Temas4y5-Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

4º ESO (Opción B) Dpto de Matemáticas- I.E.S. Montes Orientales (Iznalloz)-Curso 2011/2012
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TEMAS 4 y 5.- ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS
1.- ECUACIONES (Págs. 76, 77, 78, 80 y 84)
Una ecuación es una igualdad entre expresiones
algebraicas. A las letras les llamamos incógnitas.
Resolver una ecuación es averiguar lo que tiene que valer la
incógnita para que se cumpla la igualdad.
Para resolver ecuaciones se usan principalmente dos reglas,
llamadas reglas de equivalencia:
∆
Si
> 0 , hay 2 soluciones (porque la raíz de índice par y
radicando positivo tiene 2 soluciones)
∆
Si
= 0 , hay 1 solución doble, es decir, que se repite la misma
solución (porque la raíz de 0 es 0)
∆
Si
< 0 , la ecuación no tiene solución (porque la raíz de índice
par y radicando negativo no se puede calcular)
1) Transposición de términos: Se pasan los términos de un
miembro a otro cambiándoles de signo
2) Despeje de la incógnita: Se despeja teniendo en cuenta
que lo que multiplica a la incógnita pasa dividiendo al otro
miembro y lo que divide pasa multiplicando.
Las ecuaciones se pueden clasificar según el número de
soluciones:
- Ecuación compatible. Es la que tiene solución. Si la
solución es única se llama compatible determinada y si hay
infinitas soluciones se llama compatible indeterminada
2) Ecuaciones de 2º grado incompletas (sin término de x): Son
2
de la forma ax + c = 0
2
Para resolverlas despejamos x y luego hallamos la raíz
cuadrada.
3) Ecuaciones de 2º grado incompletas (sin término
2
independiente): Son de la forma ax + bx = 0
Para resolverlas sacamos factor común x , igualamos a cero
cada factor y despejamos x. Estas ecuaciones siempre tienen 2
soluciones y una de ellas es x = 0
- Ecuación incompatible. Es la que no tiene solución
Ejemplos:
x + 3 = 5 es compatible determinada porque tiene una
única solución, que es x = 2
x + 1 = 2x + 3 - x - 2 es compatible indeterminada
porque al transponer los términos y reducir nos queda 0x =
0 que tiene infinitas soluciones
x + 3 = x + 2 es incompatible porque al transponer los
términos y reducir nos queda 0x = -1 que NO tiene
solución
Ecuaciones expresadas como producto de factores
Son ecuaciones del tipo P.Q = 0, siendo P, Q polinomios.
Para resolverlas, se iguala a 0 cada factor y se resuelven las
ecuaciones correspondientes.
Si la ecuación no está expresada como producto de factores,
entonces se factoriza y se aplica la regla anterior
Ejercicios
Ecuaciones de primer grado
Pág. 86: El 30, 32 f) h) , 34 g) j) y 36 c) d)
Son ecuaciones en las que la incógnita está elevada a 1.
Las ecuaciones de primer grado se pueden expresar de la
forma ax + b = c . Estas ecuaciones pueden tener 0 , 1 ó
infinitas soluciones
Ecuaciones de segundo grado:
Son ecuaciones en las que la incógnita está elevada al
cuadrado.
Todas las ecuaciones de 2º grado se pueden escribir de la
2
forma ax + bx + c = 0 con a ≠ 0
Hay varios tipos de ecuaciones de segundo grado:
1) Ecuaciones de 2º grado completas: Son aquellas en las
2
que aparecen los términos de x , de x y el término
independiente.
-b±
Para resolverlas usamos la fórmula x =
2a
△
siendo
∆
∆
Pág. 87: El 37, 38, 45 y 46
1 Despeja la variable que se indica en cada fórmula:
2
a) s = s0 + vt , despeja v
b) s = (1/2)at
2
c) v = v + 2as , despeja s
,
despeja t
d) F = ma , despeja m
2 Resuelve las siguientes ecuaciones:

x - 5 
x2 - 2 x + 8
a) x 3 +
-2 =


4 
3
6
2
b) (2x - 3)(x - 1) – 2(x + 5) = 10 + (3x + 2)(3x - 2)
c) (2x – 1) (x + 4) = 81
2
= b – 4ac .
Pág. 88: El 48 b) g)
2
2
d) (x – 2)(x + 2) – 3(x - 1) + 2(x – x ) = 5
se llama discriminante de la ecuación
2
e) 100 – (3x+7) =0
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-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2.- INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA (Págs. 82, 83 y 85)
Una inecuación es una desigualdad entre expresiones
algebraicas. A las letras les llamamos incógnitas.
Por ejemplo, son inecuaciones:
2
x+2<5 , x –1 ≥3
y
2x – y ≤ 6
Resolver una inecuación es averiguar lo que tiene que valer
la incógnita para que se cumpla la desigualdad.
2) Si en una inecuación se multiplican o dividen los dos
miembros por un número positivo, la desigualdad mantiene el
sentido
2
x
Ejemplos: 3x < 2 → x <
,
≥ 3 → x ≥ 15
3
5
3) Si en una inecuación se multiplican o dividen los dos
miembros por un número negativo, la desigualdad cambia de
sentido
Ejemplos: - 3x < 2 → x >
En este epígrafe sólo vamos a estudiar las inecuaciones de
primer grado con una incógnita, llamadas inecuaciones
lineales, como por ejemplo:
3x + 2 < 5
7x - 4 ≤ 1 - 2x
, - 5x + 6 > 0
y
−2
3
,
-x<2
→ x > -2
Por tanto, para resolver este tipo de inecuaciones se usan las
mismas reglas que en las ecuaciones, salvo que:
3x ≥ 5 .
Al despejar x, si el número que multiplica o divide a x es
negativo, tenemos que cambiar el sentido a la
desigualdad
Para resolver inecuaciones podemos usar las siguientes
propiedades:
1) En una inecuación podemos pasar términos de un
miembro a otro cambiándoles de signo.
Ejemplo:
3x + 1 < x – 2 → 3x – x < -2 – 1
Las inecuaciones lineales con una incógnita suelen tener infinitas
soluciones y se corresponden con los puntos de una semirrecta.
Algunas inecuaciones no tienen solución. Por ejemplo, 0x < -2
no se cumple para ningún valor de x
→ 2x < -3
En otras inecuaciones, la solución son todos los números reales.
Por ejemplo, 0x < 1 se cumple para todos los valores de x
Ejercicios
Pág. 89: El 58, 59, 60 y 61
Pág. 100: El 19
3.- INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS (Pág. 89)
Una inecuación lineal con dos incógnitas es aquella con un
término en x, otro en y y un término independiente.
Por ejemplo, 3x + 2y < 5 es una inecuación lineal con 2
incógnitas.
Su recta asociada es 3x + 2y = 5
Resolver una inecuación es averiguar los valores de las
incógnitas para que se cumpla la desigualdad.
Para resolver una inecuación lineal con 2 incógnitas, se
representa sobre los ejes de coordenadas la recta asociada y se
determina el semiplano que contiene a las soluciones de la
misma.
El semiplano solución puede ser abierto, si la recta está excluida
ó cerrado, si está incluida.
La solución de una inecuación lineal con 2 incógnitas
siempre corresponde a un semiplano cuyo borde es la recta
asociada.
Ejercicios
Pág. 89: El 65
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-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4.- SISTEMAS DE ECUACIONES (Págs. 94, 95, 96, 97 y 102)
* Sistema compatible. Es el que tiene solución.
Una ecuación lineal con 2 incógnitas es aquella que tiene un
término en x, otro en y y un término independiente.
- Si la solución es única se llama compatible determinado.
´
b b
´
a a
Las ecuaciones lineales con 2 incógnitas siempre tienen
infinitas soluciones
- Si hay infinitas soluciones se llama compatible indeterminado.
≠
Esta situación se da cuando
=
´
c c
´
b b
Esta situación se da cuando
´
a a
Por ejemplo, 2x - 3y = -6 es una ecuación lineal con 2
incógnitas.
=
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de 2 o
más ecuaciones lineales.
´
c
c
y
y ´
b b
x
x ´
a a
 +
=
Un sistema de ecuaciones 
+
=

según el número de soluciones en:
se puede clasificar
≠
´
c c
Resolver un sistema es averiguar el valor de las incógnitas
para que se cumplan todas las ecuaciones a la vez.
=
´
b b
situación se da cuando
´
a a
* Sistema incompatible. Es el que no tiene solución. Esta
2x − 5y = − 4
Ejemplo: 
 x + 3y = 9
En la resolución de sistemas, usaremos los siguientes métodos:
Método de sustitución: Consiste en despejar una incógnita en
una ecuación y sustituirla en la otra ecuación. Así se llega a una
ecuación con 1 incógnita.
Método de igualación: Consiste en despejar la misma incógnita
en las 2 ecuaciones e igualar las expresiones obtenidas. Así se
llega a una ecuación con 1 incógnita.
Método de reducción: Consiste en buscar otro sistema
equivalente en el que los coeficientes de una de las incógnitas
sean números opuestos. Después se suman las ecuaciones
llegándose así a una ecuación con 1 incógnita
Ejercicios
Pág. 104: El 30
Pág. 105: El 33 a) , 34 a) , 35 , 37 b) y 38
5.- RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS
Para resolver un problema es conveniente:
- Leer el enunciado hasta comprenderlo.
- Elegir las incógnitas y escribir los datos.
- Encontrar la ecuación, inecuación o sistema que relaciona
los datos y las incógnitas.
- Resolver la ecuación, inecuación o sistema.
- Comprobar las soluciones.
Ejercicios
Pág. 90: El 79, 85 y 88
Pág. 106: El 50 y 51
Pág. 107: El 58
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