Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices

Sistemas de Ecuaciones Lineales y
Matrices
Oscar G Ibarra-Manzano, DSc
Departamento de Area Básica - Tronco Común DES de Ingenierı́as
Facultad de Ingenierı́a, Mecánica, Eléctrica y Electrónica
Trimestre Invierno 2008,
10 de enero de 2008
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Contenido
1
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de
Gauss-Jordan
Resumen
2
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Resumen
3
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Contenido
1
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de
Gauss-Jordan
Resumen
2
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Resumen
3
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan
Propiedades de la lı́nea recta
La lı́nea recta
y
Algunos hechos fundamentales sobre la lı́nea
recta son:
(x2 , y2 )
∆y
Propiedad:
La pendiente m de una recta que pasa por
los puntos (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ) está dada por:
(x1 , y1 )
m=
∆x
x
y2 −y1
x2 −x1
=
∆y
∆x
si x1 6= x2
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Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan
Propiedades de la lı́nea recta
La lı́nea recta
y
Algunos hechos fundamentales sobre la lı́nea
recta son:
Propiedad:
(x2 , y2 )
Si x2 − x1 = 0 y y2 6= y1 , entonces la recta
es vertical y se dice que la pendiente es
indefinida.
∆y
∆x = 0
(x1 , y1 )
x
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Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan
Propiedades de la lı́nea recta
La lı́nea recta
y
Algunos hechos fundamentales sobre la lı́nea
recta son:
b
Propiedad:
y = mx + b
m=
∆y
∆x
x
Cualquier recta (excepto una con pendiente
indefinida) se puede describir escribiendo
su ecuación en la forma
pendiente-ordenada y = mx + b, donde m
es la pendiente de la recta y b es la
ordenada.
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Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
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Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan
Propiedades de la lı́nea recta
La lı́nea recta
y
Algunos hechos fundamentales sobre la lı́nea
recta son:
b2
y = mx + b
b1
Propiedad:
Dos rectas distintas son paralelas si y sólo
si tienen la misma pendiente.
L2 : m2
L1 : m1
x
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Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan
Propiedades de la lı́nea recta
La lı́nea recta
y
Algunos hechos fundamentales sobre la lı́nea
recta son:
ax + by = c
Propiedad:
m = − ba
x
Si la ecuación de la recta se escribe en la
forma ax + by = c (b 6= 0), entonces, se
puede calcular fácilmente la pendiente de
la recta como, m = − ba .
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Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan
Propiedades de la lı́nea recta
La lı́nea recta
y
Algunos hechos fundamentales sobre la lı́nea
recta son:
m2 = − m11
Propiedad:
L1 : m1
L2 : m2
x
Si m1 es la pendiente de la recta L1 , y m2
es la pendiente de la recta L2 , m1 6= 0 y L1
y L2 son perpendiculares, entonces
m2 = − m11 .
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Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan
Propiedades de la lı́nea recta
La lı́nea recta
y
Algunos hechos fundamentales sobre la lı́nea
recta son:
Propiedad:
L:m=0
Las rectas paralelas al eje x tienen una
pendiente de cero.
x
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Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan
Propiedades de la lı́nea recta
La lı́nea recta
y
Algunos hechos fundamentales sobre la lı́nea
recta son:
Propiedad:
L : m → indefinida
Las rectas paralelas al eje de las y tienen
una pendiente indefinida.
x
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Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan
Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
Un sistema con una solución única
Considere el sistema
Sistema de ecuaciones
x −y =7
x +y =5
Consideremos el sistema de
dos ecuaciones con dos
incógnitas:
Solución
a11 x + a12 y = b1
a21 x + a22 y = b2
Sumando ambas ecuaciones y después
restándolas, obtenemos:
x =6
y = −1
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Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan
Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
Un sistema con un número infinito de
soluciones
Sistema de ecuaciones
Considere el sistema
Consideremos el sistema de
dos ecuaciones con dos
incógnitas:
x −y =7
2x − 2y = 14
a11 x + a12 y = b1
Solución
a21 x + a22 y = b2
Para este sistema podemos observar que
2(x − y = 7), por lo tanto la solución es de la
forma:
y =x −7
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Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan
Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
Un sistema sin solución
Considere el sistema
Sistema de ecuaciones
x −y =7
2x − 2y = 13
Consideremos el sistema de
dos ecuaciones con dos
incógnitas:
Solución
a11 x + a12 y = b1
a21 x + a22 y = b2
En este caso tenemos 2(x − y = 13
2 ), por lo
tanto las rectas son paralelas y diferentes.
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Representación matricial de sistemas lineales
La matriz de coeficientes, A es:


2 4
6
6 
A= 4 5
3 1 −2
Definición
Una Matriz es un arreglo rectangular de
números. Por ejemplo, para el sistema de
ecuaciones lineales:
2x1
4x1
3x1
+
+
+
4x2
5x2
1x2
+
+
−
6x3
6x3
2x3
=
=
=
18
24
4
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Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan
Representación matricial de sistemas lineales
Definición
La matriz aumentada del sistema
Una Matriz es un arreglo rectangular de
es:
n
úmeros. Por ejemplo, para el sistema de


2 4
6 | 18
ecuaciones lineales:
 4 5
6 | 24 
2x1 + 4x2 + 6x3 = 18
3 1 −2 |
4
4x1 + 5x2 + 6x3 = 24
3x1 + 1x2 − 2x3 =
4
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Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan
Operaciones elementales en una matriz:
Operaciones elementales con renglones
1
Multiplicar (o dividir) un renglón por un número diferente de cero.
2
Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón.
3
Intercambiar dos renglones.
Ejemplo:



1 2
2 4
6 | 18
1
 4 5
6 | 24  R1 → R1  4 5
2
3 1 −2 |
4 −−−−−−−→ 3 1

3 |
9
6 | 24 
−2 |
4
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Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan
Operaciones elementales en una matriz:
Operaciones elementales con renglones
1
Multiplicar (o dividir) un renglón por un número diferente de cero.
2
Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón.
3
Intercambiar dos renglones.
Ejemplo:

2 4
 4 5
3 1


6 | 18
2
6 | 24  R2 → R2 − 2R1  0
−−−−−−−−−−−→
−2 |
4
3
4
6 |
−3 −6 |
1 −2 |

18
−12 
4
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Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan
Operaciones elementales en una matriz:
Operaciones elementales con renglones
1
Multiplicar (o dividir) un renglón por un número diferente de cero.
2
Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón.
3
Intercambiar dos renglones.
Ejemplo:

2 4
 4 5
3 1



6 | 18
4 5
6 | 24
6 | 24  R1 R2  2 4
6 | 18 
−−−−−−→
−2 |
4
3 1 −2 |
4
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Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan
Reducción de Gauss
Ejemplo
2x1
4x1
3x1
+
+
+
4x2
5x2
1x2
+
+
−
6x3
6x3
2x3
=
=
=
Procedimiento:
1
Se selecciona el pivote.
2
Se calcula Ri → (1/ci )Ri
3
Se calcula Rj → Rj − cj Ri
4
Se repite para todos los
elementos del pivote.
18
24
4

2
 4
3
4
5
1

6 | 18
6 | 24 
−2 |
4
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Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan
Reducción de Gauss
Ejemplo
2x1
4x1
3x1
+
+
+
4x2
5x2
1x2
+
+
−
6x3
6x3
2x3
=
=
=
Procedimiento:
1
Se selecciona el pivote.
2
Se calcula Ri → (1/ci )Ri
3
Se calcula Rj → Rj − cj Ri
4
Se repite para todos los
elementos del pivote.
18
24
4

2
 4
3
4
5
1

6 | 18
6 | 24 
−2 |
4
R1 → 12 R1
−−−−−−
−→

1
 4
3
2
5
1

3 |
9
6 | 24 
−2 |
4
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Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan
Reducción de Gauss
Ejemplo
2x1
4x1
3x1
+
+
+
4x2
5x2
1x2
+
+
−
6x3
6x3
2x3
=
=
=
18
24
4

1
 4
3
Se selecciona el pivote.
2
Se calcula Ri → (1/ci )Ri
3
Se calcula Rj → Rj − cj Ri
4
Se repite para todos los
elementos del pivote.

3 |
9
6 | 24 
−2 |
4
R2 → R2 − 4R1
R3 → R3 − 3R1
−−−−−−−−−−−→
Procedimiento:
1
2
5
1

1
 0
0

2
3 |
9
−3
−6 | −12 
−5 −11 | −23
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Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan
Reducción de Gauss
Ejemplo
2x1
4x1
3x1
+
+
+
4x2
5x2
1x2
+
+
−
6x3
6x3
2x3
=
=
=
Procedimiento:
1
Se selecciona el pivote.
2
Se calcula Ri → (1/ci )Ri
3
Se calcula Rj → Rj − cj Ri
4
Se repite para todos los
elementos del pivote.
18
24
4

1
 0
0

2
3 |
9
−3
−6 | −12 
−5 −11 | −23
R2 → − 31 R2
−−−−−−−−→

1
 0
0

2
3 |
9
1
2 |
4 
−5 −11 | −23
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Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan
Reducción de Gauss
Ejemplo
2x1
4x1
3x1
+
+
+
4x2
5x2
1x2
+
+
−
6x3
6x3
2x3
=
=
=
18
24
4

1
 0
0

2
3 |
9
1
2 |
4 
−5 −11 | −23
R3 → R3 + 5R2
−−−−−−−−−−−→
Procedimiento:
1
Se selecciona el pivote.
2
Se calcula Ri → (1/ci )Ri
3
Se calcula Rj → Rj − cj Ri
4
Se repite para todos los
elementos del pivote.

1 2
3 |
 0 1
2 |
0 0 −1 |

9
4 
−3
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Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan
Reducción de Gauss
Ejemplo
2x1
4x1
3x1
+
+
+
4x2
5x2
1x2
+
+
−
6x3
6x3
2x3
=
=
=
Procedimiento:
1
Se selecciona el pivote.
2
Se calcula Ri → (1/ci )Ri
3
Se calcula Rj → Rj − cj Ri
4
Se repite para todos los
elementos del pivote.
18
24
4

1 2
3 |
 0 1
2 |
0 0 −1 |

9
4 
−3
R3 → − 1 R3
−−−−−−−1−→

1
 0
0
2
1
0
3
2
1

| 9
| 4 
| 3
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan
Reducción de Gauss
Ejemplo
2x1
4x1
3x1
+
+
+
4x2
5x2
1x2
+
+
−
6x3
6x3
2x3
=
=
=
18
24
4

1
 0
0
1x1
Procedimiento:
1
Se selecciona el pivote.
2
Se calcula Ri → (1/ci )Ri
3
Se calcula Rj → Rj − cj Ri
4
Se repite para todos los
elementos del pivote.

+
2 3
1 2
0 1
2x2
1x2
+
+

| 9
| 4 
| 3
3x3
2x3
1x3
=
=
=
9
4
3

 
x1
9 − 2x2 − 3x3
 x2  = 

4 − 2x3
x3
3
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan
Reducción de Gauss-Jordan
Ejemplo
2x1
4x1
2x1
+ 4x2
+ 5x2
+ 7x2
+
6x3
+
6x3
+ 12x3
= 18
= 24
= 30
Procedimiento:
1
Se selecciona el pivote.
2
Se calcula Ri → (1/ci )Ri
3
Se calcula Rj → Rj − cj Ri
4
Se repite para todos los
elementos del pivote.

2
 4
2
4
5
7

6 | 18
6 | 24 
12 | 30
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan
Reducción de Gauss-Jordan
Ejemplo
2x1
4x1
2x1
+ 4x2
+ 5x2
+ 7x2
+
6x3
+
6x3
+ 12x3
= 18
= 24
= 30

2
 4
2
Se selecciona el pivote.
2
Se calcula Ri → (1/ci )Ri
3
Se calcula Rj → Rj − cj Ri
4
Se repite para todos los
elementos del pivote.

6 | 18
6 | 24 
12 | 30
R1 → 21 R1
−−−−−−
−→
Procedimiento:
1
4
5
7

1
 4
2
2
5
7

3 |
9
6 | 24 
12 | 30
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan
Reducción de Gauss-Jordan
Ejemplo
2x1
4x1
2x1
+ 4x2
+ 5x2
+ 7x2
+
6x3
+
6x3
+ 12x3
= 18
= 24
= 30

1
 4
2
Se selecciona el pivote.
2
Se calcula Ri → (1/ci )Ri
3
Se calcula Rj → Rj − cj Ri
4
Se repite para todos los
elementos del pivote.

3 |
9
6 | 24 
12 | 30
R2 → R2 − 4R1
R3 → R3 − 2R1
−−−−−−−−−−−→
Procedimiento:
1
2
5
7


1
2
3 |
9
 0 −3 −6 | −12 
0
3
6 |
12
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan
Reducción de Gauss-Jordan
Ejemplo
2x1
4x1
2x1
+ 4x2
+ 5x2
+ 7x2
+
6x3
+
6x3
+ 12x3
= 18
= 24
= 30

1
2
3 |
 0 −3 −6 |
0
3
6 |
R2 → − 13 R2
−−−−−−−−→
Procedimiento:
1
Se selecciona el pivote.
2
Se calcula Ri → (1/ci )Ri
3
Se calcula Rj → Rj − cj Ri
4
Se repite para todos los
elementos del pivote.

9
−12 
12

1
 0
0

2 3 |
9
1 2 |
4 
3 6 | 12
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan
Reducción de Gauss-Jordan
Ejemplo
2x1
4x1
2x1
+ 4x2
+ 5x2
+ 7x2
+
6x3
+
6x3
+ 12x3
= 18
= 24
= 30

1
 0
0
R → R1 − 2R2
−−1−−−−−
−−−−→
R3 → R3 − 3R2
−−−−−−−−−−−→
Procedimiento:
1
Se selecciona el pivote.
2
Se calcula Ri → (1/ci )Ri
3
Se calcula Rj → Rj − cj Ri
4
Se repite para todos los
elementos del pivote.

2 3 |
9
1 2 |
4 
3 6 | 12

1
 0
0
0 −1
1
2
0
0

| 1
| 4 
| 0
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de Gauss-Jordan
Reducción de Gauss-Jordan
Ejemplo
2x1
4x1
2x1
+ 4x2
+ 5x2
+ 7x2
+
6x3
+
6x3
+ 12x3
= 18
= 24
= 30

1
 0
0
0
1
0
1
Se selecciona el pivote.
2
Se calcula Ri → (1/ci )Ri
3
Se calcula Rj → Rj − cj Ri
4
Se repite para todos los
elementos del pivote.

| 1
| 4 
| 0
−
x3 =
1
+ 2x3 =
4



x1
1 + x3
 x2  =  4 − 2x3 
x3
x3
1x1
Procedimiento:
−1
2
0
1x2

Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Resumen
Resumen
Teorema
El sistema
a11 x + a12 y = b1
a21 x + a22 y = b2
Tiene una solución única si y sólo si a11 a22 − a12 a21 6= 0.
No tiene solución o tiene un número infinito de soluciones si y
sólo si a11 a22 − a12 a21 = 0.
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Resumen
Resumen
Reducción de Gauss & Gauss-Jordan
En la eliminación Gaussiana se reduce por renglón la matriz de
coeficientes a la forma escalonada por renglones, se despeja el
valor de la última incógnita y después se usa la sustitución hacia
atrás para las demás incógnitas.
En la eliminación de Gauss-Jordan se reduce por renglón la
matriz de coeficientes a la forma escalonada reducida por
renglones usando el procedimiento descrito.
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Resumen
Resumen
Problemas - Tarea
1
Pruebe que la distancia entre un punto (x1 , y1 ) y la recta
ax + by = c está dada por:
d=
2
|ax1 +by1 +c|
√
a2 +b2
Encuentre la distancia entre la recta 2x − y = 6 y el punto de
intersección de las rectas 2x − 3y = 1 y 3x + 6y = 12.
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Resumen
Resumen
Problemas - Tarea - Reducción de Gauss-Jordan
1
¿Para qué valor de k tendrá soluciones no triviales el siguiente
sistema?:
1x
2x
3x
2
+
+
+
1y
3y
4y
+ 1z
+ 4z
+ kz
= 0
= 0
= 0
Comprueba el resultado aplicando la reducción de Gauss-Jordan
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Contenido
1
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de
Gauss-Jordan
Resumen
2
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Resumen
3
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Definiciones y operaciones básicas
Vector renglón de n componentes
Se define a un vector renglón de n componentes como un
conjunto ordenado de n números escritos de la siguiente manera:
x1 x2 · · · xn
Ejemplo: 5-vector renglón
x=
2
1
3
5 −1
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Definiciones y operaciones básicas
Vector columna de n componentes
Un vector columna de n componentes es un conjunto ordenado
de n números escritos de la siguiente manera:


x1
 x2 


 .. 
 . 
xn
Ejemplo: 3-vector columna


−1
u= 1 
0
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Definiciones y operaciones básicas
Espacio vectorial Rn
Se usa el sı́mbolo Rn para denotar al conjunto de todos los
n-vectores:


a1
 a2 


 .. 
 . 
an
cada ai es un número real
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Definiciones y operaciones básicas
Matriz
Una matriz A de m × n es un arreglo rectangular de mn números
agrupados en m renglones y n columnas.


a11 a12 · · · a1j · · · a1n
 a21 a22
a2j
a2n 


 ..
..
..
.. 
 .

.
.
.

A=
 ai1 ai2 · · · aij · · · ain 


 .
..
..
.. 
 ..
.
.
. 
am1 am2 · · · amj · · · amn
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Suma y multiplicación de matrices
Suma de matrices
Consideremos A = (aij ) y B = (bij ) dos matrices m × n. Entonces la
suma de A y B es una matriz m × n, A + B dada por:
A+B
= aij + bij

a11 + b11
 a21 + b21

= 
..

.
a12 + b12
a22 + b22
..
.
···
···
a1n + b1n
a2n + b2n
..
.
am1 + bm1
am2 + bm2
···
amn + bmn





Es decir, A + B es una matriz de m × n que se obtiene al sumar las
componentes correspondientes de A y B.
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Suma y multiplicación de matrices
Multiplicación de una matriz por un escalar
Si A = (aij ) es una matriz m × n y si α es un escalar, entonces la
matriz m × n, αA, está dada por:
αA
=
(αaij )

αa11
 αa21

=  .
 ..
αa12
αa22
..
.
···
···
αa1n
αa2n
..
.
αam1
αam2
···
αamn





Es decir, αA = (αaij ) es una matriz obtenida al multiplicar cada
componente de A por α.
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Suma y multiplicación de matrices
Teorema
Sean A, B y C tres matrices de m × n y sean α y β dos escalares.
Entonces:
1
A+0=A
2
0A = 0
3
A + B = B + A (ley conmutativa)
4
(A + B) + C = A + (B + C) (ley asociativa)
5
α(A + B) = αA + αB (ley distributiva para escalares)
6
1A = A
7
(α + β)A = αA + βA
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Suma y multiplicación de matrices
Teorema
Sean A, B y C tres matrices de m × n y sean α y β dos escalares.
Entonces:
1
A+0=A
2
0A = 0
3
A + B = B + A (ley conmutativa)
4
(A + B) + C = A + (B + C) (ley asociativa)
5
α(A + B) = αA + αB (ley distributiva para escalares)
6
1A = A
7
(α + β)A = αA + βA
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Suma y multiplicación de matrices
Teorema
Sean A, B y C tres matrices de m × n y sean α y β dos escalares.
Entonces:
1
A+0=A
2
0A = 0
3
A + B = B + A (ley conmutativa)
4
(A + B) + C = A + (B + C) (ley asociativa)
5
α(A + B) = αA + αB (ley distributiva para escalares)
6
1A = A
7
(α + β)A = αA + βA
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Suma y multiplicación de matrices
Teorema
Sean A, B y C tres matrices de m × n y sean α y β dos escalares.
Entonces:
1
A+0=A
2
0A = 0
3
A + B = B + A (ley conmutativa)
4
(A + B) + C = A + (B + C) (ley asociativa)
5
α(A + B) = αA + αB (ley distributiva para escalares)
6
1A = A
7
(α + β)A = αA + βA
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Suma y multiplicación de matrices
Teorema
Sean A, B y C tres matrices de m × n y sean α y β dos escalares.
Entonces:
1
A+0=A
2
0A = 0
3
A + B = B + A (ley conmutativa)
4
(A + B) + C = A + (B + C) (ley asociativa)
5
α(A + B) = αA + αB (ley distributiva para escalares)
6
1A = A
7
(α + β)A = αA + βA
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Suma y multiplicación de matrices
Teorema
Sean A, B y C tres matrices de m × n y sean α y β dos escalares.
Entonces:
1
A+0=A
2
0A = 0
3
A + B = B + A (ley conmutativa)
4
(A + B) + C = A + (B + C) (ley asociativa)
5
α(A + B) = αA + αB (ley distributiva para escalares)
6
1A = A
7
(α + β)A = αA + βA
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Suma y multiplicación de matrices
Teorema
Sean A, B y C tres matrices de m × n y sean α y β dos escalares.
Entonces:
1
A+0=A
2
0A = 0
3
A + B = B + A (ley conmutativa)
4
(A + B) + C = A + (B + C) (ley asociativa)
5
α(A + B) = αA + αB (ley distributiva para escalares)
6
1A = A
7
(α + β)A = αA + βA
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Producto escalar
Definición: Producto escalar



a1
b1
 a2 
 b2



Sean a =  .  y b =  .
 .. 
 ..



 dos vectores. Entonces el

bn
an
producto escalar de a y b, representado por a · b, está definido
como:
a · b = a1 b1 + a2 b2 + · · · an bn
Para poder realizar el producto escalar de a y b es necesario que a y b tengan el
mismo número de componentes
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Producto escalar
Teorema
Sean a, b y c tres n-vectores y sea α un escalar. Entonces:
1
a·0=0
2
a · b = b · a (ley conmutativa)
3
a · (b + c) = a · b + a · c (ley distributiva)
4
(αa) · b = α(a · b)
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Producto escalar
Teorema
Sean a, b y c tres n-vectores y sea α un escalar. Entonces:
1
a·0=0
2
a · b = b · a (ley conmutativa)
3
a · (b + c) = a · b + a · c (ley distributiva)
4
(αa) · b = α(a · b)
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Producto escalar
Teorema
Sean a, b y c tres n-vectores y sea α un escalar. Entonces:
1
a·0=0
2
a · b = b · a (ley conmutativa)
3
a · (b + c) = a · b + a · c (ley distributiva)
4
(αa) · b = α(a · b)
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Producto escalar
Teorema
Sean a, b y c tres n-vectores y sea α un escalar. Entonces:
1
a·0=0
2
a · b = b · a (ley conmutativa)
3
a · (b + c) = a · b + a · c (ley distributiva)
4
(αa) · b = α(a · b)
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Producto de dos matrices
Definición:
Sea A = (aij ) una matriz m × n, y sea B = (bij ) una matriz de n × p.
Entonces el producto de A y B es una matriz de m × p, C = (cij ), en
donde:
cij = (renglón i de A) · (columna j de B)
Es decir, el elemento ij de AB es el producto punto del renglón i de A
y la columna j de B. Si esto se extiende, se obtiene:
cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj
Si el número de columnas de A es igual al número de renglones de B, entonces se
dice que A y B son compatibles bajo la multiplicación.
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Producto de dos matrices
Ejemplificación de la multiplicación matricial





(cij ) = 




a11
a21
..
.
ai1
..
.
am1
a12
a22
..
.
ai2
..
.
am2
···
···
···
···
a1n
a2n
..
.
ain
..
.
amn

 b
11

 b
  21
 .
 .

.


bn1
b12
b22
..
.
bn2
···
···
···
b1j
b2j
..
.
bnj
···
···
···
b1p
b2p
..
.
bnp





Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Resumen
Resumen
La notación Σ
El producto escalar y la multiplicación de dos matrices puede ser
expresada de la siguiente forma:
Producto escalar
a·b
= a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn
n
X
=
ai bi
i=1
Multiplicación de dos matrices
cij
= ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj
n
X
=
aik bkj
k=1
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Resumen
Resumen
Problemas - Tarea
1
2
3
Sean a11 , a12 , a21 y a22 números reales dados tales que
a11 a22 − a
los números
12 a21 6= 0. Encuentre
12 , b21 y b22
b11 , b
a11 a12
b11 b12
1 0
tales que
=
.
a21 a22
b21 b22
0 1
−1 2
Calcule A2 si A =
.
3 4
Se dice que dos vectores a y b son ortogonales si a · b = 0.
Determine
los 
números α y β tales que los vectores

 todos

1
4
 −α  
5 

 

 2  y  −2β  sean ortogonales.
3
7
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Contenido
1
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Sistemas de ecuaciones lineales - eliminación de
Gauss-Jordan
Resumen
2
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Resumen
3
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales
Sistema de m ecuaciones y n incógnitas
Consideremos el sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas:
a11 x1
a21 x1
..
.
+
+
a12 x2
a22 x2
..
.
+
+
···
···
+
+
am1 x1
+ am2 x2
+
···
+ amn xn
La matriz de coeficientes es:

a11 a12
 a21 a22

A= .
..
 ..
.
am1 am2
a1n xn
a2n xn
..
.
···
···
a1n
a2n
..
.
···
amn





=
=
b1
b2
..
.
= bm
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales
Sistema de m ecuaciones y n incógnitas
Consideremos el sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas:
a11 x1
a21 x1
..
.
+
+
a12 x2
a22 x2
..
.
+
+
···
···
+
+
am1 x1
+ am2 x2
+
···
+ amn xn
Los vectores x y b son:



x=

x1
x2
..
.
xn








b=

a1n xn
a2n xn
..
.
b1
b2
..
.
bm





=
=
b1
b2
..
.
= bm
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales
Sistema de m ecuaciones y n incógnitas
Consideremos el sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas:
a11 x1
a21 x1
..
.
+
+
a12 x2
a22 x2
..
.
+
+
···
···
+
+
am1 x1
+ am2 x2
+
···
+ amn xn
a1n xn
a2n xn
..
.
=
=
b1
b2
..
.
= bm
Representación matricial de un sistema de ecuaciones:
Ax = b
Un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si:
Ax = 0
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales
Sistema de m ecuaciones y n incógnitas
Consideremos el sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas:
a11 x1
a21 x1
..
.
+
+
a12 x2
a22 x2
..
.
+
+
···
···
+
+
am1 x1
+ am2 x2
+
···
+ amn xn
a1n xn
a2n xn
..
.
=
=
b1
b2
..
.
= bm
Ejemplo:
1x1 + 4x2 − 2x3
2x1 + 5x2 + 3x3
3x1 + 1x2 − 2x3
= 10
=
8
=
4

1 4
A= 2 5
3 1

−2
3 
−2
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales
Sistema de m ecuaciones y n incógnitas
Consideremos el sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas:
a11 x1
a21 x1
..
.
+
+
a12 x2
a22 x2
..
.
+
+
···
···
+
+
am1 x1
+ am2 x2
+
···
+ amn xn
a1n xn
a2n xn
..
.
=
=
b1
b2
..
.
= bm
Ejemplo (continuación):
1x1 + 4x2 − 2x3
2x1 + 5x2 + 3x3
3x1 + 1x2 − 2x3
= 10
=
8
=
4




x1
10
x =  x2  , b =  8 
x3
4
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo - Sistema homogéneo y no homogéneo
Ejemplo:
1x1 + 1x2 − 1x3
4x1 − 1x2 + 5x3
6x1 + 1x2 + 3x3
=
7
=
4
= 18
La representación de la
de Ax = b es:

1
1 −1
 4 −1
5
6
1
3
matriz aumentada

|
7
|
4 
| 18
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo - Sistema homogéneo y no homogéneo
Ejemplo:
1x1 + 1x2 − 1x3
4x1 − 1x2 + 5x3
6x1 + 1x2 + 3x3
=
7
=
4
= 18
Reduciendo la matriz aumentada a la forma
escalonada, tenemos:


1
1 −1 |
7
 4 −1
5 |
4 
6
1
3 | 18
R2 → R2 − 4R1
R3 → R3 − 6R1
−−−−−−−−−−−→

1
1 −1 |
 0 −5
9 |
0 −5
9 |

7
−24 
−24
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo - Sistema homogéneo y no homogéneo
Ejemplo:
1x1 + 1x2 − 1x3
4x1 − 1x2 + 5x3
6x1 + 1x2 + 3x3
=
7
=
4
= 18
Reduciendo la matriz aumentada a la forma
escalonada, tenemos (continuación):


1
1 −1 |
7
 0 −5
9 | −24 
0 −5
9 | −24
R2 → − R52
−−−−−−−→

1
 0
0

1 −1 |
7
24 
1 − 95 |
5
−5
9 | −24
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo - Sistema homogéneo y no homogéneo
Ejemplo:
1x1 + 1x2 − 1x3
4x1 − 1x2 + 5x3
6x1 + 1x2 + 3x3
=
7
=
4
= 18
Reduciendo la matriz aumentada a la forma
escalonada, tenemos (continuación):


1
1 −1 |
7
24 
 0
1 − 95 |
5
0 −5
9 | −24
R1 → R1 − R2
R3 → R3 + 5R2
−−−−−−−−−−−→

1 0
 0 1
0 0
4
5
9
−5
|
|
0 |
11
5
24
5
0


Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo - Sistema homogéneo y no homogéneo
La reducción queda como:

4
1 0
|
5
 0 1 −9 |
5
0 0
0 |
Ejemplo:
1x1 + 1x2 − 1x3
4x1 − 1x2 + 5x3
6x1 + 1x2 + 3x3
=
7
=
4
= 18
La solución serı́a:

 
x1
 x2  = 
x3
11
5
24
5
11
5
24
5


0

− 45 x3
+ 95 x3 
x3
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo - Sistema homogéneo y no homogéneo
Ejemplo:
1x1 + 1x2 − 1x3
4x1 − 1x2 + 5x3
6x1 + 1x2 + 3x3
=
7
=
4
= 18
Considerando las soluciones x1 y x2 para
x3 = 1 y x3 = 2, respectivamente:

  11 4

x1
5 − 5 x3
9

x1,2 =  x2  =  24
5 + 5 x3
x3
x3
La soluciones serı́an:
 7 
x1 = 
5
33
5
1


x2 = 
3
5
42
5
2


Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo - Sistema homogéneo y no homogéneo
Consideremos ahora el vector x = x1 − x2 :
 7   3   4 
Ejemplo:
x=
5
33
5
1
1x1 + 1x2 − 1x3
4x1 − 1x2 + 5x3
6x1 + 1x2 + 3x3
=
7
=
4
= 18
−
5
42
5
5
 =  −9 
5
2
−1
efectuando la multiplicación Ax:

 4  

1
1 −1
0
5
 4 −1
5   − 95  =  0 
6
1
3
0
−1
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices
Vectores y matrices - productos vectorial y matricial
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
Ejemplo - Sistema homogéneo y no homogéneo
Consideremos ahora el vector x = x1 − x2 :
 7   3   4 
Teorema
Sean x1 y x2 soluciones al
sistema no homogéneo.
Entonces su diferencia x1 − x2 ,
es una solución al sistema
homogéneo relacionado
A(x1 − x2 ) = Ax1 − Ax2 = 0
x=
5
33
5
1
−
5
42
5
5
 =  −9 
5
2
−1
efectuando la multiplicación Ax:

 4  

1
1 −1
0
5
 4 −1
5   − 95  =  0 
6
1
3
0
−1