uni dad 4 espacio bidimensional: cónicas

U NI DAD 4
ESPACIO BIDIMENSIONAL: CÓNICAS
Objetivos
Geometría analítica
Introducción
L
sección cónica
cónica
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
A B C D E
F
4.1. Circunferencia
Circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan
de un punto fijo, llamado centro, C(h,k). Radio (r). Es la distancia del centro a un
punto cualquiera de la circunferencia.
4.1.1. Ecuación de la circunferencia
139
Ecuación de una circunferencia
En general, cuando se considera el centro C(h, k) y el radio r , así como un
punto P(x, y) en la circunferencia como puede verse en la figura:
Por definición el segmento CP = r , además, la distancia entre los puntos C y
P analíticamente es:
r
Por lo tanto, la ecuación cartesiana de una circunferencia, cuando el centro
es un punto cualquiera del plano es (x – h)2 + (y – k)2 = r2, también conocida
como forma ordinaria de la circunferencia.
C(h,k
O
r
Y
(x y
r
0
140
X
Geometría analítica
P(x y
OP = r
2
2
x2 + y2 = r 2
r. r
ecuación de la circunferencia
r
r
Ejemplo 1
C
Solución
Ejemplo 2
Solución
k)
C(h,
r
C
r2 =
r
4.1.2. Ecuación general de la circunferencia
141
La ecuación de segundo grado Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, con
dos variables representa una cónica, pero en especial interesa que represente una
circunferencia, así que si se toma la ecuación ordinaria de la circunferencia, cuyo
centro es (h, k) y radio r se tiene que:
Desarrollando se obtiene:
x2 + y2 – 2hx –2ky+ h2 + k2 – r2 = 0, comparando con A x2 + Bxy + Cy2 + Dx
+ Ey + F = 0. Para que ambas ecuaciones representen una circunferencia se pide
que sean iguales, esto es, que los coeficientes de los términos del mismo grado
deben ser proporcionales, así que como una de ellas carece de término xy, resulta
que B = 0, además se tendrá:
A= C= 1, D= –2h, E= –2k y F= h2+ k2–r2
Entonces, para que una ecuación de segundo grado represente una
circunferencia se debe cumplir que carezca de término cruzado (xy); además de
que los coeficientes de A y C sean iguales y distintas de cero (A = C
Por lo tanto, Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 con A = C, es la ecuación de
una circunferencia en su forma general.
Ejemplo 3
C
Solución
142
r
Geometría analítica
Ejemplo 4
A= C
D
h E
k F=h2+k2–r 2
Solución:
,
C(h k
r =2
A= C=
D=
E=
A=C
h
F=
h
k
k
h2+k2–r 2
r =2
NOTA
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0,
A= C
A
2
2
143
D2+E2
D 2+E2
D 2+E2
F
F
F
4.1.3. Recta tangente a una circunferencia
recta es secante
recta es exterior
recta es tangente
Ecuación de la tangente a una circunferencia
Para resolver esta situación se aplica la propiedad de que la tangente es
perpendicular al radio que pasa por el punto de contacto P(x1, y1). Analíticamente
significa que la tangente y el radio deben tener pendientesnegativamente recíprocas.
A saber, si m es la pendiente del radio, la cual se obtiene de los puntos P y C,
entonces –1/m es la pendiente de la recta tangente a la circunferencia y por
consecuencia la ecuación de la tangente es (y – y1 = –1/m (x – x1 .
Ecuaciones de las tangentes a una circunferencia desde un punto exterior
Sea una circunferencia de radio r y centro C(h, k), y sea P( x1, y1) un punto
exterior a la circunferencia. La ecuación del haz de rectas que pasan por el punto
P( x1, y1) es (y – y1 = m (x – x1 , donde las tangentes a la circunferencia son todas
aquellas cuyas distancias al centro son iguales al radio. Esta condición permite
determinar la pendiente m de cada tangente.
Sea (y – y1) = m (x – x1) el haz de rectas, eliminando paréntesis tenemos
mx – y – mx1 + y1 = 0, tomando C(h, k) = (x, y) para calcular el radio r se utiliza
la ecuación de la distancia de una recta a un punto, así que
144
Geometría analítica
, después de sustituir los valores de h, k y r de la
circunferencia,
x
y
m
m
Ejemplo 5
x
y
Solución
r =2
x2 + y2
x + 2y
Ejercicio 1
C
r
145
C
r
4.2. Elipse
método
del jardinero.
punto a punto
graficar punto a punto
146
Geometría analítica
4.2.1. Definición y elementos de la elipse
Definición y elementos de la elipse
Se llama elipse al lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de
distancias a dos puntos fijos F y F’ es una cantidad constante, que se representa
por 2a, como se observa en la figura 4.2.
Se llaman focos a los puntos fijos F y F’; asimismo, la longitud se denomina
distancia focal = 2c.
El centro (O) de la elipse es el punto medio del segmento FF’.
Del triángulo MFF’ tenemos que la suma de los dos lados
asimismo el lado FF’ = 2c, ya que el lado 2 2 , entonces
,
.
Se llaman radios vectores a los segmentos MF y MF’ que unen un punto
cualquiera de la elipse con los focos.
Una cuerda es el segmento CC’ que une dos puntos cualesquiera de la elipse.
Asimismo, una cuerda que pasa por el centro, tal como DD’ , se denomina
diámetro.
147
Se le llama eje mayor o focal al diámetro que pasa por los focos y el eje
perpendicular a él es el eje menor o normal, y su longitud es 2b. En la figura, los
ejes mayor y menor se denotan por AA’ y BB’, respectivamente.
Vértices de la elipse se denomina a las intersecciones A, A’ del eje con la
curva.
Lados rectos (lr) de la elipse son llamadas las cuerdas EE’ y GG’ que pasan por
los focos y son perpendiculares al eje mayor.
Excentricidad de una elipse es la razón entre la semidistancia focal y el semieje
mayor
y se representa por e, y como a > c la razón es menor que la unidad.
NOTA: a medida que los focos se acercan al centro, la excentricidad disminuye
y la elipse se parece más a la circunferencia. Entonces, si la excentricidad es
igual a cero, c es cero, lo que indica que a = b y la elipse se convierte en una
circunferencia.
Principales propiedades de la elipse:
1. El eje mayor es igual a la cantidad constante 2a.
2. Los vértices equidistan de los focos.
3. Los ejes se cortan en su punto medio.
4. El cuadrado del semieje mayor a es igual a la suma de los cuadrados del semieje
menor b y de la semidistancia focal c. (a2= b2+ c2).
5. La excentricidad es siempre menor que la unidad.
4.2.2. Ecuación ordinaria de la elipse y cálculo de sus elementos
Ecuación cartesiana de una elipse de centro en el origen y cuyos ejes
coinciden con los ejes coordenados
148
Geometría analítica
Primer caso. Eje focal sobre el eje X. Sea una elipse de centro en el origen de
coordenadas, con focos F y F’ sobre el eje de las X, FF’ = 2c y eje mayor = 2a,
siendo a y c, números positivos, y a > c, figura 4.3.
Sea M(x, y) un punto cualquiera de la elipse.
La propiedad que caracteriza a los puntos de la elipse es:
(1)
Las coordenadas de F son (c, 0), las de F’ son (–c, 0) y las longitudes MF y MF’
son:
,
Expresando analíticamente la igualdad (1)
Esto es:
2
Entonces:
2
=
Dividiendo entre 4 se tiene:
149
Elevando nuevamente al cuadrado para desaparecer el radical y reduciendo, se
tiene:
De donde
De la propiedad 4 se deduce que
2 2
2 2
2 2
2
2
2
. Sustituyendo en (2), queda:
y dividiendo entre a2b2 resulta:
,...(a), que es la ecuación buscada.
Segundo caso. Eje focal sobre el eje Y. Si el eje focal coincide con el eje de
las Y, siguiendo un razonamiento análogo, se obtiene:
o sea
Designando siempre por 2a el eje mayor de la elipse.
Ejemplo 6
Solución
O
a 4
a
b
b
y
A(a
150
A (–a
a
b
x
B
b
B’
b
Geometría analítica
A
, A’
,B
, B’
F(c
F’ c
F(
F’
.
lr
FE
y
c
x
2
2
2
Ecuación de una elipse de centro en un punto cualquiera y ejes paralelos
a los coordenados
Segunda forma ordinaria. Sea la elipse de la figura 4.4, con centro C(h, k)
y ejes paralelos a los coordenados, siendo el eje mayor paralelo al eje X . Sean
(x, y) las coordenadas de un punto cualquiera de la elipse respecto a los ejes X,
Y y (x’, y’) las coordenadas del mismo punto respecto a los ejes de la elipse X’, Y’.
Y
‘
Y
(h, k + b
‘
(h a, k
(h + a, k
(h c
X
‘
(h, k
(h + c
(h, k b
X
0
151
La ecuación de la elipse referida a sus ejes X’, Y’ como ejes de coordenadas es:
Utilizando la figura 4.4 se observa que:
y análogamente
'
Sustituyendo, resulta:
(3)
Que es ecuación de una elipse con centro C(h, k) y ejes paralelos a los
coordenados, siendo el eje mayor paralelo al eje X.
Análogamente, la ecuación:
o bien
(4)
Representa una elipse de centro C(h, k) y sus ejes paralelos a los coordenados,
siendo el eje mayor paralelo al eje Y. Esta ecuación recibe el nombre de forma
ordinaria de la elipse.
Ejemplo 7
C
a=4 b
Solución
k
152
h
Geometría analítica
Ejemplo 8
C
a = 4 b = 2,
Solución
h
k
elementos de una elipse
Primer caso
Centro C(h, k
Vér tices
A
A
k
a
h
A(h + a k A (h a k
B
B’
h
b
k
B(h k +b B h k b
Focos
k
h
c
F(h + c k F h c k
Segundo caso.
Centro
Vértices A
a
A’
h
k
B(h + b k B h b k
153
Focos
F
F
eje Y
h
c
k
Ejemplo 9
Solución
C(h, k
a
a
C
.
a=
b
b 4
b
y
x
Semidistancia focal
Vértices
A
A
B
B
Focos
B (h k + b
B
A
'
F
F
A
B
F
F
Excentricidad
una
elipse en una posición cualquiera
Primer caso
MF + MF´ = 2a,
154
Geometría analítica
Segundo caso
x
y
a b
4.2.3. Ecuación general de la elipse
La ecuación general de segundo grado con dos variables es de la forma:
(1)
Y la ecuación de una elipse de ejes paralelos a los coordenados de centro
y semiejes a el mayor y b el menor es:
ó
Desarrollando las dos últimas ecuaciones. Para la primera ecuación,
multiplicando por a2 b2
Distribuyendo:
2 2
2
2
2 2
2 2
2
2
2 2
2 2
Ordenando e igualando a cero:
(2)
Para la segunda ecuación procediendo de manera análoga se obtiene:
(3)
155
Para que la ecuación (1) represente una elipse de ejesparalelosa loscoordenados,
sus coeficientes y los de cada una de las (2) y (3) deben ser proporcionales. Luego,
como las ecuaciones (2) y (3) carecen de término xy, entonces B = 0. Asimismo,
2
.
los coeficientes A y C deben ser del mismo signo pero diferentes, por ser 2
Así, toda ecuación de la forma
representa una
elipse de ejes paralelos a los coordenados si los coeficientes A y C de x2 y de y2 son
diferentes en valor absoluto, pero del mismo signo. Esta forma se conoce con el
nombre de forma general de la ecuación de una elipse de ejes paralelos a los
coordenados.
Ejemplo 10
Solución
C
a
a 4
a
b
b
b
y
x
Semidistancia focal c
Vértices
A
B
A
B
Focos F
Excentricidad
Lado recto
156
A
B
F
A
B
Geometría analítica
Ejemplo 11
Solución
M(x, y
a=
b
Ejercicio 2
A
A
e
157
4.3. Parábola
4.3.1. Definición y elementos de la parábola
Definición. La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano
que equidistan de un punto fijo F y de una recta fija d. Así, para cualquier punto
M de la curva, se tiene, de acuerdo con la figura 4.5, MF = MD
Y
X
‘
158
‘
d
Geometría analítica
Elementos de la parábola: el punto fijo F se llama foco y la recta fija d se llama
directriz.
El segmento MF que une un punto cualquiera de la parábola con el foco se
llama radio vector.
La recta AF que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz es el eje de la
parábola.
El punto V, punto medio de AF, donde el eje corta a la parábola es el vértice.
Un segmento como CC’, que une dos puntos cualesquiera de la parábola es
una cuerda.
La cuerda EE’ que pasa por el foco y es perpendicular al eje se llama lado recto
(lr) o ancho focal de la parábola. De la definición se deduce que el lado recto es el
doble de la ordenada FE que corresponde al valor de x = p.
El segmento AF, distancia del foco a la directriz, se llama parámetro y se
representa por 2p.
Las principales propiedades de la parábola se ilustran en la figura 4.6.
d
1. Un punto P se dice que es exterior a la parábola si su distancia al foco es
mayor que su distancia a la directriz, y se dice que es interior si está más cerca del
foco que la directriz, tal como el punto Q.
2. La bisectriz MT del ángulo formado por el radio vector MF de un punto
cualquiera de la parábola y la perpendicular MD a la directriz, es tangente a la
curva.
159
Recíprocamente, la tangente en un punto de la parábola es bisectriz del ángulo
formado por el radio del punto de contacto y la perpendicular a la directriz,
trazada por ese punto. Esta propiedad se utiliza en el trazado de la tangente a la
parábola en uno de sus puntos; además, de ella se deduce que la tangente en el
vértice de la parábola es perpendicular al eje.
Ejemplo 12
Solución
directriz d
foco F
eje
V
FD
a,
M
F
MD
A A’
A
160
A’
a
Geometría analítica
b, c e,
B, B’, C, C’, E, E’ .
4.3.2. Ecuación ordinaria de la parábola y cálculo de sus elementos
Ecuación cartesiana de una parábola cuyo vértice es el origen y el eje
coincide con uno de los ejes coordenados
Primer caso. El vértice (V) es el origen de coordenadas y el eje que coincide
con el X; entonces el foco F está situado en la parte positiva de dicho eje. Por lo
tanto, el parámetro 2p = FD.
Sea M(x, y) un punto cualquiera de la parábola, como se muestra en la figura 4.8.
d
Las coordenadas del foco F son (p, 0) y la ecuación de la directriz es
x = –p. Por definición se tiene que MF = MN, expresando analíticamente
estas distancias son
y
,
igualándolos y elevándolos al cuadrado tenemos:
161
. Desarrollando se tiene:
2
2
2
2
2
2
2
; entonces,
(1)
Ésta es la ecuación de una parábola con vértice en el origen cuyo eje coincide
con el eje X y el foco está en la parte positiva de dicho eje. Análogamente, si el
foco se encuentra en el lado negativo del eje X, la ecuación de la parábola es:
p< 0
(2)
Segundo caso. El vértice (V) es el origen y el eje coincide con el eje Y;
entonces. el foco F está situado en la parte positiva de dicho eje (abre hacia
arriba). La ecuación de la parábola es:
(3)
Análogamente, si el foco se encuentra en el lado negativo del eje Y (abre hacia
abajo), la ecuación de la parábola es:
p< 0
(4)
Las ecuaciones (1), (2), (3) y (4) se conocen con el nombre de forma ordinaria
de la ecuación de la parábola.
Considerando p, la distancia del vértice al foco, como distancia dirigida,
entonces las ecuaciones (1) y (2) se agrupan en una sola
, que representa
una parábola de concavidad hacia la derecha si p > 0 y de concavidad hacia la
izquierda si p < 0.
Análogamente, las ecuaciones (3) y (4) se agrupan en la ecuación
,
que representa una parábola de concavidad hacia arriba si p > 0, y de concavidad
hacia abajo si p < 0.
162
Geometría analítica
Ejemplo 13
Solución
V
p
.
p
y=0
Foco F(p,
F
.
Ecuación de la directriz
La longitud del lado recto (lr)
d
163
Ecuación de una parábola de vértice en un punto cualquiera y el eje
paralelo a uno de los coordenados
Sea la parábola de vértice V(h, k), parámetro 2p, eje paralelo al de las x y
concavidad hacia la parte positiva del eje X, como en la figura 4.9.
d
Sea M(x, y) un punto cualquiera de la parábola, referida a los ejes X, Y y sean
(x’, y’) las coordenadas del mismo punto con relación a los ejes X’, Y’, paralelos a
los anteriores y de origen el punto (h, k).
La ecuación de la parábola referida a los ejes X’, Y’ es de la forma:
Utilizando las siguientes ecuaciones de transformación de coordenadas:
'
;
'
Sustituyendo queda:
(1)
Que es la ecuación de una parábola de vértice (h, k), eje paralelo al eje X y
concavidad hacia la parte positiva del eje X.
Si la concavidad es hacia la parte negativa del eje X, la ecuación es de la
forma:
p< 0
Análogamente, obtenemos la ecuación:
164
(2)
Geometría analítica
(3)
que representa una parábola de vértice V(h, k), eje paralelo al Y y concavidad
hacia arriba.
Si la concavidad la dirige hacia abajo la ecuación es de la forma:
p< 0
(4)
Las ecuaciones (1), (2), (3) y (4) son las cuatro formas de la ecuación de la
parábola.
Se suelen designar con el nombre de forma ordinaria de la ecuación de la
parábola con vértice fuera del origen.
Ejemplo 14
V
V
F
Solución
h 2 k
p
165
elementos de una parábola
Vértice
h, k
Parámetro
p
Ecuación del eje de la parábola
y = k.
Coordenadas del foco
Ecuación de la directriz
OB
Lado recto
p
Ejemplo 15
Solución
V
p
166
p 2
Geometría analítica
y
Foco
F
F
x
x
Longitud del lado recto
de una
parábola cuando el vértice es un punto cualquiera del plano y su eje es oblicuo
Primer caso
Segundo caso
y
x
4.3.3. Ecuación general de la parábola
La ecuación de segundo grado con dos variables es de la forma:
(1)
167
La ecuación de una parábola de eje paralelo a uno de los coordenados es:
Desarrollando ambas ecuaciones, considerando solamente el signo positivo, se
obtiene:
, que son ecuaciones del tipo:
(2)
(3)
Lo mismo ocurre tomando el signo negativo.
Ahora bien, para que las ecuaciones (1) y (2) ó (1) y (3) representen la misma
curva, sus coeficientes deben ser proporcionales y por tanto, como las ecuaciones
(2) y (3) carecen de término en xy, se tiene B 0; asimismo, comparando (1) y
(2), resulta A 0 y comparando (1) y (3), debe ser C 0 , entonces:
Cy2 + Dx + Ey + F = 0
representa una parábola cuyo eje es paralelo al eje X.
Ax2 + Dx + Ey + F = 0
representa una parábola cuyo eje es paralelo al Y.
Estas últimas formas se conocen con el nombre de forma general de la
ecuación de la parábola.
Ejemplo 16
Solución
168
Geometría analítica
V
p
p
y
Foco F
F
Ecuación de la directriz x
Longitud del lado recto
Ejercicio 3
1.
2.
F
4
3.
4.
5.
169
4.4. Hipérbola
4.4.1. Definición y elementos de la hipérbola
Definición y elementos
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya diferencia
en valor absoluto de las distancias a dos puntos fijos F y F’ es una cantidad
constante que se representa por 2a, de acuerdo con la figura 4.10.
Así, para cualquier punto M de la curva se tiene:
Elementos de la hipérbola. La curva es abierta y consta de dos ramas. Los
puntos fijos F y F’ se llaman focos y la longitud FF’ es la distancia focal que se
designa por 2c; a la recta donde se encuentran los focos se le llama eje focal.
El punto medio de FF’ es el centro de la hipérbola.
Los segmentos MF y MF’ que unen un punto cualquiera M de la hipérbola
con los focos se llaman radios vectores.
170
Geometría analítica
Para que exista una hipérbola es necesario que 2c > 2a, o sea c > a, ya que
en el triángulo MFF’ el lado FF’ = 2c, es mayor que la diferencia de los otros dos
.
Un segmento como CC’ que une dos puntos de una misma rama de la
hipérbola es una cuerda.
La longitud de la cuerda que pasa por un foco y es perpendicular al eje de la
hipérbola se llama lado recto EE’ y GG’.
Un segmento que une dos puntos de la hipérbola y pasa por el centro, como
DD’, es un diámetro.
El diámetro que pasa por los focos se llama eje focal, real o transverso. Sobre
la recta perpendicular al eje focal, que pasa por el centro (0) y que no corta a
la curva, se considera un segmento BB’ llamado eje conjugado o imaginario, y su
longitud es 2b.
Las intersecciones A y A’ del eje focal con la curva son los vértices de la
hipérbola.
Excentricidad de una hipérbola es la razón
de la semidistancia focal al
semieje real y se representa por e. Siempre es mayor que la unidad por ser c > a.
La curva está comprendida dentro del ángulo formado por las diagonales del
rectángulo, cuyas dimensiones son 2a y 2b. Estas rectas se llaman asíntotas.
Las principales propiedades de la hipérbola se ilustran con la figura 4.11.
171
1. El eje real AA es igual a la cantidad constante 2a. En efecto, por ser A
y A puntos de la hipérbola
,
; sumando ambas
, y como
ecuaciones se obtiene
' ' '
'y
'
' , resulta que,
, de donde
.
2. Los vértices A y A equidistan de los focos. En efecto
, igualando AF = A F .
' '
,
3. Longitud del eje imaginario. Trácese en A la perpendicular al eje focal y
con centro en 0 y radio c trácese un arco que corte a dicha perpendicular en H. El
segmento AH es la longitud del semieje imaginario y llevándose sobre dicho eje,
a partir de 0 a un lado y a otro, se obtiene BB’ = 2b, que es el eje imaginario. Del
2
triángulo rectángulo 0AH se deduce
. El eje 2b puede ser igual, mayor o menor a 2a.
2
, y por lo tanto 2
2
2
2
4. Relación entre los semiejes y la semidistancia focal. Del triángulo 0AH se
2
2
deduce a 2
, que es la relación entre los segmentos.
4.4.2. Ecuación ordinaria de la hipérbola y cálculo de sus elementos
Ecuación cartesiana de una hipérbola de centro en el origen y cuyos ejes
coinciden con los coordenados
172
Geometría analítica
La ecuación de una hipérbola cuyo eje focal coincide con el eje de las X, está
dada por la expresión:
(a)
Si el eje focal coincide con el eje de las Y la ecuación es:
,
(b)
y su longitud es 2a.
Las ecuaciones (a) y (b) se conocen con el nombre de forma ordinaria de la
ecuación de la hipérbola con vértice en el origen.
, el lado recto es
En la hipérbola, cuya ecuación es
2
2
, y las
ecuaciones de las asíntotas son las rectas que pasan por el origen y sus pendientes
son
. Así
, o sea
0y
0.
NOTA: algunos autores llaman siempre 2a al eje de la hipérbola situado sobre el
.
eje X y entonces, la ecuación que resulta es
H ipérbolas conjugadas. Las hipérbolas que tienen los mismos ejes, pero tales
que el eje focal de una es el imaginario de la otra y el imaginario de la primera es
el eje focal de la segunda, se llaman conjugadas y sus ecuaciones son:
Ejemplo 17
Solución
a
b
a
b
173
Ejemplo 18
Solución
O
a 4
b
a
b
a
b
y
x
F(c
F’ (–c
Vértices A(a
174
F(
A’ (–a
A
F’
, A’
.
.
Geometría analítica
Excentricidad
Lado recto
Las asíntotas
Ecuación de una hipérbola de centro en un punto cualquiera del plano y ejes
paralelos a los coordenados
Forma ordinaria con vértice distinto del origen. Sea la hipérbola de centro
O’(h, k), distancia focal 2c, y ejes 2a y 2b paralelos a los coordenados, siendo el eje
focal paralelo al eje X, como se ve en la figura 4.14.
Sean (x, y) las coordenadas de un punto cualquiera M de la hipérbola respecto
a los ejes X, Y, y (x’, y’); las coordenadas del mismo punto respecto a los ejes X’ Y’,
las cuales son paralelos a los anteriores. Por lo tanto, la ecuación de la hipérbola
referida a los ejes X’Y’ es:
y por las ecuaciones de transformación de coordenadas se tiene
'
; sustituyendo en la ecuación de la hipérbola, se tiene:
'
,
(c)
175
que es la ecuación de una hipérbola de centro O’(h, k), ejes paralelos a los
coordenados y el eje focal paralelo al eje de las x. Análogamente, la ecuación d
representa una hipérbola de centro O’(h, k), ejes paralelos a los coordenados y el
eje focal paralelo al eje Y.
(d)
La forma (c) se conoce con el nombre de forma ordinaria de la ecuación de la
hipérbola con vértice fuera del origen.
Ejemplo 19
C
C
,
,
a = 4, b =
b
Solución
a=
C
b=
C
,
a
176
b=
a
Geometría analítica
elementos de una hipérbola
Primer caso
C(h, k .
Vértices
A
A’
k
h
a
Focos
k
h
Asíntotas:
c
h, k
Segundo caso
C(h, k
Vértices
Focos
Asíntotas
Ejemplo 20
177
Solución
d
h, k
a2
C
a
b
.
a
b2
b
x=
y
c
F
F
Vertices A(h, k + a , A’ (h, k – a A
A
A’
Excentricidad
Lado recto
178
+
F’
F’
A’
Geometría analítica
4.4.3. Ecuación general de la hipérbola
La ecuación general de segundo grado con dos variables es de la forma:
.
(1)
Y la ecuación de una hipérbola de ejes paralelos a los coordenados de centro
C(h, k), semieje real a y semieje imaginario b es:
,
Según el eje focal sea paralelo al eje X o el eje Y, respectivamente desarrollando resulta:
(2)
(3)
Para que la ecuación (1) represente una hipérbola, sus coeficientes y los de
cada una de las ecuaciones (2) y (3) deben ser proporcionales. Entonces, como
las ecuaciones (2) y (3) carecen de término xy, deben ser B = 0; asimismo, los
coeficientes A y C deben ser de distinto signo.
En consecuencia, una ecuación de segundo grado con dos variables representa
una hipérbola de ejes paralelos a los coordenados si no tiene término en xy, y si
los coeficientes de x2 y de y2 son de signo contrario.
Por lo que, la ecuación
. Con A y C de signo
contrario, se conoce con el nombre de forma general de la ecuación de la
hipérbola de ejes paralelos a los coordenados.
179
Ejemplo 21
Solución
C
.
a
a
b
b
y
x
Semidistancia focal y focos c
F
Vértices A
F
A’
Excentricidad e
Asíntotas
x + 2y
A
180
Geometría analítica
Ejercicio 4
1.
b=
a=
2.
x2
3.
4.
y2
x
y
x–y
4.5. Análisis de cónicas por discriminante
4.5.1. Ecuación general de segundo grado
circunferencia
elipse
B
A= C
B
hipérbola
parábola
parábola
B
B
x
y
B
B
A
C
A
C=
elipse, parábola o hipérbola
xy
181
Dada una ecuación de segundo grado, ésta puede representar una cónica cuyo
centro se encuentra en la coordenada C(h,k):
1. Los términos de segundo grado de la ecuación de una elipse cualquiera se
pueden poner en forma de una suma de cuadrados:
2. Los términos de segundo grado de la ecuación de una hipérbola cualquiera
se pueden poner en forma de una diferencia de cuadrados:
3. Los términos de segundo grado de una parábola cualquiera se pueden poner
en la forma de un cuadrado perfecto:
P(x, y)
a b,
+
182
Geometría analítica
a2x +b
183
4.5.2. Identificación mediante el discriminante de la cónica dada
2
2
2
2
B2
B2
AC
AC
Para determinar qué cónica representa unaecuación general de segundo grado
con dos variables, se pueden seguir dos procedimientos que son equivalentes.
1. Calculando la expresión
Si
Si
Si
= B2
= B2
= B2
AC
AC
AC
= B2
AC llamada discriminante de la ecuación.
representa una elipse.
representa una hipérbola.
representa una parábola.
2. Considerando los términos de segundo grado
2
2
.
Si se pueden poner en forma de suma de cuadrados se tiene una elipse, como
diferencia de cuadrados una hipérbola y como un cuadrado perfecto resulta una
parábola.
NOTA : el primer procedimiento que corresponde al signo del discriminante es
el más sencillo.
184
Geometría analítica
Ejemplo 22
Solución
2
2
A=
2
B=
,C
2
2
2







Ejemplo 23
Solución:
A
B
C
xy
185
Ejemplo 24
Solución
186
A
B
C
Geometría analítica
cónicas degeneradas
cónicas
x
y
cónicas elementales
xy
x
y
cónicas degeneradas
187
y
Ejemplo 25
Solución:
188
A
B
C
Geometría analítica
y
y
x
n
x
m=
,
p = 0.
x2
hipérbola real
y
x
189
Ejemplo 26
Solución:
A
B
C=2
y
x
x
m
n
p
x
190
2
Geometría analítica
Ejemplo 27
Solución
y
n


0






191
Un estudio completo de lo que representa una ecuación de segundo grado
se obtiene de la
con dos variables de la forma
siguiente manera:
1. Se calcula el discriminante
género de la cónica.
de la ecuación para averiguar el
2. Se despeja y.
3. Se considera el trinomio de segundo grado que aparece bajo el radical, el cual
se escribe como mx2 + nx + p y su discriminante = n2 – 4mp, de donde se
pueden presentar los siguientes casos:
Primer caso: si
0 la cónica es del género elipse, entonces:
, la ecuación representa una elipse real.
, se trata de dos rectas imaginarias con un punto real.
, la ecuación representa una elipse imaginaria.
Segundo caso: si
0 la cónica es del género hipérbola, entonces:
, la ecuación representa una hipérbola real.
, la ecuación representa una hipérbola real.
, la ecuación representa dos rectas reales que se cortan.
Tercer caso: si
n
n 0
n 0
n 0
Ejercicio 5
1.
2.
3.
192
p 0
p 0
p 0
0 , la cónica es del género parábola. En este caso:
Geometría analítica
4.
5.
4.6. Traslación de ejes
transformación de coordenadas
traslación rotación
Traslación de ejes. Sean OX, OY los ejes en el primer sistema: O
nuevo origen y O’X’, O’Y’ los ejes en el segundo sistema:
el
En la figura 4.15 se observa que las coordenadas de P, en el primer sistema, son:
Asimismo, en el nuevo sistema las coordenadas de P son
Se tiene:
'
'
,
'
.
193
'
'
'
Por consiguiente, si se conoce la ecuación de una línea referida a cierto sistema
de ejes, puede hallarse la ecuación de la misma línea referida a otro sistema de
y y por y’ + en la
ejes paralelos a los primeros, reemplazando x por x’ +
ecuación dada.
Ejemplo 28
Solución
x
x
y
y










    










        

194

Geometría analítica
4.7. Rotación de ejes
rotación de ejes
Rotación de los ejes. Se trata de cambiar la dirección de los ejes sin que
cambie el origen. Sean el ángulo de (OX, OX’), (x, y) las coordenadas del punto
P referidas al sistema de ejes OX, OY, y (x´, y´ ) las coordenadas del mismo punto
referidas al sistema OX’, OY’, como se observa en la figura 4.16.
Por lo que, las coordenadas de P en el nuevo sistema son:
x = ON y y = NP, por lo que se tiene:
Por lo tanto, si se conoce la ecuación de una línea referida a un sistema de
ejes puede hallarse la ecuación de la misma respecto a otro sistema de ejes,
tales que formen con los primeros un ángulo determinado , sustituyendo x y y,
respectivamente, por
y
en la ecuación dada.
195
Ejemplo 29
Solución:
x
y

  











    
el
término xy en la ecuación de las cónicas
196
Geometría analítica
x,y
xy
x’y’
A
C
A= C
xy
Ejemplo 30
xy
Solución
= 90
=
197
V
F
XOY
2 2
=
198
2
2
2
Geometría analítica
Ejercicio 6
1.
O’
O
2.
O’
3.
xy.
x2 + 24xy + 4y2
4.
Ejercicios resueltos
1.
A
B
Solución
r
AB
4
AB
A B
r
r
2 2
199
C
r
r
2 2.
2.
x2 + y2
x +2y
Solución
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x 0
x
x
x2
x
y
y
y
y
A
3.
Solución
200
x
x
B
x
x
x
Geometría analítica
C
r
2
r
r
d
d
d
d
4.
Solución
a2 =
b
a
a=
b2 =
b=
F(c,
F
F’ c,
F’
5.
201
Solución
x
y
x
y
C
y=
x= –
a2
b=
a=
b2 =
a=
b=
c
F
F
F
6.
Solución:
M(x, y
MF y MF’
202
F
Geometría analítica
+
2
2
=
2
7.
p
Solución
p
p
p
203
p
p
p
V
8.
Solución
x
V
p
p
p
F
p
F
y
lr
9.
V
Solución
p
4
p
p
10.
A’
A
)
b = 4.
Solución
a
204
AA’ ,
C
Geometría analítica
11.
Solución
C(h, k
a2
C
a
b2
a
b=4
b
y
x= .
c
F
F
A(h + a k , A’ (h – a k
A
A’
.
12.
A
F
A’
, F’
a
Solución
M(x, y
MF
MF’
205
13.
Solución
14.
Solución:
206
x
2
+ (y
2
Geometría analítica
15
Solución
A=
B=
C=
16.
Solución
A=
= B2
B= – C=
AC
2
17.
Solución
A=
B=
C
18.
O’
O
Solución
x
x’
y
y’
207
19.
Solución
A
B
C
20.
xy
Solución
208
Geometría analítica
2
a
OX’ , OY’ ,
b=2
XOY
C
C(OH, HC
C
XOY,
,
209
C
Autoevaluación
1.
C
R
2.
3.
A
C
4.
5.
210
Geometría analítica
6.
7.
A
8.
9.
10.
11.
12.
211
13.
’
14.
15.
16.
17.
212
x2 +
xy
y2
Geometría analítica
18.
19.
Ejercicios opcionales
1.
2
2
2
2.
3.
4.
.
5.
213
6.
7.
xy
8.
xy
9.
xy
10.
214
Geometría analítica
Respuestas a los ejercicios
1
C
r =2
r
x2 + y2 + 4x = 0
r =4
2
C
a
C
a = , b = 4, c = , F
C
a = 4, b = 2, c
b= ,c=
F
, F’
, F’
, F, F’
e
,
,e
,
,e
, lr = 2
e
C
3
x2+
y + 24 = 0
215
4
C
a
b
c
F
F
A
A
e
C
F
A
A
5
6
y' + 2 = 0
216
a
e
b
c
F
Geometría analítica
Respuestas a la autoevaluación
x
2
4. C
2
+ (y
,a
c
b
,F
,e
F
,
F
C
e
, a=
,
b
c
, F’
, A
, A’
,
9,
a
A
F
b
, A’
217
Respuesta a los ejercicios opcionales
d
218