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1
ADOLFO CHAPUZ BENITEZ PRESENTA:
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA parte I
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Sobre el autor.
Adolfo Chapuz Benítez
Lic. En Matemáticas en la Universidad Juárez Autónoma De Tabasco
Profesor desde el año 1999 de matemáticas en el Instituto Tecnológico Superior De Comalcalco en
Tabasco, México
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Dedico este trabajo primeramente a Cristo Jesús, a Él sea toda lo gloria, toda la honra y toda la
alabanza. Él es el camino, y la verdad, y la vida Juan 14:6
A mi esposa Guillermina, a mis hijas Dulce y Regina, por quienes me esfuerzo para que tengan una
vida llena de bendiciones.
A mis padres Felipe y Valentina. Los mejores.
A mis hermanos: Nena, Mini, Sandra, Richard, Marbe e Ingrid. Inigualables.
A todos mis alumnos. De todo corazón.
Esto es para todos.
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Contenido:
1.- Ejemplo General De la Forma
x2  a2
2.- Ejemplo General De la Forma
x2  a2
3.- Ejemplo General De la Forma
a2  x2
4.- Cinco ejemplos diversos
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Introducción.
Uno de los métodos de integración clásicos es el llamado Método De Sustitución
Trigonométrica.
Este se usa para calcular integrales que involucran expresiones del tipo:
x2  a2 ,
x2  a2
a2  x2
donde a es una constante.
Para cada una de estas expresiones existe una sustitución específica que nos ayuda a
que la raíz cuadrada involucrada desaparezca y la integral que se quiera calcular sea
más fácil de encontrar.
Además de la sustitución, se le asocia un triángulo que nos va a servir para poder
regresar a nuestra variable original.
Las sustituciones las usamos de acuerdo a la siguiente tabla:
TIPO DE EXPRESION
SUSTITUCIÓN
ADECUADA
x2  a2
x  a tan
dx  a sec2 d
x2  a2
x  a sec
dx  a sec tand
a2  x2
x  asen
dx  a cos d
Antes de empezar con nuestros ejemplos, debo decirte que necesitamos de algunas
integrales que vamos a suponer que ya calculamos, éstas se pueden consultar en los
ejercicios vistos en la sección de Integrales trigonométricas. Estas integrales son las
siguientes:
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I.-
 secd  lnsec  tan   c
II.-
 cscd   lncsc  cot    c
III.IV.-
 sec d  2 sec tan  2 ln sec  tan   c
1
3
1
 tand  lnsec   c
I.- EJEMPLO GENERAL DE LA FORMA
1.-

x2  a2
x 2  a 2 dx
Desarrollo: En este caso queremos calcular la integral en forma general porque
vamos a trabajar para cualquier valor de a y usamos el primer tipo de sustitución
porque es una SUMA de cuadrados.
x  a tan
dx  a sec2 d
Aquí aprovechamos igual para observar como la raíz cuadrada se cancela de manera
automática. De hecho este mismo procedimiento es el que debes aplicar cada vez que
quieras resolver una integral de este tipo. Así que pon mucha atención, porque no será
necesario repetirlo, sino simplemente aplicar el resultado ya obtenido.
Simplificamos
x2  a2 
x2  a2 :
a tan 2  a 2
 a 2 tan 2   a 2  a 2 tan 2   1  a 2 sec 2 
sec2 
 a 2  sec 2   a sec
2
2
Conclusión: x  a  a sec
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Ahora, calculamos la integral:

x 2  a 2 dx   a seca sec 2 d
 a 2  sec3 d
1
1

 a 2  sec tan   ln sec  tan    c
2
2



x 2  a 2 dx 
a2
a2
sec tan   ln sec  tan    c
2
2
a2
a2
sec tan  ln sec  tan   c
2
2
Resultado previo.
Hasta este punto la integral ya está resuelta, solo debemos regresar a la variable
original x, usando el siguiente triángulo, que solo es válido para esta sustitución
x  a tan .
De aquí, obtenemos tan 
x
opuesto

,
a adyacente
con esto construimos nuestro triángulo
rectángulo:
x2  a2
Cateto opuesto

x
a
Cateto adyacente
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Observando el triángulo, tenemos que:
tan 
x
, cos  
a
a
y sec  
x2  a2
x2  a2
. Ahora sólo basta sustituir en la
a
integral anterior.

x 2  a 2 dx 
a2
a2
sec tan   ln sec  tan    c
2
2

a 2  x 2  a 2
2 
a
 x  a 2  x 2  a 2 x 
   ln 
 c
 a  2 
a
a 



a 2  x x 2  a 2
2 
a2

x x 2  a 2 a 2  x 2  a 2  x 
 ln
c

2
2 
a

 a2  x2  a2  x 
  ln 
c
 2 

a



Por lo tanto, tenemos que:

x 2  a 2 dx 
x x 2  a 2 a 2  x 2  a 2  x 
 ln
c

2
2 
a

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II.- EJEMPLO GENERAL DE LA FORMA
x2  a2
Desarrollo:
x  a sec
dx  a sec tand
Simplificamos
x2  a2 
x2  a2 :
a sec 2  a 2
 a 2 sec 2   a 2  a 2 sec 2   1  a 2 tan 2 
tan 2 
 a 2  tan 2   a tan
2
2
Conclusión: x  a  a tan 
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Ahora, calculamos la integral, sustituyendo lo que acabamos de obtener:

x 2  a 2 dx   a tan  a sec tan d 
 a 2  tan 2  secd


 a 2  sec 2   1 secd
 a 2  sec3 d  a 2  secd
1
1

 a 2  sec tan   ln sec  tan    a 2 ln sec  tan    c
2
2


a2
a2
sec tan   ln sec  tan    a 2 ln sec  tan    c
2
2

a2
a2
sec tan   ln sec  tan    c
2
2
Tenemos el resultado provisional de la integral en términos de 

x 2  a 2 dx 
a2
a2
sec tan  ln sec  tan   c
2
2
Resultado previo.
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Hasta este punto la integral ya está resuelta en términos de  , solo debemos
regresar a la variable original x, usando el siguiente triángulo, que solo es válido para
esta sustitución x  a sec .
De aquí, obtenemos sec 
x hipotenusa

,
a adyacente
con esto construimos nuestro triángulo
rectángulo:
Cateto opuesto
x
x2  a2

a
Cateto adyacente
Observando el triángulo, tenemos que:
sec 

x
opuesto

, tan 
a
adyacente
x 2  a 2 dx 
x2  a2
. Ahora sólo basta sustituir en
a
a2
a2
sec tan  ln sec  tan   c
2
2
,
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
x 2  a 2 dx 
a 2  x  x 2  a 2
 
2  a 
a
2
2
 a2  x
  ln   x  a
 2 a
a



1
a2  x  x2  a2
x x 2  a 2  ln 
2
2 
a

c


x 2  a 2 dx 
1
a2  x  x2  a2
x x 2  a 2  ln 
2
2 
a

c



c


Conclusión:

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III.- EJEMPLO GENERAL DE LA FORMA
a2  x2
Desarrollo:
x  asen
dx  a cos d
Simplificamos
a2  x2 :
a 2  x 2  a 2  asen   a 2  a 2 sen 2  a 2 1  sen 2   a 2 cos 2 
2
cos 2 
 a 2  cos 2   a cos 
2
2
Conclusión: a  x  a cos 
Ahora calculamos la integral:
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
a 2  x 2 dx   a cos  a cos d 
 a 2  cos 2 d
1 1

 a 2    cos(2 ) d
2 2

1
1
 a 2  d  a 2  cos(2 )d
2
2

a2
a2  1

   sen2   c
2
2 2


a2
a2
  sen2  c
2
4

a2
a2
  2 sen cos    c
2
4
a2
a2
   sen cos   c
2
2
Tenemos el resultado provisional de la integral en términos de 

Resultado previo.
a2
a2
a  x dx    sen cos   c
2
2
2
2
Hasta este punto la integral ya está resuelta en términos de  , solo debemos
regresar a la variable original x, usando el siguiente triángulo, que solo es válido para
esta sustitución x  asen .
De aquí, obtenemos sen 
x
opuesto

,
a hipotenusa
con esto construimos nuestro triángulo
rectángulo:
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a
x
Cateto opuesto

a2  x2
Cateto adyacente
Observando el triángulo, tenemos que:
x
a
sen 
x
a,
cos  
adyacente
a2  x2

. Ahora sólo basta sustituir en:
Hipotenusa
a
  sen1  

a 2  x 2 dx 
a2
a2
  sen cos   c
2
2

a 2  x 2 dx 
2
2
2
a2
 x a  x a x
sen 1     
c
2
a
a 2 a
a2
 x x 2

sen 1   
a  x2  c
2
a 2
Y finalmente tenemos:

a2
 x x 2
a  x dx  sen1  
a  x2  c
2
a 2
2
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Ejemplos diversos:
NOTA: EN ESTOS EJEMPLOS VAMOS A USAR LAS SIGUENTES EXPRESIONES
QUE HEMOS OBTENIDO ANTERIORMENTE PARA AHORRAR UN POCO DE
ESPACIO Y TIEMPO EN LAS EXPLICACIONES.
1. x 2  a 2  a sec
2. x 2  a 2  a tan
3. a 2  x 2  a cos 
1.-

x2  3
dx
x
Desarrollo:
Primero identificamos el valor de a :
a2  3  a  3 .
x  3 tan  y
dx  3 sec2 d .Entonces recordemos que hemos obtenido con
anterioridad la siguiente expresión:
x 2  a 2  a sec , así que sólo vamos a sustituir
el valor de a :
Tenemos que
x2  3  3 sec y debemos sustituir en la integral.
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
x2  3
3 sec 
dx  
3 sec2 d
x
3 tan 
sec3 
 3
d
tan 
sec2  sec 
 3
d
tan 
 3
tan   1sec d
 3
tan  sec  sec d
2
tan 
1
sec 
cos 
1
cos 



sen
tan 
cos sen
sen
cos 
2
tan 
 csc 
tan 2  sec 
sec 
 3
d  3 
d
tan 
tan 
 3  tan  sec  d  3  csc d

x2  3
dx  3  tan sec d  3 ln csc   cot    c
x
Simplificamos el integrando de la primera integral:
tan sec 
sen
1
sen


cos  cos  cos 2 
u  cos 
du   send
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Ahora usamos cambio de variable.

x2  3
du
dx   3  2  3 ln csc   cot    c
x
u
  3  u  2 du  3 ln csc   cot    c
 u 1 
  3 ln csc   cot    c
  3 

1




3
 3 ln csc   cot    c
u

3
 3 ln csc   cot    c
cos 
x2  3
3
dx 
 3 ln csc   cot    c
x
cos 
Resultado previo.
Ahora regresamos a la variable x, nos basamos en la sustitución con que empezamos
x  3 tan  tan 
x
opuesto
:

3 adyacente
x2  3
Cateto opuesto

x
3
Cateto adyacente
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Observando el triángulo, tenemos que:
tan  
cos  

3
x
sen 
, cot  
x
3
3
x2  3
, sec  
x
x2  3
, csc  
x2  3
.
x
x2  3
Ahora sólo basta sustituir en la integral anterior.
3
x2  3
3
dx 
 3 ln csc   cot    c
x
cos 
 x2  3
3 
 3 sec   3 ln 

c


x
x


 3  x2  3 
x2  3
c
 3
 3 ln 


x
3


 3  x2  3 
c
 x  3  3 ln 


x


2

 3  x2  3 
x2  3
2
c
dx  x  3  3 ln 


x
x
Conclusión.


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2.-

x 2  25
dx
x
Desarrollo:
Aquí usamos x  5 sec y
dx  5 sec tand al sustituir estas expresiones nos
ayudan a simplificar la parte que tiene el radical.
x 2  25  5 tan

.Entonces tenemos lo siguiente:
x 2  25
5 tan
dx  
5 sec tand
x
5 sec
sec   1  tan 2 
2
sec   1  tan 2 
2
 5 tan 2 d
 5 sec 2   1d
 5 sec 2 d  5 d
 5 tan  5  c

x 2  25
dx  5 tan  5  c
x
Resultado previo.
Hasta este punto la integral ya está resuelta, solo debemos regresar a la variable
original x, usando el siguiente triángulo, que solo es válido para esta sustitución con la
que iniciamos x  5 sec .
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De aquí, obtenemos sec 
x hipotenusa

,
5 adyacente
con esto construimos nuestro triángulo
rectángulo:
x
x 2  25
Cateto opuesto

5
Cateto adyacente
Observando el triángulo, tenemos que:
sec 
x
x
opuesto

,   arc sec( ) tan 
5
5
adyacente

x 2  25
dx  5 tan  5  c
x

x 2  25
dx  5 tan   5  c
x
5
x 2  25
. Ahora sólo basta sustituir en
5
x 2  25
x
 5arc sec( )  c
x
5
Conclusión:

x 2  25
x 2  25
dx  5
 5arc sec( x / 5)  c
x
x
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22
3.-

16  x 2
dx
x
Desarrollo: a  16, a  4
2
x  4sen
dx  4 cosd
Hemos obtenido previamente que:
Así que

a 2  x 2  a cos 
16  x 2  4 cos  .
16  x 2
4 cos 
4 cos d 
dx  
x
4 sen
 4
cos 2 
d
sen
 4
1  sen  d
 4
1
sen 2
d  4 
d
sen
sen
2
sen
 4  cscd  4  sen d
 4 ln csc  cot    4 cos   c

16  x 2
dx  4 ln csc  cot    4 cos   c
x
Resultado previo.
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Hasta este punto la integral ya está resuelta en términos de  , solo debemos
regresar a la variable original x, usando el siguiente triángulo, que solo es válido para
esta sustitución x  4sen .
De aquí, obtenemos sen 
x
opuesto

,
4 hipotenusa
con esto construimos nuestro triángulo
rectángulo:
4
x
Cateto opuesto

16  x 2
Cateto adyacente
Observando el triángulo, tenemos que:
x
4,
sen 
cos  
tan 
cot  
csc 
1
4

sen x
adyacente
16  x 2

Hipotenusa
4
opuesto
x

adyacente
16  x 2
16  x 2
x
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Ahora sólo basta sustituir en:

16  x 2
dx  4 ln csc  cot    4 cos   c
x

4
16  x 2
16  x 2
dx  4 ln  
x
x
x

 4  16  x 2
 4 ln 

x

2

  4 16  x  c

4


  16  x 2  c


Conclusión:

 4  16  x 2
16  x 2
dx  4 ln 

x
x

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
  16  x 2  c


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Ejemplo 4.-

x
3  x4
dx
Primero hacemos un cambio de variable: u  x , du  2 xdx y transformamos nuestra
2
integral original en términos de u .

x
3 x
4
dx 
1
2 xdx

2 3  x2
 
2

1
du

2 3  u2
En este punto es donde aplicamos la sustitución trigonométrica.
2
Desarrollo: a  3, a  3
u  3sen
du  3 cos d y

x
3 x
3  u2 
dx 
4
1
2 xdx

2 3  x2

1
du

2 3  u2

1
3 cos d

2
3 cos 

1
d
2
 
2

3 cos 
1
du

2 3  u2
1
  c
2
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
x
1
dx    c
2
3 x
Resultado previo.
4
Ahora vamos a regresar a la variable original x:
u  3sen
sen 
 u 

 3
u
3
  arcsen
Pero como u  x , entonces
2

 x2 
  arcsen  , por lo tanto:
 3
 x2 
1
  c
dx  arcsen
2
3
3  x4


Conclusión.
x
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Ejemplo 5.-
x2

x 2 100
dx
Desarrollo:
a 2  100, a  10
x  10 sec  x 2  100 sec2 
dx  10 sec tand
Además:

x 2  100  10 tan
100 sec 2 
10 sec tan d 
dx  
10 tan 
x 2  100
x2
 100 sec3 d
1
1

 100 sec  tan   ln sec   tan    c
2
2


x2
x  100
2
dx 
100
100
sec  tan  
ln sec   tan    c
2
2
Resultado previo.
Solo debemos regresar a la variable original x, usando el siguiente triángulo, que solo
es válido para esta sustitución con la que iniciamos x  10 sec .
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28
De aquí, obtenemos sec 
x hipotenusa

,
10 adyacente
con esto construimos nuestro triángulo
rectángulo:
Cateto opuesto
x
x 2  100

10
Cateto adyacente
Observando el triángulo, tenemos que:
sec 


opuesto
x

, tan 
10
adyacente
x2
x 2  100
x 2  100
. Ahora sólo basta sustituir en
10
dx  50 sec tan  50 ln sec  tan   c
2
 x
 x  x  100 
 
dx

50

50
ln



 10
10
 10 
x 2  100


x2
x 2  100 
c

10

 x  x 2  100 
1
2
c
 x x  100  50 ln 


2
10


Conclusión

 x  x 2  100 
1
2

c
dx

x
x

100

50
ln


2
10
x 2  100


x2
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