Apunte Matemática - UTN Santa Fe

Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional Santa Fe
Tec. en Mecatrónica
Capítulo 1: Conjuntos Numéricos
1. Números naturales
Al conjunto de los números Naturales los simbolizamos con la letra
conjuntista, es la siguiente:
.
Mientras que indicaremos con
. Su notación
.
1.1.Operaciones y propiedades:
Adición o Suma:
La suma es una Operación Cerrada, es dicir, la suma de dos números naturales da
como resultado otro natural.


La suma verifica la Propiedad Conmutativa:
La suma verifica la Propiedad Asociativa:

Existencia de Elemento Neutro:
.
.
.

La suma verifica la Propiedad Cancelativa:
.
Resta o Diferencia:
La resta no es una Operación Cerrada ya que la diferencia entre dos números
naturales no siempre da como resultado un número natural. Sólo se obtiene un número
natural si el minuendo es mayor que el sustraendo.
La última expresión indica que la sustracción es la operación inversa de la adición.




La diferencia no verifica la Propiedad Conmutativa:
La diferencia no verifica la Propiedad Asociativa:
La diferencia verifica la Propiedad Cancelativa:
Si
la diferencia es cero. Si
.
.
.
.
Sumas algebraidas:
Una suma algebraica de números naturales es una sucesión de sumas y restas.
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Regla de Supresión de Paréntesis:
Ejemplo:
o
o
o
Multiplicación o Producto:
Definición:
n veces
m y n se denominan factores.





Ley de cerradura:
.
Propiedad Conmutativa:
.
Existencia de Elemento neutro:
Propiedad Asociativa:
.
Propiedad distributiva del producto respecto a la suma o resta:

Se llama múltiplo de un número natural n al producto de n por cualquier número
natural.
División o Cociente:
Donde m se denomina dividendo, n se denomina divisor y t se denomina cociente.
Para que la operación sea posible en el conjunto de los números Naturales debe
ser el dividendo múltiplo del divisor.
Ejemplo:



La división no verifica la propiedad de cerradura, salvo que se verifique la
condición indicada en la definición.
La división no verifica la Propiedad Asociativa:
.
La división no verifica la Propiedad Conmutativa:
.
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
Tec. en Mecatrónica
La división verifica la Propiedad Distributiva con respecto a la suma algebraica
sólo a derecha
.

NO es posible dividir por cero.
Ejercicios 1:
1) Suprimir los paréntesis y calcular la suma algebraicas:
a) 16 + ( 15 – 2 ) + ( 7 – 3 ) + 3=
b) ( 35 – 6 ) - ( 9 – 6 ) + 16=
c) 30 – [ 4 + ( 12 – 4) – 3 [ (10 – 3 ) ] ]=
d) 40 + (23 – 7) + [ 7 + (5 – 3). 4]=
2) Compré en una librería crayones, lápices y cuadernos. Por los cuadernos pagué $14 y por los
lápices $7. Si todo me costó $30.¿Cuánto pagué por los crayones?
3) Compré una revista, pagué con un billete de $20. El cajero me pidió dos pesos y me devolvió
un billete de $5. ¿Cuánto me costó la revista?
4) Resolver aplicando propiedades:
a) 6.( 3 + 4 )=
b) ( 11 – 4 ). 3=
c) ( 3 + 5 ). (3 – 2)=
d) (10 – 3 ). (5 – 2)=
e) 2[ 3 ( 2 – 5) ] + 6 ( 4 – 1 ) – [ 12 (6 – 5 ) ]=
f) 3 (5 – 1) + 6 (4 – 1 + 3 ) – 2 ( 15 – 6 – 7)=
g) {25 + [6 (5 – 3 ) + 5 ( 8 – 3 – 2 )]}=
h) (12 – 4 + 6 – 8):2 =
i)
60- {[ 5( 6 – 3 ) + ( 8 – 2) :3 ] 2}=
j)
15 – 12 : 3 + 2 + 6:3=
k) [ 5 ( 4 – 2 )+20: (4 + 1) + 1] : 5=
l)
{ [ 18 – 6 – 2 ( 8 – 4) + 3 (5 – 2) + 2 ]:3 } 2 =
5) Despejar x de las siguientes igualdades:
a) 8x – 5 = 3x + 20
b) 4x + 2 = 3x + 6
c) 2x + 5x = 24 – 3
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d) 3x + 10= 5x + 4
e) 3x + 2 + 8x = x + 20 – 2(7 – 2 )+ 2
6) El triple de un número menos 3 es igual al doble del número más 2 ¿Cuál es el número?
7) El perímetro de un campo rectangular es de 1100 metros. Si un lado mide 20 metros más que el
otro ¿Cuánto miden los lados?
8) Por una mesa con una silla pagué $70. Si la mesa cuesta $50 más que la silla.
¿Cuál es el
precio de la mesa y cuál es el precio de la silla?
2. Números Enteros:
El conjunto de los Números Enteros y se lo simboliza con la letra . Está formado por
el conjunto de los números Naturales a los que también se lo llama el conjunto de los
Enteros Positivos (
, el cero y un nuevo conjunto llamado los Enteros Negativos ( ).

Todo número entero tiene opuesto, es decir, si consideramos el número entero a,
su opuesto es el número –a. La suma de un número entero y su opuesto es igual a
cero
.
2.1.Operaciones y propiedades:
Adición:

Se verifica la Ley de Cerradura, es decir, la suma de dos números enteros da
como resultado otro número entero:

Se verifica la Propiedad Conmutativa:

Se verifica la Propiedad asociativa:

Existe Elemento Neutro, que es el cero:
.
.
.
.
Resta:

Se verifica la Ley de Cierre, es decir, la diferencia o resta de dos números enteros
da como resultado otro número entero:

.
Para restar dos números enteros al minuendo se le suma el opuesto del
sustraendo
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.

No verifica la Propiedad Conmutativa:

No verifica la Propiedad Asociativa:

Verifica la Propiedad Cancelativa:
.
.
.
Producto:

Verifica la Ley de Cerradura, es decir, el producto de dos números enteros da
como resultado otro número entero
.

Verifica la Propiedad Conmutativa:
.

Verifica la existencia de Elemento Neutro:

Verifica la Propiedad Distributiva con respecto a la suma y a la resta.

Verifica la existencia de Elemento Absorbente,
.
.
División:
Esta operación es posible en el conjunto de los números Enteros siempre que el
dividendo sea múltiplo del divisor:
.
3. Números Racionales:
El conjunto de los Números Racionales se lo simboliza con
.Dados
p se denomina numerador de la fracción y q se denomina denominador de la fracción.
Dados los números enteros
es equivalente a sí y sólo sí
diremos que la fracción
.
Llamaremos mínima expresión de un número ración a la fracción cuyo numerador y
denominador no tienen divisores enteros comunes.
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o
entonces es la mínima expresión de
Orden en
Tec. en Mecatrónica
.
:
Dados dos números racionales
se define la suma, la resta, el producto y el
cociente de ellos respectivamente por:
4. Números Irracionales:
El conjunto de números irracionales se lo denomina . Está formado por
todos los números cuya expresión decimal tiene infinitas cifras decimales no
periódicas.
Ejemplos:
5. Números Reales:
El conjunto de número reales se lo denomina . Está formado por la unión
del conjunto de los números racionales con los números irracionales. Conservando
todas los operaciones y propiedades de los mismos.
6. Potenciación:
el producto de n veces el factor a se denomina potenciación y se lo
simboliza de la siguiente manera:
.
 A recibe el nombre de base de la potencia.
 N se llama exponente.
Ejemplo:
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o
o
Propiedades:

o
La potencia no verifica la Propiedad Conmutativa:

o
o
La potencia no es distributiva respecto a la suma o resta:
y
y

La potenciación es distributiva respecto del producto y del cociente:
.
o
o

El producto de potencias de igual base es igual a dicha base elevada a la suma de
los exponentes:
o

El cociente de ponencia de igual base es igual a dicha base elevada a la diferencia
entre el exponente del numerador y el exponente del denominador :
o

La potencia de cualquier número real, no nulo, elevado a exponente cero es igual
a uno
o

La potencia de un número elevado a otra potencia es igual a la base de esa
potencia elevada al producto de los exponentes:
o
o

La potencia de un número elevado a un número negativo es uno sobre la base
elevado el opuesto de la potencia negativa:
o
o
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7. Radicación
Si consideramos dos números naturales n y p se dice que el número a es la raíz nésima de p sí y sólo sí la n-ésima potencia de a es p.
 N se denomina índice.
 P se denomina radicando
 A se denomina raíz n-ésima de p.
Ejemplo:
o
o
.
Recordar que la raíz de un radicando negativo con índice par no existe solución en los
reales.
Propiedades:

La radicación no verifica la Propiedad Conmutativa:
o

La radicación no es distributiva respecto a la suma o resta:
o
o

La radicación es distributiva respecto del producto y del cociente:
o
o

La potencia m de la raíz n del número p es igual a la raíz n de la potencia m de p:
o

La radicación se puede escribir como potencia:
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o
o
Ejercicios 2:
1) Calcular:
1 4 7
  
3 3 3
12 88 1
b)
  
5 5 5
1 2 5
c)  
 
4  4  4
1 11 3
d)  

5 5 20
a)
1  7 3

 
12  2  4
7 8 1
g)  5   

15 3 30
1
7
h)   10   3 
3
12
2 7
i) . 
5 3
f)
e)
7 3 1 2
   
2 5 6 5
j)
p)
3 2 7 7
   
57 2 3
q)
2)
1   3  11

 
5 5  2
7 7
l) : 
4 6
4   12 
m) : 

5  15 
2 1 2
n)  6    5

3 5  3 
k)
7  5
.

4 3 
3 3 5
o) 2  .  4 
4 4 2
3   1  4  2
   
5  3  5  5
9 2 1 2
r)   2 :   
2 7  3 9
¿Verdadero o falso? Justifique su respuesta
a) 3  4   3 2  4 2
g ) a 2  2ab  b 2  a  b 
b) 6 : 2  6 2 : 2 2
h) 6abc : 2ac   3b 3
c) a  b   a 2  2ab  b 2
i ) 2 2 .2 5  2
d ) 2 3.2 4.2 2  2 9
j)
36  64  36  8
e) 4mn  64mn
k)
a .3 a  6 a 5
2
2
2
3


3
f ) 3m 2 n  27m 6 n 3
3)
Calcular:
3
 
3
2
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a) 4 0  .......
b)
4 2  .....
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41  ........
36 
3
2    
d ) 5   
e)  2  
2
3 2
c)
5
3
2 0
4
4)
3
Resolver las siguientes ecuaciones:
a) x 2  3  28
c)
b) x 2  4  12
x2  9
6
3


d ) 3 x 2  3  20  x 2  7
2
5) La superficie de un cuadrado es de 121 m . ¿ Cuánto mide el lado del cuadrado?
2
2
6) La superficie de un cuadrado aumentada en 6 m es de 150 m ¿Cuánto mide el lado del
cuadrado?
2
El doble de la superficie de un cuadrado aumentado en 10 m es igual al triple del área de ese
7)
2
cuadrado disminuido en 90 m ¿Cuánto mide el lado del cuadrado?
3
8)
Calcular:
9)
Calcular:
16 3  3 3.3 32 .3 36 
3
a)
 3 1  2 
    
 4 2  
c)
 1 1  2  4 1  2 
        
 2 3   3 3  
e)
1 1 1
      
2 2 2
2
 1 2 3  4 
b)        
 2 3 4  3 
3
2
3
2
2
  1   3
 5
2 3  1 :  5  3  3  
 
 
 
d)
4
f)
3
4
2
 1   1   1  
  :      
 2   2   2  
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10)
Tec. en Mecatrónica
Decidir qué afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificando en cada caso la respuesta. En el
caso que sean falsas justificar con un ejemplo numérico
a)
a 
b)
 11  1
c)
ab
3
 a 2 
2 3
d)
entonces
 62
e)
x
11)
Simplificar la expresión siempre que sea posible:
3

 6
a2  b2

a)
1

2 1 3
2
ab
x
b
x


b)
  b 2 
a 1    
  a  

d)


 1  x 
  2  y 
   

c)
a
1
1

2


1
2
a
45
a
2
3
b
1


b  .bx  3 

a2
1 
b2
con
b
a

 2  1
b

2
2
1
2

b0
0ba
con
1

a0
1
2
1

 

1 y 2
  
 1 
2 x 



 b 1 .a  b 
6

 1   x  1 x 2  x  1
a0




2
1
1

e) 

2
2 
3
 2a  1  
1   2a  1 
1  



  3 
 3  
12) Resuelva las siguientes ecuaciones:
b0
0 y x
x0
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a)
x3 0
b)
c)
e)
g)
x  4  1
7 x  33  4 x  22 x
xx  1x  3  0
d)
f)
Tec. en Mecatrónica
x2  3  0
x

 9  x  3x  3
x  2x  1  0
2
8. Intervalos en el conjunto de los números Reales
A cada punto de la Recta Real le corresponde un número Real y cada número Real
corresponde a uno y sólo uno de los puntos de la Recta Real.
Recta Real
0
Orden y Desigualad:
Si a y b son números reales diremos que:

a es menor que b si (b-a) es positivo, y lo escribimos:

a es menor o igual que b si (b-a) es positivo o nulo, y lo escribimos:

a es mayor que b si (b-a) es negativo, y lo escribimos:

a es mayor o igual que b si (b-a) es negativo o nulo, y lo escribimos:
.
.
Propiedades de las desigualdades

Propiedad Transitiva: Si

Propiedad Aditiva: Si

Si

Si
.

Si
.
.
.
es cualquier número real
Intervalos y Semirrectas:
.
.
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Los conjuntos numéricos más frecuentes son los intervalos de la recta real.
Sean

Intervalo Abierto:

Intervalo Cerrado:

Intervalos Semiabierto:

Intervalos no acotados o semirrecta:
,
,
El conjunto de los valores de x que satisfacen la desigualdad se llama Conjunto
Solución de la desigualdad dada.
Ejemplo:
o
Hallar el conjunto solución de la desigualdad:
El conjunto Solución es el intervalo
.
9. Valor Absoluto:
El valor absoluto de un número es el mismo número si es positivo o nulo, y es opuesto
si el número es negativo.
El valor absoluto de un número se interpreta geométricamente como la distancia del
número al 0 en la recta numérica.
Propiedades:





(Desigualdad triangular)
es equivalente a:
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
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es equivalente a:
Ejemplos:
o
o
o
o
o
10. Logaritmo:
de
Sean
números reales positivos,
, diremos que
si y sólo si elevado a la es igual a . En símbolos:
Ejemplos:
o
es el logaritmo en base
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o
o
o
Ejemplos:
o
Hallar el valor de b en
.
Pasamos la exponencial
Elevamos ambos miembros a la potencia 4/3:
o
¿Cuál es la solución de la ecuación
Pasamos a la forma exponencial:
Reescribimos como potencias de igual base:
Usamos la propiedad enunciada arriba:
Luego x=-2.
Propiedades:







Ejemplos:
o
Resolver y verificar:
Luego
?
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o
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Resolver y verificar:
Verificación:

es solución

no es solución porque no está definido
el logaritmo de un número negativo.
o
Una sustancia radiactiva se desintegra de acuerdo con la ley
, donde y
es la cantidad remanente después de t años. Si tenemos la cantidad inicial A=80
gramos
a) ¿Qué cantidad quedará después de 1 año?
b) ¿Cuánto tardará para desintegrarse la mitad?
Solución: a) Como A=80 gramos, tenemos
, necesitamos reemplazar t por 1.
gramos.
b) Debemos averiguar en qué instante es y=40 g.
.
Ejercicios 3:
1) Escriba en cada caso el conjunto de número enteros que satisfacen la desigualdad y
representarlas gráficamente la solución:
a)
c)
e)
x3 2
1 x  4
3x  7  1
y
y
1  x  3
2x 1  3
b)  7  x  1  2
d )  x  2  1 y
 x  2  0
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2) Determinar para que valores de x se verifica y representar gráficamente la solución de las
a)
x  2 x   8    3  5
b)
(1). x  3  2  2
c)
 x  1  ( 7  9)  0
d)
5  x  2  4  (1)
 4 x  2  10
desigualdades: e)
f)
2x
5  7
7
g)
1
h)
4 7  3x  5  3
3x
2
4
3) Para pensar mejor:
a)
¿Para qué valores de a y b se cumple a  b  a  b ?
4)
b)
¿Para qué valores de a   es cierta la siguiente desigualdad? x  a
c)
¿Cuándo es cierto que  x  x ?
d)
¿Cuándo es cierto que x   x ?
Hallar el valor de x y verificar la solución.
a)
log  x   66,71
b)
log 3 2 x   log 3 x 2  3  0
c)
d)


log 5  x  2  log 5  x  2  1
log 3 x  1  log 3 3 x  5  2
 
e)
ln x 3  ln 4 x   0
f)
2 log  x   log 6  2 log 2   3 log 2 
5)
Se sabe que la reproducción de la levadura responde a una ley como la siguiente:
C  3.2 t donde t es el tiempo medido en minutos, C es el crecimiento, 3 la cantidad inicial de
levadura presente.
a) ¿Qué cantidad de levadura hay al cavo de una hora?
b) ¿En cuánto tiempo toma C el valor 100?
c) ¿En cuánto tiempo C cuadruplica su cantidad inicial?
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Capítulo 2: Polinomios
Llamaremos expresión algebraica a toda combinación de letras y/o números
vinculados entre sí por las operaciones de suma, resta multiplicación y potenciación de
exponente racional.
Una expresión racional entera recibe el nombre de Polinomio.
Simbólicamente:



se denomina coeficiente.
se denomina coeficiente principal.
se denomina término independiente.
Monomio: Es toda expresión algebraica entera en la que no intervienen las
operaciones de suma ni resta. Es decir, un monomio es un polinomio de un solo término.
Ejemplos:
,
,
Polinomio Ordenado: Decimos que un polinomio está ordenado respecto de una
letra llamada ordenatriz cuando todos sus términos están dispuestos de modo que los
exponentes de dicha letra ordenatriz vayan aumentando ó disminuyendo sucesivamente
desde el primer término hasta el último. La ordenación será creciente ó decreciente según
los exponentes de la letra ordenatriz vayan de menor a mayor o viceversa.
Ejemplo:
o
o
Polinomio Completo: Un polinomio se dice que está completo cuando contiene
términos de todos los grados según la letra ordenatriz, desde el mayor hasta el grado 0.
Ejemplo:
o
o
Polinomio Opuesto: El polinomio opuesto de uno dado es el que sólo difiere de
aquel en el signo de los coeficientes.
Ejemplo: Sea
.
u
u
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Igualdad de Polinomios: Dos polinomios son iguales cuando tienen el mismo
grado y los mismos coeficientes de los términos de igual grado.
Sean los polinomios :
Diremos que:
.
Ejemplo: Hallar los valores de
para que
y
con
.
Para resolver el problema igualamos los coeficientes correspondientes de los términos de
igual grado:
Polinomio nulo: Es aquel cuyos coeficientes son todos nulos. Lo simbolizamos
con 0.
Valor Numérico: Es el número real que se obtiene al reemplazar las letras (o
variables) que intervienen en la expresión por números reales determinados y efectuar los
operaciones indicadas, siempre que sea posible.
Ejemplos:
o
o
Operaciones fundamentales:

Operaciones con monomios semejantes:

Suma:

Resta:

Producto:

Cociente:

Operaciones con monomios semejantes:

Suma:

Resta:
Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional Santa Fe

Suma Algebraica:

Producto:

Cociente:

Operaciones con Polinomios:

Suma:

Resta:

Producto de un polinomio por un monomio:

Producto de dos polinomios:
Tec. en Mecatrónica
Se aplica la propiedad distributiva del producto respecto de la suma o resta y se
respetan las propiedades de producto de potencia de igual grado. Al multiplicar un
polinomio de grado m por otro de grado n, se obtiene un polinomio de grado m+n.

Cociente de un polinomio por un monomio:

Cociente entre polinomios: Sean P(x) y Q(x) dos polinomios con Q(x)≠0,
gr(P(x))=m, gr(Q(x))=n y m ≥n. Entonces existen dos polinomios únicos C(x) y R(x)
tales que verifican:
P(x)=Q(x).C(x)+R(x) donde R(x) es el polinomio 0 o tiene grado menor al grado de
Q(x).
Llamaremos a P(x) dividendo, a Q(x) divisor, a C(x) cociente y a R(x) resto.
Cuando R(x)=0 entonces P(x)=Q(x).C(x) y así Q(x) es un factor de P(x).En este
caso se dice
que:’’ P(x) es divisible por Q(x)’’, o que ‘’Q(x) es divisor exacto de P(x)’’.
Ejemplo: Sean
y
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Con lo cual C(x)=
Tec. en Mecatrónica
y R(x)=
Observación: Cuando P(x) no es un polinomio completo es necesario ordenarlo en forma
decreciente y completarlo para poder realizar los cálculos.

Cociente de un polinomio por uno de la forma (x-a):
Para resolver este tipo de cociente se utiliza la Regla de Ruffini.
Sea:
y
. Calcular P(x):Q(x).
Se emplea la siguiente práctica:
o
En la primera fila se escriben los coeficientes del dividendo completo y ordenado.
o
En la segunda fila, a la izquierda, se escribe a, es este caso 2
Nota: si el polinomio divisor hubiese sido
, a hubiese sido -2, pues
x+2=x-(-2)
o
En la tercera fila se escriben los coeficientes del cociente que se van obteniendo,
mediante la siguiente regla:
 El primer coeficiente del cociente baja, es 4.
 Luego se hace 4.2=8 y ese valor se escribe debajo del coeficiente 5.
 Se suma 5 + 8 =13. El segundo coeficiente es 13.
 Se hace 13 . 2 =26 y se escribe debajo del coeficiente -1.
 Se suma -1 +26=25. El tercer coeficiente es 25.
 Se hace 25.2 =50 y se escribe debajo del coeficiente 12.
 Se suma 12+50 =62. El resto es R(x)= 62
 El cociente es :
Teorema del Resto:
El resto de la división de un polinomio P(x) por otro de la forma (x-a), es igual a P(a).
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o
Tec. en Mecatrónica
Para nuestro ejemplo anterior se pedía calcular P(x):Q(x) con
y
. Si sólo nos interesa conocer el resto de esta división
entonces calculamos:
.
Entonces cuando queramos investigar si un polinomio P(x) es divisible por uno de
la forma (x-a), bastará con encontrar P(a). Si P(a)=0, entonces P(x) será divisible por (xa). Si P(a)≠ 0, no lo será.
Raíces de un polinomio:
Decimos que un número real a es raíz o cero del polinomio P(x) sí y sólo sí se verifica
que P(a)=0.
o
El número real
es raíz o cero de
pues
.
o
El polinomio
no admite ceros o raíces reales porque al plantear
vemos que no existen valores reales que satisfagan la igualdad.

Para encontrar los ceros o raíces de
Las raíces de esta expresión están dadas por la forma:
o
Sea
.
. Haciendo la resolvente
De donde
.
Lema de Gauss: Sea
coeficientes enteros.


, es decir,
un polinomio con
Si P(x) admite al número entero a como raíz, entonces a es divisor de .
Si P(x) admite al número racional
como raíz, entonces p es divisor de
q es divisor de
.
y
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Tec. en Mecatrónica
Ejemplo: Sea
donde
y
, si R(x) admite una raíz racional
se deberá verificar que p es divisor de 4 y que q es divisor de 1. Luego:
Los posibles son
las posibles raíces racionales son
x=2 es una raíz de R(x).Es decir, (x-2) es divisor de R(x) ,haciendo Ruffini:
Luego
Haciendo la resolvente para
Luego
obtenemos:
.
Observación: es posible que un polinomio tenga varias raíces iguales, por ejemplo:
. En este caso se dice que a=2 es raíz de
multiplicidad 2.
Decimos que un polinomio:
mónico, si su coeficiente principal es igual a 1, o sea, si
con
es
.
Teorema Fundamental del Álgebra: un polinomio con coeficientes reales de grado n
tiene n raíces (reales o complejas) contadas con su multiplicidad.
Este polinomio puede escribirse en su forma factorizada de la siguiente manera:
donde
es el coeficiente principal y las
las n
raíces.
Ejemplo: ¿Cuáles son las raíces de
?
El polinomio tiene 4 raíces: a=1 con multiplicidad 1 y a=-3 con multiplicidad 3.
Factoreo de Expresiones Algebraicas Enteras:
 Factor Común: Una expresión algebraica es factor común de todos los términos
de un polinomio cuando aparece repetida en cada uno de esos términos.
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La expresión
común, resulta:
Tec. en Mecatrónica
, el factor común es
. Sacando
como factor
.
 Factor común por grupos: Por ejemplo:
.
No existe un factor común a todos los términos, pero agrupando los términos que admiten
factor común, podemos escribirlo:
2 ( + ).
 Trinomio Cuadrado Perfecto: Llamamos así al trinomio tal que dos de sus
términos son cuadrados perfectos y el otro es el doble producto de las bases de
esos cuadrados.
A través de dicha bases factorizamos el trinomio
.
 Cuatrinomio Cubo Perfecto: Llamamos así a todo cuatrinomio de la forma:
El polinomio dado resulta que:
.
Diferencia de Cuadrados: Todo polinomio que es diferencia de cuadrados es igual al
producto de la diferencia de las bases de dicho cuadrado por la suma de las mismas, es
decir:
Ejercicios 1:
1) Dados los polinomios: P(x)= -2x+0,5x2 ; Q(x)= - +
x-2x2 ; S(x)= - -
x+2x2
Hallar las siguientes sumas e indicar el grado del polinomio resultante: a)P+Q
P+Q+S
2) Hallar las diferencias:
b) Q+S
c)
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3) Multiplicar:
4) Hallar los cocientes:
5) ¿Para que valores de ‘’v’’ el polinomio x3+ vx2 + 3x es divisible por (x+5)?
6) Hallar las raíces restantes de los siguientes polinomios y luego escribirlo en forma factorizada
(como producto de factores lineales):
siendo x=-3 una raíz.
siendo x=-1 raíz de multiplicidad 2.
7) Calcular todas las raíces del polinomio P(x)= x4 + 2x3 - 3x2 - 4x + 4 .
8) Construir un polinomio Mónico de segundo grado que tenga a x=2 como raíz y donde el término
independiente sea 3.
9) Dado el polinomio Q(x)= x5 – x4 – 7x3+x2+6x . Calcular todas las raíces y factorizarlo.
10) Factorizar las siguientes expresiones, combinando los distintos casos de factoreos:
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Respuestas:
Capítulo 1:
Ejercicios 1:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
a) 36 ; b)42 ; c)39; d)71
9
17
a) 42; b) 21; c) 8 ; d) 21; e) -12; f) 44; g) 52; h) 3; i) 26; j) 15; k) 3; l) 10
a) 5; b) 4; c) 3; d) 3; e) 1
5
265 y 285
Sillas $10 y mesa $60.
Ejercicios 2:
1. a) -2/3 ; b) -77/5; c) 2; d) -37/20; e) 52/15; f) 13/3; g)-217/30; h)145/12; i)14/15; j) 35/12;
k) -33/50; l) 3/2; m) -1; n) -113/15; o) -5/8; p)17/42; q)-7/25; r)
811/126
2. a) F; b) V; c)V; d)V; e)F; f)V; g)V; h)F; i)F ; j)F, k)V
3. a)1; 16; 4; b) 9;c) 260; d)1; e) 64
4. a) 5; b) 4; c) 3; d) 3
5. 11
6. 12
7. 10
8. 31
9. a) 15625/4096; b) 169/36; c)(61/36)3; d) 4/9; e) 5/16; f)8
10. a) F; b)F; c)F; d)F; e)V
11. a) 2ab1/3x1/3-x2/3 ; b)(2b2)/(a2-b2)1/2 ; c)(y+x)/(y-x); d)1/(a8/5b); e) (a2+1)/(a4+a2+1)
12. a) -3; b) ; c) 3; d) ; e) -33/25; f) 1, 2; g) -3,0,1
Ejercicios 3:
1.
2.
3.
4.
5.
a) (-,-1]; b)[-8,-3]; c) (-3,4); d)(-3,-2) ; e)(-2,1)
a) 0; b) -1 , 7; c) ; d) -2; e) (-,-2)U(3,); f) (-7,42); g)[-4,4/3]; h) [5/3,3]
a) a y b deben tener el mismo signo; b) (-,0]; c) x≥0; d) 0≥x
a) 5,13x1066; b) 3; c) 3; d) -23/13 ; e) -2, 2; f)
a) 3,46x1018 ; b) 5,06[s]; c)2[s]
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Tec. en Mecatrónica
Capítulo 2:
Ejercicios 1:
1.
2.
3.
4.
5. v=28/5
6. a)x=4, x=-2, S(x)=(x-4)(x+2)(x+3); b) x=2, x=-3; T(x)= (x-2)(x+3)(x+1)(x+1)
7. x=1 (doble) y x=-2 (doble)
8. P(x)=x^2 -7/2 x+3
9. Q(x)=(x-1)(x+1)(x+2)(x-3)x. Las raíces son 0; 1; -1, -2; 3
10. a) 5b2(a-5b2x4)2; b) (a-b)(a+b)(m-n) ; c) 5x3b(2/3 xb-1)(2/3 xb+1); d) (a-1)2(a+1);
e)1/3 a(a+b)(m-2n); f) a(a-2)(a+2)(a-x); g) 3x(2x-y)3; h) 3x(1/2 a-1)3; i) (m2+n)(a1)(a2+a+1)