Teor´ıa de Galois diferencial

Universidad
del Paı́s Vasco
Euskal Herriko
Unibertsitatea
29 de febrero de 2012
Teorı́a de Galois diferencial
Teresa Crespo, Universitat de Barcelona
Cronologı́a
Joseph Liouville (1809-1882)
Sophus Lie (1842-1899)
Émile Picard (1856-1941)
Ernest Vessiot (1865-1952)
Joseph Ritt (1893-1951)
Ellis Kolchin (1916-1991)
Differential algebra is easily described: it is (99 per cent or more) the work of
Ritt and Kolchin., I. Kaplansky, ”An introduction to differential algebra”, 1957.
Extensión de Picard-Vessiot
K cuerpo diferencial
d : K → K, d(a + b) = da + db, d(ab) = (da)b + a(db)
CK := {a ∈ K : d(a) = 0} (subcuerpo de constantes)
Consideramos cuerpos de caracterı́stica 0.
y1, . . . , yr ∈ K son linealmente independientes sobre CK ⇔
(j)
W r(y1, . . . , yr ) := det((yi )1≤i≤r,0≤j≤r−1) 6= 0. (Wronskiano)
L(Y ) = Y (n) + a1Y (n−1) + · · · + an−1Y ′ + anY = 0, ai ∈ K
Si L|K es extensión de cuerpos diferenciales, el conjunto de soluciones de L(Y ) = 0
en L es CL-espacio vectorial de dimensión ≤ n.
Una extensión de Picard-Vessiot de K para L(Y ) = 0 es un cuerpo diferencial L,
extensión de K tal que
1. L contiene n soluciones y1, . . . , yn de L(Y ) = 0, linealmente independientes
sobre constantes (Sistema fundamental de soluciones)
2. L = Khy1 , . . . , yni
3. CL = CK
Existencia y unicidad de la extensión Picard-Vessiot
K cuerpo diferencial, CK algebraicamente cerrado,
L(Y ) = Y (n) + a1Y (n−1) + · · · + an−1Y ′ + anY = 0, ai ∈ K
Construcción.
Yi,j′ = Yi+1,j , 0 ≤ i ≤ n − 2,
• K[{Yi,j }0≤i≤n−1,1≤j≤n], ′
Yn−1,j = −(a1Yn−1,j + · · · + an−1Y1,j + anY0,j )
• A := K[{Yi,j }0≤i≤n−1,1≤j≤n][1/det(Yij )] (Álgebra universal de soluciones)
• R := A/I, con I ideal diferencial maximal, es dominio de integridad
• L := F rac(R) es extensión Picard-Vessiot de K para L(Y ) = 0
Proposición. Sea R una K-álgebra diferencial finitogenerada y dominio de integridad. Si R no tiene ideales diferenciales propios, entonces L = F rac(R) tiene
cuerpo de constantes igual a CK .
La extensión Picard-Vessiot es única salvo K-isomorfismo diferencial.
Grupo de Galois diferencial
Si L|K es extensión de Picard-Vessiot para L(Y ) = 0, definimos su grupo de Galois
diferencial por
DGal(L|K) := DAutK L.
Si ϕ es K-automorfismo diferencial de L, y1, y2, . . . , yn sistema fundamental de
soluciones de L(Y ) = 0 en L, tenemos
ϕ(yj ) =
n
X
i=1
cij yi, cij ∈ CK ,
y ϕ queda determinado por ϕ(yj ). Asociamos a ϕ la matrix (cij ) ∈ GL(n, CK ).
DGal(L|K) ⊂ GL(n, CK ).
El grupo lineal GL(n, CK ) se identifica con el cerrado de Zariski
{(c11, . . . , cnn, b) : det(cij )b = 1}
del espacio afı́n de dimensión n2 + 1 y DGal(L|K) es un cerrado de Zariski de
GL(n, CK ), es decir un grupo lineal algebraico.
Se cumple
dim DGal(L|K) = grtr(L|K).
Ejemplos
K cuerpo diferencial con CK algebraicamente cerrado.
◮ Adjunción de una primitiva
L = Khαi, con α′ = a ∈ K, tal que a no es derivada en K. Entonces L|K es
a′ ′
′′
extensión transcendente, es Picard-Vessiot (para Y − Y = 0),
a
1 c
DGal(L|K) ≃ CK ≃
⊂ GL(2, CK ).
0 1
◮ Adjunción de la exponencial de una primitiva
L = Khαi, con α′/α = a ∈ K \ {0}. Entonces L|K es extensión Picard-Vessiot
(para Y ′ − aY = 0). Si α es transcendente sobre K,
∗
DGal(L|K) ≃ CK
≃ GL(1, CK ).
Si α es algebraico sobre K, DGal(L|K) es un grupo cı́clico finito.
Teorema fundamental de la Teorı́a de Picard-Vessiot
Sea K un cuerpo diferencial con cuerpo de constantes CK algebraicamente cerrado,
L|K extensión Picard-Vessiot.
a) Las correspondencias
F 7→ DGal(L|F ) ,
H 7→ LH
entre el conjunto de cuerpos diferenciales F con K ⊂ F ⊂ L i el conjunto
de subgrupos cerrados H de DGal(L|K) invierten inclusiones, son biyectivas e
inversas una de otra.
b) La extensión F |K es Picard-Vessiot si y sólo si DGal(L|F ) ⊳ DGal(L|K). En este
caso
DGal(F |K) ≃ DGal(L|K)/ DGal(L|F ).
Resolubilidad por cuadraturas
Una extensión de cuerpos diferenciales K ⊂ L se llama extensión de Liouville si
existe una cadena de cuerpos intermedios K = F1 ⊂ F2 ⊂ · · · ⊂ Fn = L tal que
Fi+1|Fi, es algebraica o se obtiene por adjunción de una primitiva o de la exponencial
de una primitiva, 1 ≤ i ≤ n − 1.
Teorema. Sean K un cuerpo diferencial con cuerpo de constantes CK algebraicamente cerrado, L|K una extensión de Picard-Vessiot. Son equivalentes
1. L|K es extensión de Liouville.
2. la componente conexa del cero de DGal(L|K) es resoluble.
Una solución de una ecuación diferencial definida sobre K se llama Liouvilliana si
está contenida en una extensión de Liouville de K.
Para ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de orden 2, definidas sobre C(z),
el algoritmo de Kovacic (1986) permite calcular explı́citamente las soluciones Liouvillianas.
1R a
2
La ecuación Y +aY +bY = 0, se transforma mediante Y 7→ (e R )Y en Y ′′ = rY ,
con r = 12 a′ + 41 a2 − b. Si y es solución de Y ′′ = rY , entonces y (1/y 2) también es
solución, independiente de y.
′′
′
Ejemplos.
1. La ecuación de Airy Y ′′ = zY no tiene soluciones Liouvillianas.
2. Consideramos la ecuación de Chebyshev
2
α
z
Y′− 2
Y = 0, α ∈ R,
Y ′′ + 2
z −1
z −1
con α 6= ±1/2, que se transforma en
(α2 − 1/4)z 2 − α2 − 1/2
Y.
Y =
2
2
(z − 1)
′′
Una solución es
y=e
R
ω
2
= (z − 1)
1/4
p
(z + z 2 − 1)α.
Normalidad de extensiones de cuerpos diferenciales
Una extensión L|K de cuerpos diferenciales es normal si LDGal(L|K) = K.
Si K es cuerpo diferencial con cuerpo de constantes CK algebraicamente cerrado,
1. toda extensión Picard-Vessiot L|K es normal.
2. si L|K es extensión galoisiana finita, la derivación de K se extiende a L en forma
única y L|K es extensión Picard-Vessiot.
Ejemplos.
√
1. La extensión Q( 2)|Q es normal pero no Picard-Vessiot.
2. Consideramos F = R(t)(e3t), L = R(t)(et). Entonces L|F es extensión de
Picard-Vessiot para Y ′ = Y , pero DGal(L|F ) = {IdL}, por tanto no es normal.
Normalidad de extensiones de cuerpos diferenciales
Consideramos la torre de cuerpos
L = R(t)(et)
DGal(L|F ) = {IdL} ⇒ L|F no normal
F = R(t)(e3t)
K = R(t)
DGal(L|K) = R∗ ⇒ L|K normal
Extensiones fuertemente normales
Sea L|K una extensión de cuerpos diferenciales.
1. Si M es un cuerpo diferencial, extensión de L, f : L → M un K-morfismo
diferencial, decimos que f es fuerte si
(a) f (a) = a, para todo a ∈ CL,
(b) Lf (L) = LCLf (L).
2. L|K es fuertemente normal si es diferenciablemente finitogenerada y, para cada
cuerpo diferencial M , extensión de L, todo K-morfismo diferencial f de L en
M es fuerte.
L|K fuertemente normal ⇒ CL = CK
El grupo de Galois diferencial de una extensión fuertemente normal tiene estructura
de grupo algebraico definido sobre CK y se tiene un teorema fundamental galoisiano
para extensiones fuertemente normales.
L|K Picard-Vessiot ⇔ L|K fuertemente normal y DGal(L|K) grupo lineal algebraico.
Una extensión de Weierstrass es una extensión de cuerpos diferenciales L = Khαi,
donde α es solución de una ecuación diferencial
(α′)2 = a2(4α3 − g2α − g3),
con g2, g3 ∈ CK , g23 − 27g32 6= 0, a ∈ K.
Una extensión de Weierstrass es fuertemente normal y, si es transcendente, su grupo
de Galois diferencial es la curva elı́ptica definida sobre CK por la ecuación
Y 2 = 4X 3 − g2X − g3.
Existencia de extensión Picard-Vessiot cuando C K 6= CK
Ejemplo de Seidenberg (1956). Consideramos R como cuerpo diferencial con
derivación trivial. Sea α una solución de la ecuación
Y ′2 + 4Y 2 + 1 = 0
con α′ 6= 0 y sea K = Rhαi. Tenemos CK = R. Sea ahora η una solución no nula
de la ecuación diferencial
Y ′′ + Y = 0.
Entonces Khηi tiene cuerpo de constantes C.
(K = R(i sin 2t, i cos 2t), Khηi = K(sin t, cos t))
Un cuerpo (formalmente) real es un cuerpo K que puede dotarse de una relación de
orden total, compatible con las operaciones de cuerpo. Equivalentemente, −1 no es
suma de cuadrados en K.
Un cuerpo real K se llama realmente cerrado si no tiene extensiones algebraicas
reales, equivalentemente si K(i) es algebraicamente cerrado.
Existencia de extensiones Picard-Vessiot reales
Teorema (T.C, Z. Hajto, E. Sowa)
Sea K un cuerpo diferencial real con cuerpo de constantes CK realmente cerrado,
L(Y ) = 0 una ecuación diferencial lineal definida sobre K. Entonces existe una
extensión Picard-Vessiot de K para L(Y ) = 0 que además es real.
Sea L|K una extensión Picard-Vessiot, con K cuerpo diferencial real. Consideramos
el conjunto DHomK (L, L(i)) de K-morfismos diferenciales de L en L(i). Tenemos
biyecciones inversas una de otra
DHomK (L, L(i)) → DAutK(i)L(i)
,
σ
7→
σ
b
DAutK(i)L(i) → DHomK (L, L(i))
,
τ
7→
τ|L
que permiten dar estructura de grupo a DHomK (L, L(i)). Tomamos este grupo
como DGal(L|K). Tiene una estructura de cerrado de Zariski, CK -definido de un
grupo lineal algebraico sobre CK (i).
Obtenemos una correspondencia biyectiva entre cuerpos diferenciales intermedios de
L|K y subgrupos cerrados de DGal(L|K), CK -definidos.
Ejemplos de no unicidad
1. Consideramos K = R(t) con derivación d/dt y la ecuación
Y ′′ + Y = 0.
Entonces L1 = K(sin t, cos t), L2 = K(i sin t, i cos t) son dos extensiones PicardVessiot de K para la ecuación dada, no isomorfas. Observamos que L1 es real
pero L2 no.
2. Consideramos K = R(t) con derivación d/dt y la ecuación
Y
Y = .
2t
√
√
Entonces L1 = K( t), L2 = K( −t) son dos extensiones Picard-Vessiot reales
de K para la ecuación dada, no K-isomorfas.
′
Resolubilidad por cuadraturas
A. Khovanskii: ¿Pueden caracterizarse las extensiones Liouvillianas reales mediante
una teorı́a de Picard-Vessiot real?
Teorı́a de Galois diferencial no lineal
Hiroshi Umemura (1996) introduce el concepto de extensión automorfa de cuerpos
diferenciales que engloba tanto las extensiones fuertemente normales de Kolchin
como las extensiones cuasigaloisianas de la teorı́a de Hopf-Galois de Greither y
Pareigis. Caracteriza las extensiones fuertemente normales como las extensiones
automorfas que no añaden constantes.
Hiroshi Umemura (1996) elabora una teorı́a de Galois diferencial general para extensiones de cuerpos diferenciales de caracterı́stica 0 que asocia un grupo de Galois
infinitesimal, grupo formal de dimensión infinita.
Florian Heiderich (2010) elabora una teorı́a de Galois para módulo algebras que
engloba la teorı́a de Umemura, la elaborada por Morikawa para ecuaciones en diferencias y que es válida en caracterı́stica positiva.
Bernard Malgrange (2001) elabora una teorı́a de Galois diferencial para ecuaciones
no lineales, definidas sobre C, basada en la teorı́a de foliaciones.