Algunos ejercicios propuestos en examen Departamento de

Algunos ejercicios propuestos en examen
Departamento de Matemáticas
Universidad de Salamanca
Álgebra
1o Ingeniero Técnico en Informática de Sistemas
EXAMEN
12 de Julio de 2006
TEORIA
1. Definir detalladamente (explicando el significado de los conceptos empleados)
a) Aplicación lineal entre espacios vectoriales, núcleo e imagen.(2’5 puntos)
b) Espacio dual y base dual.(2’5 puntos)
c) Subespacio incidente y enunciado de sus propiedades.(2’5 puntos)
2. Fórmulas de la dimesión: enunciado y demostración.(7,5 puntos)
PROBLEMAS
1. Sea R2 [x] el R-espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2 con su base {1, x, x2 }.
a) Comprobar que los polinomios {1 − x + x2 , x − 1, 2x2 + 1} forman base de R2 [x]. Calcular las
coordenadas del vector 2x2 − 3x + 7 ∈ R2 [x] respecto de esta base. (3 puntos)
b) Se consideran en R2 [x] los subespacios E1 =< 1 − x, 2 − x2 >, E2 < 2x + x2 , x2 + x + 1 >. Calcular
bases y dimensiones de E1 + E2 y E1 ∩ E2 . (4 puntos)
c) ¿ Están E1 y E2 en suma directa? Calcular un subespacio suplementario de E1 (3 puntos)
2. Dada aplicación lineal f : R3 −→ R3 definida como f (x, y, z) = (2x − 2y, x − y, z), calcular:
a) Probar que f es una aplicación lineal. (3 puntos)
b) Elegir bases y calcular la matriz asociada a f . (2 puntos)
c) Calcular bases y dimensiones de Ker f e Im f . Deducir si f es inyectiva o epiyectiva. (5 puntos)
3. Sea B = {e1 , e2 , e3 } una base de un espacio euclı́deo E verificando las siguientes condiciones:
√
ke1 k = 2, ke2 k = ke3 k = 1, (e1ˆ, e2 ) = 45◦ ; (e1ˆ, e3 ) = (e2ˆ, e3 ) = 90◦
y−2
z−3
Respecto de esta base se considera la recta r ≡ x−1
1 = 1 = 3 y el plano π ≡ x + 2y − z + 3 = 0.
a) Probar que la recta r y el plano π son paralelos. (3 puntos)
b) Calcular un plano paralelo al plano π que contenga a la recta r. (3 puntos)
c) Calcular la recta perpendicular al plano π que pasa por el punto P = (1, 2, 3) y concluir la distancia
de la recta r al plano π. (4 puntos)
El examen puntúa sobre 45
Álgebra
Ingenierı́a Técnica en Informática de Sistemas
Departamento de Matemáticas - Universidad de Salamanca
•
Examen del 12 de septiembre de 2008
•
Teorı́a
1. Aplicaciones lineales entre espacios vectoriales: definición, expresión matricial, núcleo e imagen. Si f :
E → E 0 es una aplicación lineal, demuestra que dim E = dim(ker f ) + dim(Im f ).
[15 puntos]
2. Sea E un espacio vectorial y B una base del mismo. Define espacio dual E ∗ y la base dual B ∗ . Da un
ejemplo concreto de ambos conceptos.
[15 puntos]
Problemas
3. En el R-espacio vectorial R3 [x] cuyos elementos denotamos por p(x) = a + bx + cx2 + dx3 , considera los
siguientes subconjuntos:
E1 = {p(x) ∈ R3 [x] | p(0) = 0, p(1) = p0 (−1)} ,
E2 = p(x) ∈ R3 [x] | (a + b + c)2 = 0 ,
E3 = {p(x) ∈ R3 [x] | p(x) · (x − 1) = 0} ,
Z 1
E4 = p(x) ∈ R3 [x] |
p(x)dx = 1 .
0
Determina cuáles son subespacios vectoriales y cuáles no. Para los que sı́ sean subespacios, encuentra
una base, indica su dimensión y analiza si los siguientes vectores pertenecen a dichos subespacios:
1
q1 (x) = x + 2x2 + 3x3 y q2 (x) = 3 − 2x + x2 .
2
[20 puntos]
4. Sean las variedades lineales de R3 :
π ≡ x − y + 3z = 1
y
rλ = (1, 3, −1) + (λ, 2, 1) .
Determina su posición relativa en función de λ ∈ R indicando, en su caso, los puntos de intersección.
[20 puntos]
5. Considera la métrica euclı́dea de R3 dada por las condiciones sobre una base B = {e1 , e2 , e3 } siguientes:
√
π
π
ke1 k = 1, ke2 k = 2, ke3 k = 2, ^(e1 , e2 ) = , ^(e2 , e3 ) =
y e1 · e3 = 1.
2
4
a) Calcula la matriz de esta métrica en la base B.
b) Calcula una base del ortogonal de los subespacios:
U = (−5, 0, 1)
y V = (x, y, z) ∈ R3 | 2x − 3y + 4z = 0 .
c) Calcula la distancia de P = (1, 1, −1) a la recta r = (2, −2, 3) + U .
[20 puntos]