2.2 La elipse

La elipse.
La elipse como lugar geométrico.
La elipse es el lugar geométrico del conjunto de puntos P(x, y) cuya suma de las distancias a
dos puntos fijos llamados focos equivalen al doble de una constante (2a), la cual representa
la distancia entre sus vértices, como se muestra en la siguiente figura.
Elementos de la elipse.
Eje normal
A
B
a
b
V
F
C
c
V´
F´
Eje focal
B´
A´
F, F´= Focos.
V,V´ = Vértices.
B, B´= Longitud del lado recto.
C = Centro.
VV´ = Eje mayor.
AA´ = Eje menor.
CA =b
CF´ = c
CV´ = AF´= a
El triángulo abc, es un triángulo rectángulo y se aplica el Teorema de Pitágoras, por lo que
a2= b2+c2
Ecuación ordinaria de la elipse con centro en el origen.
Partimos de la definición de elipse, la cual establece que esta cónica es el lugar geométrico
del conjunto de puntos P(x, y) cuya suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos
equivalen al doble de una constante (2a), como se muestra en la siguiente figura.
Eje normal
P(x,y)
V
V´
F´(c,0)
F(-c,0)
Eje focal
a
Aplicando la definición de la elipse se tiene que:
PF + PF´ =2a
(x − (−c))2 + (y − 0 )2
(x − c )2 + (y − 0)2 = 2a
+
Despejamos la primera raíz.
(x + c) )2 + (y − 0 )2
=2a -
(x − c )2 + (y − 0)2
Elevamos al cuadrado ambos miembros de la
igualdad.
(x+c)2+ y2 = 4a2- 4a
(x − c )2 + y 2 + (x-c)2+y2
(x+c)2-(x-c)2 +y2 - y2= 4a2- 4a
(x+c)2-(x-c)2= 4a2- 4a
(x − c )2 + y 2
(x − c )2 + y 2 Resolviendo los binomios al cuadrado.
x2+2xc+c2 – (x2-2xc+c2)= 4a2- 4a
x2+2xc+c2 – x2+2xc-c2= 4a2- 4a
(x − c )2 + y 2
4xc=4a2- 4a
4xc-4a2=- 4a
xc- a2= - a
Eliminando términos semejantes y agrupando.
(x − c )2 + y 2
(x − c )2 + y 2
Eliminando términos semejantes.
Dejamos solito al término que contiene a la raíz.
(x − c )2 + y 2 Dividiendo entre 4.
(x − c )2 + y 2
Aplicamos inverso aditivo tenemos:
a
(a
(x − c )2 + y 2 = + a2-xc
( x − c) 2 + y 2
) = (a
2
Elevando al cuadrado ambos miembros tenemos:
2
− xc) 2
a2[(x-c)2+y2]= ( a2-xc )2 Desarrollando:
a2( x2-2xc+c2+y2)=a4-2 xca2+x2c2 Eliminando paréntesis:
a2x2- a22xc+ a2c2+ a2y2=a4-2 xca2+x2c2 Agrupando términos semejantes:
a2x2- 2a2xc+2a2xc +a2c2+ a2y2=a4 +x2c2
a2x2-x2c2 + a2y2 =a4 - a2c2 Factorizando con respecto a “x” y “a”:
x2(a2-c2) + a2y2 =a2 (a2- c2)
si a2=b2+c2 entonces b2=a2-c2 Sustituyéndola tenemos:
x2(b2) + a2y2 =a2 (b2) Dividiéndola entre a2 b2:
x 2b2 a 2y2 a 2b2
Nos queda:
+
=
a 2b2 a 2b2 a 2b2
x 2 y2
+
=1
a 2 b2
Ecuación ordinaria de la elipse con centro en
el origen.
Excentricidad (e).
La excentricidad nos indica que tan alargada o achatada esta una elipse, a tal grado de que
sus focos están tan juntos que formarían el centro de una circunferencia.
F
F
F
F´
La excentricidad se define como el cociente de “c” entre “a”.
e=
c
a
Como “a” siempre es mayor que “c” el cociente que resulta siempre es mayor que cero
pero menor a uno. Cuando el valor de la excentricidad se aproxima a cero, la elipse se
asemeja a una circunferencia y si se aproxima a uno, la elipse se alarga.
La siguiente tabla muestra algunos puntos importantes de la elipse, así como su ecuación
ordinaria.
Figura.
Ecuación.
Fórmulas.
C(0, 0)
F´(c, 0)
x 2 y2
+
=
1
F(-c, 0)
a 2 b2
a
V’(a, 0)
b
V
V´
V(-a, 0)
c
F
F´
a>b
2b 2
LLR=
a
a2=b2+c2
c
e=
a
C(0, 0)
2
2
V
F(0, c)
x
y
F
+
=
1
F´(0, -c)
b2 a 2
V(0, a)
b
V´(0, -a)
2b 2
c
a>b
LLR=
a
a
F´
2
2
2
c
a =b +c
e=
V´
a
Ejemplos resueltos.
Ejemplo 1.
Hallar las coordenadas de los vértices, focos, la longitud de cada lado recto, el valor de la
x 2 y2
excentricidad y la gráfica de la elipse cuya ecuación es
+
=1
9
4
Como “a” siempre es mayor que “b”
tenemos que la ecuación es:
x 2 y2
+
=1
9
4
x 2 y2
+
= 1 de donde:
a 2 b2
a2=9 a= 9 a=3
b2=4 b= 4 b=2
Para conocer el valor de “c” se aplica el
Teorema de Pitágoras.
1
a2=b2+c2
c= a 2 − b 2
c= 9 − 4
C(0 ,0) C(0, 0)
F’(c, 0) F(2.23, 0)
F(-c, 0) F´(-2.23, 0)
V’(a, 0) V’(3, 0)
V(-a, 0) V(-3, 0)
2b 2 2(4) 8
LLR=
=
= =2.6
a
3
3
c c
2.23
e= =
=
= 0.74
a a
3
5
4
3
2
1
1
1
2
c= 5
c=2.23
2
3
4
Ejemplo 2.
Hallar las coordenadas de los vértices, focos, la longitud de cada lado recto, el valor de la
x 2 y2
excentricidad y la gráfica
fica de la elipse cuya ecuación es
+
=1 .
16 25
Como “a” siempre es mayor que “b” entonces
su ecuación es:
x 2 y2
+
=1
16 25
x 2 y2
+
=1
b2 a 2
De donde:
C(0, 0) C(0, 0)
F(0, c) F(0, 3)
F´(0, -c)
c) F´(0, -3)
V(0, a) V(0, 5)
V´(0, -a)
a) V´(0, -5)
2b 2
2(16) 32
LLR=
=
=
6.4
a
5
5
3
e= = 0.6
5
a2=25 a= 25 a=5
b2=16 b= 16 b=4
Para
ara conocer el valor de “c”, se aplica el
Teorema de Pitágoras:
a2=b2+c2
c= a 2 − b 2
c= 25 − 16
c= 9 =3
Ejemplo 3.
Hallar la ecuación ordinaria de la elipse, si se sabe que su C(0, 0), su F(6, 0) y su V(16, 0).
Para encontrar “b”
“
sabemos
que:
a2= b2+c2
b= a 2 − c 2
b= 16 2 − 6 2
b= 16 2 − 6 2
b= 256 − 36
Después de graficar los datos se deduce que su b= 220
b2= 220
ecuación es de la forma:
x 2 y2
+
=1
a 2 b2
Por lo que debemos conocer
onocer el valor de “a” y de “b”:
Para conocerlos sabemos que:
F’(c, 0) F(6, 0) por lo que c = 6
V’(a, 0) V(16, 0) por lo que a =16
Por lo tanto su ecuación es:
es
x2
y2
+
=1
256 220
Ecuación ordinaria de la elipse con su centro fuera del origen.
Si el centro de la elipse está fuera del origen del sistema coordenado, entonces tendrá como
centro C(h, k) como se muestra en la siguiente figura:
Por lo que la ecuación y
excentricidad serán:
las fórmulas para determinar
Figura.
Ecuación.
y
k
a
b
V
V´
c
F
F´
x
h
(x − h) 2 (y − k) 2
+
=1
a2
b2
a>b
a2=b2+c2
(x − h)
(y − k)
+
=1
2
b
a2
2
y
V
F
b
c
a>b
a
a2=b2+c2
F´
V´
h
x
2
sus vértices, focos, LLR y la
Fórmulas.
C(h, k)
F’(h+c, k)
F(h-c, k)
V’(h+a, k)
V(h-a, k)
2b 2
LLR=
a
c
e=
a
C(h, k)
F(h, k+c)
F´(h, k-c)
V(h, k+a)
V´(h, k-a)
2b 2
LLR=
a
c
e=
a
Ejemplos resueltos.
Ejemplo 1.
Hallar las coordenadas de los vértices, focos, LLR, excentricidad y la gráfica de la elipse cuya
ecuación es
(x − 3 ) 2 (y − 4) 2
+
= 1.
16
9
Como “a” siempre es mayor que “b”
tenemos que la ecuación es:
(x − 3 ) 2 (y − 4) 2
+
=1
16
9
(x − h) 2 (y − k) 2
+
=1
a2
b2
a2=16 a= 16 a=4
b2=9 b= 9 b=3
Para conocer el valor de “c”, se aplica el
Teorema de Pitágoras:
a2=b2+c2
C(h, k) C( 3, 4)
F’(h+c, k) F’(3+2.64, 4) F’(5.64, 4)
F(h-c, k) F(3-2.64, 4) F(0.36, 4)
V´(h+a, k) V’(3+4, 4) V’(7, 4)
V(h-a, k) V(3-4, 4) V(-1, 4)
2b 2 2(9) 18
LLR=
=
= = 4.5
a
4
4
c 2.64
e= =
=0.66
a
4
c= a 2 − b 2
c= 16 − 9
c= 7
c=2.64
-h=-3 h=3
-k=-4 k=4
Ejemplo 2. Hallar las coordenadas de los vértices, focos, LLR , excentricidad y gráfica de la
(x + 2) 2 (y − 4) 2
elipse cuya ecuación es
+
=1
16
25
Como “a” siempre es mayor que “b”
tenemos que la ecuación es:
(x + 2) 2 (y − 4) 2
+
=1
16
25
(x − h) 2 (y − k) 2
+
=1
b2
a2
a2=25 a= 25 a=5
b2=16 b= 16 b=4 para conocer el valor de
“c”, se aplica el Teorema de Pitágoras.
a2=b2+c2
c= a 2 − b 2 c= 25 − 16 c= 9 =3
-h=2 h=-2
-k=-4 k=4
C(h, k) C( -2, 4)
F(h, k+c) F(-2, 4+3) F(-2, 7)
F´(h, k-c) F´(-2, 4-3) F´(-2, 1)
V(h, k+a) V( -2, 4+5) V´(-2, 9)
V´(h, k-a) V´(-2, 4-5) V´(-2, -1)
2b 2 2(16) 32
LLR=
=
= = 6.4
a
5
5
c 3
e= = =0.6
a 5
Su gráfica queda de la siguiente manera:
Ejemplo 3.
Hallar la ecuación ordinaria de la elipse, si se sabe que su C(-4, -6), su F(-4, -3) y su
V(-4, -1).
Para conocer la ecuación sabemos que:
C(h, k) C(-4,-6) h=-4 k=-6
F(h, k+c) F(-4,-3) pero k+c=-3 por lo que:
c=-3-k c= -3-(-6) c=-3+6 c=3
V(h, k+a) V(-4,-1) pero k+a=-1 por lo
que:
a= -1-k a= -1-(-6) a=-1+6
a=5
Para encontrar “b” sabemos que:
a2=b2+c2
b= a 2 − c 2
Después de graficar los datos se deduce que su b= 5 2 − 3 2
ecuación es de la forma:
(x − h) 2 (y − k) 2
+
=1
b2
a2
Por lo que debemos conocer el valor de “a” y
de “b”.
b= 25 − 9
b= 16
b2=16
Por lo tanto su ecuación es:
(x + 4 ) 2 (y + 6) 2
+
=1
16
25
Ecuación general de la elipse.
Toda ecuación de una elipse se puede representar en su forma general, la cual es:
Ax2+By2+Dx+Ey+F=0
Donde A y B son diferentes de cero y tienen el mismo signo, esta ecuación se obtiene al
multiplicar toda la ecuación por el producto de sus cocientes, desarrollar los binomios al
cuadrado e igualar a cero.
También a partir de la ecuación general de la elipse podemos encontrar la ecuación ordinaria,
esto se logra completando trinomios cuadrados perfectos (TCP).
Ejemplo 1.
Dada la siguiente ecuación ordinaria de la
elipse pasarla a su forma general.
(x − 2) 2 (y − 2) 2
+
=1
9
4
Multiplicamos por (9) y (4) a ambos
miembros de la igualdad:
(9)(4)(x − 2) 2 (9)(4)(y − 2) 2
+
= 1 (9)(4)
9
4
2
2
4(x-2) +9(y-2) =36
2
Multiplicamos por (36) y (25).
(36)(25)(x + 4) 2 (36)(25)(y + 3) 2
+
= 900
36
25
25(x +4)2+(36)(y +3)2=900
25(x2+8x+16)+36(y2+6y+9)=900
2
25x2+200x+400+36y2+216y+324-900=0
4x -16x+16+9y -36y+36-36=0
4x2+9y2-16x-36y +16+36-36=0
2
(x + 4) 2 (y + 3) 2
+
=1
36
25
2
4(x -4x+4)+9(y -4y+4)=36
2
Ejemplo 2.
Dada la siguiente ecuación ordinaria de la
elipse pasarla a su forma general.
2
4x +9y -16x-36y +16=0
25x2+36y2+200x +216y+324+400-900=0
25x2+36y2+200x +216y+176=0
Ejemplo 3.
Dada la siguiente ecuación ordinaria de la elipse pasarla a su forma general.
(x − 1) 2 (y − 1) 2
+
=1
4
1
(x − 1) 2 (y − 1) 2
+
= 1 Multiplicamos por 4:
4
1
(x-1)2+4(y-1)2=4
x2-2x+1+4(y2-2y+1)=4
x2-2x+1+4y2-8y+4=4
x2-2x+1+4y2-8y+4-4=0
x2+4y2-2x-8y+4-4+1=0
x2+4y2-2x-8y+1=0
Ejemplo 4.
Dada la ecuación general de la elipse
x2+9y2+6x-18y-18=0, pasarla a su forma ordinaria.
x2+9y2+6x-18y-18=0 ordenando términos:
x2+6x+9y2-18y=18 Completando el TCP:
(x2+6x+ )+9(y2-2y+ )=18 Para completar el TCP, en el espacio en blanco debemos de
anotar el número que se obtiene de dividir el segundo término del trinomio entre 2 y el
resultado de este cociente se eleva al cuadrado.
1(x2+6x+ 9 )+9(y2-2y+ 1 )=18+9+9 Se debe sumar 9 y 9 ya que es el resultado del número
que agregamos, multiplicado por el factor que antecede al trinomio.
(x+3)2+9(y-1)2=36 Dividimos entre 36:
(x + 3) 2 (y − 1) 2
=1
+
36
4
Ejemplo 5.
Dada la ecuación general de la elipse 4x2+9y2-16x-36y +16=0, pasarla a su forma ordinaria.
4x2+9y2-16x-36y +16=0 Ordenando términos:
4x2-16x+9y2-36y =-16 Completando el TCP:
4(x2-4x+ )+9(y2-4y+ )=-16 Para completar el TCP, en el espacio en blanco debemos de
anotar el número que se obtiene de dividir el segundo término del trinomio entre 2 y el
resultado de este cociente se eleva al cuadrado.
4(x2-4x+ 4 )+9(y2-4y+ 4)=-16+16+36 Se debe sumar 16 y 36 ya que es el resultado del
número que agregamos, multiplicado por el factor que antecede al trinomio.
4(x-2)2+9(y-2)2=36 Dividimos entre 36:
(x − 2) 2 (y − 2) 2
+
=1
9
4
Ejemplo 6.
Dada la ecuación general de la elipse x2+4y2-2x-8y+1=0, pasarla a su forma ordinaria.
x2+4y2-2x-8y+1=0 ordenando términos
x2-2x +4y2-8y=-1
(x2-2x+
)+ 4(y2-2y+ )=-1
(x2-2x+ 1 )+ 4(y2-2y+ 1 )=-1+1+4
(x-1)2+4(y-1)2=4 Dividimos entre 4:
(x − 1) 2 (y − 1) 2
+
=1
4
1