tema 4- geometría

Matemáticas II
TEMA 4: GEOMETRÍA EN EL ESPACIO
2 de diciembre de 2010
4.1 Vectores en el espacio.
4.1.1
4.1.2
4.1.3
Definiciones.
El espacio vectorial V 3,+,• ℜ
Bases en V3.
(
4.1 Vectores en el espacio.
4.1.1
)
Santillana páginas 98, 99 100, 101.
Definiciones.
Vector fijo, vectores equipolentes, vector libre.
4.1.2
(
El espacio vectorial de los vectores libres V ,+,·ℜ
)
En el conjunto de los vectores libres vamos a definir dos operaciones, una interna, (+),
llamada suma o adición, y otra externa , (·ℜ ) , llamada multiplicación por escalares.
Suma de vectores:
+
VxV 
→V
→ → → →
 u, v  → u + v


Propiedades:
→

→


→
→
→
→
→

→


→ → →
Asociativa:  u + v  + w = u +  v + w  ; ∀ u , v , w ∈ V
→
→
Conmutativa: u + v = v + u ;
→ →
∀ u , v ∈V
Elemento neutro:
→
→
→
→
→
→
Existe un elemento neutro, el vector 0 , tal que 0 + v = v + 0; ∀ v ∈ V
Elemento opuesto:
→
→
Para cada vector v existe un elemento opuesto, - v , que sumado con él da el
→
elemento neutro. (Vector 0 )
Geometría
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Matemáticas II
Multiplicación por escalares (producto de un número por un vector)
⋅ℜ
ℜ xV 
→V
→
 →
 λ, v  → λ ⋅ v


→
→
→
→
λ ⋅ v es un vector cuyo módulo es λ v = λ v , su dirección coincide con la de v y el
→
sentido es el mismo que el de v , si λ es un número real positivo, y si λ es un número
→
→
real negativo, el sentido de λ ⋅ v es el opuesto de v .
Propiedades:
→
Asociativa mixta:
→
→
( λµ ) ⋅ v = λ· µ ⋅ v 

∀λ , µ ∈ ℜ ; ∀ v ∈ V

→
Distributiva respecto de vectores:
→
→
→
λ· u + v  = λ u + λ v ;


→
→
→
Distributiva respecto de escalares: ( λ + µ )· v = λ v + µ v ;
→
→
Existe un elemento unidad: el escalar 1, tal que 1· v = v
→ →
∀λ ∈ℜ; ∀ u , v ∈ V
∀λ , µ ∈ℜ;
→
∀ v ∈V
→
∀ v ∈V .
Cualquier conjunto que posea unas operaciones suma y producto por escalares,
cumpliendo todas las propiedades anteriores, diremos que es un espacio vectorial. Los
elementos de tal conjunto se llamarán vectores (aunque pueda tratarse de objetos
diferentes a los vectores de la Física.)
4.1.3
Bases en V3.
Combinación lineal.
Dependencia e independencia lineal. (Recordad propiedades determinantes)
Base. (Tres vectores libres no nulos y no coplanarios forman una base de V3)
Biyección entre V3 y R3
En lo sucesivo, mientras no se diga lo contrario, se supone que se está utilizando una
base Ortonormal: formada por vectores de la misma longitud, que tomaremos como
unidad (base normada), y perpendiculares entre sí (base ortogonal). La base
canónica es una base ortonormal.
Geometría
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Matemáticas II
El sistema de referencia ℜ ( O; Β ) en donde B es una base ortonormal se llama
referencia ortonormada o métrica.
Las rectas que pasan por el origen y son paralelas a los vectores de la base son los
ejes de coordenadas.
Coordenada de un vector respecto de una base.
Operaciones con coordenadas.
Ejercicio:
Las
→
→
coordenadas
→
→
son: x (1,−2,0), y (0,−1,3), z (1,0,−5), w (− 1,1,0)
→
→
→
→ → → →
de
x, y, z , w
respecto
a
una
cierta
base
Hallar a, b y c para que se cumpla:
→
ax + b y + c z = w Sol: a = 2, b = -5, c = -3.
Geometría
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