( ) ( ) xm - de la UVa

TEMA 6
MOVIMIENTO OSCILATORIO
PROBLEMAS PARA RESOLVER EN CASA Y ENTREGAR
1 . - Dos resortes de longitud
natural
0, 2
m
y
de
constantes
recuperadoras k1 =1 N/m y k2=3 N/m
respectivamente, están enganchados por
uno de sus extremos a un bloque que
puede desplazarse sin rozamiento sobre
una superficie horizontal. Los otros
extremos de los resortes se unen a dos postes fijos situados a 0, 1 m de los extremos
de los resortes, tal como se indica en la figura. a) Encontrar la posición de equilibrio
del bloque cuando se hayan sujetado los resortes a los postes fijos; b) demostrar que
la constante del conjunto de ambos resortes vale 4 N/m; c) si desplazamos
ligeramente el bloque de la posición de equilibrio y lo dejamos oscilar, ¿cuál sería el
período de dicha oscilación si la masa del bloque es de 0, 1 kg?
a) Al unir los resortes a la pared, ambos
quedarán estirados (el resorte 1 una cantidad x01 y el
resorte 2 una cantidad x02), el bloque se desplazará una
cantidad x hacia la derecha (hacia el resorte de mayor
constante de fuerza) y quedará en equilibrio. Así,
tendremos en ese instante lo que aparece en la figura.
Podemos ver en el gráfico que:
x01+x02=0,2 m
Además, el sistema tiene que estar en
equilibrio, de modo que si hacemos el diagrama de sólido libre del bloque y aplicamos la
segunda ley de Newton nos queda:
ΣFX=0 ⇒ k2x02-k1x01=0 ⇒ 3x02-x01=0
Tenemos un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas:
x01+x02=0,2
3x02-x01=0
De la segunda:
x01=3x02
Y sustituyendo en la primera:
x01+x02=0,2 ⇒ 3x02+x02=0,2 ⇒ 4x02=0,2 ⇒ x02=0,05 m ⇒ x01=3x02=3 · 0,05=0,15 m
Por tanto, respecto del borde izquierdo, el bloque queda situado a una distancia que
es la longitud natural del resorte 1 (0,2 m) más lo que se ha alargado dicho resorte (x01):
d=l01+x01=0,2+0,15=0,35 m
d=0,35 m
b) Ahora desplazamos el bloque una distancia x hacia
la derecha respecto de la posición de equilibrio y lo dejamos
oscilar. El diagrama de sólido libre fuera del equilibrio será el
que aparece en el gráfico, y de la segunda ley de Newton:
ΣFX = mx ⇒ k2 (x02 − x ) − k1 (x01 + x ) = mx
k2x02 − k2x − k1x01 − k1x = mx
De la condición de equilibrio:
 ⇒ −k2x − k1x = mx
 ⇒ mx
 + k2x + k1x = 0
k2x02-k1x01=0 ⇒ k2x02 − k2x − k1x01 − k1x = mx
k1 + k2
x=0
m
Vemos que obtenemos la ecuación de un movimiento armónico simple, del tipo
mx + (k1 + k2 )x = 0 ⇒ x +
 + ω20 x = 0 , donde por comparación:
x
k1 + k2
m
Para un resorte equivalente tendríamos que la frecuencia natural sería:
keq
ω20 =
m
Por tanto:
keq=k1+k2=1+3=4 N/m
keq=4 N/m
c) Y el período será:
ω20 =
ω20 =
k1 + k2
0,1
4π2 k + k2
m
⇒ 2 = 1
⇒ T = 2π
= 2π
= 0,99 s
k1 + k2
1+3
m
m
T
T=0,99 s