2007 - Universidad de los Andes

MATE1214 -Calculo Integral
Parcial -2
Duración: 60 minutos
1. Encuentre la longitud del arco de la curva y = x3/2 comprendido
entre los puntos (1, 1) y (4, 8).
2. Encuentre el área de la superficie de revolución
obtenido al girar
√
2
un lazo de la curva y = 4x, 0 ≤ x ≤ 2 en torno del eje y.
3. Un cultivo tiene una cantidad inicial N0 de bacterias. Cuando t =
1 hora, la cantidad medida de bacterias es 23 N0 . Si la razón de
reproducción es proporcional a la cantidad de bacterias presentes,
calcule el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial de los
microorganismos.
4. Halle la solución de la ecuación diferencial:
xdy + (y − ex )dx = 0.
1
Calculo Integral
Parcial 2
1. Encuentre el centro de masa de la lamina delimitada por y = sin x, y =
cos x, x = 0 y x = π4 .
2. El campo direccional de la ecuacion
(a)
dP
dt
= 4P (1 −
P
8)
es
10
8
6
y(t)
4
2
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.6
0.8
1
t
(b)
10
8
6
y(t)
4
2
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
t
1
2
(c)
10
8
6
y(t)
4
2
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
3. Solucione las ecuaciones diferenciales
(a)
dy
dt
= tey , y(1) = 0
(b) xy 0 + y = y 2 , y(1) = −1
3
(c) t dy
dt − 2y = t , t > 0, y(1) = 0
4. Un tanque contiene 1000 L de agua salada conteniendo 15 kg de sal. Agua
pura entra al tanque a una taza de 10 L/min. La solucion se mantiene
bien mezclada, y es drenada del tanque a la misma taza. Cuanta sal hay
en el tanque despues de t minutos?
5. Sea P la cantidad de bacterias en una poblacion. Suponga que para una
constante k,
dP
= kP
dt
en todo momento. Si la poblacion inicial es de 200, y despues de 1.5 horas
hay 800 bacterias, cuantas hay dentro de 3 horas?
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES - DEP. DE MATEMÁTICAS
Segundo Parcial de Cálculo Integral
NOMBRE:
CÓDIGO:
SECCIÓN (marque la suya!):
Prob. 1
Prob. 2
Prob. 3
MARIANA
Prob. 4
LAURA
Prob. 5.
LUIS
Bono
JUAN DAVID
NOTA
INSTRUCCIONES: Resuelva las preguntas 1, 2, y 3. Escoja una pregunta adicional (4
ó 5). Si no indica cuál, se calificará la 4. Recuerde que sin desarrollo sus respuestas no valen.
Devuelva esta hoja y todas las que haya utilizado. Respete el juramento uniandino: cualquier
caso de fraude será reportado. ¡Buena suerte!
PREGUNTAS
BONO: (2 puntos): Quiero que me califiquen los problemas 1, 2, 3, y
1. (12 pts) Resuelva el problema de valores iniciales
(y 2 + 1)sec(x) + 2yy 0 csc(x) = 0,
y(0) =
√
”.
e − 1.
Puede dejar su solución en forma implı́cita, para simplificar cálculos.
2. Encuentre la solución general de las ecuaciones siguientes. Asuma x > 0:
(a) (9 pts) xu0 + u = ln(x).
(b) (4 pts) xy 00 + y 0 = ln(x).
3. Encuentre el área de la superficie que resulta al rotar:
(a) (9 pts) La curva y = x2 , para 0 ≤ x ≤ 2, con respecto al eje y.
(b) (4 pts) La curva y = x2 − 6x + 9, para 3 ≤ x ≤ 5, con respecto a la recta x = 3.
Le sugerimos que haga el dibujo!
4. En condiciones naturales (es decir, sin enemigos), la población de mosquitos en cierta
región del Amazonas crece de manera proporcional a la población actual. De hecho, la
población se duplica cada semana.
(a) (8 pts) Suponga que la población inicial de mosquitos era de 200 millones. Encuentre la función P (t) que da la población de mosquitos en el tiempo t.
(b) (4 pts) Ivancito ha ido a acampar al Amazonas y está desesperado con los mosquitos.
Él logra matar 1000 moscos por semana con un insecticida. Suponiendo que la constante de proporcionalidad k es la misma de la parte (a), plantee y resuelva una
ecuación diferencial cuya solución da la población de mosquitos en el tiempo t bajo
estas nuevas circunstancias.
5. (12 pts) Encuentre la ecuación de una curva que pase por (4, 12) y que cumpla que
para todo punto P = (x, y) sobre la curva, el área del triángulo formado por:
- la recta tangente a la curva en P ,
- el eje x
- la recta vertical que pasa por P
es xy. Puede asumir que x > 0, y > 0, y 0 > 0. Ayuda: Vea el dibujo en el tablero.
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES - DEP. DE MATEMÁTICAS
Segundo Parcial de Cálculo Integral
NOMBRE:
CÓDIGO:
SECCIÓN (marque la suya!):
Prob. 1
Prob. 2
Prob. 3
MARIANA
Prob. 4
LAURA
Prob. 5.
LUIS
Bono
JUAN DAVID
NOTA
INSTRUCCIONES: Resuelva las preguntas 1, 2, y 3. Escoja una pregunta adicional
(4 ó 5). Si no indica cuál, se calificará la 4. Recuerde que sin desarrollo sus respuestas no
valen. Sea ordenado. Devuelva esta hoja y todas las que haya utilizado. Respete el juramento
uniandino: cualquier caso de fraude será reportado. ¡Buena suerte!
PREGUNTAS
BONO (2 puntos): Quiero que me califiquen los problemas 1, 2, 3, y
1. (13 puntos) Resuelva el problema de valores iniciales
(y 2 + 2)csc(x) − 2yy 0 sec(x) = 0,
y(π/2) =
√
”.
e − 2.
Puede dejar su solución en forma implı́cita.
2. Encuentre la solución general de las ecuaciones siguientes. Asuma x > 0:
(a) (9 pts) xu0 + u = ln(x).
(b) (4 pts) xy 00 + y 0 = ln(x).
3. Encuentre el área de la superficie que resulta al rotar:
(a) (9 pts) La curva y = x2 , para 0 ≤ x ≤ 1, con respecto al eje y.
(b) (4 pts) La curva y = x2 − 4x + 4, para 2 ≤ x ≤ 3, con respecto a la recta x = 2.
Le sugerimos que haga el dibujo!
4. En condiciones naturales (es decir, sin enemigos), la población de mosquitos en cierta
región del Amazonas crece de manera proporcional a la población actual. De hecho, la
población se duplica cada semana.
(a) (8 pts) Suponga que la población inicial de mosquitos era de 100 millones. Encuentre la función P (t) que da la población de mosquitos en el tiempo t.
(b) (4 pts) Ivancito ha ido a acampar al Amazonas y está desesperado con los mosquitos.
Él logra matar 3000 moscos por semana con un insecticida. Suponiendo que la constante de proporcionalidad k es la misma de la parte (a), plantee y resuelva una
ecuación diferencial cuya solución da la población de mosquitos en el tiempo t bajo
estas nuevas circunstancias.
5. (12 puntos) Encuentre la ecuación de una curva que pase por (9, 15) y que cumpla que
para todo punto P = (x, y) sobre la curva, el área del triángulo formado por:
- la recta tangente a la curva en P ,
- el eje x
- la recta vertical que pasa por P
es xy. Puede asumir que x > 0, y > 0, y 0 > 0. Ayuda: Vea el dibujo en el tablero.
Universidad de los Andes
Departamento de Matemáticas
MATE1214–Cálculo Integral
Taller — (17/09/2007) 1
1. En cuentre
el área de la superficie de revolución que se obtiene al girar la curva
√
y = 6x − x2 ; 1 ≤ x ≤ 3, alrededor del eje x
2. Un tanque con capacidad para 200 galones, contiene 100 galones de agua pura.
En el tiempo t = 0 se introduce una solución salina que contiene 0.5 libras de
sal por galón a una razón de 5 galones por minuto, la mezcla se mantiene uniformemente revolviéndola, y sale del tanque a razón de 3 galones por minuto.
Determine la cantidad de libras de sal que contiene el tanque en el momento
en el que está lleno?
dy
= y 2 (1 − y 2 ). Determine las
3. Considere la ecuación diferencial autónoma
dx
soluciones de equilibrio y su estabilidad, realice un diagrama mostrando el
comportamiento de las soluciones.
—————————————————————————————————Opcional
Demostrar que la ecuación y 0 = q(x) + p(x)y + r(x)y 2 se puede convertir en
una lineal de primer orden mediante la sustitución y = y1 (x) + z(x), donde y1
es una solución conocida.
1
El juramento del uniandino dice: “Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en
actos que pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas, o en cualquier otro
acto que perjudique la integridad de mis compañeros o de la misma Universidad”
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
SEGUNDO PARCIAL. CALCULO INTEGRAL
SEPTIEMBRE 25 DE 2007.
TEMA 1
1. Un depósito contiene 100 galones de salmuera en la que hay
disueltas 40 libras de sal. Se desea reducir la concentración de sal
hasta 0.1 libras por galón, y ello vertiendo en el depósito agua pura a
razón de 5 galones por minuto y permitiendo que la solución
homogenizada salga a razón de 4 galones por minuto, ¿cuánto
tiempo tardará en conseguirse el propósito?
2. Halle el centroide de una lámina homogénea que ocupa la región en
el primer cuadrante que está por encima de la recta x  y  1 y es
interior al círculo x 2  y 2  1.
3. Realice lo indicado:
a) Use la sustitución y  ux 2 , para resolver la ecuación diferencial
y 
2y
 y
 x tan 2 
x
x 
b) Calcule el área de la superficie del sólido generado al girar la
3
curva y  x 2 alrededor del eje y, para 0  x  1 .
TIEMPO: 50 MINUTOS
¡SUERTE!
Opcional
( x  1) y  e x y  xe x
“Si  (x) es la solución del problema de valor inicial 
,
y (0)  1

calcule  (0) y  (0) ”
Universidad de los Andes
Segundo Parcial Cálculo Integral, Septiembre 24 de 2007
Departamento de Matemáticas
1. Halle la longitud de un cable que cuelga entre x = -b y x = b si el cable toma la forma dada por la
 a
ecuación y  c  a cosh x
2. Halle el centro de masa de la región limitada por y = 1 y y = x2, si la densidad viene dada por d(x) = 1+x2.
3. Resuelva la ecuación
dy y  2 x

dx x  3 y
4. Resuelva la ecuación
dy
5
 5 y   xy 3 .
dx
2
MATE-1214 – PARCIAL II
27 de febrero de 2007
Por favor, conteste a las preguntas explicando claramente su respuesta. No se admite el uso
de libros, notas, calculadoras y teléfonos celulares. Las respuestas sin justificación no serán
tenidas en cuenta. Tiempo: 60’. ¡Buena suerte!
(1.) Resuelva la siguiente ecuación diferencial: xy 0 =
1/4
√
x − y.
(2.) Resuelva el siguiente problema de valor inicial donde A ∈ R es constante:


 dx = x + 1 ,
dy
Ax − 1


y(0)=1.
2/4
√
dy
(3.) Sea f (x) una solución de la ecuación diferencial dx
= 9x2 − 1 en el intervalo [4, 5]. Encuentre
la longitud de la curva de ecuación y = f (x) en ese intervalo.
3/4
√
(4.) El arco de curva de ecuación y = 2x entre los puntos de coordenadas (1, 4) y (2, 16) se hace
rotar alrededor del eje-y. Determine el área de la superficie obtenida.
4/4