 · 2 · (log log c)3
log c
log c
log c
=
·
·
log log c 4 log log c 8 log log c
t+u
t+v
u+v
≤ c4 (t + u)
· c5 (t + v)
· c6 (u + v)
· (pc · pb · pa )2
Y
Y
Y
6
·
log p ·
log p ·
log p · log rad (abc)
p|ab
p|ac
p|bc
entonces,
Y
2
log c 3
≤ (c8 ρ)2ρ · (pc · pb · pa )2 ·
log p
4 log log c
p|abc
6
· log rad (abc) .
(4.17)
Por el Lema (4.4)
ρ ρ
c9
<
ρ−3
Y
j=1
pj
<2·
log pj
Y
p|abc
p6=pa ,pb ,pc
p
,
log p
(4.18)
con la convención usual que el producto vacı́o es 1 .
Con la desigualdad anterior y (4.17),
log c 3
≤ (c10 )ρ ·
4 log log c
2·
Y
p|abc
p6=pa ,pb ,pc
p
log p
!2
!2
·
Y
log p
p|abc
6
· (pa · pb · pc )2 · log rad (abc)
6
= 4 · (c10 )ρ (rad abc)2 · (log pa · log pb · log pc )2 · log rad (abc)
12
≤ (c10 )ρ · (rad abc)2 · log rad (abc) .
(4.19)
68
CAPÍTULO 4. EVIDENCIA DE LA CONJETURA ABC
Aplicando de nuevo el Lema (4.4) tenemos que
cp10 < (rad abc)c11 /log log rad (abc) ,
por lo tanto de (4.19)
log c 3
< (rad abc)c11 /log log rad abc · (rad abc)2 · (log rad abc)12 ,
4 log log c
lo cual implica
log c
< (rad abc)c11 /3 log log rad abc · (rad abc)2/3 · (log rad abc)4
4 log log c
y en consecuencia
log c < (rad abc)2/3+k/log log rad abc
donde k es una constante efectivamente calculable.
4.2.
Buenas triplas asociadas con la conjetura abc
Decimos que una tripla (a, b, c) es una buena tripla si L > 1.4 donde
log(|a|, |b|, |c|)
.
log rad(abc)
L = L(a, b, c) =
Conjetura 10. Si la conjetura abc es verdadera, existe sólo un número finito de buenas
triplas.
La siguiente tabla lista las buenas triplas conocidas hasta enero 2 del 2002.
N0
1.
L
a
c
Descubridor(es)
235
E. R.
b
310
· 109
1.622912
2
2.
1.625991
112
3.
1.623490
19 · 1307
7 · 292 · 318
28 · 322 · 54
Je. B. & Ju. B.
4.
1.580756
283
511 · 132
28 · 38 · 173
Je.B. & Ju.B., A.N.
5.
1.567887
1
6.
1.547075
73
72
·
412
32
56
·
2·
·
73
221
37
54
310
·
3113
1116
·
132
· 23
·7
B. W.
211 · 29
· 79
2·
33
·
523
B. W.
· 953
B. W.
7.
1.544434
8.
1.536714
53
29 · 317 · 132
115 · 17 · 313 · 137
H. R. & P. M.
A. N.
9.
1.522699
13 · 196
230 · 5
313 · 112 · 31
A. N.
10.
1.522160
318 · 23 · 2269
173 · 29 · 318
210 · 52 · 715
A. N.
Continua en la siguiente página
Tabla 3. Buenas triplas conocidas
69
4.2. BUENAS TRIPLAS ASOCIADAS CON LA CONJETURA ABC
N0
L
11.
1.502839
a
b
239
58 · 173
52
1.497621
13.
1.492432
22 · 11
14.
1.491590
73
15.
1.489245
22
16.
1.488865
112
17.
1.482910
37
213
39
1
20.
1.474137
72
21.
1.471298
34 · 199
22.
1.465676
174
23.
1.465520
1.459425
26.
1.457794
27.
1.457790
25
· 19
1.474450
1.461924
210
·
172
713
76
312
· 1699
36 · 512
3 · 109 ·
28.
1.457482
29.
1.457066
32 · 52
30.
1.456203
225
31.
1.455673
· 29
· 19
3·
· 89
· 1033
32.
1.455126
32
33.
1.455024
232 · 315
225 · 7 · 1093
34.
1.454435
78
210
35.
1.453343
· 2707
136
219
235
·
510
B. W.
A. N.
·
53
· 353
·
58
·
219
·
293
·
711
A. N.
Je.B. & Ju.B., A.N.
Je.B. & Ju.B., A.N.
892
· 13 ·
H. R. & P. M.
313 · 11 · 194
A. N.
136
B. W.
32
1310
· 11 ·
K. V.
· 47
711 · 47 · 113
·
112
·
195
·
974
710 · 257
117
133
·
195
2 · 34 · 74 · 119 · 23
· 13 · 103
·
A. N.
B. W.
25 · 3 · 52
116
53
330 · 134 · 277
23
24 · 173 · 314
515
A. N.
372
· 41
522
1
·
315
216 · 13 · 594
1314
· 41
23 · 5 7 · 73
28 · 713 · 89 · 8592
2314
A. N.
38 · 5
34
214 · 673 · 461
52
B. W.
23 · 11 · 23 · 23 · 533
1374
·
·
1032
·
117
532
· 11 ·
219
· 67
·
· 13
·3·
Je. B. & Ju. B., A. N.
132
311 · 53 · 73 · 41
118
511·31·191
512
316
211
316 · 7
712
·
·
·
215
1.481322
25.
·
37
59 · 1396
9412
7
19.
24.
77
11 · 19 · 292
18.
27
218
32 · 1310 · 17 · 151 · 4423
24
514
210 · 374
713
· 7937
12.
Descubridor(es)
c
·
472
T. S.
A. N.
A. N.
B. W.
· 13883
Je. B. & Ju. B.
114
·
· 43
57 · 1034 · 2399
311
A. N.
74
319 · 52 · 192 · 29
318
A. N.
53
·
·
112
T. S.
T. S. & A. R.
A. N.
36.
1.452613
37.
1.451344
35 · 7
38.
1.450858
35
39.
1.450026
1
33 · 53 · 77 · 23
213 · 114 · 13 · 41
A. N.
40.
1.449651
1
3 · 55 · 472
218 · 79
G. F.
·
112
73
· 43
41.
1.447977
42.
1.447743
89
43.
1.447591
317
44.
1.446873
4094
45.
1.446246
46.
1.445064
47.
1.444596
48.
1.444199
49.
1.443502
50.
1.443307
51.
1.443284
32
·
56 · 67
57
213
59
·
·
72
·
58
221
· 79
· 4229
·
114
· 17
1
32
·
134
· 97
·
56
· 23 · 23 · 7993
221 · 115 · 17 · 19 · 397
219 · 263
22
·
· 59
7 · 118
229
2 · 132
311
233
220
193
· 13
53
23
·
235
·
313
· 13577
212 · 53
511
Je. B. & Ju. B.
A. N.
220 · 33 · 53
A. N.
·3·
472
·
3075
35 · 75 · 139
117
·
192
3 · 194
83 · 1675
517
Je.B. & Ju.B., A.N.
196
737
58
175
·
B. W.
232
·
72
·
1093
54 · 297
34
·
239
T. S.
T. S.
A. N.
Je.B. & Ju.B., A.N.
T. S. & A. R
H. R. & P. M
· 71
A. N.
35 · 72 · 43
B. W.
217
· 373
Je.B. & Ju.B., A.N.
Continua en la siguiente página
Tabla 3. Buenas triplas conocidas
70
CAPÍTULO 4. EVIDENCIA DE LA CONJETURA ABC
Descubridor(es)
N0
L
a
b
52.
1.442014
25 · 112 · 199
515 · 372 · 47
37 · 711 · 743
A. N.
213
59
A. N.
316
232
·
53.
1.441814
54.
1.441519
73 · 295 · 1512
55.
1.441441
313
56.
1.440969
34 · 232
57.
1.440264
58.
1.439063
235
72
·
1
1.436180
2 · 315
61.
1.435006
210
62.
1.433956
119 · 43
63.
1.433464
25
64.
1.433452
53 · 8111
65.
1.433043
312
66.
1.432904
221
1.432143
68.
1.431815
327
· 19
·
56
A. N.
A. N.
3·
·
·
·
232
1.431260
227 · 75
71.
1.431183
211
72.
1.431092
29 · 192
229
119
193
1.430176
36 · 72 · 13 · 1272
· 547
·
113
56
192
·
55
·7·
75.
1.429873
76.
1.429552
39 · 29
77.
1.429007
321
72
78.
1.428908
732
211 · 114 · 133
· 11
36
·
57
·
·
A. N.
A. N.
Je.B. & Ju.B., A.N.
A. N.
176
T. S.
T. S.
519
A. N.
52 · 136 · 434 · 179
A. N.
· 19
897
· 53
A. N.
38 · 5 · 74 · 734
2774
29 ·
K. V.
33 · 57 · 72 · 313
39
238 · 61 · 137
975
·
214
11932
·
B. W.
512 · 7432
292
596 · 73
2·
1.430418
74.
·
73
· 13
234
Je. B. & Ju. B.
A. N.
· 61 · 1433
25
2272
· 23 ·
· 59
514 · 72 · 134
59
326 · 11 · 19 · 139
39
73.
·
·
A. N.
B. W.
219 · 33 · 174 · 2332
223 · 13 · 295
· 211
1.431623
70.
113
· 2311
34
38
·
Je.B. & Ju.B., A.N.
313 · 472
76 · 17 · 82092
77
·
372
219
1912 · 29
35
·6
· 37 ·
·
75
5 8 · 72
5093
710
· 13
57
515
24 · 236 · 47 · 2772
318
793
514
·
327 · 134
57
·7
69.
29
1072
·
114
215 · 53 · 7
76 · 1732
614 · 149
174
415
315
19 ·
1.438357
60.
317
·
24 · 37 · 547
59.
67.
·
373
24 · 516 · 97 · 919
1
·
292
2 · 17 ·
172
·
c
138
·
A. N.
511 · 196
320
·
174
.A N.
Je. B. & Ju. B.
· 3323
A. N.
76 · 432
224 · 13
A. N.
116
138
A. N.
·
75
·
· 199
132
2·
· 17
311 · 55 · 7 · 17
221
· 251
·
234
Je. B. & Ju. B.
79.
1.428402
80.
1.428323
11
73 · 1672
2 · 314
Je.B. & Ju.B., A.N.
81.
1.427566
73
115 · 1572
22 · 310 · 75
Je.B. & Ju.B., A.N.
82.
1.427488
614
83.
1.427115
310
84.
1.426753
31
85.
1.426565
3
220
25
1.423381
87.
1.422083
17 · 194
88.
1.421828
24
89.
1.421575
1.421371
1.421008
92.
1.420437
· 11
· 59
57
67 ·
·
510
·
192
· 5 · 19 · 167
A. N.
29 · 5092
A. N.
75
3·
·
133
·
14832
33 · 510 · 72 · 293
512
2633
· 19
310
· 19
·
59
·
233
39 · 59 · 31
215
·
52
113
·
4120
27
115 · 132
29 · 373 · 89
78
·
322
53
86.
91.
·
832
78 · 23
52
90.
413
A. N.
·
372
229
·
Je.B. & Ju.B., A.N.
B. W.
32
Je.B. & Ju.B., A.N.
213 · 137 · 613
K. V.
33
Je.B. & Ju.B., A.N.
·
112
·
175
215 · 72 · 17
210
·
76
·
132
1036
3·
177
·
413
A. N.
T. S.
A. N.
A. N.
Continua en la siguiente página
Tabla 3. Buenas triplas conocidas
71
4.2. BUENAS TRIPLAS ASOCIADAS CON LA CONJETURA ABC
N0
L
93.
1.420320
94.
1.420232
95.
1.420036
96.
1.419292
97.
1.418919
a
b
313
2
1
4
310
·
221 · 54 · 1992
· 43 · 461
115
233
194
· 83 ·
34
514
·
217 · 1812
98.
1.418233
13 · 3499
239
99.
1.417633
56 · 1609
29 · 314 · 133
100.
1.416793
39
101.
1.416438
102.
1.416078
103.
1.416051
104.
1.415633
105.
1.415561
106.
1.415273
107.
1.415090
·
513
414 · 33941
322
234
26 · 52 · 713 · 132 · 463
311
7·
1.414352
37 · 514 · 72
110.
1.413698
26
111.
1.413279
1.412893
36
·
· 43
· 283
230
13 · 733
39 · 55 · 895
132
213·3
· 1049
13
·113
120.
1.409742
121.
1.408973
72
122.
1.408866
212
313
X. G.
136
2 · 7 · 11 ·
22 · 13
125.
1.407404
32
126.
1.407208
23 ·
237
· 233
23
· 163
517
216 · 41 · 71
·
1.406080
132.
1.406079
5 · 72
1.405785
133
4494
·
2932
·
116
A. N.
133
2·
Je.B. & Ju.B., A.N.
515
·
172
·
· 197 · 281
· 1123 · 76081
A. N.
Je. B. & Ju. B.
A. N.
·
1512
A. N.
Je.B. & Ju.B., A.N.
A. N.
316
T. S. & A. R.
·
534
·
972
314 · 5 · 673
215
·
52
135
·
·
312
118 · 134
512
216 · 192 · 67
132
315 · 72
1112
·
1396
5 · 413 · 1935
· 17
32 · 57 · 133
3673
131.
·
·3343
212 · 34 · 56 · 1181
729
193
434
·
K. V.
B. W.
22 · 312 · 17 · 109
73 · 415 · 181
241
135
· 52859
2
1.407787
·
·
Je.B. & Ju.B., A.N.
· 173
520 · 17
710
A. N.
218 · 433
26
· 107
432
· 13
25 · 5 · 432 · 1394
3
315 · 192·73
1.408577
219
·
321
·
193
· 107
835
124.
·
112
219 · 72 · 315 · 467
13 · 29 · 436 · 673
22
123.
39
·
292
52
210
3 · 710 · 194
· 2399
512
133.
239
13 · 294
1.410044
1.406097
·
A. N.
Je.B. & Ju.B., A.N.
1.410683
1.406420
173
2310
119.
130.
217
H. R. & P. M.
1573
118.
129.
·
1112 · 3892 · 6841
A. N.
Je.B. & Ju.B., A.N.
672
1.406524
2·
1993
A. N.
28 · 1372
36 · 7 · 11 · 135
1.407051
· 59 · 7207
37 · 133
5
128.
Je.B. & Ju.B., A.N.
24 · 3 · 11 · 132 · 195
74
A. N.
52
· 5 · 137
793
127.
1911
Je. B. & Ju. B.
136
1.411682
3·
· 113
A. N.
314
1.412681
1.410830
Je. B. & Ju. B.
236
1034
·
Je. B. & Ju. B.
295 · 73 · 4192 · 1039
115.
1.411615
·
316
· 43
114.
117.
·
A. N.
251 · 112
311
116.
· 139
222 · 593
· 31
116
·
73
A. N.
Je.B. & Ju.B., A.N.
223 · 59 · 29
132
312
·
511
·
27
34 · 4312
54
·
·
513
1.414503
1.413166
·
·
732
15234
527
117
·
34
· 5323
·
315
38 · 8092
513 · 181
109.
113.
55
73
3·
28
11 · 238
39
108.
112.
28
· 37 · 204749
· 23
T. S.
27 · 73 · 13 · 174
312 · 197
3 · 54 · 599
246
A. N.
526
· 79
72
433
78 · 832 · 1307
3972
39 · 57 · 31
372
·
·
294
Descubridor(es)
c
·
2516
197
338
· 397
A. N.
A. N.
Je. B. & Ju. B.
Je.B. & Ju.B., A.N.
N. E. & J. K
A. N.
A. N.
A. N.
132 · 433
211 · 38
Je.B. & Ju.B., A.N.
29
32
A. N.
·
372
·
57
Continua en la siguiente página
Tabla 3. Buenas triplas conocidas
72
CAPÍTULO 4. EVIDENCIA DE LA CONJETURA ABC
N0
L
a
224
b
35
·
5·
195
c
·
592
710
· 167
Descubridor(es)
134.
1.405443
135.
1.404484
631
226 · 5 · 292
33 · 710 · 37
136.
1.404264
1
39 · 72 · 197
27 · 57 · 19
A. N.
137.
1.403980
512 · 227
28 · 3 · 73 · 237 · 41
11 · 195 · 675
A. N.
138.
1.403958
39 · 103
28 · 112 · 135 · 412 · 47
514 · 533
A. N.
139.
1.403482
33
52 · 711
A. N.
140.
1.402864
141.
1.402737
142.
1.402183
143.
1.401993
144.
1.401979
145.
1.401419
146.
1.401291
147.
1.401261
148.
1.401156
149.
1.400812
150.
1.400588
151.
1.400317
152.
1.400262
25
· 13
5 · 673 · 1272 · 19219
34
· 11 ·
244
312 · 56
514
3·
· 199
54
·
·
112
· 401
· 47 ·
·
·
313
·
115
·
174
136
·
2 · 315 · 72 · 3110
52
· 1494 · 503 · 9293
A. N.
230 · 134
A. N.
· 41
112 · 193 · 1274
473
229 · 312
3 · 54 · 135 · 3532
T. S.
1713
221 · 54 · 27492
K. V.
· 1231
176 · 463
518 · 6359
A. N.
T. S. & A. R.
7 · 677 · 137
714
·5
A. N.
K. V.
29 · 115 · 571
32 · 312 · 734 · 349
712
134
214
72
3592
229 · 7
234
·
710
39 · 76 · 312 · 97
222
36
·
79 · 312
233 · 5
310
733
1318 · 37 · 277
1732
· 19 · 61 ·
192
A. N.
A. N.
515 · 532
24
· 52 · 112 · 297
A. N.
A. N.
221 · 732
A. N.
712
119 · 132 · 53
A. N.
32 · 476 · 733
27 · 1910 · 79
A. N.
7·
296
·
Tabla 3. Buenas triplas conocidas
Descubridores de las buenas triplas
Iniciales
Je. B. & Ju. B.
G. F.
N.E. & J. K.
A. N.
H. R. & P. M.
E. R.
T. S. & A. R.
B. W.
K. V.
X. G.
Nombre(s)
Jerzy Browkin and Juliusz Brzezinski
Gerhard Frey
Noam Elkies and Joe Kanapka
Abderrahmane Nitaj
Herman te Riele and Peter Montgomery
Eric Reyssat
Traugott Schulmeiss and Andrej Rosenheinrich
Benne M.M. de Weger
Kees Visser
Xiao Gang
Tabla 4. Descubridores de las buenas triplas
73
4.2. BUENAS TRIPLAS ASOCIADAS CON LA CONJETURA ABC
Parece que los valores de las buenas triplas de la Tabla (3) fueron descubiertas por medio de varios algorı́tmos. De hecho los valores expuestos fueron tomados de buenas triplas
sobre un intervalo particular, tal como lo confirma el programa en C escrito por Jeffrey Paul
Wheeler con ayuda de Joel Mejeur y Michael Saum ( Universidad de Tennessee, Knoxville ),
este programa se hizo correr en paralelo (usando MPI) entre 24 y 30 computadores Intel 450
MHz Pentium III durante aproximadamente cuatro dı́as y medio. Inicialmente el programa
chequeó las buenas triplas sobre los intervalos 1 ≤ a ≤ 100000 y a ≤ b ≤ 100000 .
Resultados (Buenas Triplas para 1 ≤ a, b ≤ 100000 )
a=1
a=1
a=1
a=3
a=5
a = 37
a = 121
a = 338
a = 343
a = 2197
a = 7168
b = 2400
b = 44374
b = 512000
b = 125
b = 177147
b = 32768
b = 255879
b = 390625
b = 59049
b = 700928
b = 78125
L = 1.454673
L = 1.567887
L = 1.443307
L = 1.426565
L = 1.412681
L = 1.482910
L = 1.488865
L = 1.445064
L = 1.547075
L = 405785
L = 1.435006
( No. 31)
( No. 5)
( No. 50)
( No. 85)
( No. 114)
( No. 17)
( No. 16)
( No. 46)
( No. 6)
( No. 133)
( No. 61)
Tabla 5. Resultados (Buenas Triplas para 1 ≤ a, b ≤ 100000 )
( No. · ) hace referencia al número en la Tabla (3).
El lector puede encontrar el código del programa y algunos detalles adicionales en ([37,
pág. 27 –33]).
Bibliografı́a
[1] Albis, Victor. El Señor de Fermat y sus Problemas I. Boletı́n de Matemáticas 7 (1973),
219 –232.
[2] Albis, Victor. El Señor de Fermat y sus Problemas II. Boletı́n de Matemáticas 8 (1974),
198 –210.
[3] Albis, Victor. El Señor de Fermat y sus Problemas III. Boletı́n de Matemáticas 10 (1976),
86 –95.
[4] Albis, Victor. Las ecuaciones de Fermat y Catalán en K[t] . Bolotı́n de Matemáticas
9 (1975), 217 –220.
[5] Bernstein, Daniel J. Sharper abc-based bounds for congruent polynomials. Department
of Mathematics, Statistics, and Compueter Science. Univesity of Illinois at Chicago,
Chicago. Journal de Théorie des Bordeaux, to appear. 2003.
[6] Bombieri, Enrico. The Mordell Conjecture Revisited. Ann. Scu. Norm. Sup.
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