- Universidad Autónoma de Nuevo León

UNIVERSIDAD
AUTONOMA
FACULTAD
DE NUEVO
DE CIENCIAS
ESCUELA
QUIMICAS
DE GRADUADOS
ADMINISTRACION
LEON
E INGENIERIA
EN
INDUSTRIAL
V A L I D A C I O N M A T E M A T I C A DE U N N U E V O M E T O D O
P A R A S O L U C I O N DE A L G U N O S TIPOS DE PROBLEMAS
R E L A C I O N A D O S C O N ALGEBRA L I N E A L
T
E
S
I
S
QUE EN O P C I O N A L G R A D O DE
M A E S T R I A EN INGENIERIA
INDUSTRIAL
C O N ESPECIALIDAD EN S I S T E M A S
A
A N T O N I O M E N D E Z C A V A Z O S M. EN C.
WWIVEMSSMAB
A WTOWGBBA
FACUJLTAM
ME
ESCWEHA
ABHSeEWE$TRACKt»lB?
METODO
TIPOS
PARA
MAESTREA
COM
SOLUCION
DE PROBLEMAS
MARCO
DE
DE
SMBWSTMEAL
UN
NUEVO
ALGUNOS
RELACIONADOS
CON
LINEAL
Em
$ S $
oipcsom
MM
a l
g r a b o
HJXGI8 3FEMIR HA JfM*
mSpBCmiLI&ASt
P
SMC.
Effl
E3J&EBIEERMA
MATEMATICA
Tf E
qbe
QESHMCAS
GRABWADOS
E
ALGEBRA
WWEWO
CEEWCIAS
ME
VALIDACION
BE
R
A.WTOSfUO
E
ElW
S
E
N
3SEMBEZ
T
d e
WS TTM. BAL
$ USTE
MAS
A
CATAZOS
U .
MIS
u
tf>
fOMOO
En e l
transcurso
ción matemática,
lución
asi
de a l g u n o s
de e s t e
trabajo
como e j e m p l o s
problemas
Método que fue d e s c u b i e r t o
presentarse
relacionados
con A l g e b r a
de manera e m p í r i c a
Nuevo
Mecánica y E l é c t r i c a
de e c u a c i o n e s
lor
lineales,
obtención
de l a
lineal.
ventaja
el
proceso intermedio
te
y
el
obtención
asf
por e l
Ingenie-
F a c u l t a d de
casos
Ingede
los
necesario
para
obtención
la
del
fraccionarios
por
respuesta,
corrección
tiene
durante
l o que f a c i l i t a
de
la
-
so-
importanfracciones
evitándose
de d i c h o
va_
progra-
que e s t e nrétodo
truncamientos
de un e r r o r en l a
sistemas
de una ma
e x p u e s t o s y además y más
aún es el que se e v i t a r á
la acumulación
de
método s i m p l e x de
observar
de s o l u c i ó n ,
antes
adjunta
de una m a t r i z ,
de nunca g e n e r a r e l e m e n t o s
de l o s
trabajo
a la s o l u c i ó n
de l a
como a l
Donde podremos
la
lución
Lineal,
U n i v e r s i d a d Autónoma
aplicado
inversa
de un d e t e r m i n a n t e ,
mación
s£
León.
D i c h o método l o veremos
triz,
de l a
valida-
de un nuevo método p a r a
r o Rene M a r i o M o n t a n t e P a r d o , M a e s t r o de l a
niería
la
error.
así
Veamos p r i m e r o
(sin
el
método como una s e r i e
fundamentad* ón materna t i c a )
de una m a t r i z
regular
aplicándolo
en una m a t r i z
En l a
Generamos
Io
una s e g u n d a
Seleccionaremos
diagonal
a
matriz
3
4
-3
-4
1
2
1
- 3
1
-5
2°
Hagamos
3® Dejemos
cero
igual
Calcular
1
'j
# p.
todos
los
ejemplo
en el
a^
elementos
orden a ^ »
uno de l a
-
a
= 3
de l a columna
del
pivote
ex-
mismo
Para l o cuál
l
en cada p a s o como e l e m e n t o p i v o t e
para n u e s t r o
c e p t o él
4o
matriz.
mayor ¿ 0 ( s e l e c c i o n a d o s
nn' '
realizar
a l a t r a n s f o r m a c i ón
5
i
a
identidad.
- 2
A
de p a s o s
el
toda l a
resto
fila
de l o s
del
pivote.
elementos
de l a nueva
matriz.
11 ama remos:
Al
elemento en l a
posición
i,j
Al
e l e m e n t o en l a
posición
i,
de l a m a t r i z
actual.
j de l a m a t r i z
p o r ge
nerar.
«
# p.a.
Número p i v o t e
=
E.C.R.P.
Numero pi v o t e a c t u a l .
=
Al
el emento c o r r e s p o n d í ente
r e n g l ó n del
E.C.C.P.
anterior.
=
al
a.
pivote.
Al elemento c o r r e s p o n d i e n t e
columna del p i v o t e .
b u s c a n d o en el
J
al
a.
b u s c a n d o en l a
J
-
Entonces
para
=• J(a.
J
las
filas
) (# P . A . )
-
de l a
(E.C.C.P.)
del
pivote
(E.C.R.P.)]
calcularemos
/ #p.
J
Cálculos
para
la segunda
(Suponiendo
#p.
22
=
( 4
)
( 3
*23
•
C-3
)
C 3
•
(-4
C 3
a
diferentes
= 1)
22
-34
( 5
) (5 ) =
) (3 ) =
( 7
)(
( 7
) (5 )
)( 3 )
) (- 2 )
) (5 )
)( 3 )
( 3
( 3
) -
( 7
( 3
) -
( 4
)
( 3
) -
( 4
)
(
) -
( 4
a
32
-
(
a
33
=
( 2
a
34
=
( 1
a
42
=
(-3
a
43
=
( 1
a
44
=
(-5
( 3
3
-
-
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
1
matriz.
í -2 J
( 5 )
( 5
-2
-27
17
) =
-29
=
-
-13
-
1
=
-17
=
-27
Quedándonos
" 3
-2
5
0
22
•34
-27
0
17
•29
-13
0
-1
-17
-27 _
Segu nda
Matri z.
Generación
de una t e r c e r a ,
a) Tomamos el
nuevo p i v o t e
cuarta,
(el
3 "
....,
enésima
elemento s i g u i e n t e
matriz.
en l a
diagonal
mayor).
b)
Pasemos
unos e j e s
imaginarios
sobre la
pi v o t e .
c)
Dejemos
igual
la
fila
del
pivote.
f i l a y l a columna
del
d) Hagamos
cero
los elementos
de l a
e) Hagamos
cero
los
del
elementos
tenecen a la diagonal
necen a
f)
mayor.
columna
II y III
E Igual
del
pivote ecepto
cuadrante,
al
s 1 no
nuevo p i v o t e
s1
solo
los
elementos
del
I y
IV cuadrante
(a-
)
P.A.)
-
(E.C'.C.P.)
#
a
*13
'
( 5 )
(22)
-
ejemplo.
14
(-2)
(-34)
(-2)
(-27)
(17)
(-34)
20
(17)
(-27)
21
- (-1)
(-34)
-136
(-27)
-207
3
(-29)
(22)
-
(22)
3
(-18)
34
(22)
3
(-17)
43
a}4
P.
3
*33
k
(E.C.R.P.)
p a r a g e n e r a r una t e r c e r m a t r i z en n u e s t r o
( 3 )
14
(22)
3
*
pert¿
p o r l a mis.
<na f o r m u l a .
Cálculos
per-
ella
Calculemos
=
él
(-27)
(22)
-
(-1)
Quedándonos:
Tercera
Ma t r i z.
22
0
14
4
0
22
-34
-27
0
0
-20
21
0
0
-136
-207
Cuarta
Matriz.
Calculos;
a*l4
=
(
4)
(-20) -
(
14)
(21)
=
17
( 21)
=
57
=
318
22
a*24
-
(-27)
(-20)
-
[-34)
22
a*34
=
(-207)(-20)
-
(-136)(21)
22
Quedándonos
C uarta
Matri z
-20
0
0
-17
0
-20
0
57
0
0
-20
21
0
0
0
318
318
0
0
O*
0
318
0
0
O
318
0
0
0
Qui n t a ' * M a t r i z .
Qui nta
Matri z
0
'
0
Donde e l
determinante
Identidad dividiremos
de l a m a t r i z
318_
v a l e 3 1 8 , en c u a n t o a l a
la matriz entre
318 para
-
obtenerla.
1° Nunca t r a b a j a m o s con números f a r a c c i o n a r i o s l o c u a l de más
f a c i l i d a d de manejo y e v i t a el e r r o r por r e d o n d e o o t r u n c a
miento.
2® P r o p o r c i o n a
den n.
3° A l p a s a r
1 os.
fácilmente
de una m a t r i z
el
valor
de un d e t e r m i n a n t e
a o t r a se reduce el
de
número de
o r cálcu
~
Veamos a h o r a el
sistema
del
el
nuevo método a p l i c a d o
de e c u a c i o n e s
lineales
a l a s o 1 u c 1 6 n de un
y comparemos
contra
mismo s i s t e m a p o r un método a l t e r n a t i v o
cual
s e mantendrán
para e v i t a r
el e r r o r
los
(gauss-jordan).
fraccionarios
( c a b e m e n c i o n a r que s i
tema en una computadora
como f r a c c i o n a r i o s
elementos
tendriamos
y ocasionar
la s o l u c 1 6 n
como
truncamientos
el
5
©
4
+
Y
7 X
+
Y
+
2 l
+
w
4 X
-
3 Y
+
Z
-
5 M
3
5
4
-3
-4
7
1
2
1
9
4
-3.
1
-5
13
Z
8
-
4
3W
-
5
3
+
X
-2
-
5Z
los elementos
y un e r r o r
W
8
9
13
=
-2
5
3
8
©
-34
-27
-10
17
-29
-18
-29
0
-1
-17
-27
7
-20
0
O
-17
52
0
-20
0
57
-232
21
-156
V
0
^
0
22
0
14
4
52
0
22
-34
-27
-10
0
0
21
-156
0
0
-20
0
0 -136 -207
48
0
0
0
-
©
/ —
--
acumula-
= 1 0
~3
10 ^
=
-
si£
tivo) .
3 X - 2 Y
-
quebrados
resolviesemos
que t r a b a j a r
En
-
(318) - 1 0 0 8
318
0
0
0
30
0
318
0
0
316
0
0
318
0
1422
0
0
0
318
-1008
X
Y
Z
W
=
=
30
5_
318
53
816
=
136
318
53
1422 =
237
318
53
= -1003 =
-168
318
53
=
DETERMINANTE
=
318
GAUSS
-
JORDAN
1
0
o
17
20
1
"11
5
0
0
17
20
-13
5
O
1
o
-57
20
58
5
-57
20
58
5
O
o
1
-21
ü
-21
20
39
5
1
-168
53
20
O
o
o
159
10
X
5
252
5
=
0
_5
53
Y
=
136
53
2
=
237
53
W
=
-168
53
0
0
En e s t e
encontrar
do s o l o
punto veremos
la
inversa
tres
los
efectos
de una m a t r i z
decimales
de l o s
"A"
truncamientos
de o r d e n 3 X 3
en cada o p e r a c i ó n y p o r e l
al
utilizan-
método de
-
Gauss-Jordan.
1 1 7
A =
donde el
3
5
7
2
9
6
producto
debido a los
A.A
-1
-1
de A . A - *
truncamientos
nos
0.002
-0.004
1.000
-0.002
-0.001
0.008
0.988
que p o r e l
mejorando
la
0.137
-0.164
-0.016
0.015
-0.200
0 . 203
-0.070
0.356
-0.142
darnos
una
nuevo método en t o d o s
elementos
identidad,
pero
da
0.000
solo existirán
mientor»
debería
0.982
Mientras
medios
9
enteros
aproximación.
los
pasos
evitándose
los
intertrunca
Ahora
veamos el
de p r o g r a m a c i ó n
todo s i m p l e x
observar
clones,
error
nuevo método a p l i c a d o
lineal
con el
y hagamos
procedimiento
cuales
al
ser
a c u m u l a t i v o . Y nos
última
tabla
mayores
rentes
o iguales
r e a l , y por l o
De t a l
daremos
a la milésima
a cero), la
respuesta
"óptima"
resulta
valor
debido a l o s
computadora
nos
es e x a c t a m e n t e
en e n t e r o s ,
las
rio
p o r el
variables
tero.
Por
con f r a c c i o n e s
otro
gar a v a l o r e s
que e l
procedimiento
l o que p o r el
aplicar
sería
requería
necesario
para
valor
--
menor.
---
necesarios
que no s e r á
lo cuál
de que s i
de l a s
en
exacla
como el
p o r el
problema.
que el
en e l
variables
de D a n t z i g nos
procedimiento
este
respuesta
nuevo p r o c e d i m i e n t o
hecho
mientras
procedimiento
enteros,
dife--
óptima.
Una s e g u n d a o b s e r v a c i ó n s e r á e l
se
son
p r o c e d i m i e n t o de
d a r á una r e s p u e s t a
la
un
a 1a
de l a s
de l a
truncamientos
que p o r e l
fra£
índice
de l a f u n c i ó n o b j e t i v o
forma que a p e s a r de que el
-
ocasionan
renglón
que s o n d i f e r e n t e s
mé-
de
11eguemos
del
tanto el
blema o r i g i n a l
cuando
elementos
la óptima. M i e n t r a s
respuesta
una g r a n c a n t i d a d
cuenta
el
-
donde podremos
los
sea c o r r e c t o »
cualquier
tamente
de D a n t z i g ,
truncadas
(donde t o d o s
variables
Dantzig
una c o m p a r a c i ó n c o n t r a
que en es te d l t i m o a p a r e c e n
las
al método s i m p l e x
da e l
valor
de D a n t z i g
fuese
valor
real
sería
pro
es
de
en-
necesa-
método Gomory p a r a
nuevo p r o c e d i m i e n t o
lleno
-
-2
X
1
+
2
X
2
4
4
X
1
+
10
X
2
40
7
X
I
+
12
X
2
84
-5
X
1
+
3
X
2
15
5
X
1
+
8
X
2
S
Z
DANTZIG
1
0
5
8
0
0
0
0
XI
X2
WA
WB
WC
WD
-I
WA
4
-2
2
1
0
0
0
. WB
40
4
20
0
1
0
0
0
wc
84
7
12
0
0
1
0
0
WD
15
-5
3
0
0
0
1
0
-5
-8
0
0
0
0
5
XI
0
0
0
0
WA
WB
WC
MD
0
e
X2
2
-1
1
.500
0
0
[0
MB
20
.4
0
-5
1
0
0
wc
60
19
0
-6
0
1
0
0
WD
9
-2
0
- 1 . 500 0
0
1
16
-13
0
0
0
4
0
0
0
0
0
WA
WB
wc
WD
j 8X2
3 .428
0
1
.143
.071
0
0
5X1
1 .428
1
0
-.357
.071
0
0
owe
32.868
0
0
.783
-1.349
1
OWD
0
11 . 8 5 6
0
0
-2.214
.142
0
1
34 .564
0
0
-.641
-923
0
0
0
WA
5
WB
WC
23 .972
0
6.993
1
.496
0
XI
9 986
1
2.496
0
.249
0
0
WC
14 .097
0
-5.475
0
- 1 . 7 37
1
0
WD
64 930
0
15.480
0
1.240
0
49. 93
0
4.482
0
1.240
0
23.972;
XI
WC =
14.097
64.930;
Z
= 9.986;
= 49.93
NUEVO METODO
5
8
0
0
0
XI
X2
WA
Wd
wc -
0
vJ D
0
WA
4
-2
2
1
0
0
D
0
WB
40
4
10
0
1
0
0
0
WC
84
7
12
0
0
0
1
0
WD
15
-5
3
0
0
0
0
0
-5
-8
0
0
0
0
5
0
0
0
0
XI
WA
WB
WC
WD
1
0
0
0
8
X2
4
-2
2
0
. WB
40
28
0
-10
2
0
0
0
WC
120
38
0
-12
0
2
0
0
WD
18
0
-3
0
0
2
0
8
0
0
0
0
0
0
0
WA
WB
WC
VID
32
-26
k
8X2
96
0
23
4
2
0
0
5X1
40
28
0
-10
2
0
0
OWC
920
0
0
22
-38
28
0
OWD
332
0
0
-62
4
0
28
968
0
0
-18
26
0
0
0
0
0
WB
WC
WD
OHA
96
0
28
4
2
0
0
5X1
40
4
10
0
1
0
0
owe
56
0
-22
0
4
0
ÛWD
260
0
62
0
5
0
4
200
0
1 8
0
5
0
0
WA =
96_ =
2 4 ; X I == 40 = 1 0 ;
4
WC =
4
260 = 6 5 ;
4
l
- 7
WB = 56 == 14
4
= 200
4
= 50
Un E j e m p l o mas A p l i c a d o
ción Li neal.
a un M o d e l o de D i e t a s
de
Programa-
Ej.
Se d e s e a e n c o n t r a r
X3,.X4,
les
para formar
un p r o d u c t o f i n a l
que posea de l a
de l a
característica
característica
rTstica
"C"
l a m e z c l a ó p t i m a de i n g r e d i e n t e s
"B"
entre
su c o s t o . Los
características
cuales
con c a r a c t e r f s t i c a s
del
X2,
ta--
a l o mucho 42 g r . / K g .
50 y 80 g r . / K g . y de l a
a l o mucho 20 g r . / K g .
Se c o n o c e n l a s
"A"
XI,
producto
caracte
total.
de cada i n g r e d i e n t e
se resumen en l a s i g u i e n t e
asi
como
tabla.
COSTO
"A"
"B"
"C"
($)
XI
40 g r / K g
10 g r / K g
12 g r / K g
35.
X2
35
50
16
10.
X3
10
25
18
4.
X4
-
15
25
30.
f u n c i ón o b j e t i vo:
35 X I
—
10 X2
30 X I
+
35 X2
+
10 X I
+
50 X2
+ 25X3
+
15 X4
50
10 X I
+
50 X2
+
25X3
-t-
15 X4
80
12 X I
+
16 X2
+
18X3
+
25 X4
20
—
4X3
—
30 X4
10X3
=
-
Z
42
Primera
Tabla:
-35
-10
-4
-30
0
0
-H
0
0
XI
X2
X3
X4
MB
MA
U1
ne
WD
WA
42
30
35
10
0
0
1
0
0
0
U1
50
10
50
25
15
-1
0
1
0
0
0
WC
80
10
50
25
15
0
0
0
1
0
0
WD
20
12
16
18
25
0
0
0
0
1
3
o
o
o
o
0
u
,
en
O
z
Segunda
,
i—»
o
en
O
3
i
ro
en
3
i
i—•
OI
3
+
+
+
+
W
OI
l—l
o
C0
o
tabla:
-35
-4
-30
0
0
XI
X3
Í4
WB
WA
-M
0
0
U1 WC
WD
0
WA
350
1150
0
-375
-5.Ï5
35
50
-35
0
0
10
~X2
50
10
50
25
15
-1
0
1
0
0
0
WC
1500
0
0
0
0
50
0
-50
50
0
0
WD
200
440
0
500
1010
16
0
-16
0
50
-500
1650
0
-50
1000
10
0
0
0
o
o
Tercera
Tabla:
-35
-30
0
0
-M
0
c
XI
X4
WB
WA
U1
WC
UD
MA
5000
14800
0
0
-5130
470
500
-470
0
375
10
X2
400
-120
500
0
6995
-18
0
18
0
-25
0
wc
15000
0
0
0
0
500
0
-500
500
0
-4
X3
200
440
0
500
1010
16
0
-16
0
50
-4800
16940
0
0
11010
116
0
0
50
500M - 26
0
RESPUESTA:
WA
=
5000
=
n.
WC =
50
X2
=
400_
15000
30
500
=
.8
X3
200
500
500
Z =
-
4800
500
=
-
9.6
.4
"
VALIDACION MATEMATICA DEL MODELO"
S i tenemos l a m a t r i z
elementos enteros
r e g u l a r Ai j de o r d e n
nxn formada por
A 11
A 21
A 12
A 22
A ln
A 2n
A ni
An 2
A nn
los
Aij
La c u a l queremos t r a n s f o r n a r en una i d e n t i d a d .
to t r a d i c i o n a l ( G s u s s - J o r d a n ) c o n s i s t e en.
Io
El
p r o c e d i mi eji
S e l e c c i o n a r iin elemento Akp como e l e m e n t o p i v o t e
mente k = p) .
2o D i v i d i r
te.
los
elementos
de l a
fila
"K"
e ntre
el
(normal-
número pi v o -
3 o Sumar a l a s r e s t a n t e s f i l a s
i ¿ K
La f i l a o b t e n i da en el p a s o a n t e r i o r m u l t i p l i c a d a por el n e g a t i v o del e l e m e n t o c o r r e s p o n d í ' e n t e a l a f i l a " i " en l a
columna del p i v o t e ( " P " } .
4o
R e p e t i r el
procedimiento
hasta
encontrar
la
identidad.
P a r a e x p r e s a r el p r o c e d í m i e n t o a n t e r i o r en f u n c i ó n de t r a n s - f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s de m a t r i c e s hagamos l o s i g u i e n t e .
Io
2
o
# pivote
= akp
Hk ( i
)
a
k
Lo c u a l
a
i
3o H j^
Multiplicar
la f i l a
"K"
por
_1__
a
P
transformara
para
i
5
k;
los
elementos
j = 1, 2,
...;
de l a
k
fila
P
K en:
n
(- a^ )
sumar a l a f i l a i l a f i l a k t r a n s f o r m a d a
P
el p a s o a n t e r i o r por - a.
para i ¿ k
P
Lo c u a l t r a n s f o r m a l o s e l e m e n t o s de l a f i l a i i k en:
+
nuevo a.. = A n t e r i o r a.
a.
J i l
J
J
a
kP
en -
Donde
si
llamamos
Nuevo
a.
Nos
—
Anterior
ai.
queda:
a.
i.
a.
i.
a^
"I
-p
:
V
Por l o que l o s e l e m e n t o s d e l a s e g u n d a m a t r i z e s t a r a n d a d o s
para la f i l a
i? k
a,X1
1
=
a.
1-í
a
para l a f i l a
i=k
a' . .
=
a
J
a-;
/
A
por:
P
k„
a>
Una o b j e c i ó n a e s t e m é t o d o t r a d i c i o n a l e s e l h e c h o d e q u e
d e b i d o a l a f o r m a d e o b t e n e r l o s e l e m e n t o s d e ura s e g u n d a m a t r i z
g e n e r a n o r m a l m e n t e una g r a n c a n t i d a d d e ( q u e b r a d o s )
elementos
c o n f r a c c i o n e s l a s c u a l e s a l u t i l i z a r una c o m p u t a d o r a o c a l c u l a d o
r a s e t r u n c a n o c a s i o n a n d o un e r r o r q u e s e a c u m u l a d u r a n t e
el
g r a n número d e o p e r a c i o n e s e f e c t u a d a s .
Debido a l o c u a l
si
t r a t a m o s d e r e s o l v e r un s i s t e m a d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s e l r e s u l t a
d o c o n t a r á con un g r a d o d e e r r o r e l
c u a l s e r á mayor e n t r e mayor
s e a e l s i s t e r o a por l o que p a r a c o r r e g i r e s t e , s e r á n e c e s a r i o
de
un s e g u n d o p r o c e d i m i e n t o
(uso de l a s ecuaciones de e r r o r ) .
Por l o q u e t r a t a n d o d e e v i t a r e s e p r o b l e m a
es p o s i b l e modificar
e l m é t o d o t r a d i c i o n a l y l l e g a r a l a r e s p u e s t a s i n que en
los
pasos intermedios existan
números c o n f r a c c i o n e s .
P a r a d e m o s t r a r e l nuevo método tendremos
A±.
^
de orden
:
Io
Una m a t r i z
regular
elementos enteros.
n formada por
2°
P a r a mayor f a c i l i d a d s u p o n d r e m o s t o d o s l o s e l e m e n t o s p i v o t e s
como p a r t e d e l a d i a g o n a l p r i n c i p a l s e l e c c i o n a d o s en e l
orden a l l ,
a22,
a33,
. . . . .^nn.
p a r t i e n d o d e l a s f ó r m u l a s d e l método
para l a f i l a
i^k
a'.
j
= a.
3
-
tradicional.
V
\
*k
p
M u l t i p l i c a n d o ambos l a d o s d e l a e c u a c i ó n p o r
a'.
a
%
y para l a f i l a
= a
ij
a
%
i=k
- a
a,
(número p i v o t e )
a.
i
P
a
P
M u l t i p l i c a n d o ambos l a d o s d e l a e c u a c i ó n p o r a ^
a'
ij
X
a
=
Donde e l e l e m e n t o a ' ^
a
P
(número p i v o t e )
ij
r e p r e s e n t a e l elemento de l a segunda
3
por e l método t r a d i c i o n a l y e l a ' .
X
X
j
a
representa el
k
matriz
elemento
P
d e l a s e g u n d a m a t r i z p o r e l nuevo métodoP a r a f a c i l i d a d de m a n e j o d e f i n a m o s a - . ^. 3•
observemos l o
primero: a" i
= a ' i j•X
a v*P
siguiente:
a ( - ) a .X a.
para
K
Uj
kPn
Po ^
S i c u a l e s t a d a d o p o r e l p r o d u c t o d e d o s e n t e r o s menos e l
d e o t r o s d o s p o r l o que s e r á o t r o e n t e r o .
j
=
a
segundo:
a"^
=
1
j
El cual será
a.
el
para
i = k
j
entero
original.
producto
Tercero:
son
S i l o s e l e m e n t o s o b t e n i d o s por e l método t r a d i c i o n a l
y los obtenidos
p o r e l nue^o método son a
a
a
l
j
e n t o n c e s l a segunda m a t r i z d e l nuevo método s e r á
v e c e s l a d e l método t r a d i c i o n a l .
a^
P
*P
(pivote)
Cuarto:
a).-
Como l o s e l e m e n t o s d e l a f i l a s i f k e s t á n
por
a" i
= a,.
a
- a .
a.
x j
Lp
*P
j
dados
Cuando e v a l u e m o s l o s e l e m e n t o s
de l a columna " p "
( columna d e l p i v o t e )
es d e c i r
= P la
ecuación
s e transforma en:
a".
= a.
a,
a
a.
=
o
i.
i
k
k
i
1
P
P
P
P
b).-
Como l o s
por
a".
e l e m e n t o s de l a
=
f i l a i=k
están
dados
a
e n t o n c e s e s t o s no c a m b i a n d e una t a b l a a
otra.
H a s t a a h o r a s o l o hemos g e n e r a d o una s e g u n d a m a t r i z p o r e l
nuevo método p a r t i e n d o de e s t a y con l o a n t e s e x p u e s t o veamos
l a f o r m a d e g e n e r a r una t e r c e r a , c u a r t a , e n é s i m a m a t r i z *
El procedimiento a s e g u i r es s i m i l a r a l a n t e s empleado e x c e p t o
p o r q u e a l g e n e r a r una n u e v a m a t r i z a c a d a f i l a L^k. ( d i f e r e n t e
de l a d e l p i v o t e )
se l e aplica
una t r a n s f o r m a c i ó n
elemen
tal del tipo
D0ND3 LA C o n s t a n t e k e s i g u a l
al
inverso del pivote
anterior.
Lo c u a l e s p e r f e c t a m e n t e v á l i d o
P
Lo i m p o r t a n t e a h o r a e s d e m o s t r a r q u e a p e s a r d e l a d i v i s i ó n
anterior l o s elementos generados siguen siendo enteros.
Para
lo cual recordaremos
q u e en l a p r i m e r a y s e g u n d a m a t r i z s o l o
tenemos e n t e r o s
K
Además
llamaremos:
.
a *i
j
=
elemento
=
elemento
de l a m a t r i z
original.
de l a segunda
matriz
a**
También
=
e l «mentó
sabemos
de
la tercer
matriz.
que e l pivote anterior
« 1 nuevo p i v o t e s e r á
=
FORMACION
DE
a
fue
a
=
a ^
p
y
22
LA TERCERA
MATRIZ.
1°
Los elementos de l a f i l a del p i v o t e debido a l a fórmula
por l a c u a l s e encuentran permanecerán i g u a l e s y por
lo
tanto enteros.
2® L o s e l e m e n t o s d e l a s f i l a s que no p e r t e n e s c a n
fila
d e l p i v o t e son de dos t i p o s .
I.-
la
-
L o s q u e er\ l a m a t r i 2 a n t e r i o r ( p r i m e r a )
fueron de
fila
¿ = k l o s c u a l e s n o c a m b i a r o n / y a que s e
encontraron por l a fórmula:
la
a*
II«-
«
a.
para
i »
a
\
L o s q u e en l a m a t r i z a n t e r i o r ( p r i m e r a ) f u e r o n d e una
i^k
que f u e r o n g e n e r a d o s p o r l a f ó r m u l a :
a*
- s
a.
a.
-
a
fila
a
Ahora t e n d r e m o s que l o s e l e m e n t o s d e l a t e r c e r m a t r i z p a r a l a s
f i l a s d i f e r e n t e s de l a d e l p i v o t e s e r á n g e n e r a d o s por l a f ó r mula.
%
%
%
-
a*
i.
s .
Es d e c i r l a f ó r m u l a o r i g i n a l a g r e g á n d o l e e l e f e c t o d e l a
formación elemental
^ ±
)
trans
%
Entonces s i e l a * *
anterior
buscado perteneció a la f i l a del
( primera matriz )
este será del tipo a * *
1 j
pivote
y como e l
pivote
anterior
= a
= a , , y el
nuevo p i v o t e
P
Entonces
a
r
la
formula
• t í
J
a
J
se
22 "
transforma
%
a
J
i2
= a*
k
=
a,
p
en:
/ a
]
ll
t r i z.
a*
1J
-
A*
22
=
a
*2J
"
a
12
'
3
\
te
a
22
a
a
2j
a
12
anterior.
l1
a
"
a
te
a
2l
U
a
12
21
anterior.
Subs t i t u y e n d o :
a
^ ^
5»
lj [a22 _all " a21—ai2J " }ZJ all " aij a_2l] 3_12_
y
a
n
a
11
S i mpli f i c a n d o :
a **
1.
J
a
a
lj
%
A
!j
a
22>rT"
2j
>n"a12
¡
11
=
a
U
a
22 -
a
2j
a
12
Por 7o que s i e l e l e m e n t o fue del t i p o I .
que a l f i n a l de c u e n t a s es g e n e r a d o por el
t e r o s menos e l p r o d u c t o de o t r o s d o s .
S e r á un e n t e r o y a
p r o d u c t o de dos er^
6i el a**
buscado perteneció
en l a n a t r i z a n t e r i o r
h
(priaera)
a una f i l a d i f e r e n t e de l a d e l p i v o t e s e r á a h o r a
generado por l a fórmula:
_
a
22
i2
a
J
2j
H
E x p r e s a d o l o s elementos de l a segunda matrixde l o s de l a p r i m e r a .
a*
Ij
=
a.
a_,
11
-
a,_
xl
a.
lj
a*
22
=
a
a,,
11
-
a2o 1n
a->
0
12
a*
2j
-
a->2j
an
"
a
22
s u b s t i t u y e n d o en l a e c u a c i ó n
a
del
2l
0
buscando:
enfunción
Con l o a n t e r i o r hemos d e m o s t r a d o q u e t o d o s l o s e l e m e n t o s
d e l a t e r c e r m a t r i z s o n e n t e r o s y como l a b a s e d e e s t a demos t r a c i ó n e s t a en q u e l o s e l e m e n t o s d e l a s d o s m a t r i c e s
a n t e r i o r e s eran enteros.
E n t o n c e s a l g e n e r a r una c u a r t a m a t r i z e l p r o c e d i m i e n t o y
f ó r m u l a s s e r á e l mismo y s e r á g e n e r a d a a p a r t i r d e l o s e l e m e n
t o s e n t e r o s de l a s m a t r i c e s a n t e r i o r e s generándose n e c e s a r i a mente una c u a r t a m a t r i z formada por elementos e t e r o s por l o q u e en g e n e r a l y d e e s a m a n e r a podemos l l e g a r « una e n é s i m a
m a t r i z cuyos elementos sean e n t e r o s .
Además d e l a c u a l i d a d y a d e m o s t r a d a podemos d e d u c i r
p a r t i e n d o de l o a n t e r i o r a l g u n a s o t r a s c a r a c t e r í s t i c a s
v e n t a j o s a s d e l nuevo método.
S i i m a g i n a m o s un p a r d e e j e s q u e p a s e n s o b r e
la
fila
y l a columna d e l e l e m e n t o p i v o t e n o s d a r e m o s c u e n t a que s o l o s e r á n e c e s a r i o c a l c u l a r para l a s i g u i e n t e matriz los elementos
que s e e n c u e n t r a n d e n t r o d e l p r i m e r y c u a t r o c u a d r a n t e ya
oue
1
l o s e l e m e n t o s d e l s e g u n d o y t e r c e r c u a d r a n t e sera ! c e r o s i
no
p e r t e n e c e n a l a d i a g o n a l p r i n c i p a l , e i g u a l a l nuevo elemento
pivote s i pertenecen a e l l a .
veamos
Io
porque:
L o s e l e m e n t o s que no f o r m a n p a r t e de l a
principal.
diagonal
Recordemos que cuando c a l c u l a m o s l a s e g a n d a m a t r i z , e l elemento
pivote
fue a i l
t o d o s l o s e l e m e n t o s de su columna
excepto
el se hicxeron cero.
Y que c u a n d o c a l c u l a m o s
la
t e r c e r m a t r i z e l e l e m e n t o pj. r o t e f u e * * 2 2
Y loR
elementos
del
II y III
c u a d r a n t e oue no
forman p a r t e d e l a
d i a g o n a l p r i n c i p a l son l o s a £ *
para
i f 1 por l o que
el
elemento s e - á
c e r e r a d o por
a*+
a*
xi
Donde t a n t o e l
¿
.,
ll
— a*
21
a*
12
como o l a *
21
y por l o t a n t o ceros c o n v i n i e n d o
p e r t e n e c e n a l a columna
al a**
en
cero.
uno
£ n g e n e r a l podemos o b s e r v a r de l a
a*
ij
a**
®k
P
fórmula
a
-
?
P
3
X
Que c o n t a m o s c o n d o s e l e m e n t o s de l a misma columna
) los
cuales
s i en l a m a t r i z a n t e r i o r
C »*
Y a*
k-s
f u e r o n c e r o s o b l i g a r a n a que en l a s i g u i e n t e m a t r i z
elemento a * *
q u e con e l l o s
se relacione sea cero.
2°
En c u a n t o a q u e l o s e x p i v o t e s tomen e l v a l o r
n u e v o p i v o t e e s d e b i d o a q u e en l a f ó r m u l a .
•
en donde:
a*
ij
* *
a*
i.
a*
kj
substituyendo
a?
a**
l .
J
a
k-
el
del
a*
=
es e l expivote a n t e r i o r
=
e s un e l e m e n t o d e l a columna " j "
d e l e x p i v o t e s i n s sr e l e x p i v o t e y
y p o r l o t a n t o c e r 5.
ì
"fe
a*
a
kp
-
( 0
=
a^
Por l o que como e l e l e m e n t o b u s c a d o a * *
era
y tomará e l v a l o r de a *
precisa
mente
k p
pivote.
un
oxpivote
e l nuevo
De a c u e r d o a t o d o l o a n t e r i o r l l e g a m o s a q u e l a ú l t i m a m a t r i z
s e r á u n a m a t r i z e s c a l a r donde e l v a l o r d e l e s c a l a r e s e l
del
ú l t i m o p i v o t e , o s e a q u e l a m a t r i z o b t e n i d a e s 1c v e c e s
la
m a t r i z i d e n t i d a d p o r l o que s o l o n o s r e s t a r á
dividirla
entre
k p a r a o b t e n e r l a i d e n t i d a d b u s c a d a , s i n q u e en l o s
p a s o s i n t e r m i e c L i o s h a y a n e x i s t i d o números f r a c c i o n a r i o s .
O t r a s d o s b o n d a d e s d e l método s o n e l h e c h o d e que n o s p e r m i t e
e n c o n t r a r de una manera s i m p l e e l v a l o r d e l d e t e r m i n a n t e
de
la matriz a s i
cotio s u a d j u n t a .
veamos
porque:
Si originalmente nuestra matriz a¿.
( m a t r i z d e orden unoA ^
=
£allf
f u e r a d e un s o l o e l e m e n t o
y
l a
'
tranformamos
por
e l n u e v o m é t o d o h a s t a que s e a u n a m a t r i z d i a g o n a l » l a c o n s t a n t e
de l a d i a g o n a l mayor s e r á
a ^
y s i evaluamos e l determinan
t e de l a matriz e s t e s e r á
también a ^ l •
S i ahora n u e s t r a m a t r i z f u e s e de orden
a
i.
A
U
a
a21
l2~
dos
y l a transformamos por
a22
• 1 n u e v o m é t o d o h a s t a que s e a una m a t r i z d i a g o n a l e n c o n t r a m o s
q u e l a c o n s a n t e d e l a d i a g o n a l mayor e s a n a 2 2 ~ a 2 1 a i 2
y s i evaluamos e l determinante de
a
ll
a
22 '
a
21
a
l a matri2 e s t e será
también
l2
S i a h o r a n u e s t r a m a t r i z f u e s e de orden
ll
a21
a ¿ l
a
12
22
a32
a
a
a
a
13
23
a33
Y l a transformamos por e l
n u e v o m é t o d o h a s t a que s e a una m a t r i z
d i a g o n a l , l a c o n s t a n t e d e l a d i a g o n a l mayor s e r á
a
ll
a
22
a
33 "
a
U
»32 *2 3 " a 2 l «12
a
33+a31
a
12
a
23+a21a32^í-a31»22a13
Si
a
evaluamos
el
determinante
de l a m a t r i z
este
se rS
tambien
lla22a33"alla32a23"a21a12a33+a31a12a23+a21a32a13"a31a22a13
De e s a manera podemos c o n t i n u a r y t r a n s f o r m a r por el nuevo nté
t o d o una m a t r i z de orden n en una m a t r i z d i a g o n a l donde el va
l o r de l a c o n s t a n t e de l a d i a g o n a l mayor e s t a r á dado por l a suma a l g e b r a i c a de l o s ni
p r o d u c t o s p o s i b l e s tomando como - f a c t o r e s uno y s o l a m e n t e uno de l o s e l e m e n t o s de cada f i l a y
columna d á n d o l e a cada p r o d u c t o un s i g n o mas o unos menos s e gún haya un número par o impar de i n v e r s i o n e s de l o s s u b i n d i ces de l a s f i l a s cuando l o s e l e m e n t o s de cada p r o d u c t o e s t á n
o r d e n a d o s s e g ú n el s u b í n d i c e de la c o l u m n a . Lo cual es p r e c i sámente l a d e f i n i c i ó n del v a l o r de un d e t e r m i n a n t e de o r d e n "n".
En e l c a s o p a r t i c u l a r de l a o b t e n c i ó n del v a l o r de un d e t e r m i n a n t e en el año de 1853 c h i o d e s a r r o l l o el método de con^
d e n s a c i ó n p i v o t a l el c u a l posee un g r a n p a r e c i d o con e s t e método pero r e s u l t a i n a p l i c a b l e a l a s m a t r i c e s ( D e s a r r o l l a d a s en 1857 por c a y l e y )
d e b i d o a l a r e d u c c i ó n de f i l a s y c o l u m nas p l a n t e a d a por e l método de c h i o además, posee una d i f e r e r ^
c i a en la forma de manejar l o que en e s t e nuevo método l l a m a mos p i v o t e a n t e r i o r .
En c u a n t o a l a o b t e n c i ó n de l a a d j u n t a de l a m a t r i z . Tenemos
que s i a una m a t r i z " A . " de orden " n " le agregamos a s u dere
cha una m a t r i z
^ i d e n t i d a d " I n " y transformamos la - nueva irratriz de o r d e n M n x 2 n " por el nuevo método h a s t a que en
l a p o s i c i ó n de " A . " s e e n c u e n t r e una m a t r i z d i a g o n a l .
'J
S o l o nos r e s t a r í a d i v i d i r l a m a t r i z de o r d e n " n x 2 n " e n t r e el
v a l o r de l a c o n s t a n t e de l a d i a g o n a l mayor ( v a l o r del determi_
nante de l a m a t r i z " A . " ) de d i c h a r a t r i z d i a g o n a l , para o b t £
n e r en donde s e e n c o n t r a r a " A . 11 una i d e n t i d a d y en l a p a r t e
3
donde s e e n c o n t r a b a " I n " l a
i n v e r s a de " A . "
/A_1\
A h o r a como d i c h a i n v e r s a
fórmula
.
a d j (A. )
1 _
iJ
Adj
(A. ) =
•J
A 71
ij
pudo s e r e n c o n t r a d a t a n b i e n por l a
por l o que d e s p e j a n d o t e n d r e m o s .
1A lo cual
• iJ
de " I n " un p a s o a n t e s de d i v i d i r
t e n i a m o s la a d j u n t a de A. .
'J
nos
i n d i c a que en l a
e n t r e el
-
posición
determinante
de A.
J