Tema 3

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Diapositiva 1
Matemática Financiera
TEMA 3
SISTEMAS FINANCIEROS
1. Sistemas financieros. Tipología
2. Capitalización Simple. Propiedades e interpretación
3.
4.
5.
6.
7.
financiera
Capitalización Compuesta. Propiedades. Tanto efectivo y
tanto nominal
Descuento simple comercial
Descuento compuesto
Comparación entre Capitalización Simple y Compuesta.
Comparación entre Descuento Simple Comercial y
Compuesto
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Matemática Financiera. Tema 3 – Sistemas financieros
1. Sistemas financieros. Tipología
- Sistemas Estacionarios
. Los resultados que se obtienen al utilizar distintas leyes de un
sistema estacionario dependen sólo de la amplitud del intervalo
de aplicación y no de donde esté situado el origen del tiempo
L(t ; p) = L(t + h ; p + h) ∀h
L(t ; p ) = L( z ) siendo z = p − t > 0
- Sistemas Sumativos
Los resultados de la aplicación sucesiva de leyes de un sistema
sumativo se acumulan en forma de suma. La suma de los
intereses acumulados correspondientes a dos intervalos
consecutivos es igual a la cuantía del interés acumulado
correspondiente al intervalo total.
I (t ; s ) + I ( s ; p ) = I (t ; p )
[L(t ; s) − 1] + [L( s ; p) − 1] = [L(t ; p) − 1]
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Diapositiva 3
Matemática Financiera. Tema 3 – Sistemas financieros
1. Sistemas financieros. Tipología
- Sistemas Multiplicativos
La aplicación sucesiva de leyes de un sistema multiplicativo
produce resultados que se acumulan en forma de producto.
La capitalización de la unidad monetaria en el intervalo total es
igual a la capitalización sucesiva en cada uno de los periodos.
L(t ; s ) . L( s ; p) = L(t ; p)
- Sistemas Unificables
Un sistema es unificable si existe al menos una solución suma
de capitales que no dependa de p, es decir válida para todas
las leyes del sistema.
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Matemática Financiera. Tema 3 – Sistemas financieros
1. Sistemas financieros. Tipología
- Sistemas Unificables.
n
∑ C L(t
s =1
s
s
; p ) = C L(τ ; p ) ∀p
El capital (C;τ) se denomina capital unificado, su cuantía es
sólo función de las cuantías de los capitales a unificar y el
vencimiento τ se denomina vencimiento único o común.
Todos los sistemas unificables admiten la solución media en la
que el vencimiento es
n
t1<τ <tn
siempre que
C = ∑ Cs
s =1
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2. Capitalización simple
Todo sistema de capitalización simple tiene la expresión
L(t ; p ) = 1 + i ( p − t ) con p > t e i > 0
Se trata de un sistema estacionario, sumativo y unificable con
solución única, la solución media.
Expresado en forma estacionaria
L( z ) = 1 + i ( z )
El valor del parámetro i, siempre asociado a la unidad de
tiempo, es lo único que diferencia un sistema de capitalización
simple de otro y su significado financiero es:
Tanto acumulado constante para cualquier intervalo de tiempo
µ (t1, t2) = i y tanto instantáneo acumulado para todo t
µ (t, p) = i
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3. Capitalización compuesta
Todo sistema de capitalización compuesta tiene la forma
L(t ; p) = e k ( p −t ) =e kz
con k > 0 , p > t , z = p − t > 0
o bien
L(t ; p ) = (1 + i ) ( p −t ) = (1 + i ) z
con i = e k − 1 > 0
Se trata de un sistema estacionario, multiplicativo y unificable
con infinitas soluciones.
Los parámetros k ó i
que caracterizan un sistema de
capitalización compuesta son dimensionados respecto del
tiempo.
Un cambio en la unidad de medida del tiempo en el sentido de
que los vencimientos se multipliquen por m implica
L(t ; p) = L(t.m ; p.m)
(1 + i ) ( p −t ) = (1 + i ')m ( p −t )de donde i ' = (1 + i )1/ m − 1
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3. Capitalización compuesta
Los parámetros i e i’ son equivalentes y están referidos a
distinta unidad de tiempo pero producen el mismo resultado al
aplicarse sobre el mismo capital y por idéntico periodo de
tiempo.
Todas las magnitudes derivadas ordinarias del sistema de
capitalización compuesta son constantes para intervalos de la
misma amplitud.
El significado financiero del parámetro k es el de tanto
instantáneo
∂ log e L(t ; p )
ρ (t ; p ) = −
= k = log e (1 + i )
∂t
El parámetro i es el rédito de capitalización para intervalos
unitarios i (t , t + 1) = i
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3. Capitalización compuesta
y también es el tanto efectivo de capitalización
ρ (t , t + 1) = i
El tanto efectivo es el tanto correspondiente a la unidad de
tiempo, en el resto de los casos se llama tanto nominal.
Cuando el periodo de capitalización es una fracción 1/m de
año, el rédito y el tanto tienen notaciones específicas muy
utilizadas en la práctica:
1
1
(m)
Rédito; i (t , t + ) = i
= (1 + i ) m − 1
m
Tanto nominal de frecuencia m
[
]
(m)
1
i
1
ρ (t , t + ) =
= (1 + i ) m − 1 m = i / m ) m = j( m )
m 1/ m
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4. Descuento simple comercial
Su expresión analítica es
A(t ; p) = 1 − d (t − p ) con t ≥ p
y d >0
Para identificar el sistema es necesario dar el valor numérico
del parámetro d y la unidad de tiempo a la que va referido.
Sus propiedades son análogas a las del sistema de
capitalización simple y ambos se utilizan habitualmente en las
operaciones financieras a corto plazo.
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5. Descuento compuesto
Sus propiedades y características son análogas a las del
sistema de Capitalización Compuesta.
Suele expresarse en función de tres parámetros que tienen
dimensión respecto al tiempo
A(t ; p ) = e − k ( t − p ) = (1 − d ) (t − p ) = (1 + i ) − / t − p )
donde:
¾ k es el tanto instantáneo.
¾ d es el rédito de descuento para intervalos unitarios y el
tanto efectivo de descuento.
¾ i es el rédito de contradescuento para intervalos unitarios y
el tanto efectivo de la capitalización compuesta equivlente.
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6. Comparación entre Capitalización Simple y Compuesta.
CAPITALIZACIÓN
Para 1.000 unidades de capital
y un rédito anual del 10%.
SIMPLE
0
1
2
3
4
5
6
7
M
E
S
E
S
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1.000,00
1.008,33
1.016,67
1.025,00
1.033,33
1.041,67
1.050,00
1.058,33
1.066,67
1.075,00
1.083,33
1.091,67
1.100,00
1.108,33
1.116,67
1.125,00
1.133,33
1.141,67
1.150,00
1.158,33
1.166,67
COMPUESTA
1.000,00
1.007,97
1.016,01
1.024,11
1.032,28
1.040,51
1.048,81
1.057,17
1.065,60
1.074,10
1.082,66
1.091,30
1.100,00
1.108,77
1.117,61
1.126,53
1.135,51
1.144,56
1.153,69
1.162,89
1.172,16
DIFERENCIA
0,00
0,36
0,65
0,89
1,05
1,16
1,19
1,16
1,06
0,90
0,67
0,37
0,00
-0,44
-0,95
-1,53
-2,17
-2,90
-3,69
-4,56
-5,50
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Matemática Financiera. Tema 3 – Sistemas financieros
C a p ita l co n s titu id o
6. Comparación entre Capitalización Simple y Compuesta.
1190
1180
1170
1160
1150
1140
1130
1120
1110
1100
1090
1080
1070
1060
1050
1040
1030
1020
1010
1000
Capitalización
Simple
C(1+in)
Capitalización
compuesta
C(1+i)^n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Duración (meses)
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6. Comparación entre Capitalización Simple y Compuesta.
Diferencia entre capitalización compuesta y
simple
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
-1
-2
Duración (meses)
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7. Comparación entre Descuento Simple Comercial y
Descuento Compuesto.
DESCUENTO COMPUESTO
DESCUENTO SIMPLE
COMERCIAL
Descuento
compuesto