Cap.3: Análisis Vectorial

Llamamos coordenadas rectangulares del punto P al par ordenado (x; y) que identifica cada punto del
plano cartesiano, donde «x» e «y» se llaman abscisa y ordenada de P respectivamente. (Fig. 3.1.2)
3.1
Descomposición Vectorial
El lenguaje es un ingrediente esencial del pensamiento abstracto. Es difícil pensar fácil y claramente sobre conceptos abstractos y complejos en
un lenguaje que no posee las palabras adecuadas
para tales conceptos.
En este sistema de referencia se ha establecido la siguiente correspondencia: « A todo punto P del plano
le corresponde un par ordenado (x; y) de números reales y a cada par ordenado (x; y) de números reales
un punto P de dicho plano ». Un punto P de abscisa «x» y ordenada «y» se puede denotar como (x; y) o
P(x; y).
Llamaremos cuadrante, denotado por C, a cada una de las cuatro regiones que determinan los ejes de
coordenadas sobre el plano xy. Estos cuadrantes se numeran en sentido antihorario. Los puntos en cada
cuadrante presentan coordenadas con signos según como se indica en la Fig. 3.1.3a.
Para expresar nuevos conceptos científicos se inventan nuevas palabras que se añaden a los idiomas modernos. Muchas de estas palabras proceden de raíces
griegas o latinas. Así, por ejemplo, vector en español
es vector en inglés, vecteur en francés, Vektor en alemán y BEKTOP (pronúnciese «vector»), en ruso. En
los caminos se utilizan para indicar direcciones.
3.1.1. Definiciones fundamentales
Muchos aspectos de la física tratan, de una forma u otra, de posiciones en la recta, plano o espacio. Por
ejemplo la descripción matemática del movimiento de un objeto requiere de un método para describir
la posición de dicho objeto. Entonces, es necesario que primero se discuta cómo se describe la posición
de un punto en el espacio, lo cual se efectúa por medio de coordenadas.
3.1.1A. Sistema Coordenado de Referencia
Un Sistema Coordenado de Referencia es un conjunto de objetos matemáticos como rectas, puntos,
ángulos y números reales que permiten especificar un lugar en forma precisa y única.
Llamaremos eje a la recta sobre la cual se ha elegido una dirección positiva (Fig. 3.1.1). Generalmente la
dirección positiva en un eje horizontal es de izquierda a derecha o simplemente hacia la derecha.
A2. Sistema de coordenadas polares
Si en lugar de conocer las coordenadas rectangulares de P se conocieran su distancia r al origen O y el
ángulo q medido en sentido antihorario que forma OP respecto de una recta de referencia, habríamos establecido un Sistema de Coordenadas Polares, en donde las coordenadas de P son (r; q). (Fig. 3.1.3b).
Para relacionar las coordenadas rectangulares de P(x; y) con sus coordenadas polares P(r; q), según la
Fig. 3.1.4, definimos las siguientes Razones Trigonométricas (R.T):
sen q =
y
r
;
cos q =
x
r
;
tan q =
y
x
Cuyos términos verifican las siguientes relaciones:
i) x 2 + y 2 = r 2 ii) sen2 q + cos2 q = 1 iii)
A1. Sistema de coordenadas rectangulares
El Sistema de Coordenadas Rectangulares o Sistema de Coordenadas
Cartesianas, es un sistema coordenado de referencia formado por
dos rectas numéricas perpendiculares llamadas Ejes de coordenadas
rectangulares que se trazan perpendicularmente entre sí, de modo
que sus orígenes coincidan en un punto llamado Origen de coordenadas u Origen del Sistema Coordenado. A la recta horizontal la
llamaremos « eje x » y a la recta vertical «eje y». El plano sobre el cual
están los ejes se llama plano de coordenadas rectangulares o plano
cartesiano o plano xy.
44 Física
sen θ
= tan θ
cos θ
()
y
Nota.- La propiedad (i) es conocida como Teorema de Pitágoras. La expresión θ = tan-1
, significa
x
que: q es el ángulo cuya tangente vale y/x.
Ejemplo.- Sea el punto P(-12; -5), se pide determinar sus coordenadas polares.
Graficamos el punto y aplicamos la propiedad (i):
r 2 = (-12)2 + (-5)2 = 169 → r = 13
En seguida determinamos el ángulo direccional así:
tan θ =
-5
5
→ q = 202º \ P(13; 202º)
=
-12 12
Und. 3 Análisis Vectorial
45
3.1.1B. Clases de sistemas coordenados rectangulares
Los sistemas coordenados rectangulares pueden ser unidimensionales (Fig. 3.1.5a), bidimensionales
(Fig. 3.1.5b) o tridimensionales (Fig. 3.1.5c), según empleen una, dos o tres ejes coordenados perpendiculares entre sí.
Si el movimiento de una partícula se realiza a lo largo de una recta es preferible emplear un sistema
unidimensional, si se mueve en el plano será mejor emplear un sistema bidimensional y si se mueve
en el espacio es necesario emplear un sistema tridimensional. En cada caso la posición de un punto se
especifica por medio de coordenadas (x), un par ordenado (x; y) o una terna ordenada (x; y; z) respectivamente. El eje z se llama eje de cotas.
3.1.3. Propiedades de los vectores
3.1.3A. Notación vectorial
En general la expresión A se lee vector A, y las expresiones A o A denotan la magnitud o módulo del
vector A.
La magnitud de un vector se define mediante un número no negativo (A ≥ 0) y una unidad de medida,
de modo que su notación polar resulta: A = (A; q).
Ejemplo.- El desplazamiento del ejemplo anterior se puede denotar como d y su módulo como
d = 50 m . Obsérvese que este valor sólo depende del triángulo rectángulo formado y es completamen
te independiente de la dirección L en que se encuentra. En coordenadas polares se denota así:
d = (50 m; 53º) (Ver Fig. 3.1.6)
3.1.3B. Representación gráfica de vectores
Un segmento dirigido es un segmento de recta limitado por los puntos A y B, en el que se ha convenido cuál de estos puntos es el origen cuál es el extremo. [Problemas de Geometría Analítica, Klétenik,
Ed. Mir, 1986]
3.1.2. Escalares y vectores
3.1.2A. Definición de escalar
Se llama escalar, o cantidad escalar, a la cantidad física que se especifica totalmente por su magnitud,
que consta de un número y si es el caso de una unidad física. [Física, Giancoli, Ed. Prentice Hall, México,
1997]
Ejemplo.- Son escalares: la distancia entre la tierra y la luna (1,5 · 1011 m), la masa de una manzana
(0,1 kg), la temperatura de nuestro cuerpo (310 K), o simplemente 20; -35; ... etc.
Nota.- Los escalares se operan del mismo modo que los números reales. Por ejemplo si tenemos que
mezclar 23 kg de cemento, 45 kg de arena y 12 kg de agua, se obtiene una mezcla de:


El segmento dirigido con origen en «A» y extremo en «B», se denota como AB . A todo segmento dirigido
se le atribuye dos características: dirección y magnitud.
a)La dirección está definida por la forma cómo nos dirigimos desde el origen hacia el extremo.
b)La magnitud, denotada por AB, viene dada por la distancia entre A y B tomada con signo positivo (+) o
negativo (–), si su dirección coincide o es contraria, respectivamente, con la dirección positiva del eje.




La longitud de AB , denotada por AB , es un número positivo y
viene dada por el valor absoluto de
su magnitud. En la Fig. 3.1.7a se muestra el segmento dirigido AB cuya orientación coincide con la
dirección positiva del eje horizontal de referencia.
Obsérvese que las magnitudes de los segmentos dirigidos de la Fig. 3.1.7b tienen un signo (+) o (–) según
que la orientación del segmento dirigido coincida o no, respectivamente, con la dirección positiva del eje.
Por otro lado, las longitudes de los segmentos dirigidos, como PQ y RS, son siempre de signo positivo.
23 kg + 45 kg + 12 kg = 56 kg
3.1.2B. Definición de vector
Se llama vector, o cantidad vectorial, a la cantidad física que se especifica totalmente por su magnitud
y una dirección. [Física Clásica y Moderna, Gettys y otros, Ed. McGraw Hill, Madrid, 1993]
Ejemplo.- Supongamos que una persona se ha desplazado entre dos
puntos: desde A hacia B. Primero se desplazó hacia el este 30 m y
luego hacia el norte 40 m.
(30 )2 + ( 40 )2 = 50 ; tan θ = 40 → q = 53º
30
Entonces su desplazamiento fue de 50 m de A hacia B en la dirección
indicada por el eje L, cuya inclinación con el eje AE forma el ángulo
q = 53º. Así, el desplazamiento es un vector que está totalmente especificado por su magnitud: 50 m, y por su dirección E53ºN.
Obsérvese que:
46 Física


La representación geométrica de un vector es un segmento dirigido, tal que, si V es un vector y AB es el
segmento dirigido que lo representa, entonces ellos se relacionan según la fórmula de graficación:

V = k ⋅ AB
donde k, llamado factor de escala, es un número positivo expresado en unidades de la cantidad física V
por unidad de longitud. Cuando k = 1, el módulo del vector coincide con la longitud del segmento.
Und. 3 Análisis Vectorial
47
Ejemplo.- Grafiquemos los segmentos dirigidos de los vectores fuerza F 1 = (60 N; 37º) y F 2 = (90 N; 120º), donde N es
el símbolo de la unidad de fuerza llamada newton, que definiremos más adelante, utilizando el factor k = 15 N/cm.
Aplicando la fórmula de graficación, se tiene:

i) F1 = k ⋅ OA → 60 N = 15


ii) F 2 = k ⋅ OB → 90 N = 15

N 
⋅ OA → OA = 4 cm
cm



N 
⋅ OB → OB = 6 cm
cm
La dirección de cada vector está definida por la dirección
del segmento dirigido que lo representa (Fig 3.1.8).
Observaciones:
1ra. Si se conoce la dirección positiva de un eje, la dirección de un vector paralelo a él viene dado por
el signo que se antepone a su magnitud. El signo (+) o (–) de la magnitud del vector indica que éste se
orienta en la dirección positiva del eje o en dirección contraria respectivamente. En la Fig. 3.1.9a los
vectores F 1 y F 2 se denotan algebraicamente así: F1 =+120 N y F2 = -150 N.
Ejemplo.- Si F1 = (48 N; q) y F 2 = ([60 − x ]N; 150º ) son dos vectores fuerza iguales, calculemos q y x.
Sabiendo que F1 = F2 , por definición de igualdad de vectores se debe cumplir que:
i)
F1 = F 2 → 48 = 60 – x → x = 12
ii) F1 ↑↑ F 2 → q = 150º
3.1.4. Descomposición de vectores
3.1.4A. Componentes vectoriales de un vector en el plano
Son cada una de las proyecciones de un vector sobre dos ejes concurrentes, cuyos segmentos dirigidos
están definidos por las intersecciones entre las paralelas trazadas por su origen y extremo, con cada
eje.




Sea V un vector y AB un segmento dirigido tal que V = k ⋅ AB . Sean L1 y L2 , dos ejes concurrentes, en
A. Las proyecciones V1 y V2 son las componentes vectoriales del vector V sobre L1 y L2 , representadas
 


por AB1 y AB2 , son tales que V 1 = k ⋅ AB1 y V 2 = k ⋅ AB2 , donde BB1 P L2 y B2B P L1 . En la Fig. 3.1.11
se muestran las tres posibles proyecciones de un vector V sobre dos ejes no paralelos.
2da. Al considerar el factor de escala k = 1, logramos que el módulo de un vector V concuerde con la




longitud del segmento dirigido AB que lo representa: V = AB . Con esta condición podemos aplicar
las propiedades geométricas y trigonométricas a los vectores.
3ra. Si los vectores A y B tienen la misma dirección se llaman Vectores Codirigidos y se denota así:
A ↑↑ B (Fig. 3.1.9b). Si los vectores A y B tienen direcciones opuestas se llaman Vectores Contrariamente
Dirigidos y se denota así: A ↑↓ B (Fig. 3.1.9c).
Notas.- Las expresiones BB1 P L2 y B2B P L1 se leen como: el segmento BB1 es paralelo al eje L2 y el
segmento B2B es paralelo al eje L1, respectivamente.
3.1.4B. Componentes escalares de un vector
Se llaman componentes escalares de un vector a las magnitudes de sus componentes vectoriales.
{Componente escalar} = {Signo}{Módulo de la componente vectorial}
3.1.3C. Igualdad de vectores
Dos vectores A y B son iguales, denotado como A = B, si ambos tienen el mismo módulo y la misma
dirección. (Fig. 3.1.10)
Si A = B →
48 Física
 A = B

 A ↑↑ B
El signo se elige según la dirección que posee la componente respecto de la dirección positiva del eje
sobre el que descansa. En adelante las Componentes Vectoriales de V se denotan por V 1 y V 2 y sus
Componentes Escalares como V1 y V2 . El proceso mediante el cual se determinan las componentes,
vectoriales o escalares, de un vector se llama descomposición o resolución de un vector.
Ejemplo 1.- Determinemos las componentes escalares de F = (80; 53º) sobre dos ejes: uno horizontal y
el otro formando 113º con el primero.
Und. 3 Análisis Vectorial
49




Sean L1 y L2 los ejes y hagamos que F = k ⋅ AB , F1 = k ⋅ AB1 y F2 = k ⋅ AB2 . Construimos el paralelogramo AB1BB2 (Fig. 3.1.12), completamos ángulos y aplicamos la Ley de Senos:
3.1.4C Componentes rectangulares de un vector
Se llaman componentes rectangulares de un vector a los vectores que corresponden a sus proyecciones
sobre dos ejes que forman ángulo recto, llamados ejes rectangulares.
Si x e y son los ejes rectangulares entonces, las componentes rectangulares de V son Vx y Vy ubicados
respectivamente en cada uno de esos ejes. En la Fig. 3.1.13 se muestran todas las posibles descomposiciones rectangulares de un vector V en el plano cartesiano xy.









AB1
BB1
k ⋅ AB1 k ⋅ AB2
AB
k ⋅ AB
→
=
=
=
=
sen 67º sen 60º sen 53º
sen 67º sen 60º sen 53º
→
80
F1
F
F
F1
F2
=
= 2 \
→
=
=
0,92 0,866 0,8
sen 67º sen 60º sen 53º
F1 = 75, 3 y F 2 = 69, 6
Observación.- En adelante, y para todos los casos de descomposición vectorial, consideraremos que el
factor de escala es k = 1.
Ejemplo 2.- En la figura se muestra un sistema formado por
dos fuerzas cuyos módulos son 500 N y 600 N aplicados
sobre una ménsula A. Si se sabe que estas fuerzas son las
componentes de un vector fuerza F, se pide determinar:
Para obtener las componentes escalares rectangulares Vx y Vy de las componentes Vx y Vy se aplican las
R.T seno y coseno del ángulo de referencia qR que forma el vector V con el eje x, tales que:
Vx = ±V cos qR ; Vy = ±V sen qR
a)¿Cuál es la medida de q para que F quede ubicado a lo
largo de la dirección x?
donde V es el módulo de V y los signos (+) o ( – ) se eligen según la orientación que poseen las componentes rectangulares respecto de la dirección positiva del eje al cual pertenecen.
b)¿Cuál es el valor de F ?
Ejemplos.- Determinemos las componentes escalares rectangulares de los siguientes vectores:
a) Para resolver este caso elaboramos un esquema en donde queden indicados el vector F y sus respectivas componentes F1 y F2 aplicando para ello la construcción del paralelogramo correspondiente.
a) F = (250; 127º)
A continuación elegimos el triángulo inferior para señalar en él los ángulos dados así como el valor de
las medidas de dos de sus lados. De este modo podemos aplicar la Ley de los Senos de manera que:
600
500
1
=
→ sen θ =
sen 37º sen θ
2
∴ θ = 30º
b) Ahora, para determinar el módulo de F aplicaremos la Ley de los Cosenos en el triángulo indicado:
2
2
2
500 = F + 600 − 2 ⋅ F ⋅ 600 ⋅ cos θ
Reemplazando el valor de q calculado en el paso
anterior y resolviendo, se obtiene:
\
50 Física
F = 919 N
Elaboramos un diagrama para ubicar el ángulo direccional de 127º e indicar
las componentes. Asimismo es necesario reconocer que el ángulo de referencia mide 53º. Aplicando las fórmulas de las componentes escalares rectangulares y teniendo en cuenta la orientación de cada componente, se tiene:
Fx = -250 · cos 53º → Fx = -150
Fy = +250 · sen 53º → Fy = +200
b) E = (300; 240º)
Procediendo como en el caso anterior, graficamos y deducimos que el ángulo de referencia mide 60º. Luego se tiene que:
Ex = -300 · cos 60º → Ex = -150
Ey = -300 · sen 60º → Ey = -150 3
Und. 3 Análisis Vectorial
51
A1
A
=
sen 30 º sen 106 º
Prob. 01
nar la posición del componente V2 . Veamos:
Determina las componentes de A = (20; 40º) sobre
las rectas cuyas direcciones forman 24º y 77º con
el eje horizontal.
Considerando que sen 106º = sen 74º = 24/25,
reemplazamos datos se obtiene:
12 , 5 = A
1
24
2
25
\ A = 24
Prob. 04
Las componentes A1 y A2 de un vector A forman
entre sí un ángulo de 53º. Si A = 14 , determinar
el módulo de A2 para que A forme 37º con A1 .
Elaborando la descomposición vectorial según
los datos del problema, se tiene:
Aplicando la Ley de los Cosenos en el triángulo
resaltado, tendremos:
2
2
2
V2 = 18 + 30 − 2 ⋅ 18 ⋅ 30 ⋅ cos 53º
\
V2 = 24
Debemos reconocer que el mínimo vector que se
puede trazar entre las paralelas L1 y L3 es aquel
cuyo segmento dirigido resulta ser perpendicular a la recta L3. Luego:
Elaborando la gráfica del vector A y sus componentes vectoriales A1 y A2, según los datos del
problema, se tiene:
Nota.- La componente V2 no es horizontal.
Fijando nuestra atención en el el triángulo cuyos
ángulos se han determinado, aplicamos la Ley
de Senos:
A1
A2
A
=
=
sen 37 º sen 16 º sen 127 º
Considerando que sen 127° = sen 53° = 4/5, reemplazamos datos y se obtiene:
A1 A2 20
= 7 = 4
3
5
\
25
5
Prob. 03
Elaborando la gráfica del vector A y sus componentes vectoriales según los datos del problema,
se tiene:
A1 = 15 ∧ A2 = 7
14 = A2
7
3
Sabiendo que V1 y V2 son las componentes del vector V, se pide determinar el módulo de la componente V 2 si además se sabe que V = (18; 83º) y
V 1 = (30; 0º).
52 Física
Fijando nuestra atención en el triángulo cuyos
ángulos se han determinado, aplicamos la Ley
de Senos:
A1
A2
=
sen 16 º sen 37 º
Considerando que sen 16º = 7/25 , reemplazamos datos y se obtiene:
Prob. 02
Elaborando un esquema de los vectores según
los datos, en notación polar, logramos determi-
Ya que el triángulo rectángulo indicado es notable se establece que:
Las componentes de un vector A forman 74º entre
sí. Si además el vector dado forma 44º con la componente cuyo módulo es 12,5; ¿cuál es el módulo
de A?
25
5
A1 = 20 ⋅ tan 37 º = 15 → A1 = +15
A2 = 20 ⋅ sec 37 º = 25 → A2 = -25
Prob. 06
Una cesta se puede sostener, en la forma mostrada, mediante una fuerza vertical F = 210 N . Se
pide calcular el módulo de sus componentes vectoriales ubicadas en la dirección AB y BC.
\ A = 24
Prob. 05
Fijando nuestra atención en el triángulo cuyos
ángulos se han determinado, aplicamos la Ley
de Senos:
Determinar las componentes escalares del vector
A ubicadas sobre las direcciones L1 y L2 . Se sabe
que A es el menor vector que se puede instalar entre las rectas L1 y L3 .
Und. 3 – Análisis Vectorial
53
Prolongando, hacia arriba, la dirección de AB
podemos realizar la descomposición vectorial
del vector F dado.
Luego, del triángulo rectángulo notable indicado, procedemos a calcular los módulos de los
vectores componentes así:
FAB = 210 ⋅ csc 60 º = 210 ⋅ 2
3
\ F AB = 140 3 N
\
F BC = 210 ⋅ cot 60 º = 210 ⋅ 1
3
F BC = 70 3 N
Prob. 07
Determine el ángulo q de la fuerza de 600 N de tal
manera que cuando la fuerza se descomponga en
dos componentes actuando sobre las barras AB y
AC, la componente a lo largo de AC sea de 500 N
dirigida de «A» hacia «C». ¿Cuál es el módulo de
la fuerza componente actuando a lo largo de AB?
sobre la dirección AC es conocida tanto en módulo como en dirección. Veamos:
Obsérvese que las medidas de los ángulos en
«A» se han establecido mediante las propiedades geométricas referidas a ángulos determinados entre paralelas. Asimismo, la medida del
ángulo en el vértice inferior (74º) se ha calculado
mediante la propiedad referida a la suma de ángulos en un triángulo.
Ahora aplicamos la Ley de los Senos en el triángulo indicado:
F AC
F
=
(
sen 60 º − θ ) sen 74 º
500
= 600
24
sen ( 60 º − θ )
25
sen ( 60 º − θ ) = 4
5
Identificando los ángulos de referencia para
cada vector fuerza, procedemos a descomponer
rectangularmente.
Aplicando las fórmulas conocidas para las componentes rectangulares y teniendo en cuenta la
dirección de cada una, se obtiene:
En base a las fórmulas conocidas para las componentes en el eje «x» y teniendo en cuenta la
dirección de cada una, se obtiene:
Fx = -600 2 ⋅ cos 45º → Fx = -600 N
Tx = -500· cos 37º → Tx = -300 N
Finalmente nos piden:
∑Vx = Fx + Tx = -600 − 300
→ 60º – q = 53º \ q = 7º
\
∑ Vx = -900 N
Prob. 08
Prob. 09
→
Calcular la suma de las componentes rectangulares
escalares ubicadas a lo largo del eje x de las dos
fuerzas actuantes sobre el extremo de la ménsula.
a) Para este caso las direcciones x’ – y’ forman
90º, luego se trata de una descomposición rectangular en la que los ejes se encuentran girados.
Fx’ = 200· cos 60º → Fx’ = 100 N
Fy’ = 200· sen 60º → Fy ' = 100 3 N
b) Para este nuevo caso las direcciones x’ – y forman 120º, luego se trata de una descomposición
no rectangular y el proceso de descomposición
se hará construyendo un paralelogramo.
Determinar las componentes de la fuerza F = 200 N
en las direcciones:
a) x’ – y’
b) x’ – y
Luego las componentes de la fuerza resultan tener la misma magnitud:
Tal como se procedió en el ejercicio anterior
prolongamos, hacia arriba, la dirección de AB.
A continuación reconocemos que la componente
54 Física
Completando los ángulos en el triángulo superior descubrimos que éste, por tener sus tres ángulos interiores congruentes, es equilátero.
Fx’ = 200 N ∧ Fy = 200 N
Und. 3 – Análisis Vectorial
55
3.2
3.1. Descomposición Vectorial
01.- Un vector tiene un módulo igual a 20 y forma con el menor de sus componentes vectoriales
un ángulo de 53°. Determinar los módulos de cada
componente si están en la proporción de 3 a 4.
06.- Al descomponer un vector de módulo igual a
25 resulta que éste forma 74º con la componente
de módulo igual a 31. ¿Cuál es el módulo de la
segunda componente?
A) 12 y 16
B) 8 y 20
A) 7
B) 24 2 D) 6 y 18
E) 7 y 20
D) 12
E) 76
C) 12 y 15
02.- Las componentes vectoriales de un vector, de
módulo igual a 20, forman un ángulo de 53º. Si el
vector dado forma con la menor de sus componentes un ángulo de 37º, se pide calcular el módulo de
cada componente.
A) 6 y 10
B) 9 y 12
D) 16 y 12
E) 7 y 15
C) 10 y 12
C) 12
07.- La fuerza vertical F actúa hacia abajo en «A»
sobre la armadura de dos miembros. Determine
los módulos de las dos componentes de F dirigidas a lo largo de los ejes de AB y AC. Considere
3.2.1. Métodos gráficos de composición vectorial
3.2.1A. Definición
Los métodos gráficos de composición vectorial son procesos de dibujo que se sustentan en el tratamiento de los vectores a partir de los segmentos dirigidos que los representan.
C) 310 N
A) 37º
B) 60º
D) 53º
E) 30º
08.- El anillo indicado está sujeto a la acción de
una fuerza F cuyas componentes son F1 y F2. Si se
requiere que esta fuerza tenga un módulo de 1 kN y
esté dirigida verticalmente hacia abajo, determine
el módulo de F1 cuando F 2 es mínimo.
A) 40
B) 60 3 D) 40 3 E) 60
C) 45
A) 74º
B) 30º
D) 37º
E) 53º
56 Física
D) 250 3 N
E) 400 N
A) 300 3 N
C) 45º


AB2 . El vector suma o resultante de estos vectores, denotado por


R = V1 + V2 , es el vector representado por AB , tal que BB1 P AB2 y
E) 666, 7 3 N
B2B P AB1 . [Álgebra Vectorial, Reznichenko, Editorial Mir, 1985, Moscú].
CLAVES
02
E
3.2.1C. Adición de vectores
Sean los vectores V1 y V2 no colineales, representados por AB1 y
C) 500 3 N 01
A
3.2.1B. Vectores colineales
Dos o más vectores se llaman colineales si sus direcciones son paralelas a una misma recta.
C1. Método del paralelogramo
B) 300 N
D) 400 N
05.- Se sabe que A1 = 5 y A2 = 1 son las magnitudes de las componentes de un vector A. Determinar
el ángulo que forman las componentes si el vector
dado forma 8º con la componente A1.
Gibbs tenía una tendencia muy marcada a usar un
único símbolo para representar un objeto matemático que estuviese formado por varias cantidades,
como ocurre con los vectores. El trabajo más importante de Gibbs fue sobre termodinámica y mecánica
estadística. A la muerte de Maxwell, se comentaba
que sólo una persona (Maxwell) pudo entender el
trabajo de Gibbs y ahora estaba muerto.
A) 180 N
03.- ¿Qué ángulo forman las componentes de un
vector si se sabe que ellas poseen la misma magnitud y además el módulo del vector dado es 3
veces el de sus componentes?
04.- Las componentes de un vector A están ubicadas sobre dos direcciones que forman 120º. Si la
mayor de las componentes tiene por módulo 80, y
el vector dado es perpendicular a la segunda componente, ¿cuál es el valor de A ?
La mayor parte de la notación vectorial que utilizamos en la actualidad puede ser atribuida a
Josiah Willard Gibbs (1839 - 1903).
F = 480 N .
B) 200 2 N
C) 45º
Composición Vectorial
03
B
04
D
05
C
06
B
07
D
08
E
La adición de vectores es el proceso inverso de la descomposición
vectorial. Obsérvese en la Fig. 3.2.2 que los segmentos dirigidos de
los vectores que se suman tienen el mismo origen «A», que es el origen del vector resultante R. Finalmente la magnitud y dirección del
vector resultante se obtienen con regla y transportador.
Und. 3 Análisis Vectorial
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