TEOREMA DE BERNOULLI GENERALIZADO

TEOREMA DE BERNOULLI
GENERALIZADO
Dada una sucesión
x1, x2 , x3 ,.....xn
dos a dos independientes, con una
misma distribución de probabilidad y con
esperanza µ y varianza σ 2 Se verifica que
∀ε > 0
lím P  x − µ ≤ ε  = 1 ó lím P  x − µ > ε  = 0
n →∞
n →∞
El límite, en probabilidad, de la media muestral para
n→∞
es igual a su esperanza matemática
Demostración
x 1 , x 2 , x 3 ,..... x n
Son variables aleatorias independientes de una variable X
con esperanza y varianza iguales. E ( xi ) = µ y V ( xi ) = σ 2
n
x =
∑
i =1
xi
n
Es una función de x 1 , x 2 , x 3 ,..... x n
Por lo tanto es otra variable aleatoria.
1
 n xi  1 n
E ( x ) = E  ∑  = ∑ E ( xi ) = .n.µ = µ
n
 i =1 n  n i =1
 n xi  1
V ( x ) = V ∑  = 2
 i =1 n  n
n
1
σ
2
V ( xi ) = 2 .n.σ =
∑
n
n
i =1
2
Aplicando la desigualdad
de Tchebyshev
Consideramos
ε = k.
σ
n


σ 
1

P  x − µ ≤ k.
 ≥ 1- k 2
n

ε




σ 
σ2

P  x − µ ≤ k.
 ≥ 1- nε 2
n

ε


⇒k =
2
nε
2
σ2


σ 
1

P  x − µ ≤ k.
 ≥ 1- nε 2
n

ε


σ2
2
σ
ó P  x − µ > ε < 2
nε
Aplicando Límite para n
tendiendo a infinito

σ2 
lím P  x − µ ≤ ε  ≥ lím  1 − 2 
nε 
n→∞
n→∞ 
lím P  x − µ ≤ ε  = 1
n→∞
n→∞
ó ∀ε > 0 límP x − µ > ε  = 0
n→∞
El teorema se puede generalizar a variables
aleatorias con distintas esperanzas y varianzas.
SUMA DE VARIABLES
ALEATORIAS
Teorema del límite
central
El teorema afirma que, con ciertas
restricciones leves, la distribución de la
suma de un gran número de variables
aleatorias, tiene aproximadamente
una distribución normal.
El valor de este teorema es que no requiere
condiciones para las distribuciones de las variables
aleatorias individuales que se suman.
Enunciado del TLC
Si S es la suma de un gran número de variables aleatorias,
entonces, bajo ciertas condiciones, la función de densidad
de probabilidad de la variable aleatoria S se distribuye
normalmente, para n tendiendo a infinito.
n
S − ∑ µi
z=
∼ N ( 0,1)
i =1
n
∑σ
2
i
i =1
Observar que
n
E (s ) = ∑ µ i
i =1
n
σ (S ) =
2
σ
∑ i
i =1
Esta generalización es válida cuando las variables
aleatorias individuales sólo hacen una contribución
relativamente pequeña a la suma total
En particular, si las xi están idénticamente
distribuidas, es decir, tienen la misma media y
la misma varianza,
E ( xi ) = µ
 n  n
E (S ) = E  ∑ xi  = ∑ E ( xi ) = n.µ
 i =1  i =1
V ( xi ) = σ 2
 n  n
V (S ) = V  ∑ xi  = ∑V ( xi ) = n.σ 2
 i =1  i =1
Por ser las xi independientes.
Entonces el teorema afirma que la fdp de la variable S
se distribuye normalmente
S − nµ
z=
∼ N ( 0,1)
Luego
n .σ
Ejemplo 1
Supóngase que un proceso de fabricación produce lavadoras
de las cuales, alrededor del 5% son defectuosas. Si se
inspeccionan 100 lavadoras ¿Cuál es la probabilidad de que
haya entre 2 y 6 lavadoras defectuosas?
P ( 2 < x < 6 ) = P ( x = 3 ) + P ( x = 4) + P ( x = 5)
 100 
 100 
 100 
3
97
4
96
5
95
=
0,05
.0,95
+
0,05
.0,95
+
0,05
.0,95
=





 3 
 4 
 5 
0,4977
Comparemos el resultado del cálculo directo con el
cálculo aproximado, es decir, aplicando el TCL:
Aplicamos el TCL
Calculamos
E(x)=np=100.0,05=5 V(x)= np(1-p)=100.0,05.0,95= 4,75
 6−5 
 2−5 
P (2 < x < 6) = Φ 
 − Φ
 = Φ ( 0,46 ) − Φ ( −1,38 ) =
 4,75 
 4,75 
= 0,6772 − 0,0838 = 0,5934
Comparamos con el resultado exacto 0,4977. No es una
buena aproximación. Por ser x una variable discreta,
calculemos
 5−5 
 3−5 
P (3 ≤ x ≤ 5) = Φ 
−
Φ


=
 4,75 
 4,75 
= Φ ( 0 ) − Φ ( −0,92 ) = 0,5 − 0,1788 = 0,3212
Tampoco es buena
aproximación
La distribución Binomial converge a la normal cuando n
tiende a ∞ (teorema de de Moivre, caso particular del
teorema central del límite)
1
1
Si a ≤ x ≤ b ⇒ a − ≤ x ≤ b +
2
2
p(x)
a -0.5
a
b
b + 0.5
Corrección por continuidad
Para variables discretas, consiste en ampliar el
intervalo en una unidad, es decir:
1
1
Si a ≤ x ≤ b ⇒ a − ≤ x ≤ b +
2
2
 5,5 − 5 
 2,5 − 5 
P ( 2,5 ≤ x ≤ 5,5 ) = Φ 
 − Φ
=
 4,75 
 4,75 
0,4659
= Φ ( 0,23 ) − Φ ( −1,15 ) = 0,591 − 0,1251 =
Es una buena aproximación
Ejemplo 2
Una fábrica de productos alimenticios produce carne enlatada, con un peso
medio de 250 grs y una varianza de 900 grs cuadrados por lata. Si los
pesos de las latas son estadísticamente independientes. Las cajas
contienen 60 latas. Se elige una al azar, hallar la probabilidad de que:
a)
El peso de la caja sea a lo sumo 14,5 kg.
b)
El peso de la caja sea al menos 15,3 kg.
xi : es el peso de cada lata C: es el peso de la caja
E ( x i ) = 250 grs. V ( x i ) = 30 2 grs
 60  60
C = ∑ xi ⇒ E (C ) = E  ∑ xi  = ∑ E ( xi ) = 60.250 = 15.000grs = 15kg.
i =1
 i =1  i =1
60
 60  60
V (C ) = V  ∑ xi  = ∑V ( xi ) = 60.900 = 54.000grs 2
 i =1  i =1
⇒ σ (C ) = 60.900 = 60.30 = 232,38grs = 0,23238kg
Calculamos las probabilidades
pedidas
 14,5 − 15 
a ) P (C ≤ 14,5 ) = Φ 
= Φ ( −2,15 ) = 0,0158

 0,23238 
 15,3 − 15 
b ) P (C ≥ 15,3 ) = 1 − Φ 
= 1 − Φ (1,29 ) =

 0,23238 
= 1 − 0,9015 = 0,0985
Consideraciones finales
• El n que se requiere para aplicar el teorema central del
límite en gran parte depende de la forma de la
distribución de las variables aleatorias individuales que
se suman
•Si los sumandos están normalmente distribuidos , al
aplicar el teorema central del límite, las probabilidades
obtenidas son exactas. No importa n.
•Si no se conoce la distribución de los sumandos, para n
mayor o igual que 25, se obtienen buenas
aproximaciones.
•Si las variables aleatorias se distribuyen binomialmente,
n >10 si p ≅ 0,5
tambien si p ≅0 ó 1 , n debe ser bastante mayor.