cuantización de fock de un sistema lineal

REVISTA COLOMBIANA DE FÍSICA, VOL.33, No.2, 2001
CUANTIZACIÓN DE FOCK DE UN SISTEMA LINEAL
W. Cuervo1 , C. Aldana2 , J. Tejeiro3 , S. Huérfano4
1
Dpto. de Física, 2,4 Dpto de Matemáticas
3
Observatorio Astronómico Nacional
Universidad Nacional de Colombia, Bogotá
RESUMEN
Partiendo de la mecánica hamiltoniana sobre una variedad simpléctica,
se discute un esquema de cuantización diferente al tradicional, cuyo espacio de Hilbert es un espacio de Fock construido a partir de productos
tensoriales de la complejificación del espacio de soluciones de un sistema
hamiltoniano lineal. Se presentan aplicaciones a la teoría de campos
cuánticos sobre un espacio-tiempo curvo y a sistemas mecano-cuánticos
dependientes del tiempo
INTRODUCCIÓN
Uno de los descubrimientos teóricos mas sorprendentes en la gravitación es la
evaporación de un agujero negro usando como mecanismo la creación de partículas
o radiación Hawking [1]. Otro efecto relacionado es el efecto Unruh [2] que predice
que un observador acelerado detectará un baño térmico de partículas aún cuando
el campo se encuentre en su estado de vacío. Estos dos efectos sugieren que la
interpretación convencional de partículas no es la mas adecuada. En este trabajo
se revisa un formalismo teórico que busca el origen de estos fenómenos en un
problema de cuantización de un campo.
MECÁNICA SIMPLÉCTICA
El punto de partida para la cuantización de un campo escalar es la formulación
simpléctica de la mecánica hamiltoniana sobre el espacio de fase [3]. En ésta el
espacio de fase se modela sobre una variedad simpléctica M que es una variedad
2n-dimensional (n es el numero de grados de libertad del sistema). Usualmente
M =T ∗ Q, donde Q es el espacio de configuración del sistema. Sobre M está
definido una 2-forma Ωab : Tp M×Tp M →R que satisface las siguientes condiciones: 1) Antisimetría: Ωab = Ω[ab] , 2) Cerrada: dΩab = 0, 3) no-degenerada:
Ωab ua vb = 0 para todo vb ∈ Tp M implica ua = 0a
Sobre M debe estar definida la función Hamiltoniana H : M →R. Y naturalmente
la 1-forma dH = H a . Con la ayuda de Ωab podemos encontrar el campo vectorial
hamiltoniano Ha = Ωab H b . Con la ayuda de este formalismo se pueden expresar
de una forma geométrica algunos de los resultados mas importantes de la mecánica
clásica [3]. El resultado mas importante para nosotros es el teorema de Liouville
o conservación del volumen en el espacio de fase: LHa Ωab = 0, donde LHa es la
derivada de Lie a lo largo del campo vectorial Ha . El anterior resultado también
ab
se puede expresar mas sencillamente como dΩdt = 0, donde la derivada se toma a
lo largo de una curva integral de Ha .
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SISTEMAS DIMÁNICOS
Definimos un sistema dinámico lineal por las siguientes propiedades [4]:1) M =T ∗ Q,
donde Q es un espacio vectorial y 2) El hamiltoniano es una función cuadrática,
posiblemente dependiente del tiempo H(t, y) =µν Kµν (t)y µ y ν donde y ν denota
las coordenadas canónicas (q1 , ...qn , p1 , ..., pn ) de tal manera que las ecuaciones
de Hamilton resultan ser ecuaciones lineales. El hamiltoniano anterior es precisamente el correspondiente a un sistema de n osciladores armónicos donde las masas
y las constantes de resorte en general dependen del tiempo. En mecánica clásica,
un observable es una función f : M →R. Debido a la propiedad 1), cualquier
observable lineal, en particular p y q se puede obtener, vía el teorema de representación de Riesz [5], tomando el producto simpléctico con algún vector yfa . Es
decir f (wb ) = Ωab y a wb
A partir de ahora, analizaremos un sistema lineal de un grado de libertad, por
sencillez omitiremos el superíndice que denota el carácter vectorial de una cantidad
(notación de índices abstractos [6]). La generalización a un numero arbitrario y
finito de grados de libertad es directa. El hamiltoniano es H = 21 p2 + 21 ω 2 (t)q 2 (m =
1). Cuando ∂ω
∂t = 0, dos soluciones linealmente independientes de las anteriores
ecuaciones son [7]:
ϕ1 (t) = (q1 , p1 ) = (cos ωt, −ω sin ωt) ; ϕ2 (t) = (q2 , p2 ) = (sin ωt, ω cos ωt)
(1)
La solución mas general es una combinación lineal u(t) = u1 ϕ1 (t) + u2 ϕ2 (t) =
(u1 , u2 ) . Por lo tanto, el espacio de soluciones de las ecuaciones de Hamilton de un
sistema lineal es un espacio vectorial V bidimensional cuya base es {ϕ1 (t); ϕ2 (t)} .
Además, debido al teorema de Liouville, el producto simpléctico es independiente
del tiempo. Esto nos permite definir un producto simpléctico sobre V:
Ω [u(t); v(t)] = Ω [(u1 , u2 ) ; (v1 , v2 )] = u1 v2 − u2 v1
ESPACIO DE FOCK
Si H es un espacio de Hilbert (de dimensión finita o infinita) con producto interno
< , > denotamos ⊗ns H al producto tensorial simetrizado de n copias de H[4].
Finalmente el espacio de Fock simétrico asociado a H es:
h ∞
i
Fs (H) = C⊕ n = 1⊕ ⊗ns H = C⊕ (H⊗s H) ⊕ (H⊗s H⊗s H) ⊕ · ··
Así, un vector Ψ ∈ Fs (H) se puede escribir como Ψ = [Ψ, Ψa1 , Ψa1 a2 , .., Ψa1 a2 ...an , ..]
donde Ψ ∈ C, Ψa1 a2 ...an ∈ ⊗ns H. El estado de vacío o estado base se define
como:| 0 >= [1, 0, 0, 0, 0, ....]. Con las anteriores definiciones se puede ver que
Fs (H) es un espacio vectorial de dimensión infinita , con la suma y la multiplicación escalar definidos de la forma natural. Además hereda un producto interno
de H . Por lo tanto Fs (H) se puede considerar como un espacio de Hilbert [4].
En Fs (H), se pueden definir operadores creación y destrucción así: Si φa ∈ H
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definimos el operador de destrucción b
aφ : Fs (H) 7→ Fs (H)Por:
·
¸
−
−
√ −
√
a
aa2
aa2 ...an
b
aφ Ψ = φa Ψ , 2 φa Ψ , ..., n + 1 φa Ψ
, ....
El adjunto de b
aφ es el operador de creación b
a†φ
CUANTIZACIÓN DE FOCK DEL OSCILADOR ARMÓNICO
Si (V, Ω) es el espacio simpléctico de soluciones del oscilador harmónico, (V, Ω)
no es un espacio de Hilbert pues Ω no es positivamente definido.Complexificamos
V : V C = {z(t) = u1 + iu2 ; u1 , u2 ∈ V } . Definimos < , >: V C × V C → C. Por
< z1 , z2 >= −iΩ(z 1 , z2 )
(2)
< , > satisface todas las propiedades de un producto interno, excepto que no
es positivamente definido[4]. Sea V C+ = {φ = α(φ1 − iφ2 ); α ∈ C} el subespacio
de “frecuencia positiva” de V C . Claramente φ = αe−iwt (1; −iω)Entonces < , > es
positivamente definido en V C+ y, por lo tanto, V C+ es un espacio de Hilbert. Es
conveniente definir una aplicación: + : V → V C+ que proyecta y ∈ V en y + ∈
V C+ . Esta aplicación “extrae” la parte de frecuencia positiva de una solución real
de la ecuaciones de movimiento. Escogemos el espacio de Hilbert para el oscilador
armónico cuántico como Fs (V C+ ). En la nueva formulación de la teoría cuántica
del oscilador armónico el espacio de Hilbert es H = Fs (V C+ ) y los operadores
de posición y momentum de Heisenberg están dados por qbH (t) = φ(t)b
aφ + φ(t)b
a†φ
qH
d·) = ib
b y ≡ Ω(y,
y pbH (t) = db
. En general [4]: Ω
a + −ib
a† + . De esta forma tenemos
y
dt
y
completamente bien formulada la mecánica cuántica de un oscilador armónico. Sin
embargo, la selección del subespacio V C+ y por lo tanto de Fs (V C+ ). no es única.
De hecho, cualquier subespacio G ⊂ V C que satisfaga las siguientes condiciones
también hubiera servido para formular otra teoría cuantica[4]:
1.Elproducto2espositivamentedef inidoenG
2.V C = G⊕G(GeselsubespaciocomplejoconjugadodeG)
3.Siz + ∈ Gyz − ∈ G, entonces < z + , z − >= 0
(3)
De esta forma tendríamos toda una familia de formulaciones cuánticas de un
sistema lineal. Lo único especial del espacio de frecuencia positiva V C+ es que
C+
si f ∈ V C+ , entonces ∂f
está formado por funciones propias
∂t = −iωf , i.e. V
del operador tiempo. Hemos aprovechado la simetría de traslación temporal del
sistema para escoger una representación privilegiada. La solución a la no unicidad
de teorías cuánticas en el caso de un numero finito de grados de libertad es el
teorema de Stone-von Neumann [5][7] que afirma que todas las posibles teorías
cuánticas compatibles con las relaciones de incertidumbre de Heisenberg en un
sistema de finitos grados de libertad son unitariamente equivalentes. Por lo tanto si
G y G 0 satisfacen las tres condiciones de arriba, Fs (G) es unitariamente equivalente
a Fs (G 0 ). Esta discusión aplica inclusive a un sistema lineal dependiente del tiempo
(ω = ω(t)).
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CUANTIZACIÓN DE FOCK DE UN SISTEMA LINEAL DE DIMENCIÓN INFINITA
El sistema lineal de dimensión infinita mas sencillo es el campo escalar gobernado por la ecuación de Klein-Gordon (KG)(∂ a ∂a − m2 )φ = 0 [4]. Este es
un campo que se propaga en el espacio-tiempo de Minkowski, con coordenadas
→
x = (x0 , x1 , x2 , x2 ) = (t, −
r ). Trabajaremos en la métrica (-1,1,1,1). El espacio de
fase es una variedad de dimensión infinita. El momentum canónico conjugado es
π =
δS
·
=φ (S es la acción de KG). Por lo tanto un punto en el espacio de fase
δφ
→
−
está especificado por las funciones φ(t0 , −
r ) y π(t0 , →
r ) en una hipersuperficie como
·
de espacio Σ0 (por ejemplo las superficies t = t0 del espacio de Minkowski). Para
cuantizar, sea V el espacio de soluciones de la ecuación de KG. Este es un espacio
vectorial de dimensión infinita. Dotamos a V con un producto simplectico[4]
Z
Ω [(φ1 , π1 ); (φ2 , π2 )] =
d3 x(π1 φ2 − π2 φ1 )
Σ0
Complexificando obtenemos V C y denotamos V C+ al subespacio de V C generado
por soluciones de frecuencia puramente positiva. En V C+ definimos < Ψ+ , Φ+ >=
+
−iΩ(Ψ , Φ+ ). Este es un producto interno sobre V C+ . De nuevo Ψ+ es la
proyección sobre V C+ de Ψ ∈ V, Definimos la teoría cuántica del campo escalar
de la siguiente forma. El espacio de Hilbert es H = Fs (V C+ ) con el producto
bΨ ≡
interno natural heredado de V C+ . Definimos los operadores de campo como Ω
ib
aΨ+ − ib
a†Ψ+ .
CREACIÓN DE PARTÍCULAS
En el caso de un sistema de dimensión infinita también encontramos el problema de
diferentes formulaciones de una teoría cuántica de campo escalar, pues de nuevo
existen infinidad de subespacios V C que satisfacen las condiciones (3). Debido
a la dimensionalidad infinita del sistema ya no es posible apelar al teorema de
Stone-von Neumann. Sin embargo, cuando el campo se propaga en un espaciotiempo plano, aún podemos usar la simetría temporal para escoger un subespacio
V C+ privilegiado compatible con esta simetría. Cuando el campo se propaga en
un espacio curvo, la simetría de traslación temporal tampoco se encuentra y no
hay forma de escoger una formulación privilegiada de la teoría cuántica de un
campo escalar dando origen a la “creación de partículas”. La relación de esto con
nuestra discusión se puede ver recordando que la interpretación usual de partícula
dice que si el modo n del campo está excitado hay una (o varias) partículas con
energía En = ωn . Analicemos la evolución de un solo modo dependiente del
b = 1 pb2 + 1 ω 2 (t)b
tiempo [8]. El hamiltoniano es H
q 2 . Supongamos que la función
2
2
b
ω(t) = ω0 = cte en todas partes excepto en un intervalo (0, t0 ). Por lo tanto H
es constante fuera de (0, t0 ). Allí la teoría estándar se puede aplicar: los estados
b son | ni, estados de n partículas. Si para t < 0 el sistema se encuentra
propios de H
en | 0i, para t > t0 el sistema se va a encontrar en una superposición |Ψ(t) i =
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REFERENCIAS
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a0 | 0i + a2 |2 i + a4 | 4i+0xe0d1donde los coeficientes impares se han anulado por
conservación de la paridad. Pero los coeficientes a0 ,a1 ,etc son la probabilidad
de que el sistema pase de un estado de cero partículas a un estado de 0,1,2...
partículas. Por lo tanto, este resultado explica la creación de pares de partículas
como ligada a problemas dependientes del tiempo.
AGRADECIMIENTOS
W. Cuervo es parcialmente financiado por la DINAIN bajo proyecto D100C291.
REFERENCIAS
[1] S. W. Hawking Commun. Math. Phys. 43, 199 (1975).
[2] W.G. Unruh, Phys. Rev. D, 14, 870, (1976).
[3] R. Abraham, y J. Marsden, Foundations of Mechanics, Benjamin (1978).
[4] R.M. Wald, Quantum Field Theory in Curved Spacetime and Black Hole Thermodynamics. University of Chicago Press, (1994).
[5] B. Simon, Topics in Functional Analysis, Academic Press (1972).
[6] R. M. Wald. General Relativity. The University of Chicago Press, (1980).
[7] C. Aldana. Trabajo de grado de Matemáticas,Universidad Nacional, (2000).
[8] B. Kay, gr-qc/0103056 (2001)
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