12 Traslaciones, giros y simetrías en el plano

12
Traslaciones, giros y simetrías en el plano
ACTIVIDADES INICIALES
12.I.
Anish Kapoor es un escultor que se caracteriza por utilizar formas geométricas y
simetrías en sus obras. Investiga sobre él y selecciona sus dos trabajos más
geométricos y los dos que más te gusten.
Escultor indio nacido en Bombay en 1954, ha vivido y trabajado en Londres. Toda su obra
está marcada por el estudio incesante de la geometría y el color.
12.II.
Busca imágenes de los siguientes seres vivos e identifica en ellos las simetrías que
les dan su aspecto exterior:
Medusa, helecho, oso panda, mariposa, cactus.
Respuesta personal
12.III.
Haz una lista de al menos cinco edificios u obras públicas que tengan un alto grado
de simetría en tu ciudad o comunidad autónoma. Compara después tu lista con las de
tus compañeros y, tras un breve debate, elegid por votación los tres más importantes.
Respuesta personal
ACTIVIDADES PROPUESTAS
12.1.
Dibuja un paralelogramo y razona qué pares de vectores determinados por los vértices
son equipolentes.
B
A
C
D
       
Son equipolentes los vectores: AB y DC ; BA y CD ; AD y BC ; DA y CB .
12.2.
Los vértices de un triángulo son A(1, 1), B(6, 1) y C(4, 5). Halla las coordenadas de los
 

vectores AB, AC y BC .
Las coordenadas del vector AB son (6 – 1, 1 – 1) = (5, 0), las del vector AC son
(4 – 1, 5 – 1) = (3, 4) y las del vector BC son (4 – 6, 5 – 1) = (–2, 4).
18
Unidad 12 | Traslaciones, giros y simetrías en el plano
12.3.


(TIC) Representa los vectores AB = (5, 6) y BC = (3, 1) y calcula su vector suma si
A(2, 0).
Y
C
 
AB + BC = (5, 6) + (3, 1) = (5 + 3, 6 + 1) = (8, 7)
B
1
A
O
12.4.
X
1

Se sabe que las coordenadas de AB son (2, –3). Determina las coordenadas del
extremo B(x, y) si el origen es A(3, 2).
Se cumple que (x – 3, y – 2) = (2, –3), de modo que x = 5 e y = –1.
Las coordenadas de B son (5, –1).
12.5.
Se tienen los puntos A(1, −1), B(x, 2) y C(3, y). Calcula los valores de x y de y



sabiendo que AC = AB + BC .



AC = ( 2, y + 1) , AB = ( x − 1,3 ) , BC = ( 3 − x, y − 2 )


AB + BC = (2, y + 1); por tanto, la igualdad es cierta para todo valor de x e y.
12.6.
Actividad interactiva
12.7.
Mediante una traslación el punto A(1, 3) se transforma en A'(6, 8). ¿Cuál es el vector
guía?
 
OA + u = (1, 3) + (x, y) = (6, 8)  (x, y) = (5, 5)

El vector guía es u = (5, 5).
12.8.
12.9.

El trasladado según el vector u = (6, 5) del punto P ( x , y ) es P ' = (10, 10). Halla P.


OP + u = (x, y) + (6, 5) = (10, 10)  (x, y) = (4, 5)
El punto buscado es P(4, 5).

(TIC) Dibuja el círculo que se obtiene al aplicar una traslación de vector u = ( 4,3 ) al
círculo de centro C(3, 2) y radio 2.
Y
C’
C
1
O
1
X
Unidad 12 | Traslaciones, giros y simetrías en el plano
19
12.10. (TIC) El triángulo de vértices A(3, 5), B(5, 7) y C(5, 2) sufre una doble traslación de


vectores guías u = ( 6,2 ) y v = ( 7, −2 ) . Determina el triángulo obtenido gráfica y
analíticamente.
Calculamos el vector guía que es resultado


del producto de las traslaciones de u y v .
 

u + v = (6, 2) + (7, –2) = (13, 0) = w


OA + w = (3, 5) + (13, 0) = (16, 5)


OB + w = (5, 7) + (13, 0) = (18, 7)


OC + w = (5, 2) + (13, 0) = (18, 2)
Las coordenadas del triángulo trasladado son
A'(16, 5), B'(18, 7) y C'(18, 2).
Y
B’
B
A’
A
w
2
C
O
C’
X
2

12.11. El producto de dos traslaciones tiene por vector guía w = (7, 10). Si una de ellas tiene

como vector guía u = (2, 3), ¿cuál es el vector guía de la otra traslación?
 

u + v = (2, 3) + (x, y) = (7, 10) = w  v(x, y) = v(5, 7)
12.12. (TIC) Dibuja unos ejes de coordenadas en un papel cuadriculado y señala el punto
P(4, 3). ¿Cuáles son las coordenadas del punto P' que se obtiene al girar 180° el punto P
tomando como centro de giro el origen de coordenadas?
Y
P
P'(–4, –3)
180º
X
O
P’
12.13. De una rotonda parten cuatro calles perpendiculares. ¿Qué ángulos de giro pueden
realizar un coche que entran en la rotonda y sale por las calles posibles, sin cometer
infracciones?
Pueden girar 90º, 270º ó 360º.
12.14. (TIC) Dibuja un triángulo equilátero ABC. Con centro A gira el triángulo un ángulo de
180°. Después aplica al triángulo obtenido AB’C’ un giro de centro B y amplitud –180º.
B’’
C’
–180º
180º
A’’
B
A
C’’
B’
C
12.15. Actividad resuelta
12.16. Dos puntos A y A' son simétricos respecto de un eje e. Dibuja el eje.
A’
A
20
Unidad 12 | Traslaciones, giros y simetrías en el plano
e
12.17. Dibuja un rectángulo ABCD. Construye con regla y compás el eje de simetría que
transforma A y B en D y C, respectivamente.
A
D
B
C
e
12.18. Dibuja un hexágono regular. Construye con regla y compás un eje de simetría de sus
vértices.
12.19. Dibuja dos puntos cualesquiera A y A’, y encuentra su centro de simetría.
A’
O
A
12.20. (TIC) Dibuja un triángulo ABC, y su simétrico A'B'C' respecto de un punto P. ¿Tienen el
mismo sentido de giro según el orden de los vértices?
B’
A
P
C
B
C’
A’
Sí tienen el mismo sentido de giro.
12.21. Actividad interactiva
12.22. Actividad resuelta
12.23. Halla las coordenadas del punto simétrico a P(–3, 5) respecto del eje X, del eje Y y
del origen.
Punto simétrico respecto del eje X: P'(–3, –5)
Punto simétrico respecto del eje Y: P''(3, 5)
Punto simétrico respecto del origen: P'''(3, –5)
12.24. Dado el cuadrilátero de vértices A(2, 4), B(–3, 5), C(–3, –1), D(3, –2). Halla las
coordenadas de su simétrico respecto del eje X, del eje Y y del origen.
Simétrico respecto del eje X: A(2, –4), B(–3, –5), C(–3, 1), D(3, 2)
Simétrico respecto del eje Y: A(–2, 4), B(3, 5), C(3, –1), D(–3, –2)
Simétrico respecto del origen: A(–2, –4), B(3, –5), C(3, 1), D(–3, 2)
Unidad 12 | Traslaciones, giros y simetrías en el plano
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12.25. Determina las coordenadas de la figura simétrica del cuadrilátero de la derecha
respecto del eje X, del eje Y y del origen.
Y
1
O
X
1
Nombramos los puntos dados: A(1, 2), B(2, 4), C(6, 3), D(2, 0).
Simetría respecto del eje X: A(1, –2), B(2, –4), C(6, –3), D(2, 0)
Simetría respecto del eje Y: A(–1, 2), B(–2, 4), C(–6, 3), D(–2, 0)
Simetría respecto del origen: A(–1, –2), B(–2, –4), C(–6, –3), D(–2, 0)
12.26. Actividad resuelta
12.27. (TIC) Traza, si los tiene, los ejes y el centro de simetría de:
a) Un trapezoide.
b) Un pentágono regular.
c) Un octógono regular.
a) No tiene ni ejes ni centro de simetría.
b) Tiene 5 ejes de simetría, pero no tiene centro de
simetría.
c) Tiene 8 ejes de simetría y un centro de simetría.
12.28. Di cuáles son los ejes de simetría de:
a) Un triángulo equilátero
b) Un triángulo isósceles
c) Un triángulo rectángulo.
a) En un triángulo equilátero, los ejes de simetría son las medianas, dividen el segmento
opuesto al vértice en dos partes iguales y todos los puntos del triángulo tienen su simétrico
respecto a la mediana en el triángulo.
b) En un triángulo isósceles, el eje de simetría será la altura correspondiente al lado desigual.
c) No tiene ejes de simetría a no ser que sea isósceles, es decir, que tenga los dos catetos
iguales, y entonces el eje de simetría sería la altura que parte del ángulo recto.
12.29. (TIC) Halla el transformado del punto P(2, 3) tras aplicarle el movimiento compuesto por

una traslación de vector u = (3, 4) seguido de una simetría de centro A(1, –5).
Y
P’
P
1
O 1
X
A
P’’
22
Unidad 12 | Traslaciones, giros y simetrías en el plano
12.30. (TIC) Dibuja la figura que se obtiene al someter al triángulo de vértices A(2, 3), B(−1, 2)
y C(0, 1) a un movimiento compuesto de una simetría axial de eje la recta AB y una
simetría central de centro B.
Y
B’’
C’
B’
B
A A’
1C
C’’
O 1
A’’
X
EJERCICIOS
Vectores en el plano
12.31. ¿Cuántos vectores determinan dos puntos? ¿Qué relación existe entre dichos
vectores?
Determinan dos vectores con sentidos opuestos.
12.32. Las coordenadas de los vértices de un triángulo son A(0, 4), B(2, –3) y C(–2, 7). Calcula
 

las coordenadas de los vectores AB, AC y BC .



AB = (2 – 0, –3 – 4) = (2, –7), AC = (–2 – 0, 7 – 4) = (–2, 3), BC = (–2 – 2, 7 – (–3)) = (–4, 10)

12.33. Considera el vector AB = (3, –5). Sabiendo que las coordenadas del punto A son (1, 5),
calcula las coordenadas del punto B.

AB = (3, –5) = (x – 3, y – (–5))  B(x, y) = B(6, –10)



12.34. (TIC) Dados los vectores u = (–1, 2), v = (2, 4) y w = (0, 5), realiza estas operaciones.












a) 2 u = u + u
b) u – ( w + w )
c) u + v + w
d) u – ( v – w )



a) 2 u = 2(–1, 2) = (2 · (–1), 2 · 2) = (–2, 4) = (–1 + (–1), 2 + 2) = (–1, 2) + (–1, 2) = u + u



b) u – ( w + w ) = (–1, 2) – ((0, 5) + (0, 5)) = (–1, 2) – (0, 10) = (–1, –8)



c) u + v + w = (–1, 2) + (2, 4) + (0, 5) = (–1 + 2 + 0, 2 + 4 + 5) = (1, 11)



d) u – ( v – w ) = (–1, 2) – ((2, 4) – (0, 5)) = (–1, 2) – (2, –1) = (–3, 3)
12.35. (TIC) Calcula la suma numérica y geométrica de los vectores del dibujo.
Y
u
1
v
O
X
1
(5, 4) + (8, 2) = (13, 6)
Y
u+v
u
v
O
1
X
Unidad 12 | Traslaciones, giros y simetrías en el plano
23
Traslaciones
12.36. Halla numérica y geométricamente el trasladado del punto P(–2, 4) según el vector guía

u =(3, –2).
Y
P
 

OP´ = OP + u = (–2, 4) + (3, –2) = (1, 2)
El punto trasladado es P'(1, 2).
P’
X
O
u

12.37. (TIC) En una traslación de vector guía u =(–4, 3), halla las coordenadas de los
transformados de los vértices del triángulo ABC, siendo A(0, –2), B(1, 3) y C(2, 4).



OA´ = OA + u = (0, –2) + (–4, 3) = (–4, 1)



OB´ = OB + u = (1, 3) + (–4, 3) = (–3, 6)
 

OC´ = OC + u = (2, 4) + (–4, 3) = (–2, 7)
Las coordenadas del triángulo trasladado son A'(–4, 1), B'(–3, 6), C'(–2, 7).

12.38. (TIC) Traza la trasladada según v de la figura dada.
B’
B
C’
B
v
C
C
O’
A’
v
D
A
A
O
12.39. Una traslación lleva el origen de coordenadas al punto P(5, 3). ¿Cuál es su vector guía?

Su vector guía es u = (5, 3).
12.40. Halla la traslación que convierte A en A’
A⬘
A

La de vector guía u = (9, 1)
12.41. ¿En qué recta se transforma una recta paralela al vector guía de una traslación?
En sí misma

12.42. El vector guía de la composición de dos traslaciones es w = (6, 5), y el de una de ellas

es u = (–1, 4). ¿Cuál es el vector guía de la otra?

v = (7, 1)
24
Unidad 12 | Traslaciones, giros y simetrías en el plano
12.43. ¿Cuál es el vector guía en una traslación que transforma el punto A(2, –4) en el punto
A’(7, 7)?




OA´ = (7, 7) = OA + u = (2, −4) + (x, y)  u = (5, 11)

12.44. Un punto permanece invariante por una traslación de vector guía u = (a, b). Halla a y b.
Para que un punto permanezca invariante por una traslación, el vector de dicha traslación debe
ser nulo, luego a = 0 y b = 0.

12.45. (TIC) Un círculo de centro O(2, –2) y radio 5 se traslada según el vector guía u =(3, 4).
a) ¿Cuáles son el nuevo centro y el nuevo radio?
b) Dibuja el círculo trasladado.
a) El nuevo centro es (2, –2) + (3, 4) = (5, 2), y el radio sigue siendo 5. Lo que pasa es que
todos los puntos de la circunferencia estarán trasladados según el vector guía.
b)
Y
2
2
0
X

12.46. Al aplicar al punto P(2, 6) una traslación de vector guía u se obtiene el punto P’(3, –5).

A su vez, a P’ se le aplica otra traslación de vector guía v y se obtiene P’’(0, –2).
Averigua cuál es el vector guía que traslada P a P’’.













OP '' = OP ' + v = ( OP + u ) + v = OP + ( u + v ) = OP + w  w = OP ' – OP = (–2, –8)
12.47. (TIC) Considera el punto P(2, 5). Aplícale sucesivamente las traslaciones de vectores


guía u =(–1, 5) y v =(3, –2),
a) ¿Cuál es el punto trasladado?
b) ¿Cuál es el vector guía resultante?



a) OP + u + v = (2, 5) + (–1, 5) + (3, –2) = (2 – 1, 5 + 5) + (3, –2) = (1 + 3, 10 – 2) = (4, 8)



b) w = u + v = (–1, 5) + (3, –2) = (2, 3)
Giros
12.48. (TIC) Gira el triángulo de la figura con centro el origen de coordenadas y amplitud 90º.
Y
1
O
X
1
Y
01
X
Unidad 12 | Traslaciones, giros y simetrías en el plano
25
12.49. (TIC) Dibuja el transformado del segmento AB mediante un giro de centro O y amplitud:
a) 30º
b) –30º
Y
B
O
X
A
a)
b)
B’
Y
Y
B
B
A’
O
X
O
A
A
X
B’
A’
12.50. (TIC) Dibuja el homólogo del cuadrado de vértices A(3, 1), B(6, 1), C(6, 4) y D(3, 4) en un
giro de 180º y con centro el origen de coordenadas.
Y
B’
A’ 0
C’
D’
D
C
A
B
X
2
12.51. En un cuadrado se toma el punto de corte de sus diagonales como centro de giro. ¿En
qué figura se transforma el cuadrado si le aplicamos giros de amplitudes 90º, 180º y
270º?
En los tres casos, la figura se vuelve a convertir en el mismo cuadrado.
12.52. (TIC) ¿En qué figura se transforma un círculo al que se le aplica un giro de centro el
centro del círculo y de amplitud un ángulo α cualquiera?
En todos los casos en el mismo círculo, lo que pasa es que los puntos van rotando.
26
Unidad 12 | Traslaciones, giros y simetrías en el plano
12.53. Juan y Andrés se encuentran después de mucho tiempo sin verse:
¿Cómo te va la vida? — pregunta Juan.
¡Muy diferente! — le contesta Andrés — Mi vida ha dado un giro de trescientos sesenta
grados.
¿Qué error matemático encuentras en la contestación de Andrés?
Si se da un giro de 360º, se completa la circunferencia y se vuelve al punto de partida, es
decir, que no se produce ningún cambio.
12.54. (TIC) A una figura se le aplica un giro de centro O y amplitud 200º y, a continuación, un
nuevo giro con el mismo centro y amplitud 230º. Explica cuál es el giro resultante.
Sería un giro de 200º + 230º = 430º. Como cada 360º volvemos al punto de origen, el
resultado al final es un giro de 430º – 360º = 70º.
12.55. Al cuadrilátero de vértices A(–2, 1), B(2, 2), C(3, 4) y D(0, 4) se le aplica un giro de
centro A y amplitud 90º. Dibuja la figura resultante y halla las coordenadas de los
nuevos vértices.
C’
Y
B’
D
C
D’
B
A
0
1
X
A'(–2, 1), B'(–3, 5), C'(–5, 6), D'(–5, 3)
12.56. Halla las coordenadas del transformado del punto A(1, 4) por un giro de centro el
origen de coordenadas y amplitud –90º.
A'(4, –1)
12.57. (TIC) Dibuja un triángulo de vértices A(–3, 4), B(1, –1) y C(6, 0) y aplícale un giro de
centro el origen y amplitud –90º. ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices del
nuevo triángulo?
Y
0
2
X
Las coordenadas del nuevo triángulo son:
A'(4, 3), B'(–1, –1) y C'(0, –6).
12.58. Los puntos A(4, 3) y B(–3, 4) son homólogos en un giro de centro el origen de
coordenadas. ¿Cuál es la amplitud del giro?
Es un giro de 90º.
Unidad 12 | Traslaciones, giros y simetrías en el plano
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12.59. Halla el centro y la amplitud del giro que transforma la figura roja en su homóloga azul.
–90º
12.60. Se aplica un giro de centro O(–2, 0) y ángulo 90º al cuadrado de vértices A(2, 2), B(4, 2),
C(4, 4) y D(2, 4). Halla las coordenadas de los vértices girados.
A ' ( −4,4 )
B ' ( −4,6 )
C ' ( −6,6 )
D ' ( −6,4 )
Simetrías
12.61. (TIC) Dibuja la figura simétrica de la dada:
a) Respecto al eje e.
b) Respecto al punto O.
e
O
a)
b)
e
0
28
Unidad 12 | Traslaciones, giros y simetrías en el plano
12.62. Construye el punto simétrico de los puntos A(5, 2) y B(4, 2) respecto a:
a) El eje X.
b) El eje Y.
c) El origen.
a) A'(5, –2), B'(4, –2)
b) A''(–5, 2), B''(–4, 2)
c) A'''(–5, –2), B'''(–4, –2)
Y
Y
A
A’’
B
B’’
1
1
O
O
X
1
A’
A’’’
X
1
B’
B’’’
12.63. Dados los puntos A y A’ del dibujo, construye:
a) Su eje de simetría.
b) Su centro de simetría.
Y
A
Y
A
e
0
O
2
A’
X
A’
X
12.64. ¿En qué se transforma por una simetría axial una recta perpendicular al eje de simetría?
En sí misma
12.65. Halla las coordenadas del simétrico del punto A(4, 2) por una simetría de centro
O(–1, 1). Haz un dibujo para obtener la respuesta.
Y
A
O
A’
1
1
X
12.66. ¿Qué puntos permanecen invariantes (no se mueven) por una simetría axial? ¿Y por
una central?
En simetría axial, los puntos que permanecen invariantes son los del eje, y en simetría central
solo permanece invariante el centro.
12.67. Halla las coordenadas del triángulo simétrico al de vértices A(1, 0), B(3, –2) y C(1, –4).
a) Respecto al eje X.
b) Respecto al eje Y.
a) A'(1, 0), B'(3, 2), C'(1, 4)
b) A'(–1, 0), B'(–3, –2), C'(–1, –4)
12.68. . Sea el punto P(3, 5). Halla su simétrico por:
a) Una simetría de eje X.
b) Una simetría de eje Y.
c) Una simetría de centro el origen de coordenadas.
d) ¿Qué figura se forma al unir los cuatro puntos?
a) P(3, –5)
b) P(–3, 5)
c) P(–3, –5)
d) Se forma un rectángulo de base 6 y altura 10.
Unidad 12 | Traslaciones, giros y simetrías en el plano
29
12.69. (TIC) Calcula las coordenadas de los puntos simétricos de los extremos del segmento
AB, donde A(–3, 2) y B(2, 1):
a) Respecto al eje X.
c) Respecto al origen de coordenadas.
b) Respecto al eje Y.
d) Dibuja los apartados anteriores.
a) A'(–3, –2), B'(2, –1)
b) A’'(3, 2), B’'(–2, 1)
c) A’’'(3, –2), B’’'(–2, –1)
d)
Y
A
A’’
B’’
B
0
B’’’
1
B’
A’
X
A’’’
12.70. (TIC) Construye la figura simétrica al cuadrado ABCD, respecto del eje e.
A
e
B
D
C
A
B
D
C
e
C’
B’
D’
A’
12.71. (TIC) Construye la figura simétrica al rectángulo ABCD, respecto del punto O.
A
B
O
D
C
A
B
C’
D’
O
C
D
B’
30
A’
Unidad 12 | Traslaciones, giros y simetrías en el plano
12.72. Señala un eje de simetría en un:
a) Pentágono regular.
a)
b) Triángulo rectángulo isósceles.
b)
e
e
12.73. Determina los ejes de simetría, si los tienen, de las siguientes letras.
ABGKN
Solo A y B tienen eje de simetría.
e
B
A
e
12.74. Encuentra los centros de simetría, si los tienen, de las siguientes letras.
C HS TZ
Solo H, S y Z tienen centro de simetría.
H S
O
O’
Z
O’’
12.75. ¿Cuántos ejes de simetría tiene cada uno de los polígonos regulares?
Tantos como lados tiene el polígono.
12.76. En un triángulo rectángulo encontramos un eje de simetría. ¿Qué tipo de triángulo es?
¿Cuál es el eje de simetría?
Es un triángulo isósceles, el eje de simetría es la mediana que va al lado desigual.
Unidad 12 | Traslaciones, giros y simetrías en el plano
31
Movimientos compuestos
12.77. Aplica gráficamente los siguientes movimientos compuestos al triángulo ABC de la
figura y describe para cada uno de ellos cuál es el movimiento equivalente.
a) Dos simetrías axiales de ejes e y e'.
b) Giro de 90º y centro A y simetría de centro A.
a) Su movimiento equivalente es una traslación de vector (12, 0).
Y
e
e’
A’
A
B B’
1 C
O
A’’
C’
C’’
B’’
X
1
b) Su movimiento equivalente es un giro de centro A y ángulo –90º.
Y
C’’
B’’
1
e
A’’
A’
A
C
O 1
B’
C’
B
X
PROBLEMAS
12.78. ¿Qué giro efectúa la aguja pequeña de un reloj desde las doce a las doce y veinticinco?
30º
360º
= 0,5º.
= 30º, y cada minuto,
60
12
Entonces, en 25 minutos girará 25 min · 0,5º/min = 12,5º.
La aguja pequeña gira cada hora
12.79. Investiga si las siguientes señales de tráfico poseen simetría axial o central y, en su
caso, indica un eje o un centro de simetría.
STOP
La señal de ceda el paso tiene simetrías axiales.
La señal de STOP no es simétrica por las letras.
32
Unidad 12 | Traslaciones, giros y simetrías en el plano
C
12.80. (TIC) Sabemos que una figura, de la que solo tenemos un trozo, es simétrica respecto a
los ejes e y e'. Completa su dibujo.
e’
e
e’
e
2
12.81. (TIC) A un triángulo de vértices A(1, 0), B(1, 3) y C(–4, 5) se le aplica una traslación de

vector guía u = (1, –2). Halla las coordenadas de los puntos homólogos de los vértices
y dibuja el triángulo resultante.
 

OA ' '= OA + u = (2, –2)



OB ' = OB + u = (2, 1)



OC ' = OC + u = (–3, 3)

12.82. (TIC) Aplícale al rectángulo del dibujo una traslación de vector guía u = (4, –1). Escribe
las coordenadas de los vértices A, B, C, D y sus correspondientes homólogos.
Y
D
u
A
1
C
O 1
B
A(1, 3), A'(5, 2)
B(0, –1), B'(4, –2)
X
C(–8, 1), C'(–4, 0)
D(–7, 5), D'(–3, 4)
12.83. Se aplica una simetría de centro O(0, 1) al triángulo de vértices A(–3, 2), B(–1, 2) y
C(–1, 5). Halla las coordenadas de los puntos simétricos de los vértices y dibuja el
triángulo resultante.
A ' ( 3,0 ) ; B ' (1,0 ) ;C ' (1, −3 ) ;
Y
C
A
B
1
O
B’
1
A’
X
C’
Unidad 12 | Traslaciones, giros y simetrías en el plano
33
12.84. (TIC) Describe, en cada caso, el movimiento que transforma la figura roja en su
homóloga.
a)
c)
b)
d)
Consideramos el origen como la esquina inferior izquierda.

a) Giro de –90º. Centro del giro: (6, 0).
c) Traslación. El vector guía sería u = (5, 4).
b) Simetría respecto a un eje. Eje x = 4,5. d) Simetría respecto a un eje. Eje y = 3.
12.85. ¿Qué camino debe seguir la bola B para que rebotando en la banda azul golpee la bola
A?
A
B
Salvo tiros con efecto, la bola sigue la trayectoria natural en la que el ángulo de incidencia es
igual al ángulo de reflexión (ley de Snell), y para que se cumpla esto, la bola sigue la
trayectoria más corta. Para ello trazamos el simétrico con respecto a la banda oscura de uno
de los puntos y lo unimos al otro. El punto de corte con la banda oscura es donde rebota la
bola.
A
B
C
B’
12.86. Dado un segmento AB, consideramos su punto medio M. Se verifica que los vectores


AM y MB son iguales. Con estos datos, busca las coordenadas del punto medio del
segmento de extremos A(–1, 2) y B(5, 6).


x + 1 = 5 − x
 x = 2, y = 4
Si M(x, y), AM = ( x + 1, y − 2) = MB = (5 − x, 6 − y )  
y − 2 = 6 − y
Luego M(2, 4)
34
Unidad 12 | Traslaciones, giros y simetrías en el plano
12.87. (TIC) Se va a hacer un embarcadero en la carretera general de tal modo que esté a la
misma distancia de Villablanca que de Villaverde. ¿En qué punto del río debe hacerse?
Trazamos el eje de simetría de esos dos
puntos, que será la mediatriz, y corta la
carretera en un punto. Como dos puntos
equidistan de todos los puntos de su
mediatriz, el punto donde el eje de
simetría corta la carretera equidista de
los dos pueblos, es ahí donde debe
construirse la gasolinera.
12.88. Actividad interactiva
AMPLIACIÓN
12.89. En la figura, los segmentos marcados con // tienen igual longitud.
 
¿Cuál es el vector AB + AD ?
B




A
a) BD
b) 2 AO
c) CA
d) AE
O




D
AB + AD = AC = 2 AO
E
C
F
12.90. En un sistema de coordenadas, el simétrico de A(1, 3) respecto del eje vertical es el
punto A′. El transformado de A′ mediante un giro de 90º en sentido horario y centro A
es el punto:
a) (1, –1)
b) (1, 5)
c) (–3, 3)
d) (3, 3)
Representamos las transformaciones sobre unos ejes y obtenemos que el punto resultante es
B(1, 5).
Y
B(1, 5)
A’(–1, 3)
A(1, 3)
1
O
1
X

12.91. La imagen de J por la traslación de vector AC es:
a) K
I
A B
C
F
P
J
O
b) D
c) N
d) O

El vector AC tiene su origen en el vértice A del hexágono y el extremo en C (el segundo
vértice del hexágono a partir de A en sentido horario). Así pues, el transformado de J es N (el
segundo vértice del hexágono a partir de J en sentido horario).
E D
K N
Unidad 12 | Traslaciones, giros y simetrías en el plano
35
12.92. Con centro O(0, 0) se hace un giro de 135º en sentido horario. ¿Cuál es la
distancia entre A(–2, 0) y su transformado A ′ ?
Y
a) 2 2 + 2
b) 4
c) 4 2
d) 8 + 4 2
Observando el dibujo vemos que:
A’
En el triángulo OCA' : e2 + e 2 = 22  e =
2
En el triángulo ACA': (2 + 2 )2 + ( 2 )2 = d 2 , de donde obtenemos
que d =
d
1
e
45º
A
O
1 CX
8+4 2 = 2 2+ 2 .
12.93. Dados los puntos I(4, 1), J(–1, 3) y A(6, 3), si A′ es la imagen de A por la simetría de
centro I, y A′′ es la imagen de A′ por la simetría de centro J, A′′ es:
a) (–3, 7)
b) (–4, 8)
c) (–4, 7)
d) (7, –4)
Dibujando las simetrías en unos ejes se observa que el punto buscado es A''(−4, 7).
Y
A’’
A
J
1
I
O
X
1
A’
AUTOEVALUACIÓN
12.1.


Sean los vectores u = (–5, 4) y v = (4, 2).
 
a) Calcula: u − v

 
b) Halla: u – ( v + v )
 
c) Calcula geométricamente: u + v


a) u – v = (–5, 4) – (4, 2) = (–9, 2)

 
b) u – ( v + v ) = (–5, 4) – ((4, 2) + (4, 2)) = (–13, 0)
c)
Y
v
u+v
u
1
O
12.2.
1X
Considera el triángulo de vértices A(0, –3), B(3, 2) y C(–5, 1). Halla las coordenadas de
 

los vectores AB, BC y CA .



AB = (3, 2) – (0, –3) = (3, 5); BC = (–5, 1) – (3, 2) = (–8, –1); CA = (0, –3) – (–5, 1) = (5, –4)
36
Unidad 12 | Traslaciones, giros y simetrías en el plano
12.3.
Determina, numérica y geométricamente, el trasladado según el vector guía

u = ( 2, −3 ) del segmento que va de P(–2, 3) a Q(5, 4).
Numéricamente:
OP' = OP + u = (–2, 3) + (2, –3) = (0, 0)
OQ' = OQ + u = (5, 4) + (2, –3) = (7, 1)
Y
Q
P
u
1
O
12.4.
Q’
P’
X
1
Halla el punto homólogo de P(4, 4) al aplicarle un giro de centro el origen de
coordenadas y amplitud:
a) 90º
c) –90º
b) 45º
d) 180º
P ' ( −4,4 )
c) Y
P ' ( 4, −4 )
a)
Y
P
P’
P
1
–90º
O
90º
X
1
1
O
b)
X
1
P’
P ' ( 0;5,66 )
Y P’
P ' ( −4, −4 )
d)
P
Y
P
45º
180º 1
1
O
O
X
1
X
1
P’
12.5.
Traza la figura simétrica de la dada respecto a:
a) El eje e.
b) El punto O.
e
O
a)
b)
e
B
A
C
C’
D D’
B’
A’
B
C
D’
A
A’
D O
C’
12.6.
B’
Dado el segmento de extremos A(1, 2) y B(3, 6), halla las coordenadas de su simétrico
respecto a:
a) El eje X.
b) El eje Y.
c) El origen.
a) A'(1, –2), B'(3, –6)
b) A'(–1, 2), B'(–3, 6)
c) A'(–1, –2), B'(–3, –6)
Unidad 12 | Traslaciones, giros y simetrías en el plano
37
12.7.
Maite está en el punto A dando un paseo con su perra y va a regresar a su casa, pero
quiere pasar por el río para que su perra beba. ¿Cuál es el camino más corto que puede
elegir?
Casa
Maite
A
Río
C’
12.8.
Indica los movimientos que se tienen que aplicar al triángulo ABC para que se
convierta en A'B'C'.
Y
B’
A
A’
C’
B
1
O
C
X
1
El triángulo A'B'C' es el ABC trasladado 4 cuadrados hacia la derecha y girado 90º alrededor
de A.
PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS
Analiza y diseña > Frisos
12.1. Para los frisos siguientes:
I)
II)
III)
38
Unidad 12 | Traslaciones, giros y simetrías en el plano
a) Obtén la figura base del friso de la figura.
b) Descompón la figura base e indica el motivo mínimo que la determina.
c) ¿Qué movimientos hay que aplicar al motivo mínimo para obtener la figura base?
En la primera figura, simetrías axiales y traslaciones; en la segunda, traslaciones, y en la
tercera, simetrías axiales y traslaciones.
Unidad 12 | Traslaciones, giros y simetrías en el plano
39
12.2. Forma un equipo con otros compañeros para elaborar un friso con figuras geométricas a
partir de un motivo mínimo al que debes someter al menos a un giro, una simetría axial y
una traslación. (Sugerencia: utiliza colores).
Respuesta personal
12.3. Describe los movimientos necesarios para componer esta figura
a partir del motivo mínimo y dibuja el friso que se genera si se
traslada a lo largo de un eje la muestra de la figura.
Si no consideramos el corte de líneas (que unas cortan por arriba y
otras por debajo), el motivo mínimo es
Haciendo simetrías llegamos al dibujo original y así sucesivamente al siguiente friso:
12.4. Busca dos ejemplos de frisos en el arte y preséntalos a tus compañeros.
Respuesta personal
12.5. Busca en el diccionario otras acepciones del término “friso” y encuentra la relación
entre ellas.
1. Faja más o menos ancha que suele pintarse en la parte inferior de las paredes, de diverso
color que estas. También puede ser de seda, estera de junco, papel pintado, azulejos, mármol,
etc.
2. Parte del cornisamento que media entre el arquitrabe y la cornisa, donde suelen ponerse
follajes y otros adornos.
3. En albañilería, capa de mezcla con cemento que se da a una pared o muro como acabado.
Descubre y reflexiona > Mandalas
Observa los siguientes ejemplos de mandalas.
12.1. Identifica formas geométricas en cada uno de ellos.
1: octógono regular, circunferencia.
2: circunferencias, hexágonos.
3: circunferencias concéntricas, cuadrados.
12.2. ¿Qué tipo de simetría suelen presentar?
Simetría central
40
Unidad 12 | Traslaciones, giros y simetrías en el plano
12.3. Copia y colorea alguno de los siguientes mandalas que te proponemos.
12.4. Elabora un mandala a tu gusto utilizando formas geométricas y colores.
Respuesta personal
12.5. Busca el origen de la palabra “mandala” e investiga en qué culturas son muy utilizados.
Según el Diccionario de la Real Academia, mandala proviene del sánscrito y significa: disco,
círculo.
En el hinduismo y en el budismo, dibujo complejo, generalmente circular, que representa las
fuerzas que regulan el universo y sirve como apoyo de la meditación.
12.6. Analiza las siguientes figuras e identifica la cultura y la época a las que pertenecen.
Sistema de Ptolomeo.
Rosetón de la catedral de Burgos.
Pantocrátor de San Isidoro de León.
Circunferencias concéntricas:
En el siglo II d. C., el griego Claudio Ptolomeo planteó un modelo del universo con la Tierra en
el centro. En el modelo, la Tierra permanece estacionaria mientras los planetas, la Luna y el
Sol describen complicadas órbitas alrededor de ella.
Arcos de circunferencia:
San Isidoro de León es un templo cristiano ubicado en la ciudad de León, en España. Es uno
de los conjuntos arquitectónicos de estilo románico más destacados de España, por su historia,
arquitectura, escultura, y por los objetos suntuarios románicos que se han podido conservar.
Presenta la particularidad de tener un Panteón Real ubicado a los pies de la iglesia, con pintura
mural románica y capiteles excepcionales, todo lo cual hace que sea pieza única del mundo
románico de la época. El conjunto fue construido y engrandecido durante los siglos XI y XII.
Circunferencias tangentes. Dodecágono regular. Triángulos equiláteros:
La catedral de Burgos es uno de los más bellos monumentos del arte gótico y ha merecido el
título de patrimonio de la humanidad (1984). Pero, antes que monumento, la catedral es un
templo vivo, dedicado al culto y a la oración, que a lo largo de la historia ha ido acogiendo las
corrientes artísticas de cada época, para dignificar y solemnizar las ceremonias, la alabanza a
Dios y la vida cristiana.
Iniciaron su construcción, en el año 1221, el rey Fernando III el Santo y el obispo Don Mauricio,
y fue consagrada en 1260. Después fue ampliada y embellecida con un grandioso claustro y
numerosas capillas, entre las que destacan la de los Condestables (siglo XV) y la de Santa
Tecla (siglo XVIII), así como las esbeltas agujas de la fachada principal (siglo XV) y el espléndido
cimborrio del crucero (siglo XVI).
12.7. Busca objetos a tu alrededor que tengan decoración realizada con mandalas, como
platos de cerámica sevillana, valenciana, de Talavera o de otros lugares de España.
Fotografíalos y preséntalos en clase.
Respuesta personal
Unidad 12 | Traslaciones, giros y simetrías en el plano
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Proyecto editorial: Equipo de Educación Secundaria del Grupo SM
Autoría: Rafaela Arévalo, José Luis González, Juan Alberto Torresano
Edición: Elena Calvo, Miguel Ángel Ingelmo, Yolanda Zárate
Corrección: Ricardo Ramírez
Ilustración: Félix Anaya, Modesto Arregui, Juan Francisco Cobos, Domingo Duque, Félix
Moreno,
Fotografía: Archivo SM, Carteret, CORBIS/ CORDON PRESS, FOTOTECA 9x12, PHOVOIR,
AGE FOTOSTOCK
Diseño: Pablo Canelas, Alfonso Ruano
Maquetación: SAFEKAT S. L.
Coordinación de diseño: José Luis Rodríguez
Coordinación editorial: Josefina Arévalo
Dirección del proyecto: Aída Moya
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Impreso en España – Printed in Spain
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