Problema 125.
Si a, b, c son estrictamente positivos, demostrar que
r
abc(a2 b + b2 c + c2 a)
1
abc ≤
≤ (a2 b + b2 c + c2 a)
3
3
Solución: Si tomamos las dos desigualdades por separado, después de elevarlas al cuadrado y simplificar llegaremos a la misma desigualdad:
1
abc ≤ (a2 b + b2 c + c2 a)
3
Ésta es la que vamos a probar. Dado que a, b, c son estrictamente positivos,
nada nos impide considerar las tres cantidades
a c b
, , .
c b a
Aplicando la desigualdad aritmético-geométrica a estas tres cantidades, obtenemos:
r
c
b
a
+
+
c b
3 a
c
b
a
≥
· · =⇒
3
c b a
2
2
2
1
a b+b c+c a
≥ 1 =⇒ abc ≤ (a2 b + b2 c + c2 a)
=⇒
3abc
3
lo cual termina el problema.
1
Revista Escolar de la Olimpíada Iberoamericana de
Matemática
http://www.campus-oei.org/oim/revistaoim/
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