Ejercicios Unidad 1

ESTADÍSTICA PLICADA
GUIA DE EJERCICIOS
UNIDAD I
1- En cada uno de los siguientes casos clasifique la variable según corresponda en
cualitativa o cuantitativa y en este último caso, si es de tipo discreta o continua.
a) Utilidades obtenidas durante el prim er semestre de todos los comercios
minoristas de productos alimenticios.
b) Antigüedad en un empleo.
c) Cantidad de accionistas que asistieron a la última asamblea realizada.
d) Preferencia por determinada gaseosa.
e) Peso netc de los frascos de una determinada marca de café.
f) Programa favorito de TV.
g) Estado civil de los estudiantes de la de la UNLaR
h) Estatura de los estudiantes.
i) Deporte que practica.
j) Cantidad de goles registrados en el mundial del 98.
2- Una compañía tabacalera desea realizar un estudio de mercado.
a) Elabore cinco (5) preguntas que podría incluir en un cuestionario para
realizar una encuesta.
b) Clasifique la variable de cada pregunta en cualitativa, cuantitativa discreta o
cuantitativa continua, según corresponda.
3- En los siguientes casos, indique:
a) Cuál es la POBLACIÓN objeto de estudio.
b) Cuál es la MUESTRA.
c) Cuál es la UNIDAD ESTADÍSTICA.
d) Cuál es la CARACTERÍSTICA analizada y de clasifíquela.
3.1.
Un fabricante de aparatos de televisión ha afirmado que en el pasado sólo el
10% de sus aparatos necesitaron reparación durante los dos primeros años.
Para comprobar esta afirmación se hizo un seguimiento a 30 aparatos de TV
vendidos en los dos años anteriores al vigente.
3.2.
Un empresario desea instalar un restaurante en una zona turística de la
provincia. Para estudiar la conveniencia de la inversión se investiga entre otros
aspectos la cantidad de coches que pasan por la ruta a dicha zona en los períodos
vacacionales. El relevamiento se realiza mediante observación directa durante cuatro
(4) horas diarias en los meses de Enero y Julio.
3.3.
El ger ente de com ercializac ión de una em presa de indum entaria está
estudiando la posibilidad de abrir un nuevo centro de ventas en una zona de
nivel socioeconómico alto. Para ello necesita información sobre nivel de
ingresos y gastos mensual de las familias de la zona. El relevanniento se
realizó a 200 familias mediante una encuesta estructurada dirigida al jefe de
hogar.
4- Suponga Ud. que el director de una empresa que fabrica pilas desea saber cuál
es la duración promedio de las pilas que producen. Indique cuáles serían los
pasos que seguiría Ud. para obtener la respuesta pedida. Si Ud. realizara la
investigación, indique si trabaja con una muestra o con la población y justifique
el método seleccionado.
5- Un técnico de control de calidad selecciona partes de una línea de ensamblaje y
anota para cada una de ellas la siguiente información:
a) Si está o no defectuosa.
b) El número de identificación de la persona que armó la pieza.
c)
El peso de la pieza.
Clasifique la respuesta para cada uno de los datos relevados.
6- Entre la información contenida en los legajos del personal de una entidad
bancaria se encuentra la siguiente:
a) Apellido y Nombre
b) Documento de Identidad (número y tipo)
c) Edad
d) Estado civil
e) Nivel de estudios alcanzado
f)
Experiencia en años en puestos similares
Se le solicita que clasifique los datos que surgen de los ítems precedentes.
7- Se quiere saber el costo de la educación. Uno de los gastos que hace un
estudiante es la compra de libros de texto. Sea "x" el costo de todos los libros
de texto comprados en un semestre por los estudiantes de una cierta facultad
de la UNLaR. Describa en este caso: a) La población y/o muestra; b) La variable
estudiada y clasifíquela; c) La unidad estadística.
8- En cada una de las situaciones siguientes identifique: la población en estudio, la
unidad estadística, la muestra y la característica analizada clasificándola por su
naturaleza.
a) S e tr at a d e p r e d ec i r el r es ul t ad o d e un a el ec c i ón nac i o na l . L os
encuestadores entrevistaron a un número predeterminado de personas en
todo el país y registraron sus preferencias. La pregunta realizada fue:
¿Votará Ud. por el candidato A o por el candidato B?
b) Se pretende determinar la eficacia de una nueva vacuna para la gripe, para
ello se vacunan a 10 personas.
c) Se realiza un estudio sobre el estado nutricional de los niños en edad escolar
en la Provincia de la Rioja.
d) Un estudio sobre los ingresos familiares fue realizado sobre una muestra
representativa de hogares de la ciudad de Córdoba durante el año pasado.
1
ESTADÍSTICA I - Cátedra "C"
GUIA DE EJERCICIOS
UNIDAD II
ORGANIZACIÓN Y PRESENTADIÓN DE DATOS ESTADÍSTICOS
1- Mensualmente el departamento de ventas de la firma ## S. A. realiza controles
de venta diaria de los productos que comercializa. La cantidad de yogures
vendidos por día en el m es de Junio /2004 por la firm a se m uestra a
continuación.
400
200
200
300
300
200
300
300
300
400
500
400
500
600
500
700
300
400
600
200
300
400
300
500
400
200
500
400
300
200
Con la información anterior se le pide:
a) Construya una tabla de distribución de frecuencias.
b) Calcule la frecuencia relativa y las frecuencias acumuladas relativas y
absolutas.
c) Represente gráficamente y clasifique la variable.
d) Responda: ¿Qué cantidad de unidades diarias vendidas se repite más
veces en el mes?; ¿Qué cantidad de unidades diarias vendidas es menos
frecuente en el mes?; Dentro del mes ¿en cuántos días se comercializan más de
600
unidades?.tabla muestra la cantidad de personas que asistieron a ver la obra
2- La siguiente
de teatro presentada en dos funciones diarias en una sala conocida de Villa
Carlos Paz en la última la semana de Enero del año 2006.
Fi 200 200 300 300 350 300 400
F2 300 300 350 350 400 400 400
e ) R e p r e s e n t e g r á f i c am en t e y c l a s i f i q u e l a v a r i a b l e . C o m p ar e y
a n a l i c e . c) Responda: Si la sala se llena con 400 espectadores, ¿en qué
función se
trabaja con sala llena, más días?; ¿en qué función se recauda más?; ¿qué
cantidad de espectadores tiene mayor frecuencia en cada función y qué
porcentaje del total de días, representa esa cantidad en cada función?.
Cifras expresadas en .esos
300
550
850
300
560
850
350
600
850
350
600
900
450
685
950
450
700
1000
500
750
1000
500
750
1000
1100
1200
1200
1250
1250
1300
1400
1500
1500
1600
1650
1800
1900
2000
2500
3000
ESTADÍSTICA I - Cátedra "C"
GUIA DE EJERCICIOS
a)
b)
c)
d)
e)
Construya la tabla de frecuencias con 7 intervalos.
Calcule las frecuencias absolutas y relativas.
Calcule las frecuencias acumuladas absolutas y relativas.
Obtenga la marca de clase.
Utilice el histograma de frecuencias y el polígono de frecuencias para
representar gráficamente.
f) ¿Qué porcentaje de observaciones asumen valores menores que $1458?
g) ¿Qué cantidad de observaciones asume valores mayores o iguales a $1844?
h) ¿Entre qué valores de la tabla se encuentran concentrados el 60% de las
observaciones?.
Distribución de los montos mensuales de gastos
generales de la Cía. Factory
14
12
10
o•
13
8 6
o
U)
 4
2
1
,\o-1 6
os
NO
z
\
,\zilQ
5,
0
99,
P
NO' ri P
•\1.
Q'13
26\
gastos generales
Distribución acumulada de los gastos generales
mensuales de la Cía.Factory
45
40
35
30
25
20
15
10
5
O
--,-300
0
600
900
1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000
gastos generales
4- Un estudio sobre el ingres o fam iliar realizado en cien (100) fam ilias
s elec c ionadas a leat or i am ente, dio lu gar a l a s igui ente dis tr ibuc i ó n de
frecuencias:
ESTADÍSTICA I - Cátedra "C"
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INGRESOS en 'esos)
200400
400 600
600 800
800 1000
1000 - 1200
TOTAL
CANT. DE
FAMILIAS
5
10
18
37
30
100
a) Trace el histograma y el polígono de frecuencias.
b) Construya la ojiva.
5- Un inversionista ha registrado los rendimientos mensuales de los dos últimos
años de las acciones de la Compañía "A" y la de la Compañía "B", para
determinar en cuál de ellas invertir sus ahorros.
El rendimiento por acción expresado en pesos ($) es el siguiente:
CIA. "A"
10
18
24
28
10
19
24
29
12
20
24
32
15
21
26
35
17
22
27
35
18
24
27
35
15
23
29
32
17
24
29
34
17
25
30
34
20
26
31
35
20
27
31
40
CIA. "B"
15
21
28
32
a) Construya en un mismo gráfico las ojivas para cada compañía. Trabaje con
cuatro intervalos.
b) Compare las gráficas de ambas distribuciones e indique en cada compañía, cuál
es el rendimiento (en $) aproximado para el 50% de las observaciones.
c) Observe las ojivas e indique para qué cantidad de meses la compañía "A"
registró rendimientos superiores a $25 y en qué porcentaje de meses registró
rendimientos inferiores a $20 la compañía "B".
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Distribución de los rendimientos mensuales de las
compañías
12
10
o
6
14
22
30
38
46
rendimientos mensuales
Distribución de los rendimientos
mensuales de la Cía.
Distribución de los rendimientos
"A"
mensuales de la Cía. "B"
.92
a
E
ca
12
10
8
6
4
2
0
'D
Ç)
N
4:,,a.
el)
"J>
0.
52,
,
„
O __
0
0
9>
"J
rendirrientos mensuales
N
-
153
0
930- 153
N
<bbs 5:ahrl'
,2>
(15')
`b
rendimientos mensuales
Distribución acumylada de los rendimientos
30
de las Cías. "A" y "B"
25
o
10
10
18
26
34
42
rendimientos mensuales
6- Una encuesta realizada a los estudiantes de esta Universidad respecto al estado
de situación laboral arrojó los siguientes resultados:
7
ESTADÍSTICA I - Cátedra "C"
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SITUACION/TURNO
No Trabaja
Mañana
75
Tarde
35
Trabaja menos de 4
Hs.
Trabaja 4 Hs. o más
20
30
50
35
40
5
100
Total
100
Total
110
200
en el cual usted pueda hacer las
Construya un gráfico de barras porcentuales,
correspondientes comparaciones por turno.
rno.
b)
Confeccione un gráfico de pastel para cada tu más adecuada?
c) ¿Cuál de las dos gráficas anteriores le parece
a)
Proporción de alumnos dentro de cada turno de
clases
100%
80% 60%
40% 20%
lo No trabaja Trabaja menos de 4 horas o Trabaja más de 4 horas
Proporción de alumnos en el turno
mañana según la situación laboral
rabaja •
e 4 hs. \
20% \
Trabaja
+ de 4
hs.
5%
Proporción de alumnos en el turno
tarde según la situación laboral
Trabaja
+ de 4
hs.
35%
No
trabaja
35%
Trabaja.
" — d e 4 hs.
30%
7- Un es t ud i o s o br e l a s pr ef er e nc i as q u e ti e ne n l os c o ns um id or es de un a
determinada zona por las principales marcas de gaseosas reveló la siguiente
información expresada en porcentajes:
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MARCA DE BEBIDAS PORCENTAJE DE
PERSONAS QUE
PREFIEREN LA MARCA
28
26
13
12
* COCA COLA
* PEPSI
* COCA COLA DIET
* PEPSI DIET
* TODAS LAS DEMÁS
100
TOTAL
a) Construya una gráfica de barras de partes componentes.
b) Construya una gráfica de barras.
c) Construya un diagrarna de pastel.
Participación de las marcasen la preferencia
de los consumidores
TODAS LAS
DEMÁS
21°
PEPSI
COCA COLA
DIET
13%
26%
Participación porcentual de las marcas en la
preferencia de los consumidores
50%
45%
40%
35%
s
j i 30%
28%
26%
21%—
13%
20/
5% 0%
COCA
COLA
Marcas
PEPSI
COCA PEPSI DIET TODAS
COLA DIET
LAS
DF_MÁ S
8- Una importante firma nacional vende ropa de moda para damas y caballeros
además de artículos de uso doméstico. A continuación se listan las ventas netas
en el período comprendido entre los años 1992 y 1999. Trace una gráfica de
línea que permita observar la evolución de las ventas en el período considerado.
o
ESTADÍSTICA I - Cátedra "C"
GUIA DE EJERCICIOS
AÑO
Ventas netas
(millones de $)
ANO
1992
1993
1994
1995
500
519
535
560
1996
1997
1998
1999
Ventas netas
(millones de $)
544
520
525
550
9- Un informe elaborado para el gobernador indicó que 56% de los impuestos
recaudados fueron destinados para educación, el 23% para el fondo general, el
9% para programas de tercera edad y el remanente a salud. Trace una gráfica
que permita observar en forma clara la diversificación del presupuesto.
10-
Dados los siguientes datos:
10
5
25
a)
b)
c)
d)
11-
25
12
26
12
30
14
32
15
34
16
40
17
45
22
50
25
51
Construya un diagrama de tallo-hoja
Indique la cantidad de observaciones efectuadas (n).
Indique cuál es el menor y el mayor valor registrado.
Indique cuál es el valor que más se repite.
A partir del siguiente diagrama de tallo y hoja:
Tallo
1
2
3
Hoja
2 4 5
2 2 4 7
5 5 5 7 8
4
5
0 0 1 2
0 1 2
a) Construya la tabla de distribución de frecuencias por intervalos.
b) Calcule las frecuencias relativas y acumuladas.
c) Construya un histograma y en el mismo gráfico marque el polígono de
frecuencias.
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UNIDAD I I I
MEDIDAS
RESUM EN
1- Con lo siguientes dos conjuntos de datos correspondientes a dos lotes del
mismo tamaño:
Lote 1
Lote 2
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
12
10
14
25
16
25
16
27
20
30
18
30
50
35
Calcule la media, mediana y modo, para cada lote.
Compare resultados.
Compruebe la siguiente propiedad: E (x, —x) =0
Calcule los valores del primer y tercer cuartil para cada lote.
Analice el comportamiento de la variable.
Calcule la varianza y la desviación estándar, para cada lote.
Calcule el coeficiente de variación de ambos lotes e interprete.
2- Examinando los registros de cuentas mensuales de una compañía que vende
libros por correo, el auditor toma una muestra de 12 de esas cuentas no
pagadas. Los montos de deudas registradas eran:
a) ¿Cuál es la naturaleza de la variable que estamos analizando?
b) Calcule la media, mediana y modo.
c) Si hubiera 350 facturas pendientes de pago, utilice la media para calcular la
cantidad total de deuda a la compañía. (suponiendo que la muestra tomada
es representativa).
d) ¿Qué tipo de gráfico utilizaría para representar este conjunto de datos?
e) Calcule los cuartiles y analice.
f) Calcule las medidas de dispersión y analice.
3- Con los siguientes datos:.
7
32
a)
b)
c)
d)
e)
f)
32
8
3 2
1 5 1 7 1 8
3 4 3 5 3 9
2 0
4 0
2 0
4 7
2 2
6 0
2 6
Confeccione un diagrama de tallo y hoja.
Calcule la media, mediana y modo.
Analice la forma que presenta la distribución.
Indique el recorrido de la variable.
Calcule la varianza y desviación estándar de la variable.
Calcule los cuartiles y analice.
4- Los siguientes datos corresponden al precio por acción de 10 empre sas
seleccionadas aleatoriamente las cuales cotizan en la bolsa de valores:
11
ESTADÍSTICA I - Cátedra "C"
GUIA DE EJERCICIOS
10 12 12 15 16 16 16 17 30 38
Calcule:
a) Media, mediana y el modo.
b) Varianza, desviación estándar y coeficiente de variación.
c) Calcule los cuartiles y analice.
d) ¿ E s t á n s e s g a d o s l o s n ú m e r o s ? ; ¿ D e q u é m a n e r a ? .
e) Con base a la regla de Tchebychef, ¿entre qué par de valores se estimaría
que están contenidos por lo menos el 75% de los datos?
5- En un examen de matemáticas se presentaron a rendir 30 alumnos, de los
cuales 10 son estudiantes del sexo femenino.
Las calificaciones fueron las siguientes:
MUJERES
calificación
4
5
6
7
Total
ni
3
3
3
1
10
VARONES
hi
calificación
2
0.30
5
0.35
6
0.25
7
0.10
1
Calcule:
a) El promedio de calificaciones de las mujeres.
b) El promedio de calificaciones de los varones.
c) Media general (Calificación promedio del grupo de varones y mujeres).
d) Varianza y desviación estándar para cada grupo.
e) Coeficiente de variación. Analice y compare las distribuciones.
6- Una importante inmobiliaria de la ciudad de Córdoba está analizando las
comisiones percibidas por su gestión en la administración de inmuebles a 100
de sus clientes.
La tabla siguiente nos revela dicha información:
Comisiones cobradas
20— 40
40— 60
60— 80
80- 100
100- 120
Hi
0.30
0.55
0.75
0.90
1
Con la información, calcule:
a) Media de las comisiones cobradas. Interprete
b) Varianza y desviación estándar.
c) Coeficiente de variación. Interprete
d) Media y varianza luego de producirse una disminución del 8% en las
comisiones.
e) ¿Qué tipo de variable es y qué gráfico utilizaría para representar dicha
variable?.
I?
ESTADÍSTICA I - Cátedra "C"
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7- Dada la siguiente información:
POLÍGONO DE FRECUENCIAS RELATIVAS
0,4
0,3
0,2
0,1
10
ADEMAS: conocemos
(n=100)
a)
30
20
40
50
que la cantidad de observaciones en ambos gráficos es igual a 100
Construya las tablas correspondientes para cada gráfico.
b) Obtenga la media.
c) Ubique la mediana en los gráficos y determine su valor.
d) Calcule la varianza y desviación estándar.
e) Determine los coeficientes de variación.
f)
Analice la forma de las distribuciones.
g) Com p ar e los r es u l t ad os o bt e n id os e n am bas dis tr i buc i on es y o b t e ng a
conclusiones.
8- Para saber cuál es la cantidad de agua que cada familia consume por año en la
zona sur de una ciudad cordobesa, el intendente pidió al administrador de la
empresa que provee el servicio, que hiciera una investigación al respecto. Para
ello se tomó una muestra de 30 familias de la zona en cuestión y se registraron
los siguientes datos en el año anterior (expresado en miles de litros):
Vi
11.2
14.2
16.9
22.7
26.5
ni
6
7
8
5
4
11
ESTADÍSTICA I - Cátedra "C"
GUIA DE EJERCICIOS
a) ¿Cuál es la cantidad promedio anual utilizada por familia?
b) Supo nga Ud. q ue el intend ente estima q ue d entro de 10 año s r esida en la
zo na sur unas 45.0 00 familias. ¿Cuánto s litro s de agua se req uer ir án al año
si la tasa de consumo por familia permanece igual?
c) Calcule la varianza y desviación estándar.
d) Analice la forma de la distribución de estos datos.
e) ¿ C u á l s e r á l a c a n t i d a d d e l i t r o s q u e r e q u e r i r á n s i l a t a s a d e c o n s u m o s e
incrementa en un 15%?.
9- El analista de investigación para la empresa de corretaje de acciones SF desea
co mp ar ar la d isp er sió n d e las r azo nes p r ecio - r end i miento p ar a un gr u p o d e
accio nes co munes, co n la d isper sió n de sus rendimiento s sobr e inversió n. P ara
las razones precio-rendimiento la media es 10.9 y la desviación estándar es 1.8
El rendimiento medio sobre inversión es 25% y la desviación estándar 5.2%.
a) ¿Por qué debe usarse el coeficiente de variación para comparar la
dispersión?
b ) Co mp ar e l a d i sp er s ió n r ela ti va p ar a la s r azo ne s p r ecio -r e nd i mi e n to y e l
rendimiento sobre inversión.
10Un estudio realizado por el departamento de producción de NDB Electrónica,
contempló entre otros aspectos la relación entre el número de trabajadores que
ar ma n u n s ub -e n s a mb le y e l n ú me r o d e s ub - e ns a mb le s p r o d uc id o s. Lo s p ar e s
de observaciones se muestran en la siguiente tabla:
Cantidad de
empleados
2
4
1
5
3
Producción en una
hora (unidades)
15
25
10
40
30
a) Trace el diagrama de dispersió n y observe el tipo de asociación que hay
entre las variables.
b) Calcule la covarianza e interprete el resultado obtenido.
1 1 - L a e mp r e s a R F a p li c a en f o r ma c o n t i n u a u n r é g i me n d e p u b l i c id ad co m o
p a r t e d e s u p o l í t i c a d e c o me r c i a l i z a c i ó n r a z ó n p o r l a c u a l e s a mp l i a m e n t e
conocida en relación a ofertas, rebajas y condiciones de financiación. Es por ello
que el directorio quiere analizar la relación entre el gasto en publicidad y los
ingresos por ventas. Los datos se transcriben en la siguiente tabla:
Gastos en publicidad (en
millones de pesos)
2
1
3
5
4
Producción en una
hora (unidades)
7
3
8
10
12
a)
b)
ESTADÍSTICA I - Cátedra "C"
GUIA DE EJERCICIOS
Trace el diagrama de dispersión y observe el tipo de asociación que hay
entre las variables.
Calcule la covarianza e interprete el resultado obtenido.
EJERCITACIÓN REPASO UNIDADES I a III
1- En un estudio realizado sobre PBI de 30 países se obtuvo la siguiente
información. Los valores están expresados en millones de dólares.
i
LI - . :.' . LS
j v
. ... (PBI)
' ....
.
25
— 75
r
— 125 1í 0.2
125 — 175
;r 0 . 1
75
---
{ 1
i
,
...,
11
1
,
.
..
,
10.4
f
17
.:
_ .
5 225 - 275
,j1f.
TIC
1 1 f o .fi o1.....____.--.
.
—
•
22
_
5
IFC) 20 7
,
.
Con los valores de la tabla Ud. deberá:
.._._.........
a) Analizar la variable y clasificarla.
b) Completar la tabla de frecuencias. 7
.
c) Graficar la frecuencia absoluta. Observar la forma
, de la distribución.
d) Realizar en una ojiva una interpolación que le permita determinar qué
porcentaje de países tienen PBI superior a 200 millones de U$S y qué
cantidad de países tiene PBI inferior a 100 millones de U$S.
e) Ca lc u lar la m ed i a e i nt er p r e tar s u v a lor . I nd i c ar s i es u n pr om ed i o
representativo en este caso.
f) Calcular la varianza.
g) Calcular el coeficiente de variación.
h) Calcular el nuevo valor de la media varianza y coeficiente de variación luego
de producirse un aumento del 9% en el PBI de todos los países.
2- Con los siguientes datos calcular media, mediana y modo, analizar el
comportamiento de la variable en cuanto a su asimetría e indicar si la media es
representativa en este caso de lo contrario que medida cumple esa condición.
X: 3,5,7,9,12,15,35,38,40 !
3-
En una distribución de 50 observaciones, con coeficiente de asimetría cero, cuya
media es 50 y la desviación estándar es 15. Determinar:
a- Los límites del intervalo ubicados a dos desvíos estándar de la media.
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b- La cantidad de observaciones contenidas en el intervalo ubicado a 3 desvíos
de la media.
c- El porcentaje de observaciones contenidas en el intervalo ubicado a 1 desvío
de la media.
d- El coeficiente de variación de w, siendo w = 3/5 x + 10
4- En una distribución asimétrica con media 30 y desviación estándar 18 calcular
los límites del intervalo ubicado a dos desvíos estándar de la media.
5- Represente en un gráfico a mano alzada la distribución de las calificaciones de
un grupo de alumnos:
a- Cu yo r en dim iento f ue baj o c on alg unas ex c e pc iones de m u y bue no s
rendimientos.
b- Cuyo rendimiento fue muy alto con algunas calificaciones muy bajas.
Marcar en cada gráfico aproximadamente qué ubicación tiene la media, la
mediana y el modo.
6- Calcular la
covarianza
variables:
de las siguientes
X: tasa de renuncia Y: tasa de desempleo
0.4
0.5
0.5
0.38
0.39
0.45
0.46
0.39
0.25
0.26
0.46
0.49
0.34
0.29
0.30
0.52
Analizar e interpretar el resultado.
7- Piense y responda fundamentando
ab-
Explicar el significado de asimetría y curtosis
Explicar el significado de covarianza. Analizar los valores que esta medida
puede asumir.
8- Con los siguientes datos construya un diagrama de bloque y analice:
1S
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N = 15
= 61
Me = 75
3= 27,98
Mín. = 10
Máx. = 90
Q1 = 30
= 80
9- La información siguiente corresponde al peso (en kg.) de 100 personas adultas.
n = 100
Media = 65,35
Mediana = 63,50
Desviación Estándar = 11,21
Valor Mín. = 47
Valor Máx. = 100
Percentil 25= 57
Percentil 75 = 72
a)
b)
c)
d)
Realizar un diagrama de bloque.
Determinar la desviación intercuartílica.
Analice la forma de la distribución.
Saque conclusiones.
17
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10- EJ ERCICIO INT EG R ADO R
De un estudio realizado a 20 estudiantes universitarios de primer año de la Fac.de
Ingeniería de la UNC con la finalidad de describir aspectos relacionados con el
nivel de trabajo y la formación recibida, se recopiló información sobre las
siguientes variables:
orient
2
3
1
2
1
3
2
3
1
3
3
1
1
2
1
3
1
2
2
2
Variables
Rótulo
orient
romsec
5.50
5.90
6.00
6.00
6.50
6.70
6.80
6.80
7.00
7.30
7.60
7.80
7.90
7.90
8.50
8.50
8.90
8.90
9.00
9.20
Cantrab
8
6
7
8
12
10
8
6
7
10
6
7
12
8
8
8
7
8
8
8
cantrabl
2
1
1
2
2
2
2
1
1
2
____
1
1
2
2
2
2
1
2
2
2
____
Descri ación
Orientación recibida en el secundario
promsec
Puntaje promedio del secundario
Cantrab
Cantidad de trabajos realizados
durante el secundario en el período
cantrabl
de orientación.
Remodificación de la cantidad de
trabajos
Categorías
1: Administración
2: Cs. Naturales
3: Cs. Sociales
1: 7 o menos trabajos
2: más de 7 trabajos
Con la información que se le proporciona, Ud. deberá, integrando todo lo estudiado
en las tres primeras unidades:
1. Definir la población, la muestra y la unidad de observación.
IR
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2. Clasificar cada variable en estudio según su naturaleza e
indicar la escala de medición.
3. Confeccionar una tabla de frecuencias para cada variable.
4. Graficar las frecuencias simples y destacar los aspectos
importantes que observe en cada distribución.
5. Graficar para la variable puntaje promedio del secundario la
frecuencia relativa acumulada y utilizando el gráfico
determinar la cantidad aproximada de estudiantes con
promedio inferior a 6,30 y el porcentaje de casos con un
promedio superior a 8,80
6. Obtener las medidas resumen de las variables cuantitativas
e interpretar los resultados.
7. Confeccionar el diagrama de caja y brazos y analizar el
comportamiento de la variable puntaje promedio.
8. Arm ar una tabla de doble entrada con las variables
or ie nt ac i ón e n e l s ec un d ar io y c an t id a d d e tr ab aj os
(recategorizada).
9. A partir de la tabla cruzada confeccionar un gráfico que
permita observar el comportamiento simultáneo de las
variables.
10. Sacar conclusiones.
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UNIDAD IV
PROBABILIDAD
1- Lea los siguientes enunciados y seleccione la alternativa correcta en cada
caso:
Si "A" y "B" son conjuntos mutuamente excluyentes:
a) La probabilidad de la intersección es igual a 1.
b) La probabilidad de la intersección es un número cualquiera.
c) La probabilidad de la intersección es igual a cero.
2- Los valores entre los cuales están comprendidas las probabilidades de
diferentes eventos son:
a) Entre cero y uno, inclusive.
b) Entre cero y uno sin incluir.
c) Entre - Go y + 00.
3- Si "A" y "B" son conjuntos no mutuamente excluyentes:
a) La probabilidad de la intersección es igual a cero.
b) La probabilidad de la intersección es distinta de cero y mayor que uno.
c) La probabilidad de la intersección es distinta de cero, pero no mayor
que uno.
4- Sea la probabilidad de A=0,40 y la de B=0,50 y siendo A y B eventos
mutuamente excluyentes, pertenecientes al espacio muestral S; calcule:
P (A B) =
P (A n B) =
5-
Sea la probabilidad de A = 0.30 y B = 0.50; y siendo A y B eventos no
mutuamente excluyentes pertenecientes al espacio muestra! S, por lo
cual P (A n B)= 0,15. Calcule:
P (A B) =
P (A / B) =
6-
Elija la opción correcta:
6.1. Si dos eventos son mutuamente excluyentes:
a) Son estadísticamente independientes.
b) S o n e s t a d í s t i c a m e n t e d e p e n d i e n t e s , p a r a u n a s o l a e x t r a c c i ó n .
c) Son estadísticamente independientes si extrae una selección de
muestreo con reposición.
20
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6.2. Si dos eventos son no mutuamente excluyentes, son:
a) Únicamente independientes.
b) Únicamente dependientes.
c) Pueden ser dependientes o independientes.
7.1. Si seleccionamos un producto al azar;
¿Cuál sería la probabilidad de extraer un producto de la marca "A", y cual la
probabilidad de extraer un producto de la marca "B", según la teoría clásica?
a) Asigne la probabilidad del espacio muestral según la teoría relativa.
b) Calcule la probabilidad de que ambos sean de la marca "A".
c) Calcule la probabilidad de que ambos sean de la marca "B".
7.3. Si seleccionamos al azar una muestra de tres productos con reposición:
a) Defina el espacio muestral.
b) Asigne probabilidades según la teoría clásica.
a) la cara del dado sea impar?
b) la cara del dado sea par?
c) la cara del dado sea par y uno?
d) la cara del dado sea impar y uno?
e) sea un uno, sabiendo que la cara es impar?
a) Elabore una tabla de contingencia.
b.1. Que fume.
b.2. Que sea mujer.
b.3. Que no fume.
b.4. Que sea hombre.
b.5. Que sea mujer y no fume.
b.6. Que sea hombre y fume.
b.7. Que sea hombre o que fume.
b.8. Que sea mujer o que no fume.
21
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c) Dad o q ue el emp leado seleccio nado es muj er, ¿cuál es la prob ab ilid ad
de que fume?.
d) D a d o q u e e l e m p l e a d o f u m a , ¿ c u á l e s l a p r o b a b i l i d a d d e q u e s e a
mujer?.
e) ¿Son estadisticamente independientes el hecho de que fume con el
hecho de que sea mujer?.
10 -
Si se lanza un dado dos veces; se pide:
a) Determine el espacio muestral.
b) ¿C u ál es la p r o b ab i lid ad q u e la s u ma d e car as s e a i g ua l a u n n ú mer o
par?.
c) Si uno de lo s d ado s es imp ar cuál es la pr obab ilid ad de q ue la suma de
puntos sea 5.
1 1 - Dada la siguiente tabla de contingencia:
APROBADOS
NO APROBADOS
Total
ECONOMÍA
15 0
DERECHO
18 0
90
70
25 0
24 0
MATEMÁTIC
A Total
12 0
45 0
40
200
16 0
a) Si seleccio namo s un a lu mno al azar ; ¿Cuál es la p r ob ab ilid ad q ue:
al. Sea u n e st ud ia n te d e d er ec ho ? .
a.2. Sea un estudiante aprobado?.
a.3. Sea un estudiante de economía á derecho ó aprobado?.
a.4. Sea un estudiante de econo mía y esté aprobado? .
a.5. Sea un estudiante de economía o de derecho?.
a.6. Sea un estudiante de matemática y derecho?.
a.7. Sea un estudiante de matemática ó economía y no esté aprobado?.
a.8. Sea un estudiante de econo mía y no esté apro bado?.
b) Si sabemos que es un estudiante de derecho, ¿cuál es la probabilidad
de que esté aprobado?.
c) Si sabemos que es un estudiante aprobado, ¿cuál es la probabilidad de
q ue sea de matemática?.
d) I nd iq ue si ha y i n d ep e nd en cia e nt r e lo s h ec ho s d e s er u n e s t ud ia n te
aprobado y de derecho.
12- L a si g ui e nt e i n fo r mac ió n e s d e u na i mp o r ta nt e e mp r es a fab r il q u e
cuenta con 250 empleados de los cuales 150 trabajan en turno mañana y
el r e s t o p o r l a t a r d e . D e l t u r n o m a ñ a n a 1 2 0 t i e n e n u n a a n t i g ü e d a d
superior a 5 años y en el turno de la tarde solo 30 de ellos tienen
antigüedad superior a 5 años.
Con esta información se solicita que:
a) Confeccione la tabla de doble entrada correspondiente.
b) S i s e s e l e c c i o n a u n e m p l e a d o a l a z a r , c a l c u l e l a s s i g u i e n t e s
probabilidades:
22
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b.l. Que sea un empleado del turno mañana.
b.2. Que sea un empleado del turno mañana o tarde.
b.3. Que sea un empleado del turno mañana o tenga una antigüedad
superior a 5 años.
b.4. Que sea un empleado del turno mañana y no tenga antigüedad
superior a 5 años.
b.5. Dado que es un empleado del turno tarde, que no tenga
antigüedad superior a 5 años.
b.6. Dado que es un empleado del turno mañana, que tenga antigüedad
superior a 5 años.
c) Verificar si son estadísticamente independiente los eventos: turno
mañana y antigüedad superior a 5 años.
13-La gerente de una boutique desea determinar la relación entre el
tipo de cliente y la forma de pago. Al respecto ha recopilado los
siguientes datos:
Crédito
Regular 70
Irregular 40
Efectivo
50
40
Si se selecciona una cliente al azar, ¿Cuál es la probabilidad que:
a) La cliente sea regular.
b) La cliente sea regular y pague a crédito.
c) La cliente sea irregular o pague en efectivo.
d) La clienta sea regular, sabiendo que paga en efectivo.
14-La siguiente información corresponde a alumnos de una facultad,
año 1998:
S
Trabaja
No Trabaja
Total
a)
b)
e
x
o
Masculino Total
386
230
1000
Femenino
186
384
570
Complete la tabla.
Si se selecciona un alumno aleatoriamente, ¿Cuál es la probabilidad
de que:
b.1. Sea mujer.
b.2. Sea mujer y trabaje.
b.3. Sea hombre o trabaje.
b.4. Sea mujer y no trabaje.
b.5. Si trabaja, sea hombre.
c) Verifique la independencia estadística entre los eventos de ser mujer y
no trabajar.
23
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15- De una caja que contiene 6 bolillas rojas; 4 blancas y 5 azules; se
extrae una al azar.
a) Determine la probabilidad de que:
al. Sea roja.
a.2. Sea blanca.
a.3. Sea azul.
a.4. No sea roja.
a.5. Sea roja o blanca.
b) Si s e ex tr aen s uces ivam ente 3 boli llas de la c aj a. Calc ule l a
probabilidad de que sean extraídas en este orden: roja, blanca y azul.
Nota: trabaje el experimento con reposición y luego sin reposición.
16- Dos amigos tiran al blanco. La probabilidad de que A acierte es 1/4,
la probabilidad de que B acierte es 2/5. Si disparan juntos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos peguen en el blanco?.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno pegue en el blanco?.
17- La probabilidad de que una política comercial tenga éxito se estimó
en 0,75. La probabilidad de que los gastos para desarrollar dicha
política no sobrepasen el presupuesto inicial es de 0,15. La probabilidad
de que se logren los dos objetivos es de 0,10.
Se pide:
a) Calcular la probabilidad de que se logre por lo menos uno de los
objetivos.
b) Ca lc u lar la pr o b ab i l i da d d e qu e s e im pon g a l a p ol ít ic a c o n u n
presupuesto mayor.
c) Calcular la probabilidad de que la política comercial tenga éxito
suponiendo un estricto control presupuestario que asegure la vigencia
del presupuesto inicial.
d) Hay independencia entre la implementación de la política comercial y
el presupuesto asignado para la misma. Verificar.
18Se realizó una encuesta a 100 mujeres empleadas en una empresa;
siendo una de las preguntas más importantes la siguiente: ¿Son más
importantes los estudios universitarios para un hombre que para una
mujer?
Edad
18 - 24 años
Mayor de 24 años
Respuesta
SI
17
26
NO
43
14
Total
60
40
a) ¿Cual es la probabilidad de que una empleada seleccionada al azar:
al. Conteste afirmativamente la pregunta.
a.2. Conteste sí o tenga más de 24 años?
a.3. Tenga más de 24 años, dado que contestó no.
b) Verifique la independencia entre los aspectos analizados. Interprete.
c) Explique que significa cada probabilidad de la tabla.
24
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19- Una empresa desea probar un producto en una zona comercial
seleccionada aleatoriamente. Las áreas pueden ser clasificadas con
base en su ubicación y densidad de población. En la siguiente tabla se
presenta el número de mercados en cada categoría.
Densidad
población
Ubicación
Urbana
25
20
Este
Oeste
a)
de
Rural
50
30
Total
75
50
f)
¿Cuál es la probabilidad de que el mercado seleccionado esté en el
este?.
¿Cuál es la probdbilidad de que el mercado seleccionado esté en el
oeste?.
¿Cuál es la probabilidad de que el mercado seleccionado esté en un
área rural y al oeste?.
¿Cuál es la probabilidad de que el mercado seleccionado esté al este
o dentro de un área urbana?.
¿Cuál es la probabilidad de que si está en el este, s e encuentre
localizado en un área urbana?.
¿Son independientes la ubicación y la densidad de población?.
20-
Si P(A)=0,15 y P(B)=0,75 y si A y B son eventos independientes;
b)
c)
d)
e)
obtenga:
P(A U B);
21-
P(B/A)
Con el ejemplo anterior; si A y B son mutuamente excluyentes;
obtenga las mismas probabilidades.
22-
Si, P(G)=0,5 ; P(H)=0,4 y P (G y H)= 0,1
Determine:
a)
b)
c)
d)
P(G/H)
P(G ó H)
P(H/G)
Son independientes los eventos G y H. Explique.
23-
El 5% de las unidades producidas por una fábrica se encuentran
defectuosas cuando el proceso de fabricación se encuentra bajo control.
Si el proceso se encuentra fuera de control, se produce un 30% de
unidades defectuosas. La probabilidad marginal de que el proceso se
encuentre bajo control es 0,92. Si se elige aleatoriamente una unidad y
se encuentra que es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que el
proceso se encuentre bajo control?
25
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24- Una fábrica de prendas deportivas compra telas a tres proveedores,
el 60% al proveedor A, el 30% al proveedor B y el resto al proveedor
C. El 95% de los rollos de tela que provienen del proveedor A, el 80%
de l o s q u e p r o v i e n e n d e l p r o v e e d o r B y e l 6 5 % d e l a s t e l a s
provenientes del proveedor C no tienen fallas. Calcule la probabilidad
que un rollo de tela elegido al azar que no presenta fallas, provenga:
a) Del proveedor A.
b) Del proveedor B.
c) Del proveedor C.
25- En una empresa hay 2 máquinas con las que se enlata una nueva
gaseosa. La máquina A produce el 40% del total de la producción y la
máquina B el 60% restante. Además se sabe que la máquina A produce
un 20% de artículos con defectos en su envasado y la B un 15%.
Calcular la probabilidad de que seleccionada una lata defectuosa en su
envasado esta haya sido enlatada por la máquina B.
26-
27-
Una empresa de productos de limpieza de primera línea usa tres
hotel es del inter i or del paí s par a pr opor c ion ar hos pedaj e a s us
viajantes. Por experiencia pasada se sabe que al 20% de los viajantes
se les asigna habitaciones en el hotel "A", al 50% en el hotel "B" y al
30% en el hotel "C". Además en dichos hoteles es común que se
presenten inconvenientes con el aire acondicionado central o en las
líneas telefónicas internas, ello ocurre el 4% de las veces en el hotel
"A ", e l 8% en el h ote l "B " y e l 5% en el hot el " C". Si uno de los
viajantes este mes se encuentra con problemas del tipo mencionado,
¿cuál es la pr obabilidad que la em presa le ha ya asignado una
habitación del hotel "B"?.
El departamento de crédito de un negocio informó que el 30% de
sus ventas son en efectivo, 30% son pagadas con cheque en el
momento de adquisición y 40% son a crédito. Se tiene que 20% de las
compras en efectivo, 90% de las pagadas con cheque y 60% de las
adquisiciones a crédito son por más de $50. Una conocida clienta acaba
de comprar un traje que cuesta $120. ¿Cuál es la probabilidad de que
haya pagado por el en efectivo?
28- Un s er v ic i o d e c l as if ic ac ió n d e b on os m u nic i pa l es t ie n e tr es
categorías: A, B, C, en el últim o año, de los mencionados bonos
emitidos en el país, 60% se clasificaron como A, 30% como B, y 10%
como C. De los bonos clasificados como A, 40% fueron emitidos por
c i ud a des , 4 0% p or s u b ur b i os , y 2 0% , p or ár e as r ur a les . De las
obligaciones clasificadas como B: 50% fueron de ciudades; 30% de
suburbios y 20% de áreas rurales. De los bonos clasificados como C,
80% fueron de ciudades; 10% de suburbios y 10% de áreas rurales.
Se selecciona un bono al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad condicional de haber seleccionado una
obligación emitida por un área rural dado que esté clasificado como C?
26
ESTADÍSTICA I - Cátedra "C"
GUIA DE EJERCICIOS
b) ¿Cuál es la probabilidad conjunta de seleccionar un bono clasificado
como C proveniente de un área rural?
c) ¿Cuál es la prob ab ilid ad d e q ue el bo no sea C, dado q ue fue emitido
por un área rural?
29Un d ocente d e estad ística por su exp eriencia sabe q ue 80 % de lo s
estud iantes ter minan los pr oblemas asignado s. Deter minó además q ue,
de los alumnos que cump len con su trabajo 90% aprobará el curso. De
aquellos estudiantes que no lo hacen así, 60% será promovido. El
al u mn o Mi g ue l to mó e st ad í st ica d ur a nt e e l úl ti m o se me s tr e co n e l
docente y recibió una calificación aprobatoria. ¿Cuál es la probabilidad
de que si haya hecho los problemas asignados?
27
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CITSFIRPMPIZOIR311749.811,1217
UNIDAD V
VARIABLE ALEATORIA
1- Conteste las siguientes preguntas:
a)
¿Qué propiedades debe cumplir una función matemática definida en el
campo discreto para ser función de probabilidad?.
b) ¿Cómo define una función de acumulación?.
c) ¿Qué es una distribución de probabilidad?.
d) ¿Cuál es la diferencia entre una distribución de frecuencias y una
distribución de probabilidad?
e) Según el tipo de variable aleatoria, ¿cómo se denomina la función de
probabilidad?
2- La demanda de teclados de computadora de una empresa varía mucho
de un mes a otro. La siguiente distribución de probabilidad muestra la
demanda mensual de teclados durante los últimos dos años:
Demanda mensual
40
45
50
55
P(x)
0,15
0,45
015
a) Represente gráficamente la función de probabilidad y la de
acumulación.
b ) Determine la probabilidad de que en el próximo mes la demanda sea
de 45 o más teclados.
c) Calcule la media y desviación estándar de la variable y analice.
3- Determinar la prima anual para una póliza de seguros de $1000 que
cubre un evento que en un período largo ha ocurrido 2 veces de 100. El
valor debe determinarse de modo tal que cubra los gastos y constituya
la bas e par a que l a em pr es a as egur ador a le a ñ ada c os tos
administrativos y utilidad.
4- La probabilidad de que una casa de cierto tipo quede destruida por un
incendio en cualquier período de 12 meses es 0.005.
Una empresa aseguradora ofrece vender al propietario de esa casa una
póliza de seguro contra incendio por $20.000 a un año y por una prima
de $150. ¿Cuál es la ganancia esperada de la empresa?
5- Dada la función f(x) = 3x ; continua en el intervalo O < x < 1;
a) Verificar si es función de densidad, en caso contrario transformarla
para que lo sea.
b) Calcular la esperanza y varianza de la variable x (utilice la función de
densidad),
28
ESTADÍSTICA I - Cátedra "C"
GUIA DE EJERCICIOS
6- Dada la f unc ión
f(x)= 5 - x
para x = 1, 2, 3, 4
10
a)
b)
Verifique si es función de probabilidad, en caso contrario
transformarla.
Calcular la esperanza (media) y varianza de x.
7- En una oficina trabajan 30 personas de las cuales 20 son varones. Se
seleccionan al azar 3 personas y se define la variable x: cantidad de
mujeres seleccionadas. Determinar la distribución de probabilidad de
esta variable aleatoria. Calcular la media y la varianza. Analizar e
indicar si puede aplicar la regla empírica para calcular ciertos
porcentajes de observaciones en intervalos notables.
8- Se define la función f(x) = ax para O < x < 6. Se pide:
a) Calcular el valor de "a" para que f(x) sea función de probabilidad.
b) Obtener F(x).
c) Graficar ambas funciones.
d) Calcular media y desviación estándar de x.
9- Sea x el número de accidentes por día que ocurrieron en una planta
fabril durante el año pasado:
Cantidad de
Accidentes
0
1
2
3
4
Cantidad
de días
185
102
55
12
11
a) Construya una distribución de probabilidad.
b) Represente gráficamente la distribución de probabilidad.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya 2 accidentes mañana?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que haya menos de 2 accidentes mañana?
e) Calcular la esperanza y la varianza del número de accidentes.
10-
Dada la función de probabilidad:
f(x) = 0,25 para x = 1;2;3;4
a)
b)
Determine la media y desviación estándar de la variable.
Calcule la probabilidad de que la variable x asuma valores menores
que 3
29
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c)
d)
Calcule la probabilidad de que la variable x asuma valores mayores
ue 2
Calcule la probabilidad de que la variable asuma el valor 4
11-
Con las siguientes distribuciones:
Distribución
A
x
P(x)
0
0,20
1
0,20
2
0,20
3
0,20
4
0,20
Distribución
B
x
P(x)
0
0,10
1
0,20
2
0,40
3
0,20
4
0,10
a) Calcule la esperanza matemática para cada distribución.
b) Calcule la desviación estándar para cada distribución.
c) Compare los resultados del punto a) y b) y comente.
12-
Dada la función 1/3 x para x = 0;1;2;3
a)
Indique si esta función cumple con las condiciones de una función de
probabilidad.
b) Si la función no fuera de probabilidad realice la transformación en
forma conveniente, para generar una función de probabilidad.
c) A partir de la función de probabilidad calcule la media y el coeficiente
de variación de la variable.
13- Sean "x" e "y" variables aleatorias discretas para las cuales los
posibles valores que éstas pueden tomar son: -2; 0; 2. En la siguiente
tabla se proveen las probabilidades conjuntas para todos los valores de
las dos variables.
x
Y
-2
0
2
-2
0
2
1/16
3/16
1/16
3/16
0
3/16
1/16
3/16
1/16
a) Obtener las funciones de probabilidad marginales
b) ¿Son estadísticamente independientes "x" e "y"?
c) Obtener la Covarianza entre las variables.
14-
Dada la siguiente distribución Bidimensional:
Y
x
1
2
3
4
5
2
3
7
5
1
2
30
ESTADÍSTICA I - Cátedra "C"
GUIA DE EJERCICIOS
a)
b)
c)
d)
15-
Se le pide:
Obtenga la tabla de probabilidades conjunta.
Calcule las distribuciones marginales.
Obtenga la Esperanza de cada una de las variables.
Obtenga una medida de variación conjunta entre las dos variables e
interprete su resultado.
Dada la siguiente función:
F(x) {x
3
O
x < 0
O<x<1
1
x>1
a) Obtenga la esperanza y la varianza.
b) Calcule la P (-0,3 < x < 0,5).
c) Obtenga la P (1/4 < x <1/2).
16-
Dada la siguiente función:
4kx
0<x <5
f(x)
O
a)
para todo otro x
Determ'ne el valor de k para que f(x) sea función de densidad.
b) Obtenga la función de acumulación.
e) Encuentre la esperanza matemática.
17-
Dada la siguiente función:
f(x)
{ 2/25x
1
a)
b)
c)
d)
0<x<5
para todo otro x
Calcule la esperanza y la varianza de la variable.
Obtenga la función de acumulación.
Calcule la P (2 < x < 5).
Calcule la P (3 < x < 8).
18-Sea X una variable aleatoria para la cual se desconoce la
distribución de probabilidad, aunque se sabe que la esperanza es igual
a 64 y la desviación estándar es igual a 5.
Se solicita:
a) Encontrar el valor máximo de probabilidad de que un valor particular
de la variable X se desvíe de la esperanza en 7 ó más.
b) Encontrar el valor mínimo de probabilidad que un valor particular de la
variable X se desvíe de la esperanza como máximo en un 10%.
31
ESTADÍSTICA I - Cátedra "C"
GUIA DE EJERCICIOS
19- La tabla siguiente presenta la función de probabilidad conjunta de
las variables "w" y "x".
w
x
2
4
a)
10
0,20
0,15
20
0
0,25
30
0,30
0,10
Calcular la esperanza y la varianza para las variables.
b) Calcular la covarianza entre las variables.
c) ¿Son estadísticamente independientes "w" y "x"?
20-
21-
Sea X una variable aleatoria que representa las ventas (en miles de
pesos) de un determinado negocio, se conoce que la esperanza es de
$200 y la desviación estándar es de $10. Encuentre la cota que
corresponde a las siguientes colas de probabilidad: se venda una
cantidad que supere a la esperanza en dos desviaciones estándar
(considerada en valores absolutos).
Por la Desigualdad de Tchebycheff se sabe que:
P [ I X - E ( x ) I k D S ( x ) ] 1 - 1 / k 2 y P [ IX - E(x)I > k
DS(x) ] < 1/k2
Se solicita encontrar el valor de k de modo que el intervalo
contenga al 95% y al 99% de los valores de la variable.
32
ESTADÍSTICA I - Cátedra "C"
GUIA DE EJERCICIOS
UNIDAD VI
MODELOS DE PROBABILIDAD
1- Usando la tabla correspondiente a la Distribución Binomial determine
las siguientes probabilidades:
a- Si
n=5
p = 0,20
; entonces ¿cuál es?:
P(x= O , n= 5, p= 0,20 )=
b- Si
n = 10
p = 0.40
; entonces ¿cuál es?:
P ( x = 6 , n = 10 , p = 0,40 ) =
c- Si
n = 15
p = 0.50
; entonces ¿cuál es?:
P ( x = 8 , n = 15, p = 0,50) =
d-
Si
n = 10
p = 0.60
; entonces ¿cuál es?:
P ( x = 7 , n = 15 , p = 0,60 ) =
.
e- Si
n = 15
p = 0.80
; entonces ¿cuál es?:
P ( x = 6 , n = 15 , p = 0,80 ) =
2- Se sabe que el 30% de las piezas defectuosas en un proceso de
manufactura, pueden volver a quedar bien mediante un trabajo de
reprocesado. Si se selecciona un lote de 6 piezas defectuosas:
a)
b)
c)
d)
¿Cuál es la probabilidad que se puedan reprocesar por lo menos tres
de ellas?
¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de ellas se pueda reprocesar?
¿Cuál es la probabilidad de que todas se puedan reprocesar?
Calcule la esperanza y
la varianza y analice la forma de la
distribución.
3- En base a la experiencia anterior la impresora principal del centro de
cómputos de cierta Universidad funciona adecuadamente el 90% del
tiempo. Si se hace una muestra aleatoria de 10 inspecciones:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la impresora principal no funcione en
forma apropiada?
a.l. Exactamente nueve veces.
a.2. Por lo menos nueve veces.
a.3. Como máximo nueve veces.
a.4. Menos de nueve veces.
b) ¿Cuántas veces se puede esperar que no funcione en forma apropiada
la impresora principal? (Para ello calcule la esperanza matemática).
c) Calcule la varianza
d) Analice la forma de la distribución.
33
ESTADÍSTICA I - Cátedra "C"
GUIA DE EJERCICIOS
4- En un examen de contabilidad de 100 alumnos que se presentaron a
rendir, 30 de ellos no aprobó el examen. Si se eligen en forma aleatoria
del listado de alumnos 10 de ellos:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que:
a.1. tres estén reprobados?.
a.2. cuatro o cinco de ellos no hayan aprobado?.
a.3. menos de tres no hayan aprobado?.
a.4. ninguno esté reprobado?.
a.5. cuatro o más hayan reprobado?.
a.6. más de tres pero menos de cinco hayan reprobado?.
a.7. exactamente seis hayan aprobado?.
a.8. dos o más hayan aprobado?.
a.9.cinco o menos hayan aprobado?.
a.10. ninguno haya aprobado?.
a.11. que hayan aprobado exactamente la mitad?.
b) Calcule la esperanza matemática y la desviación estándar para la
variable "x" = alumnos aprobados.
5- Suponga que en un examen de matemáticas muy largo Ana obtendría
bien el 70% de las preguntas.
Para un examen de 10 preguntas:
a) Calcule la probabilidad:
a.1. De que obtenga correctas por lo menos siete preguntas.
a.2. De que obtenga menos de seis preguntas correctas.
a.3. De que obtenga nueve o diez preguntas correctas.
b) ¿Cuál es el número esperado de respuestas correctas que tendrá Ana?
6- Una caja contiene seis (6) productos de la marca "AA" y cuatro (4)
productos de la marca "BB".
6.1.
Si se seleccionan al azar cinco (5) productos (sin reposición):
¿Cuál es la probabilidad de que se extraigan?:
aExactamente 3 productos de la marca "BB".
bMás de 2 productos de la marca "BB".
cCinco productos de la marca "BB".
dEntre 4 y 6 productos de la marca "BB".
eExactamente 2 productos de la marca "AA".
fEntre 3 y 7 productos de la marca "AA".
gExactamente 6 productos de la marca "AA".
hNingún producto de la marca "AA".
6.2.
Calcule la esperanza y la varianza para la variable "x" = producto
de la marca "BB".
7- Sea X una variable aleatoria Binomial y si seleccionamos una muestra
de tamaño cinco con una probabilidad de éxito de 0,50:
a) Construya la distribución de probabilidad.
b) Calcule la función de acumulación.
c)
Calcule la esperanza matemática y la varianza.
34
ESTADÍSTICA I - Cátedra "C"
GUIA DE EJERCICIOS
d) Grafique y analice la forma de la distribución.
8 - Con los datos de la tabla de Distribución de Poisson determine lo
siguiente:
a)
b)
c)
d)
9 -
Si X. = 2,6 entonces la P (x = 2)=
Si X. = 1,2 entonces la P (x = 3)=
Si X = 3,0 entonces la P (x = 4)=.
Si k = 2,5 entonces la P (2 <x <
4)=
El
fabricante de unidades de discos de una reconocida marca de
microcomputadoras, espera que sólo el 2% de esas unidades vendidas,
tengan problemas de funcionamiento durante el período de garantía de
fábrica.
En una muestra de 50 discos, ¿cuál es la probabilidad de que:
a) ninguna presente problemas durante el período de garantía?
b) exactamente una presente problemas durante ese período?
c) por lo menos dos presenten problemas?
10- El centro educativo de computación de una universidad tiene 300
term inales de com putador as pr eparadas par a us o diar io de los
estudiantes. La probabilidad de que alguna terminal requiera servicio
determinado día es de 0,015.
a)
¿Cuál es la probabilidad de que en un día en particular:
a.l. cuando mucho dos terminales requieran el servicio?.
a.2. tres o cuatro terminales requieran servicio?.
b)
¿ Cuál es la pr obabilidad de que en un período de dos d ías en
particular:
b.1. por lo menos 5 requieran servicio?.
b.2. exactamente dos requieran servicio?.
El número promedio de llamadas por minuto recibidas en un taller
de servicio de televisión es de 1,2.
1 1 -
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en un minuto dado:
a.l. se reciban menos de dos llamadas?.
a.2. se reciban más de tres llamadas?.
a.3. se reciban menos de dos llamadas o más de tres llamadas?.
a.4. se reciban ya sea dos o tres llamadas?.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que en 2 minutos dados:
b.l. se reciban dos llamadas?.
b.2. se reciban tres o más llamadas?.
b.3. se reciban cuatro llamadas?.
12- Una compañía de exploración de gas natural tiene un promedio de
cuatro hallazgos (es decir, encuentra gas natural) por cada 100 pozos
35
ESTADÍSTICA I - Cátedra "C"
GUIA DE EJERCICIOS
perforados. Si se van a perforar 20 pozos, ¿cuál es la probabilidad de
que haya:
a) exactamente un hallazgo?.
b) por lo menos dos hallazgos?.
Solucione este problema utilizando dos distribuciones de probabilidad
(Binomial y Poisson) y compare los resultados obtenidos.
13- Un almacén contiene diez máquinas impresoras, cuatro de las
cuales están defectuosas. Una empresa selecciona al azar 5 máquinas,
pensando de que todas están en condiciones de trabajar:
a)
¿Cuál es la probabilidad de que las 5 máquinas estén en buen
estado?.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos una esté en buen
estado?.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna esté en buen estado?.
14- Un grupo de 10 alumnos está formado por 5 de Córdoba. Calcular
la probabilidad de que en una muestra aleatoria sin reemplazo de 6
alumnos se obtengan exactamente 3 alumnos cordobeses.
15- Un grupo de 9 personas está formado por 4 hombres y 5 mujeres.
Si se selecciona al azar sin reemplazo 3 individuos para desempeñar
cargos que son incompatibles entre sí. ¿Cuál es la probabilidad de que:
a) los 3 sean hombres?.
b) 1 sea hombre?.
c) menos de 3 sean hombres?.
16- Al saber que una distribución normal estándar tiene media O y
desviación estándar 1:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que:
a.1.) Z sea menor que 1,57?.
a.2.) Z exceda a 1,84?.
a.3.) Z se encuentre entre 1,57 y 1,84?.
a.4.) Z sea inferior a 1,57 o mayor que 1,84?.
a.5.) Z se encuentre entre -1,57 y 1,84?.
a.6.) Z sea menor a -1,57 o mayor a 1,84?.
b) ¿Cuál es el valor de Z si el 50% de todos los valores posibles de Z
son mayores?.
c) ¿Cuál es el valor de Z si sólo el 2 1 5% de todos los posibles valores de
Z son mayores?.
d) ¿Entre qué par de valores de Z (distribuidos simétricamente alrededor
de la media) se encuentra el 68,26% de todos los posibles valores de
Z?.
17-
Encuentre el valor de Zo tal que:
36
ESTADÍSTICA I - Cátedra "C"
GUIA DE EJERCICIOS
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
(Z > Zo) = 0,025
(-Zo < Z < Zo) = 0,8264
(Z < Zo) = 0,2981
(-Zo < Z < Zo) = 0,4709
(Z > Zo) = 0,9750
(-Zo < Z
Zo) = 0,99
(Z < Zo) = 0,9251
(-Zo < Z < Zo) = 0,2673
(Z > Zo) = 0,6985
(-Zo < Z < Zo) = 0,4750
-6
o
-2
2
4
-6
-4
-2
o
2
4
6
a) ¿Qué porcentajes:
al. de estos gastos son inferiores a $350?.
a.2. de estos gastos se encuentran entre $250 y $450?.
a.3. de estos gastos son inferiores a $250 o mayores a $450?.
37
ESTADÍSTICA I - Cátedra "C"
GUIA DE EJERCICIOS
UNIDAD VII
DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO
1- El número de relojes de marca "RR" que tienen 3 familias es:
Familia A: 4
Familia B: 2
Familia C: 5.
Se pide:
a) Determinar todas las muestras posibles de tamaño 2 que pueden
extraerse de esa población con reposición y establecer la probabilidad
correspondiente a cada muestra.
b) Calc ular la m edia m ues tr al para c ada m ues tra s elecc ionada y
conformar su distribución de probabilidad.
c) Calcular la esperanza matemática o media aritmética de la media
muestral y comparar con el parámetro poblacional correspondiente.
d) Calcular
la varianza de la media muestral y verificar que es igual a
02/n.
e) Trabajar los puntos a); b) y c) sin reposición.
2- Considere el conjunto de los números impares {3;5;7}.
a)
b)
c)
d)
Haga una lista de todas las muestras posibles de tam año 2 que
puedan ser seleccionadas de éste conjunto trabajando con reposición.
C ons tr u ya la dis tr ibu c ión por m ues tr eo par a las m ues tr as
seleccionadas en el punto a).
Calcule la esperanza y la varianza de la media muestral y compare
con los parámetros poblacionales.
Resuelva los items a); b) y c) trabajando sin reposición.
3- Si consideramos una población de 4 alumnos (A; B; C; D) de un mismo
a)
b)
c)
d)
e)
curso que tienen realizados cursos de perfeccionamiento anteriores con
las siguientes cantidades: 4; 8; 10 y 14, respectivamente; además se
conoce que los tres primeros de ellos están de acuerdo con los
contenidos del curso actual.
Determinar todas las muestras posibles de tamaño 2, sin reposición,
que pueden extraerse de esta población.
Obtener la proporción poblacional de personas que están de acuerdo
con el curso actual.
Obtener la distribución de probabilidad de la proporción muestral de
personas que están de acuerdo con el curso actual.
Calcular la esperanza y la varianza de la proporción muestral y
comparar con los parámetros poblacionales.
O btener la distr ibuc ió n por m uestreo del pr om edio de c ur sos
realizados anteriormente por los alumnos seleccionados en la muestra
de tam año 2 del punto a). Calcular la esperanza y la varianza
comparando con los parámetros poblacionales.
45
ESTADÍSTICA I - Cátedra "C"
GUIA DE EJERCICIOS
4- Se encontró que las calificaciones de un curso de informática tienen
distribución normal con media de 57 puntos y desviación estándar de 9
puntos.
a) ¿Qué porcentaje de estudiantes calificó entre 55 y 59 puntos?.
b) Si se toma una muestra de 36 estudiantes, ¿qué porcentaje de
estudiantes tendrá una calificación media comprendida entre 55 y 59
puntos?.
5- La media de los puntajes del coeficiente intelectual de los alumnos de
una universidad es de 98 y la desviación estándar es de 7.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el puntaje medio de una muestra de
49 alumnos sea mayor a 100?.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el puntaje medio de una muestra de
196 alumnos sea mayor a 100?.
6- El sueldo de los empleados de comercio se distribuye Normal con
media de $400 y desvío estándar de $50.
a) Si se elige una persona al azar del total de empleados de comercio,
¿ c u ál es l a pr ob a b il i d ad de q u e s us i n gr es o s m ens u a l es s ea n
superiores a $425?.
b) Si se elige una muestra de 64 empleados, ¿cuál es la probabilidad de
que el sueldo promedio de la muestra sea mayor que $425?.
7- Se conoce que en una población de tres habitantes A; B y C; dos de
ellos prefieren la marca "SS" para su desodorante de modo que:
A prefiere "SS"
B prefiere "SS"
C prefiere "XX"
a)
b)
c)
d)
Calcular todas las muestras posibles de tamaño 2 que puedan
seleccionarse en esa población trabajando con reposición.
Determinar para cada muestra la proporción muestral de los que
prefieren marca "SS" y conformar su distribución de probabilidad.
Calc ular la es per anza y la var ianza de la pr oporc ión m ues tr al
comparando con los parámetros poblacionales.
Trabajar los puntos anteriores sin reposición.
8- El dueño de una inmobiliaria considera que de las 3000 cuentas de la
empresa un 60% se hallan en excelente estado. Si pretende
seleccionar una muestra de 150 cuentas.
a) Determinar la esperanza y la varianza de la proporción muestral de
cuentas en excelente estado, con muestras de n=150. Trabaje con
reposición.
b) Calcular la probabilidad de que la proporción de cuentas en excelente
estado sea superior a 0,80 considerando muestras de tamaño 150.
c) Resuelva los items anteriores suponiendo un muestreo sin reposición.
46
ESTADÍSTICA I - Cátedra "C"
GUIA DE EJERCICIOS
9- Si una variable x tiene media igual a 20 y una desviación estándar igual
a 6 y se selecciona una muestra de tamaño n, para la cual se calculará
la media muestra!:
a) ¿ Q u é tam a ño d e m ues tr a s e r eq u i er e par a a s eg ur ar q ue en e l
intervalo [15 < x < 25] estarán comprendidos como mínimo el 90%
de los valores de la media muestral?.
b) Determine el tamaño de m uestra del pu nto a) si conoce que la
población tiene distribución de probabilidad normal.
10- El gasto promedio mensual por vivienda en servicios en la ciudad
"AA" es de $85 con una desviación estándar de $20.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en cualquier muestra de 25 viviendas
el gasto medio sea superior a $82?. ¿Qué supuesto es necesario
b)
c)
d)
e)
realizar para resolver este caso?.
¿Cuál es la probabilidad de que en cualquier muestra de 25 viviendas
el gasto medio esté comprendido entre $76 y $93?. ¿Qué supuesto es
necesario realizar para resolver este caso?.
¿Cuál es la probabilidad de que en cualquier muestra de 36 viviendas
el gasto medio sea
superior a $82?. ¿Necesita suponer algo respecto
p
de la distribución oblacional?. Fundamente.
¿Cuál es la probabilidad de que en cualquier muestra de 36 viviendas
el gasto medio esté comprendido entre $76 y $93?.
Analice las diferencias entre los planteos realizados para muestras de
tamaño 25 y 36. Utilice el gráfico de la distribución de probabilidad
para explicar.
1 1 - Si hay tres empleados en una empresa de los cuales dos tienen
estudios especializados y uno no. Si se diseña el experimento de
seleccionar dos empleados aleatoriamente con reposición. Determine:
a) La esperanza y la varianza poblacional en la población Bipuntual
especificada.
b) La distribución muestral de la proporción de empleados que tienen
estudios especializados considerando todas las muestras posibles de
tamaño dos.
12- Calcule la esperanza y la varianza de la variable proporción
muestral y compare con los parámetros de la población Bipuntual.
Completar el siguiente cuadro:
Variable Aleatoria
Esperanza
Varianza
***
Distribución de
probabilidad
MEDIA MUESTRAL
PROPORCIÓN
MUESTRAL
***MARCAR LAS DIFERENCIAS ENTRE MUESTREO CON Y SIN REMPLAZO.
47
ESTADÍSTICA I - Cátedra "C"
GUIA DE EJERCICIOS
13-
Encontrar las siguientes probabilidades:
n =12
n =12
n =10
a) P (5,23 < X 2 < 14,8) =
b) P (x 2 < 26,2) =
c ) P ( X 2 > 3, 25 ) =
Encontrar el valor de X2* tal que:
14-
n = 10
n = 5
n = 15
a) P (x 2 < x 2 *) = 0,05
b) P ( x 2 < x 2 *) = 0, 0 1
c) P (x2 > x2*) = 0,90
15- Encontrar las siguientes probabilidades en una distribución t de
student con 5 grados de libertad.
a)
b)
c)
d)
P
P
P
P
16a)
b)
(t < - 0,727) =
(t < 0,920) =
(t > 4,032) =
(-1,476 < t < 3,365) =
Hallar el valor t* tal que:
n = 7 n = 11
P (t < t*) = 0,05
P (-t* < t < t*) = 0,95
17-
Encontrar las siguientes probabilidades:
a) P (F 5 , 3 > 14,9) =
b) P (F 9 , 8 < 7,34) =
c) P (1/2,38 < F 10 , 8 < 7,21) =
18-
Encontrar F* tal que:
a) P (F r 1 0 , 8 > F*) = 0,95
b) P (F r 5 , 7 < F* ) = 0,975'
c) P (F 7 , 6 < F*) = 0,05
d) P (F 8 , 3 < F*) = 0,005
48