SUMA DE VARIABLES ALEATORIAS

Desigualdad de Tchebyshev
Si la Esperanza y la varianza de la variable X son finitas, para cualquier
número positivo k, la probabilidad de que la variable aleatoria X esté en
el intervalo
   k ;   k  es mayor o igual que 1-
1
es decir
2
k
La
probabilidad
1
de que X


P
x



k

;


k


1ó
2


asuma un
k
valor que
1
está dentro
P  x    k   1- 2
de las k
k
dispersiones
de su
1
esperanza, 1  1 k  0
la P  x    k   2
k2
es por lo
k
menos


O también
por ser
sucesos
contrarios
Consideraciones
1)Si k 1 
1
1
1

0
y
1
2
2
k
k
Entonces la
desigualdad de
Tchebyshev es
trivial para
valores de k < 1,
ya que 0< p < 1
2) El significado de esta desigualdad reside en su completa
universalidad, ya que puede ser aplicada a cualquier variable
aleatoria
3) Si conocemos la distribución de probabilidades de una variable
aleatoria discreta o continua, podemos calcular, si existen,
E(x) y V(x).
La recíproca no es cierta, es decir, conociendo E(x) y V(x), no
podemos reconstruir la distribución de probabilidades, por lo que
no podemos calcular la probabilidad de la desigualdad, pero si
podemos dar una cota superior o inferior de dicha
probabilidad
Ejemplo
¿Cuál es la probabilidad que se asocia con
valores de x alrededor de su media hasta 2σ?
P  x    2  ?
x
0
1
2
3
4
P(x)
0,05
0,2
0,4
0,25
0,1
P  x    2   P  x  2,15  2.1,0136  
 P  x  2,15  2,0272  P  0,1228  x  4,1772 
 P( x  1)  P( x  2)  P( x  3)  P( x  4) 
Supongamos no conocer la
distribución de X, pero si su
esperanza y varianza.
Podemos aplicar
Tchebysheff
0,2 + 0,4 + 0,25 + 0,1 = 0,95
P  x    2   1 
P  x  2,15  2.1,0136   1 
1
k2
1 3
  0,75
22 4
Ley de los grandes números
Teorema de Bernoulli
Cuando el número de repeticiones de un experimento aleatorio
aumenta, la frecuencia relativa del suceso A converge en sentido
probabilístico a la probabilidad teórica P(A)
fA  P( A) para n  
La probabilidad de
que la frecuencia
relativa del éxito
en n pruebas,
difiera de la
probabilidad p en
una cantidad
menor que ,
tiende a uno
cuando la cantidad
de pruebas tiende a
infinito.
• En una sucesión de pruebas de Bernoulli
• Dado un número positivo  arbitrario,




lim P  fA  p     1   0
n 
lím P  fA  p     0   0
n 
En toda
sucesión de
pruebas de
Bernoulli, la
frecuencia
relativa
converge en
sentido
probabilístico
a la
probabilidad
Demostración
Dado un experimento y un suceso A asociado a dicho
experimento, consideramos n repeticiones
independientes del experimento, x
es el número de veces que ocurre A en las n
repeticiones, además P(A) = P en cada repetición.
x
fA 
n
Es una variable aleatoria binomial
E  x   np
y V  x   np 1  p 
1
x 1
E  fA   E    E  x   n.p  p
n
n  n
p 1  p 
1
x 1
V  fA   V    2 V  x   2 n.p 1  p  
n
n
n  n
Aplicando la desigualdad de
Tchebyshev a la variable aleatoria fA

p 1  p  
1


 P fA  p  k
 1 2


n
k


1
P  fA  p  k   1  2
k
Como   0
consideramos
p 1  p 
 k
n
  2  k2
1
P  fA  p     1 
n 2
p 1  p 
límP  f
n 
A

p 
p 1  p 
n
n 2

 k2
p 1  p 
 P  fA  p     1 
 p 1  p  
 lím 1 
 1
2
n
n  

límP  f
n 
p 1  p 
n 2
A

 p   1
Población y Muestra
Una variable aleatoria X con E(x)
= µ y V(x) =σ2
puede pensarse como cualquier característica medible de los
individuos de una población. El conjunto de todas las mediciones
de dicha variable es la Población o Universo.
x1, x2 , x3 ,.....xN
Muestra es un subconjunto de la población al que
tenemos acceso y sobre el que realmente hacemos las
mediciones
x1, x2 , x3 ,.....xn
Cada una de estas mediciones son valores que toman las
variables aleatorias
X1, X 2 , X3 ,..... X n
Estas variables forman una muestra aleatoria de tamaño n si:
•Las Xi son variables aleatorias independientes.
•Cada variable Xi tiene la misma distribución de probabilidad que la
distribución de la población con su misma esperanza µ y varianza
σ2., es decir E(xi) = µ y V(xi) = σ2
TEOREMA DE BERNOULLI
GENERALIZADO
Dada una muestra aleatoria, es decir: una sucesión
de v.a. x1, x2, x3, x4,…..xn
dos a dos independientes, con una misma distribución de
probabilidad y con esperanza μ y varianza σ2, entonces
  0
lím P  x       1 ó lím P  x       0
n 
n 
El límite, en probabilidad, de la media muestral para
n   es igual a la media de la población de la
que se extrajo la muestra
Demostración
x1, x2 , x3 ,.....xn
Son variables aleatorias independientes con esperanza y
varianza de la población de donde fueron extraídas
x 
n

i 1
xi
n
E ( xi )   y V ( x i )   2
Es una función de x1, x2 , x3 ,.....xn
Por lo tanto es otra variable aleatoria.
1
 n xi  1 n
E  x   E     E  xi   .n.  
n
 i 1 n  n i 1
1

 xi  1
2
V  x   V    2 V  xi   2 .n. 
n
n
 i 1 n  n i 1
n
n
2
Aplicando la desigualdad
de Tchebyshev
Consideramos
  k.

n


 
1

P  x    k.
  1- k 2
n






 
2

P  x    k.
  1- n 2
n




k 
2
n
2
2


 
1

P  x    k.
  1- n 2
n




2

ó P  x      < 2
n
2
Aplicando Límite para n
tendiendo a infinito

2 
lím P  x       lím  1  2 
n 
n
n 
lím P  x       1
n
ó   0 lím P  x       0
n
El teorema se puede generalizar a variables
aleatorias con distintas esperanzas y varianzas.
SUMA DE VARIABLES
ALEATORIAS
Teorema del límite
central
El teorema afirma que, con ciertas
restricciones leves, la distribución de la
suma de un gran número de variables
aleatorias, tiene aproximadamente
una distribución normal.
El valor de este teorema es que no requiere
condiciones para las distribuciones de las variables
aleatorias individuales que se suman.
Enunciado del TLC
Si S es la suma de un gran número de variables aleatorias independientes
x1, x2 , x3 ,.....xn
entonces, bajo ciertas condiciones, la función de densidad de
probabilidad de la variable aleatoria S se distribuye normalmente,
para n tendiendo a infinito.
n
Es
S   i
i 1
n
z
~ N  0,1
decir,
n
entonces
S  xi
  i2

i 1
i 1
n
donde
E (s )    i
i 1
 (S ) 
n
2

 i
i 1
Esta generalización es válida cuando las variables aleatorias
individuales sólo hacen una contribución relativamente pequeña a la
suma total
En particular, si las xi están idénticamente
distribuidas
E  xi   
 n  n
E (S )  E   xi    E  xi   n.
 i 1  i 1
V  xi    2
 n  n
V (S )  V   xi   V  xi   n. 2
 i 1  i 1
Por ser las xi independientes.
Entonces el teorema afirma que la fdp de la variable S
se distribuye normalmente
S  n
Luego
z
n .
~ N  0,1
Ejemplo 1
Supóngase que un proceso de fabricación produce lavadoras
de las cuales, alrededor del 5% son defectuosas. Si se
inspeccionan 100 lavadoras ¿Cuál es la probabilidad de que
haya entre 2 y 6 lavadoras defectuosas?
P  2  x  6   P  x  3   P( x  4)  P( x  5)
 100 
 100 
 100 
3
97
4
96
5
95

0,05
.0,95

0,05
.0,95

0,05
.0,95
 0,4977





 3 
 4 
 5 
Comparemos el resultado del cálculo directo con el
cálculo aproximado, es decir, aplicando el TCL:
Aplicamos el TCL
Calculamos
E(x)=np=100.0,05=5 V(x)= np(1-p)=100.0,05.0,95= 4,75
 65 
 25 
P 2  x  6   
  
    0,46     1,38  
 4,75 
 4,75 
 0,6772  0,0838  0,5934
Comparamos con el resultado exacto 0,4977. No es una
buena aproximación. Por ser x una variable discreta,
calculemos
 55 
 35 
P (3  x  5)   





 4,75 
 4,75 
   0     0,92   0,5  0,1788  0,3212
Tampoco es buena
aproximación
Corrección por continuidad
Para variables discretas, consiste en ampliar el
intervalo en una unidad, es decir:
1
1
Si a  x  b  a   x  b 
2
2
 5,5  5 
 2,5  5 
P  2,5  x  5,5    
  

 4,75 
 4,75 
0,4659
   0,23     1,15   0,591  0,1251 
Es una buena aproximación
La distribución Binomial converge a la normal cuando n
tiende a  (teorema de de Moivre, caso particular del
teorema central del límite)
1
1
Si a  x  b  a   x  b 
2
2
p(x)
a -0.5
a
b
b + 0.5
Calculamos las probabilidades
pedidas
 14,5  15 
a) P C  14,5    
   2,15   0,0158

 0,23238 
 15,3  15 
b) P C  15,3   1   
 1   1,29  

 0,23238 
 1  0,9015  0,0985
Consideraciones finales
• El n que se requiere para aplicar el teorema central del
límite en gran parte depende de la forma de la
distribución de las variables aleatorias individuales que
se suman
•Si los sumandos están normalmente distribuidos , al
aplicar el teorema central del límite, las probabilidades
obtenidas son exactas. No importa n.
•Si no se conoce la distribución de los sumandos, para n
mayor o igual que 25, se obtienen buenas
aproximaciones.
•Si las variables aleatorias se distribuyen binomialmente,
n >10 si p  0,5
tambien si p 0 ó 1 , n debe ser bastante mayor.
Ejemplo 2
Una fábrica de productos alimenticios produce carne enlatada, con un peso
medio de 250 grs y una varianza de 900 grs cuadrados por lata. Si los
pesos de las latas son estadísticamente independientes. Las cajas
contienen 60 latas. Se elige una al azar, hallar la probabilidad de que:
a)
El peso de la caja sea a lo sumo 14,5 kg.
b)
El peso de la caja sea al menos 15,3 kg.
x i : es el peso de cada lata C: es el peso de la caja
E( xi )  250grs. V ( xi )  302 grs
 60  60
C   xi  E C   E   xi    E ( xi )  60.250  15.000grs  15kg.
i 1
 i 1  i 1
60
 60  60
V C   V   xi   V ( xi )  60.900  54.000grs 2
 i 1  i 1
  (C )  60.900  60.30  232,38grs  0,23238kg