1.- Se enrolla una cuerda alrededor del tambor interior

EXAMEN EXTRAORDINARIO DE FÍSICA I. PROBLEMAS
30-JUNIO-2014
1 . - Se enrolla una cuerda alrededor del tambor
interior de una rueda y se tira de ella con una fuerza
horizontal de 200 N. La masa de la rueda es de 50 kg y su
radio de giro es k=70 mm (IG= mk2). Sabiendo que los
coeficientes de rozamiento estático y cinético son µ e=0, 20 y
µ c=0, 1 5 respectivamente: a) determinar si la rueda sólo
rueda o también desliza; b) calcular la aceleración del centro
de masas de la rueda y la aceleración angular; c) hallar la fuerza de contacto entre la
rueda y el suelo.
a) Llamamos r1=100 mm=0,1 m y r2=60 mm=0,06 m a los dos radios del tambor.
Empezaremos suponiendo que la rueda rueda sin deslizar, de modo que tendremos dos
condiciones simultáneas:
Fr<µeN
aCM=αR
Ahora
hacemos
el
diagrama de sólido libre del
cuerpo y aplicamos las leyes de
Newton. Tendremos el diagrama
adjunto. Así, nos quedará:
ΣFX=m(aCM)X ⇒ F-Fr=maCM
F-Fr=mαr ⇒ 200-Fr=50 · α · 0,1
200-Fr=5α
ΣFY=m(aCM)Y ⇒ N-mg=0
N=mg=50 · 9,8=490 N
ΣMCM=ICMα ⇒ Frr1-Fr2=mk2α ⇒ 0,1Fr-0,06 · 200=50 · 0,072α ⇒ 0,1Fr-12=0,245α
Nos quedan dos ecuaciones y dos incógnitas:
200-Fr=5α
0,1Fr-12=0,245α
De la primera:
200-Fr=5α ⇒ α=40-0,2Fr
Y sustituyendo en la segunda:
0,1Fr-12=0,245α ⇒ 0,1Fr-12=0,245(40-0,2Fr) ⇒ 0,1Fr-12=9,8-0,049Fr ⇒ Fr=146,31 N
Comprobamos la suposición, es decir, que Fr<µeN (no desliza):
Fr<µeN ⇒ 146,31<0,2 · 490 ⇒ 146,31<98
Vemos que esto es falso, luego la suposición que hemos hecho es falsa y la rueda
desliza.
LA RUEDA DESLIZA
b) Como sabemos que desliza la fuerza de rozamiento adquiere su valor máximo, que
es:
Fr=µcN=0,15 · 490=73,5 N
De la ecuación del eje X:
ΣFX=m(aCM)X ⇒ F-Fr=maCM ⇒ 200-73,5=50aCM ⇒ aCM=2,53 m/s2
aCM=2,53 m/s2
Y de la ecuación de la rotación:
ΣMCM=ICMα ⇒ Frr1-Fr2=mk2α ⇒ 0,1 · 73,5-0,06 · 200=50 · 0,072α ⇒ α=-18,98 rad/s2
El signo negativo significa que el sentido de la aceleración angular es contrario al
que hemos marcado.
α=18,98 rad/s2
c) La fuerza de contacto entre la rueda y el suelo está formada por la normal y la
fuerza de rozamiento:
R=-Fri+Nj=-73,5i+490j N
En módulo:
R = Fr2 + N2 = 73,52 + 4902 = 495,48 N
R=495,48 N
2. - Dos resortes de longitud natural 0, 2
m y de constantes recuperadoras k1 =1 N/m y
k2=3 N/m respectivamente, están enganchados
por uno de sus extremos a un bloque que puede
desplazarse sin rozamiento sobre una superficie
horizontal. Los otros extremos de los resortes
se unen a dos postes fijos situados a 0, 1 m de los extremos de los resortes, tal como
se indica en la figura. a) Encontrar la posición de equilibrio del bloque cuando se
hayan sujetado los resortes a los postes fijos; b) si desplazamos ligeramente el bloque
de la posición de equilibrio y lo dejamos oscilar, determinar cuál sería el período de
dicha oscilación si la masa del bloque es de 0, 1 kg; c) determinar la constante k de un
único resorte que sustituyese a los dos de la figura produciendo oscilaciones de la
misma frecuencia; d) a continuación el sistema se introduce en un medio viscoso que
da lugar a una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad, siendo la constante
de proporcionalidad de 0, 01 Ns/m. Di el tipo de amortiguamiento, y escribe la
ecuación correspondiente suponiendo que la amplitud inicial es de 2 cm y que se
empieza a contar el tiempo (t=0) cuando la velocidad es nula; e) ¿qué tiempo tiene que
transcurrir para que la amplitud se reduzca un 99, 9%?
a) Al unir los resortes a la pared, ambos
quedarán estirados (el resorte 1 una cantidad x01 y el
resorte 2 una cantidad x02), el bloque se desplazará una
cantidad x hacia la derecha (hacia el resorte de mayor
constante de fuerza) y quedará en equilibrio. Así,
tendremos en ese instante lo que aparece en la figura.
Podemos ver en el gráfico que:
x01+x02=0,2 m
Además, el sistema tiene que estar en
equilibrio, de modo que si hacemos el diagrama de sólido libre del bloque y aplicamos la
segunda ley de Newton nos queda:
ΣFX=0 ⇒ k2x02-k1x01=0 ⇒ 3x02-x01=0
Tenemos un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas:
x01+x02=0,2
3x02-x01=0
De la segunda:
x01=3x02
Y sustituyendo en la primera:
x01+x02=0,2 ⇒ 3x02+x02=0,2 ⇒ 4x02=0,2 ⇒ x02=0,05 m ⇒ x01=3x02=3 · 0,05=0,15 m
Por tanto, respecto del borde izquierdo, el bloque queda situado a una distancia que
es la longitud natural del resorte 1 (0,2 m) más lo que se ha alargado dicho resorte (x01):
d=l01+x01=0,2+0,15=0,35 m
d=0,35 m
b) Ahora desplazamos el bloque una distancia x hacia
la derecha respecto de la posición de equilibrio y lo dejamos
oscilar. El diagrama de sólido libre fuera del equilibrio será el
que aparece en el gráfico, y de la segunda ley de Newton:
 ⇒ k2 (x02 − x ) − k1 (x01 + x ) = mx

ΣFX = mx
k2x02 − k2x − k1x01 − k1x = mx
De la condición de equilibrio:
 ⇒ −k2x − k1x = mx
 ⇒ mx
 + k2x + k1x = 0
k2x02-k1x01=0 ⇒ k2x02 − k2x − k1x01 − k1x = mx
k + k2
mx + (k1 + k2 )x = 0 ⇒ x + 1
x=0
m
Vemos que obtenemos la ecuación de un movimiento armónico simple, del tipo
 + ω20 x = 0 , donde por comparación:
x
k1 + k2
m
Así, el período del movimiento resultante es:
ω20 =
ω20 =
k1 + k2
4π2 k + k2
m
0,1
⇒ 2 = 1
⇒ T = 2π
= 2π
= 0,99 s
m
m
k1 + k2
1+3
T
T=0,99 s
c) Para un resorte equivalente tendríamos que la frecuencia natural sería:
keq
ω20 =
m
Por tanto comparando las expresiones:
k + k2 keq
ω20 = 1
=
⇒ keq=k1+k2=1+3=4 N/m
m
m
keq=4 N/m
d) Vamos a ver primero el tipo de amortiguamiento. La frecuencia natural de la
oscilación es:
k + k2
ω20 = 1
⇒ ω0 =
m
k1 + k2
1+3
=
= 6,32 rad / s
m
0,1
Y el parámetro de amortiguamiento:
0,01
γ
β=
=
= 0,05 s −1
2m 2 ⋅ 0,1
Podemos ver que β<ω0, de modo que se trata de movimiento subamortiguado.
SUBAMORTIGUADO
La ecuación por tanto será del tipo:
x=A0e-βtsen(ωt+ϕ)
siendo la frecuencia de la oscilación:
ω = ω20 − β2 = 6,322 − 0,052 = 6,32 rad / s
Nos dan también la amplitud inicial:
A0=2 cm
Y para calcular el desfase nos dicen que empezamos a contar el tiempo cuando la
velocidad es nula, luego tenemos que calcular la velocidad:
dx
= −A0βe −βt sen(ωt + ϕ) + A0 ωe −βt cos(ωt + ϕ)
x=A0e-βtsen(ωt+ϕ) ⇒ v =
dt
Aplicamos las condiciones de contorno:
t=0 ⇒ v=0 ⇒ v = −A0βe −βt sen(ωt + ϕ) + A0 ωe −βt cos(ωt + ϕ)
senϕ
ω
= tgϕ = =
0 = −A0βsenϕ + A0 ω cos ϕ ⇒ 0 = −βsenϕ + ω cos ϕ ⇒
cos ϕ
β
6,32
=
= 126,487 ⇒ ϕ = 1,563 rad
0,05
La ecuación del movimiento es, por tanto:
x=A0e-βtsen(ωt+ϕ)=2e-0,05tsen(6,32t+1,563)
x=2e-0,05tsen(6,32t+1,563)
e) La ecuación del movimiento la podemos poner como:
x=2e-0,05tsen(6,32t+1,563)=Asen(6,32t+1,563)
donde la amplitud no es constante, sino que disminuye exponencialmente con el tiempo:
A=2e-0,05t
Así, si queremos que la amplitud se reduzca un 99,9% implicará que la amplitud
tiene que ser el 0,1%:
0,1
2 = 2e − 0,05t ⇒ 10 −3 = e − 0,05t ⇒ ln 10 −3 = −0,05t
A=2e-0,05t ⇒
100
t=
ln 10 −3
= 138,16 s = 2 min 18 s
− 0,05
t=2 min 18 s