2011/12 - MasMates

Geometría
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1. [ANDA] [JUN-A] De un paralelogramo ABCD conocemos tres vértices consecutivos A(2,-1,0), B(-2,1,0) y C(0,1,2).
a) Calcula la ecuación de la recta que pasa por el centro del paralelogramo y es perpendicular al plano que lo contiene.
b) Halla el área de dicho paralelogramo.
c) Calcula el vértice D.
2. [ANDA] [JUN-B] Sean r y s las rectas dadas por: r 
x-1 y+1 z
x+y-z = 6
, s
=
= .
x+z = 3
-1
6
2
a) Determina el punto de intersección de ambas rectas.
b) Calcula la ecuación general del plano que las contiene.
3. [ANDA] [SEP-A] Sean los puntos A(0,0,1), B(1,0,-1), C(0,1,-2) y D(1,2,0).
a) Halla la ecuación del plano  determinado por los puntos A, B y C.
b) Demuestra que los cuatro puntos no son coplanarios.
c) Calcula la distancia del punto D al plano .
4. [ANDA] [SEP-B] Halla el punto simétrico del P(2,1,-5) respecto de la recta r definida por
x-z = 0
.
x+y+2 = 0
5. [ARAG] [JUN-A] a) Hallar el plano que contiene a la recta v de ecuación paramétrica v: (2,1,3) + t(2,1,0), y es perpendicular al
plano de ecuación x+z = 2.
b) Probar que los vectores {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)} forman una base de 3 y dar las coordenadas del vector (1,-2,0) en la base
anterior.
6. [ARAG] [JUN-B] Sea el haz de planos de ecuación (1+)x-y-z = 0, con parámetro real .
a) Hallar los planos del haz que pasan por el punto P=(1,1,1) .
b) Hallar los planos del haz cuya distancia al punto Q=(3,-2,1) es
3 2
.
2
c) Hallar los planos del haz que cumplen que el ángulo que forman con el eje OY tiene por seno el valor
6
.
6
x = 1+
y = -2-6
z = 2
a) Encuentre la ecuación de la recta perpendicular a r que pasa por el punto P y corta a la recta r.
7. [ARAG] [SEP-A] Dado el punto P=(1,0,6) y la recta r:
b) Encuentre la ecuación general (Ax+By+Cz+D=0) del plano que contiene a la recta r anterior y a la recta r':
8. [ARAG] [SEP-B] a) Encuentre la ecuación general (Ax+By+Cz+D=0) del plano que es paralelo a la recta r:
x-z
=0
2x-y-z = 10
x-1
z-3
=y=
y que
2
4
contiene los puntos P=(1,1,1) y Q=(3,5,0).
b) Calcule el ángulo que forman las dos rectas siguientes: r:
x-3 y-4 z+5
2x-y = -1
; r':
=
=
.
2x-z = -4
2
-1
2
9. [ASTU] [JUN-A] Encuentre una ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas, es paralelo al plano determinado por el
punto P(1,-1,0) y la recta que pasa por el punto Q(2,2,2) y tiene vector director v = (1,2,3).
x = 1+2t
y = -5-5t ; 1: x+2y+3z-1 = 0 ; 2: x+2y+4z-2 = 0.
z =-3+2t
a) Determine la posición relativa de la recta respecto a cada uno de los planos.
b) Determine la posición relativa de los dos planos.
10. [ASTU] [JUN-B] Se consideran la recta y planos siguientes: r:
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c) Calcule la distancia de r al plano 2.
11. [ASTU] [SEP-A] Considere los planos 1: 2x-y+z = 0 y 2: z-3 = 0.
a) Estudie la posición relativa de 1 y 2.
b) Encuentre, si es posible, una recta paralela a 1 y a 2 que pase por el punto (2,2,-1).
12. [ASTU] [SEP-B] a) Determine el valor de k para que los puntos A(0,2,1), B(1,-2,0), C(2,0,3) y D(1,1,k) se encuentren en el mismo
plano.
b) Halle la distancia del origen de coordenadas al plano determinado por los puntos A, B y C.
x y-1 z-3
x-2 y z+1
=
=
; s
= =
.
1
-2
2
3
1
-1
a) Justificar razonadamente que ambas rectas se cruzan.
b) Hallar la perpendicular común y que corta a las dos rectas.
13. [C-LE] [JUN-A] Se consideran las rectas: r 
14. [C-LE] [JUN-B] Un cuadrado tiene dos vértices consecutivos en los puntos P(2,1,3) y Q(1,3,1); los otros dos sobre una recta r que
pasa por el punto R(-4,7,-6).
a) Calcular la ecuación de la recta r.
b) Calcular la ecuación del plano que contiene al cuadrado.
c) Hallar las coordenadas de uno de los otros vértices.
y+2
= z-1 y s 
2
a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por A y corta a r y s.
b) Hallar la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por A.
15. [C-LE] [SEP-A] Dados el punto A(2,1,1) y las rectas r  x =
x+y = 0
, se pide:
x+z = 2
x = 3+2t
y = -1-t .
z=1
a) Hallar la ecuación de la recta r que pasa por el punto P(1,0,5) y corta perpendicularmente a la recta s.
b) Hallar la ecuación del plano que contiene a r y a s.
16. [C-LE] [SEP-B] Sea s la recta de ecuaciones paramétricas
17. [C-MA] [JUN-A] a) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de intersección del plano   x-y+3z = -3 con los
ejes de coordenadas.
b) Si llamamos A, B y C a los vértices del triángulo del apartado anterior, encuentra el valor del parámetro  para que el
tetraedro de vértices A, B, C y D -2,2+,-3 tenga volumen mínimo.
y+z = 0
x-y+az = 4
a) Encuentra el valor del parámetro aR para el que  y r son paralelos.
b) Para el valor de a del apartado anterior, da la ecuación general del plano ' que contiene a r y es perpendicular a .
18. [C-MA] [JUN-B] Dados el plano   2x-z = 6 y la recta r 
19. [C-MA] [SEP-A] Dado el plano   x+y+2z = 7 y el punto P(1,0,0):
a) Calcula el punto Q de  que hace mínima la distancia a P.
b) Calcula el punto simétrico P' de P respecto del plano .
x = 2
y = 3+ 
z = -1
a) Da unas ecuaciones paramétricas de la recta s que pasa por P y corta perpendicularmente a r.
20. [C-MA] [SEP-B] Dado el punto P(1,0,0) y la recta r 
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b) Calcula la distancia de P a r.
x = -1+
5x-y+z = 2
,
y = 3-4 () y r2:
-5x+y+z = 0
z = -2+3
obtener las ecuaciones en forma continua y en forma paramétrica de la recta s que pasa por el punto de intersección de las
rectas dadas y es perpendicular a ambas, explicando el procedimiento utilizado.
21. [CANA] [JUN-A] Dadas las rectas secantes: r1:
x = -1+3
y = -5 () y dado el punto P (2,-2,3) exterior a r,
z = 2+2
a) Hallar la ecuación en forma general del plano p que los contiene, explicando el procedimiento utilizado.
b) Obtener las ecuaciones en forma paramétrica, en forma continua y como intersección de dos planos, de la recta s que pasa por
P y es perpendicular al plano , explicando el procedimiento utilizado.
22. [CANA] [JUN-B] Dada la recta r:
23. [CANA] [SEP-A] Estudiar la posición relativa de las rectas r:
x-2 y+3 z
=
=
y s:
3
-2
5
4x-2y+z = 0
2x-y+z = 5
(explicar el procedimiento utilizado)
x = -1+3-2
() () y dado el punto P(0,3,-1) exterior a , obtener las ecuaciones en
y = 4+
z = -2+2-5
forma continua, en forma paramétrica y como intersección de dos planos, de la recta r que pasa por P y es perpendicular al plano
, explicando el procedimiento utilizado.
24. [CANA] [SEP-B] Dado el plano :
25. [CATA] [JUN] Diga para qué valor del parámetro m los planos 1: x-y+mz = 1, 2: x-y+z = m y 3: my+2z = 3 tienen como
intersección una recta.
26. [CATA] [JUN] Dados el plano : x–y+2z–5 = 0 y la recta r:
x+y+z = 0
,
2x-y+z = 10
a) Calcule el punto de intersección entre el plano y la recta.
b) Calcule la ecuación continua de la recta s que está contenida en el plano , es perpendicular a la recta r y corta la recta r.
27. [CATA] [JUN] Dados los puntos P = (1,0,0), Q = (0,2,0), R = (0,0,3) y S = (1,2,3):
a) Calcule la ecuación cartesiana (es decir, de la forma Ax +By +Cz +D=0) del plano que contiene los puntos P, Q y R.
b) Compruebe si los cuatro puntos son coplanarios (es decir, si los cuatro están contenidos en un mismo plano).
28. [CATA] [SEP] Considere las siguientes rectas del espacio: r:
x+1
z-1
x-4 y-1 z-2
= y-1 =
, s:
=
=
.
2
-1
3
-1
2
a) Compruebe que son secantes.
b) Calcule la ecuación continua de la recta que las corta y es perpendicular a las dos.
29. [EXTR] [JUN-B] Calcule la distancia del punto P=(3,-1,2) a la recta r:
x-y+z = 1
.
x+z = 0
30. [EXTR] [SEP-A] Dados el plano  de ecuación x+z = 1 y los puntos A(1,0,0) y B(0,1,0), calcule los valores de c para los que el punto
P(0,0,c) cumple "área del triángulo ABP" = "distancia de P a ".
31. [EXTR] [SEP-B] Sea  el plano determinado por los puntos A(1,0,0), B(0,1,0) y C(0,0,c), y la recta r:
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x-y = 3
.
2x-z = 3
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a) Obtenga la ecuación implícita de .
b) Determine los valores de c para los que r y  son paralelos.
c) Determine los valores de c para los que r y  son perpendiculares.
32. [MADR] [JUN-A] Dados los puntos P1(1,3,-1), P2(a,2,0), P3(1,5,4) y P4(2,0,2), se pide:
a) Hallar el valor de a para que los cuatro puntos esten en el mismo plano.
b) Hallar los valores de a para que el tetraedro con vertices en P1, P2, P3 ,P4 tenga volumen igual a 7.
c) Hallar la ecuacion del plano cuyos puntos equidistan de P1 y de P3.
33. [MADR] [JUN-B] Dadas las rectas r1 
x-2 y-1 z
=
=
y r2 
3
-5 2
x = -1-
y = 3+ , se pide:
z=5
a) Estudiar su posicion relativa.
b) Hallar la mínima distancia de r1 a r2.
x-4 y-1 z-2
=
=
,   2x+y-2z-7 = 0.
-1
3
2
Obtener los puntos de la recta cuya distancia al plano es igual a uno.
34. [MADR] [SEP-A] Se dan la recta r y el plano , mediante: r 
x-1 y-2
z
x+y = 4
=
=
, s
, se pide:
2x+z = 4
2
2
-2
a) Hallar la ecuacion del plano que pasa por A(2,3,4) y es paralelo a las rectas r y s.
b) Determinar la ecuacion de la recta que pasa por B(4,-1,2) y es perpendicular al plano hallado anteriormente.
35. [MADR] [SEP-A] Dadas las rectas r 
36. [MADR] [SEP-B] Dado el punto P(2,1,-1), se pide:
a) Hallar el punto P' simetrico de P respecto del punto Q(3,0,2).
b) Hallar el punto P'' simetrico de P respecto de la recta r  x-1 = y-1 = z.
c) Hallar el punto P''' simetrico de P respecto del plano   x+y+z = 3.
37. [MURC] [JUN-A] Considere la recta r y el plano  dados por las ecuaciones r:
x+1 y-1 z-2
=
=
y : x-2y-z = 4.
2
-1
1
a) Calcule el ángulo que forman la recta r y el plano .
b) Determine el plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano .
x = 1+2-
y = -3+ .
z = 2+3
b) Determine la ecuación de la recta que es perpendicular al plano  y pasa por el punto (-1,2,3).
38. [MURC] [JUN-B] a) Halle la ecuación implícita (o general) del siguiente plano :
39. [MURC] [SEP-A] Determine la ecuación implícita (o general) del plano que contiene al punto A = (0,1,2) y es perpendicular a la
2x+y-z = -1
recta r:
.
x-y+z = 3
40. [MURC] [SEP-B] Considere las rectas r y s dadas por las ecuaciones r:
y
z+6
x-5 y-1 z-6
x
=
=
y s:
=
=
.
3
-1
4
7 a-4 5a-6
a) Estudie la posición relativa de r y s en función del parámetro a.
b) Calcule el punto de corte de r y s en los casos en que se corten.
41. [RIOJ] [JUN] Prueba que para cualquier valor de a  0, los planos x+ay-az = 0 y -x+2ay-2az = 0 se cortan en una recta r.
Calcula la posición relativa de r respecto del plano que pasa por el origen de coordenadas y los puntos A(1,0,-6) y B(0,2,a+3) (se
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supone que a  0 para que esté definida).
z-1
x+2
= y-1 =
:
3
2
a) Calcula la ecuación del plano  formado por los puntos que equidistan (están a la misma distancia) de A y de B.
b) Calcula la ecuación del plano ' paralelo a r y que pasa por A y B.
c) Encuentra otro plano '' de modo que la intersección de , ' y '' sea exactamente un punto.
42. [RIOJ] [SEP] Para los puntos A(1,0,2) y B(-1,2,4) y la recta de ecuación
x = 1+2
y r2:
y= 
z = 2-
a) Las coordenadas del punto de corte de r1 y r2.
43. [VALE] [JUN-A] Se dan las rectas r1:
x = -1
y = 1+ , siendo  y  parámetros reales. Calcular razonadamente:
z = -1-2
b) La ecuación del plano que contiene esas dos rectas.
c) La distancia del punto (0,0,1) a la recta r2.
44. [VALE] [JUN-B] Se da la recta r de ecuación r:
x-2y-2z = 1
y el plano  de ecuación : 2x+y+nz = p, donde n y p son dos
x+5y-z = 0
parámetros reales. Obtener razonadamente:
a) Todos los valores de n para los que la intersección de la recta r y el plano  es un punto.
b) El valor de n y el valor de p para los que la recta r está contenida en el plano .
c) El valor de n y todos los valores de p para los que la recta r no corta al plano .
45. [VALE] [SEP-A] En el espacio se tiene la recta r:
x+y-z = 1
y el plano : x+mz = 0 , donde m es un parámetro real.
x-y-z = 0
Obtener razonadamente:
a) Un vector director de la recta r.
b) El valor de m para el que la recta r y el plano  son perpendiculares.
c) El valor de m para el que la recta r y el plano  son paralelos. (3 puntos).
d) La distancia entre r y  cuando se da a m el valor obtenido en el apartado c).
46. [VALE] [SEP-B] En el espacio se dan los planos ,  y  de ecuaciones: : 2x-y+z = 3; : x-y+z = 2; : 3x-y-az = b, siendo a y b
parámetros reales, y la recta r intersección de los planos  y .
Obtener razonadamente:
a) Un punto, el vector director y las ecuaciones de la recta r.
b) La ecuación del plano que contiene a la recta r y pasa por el punto (2,1, 3).
c) Los valores de a y de b para que el plano  contenga a la recta r, intersección de los planos  y .
Soluciones
x = 1+
14
1. a) y = 2 b) 4 6 c) (4,-1,2) 2. a) (-1,11,4) b) 2x-y+4z-3 = 0 3. a) 2x+3y+z-1 = 0 c)
4. (-6,-1,1) 5. a) x-2y-z+3 = 0 b) (0,-2,3) 6. a) todos b) 21x-5y-16z
2
z = 1-
x=1
b) 8x-y-7z-10 = 0 8. a) 17x-10y+6z+1 = 0 b) 63º36'44'' 9. 5x-y-z = 0 10. a) corta a 1 ; paralelo a 2 b) se
= 0; y-z = 0 c) x+y-2z = 0; 2x-y-z = 0 7. a) y = 
z = 6+3
x = 2+
38
-91 20 8
cortan en una recta c) 21 11. se cortan en una recta b) y = 2+2 12. a) 2 b)
13. b) (x,y,z) =
, , +(0,1,1) 14. a) (x,y,z) = (-4,7,-6)+(-1,2,-2) b)
38
98 7 7
z = -1
x = 1-7
x=1
3 11
-1
-3
3 30
b) x+2y-1 = 0 17. a)
b)
18. a)
b) 2x+5y+4z-8 = 0 19. a) (2,1,2) b) (3,2,4) 20. a) y = 14 b)
21.
2x-y-2z+3 = 0 c) (-1,1,0) 16. a) y = 0
2
2
2
5
z = -5
z = 5+
x = 2+k
x = -5
x = -5k
11x+5y-15 = 0
x-2 x+2 z-3
x
y-3 z+1
3x+y-4 = 0
=
=
;
23. se cruzan 24. y = 3+11 ;
=
=
;
25. 1 26. a)
y = -1+k 22. a) x-3y-9z+19 = 0 b) y = -2-3k ;
2x+5z+5 = 0
3y-z+9
=
0
1
-3
-9
-5
11
2
z = 3-9k
z = -1+2
z = 1+3k
x = 1+
x-4 y+3 z+1
5 2
1
1
4
10 -2
(4,-3,-1) b)
=
=
27. a) 6x+3y+2z-6 = 0 b) no 28. y = 2-7 29.
30.
31. a) cx+cy+z+c = 0 b) -1 c)
32. a)
b)
,
c) 4x+10z-31 = 0
1
7
3
4
2
3
3 3
2
z = -5
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33. se cruzan;
b)
x = -1+3
y = 2-6
z = 3+
4 3
3
34.
2 8
, ,-3 ,
3 3
14 2
, ,3
3 3
35. a) 3x-y+2z-11 = 0 b)
x = 4+3
y = -1- 36. a) (4,-1,5) b) (0,1,1) c)
z = 2+2
8 5 -1
, ,
3 3 3
37. 30º; x+y-z+2 = 0 38. a) 3x-6y+z-23 = 0
39. y+z-3 = 0 40. a) a = 4: secantes; a  4: se cruzan b) (8,0,10) 41. a = -1: contenida; a  -1: corta al plano 42. a) x-y-z+4 = 0 b) 2x+5y-3z+4 = 0 43.
a) (-1,-1,3) b) x-4y-2z+3 = 0 c) 1 44. a) n
-23
-23 9
-23
9
2
b)
,
c) n=
,p
45. a) (1,0,1) b) 1 c) -1 d)
7
7 7
7
7
4
46. a)
2x-y+z = 3
; P(1,-1,0); w = (0,1,1) b) x+y-z = 0 c) -1,
x-y+z = 2
4
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